Maj 2015 (alle opgaver og alle spørgsmål)

Transkript

1 Maj 2015 (alle opgaver og alle spørgsmål) Alternativ besvarelse (med brug af Maple til beregninger, incl. pakker til VektorAnalyse2 og Integrator8). Ved eksamen er der ikke tid til f.eks. at lave illustrationer, som ikke er forlangt i spørgsmålene. Her er selve opgaveteksterne indsat, så det er lettere at følge udregningerne. Opgave 1 (Funktion) (1.1) 1.1) Stationære punkter De stationære punkter er karakteriseret ved, at de partielle afledede alle er 0 i punkerne. (1.1.1) (1.1.2) (1.1.3) Håndregning: Man kan straks se, at hvis, så er enten eller. (1.1.4)

2 giver så straks, at og. Konklusion: har 4 stationære punkter 1.2) Klassificering af punkter Hessematricen, som består af de 2. afledede af funktionen, beregnes: Det giver kun mening at beregne Hesse-matricen i punkterne og, da de er stationære punkter. Da ikke er et stationært punkt, så kan der ikke være lokalt ekstremum i (1.2.1) (1.2.2) (1.2.3) Da Hessematricen i ekstremum i punktet. har en positiv og en negativ egenværdi, så er det ikke lokalt (1.2.4) (1.2.5) (1.2.6) Da Hessematricen i har en 2 positiv egenværdier - faktisk er 2 den eneste egenværdi, og den har multiplicitet 2, så er der lokalt minimum i punktet. Endda et egentligt lokalt minium. Grafen tegnes:

3 Konklusion: har et egentligt lokalt minimum i med værdien. Der er ikke egentligt lokalt minimum eller maksimum i og (0,0). 1.3) Retningsafledede Gradienten i origo beregnes: (1.3.1) (1.3.2) Enhedsretningsvektor, hvor : (1.3.3) (1.3.4)

4 (1.3.5) (1.3.6) Konklusion: den retningsafledede af i er netop 0 i de 2 retninger: dvs. i x-aksens positive og negative retning. Opgave 2 (Kvadratisk form) (2.1) 2.1) Ortonormal basis (2.1.1) (2.1.2)

5 (2.1.2) er 2-dimensionel, og man har 2 enhedsvektorer, som er ortogonale. (2.1.3) (2.1.4) (2.1.5) NB: Man ser let, at (tværvektoren). Konklusion: og udgør en ortonormal basis for 2.2) Parablens toppunkt og symmetriakse Parablens ligning opskrives på vektorform: (2.2.1) (2.2.2) Dvs. egenværdierne er 2 og 0. Egenvektorerne: (2.2.3)

6 (2.2.3) (2.2.4) Dvs. egenvektorerne er og Transformationsmatricen : (2.2.5) beregnes som i Maple. Det skal give en diagonalmatrix med egenværdierne i diagonalen: (2.2.6) Ved transformationen gælder: 5, hvor og er de nye koordinater. ændres til:

7 (2.2.7) (2.2.8) Dvs. parablens ligning i det nye koordinatsystem lyder: Toppunktet for parablen ligger i og symmetriaksen ligger i s retning, gennem toppunktet. Omregning til de gamle koordinater: (2.2.9) Konklusion: toppunktet for parablen ligger i (2.2.10) eller: (2.2.11) Parablens symmetriakse har parameterfremstillingen:

8 , hvor. Dette kan forenkles til parameterfremstillingen:, hvor. Kan omskrives til en ligning i stedet for: Konklusion: symmetriaksen har ligningen

9 Opgave 3 (Rumkurve og tangentielt kurveintegral)

10 (3.1) 3.1) Parameterfremstilling Parameterfremstilling for fladen : (3.1.1) (3.1.2) Graf:

11 Normalvektoren: (3.1.3) (3.1.4) (3.1.5) Denne normalvektor har z-koordinaten 1, som er positiv. Dvs. kravet om retning er opfyldt. Konklusion: parameterfremstillingen af er giver ved

12 , hvor og 3.2) Flux gennem F Vektorfelt : (3.2.1) Fluxen af vektorfeltet gennem fladen beregnes som et fladeintegral: (3.2.2) (3.2.3) 16 3 (3.2.4) Med Integrator8-pakken: (3.2.5) (3.2.6) (3.2.7) Konklusion: fluxen af gennem fladen er, og w2[0;1]:

13 (3.3.1) (3.3.2) (3.3.3) Jacobi-funktionen for parametriseringen beregnes: (3.3.4) (3.3.5)

14 NB: Ikke nødvendigt at tage den numeriske værdi, da Rumfanget beregnes som rumintegralet af funktionen 1: (3.3.6) (3.3.7) Med Integrator8-pakken: Konklusion: (3.3.8) (3.3.9) Fluxen af af Da divergensen af Dvs. fluxen alternativ: Med Integrator8-pakken: Konklusion: fluxen af (3.4.1) (3.4.2) (3.4.3) (3.4.4)

15 Opgave 4 (Rumligt område, Gauss' og Stokes sætninger) (4.1) 4.1) Flux af rot(u) (4.1.1) Rotationen af vektorfeltet : (4.1.2) Parametriseringen af kvadratet :

16 (4.1.3) Plot af kvadratet : Normalvektoren : (4.1.4) Fluxen gennem :

17 (4.1.5) (4.1.6) 16 Med Integrator8-pakken: 16 eller: 16 Konklusion: fluxen af gennem kvadratet er (4.1.7) (4.1.8) (4.1.9) (4.1.10) 4.2) Tangentielt kurveintegral Parametrisering af linjestykket fra A til D: (4.2.1) (4.2.2) (4.2.3) hvor Tangentielt kurveintegral af : (4.2.4)

18 (4.2.5) 0 (4.2.6) 0 Med Integrator8-pakken: 0 Konklusion: det tangentielle kurveintegral af Tangentielt kurveintegral af : langs linjen fra A til D er (4.2.7) (4.2.8) (4.2.9) (4.2.10) (4.2.11) alternativ: (4.2.12) Da er et gradient-vektorfelt af funktionen, så kan det tangentielle kurveintegral beregnes simpelt: (4.2.13) Med Integrator8-pakken: (4.2.14) Konklusion: det tangentielle kurveintegral af langs linjen fra A til D er

19 4.3a) Cirkulation af U langs rand Cirkulationen af langs (randen af i rækkefølgen ABCDA) bestemmes ved brug af Stokes sætning som fluxen af gennem fladen. Spørgsmålet er således besvaret i 4.1. Konklusion: cirkulationen af langs er 4.3b) Cirkulation af V langs rand Cirkulationen af langs (randen af i rækkefølgen ABCDA) bestemmes ved brug af Stokes sætning som fluxen af gennem fladen. Da er et gradient-vektorfelt - idet, så er. Derfor er fluxen af gennem fladen også 0. Tjek: (4.4.1) Konklusion: cirkulationen af langs er