Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1

Transkript

1 Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1 Her skal du lære om 1. Funktioner i flere variable 2. Grafen og niveaukurver 3. Grænseovergange og grænseværdier 4. Kontinuitet i flere variable 5. Polære koordinater Calculus Uge

2 En generel funktion [S] 9.6 Functions and surfaces y D (x, y) f(x, y) 0 x D R 2, f : D R Calculus Uge

3 Definitionsmængde [S] 9.6 Functions and surfaces Definition D R 2 kaldes definitionsmœngden og {f(x,y) R (x,y) D} kaldes vœrdimœngden for funktionen f : D R Calculus Uge

4 Bestem definitionsmængden [S] 11.1 Functions of several variables Eksempel 3 g(x,y) = 9 x 2 y 2 Calculus Uge

5 Bestem definitionsmængden [S] 11.1 Functions of several variables Eksempel 3 har definitionsmængde g(x,y) = 9 x 2 y 2 D = {(x,y) 9 x 2 y 2 0} = {(x,y) x 2 + y 2 3} Calculus Uge

6 Bestem definitionsmængden [S] 11.1 Functions of several variables Eksempel 3 g(x,y) = 9 x 2 y 2 har definitionsmængde D = {(x,y) 9 x 2 y 2 0} = {(x,y) x 2 + y 2 3} og værdimængde intervallet g(d) = [0, 3] R Calculus Uge

7 Et populært problem [S] 11.1 Functions of several variables Eksempel Aktive væsker x,y,z blandes med proportional virkning V = xyz Hvilket blandingsforhold giver størst virkning? Calculus Uge

8 Et populært problem [S] 11.1 Functions of several variables Eksempel Aktive væsker x,y,z blandes med proportional virkning V = xyz Hvilket blandingsforhold giver størst virkning? x + y + z = 1 V = xy(1 x y) D = {(x,y) x > 0,y > 0,x + y < 1} Calculus Uge

9 Et populært problem [S] 11.1 Functions of several variables Eksempel Aktive væsker x,y,z blandes med proportional virkning V = xyz Hvilket blandingsforhold giver størst virkning? x + y + z = 1 V = xy(1 x y) D = {(x,y) x > 0,y > 0,x + y < 1} Bestem maksimum for V på D. Calculus Uge

10 Graf og niveaukurver [S] 9.6, 11.1 Functions of several variables Definition Grafen for en funktion f : D R Γ f = {(x,y,z) (x,y) D,z = f(x,y)} er en flade i R 3. Calculus Uge

11 Graf og niveaukurver [S] 9.6, 11.1 Functions of several variables Definition Grafen for en funktion f : D R Γ f = {(x,y,z) (x,y) D,z = f(x,y)} er en flade i R 3. Niveaukurver for en funktion f : D R er kurver i R 2. f 1 (k) = {(x,y) D f(x,y) = k} Calculus Uge

12 Udseende saddel [S] 11.1 Functions of several variables Eksempel z y x f(x,y) = x 2 y 2 Calculus Uge

13 Halvkugleskal [S] 11.1 Functions of several variables Eksempel 3,4,8 g(x,y) = 9 x 2 y 2 Calculus Uge

14 Halvkugleskal [S] 11.1 Functions of several variables Eksempel 3,4,8 g(x,y) = 9 x 2 y 2 Grafen er en halvkugleskal Γ g = {(x,y,z) x 2 + y 2 9,z = 9 x 2 y 2 } = {(x,y,z) x 2 + y 2 + z 2 = 9,z 0} Calculus Uge

15 Halvkugleskal [S] 11.1 Functions of several variables Eksempel 3,4,8 g(x,y) = 9 x 2 y 2 Grafen er en halvkugleskal Γ g = {(x,y,z) x 2 + y 2 9,z = 9 x 2 y 2 } = {(x,y,z) x 2 + y 2 + z 2 = 9,z 0} Niveaukurver er cirkler g 1 (k) = {(x,y) x 2 + y 2 9, 9 x 2 y 2 = k} = {(x,y,z) x 2 + y 2 = 9 k 2 } Calculus Uge

16 Globus [S] 11.1 Functions of several variables Eksempel z x y f(x,y) = 9 x 2 y 2 Calculus Uge

17 Breddegrader [S] 11.1 Functions of several variables Eksempel y 0 x Niveaukurver Calculus Uge

18 Op og ned [S] 11.1 Functions of several variables Eksempel z y x f(x,y) = y 1 + x 2 + y 2 Calculus Uge

19 Udvid til mange variable [S] 11.1 Functions of several variables Eksempel 11 Omtalen af funktioner i to variable udvides umiddelbart til tre eller flere variable. Udtrykket f(x,y,z) = ln(z y) + xy sin(z) er en funktion i tre variable, defineret på mængden D = {(x,y,z) R 3 z > y} Calculus Uge

20 Goddag igen til grænseværdier [S] 11.2 Limits and continuity 1 Definition Grænseværdien af f(x,y) i et punkt (a,b) skrives eller lim f(x,y) = L (x,y) (a,b) f(x,y) L for (x,y) (a,b) når f antager værdier vilkårligt tæt på L, bare (x,y) er tilstrækkeligt tæt på (a,b). Calculus Uge

21 Helt præcist [S] Appendix D - Functions of two variables 5 Definition Grænseværdien eksisterer, hvis lim f(x,y) = L (x,y) (a,b) ɛ > 0 δ > 0 : (x a)2 + (y b) 2 < δ f(x,y) L < ɛ Calculus Uge

22 Ingen grænseværdi [S] 11.2 Limits and continuity Eksempel 1 f(x,y) = x2 y 2 x 2 + y 2 har ingen grænseværdi for (x,y) (0, 0). Calculus Uge

23 Ingen grænseværdi [S] 11.2 Limits and continuity Eksempel 1 f(x,y) = x2 y 2 x 2 + y 2 har ingen grænseværdi for (x,y) (0, 0). Løsning f(x, 0) = 1,x 0 f(0,y) = 1,y 0 Calculus Uge

24 Regneregler som forventet [S] 2.3 Calculating limits using the Grænseværdien af en sum er summen af grænseværdierne. Calculus Uge

25 Regneregler som forventet [S] 2.3 Calculating limits using the Grænseværdien af en sum er summen af grænseværdierne. 2. Grænseværdien af en differens er differensen af grænseværdierne. Calculus Uge

26 Regneregler som forventet [S] 2.3 Calculating limits using the Grænseværdien af en sum er summen af grænseværdierne. 2. Grænseværdien af en differens er differensen af grænseværdierne. 3. Grænseværdien af en konstant gange en funktion er konstanten gange grænseværdien. Calculus Uge

27 Regneregler som forventet [S] 2.3 Calculating limits using the Grænseværdien af en sum er summen af grænseværdierne. 2. Grænseværdien af en differens er differensen af grænseværdierne. 3. Grænseværdien af en konstant gange en funktion er konstanten gange grænseværdien. 4. Grænseværdien af et produkt er produktet af grænseværdierne. Calculus Uge

28 Regneregler som forventet [S] 2.3 Calculating limits using the Grænseværdien af en sum er summen af grænseværdierne. 2. Grænseværdien af en differens er differensen af grænseværdierne. 3. Grænseværdien af en konstant gange en funktion er konstanten gange grænseværdien. 4. Grænseværdien af et produkt er produktet af grænseværdierne. 5. Grænseværdien af en kvotient er kvotienten af grænseværdierne. Calculus Uge

29 Kontinuitet på ny [S] 11.2 Limits and continuity 3 Definition Kontinuitet af f(x,y) i et punkt (a,b) skrives eller lim (x,y) (a,b) f(x,y) = f(a,b) f(x,y) f(a,b) for (x,y) (a,b) f er kontinuert i D, hvis f er kontinuert i alle punkter (a,b) D. Calculus Uge

30 Du er som din nabo [S] 11.2 Limits and continuity y D (x, y) (a, b) f(x, y) f(a, b) 0 x Kontinuitet Calculus Uge

31 Helt præcist [S] Appendix D - Functions of two variables Definition Kontinuitet hvis der gælder lim (x,y) (a,b) f(x,y) = f(a,b) ɛ > 0 δ > 0 : (x a)2 + (y b) 2 < δ f(x,y) f(a,b) < ɛ Calculus Uge

32 Du kan regne den ud [S] 11.2 Limits and continuity Morale for kontinuitet Calculus Uge

33 Du kan regne den ud [S] 11.2 Limits and continuity Morale for kontinuitet 1. De fire regningsarter og sammensat funktion af kontinuerte funktioner danner igen kontinuerte funktioner. Calculus Uge

34 Du kan regne den ud [S] 11.2 Limits and continuity Morale for kontinuitet 1. De fire regningsarter og sammensat funktion af kontinuerte funktioner danner igen kontinuerte funktioner. 2. De kendte elementære funktioner sin, cos, tan, arcsin,...,exp, log,... er kontinuerte. Calculus Uge

35 Du kan regne den ud [S] 11.2 Limits and continuity Morale for kontinuitet 1. De fire regningsarter og sammensat funktion af kontinuerte funktioner danner igen kontinuerte funktioner. 2. De kendte elementære funktioner sin, cos, tan, arcsin,...,exp, log,... er kontinuerte. 3. Funktionsudtryk er kontinuerte, hvor de er definerede. Calculus Uge

36 Det er som du tror [S] 11.2 Limits and continuity Eksempler om kontinuitet Calculus Uge

37 Det er som du tror [S] 11.2 Limits and continuity Eksempler om kontinuitet 1. Kontinuert på R 2 x y x 2 + y Calculus Uge

38 Det er som du tror [S] 11.2 Limits and continuity Eksempler om kontinuitet 1. Kontinuert på R 2 x y x 2 + y Kontinuert på R 2,x pπ cos y sin x Calculus Uge

39 Det er som du tror [S] 11.2 Limits and continuity Eksempler om kontinuitet 1. Kontinuert på R 2 x y x 2 + y Kontinuert på R 2,x pπ cos y sin x 3. Kontinuert når x 2 + y 2 > 2 ln(x 2 + y 2 2) Calculus Uge

40 Kontinuert de rigtige steder [S] 11.2 Limits and continuity Eksempel 1, 6, 7 g(x,y) = { x 2 y 2 x 2 +y 2, (x,y) (0, 0) 0, (x,y) = 0 er ikke kontinuert i (0, 0), da g(x,y) ingen grænseværdi har for (x, y) (0, 0). Calculus Uge

41 Kontinuert de rigtige steder [S] 11.2 Limits and continuity Eksempel 1, 6, 7 g(x,y) = { x 2 y 2 x 2 +y 2, (x,y) (0, 0) 0, (x,y) = 0 er ikke kontinuert i (0, 0), da g(x,y) ingen grænseværdi har for (x, y) (0, 0). Fra regneregler for kontinuitet følger, at g(x,y) er kontinuert på mængden R 2 \{(0, 0)} af alle talpar fraregnet (0, 0). Calculus Uge

42 Øv dig [S] 11.2 Limits and continuity Eksempel 4, 8 f(x,y) = { 3x 2 y x 2 +y 2, (x,y) (0, 0) 0, (x,y) = 0 er kontinuert på mængden R 2. Calculus Uge

43 Øv dig [S] 11.2 Limits and continuity Eksempel 4, 8 f(x,y) = { 3x 2 y x 2 +y 2, (x,y) (0, 0) 0, (x,y) = 0 er kontinuert på mængden R 2. Løsning viser, at x 2 f(x,y) = 3 x 2 + y2 y 3 y f(x,y) 0, når (x,y) (0, 0) Calculus Uge

44 Udvid det hele til mange variable [S] 11.2 Limits and continuity Flere variable Omtalen af grænseværdi og kontinuitet for funktioner i to variable udvides umiddelbart til tre eller flere variable. Funktionen f(x,y,z) = 1 x 2 + y 2 + z 2 er kontinuert på mængden R 3 \{(0, 0, 0)}. Calculus Uge

45 Populære koordinater [S] Appendix H.1 Polar coordinates Definition Et polært koordinatsystem i planen består af et punkt polen O og en halvlinje polæraksen ud fra polen. Et vilkårligt punkt P er nu bestemt ved et talpar (r,θ). θ er vinklen mellem polæraksen og linjen OP målt med fortegn mod urets retning. r er afstanden fra O til P regnet med fortegn mht. den valgte polærakse. θ O 1 r P Calculus Uge

46 Pol og sigtelinje [S] Appendix H.1 Polar coordinates Definition Et polært koordinatsystem bestemmer et kartesisk koordinatsystem. Polen og punktet med polære koordinater (1, 0) bestemmer x-aksen og polen og punktet med polære koordinater (1, π 2 ) bestemmer y-aksen. y P(r cos(θ), r sin(θ)) r 1 θ O 1 x Calculus Uge

47 Polær-kartesisk ordbog [S] Appendix H.1 Polar coordinates Sætning Givet et polært og tilhørende kartesiske koordinatsystem. Et punkt med polære koordinater (r,θ) har kartesiske koordinater 1 x = r cos(θ), y = r sin(θ) Et punkt med kartesiske koordinater (x,y) har polære koordinater 2 r = x 2 + y 2, θ = tan 1 ( y x ) Calculus Uge

48 Polær-kartesisk ordbog [S] Appendix H.1 Polar coordinates Eksempel Et punkt med polære koordinater har kartesiske koordinater (r,θ) = (2, 5π 4 ) x = r cosθ = 2 cos 5π 4 = 2 y = r sinθ = 2 sin 5π 4 = 2 (x,y) = ( 2, 2) Calculus Uge

49 Polær-kartesisk ordbog Eksempel [S] Appendix H.1 Polar coordinates y P(3,3) 5π/4 3 2 π/4 P( 2, 2) 2 1 x Calculus Uge

50 Polær-kartesisk ordbog [S] Appendix H.1 Polar coordinates Eksempel Et punkt med kartesiske koordinater har polære koordinater (x,y) = (3, 3) r = x 2 + y 2 = = 3 2 θ = tan 1 y x = tan = π 4 (r,θ) = (3 2, π 4 ) Calculus Uge