Peter Orthmann Nielsen og Jørgen Franck. Dansk Amatør Raket Klub

Transkript

1 Beregning af areal, volumen, massemidtpunkt og inertimomenter for en klasse af omdrejningslegemer med cirkelbuegeometri af Peter Orthmann Nielsen og Jørgen Franck Dansk Amatør Raket Klub Introduktion Denne rapport gennemgår beregningen af areal, volumen, massemidtpunkt samt inertimomenter for en klasse af omdrejningslegemer med cirkelbuegeometri. Et af tilfældene er en tangent ogive som ofte anvendes som raketspidsen på raketter. Af ovenstående figur kan radius R beregnes som følger Da og, får vi Sammenfattes de to udtryk fås 1 of :39

2 Ved omskrivning kan længe-diameter forholdet udtrykkes Areal Arealet af den krumme overflade for et omdrejningslegeme med cirkelbuegeometri beregnes for de to nedenstående tilfælde. Tilfælde I: Tilfælde II: 2 of :39

3 Cirklens ligning er nu i de to tilfælde Parameterfremstillingen i (x,z)-planen er, der gælder følgende:, Tilfælde I: Tilfælde II: og og Følgende dimensionsløse størrelser indføres og Drejes kurven én omgang omkring z-aksen fremkommer der en flade. Arealet af denne omdrejningsflade kan beregnes ved følgende formel Indsættes parameterfremstillingen fås 3 of :39

4 Indsættes grænserne fra tilfælde I fås Indsættes grænserne fra tilfælde II fås Ved geometribetragtninger kan følgende udledes for tilfældene I: II: Ved indsættelse fås nu I: II: De to arealformler kan nu sammenfattes til 4 of :39

5 Volumen Til beregning af volumen omskrives cirklens ligning for de to tilfælde til Volumen af omdrejningslegemet er, Indføres følgende substitution Vi får nu 5 of :39

6 Massemidtpunkt Af symmetrigrunde er massemidtpunktet placeret på z-aksen. Massemidtpunktets z-koordinat kan findes ved følgende formel 6 of :39

7 Massetætheden ρ(x,y,z) antages konstant ved den kan bortforkortes. Legemet kaldes homogent når ρ(x,y,z) er konstant. Integralet i nævneren er nu lig volumen af det aktuelle omdrejningslegeme. Integralet i tælleren kan findes som følger Indføres Vi får nu 7 of :39

8 Massemidtpunktets z-koordinat er hermed Inertimomenterne Generel kan inertimomentet skrives som Er massetætheden ρ(x,y,z) konstant kan den sættes udenfor integralet. Inertimomenterne med hensyn til koordinatakserne er nu Da der er symmetri omkring z-aksen har vi at 8 of :39

9 Inertimomentet om z-aksen findes ved følgende omformning Vi får nu 9 of :39

10 10 of :39

11 Inertimomentet om henholdsvis x- og y-aksen findes nu ved analog omformning. Vi får 11 of :39

12 Den udledte formel for indsættes nu i udtrykket 12 of :39

13 Referencer Jensen, H. E.: Matematisk Analyse, Bind 3. Matematisk Institut, DTH, 2 udgave, 1976 Speigel, M. R.: Mathematical handbook of formulas and tables. Schaum s outline series in mathematics. McGraw-Hill Book Company, New York, of :39