Bevægelsens Geometri

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Bevægelsens Geometri"

Transkript

1 Bevægelsens Geometri Vi vil betragte bevægelsen af et punkt. Dette punkt kan f.eks. være tyngdepunktet af en flue, et menneske, et molekyle, en galakse eller hvad man nu ellers har lyst til at beskrive. Det kan også en fodbold på vej mod mål eller en lysstråle på vej uden om en stjerne, men det kunne lige så godt være et mere abstrakt punkt, f.eks. et punkt der repræsenterer tilstanden af den danske økonomi indenfor en (matematisk) mængde af økonomier eller et punkt i mængden af alle afstandsbegreber (metrikker) på en vis given mængde. Vi vil her præsentere visse aspekter af den matematiske beskrivelse af begrebet bevægelse. Vore betragtninger vil bl.a. lede til en definition af, hvad der skal svare til de rette linier i planen, når man befinder sig på en krum flade. Dermed bliver også vist en vej til, hvorledes geometri kan formuleres i krumme rum, endda af højere dimension. Helt naivt kan vi begynde med at definere bevægelse som det, at noget ikke ligger stille. Altså, at dette noget ændrer position som tiden går. Bevægelse i en plan. Lad os begynde med en meget simplificerende antagelse, nemlig at punktet er bundet til at bevæge sig i en (uendelig) plan. Den matematiske model for en uendelig plan er rummet R 2 bestående af alle par (x, y) af reelle tal. Vi kan også sige, at et element p R 2 har formen p = (x, y). Når vi bruger denne sprogbrug kaldes tallet på første plads for x-koordinaten og tallet på anden plads for ykoordinaten. Til andre tider skrives p = (x 1, x 2 ) og man taler om hhv. første- og andenkoordinaten. En bevægelse af et punkt kan da beskrives ved at angive, til enhver tidsparameter t, i hvilket punkt af R 2 punktet befinder sig. Dette punkt betegner vi med p(t) og kan evt. skrive p(t) = (x(t), y(t)). Lad os endvidere sige, at vi kun er interesserede i tidsparametre i et vist interval I =]a, b[= {t R a < t < b}. En bevægelse er da givet ved en funktion p : I R 2, eller, om man vil, ved to reelle funktioner t x(t) og t y(t). Fælles for alle sådanne afbildninger p bruges betegnelsen kurve. Lad os nu antage, at de indgående funktioner x(t) og y(t) er tilpas pæne. Vi skal mindst kunne differentiere dem to gange, og de differentierede funktioner (afledte) skal også være kontinuerte. Den afledte p (t) af punktionen p(t) er da givet ved p (t) = lim t 0 ( ) p(t + t) p(t) t = ( dp dt ) = (x (t), y (t)). (1) Den geometriske betydning af p (t) er, at den angiver den øjeblikkelige retning, som punktet bevæger sig i. Det er således naturligt at afsætte vektoren p (t) ud fra punktet p(t). Dette definerer en linie kaldet tangentlinien til kurven i punktet p(t). Endvidere angiver længden af p (t), p (t) = (x (t)) 2 + (y (t)) 2, den øjeblikkelige hastighed eller fart i bevægelsen. Vi vil ikke udlede følgende formel for længden af den del af kurven der ligger mellem to tidsværdier t 0 og s, s l(s) = p (t) dt, (2) t 0 hvor vi i øvrigt betragter t 0 som et fast valgt udgangspunkt og s som den frie variable, men vi nævner dog, at eftersom den øjeblikkelige fart ganget med en meget lille tid t giver en meget lille l = p (t) t, kan man let give et uformelt bevis for formlen. Dette kan endvidere forholdsvist let strammes op til et rigtigt bevis. Eksempel: Kurven l : t l(t) = (e t cos 8t, e t sin 8t) er et eksempel på en logaritmisk spiral. Der gælder, at l (t) = ( 8e t sin 8t + e t cos 8t, 8e t cos 8t + e t sin 8t). Specielt er l(t) = 9 e t og dermed 1

2 2 p (t) p(t) Tangentlinien til kurven i punktet p(t) Figur 1. Kurve med tangentlinier i planen R Figur 2. Logaritmisk spiral bliver formelen (2) givet ved l(s) = s t 0 9e t dt = 9(e s e t 0 ). Når vi tænker på en kurves geometri er det som selve punktmængden {p(t) t I} (3)

3 og ikke på den måde, punktet gennemløber denne mængde på. For eksempel vil kurven t l(t 3 ) gennemløbe samme punktmængde som kurven l i eksemplet med den logaritmiske spiral og ligeledes vil for eksempel t l ((t 1)(t 2)(t 3)) gennemløbe den logaritmiske spiral. I det sidste tilfælde vil den undervejs endda gennemløbe visse strækninger flere gange. Når vi vælger en bestemt måde at gennemløbe punktmængden i (3) på, siger vi, at vi vælger en parametrisering af kurven. Det er nu bekvemt at antage, at p (t) 0 for alle t I. En kurve, der opfylder dette kaldes regulær. Det nyttige ved sådanne kurver er, at funktionen l(s) bliver strengt voksende, m.a.o at s 1 < s 2 l(s 1 ) < l(s 2 ). Det følger af dette, at funktionen l har en omvendt funktion. Vi betegner denne med l omv. Der gælder altså l omv (t) = s l(s) = t. (4) Indfører vi nu funktionen p o defineret som en omparametrisering af p ved 3 p o (t) = p(l omv (t)), (5) definerer denne kurve samme punktmængde som p. Det følger endvidere fra kædereglen for differentiation samt reglen for differentiation af omvendt funktion, at p o(t) = p (s) p (s), (6) hvor s = l omv (t). Af dette følger, at p o (t) = 1 for alle t. Generelt siges en kurve t q(t) at være parametriseret ved buelængde såfremt der for alle t gælder q (t) = 1. (7) Enhver regulær kurve kan således omparametriseres til kurvelængde. Eksempel: Hvis vi vælger t 0 = 0 i eksemplet med den logaritmiske spiral, så bliver s = ln( t + 1) = 9 l omv (t). Kurven t (( t + 1) cos(8 ln( t + 1)), ( t + 1) sin(8 ln( t + 1)) er således parametriseret ved kurvelængde. Vi går nu i gang med at diskutere begrebet krumning af en plan kurve. Vi vil for dette formål kun betragte kurver q, der er parametriserede ved kurvelængde. Vi kan også sige, at alle kurver gennemløbes med konstant hastighed 1. Som mål for krumning vil vi bruge ændringen i tangentlinierne: Hvis i to nærtliggende punkter q(t + t) og q(t) tangentlinierne er meget forskellige, vil vi sige, at der er stor krumning. Omvendt, hvis tangentlinierne ikke ændrer sig ret meget vil vi nok synes, at der ikke er ret megen krumning (se i øvrigt Figur 1). Med udgangspunkt i dette definerer vi nu simpelthen krumningen k(t) i punktet q(t) som den fart, som hastighedsvektoren q (t) (og dermed tangentlinierne) ændrer sig med, altså Hvis k(t) 0 definerer vi k(t) = ( d dt q )(t) = q (t). (8) Krumningsvektoren n k (t) = q (t) q (t). (9) Det er meget let at se, at en ret linie i planen overalt har krumning 0. Faktisk kan en ret linie skrives som t q(t) = (a t+b, c t+d), hvor a, b, c, d er reelle konstanter (og a og c er ikke begge lig nul), og hvor man uden indskrænkning kan antage, at a 2 + c 2 = 1. Dermed er linien parametriseret ved buelængde og q (t) = 0. Omvendt gælder, at hvis en kurve overalt har krumning 0, da opfylder koordinatfunktionerne at x = 0 = y, og dermed er q en ret linie.

4 4 Vi bemærker videre, at ved differentiation af identiteten (x (t)) 2 + (y (t)) 2 = q (t) 2 1 følger, at 2(x (t)x (t)) + 2(y (t)y (t)) = 0, og dermed for alle t : q (t) q (t) = 0, (10) altså at det indre produkt er 0 eller med andre ord, at krumningsvektoren n k (t) er vinkelret på q (t). Vi kan konkludere, at de rette linier præcist er karakteriserede ved, at de har krumning 0. Videre kan man vise, at de kurver, der har konstant krumning k 0, præcist er cirklerne. Vi minder om, at de rette linier i planen er basisobjekter vedrørende geometriske figurer såsom trekanter, parallelle linier osv., og kan også nævne en velkendt egenskab ved de rette linier, nemlig at de angiver de kurver, man skal bevæge sig langs for hurtigst muligt (husk på, at alle bevægelser lige nu sker med konstant hastighed 1) at komme fra et punkt i planen til et andet. Det er disse egenskaber, vi vil søge at generalisere, og med vores karakteristik via krumning har vi et godt udgangspunkt. Vi skal dog først lige diskutere kurver i R 3. Bevægelse i rummet. Lad os nu gå et stort skridt videre og betragte kurver i R 3. Faktisk er det matematiske skridt slet ikke så stort, de eneste forskelle er, at kurver nu er givet ved 3 koordinatfunktioner p(t) = (x(t), y(t), z(t)) samt at længden af en vektor v = (v 1, v 2, v 3 ) R 3 er givet ved v = v1 2 + v2 2 + v3. 2 (11) Ellers har vi præcist de samme formler som for kurver i R 2. Eksempel: Kurven h : t h(t) = (cosat, sin at, bt) kaldes skruelinien eller helix en. Det er den kurve man vil bevæge sig i, hvis man går op i rundetårn og holder en konstant afstand til væggen. Antag, at a 2 + b 2 = 1 (a og b er reelle konstanter). Da er skruelinien parametriseret ved buelængde. Krumningen bliver da a 2 og krumningsvektoren bliver ( cosat, sin at, 0). Bevægelse på en flade. Lad os nu indføre begrebet en flade S i R 3. Vi vil ikke her give den præcise definition men nævne, at det løst sagt er, hvad der kan fremkomme ved at tage en del af R 2 og give den buler og fordybninger, uden at der opstår skarpe kanter. Man kan f.eks. tænke på en dug, der er samlet sammen efter brug. Overfladen af glatte objekter vil også være flader, f.eks. kugleoverfladen S 2 = {x R 3 x = 1}, overfladen af et bil- eller cykeldæk (uden ventilen!), opgangen i rundetårn (en såkaldt vindelflade) eller siden på en konservesdåse (eller rundetårn!). Jordoverfladen vil også approximativt være en flade. Man kan vise, at en flade lokalt kan skrives som grafen af en funktion af to variable. (F.eks. er den øvre del af kugleoverfladen grafen af funktionen (x, y) z = 1 x 2 y 2 med (x, y) i enhedsskiven. Hvis begge sider kvadreres fås nemlig z 2 = 1 x 2 y 2 og dermed x 2 + y 2 + z 2 = 1.) Lad os spørge os selv: Hvad skal på sådan en flade svare til de rette linier i planen, altså hvad er er ret linie i et krumt rum? Ja, her kan vi tænke på resultatet fra planen: De rette linier er præcist de kurver, der har krumning 0. Når vi skal generalisere dette til en flade S, kan vi jo sige, at en kurve på en flade er en kurve i rummet R 3, der blot tilfældigvis tager sine værdier indenfor fladen S. Som rumkurve har den en krumning og en krumningsretning. Her deler vi simpelthen denne krumning op i to komponenter q S og q, én komponent q S, der har med fladen at gøre og én, q, der er vinkelret på fladen. q (t) = q S (t) + q (t). (12) Her kan man forestille sig et væsen somme tider (for sjov) kaldet et fladedyr, der lever på fladen. Dette dyr kan kun mærke q S (t), hvorimod q (t) er den del, der ikke har med fladen at gøre og derfor ikke kan mærkes af noget fladedyr. Vi definerer den geodætiske krumning k g (t) og normalkrumningen k (t) ved k g (t) = q S (t) og k (t) = q (t). (13)

5 5 z q (t) q S (t) Lillecirkel θ q (t) y Tangentplanen til S 2 i punktet Ækvator x Figur 3. For en lillecirkel på kugleoverfladen S 2 er de indgående størrelser som anført. Hvis vinklen mellem et punkt på lillecirklen og z-aksen kaldes θ, da er krumningen af lillecirklen givet ved 1/ sin θ, normalkrumningen er 1, og den geodætiske krumning er cos2 θ. Kun når vinklen et π (altså på hvad der på tegningen er ækvator), sin 2 θ 2 forsvinder den geodætiske krumning. Mere generelt er storcirklerne på S 2 præcist de geodætiske kurver. Ifølge Pythagoras gælder k 2 (t) = k 2 g(t) + k 2 (t). (14) Vi kan nu definere begrebet en geodæt, eller hvad er det samme, en geodætisk kurve på en flade, som generalisationen af begrebet en ret linie i planen ved: Definition: En geodæt på en flade S er en kurve I t p(t) S, der er parametriseret ved kurvelængde og opfylder, at den geodætiske krumning overalt er 0. Vi minder nu om, at der mellem to punkter p 1 og p 2 i planen findes netop en ret linie, og denne angiver den korteste vej mellem de to punkter. Med vores definition af geodæter er det ikke klart, at disse har samme egenskab. Men det har de ikke desto mindre næsten! Man kan nemlig vise, at den korteste vej mellem to punkter må være en geodæt. Der gælder bare ikke altid, at der kun kan trækkes en enkelt geodæt mellem to punkter, men hvis der er flere, kan man blot vælge den, der har mindst længde. Sagt meget løst beviser man, at geodæterne har denne egenskab med hensyn til den korteste vej, på samme måde, som man beviser det for rette linier i planen. Dette kan så tages som yderligere en bekræftelse på, at vores definition af de rette linier i krumme rum (altså geodæterne) er den rigtige. Med vores definition bliver geodæterne på S 2 alle storcirkler, og på ydersiden af rundetårn (opfattet som cylinderoverfladen C = {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 = 1}) bliver det skruelinierne (se ovenfor).

6 6 Figur 4. Et fladedyr skal for at bevæge sig den kortest mulige vej mellem to punkter A og B på en flade (f.eks. en vindelflade) følge en geodæt.

7 Bemærk, at i den sidste model gælder, at hvis vi har to punkter på C i forskellig højde z, da findes der uendeligt mange forskellige geodæter, der forbinder dem. Altså en komplet anden situation end i planen. Geodæterne i det indre af rundetårn (vindelfladen) er sværere at beskrive (det er ikke skruelinier). Dog kan man vise, at hvis φ angiver vinklen mellem kurven og det vandrette, og hvis d angiver afstanden ind til centrum af rundetårn, da vil der gælde for en given geodæt, at 1 + d 2 sin φ er konstant. Endelig kan nævnes, at man kan angive ligningerne som en geodæt skal opfylde. I lokale koordinater (u, v) skal en geodæt (u(t), v(t)) opfylde u + Γ 1 11(u ) 2 + 2Γ 1 12u v + Γ 1 22(v ) 2 = 0 (15) v + Γ 2 11(u ) 2 + 2Γ 2 12u v + Γ 2 22(v ) 2 = 0, hvor symbolerne Γ i jk er kendte funktioner på fladen, de såkaldte Christoffelsymboler. Udover de geometriske overvejelser leder vore betragtninger over tid og bevægelse således bl.a. til hen til teorien for (ikke-lineære) differentialligninger. Vi vil dog slutte her, men kan bemærke, at f.eks. emnet differentialligninger har været behandlet i andre udgaver af Naturligvis. 7

8 8 Opgave 1.1. Tegn/plot α 1 (t) = (5t + 3, 2t + 4) ; t [ 2, 2]. Bestem α (t) og α (t). Samme spørgsmål for α 2 (t) = (5 cos(7t), 5 sin(7t)) ; t [0, 1], α 3 (t) = (e t cos(8t), e t sin(8t)) ; t [0, 1], α 4 (t) = (( t ( ) cos ln( t ) 9 + 1), ( t ( 9 + 1) sin 8 ln( t )) 9 + 1) ; t [1, 2], og α 1 (t) = (cos(at), sin(at), b) ; t [0, 5]. I sidstnævnte eksempel et a, b positive konstanter. Hvad er betingelsen på disse for, at kurven er paramentriseret ved kurvelængde? Krumningen k(s) af en kurve I s β(s) er defineret under antagelsen s I : β (s) = 1, og er så givet ved k(s) = β (s). Såfremt I t α(t) = (x(t), y(t)) er en kurve, der ikke nødvendigvis er parametriseret ved kurvelængde, men som dog opfylder t I : α (t) 0 kan krumningen udregnes til k(t) = x (t)y (t) x (t)y (t) α (t) 3. Opgave 1.2. Bestem krumningen af alle kurverne i Opgave 1.1.

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 3. og resultatet følger fra [P] Proposition 2.3.1, der siger, at

GEOMETRI-TØ, UGE 3. og resultatet følger fra [P] Proposition 2.3.1, der siger, at GEOMETRI-TØ, UGE 3 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad γ : (α, β) R 2 være en regulær kurve i planen.

Læs mere

Ting man gør med Vektorfunktioner

Ting man gør med Vektorfunktioner Ting man gør med Vektorfunktioner Frank Villa 3. august 13 Dette dokument er en del af MatBog.dk 8-1. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775--9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Om første og anden fundamentalform

Om første og anden fundamentalform Geometri, foråret 2005 Jørgen Larsen 9. marts 2005 Om første og anden fundamentalform 1 Tangentrummet; første fundamentalform Vi betragter en flade S parametriseret med σ. Lad P = σu 0, v 0 være et punkt

Læs mere

GAUSS-BONNET HANS PLESNER JAKOBSEN

GAUSS-BONNET HANS PLESNER JAKOBSEN GAUSS-BONNET HANS PLESNER JAKOBSEN.. Indledning. En af de mest fundamentale sætninger i geometri er Thales Sætning, der siger, at vinkelsummen i en trekant er lig med π. Generalisationen af denne sætning

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

Lidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet

Lidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet Lidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet Jesper Møller og Rasmus P. Waagepetersen, Institut for Matematiske Fag, Aalborg Universitet September 3, 2003 1 Indledning Dette notesæt giver en oversigt

Læs mere

Delmængder af Rummet

Delmængder af Rummet Delmængder af Rummet Frank Villa 15. maj 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

8 Regulære flader i R 3

8 Regulære flader i R 3 8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således

Læs mere

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen

Læs mere

Delmængder af Rummet

Delmængder af Rummet Delmængder af Rummet Frank Villa 4. marts 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Matematik F2 Opgavesæt 2

Matematik F2 Opgavesæt 2 Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.

Læs mere

Idenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig

Idenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig Analyse : Eulers formel Sebastian rsted 9. maj 015 Idenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig for øje, hvor de matematiske resultater kommer fra, og hvad de baseres på;

Læs mere

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.

Læs mere

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår

Læs mere

Kræfter og Arbejde. Frank Nasser. 21. april 2011

Kræfter og Arbejde. Frank Nasser. 21. april 2011 Kræfter og Arbejde Frank Nasser 21. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016

Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016 Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2018

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2018 Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Juni 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 9. november 25 Divergens af et vektorfelt [Sektion 9.8 og.7 i bogen, s. 43]. Definition af og og egenskaber for divergens Lad

Læs mere

Kortprojektioner L mm Analytisk beskrivelse af egenskaber ved kort Første fundamentalform og forvanskninger.

Kortprojektioner L mm Analytisk beskrivelse af egenskaber ved kort Første fundamentalform og forvanskninger. Kortprojektioner L4 2016 2.mm Analytisk beskrivelse af egenskaber ved kort Første fundamentalform og forvanskninger. Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet L4 April 2016 Lisbeth

Læs mere

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen

Læs mere

Vektorfelter. enote Vektorfelter

Vektorfelter. enote Vektorfelter enote 24 1 enote 24 Vektorfelter I enote 6 indføres og studeres vektorer i plan og rum. I enote 16 ser vi på gradienterne for funktioner f (x, y) af to variable. Et gradientvektorfelt for en funktion af

Læs mere

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår

Læs mere

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018 Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 18 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 2017

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 2017 Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 17 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r))

GEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r)) GEOMETRI-TØ, UGE 12 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1, [P] 632 Vis at Ennepers flade σ(u, v) = ( u u 3 /3

Læs mere

Eksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 5.

Eksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 5. Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 5. januar 08 Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.

Læs mere

Funktioner af to variable

Funktioner af to variable enote 15 1 enote 15 Funktioner af to variable I denne og i de efterfølgende enoter vil vi udvide funktionsbegrebet til at omfatte reelle funktioner af flere variable; vi starter udvidelsen med 2 variable,

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Vektorfunktioner. (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

Vektorfunktioner. (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Vektorfunktioner (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse VEKTORFUNKTIONER... Centrale begreber... Cirkler... 5 Epicykler... 7 Snurretoppen... 9 Ellipser... 1 Parabler...

Læs mere

Gradienter og tangentplaner

Gradienter og tangentplaner enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 11. Opvarmningsopgave 2, [P] 6.1.1 (i,ii,iv). Udregn første fundamentalform af følgende flader

GEOMETRI-TØ, UGE 11. Opvarmningsopgave 2, [P] 6.1.1 (i,ii,iv). Udregn første fundamentalform af følgende flader GEOMETRI-TØ, UGE Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave, [P] 5... Find parametriseringer af de kvadratiske flader

Læs mere

Vektorfelter langs kurver

Vektorfelter langs kurver enote 25 1 enote 25 Vektorfelter langs kurver I enote 24 dyrkes de indledende overvejelser om vektorfelter. I denne enote vil vi se på vektorfelternes værdier langs kurver og benytte metoder fra enote

Læs mere

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår

Læs mere

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår

Læs mere

Reeksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 17.

Reeksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 17. Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 17. februar 2017 Dette eksamenssæt består af 11 nummererede sider med

Læs mere

Supplement til Matematik 1GB. Jan Philip Solovej

Supplement til Matematik 1GB. Jan Philip Solovej Supplement til Matematik 1GB Jan Philip Solovej ii c 2001 Jan Philip Solovej, Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet. Alle har tilladelse til at reproducere hele eller dele af dette materiale

Læs mere

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår

Læs mere

Hans J. Munkholm: En besvarelse af

Hans J. Munkholm: En besvarelse af Hans J. Munkholm: En besvarelse af Projekt for MM501, Lineære differentialligninger November-december 2009 Nummererede formler fra opgaveformuleringen Her samles alle opgavens differentialligninger og

Læs mere

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår

Læs mere

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2017

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2017 Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 12. Juni 2017 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Differentiation af Trigonometriske Funktioner

Differentiation af Trigonometriske Funktioner Differentiation af Trigonometriske Funktioner Frank Villa 15. oktober 01 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-01. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene

Læs mere

Grafisk bestemmelse - fortsat Støttepunkter. Grafisk bestemmelse y. giver grafen. Niveaukurver og retning u = ( 1

Grafisk bestemmelse - fortsat Støttepunkter. Grafisk bestemmelse y. giver grafen. Niveaukurver og retning u = ( 1 Oversigt [S]. Nøgleord og begreber Retningsafledt Gradientvektor Gradient i flere variable Fortolkning af gradientvektoren Agst, opgave 5 Delvis afledt [S]. Directional derivatives and te... Definition

Læs mere

Eksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 3.

Eksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 3. Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. januar 7 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger

Læs mere

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation

Læs mere

Matematik A. Højere teknisk eksamen. Forberedelsesmateriale. htx112-mat/a-26082011

Matematik A. Højere teknisk eksamen. Forberedelsesmateriale. htx112-mat/a-26082011 Matematik A Højere teknisk eksamen Forberedelsesmateriale htx112-mat/a-26082011 Fredag den 26. august 2011 Forord Forberedelsesmateriale til prøverne i matematik A Der er afsat 10 timer på 2 dage til

Læs mere

Eksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet. 6.

Eksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet. 6. Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet 6. juni 16 Dette eksamenssæt består af 1 nummererede sider med 14 afkrydsningsopgaver.

Læs mere

Kurve- og plan-integraler

Kurve- og plan-integraler enote 22 1 enote 22 Kurve- og plan-integraler Vi vil her med udgangspunkt i de metoder og resultater der er opstillet i enote 21 vise, hvordan Riemann-integralerne derfra kan benyttes til blandt andet

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Supplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo

Supplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo SO 1 Supplerende opgaver De efterfølgende opgaver er supplerende opgaver til brug for undervisningen i Matematik for geologer. De er forfattet af Hans Jørgen Beck. Opgaverne falder i fire samlinger: Den

Læs mere

Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder.

Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder. 2. Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder. 2.1 I Figur 1.1 i kapitel 1 er der vist et ideelt Kartesiske eller Euklidiske koordinatsystem, med koordinater ( X, Y, Z) = ( X 1, X 2, X

Læs mere

DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til.

DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til. DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL 13 INSTITUT FOR MATEMATIK 1. Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til. 2. Aktiviteter mandag 13 17 2.1.

Læs mere

Reeksamen i Calculus

Reeksamen i Calculus Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. februar 08 Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.

Læs mere

Vektorer og lineær regression

Vektorer og lineær regression Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden

Læs mere

Kurver i planen og rummet

Kurver i planen og rummet Kurver i planen og rummet John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Kurver i planen og rummet. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. Afsnit 2 er

Læs mere

En sumformel eller to - om interferens

En sumformel eller to - om interferens En sumformel eller to - om interferens - fra borgeleo.dk Vi ønsker - af en eller anden grund - at beregne summen og A x = cos(0) + cos(φ) + cos(φ) + + cos ((n 1)φ) A y = sin (0) + sin(φ) + sin(φ) + + sin

Læs mere

Storcirkelsejlads. Nogle definitioner. Sejlads langs breddeparallel

Storcirkelsejlads. Nogle definitioner. Sejlads langs breddeparallel Storcirkelsejlads Denne note er et udvidet tillæg til kapitlet om sfærisk geometri i TRIPs atematik højniveau 1, ved Erik Vestergaard. Nogle definitioner I dette afsnit skal vi se på forskellige aspekter

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Januar 2019

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Januar 2019 Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Januar 19 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Differentialligninger. Ib Michelsen

Differentialligninger. Ib Michelsen Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale STUDENTEREKSAMEN SOMMERTERMIN 13 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til de skriftlige prøver sommertermin 13 st131-matn/a-6513 Forberedelsesmateriale

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 35-del 1, 2010 Redigeret af Jessica Carter efter udgave af Hans J. Munkholm 1 Nogle talmængder s. 4 N = {1,2,3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z =

Læs mere

Afstandsformlen og Cirklens Ligning

Afstandsformlen og Cirklens Ligning Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.

Læs mere

Epistel E2 Partiel differentiation

Epistel E2 Partiel differentiation Epistel E2 Partiel differentiation Benny Lautrup 19 februar 24 Funktioner af flere variable kan differentieres efter hver enkelt, med de øvrige variable fasthol Definitionen er f(x, y) x f(x, y) f(x +

Læs mere

Eksamen i Mat F, april 2006

Eksamen i Mat F, april 2006 Eksamen i Mat F, april 26 Opgave Lad F være et vektorfelt, givet i retvinklede koordinater som: Udregn F og F: F x F = F x i + F y j + F z k = F y = z 2 F z xz y 2 F = F x + F y + F z = + + x. F = F z

Læs mere

2.9. Dette er en god simpel projektion for områder nær Ækvator. Hvad er den inverse afbildning, f -1?

2.9. Dette er en god simpel projektion for områder nær Ækvator. Hvad er den inverse afbildning, f -1? 2.9 2.4 Kortprojektioner og kort. Den matematiske baggrund for kortprojektioner er differentialgeometri. Det basale begreb her er mangfoldighed, dvs. om ethvert punkt ligger en omegn, der ligner en del

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over. Opsamling Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.. Brøkregning, parentesregneregler, kvadratsætningerne, potensregneregler og reduktion Udregn nedenstående

Læs mere

Elementær Matematik. Trigonometriske Funktioner

Elementær Matematik. Trigonometriske Funktioner Elementær Matematik Trigonometriske Funktioner Ole Witt-Hansen Indhold. Gradtal og radiantal.... sin x, cos x og tan x... 3. Trigonometriske ligninger...3 4. Trigonometriske uligheder...5 5. Harmoniske

Læs mere

Vi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge.

Vi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge. Cykloider Vi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge Retningspunkt (repetition) Figur 1 viser enhedscirklen Det viste punkt P er anbragt sådan at den øverste af buerne

Læs mere

Analytisk plangeometri 1

Analytisk plangeometri 1 1 Analytisk plangeometri 1 Kære 1. x, Vi begynder dag vores forløb om analytisk plangeometri. Dette bliver en udvidelse af ting i allerede kender til, så noget ved I i forvejen, mens andet bliver helt

Læs mere

Kom i gang-opgaver til differentialregning

Kom i gang-opgaver til differentialregning Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke

Læs mere

Matematik A 5 timers skriftlig prøve

Matematik A 5 timers skriftlig prøve Højere Teknisk Eksamen august 2009 HTX092-MAA Matematik A 5 timers skriftlig prøve Undervisningsministeriet Fredag den 28. august 2009 kl. 9.00-14.00 Side 1 af 9 sider Matematik A 2009 Prøvens varighed

Læs mere

Gamle eksamensopgaver (DOK)

Gamle eksamensopgaver (DOK) EO 1 Gamle eksamensopgaver ) Opgave 1. sommer 1994, opgave 1) a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen x 6x + 9x =. b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen Opgave 2.

Læs mere

Matematik A. Højere teknisk eksamen

Matematik A. Højere teknisk eksamen Matematik A Højere teknisk eksamen Matematik A 215 Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladte. Opgavebesvarelsen skal afleveres renskrevet, det er tilladt at skrive med blyant. Notatpapir

Læs mere

Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010

Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010 Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 Parameterkurver Vi har tidligere set på en linjes parameterfremstilling, feks af typen: 1 OP = t +, hvor t R, og hvor OP er stedvektor

Læs mere

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit

Læs mere

Sfærisk Geometri. Ikast Ib Michelsen

Sfærisk Geometri. Ikast Ib Michelsen Sfærisk Geometri Ikast 2018 Ib Michelsen Ib Michelsen Matematik A: Sfærisk Geometri Sidst ændret: 25-11-2018 Udskrevet: C:\Users\IbM\Dropbox\3uy\SfGe\SG0.odt 12 sider Indholdsfortegnelse Indledning...4

Læs mere

Besvarelser til Calculus Reeksamen August 2017

Besvarelser til Calculus Reeksamen August 2017 Besvarelser til Calculus Reeksamen -. August 7 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende til opgave

Læs mere

Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 2016

Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 2016 Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har

Læs mere

Danske besvarelser af udvalgte opgaver.

Danske besvarelser af udvalgte opgaver. IMFUFA, INM Carsten Lunde Petersen Danske besvarelser af udvalgte opgaver. Introduction Forslag til besvarelse af udvalgte opgaver. Opgave 7.9: Vis, at en ikke plan glat kurve α : I R 3 i rummet forløber

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal

Læs mere

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014 Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning

Læs mere

Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel

Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel Arne Jensen c 23 1 Introduktion I disse noter formulerer og beviser vi Taylors formel. Den spiller en vigtig rolle ved teoretiske overvejelser, og også

Læs mere

Reeksamen i Calculus

Reeksamen i Calculus Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet 9. august 6 Dette eksamenssæt består af nummererede sider med 4 afkrydsningsopgaver.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin august 2015 maj 2016 Institution Rybners Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik A Steffen Podlech 3F Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Titel 1

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere