12.1 Cayley-Hamilton-Sætningen
|
|
- Alexander Ludvigsen
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 SEKTION 12.1 CAYLEY-HAMILTON-SÆTNINGEN 12.1 Cayley-Hamilton-Sætningen Sætning (Cayley-Hamilton) Lad A Mat n,n (C). Så gælder p A (A) =. Sætningen gælder faktisk over et vilkårligt legeme, men vi viser det ikke her. Lad nu λ 1,..., λ n C være A s egenværdier, talt med multiplicitet. Så er så sætningen kan omformuleres: Sætning p A (λ) = ( 1) n (λ λ 1 )... (λ λ n ) Lad A Mat n,n (C) have egenværdier λ 1,..., λ n C talt med multiplicitet. Så er (A λ 1 )(A λ 2 )... (A λ n )=. Vi viser dette først for en øvretriangulær matrix: Proposition Lad T Mat n,n (F) være øvretriangulær, lad λ 1,..., λ n være T s diagonalindgange. Så er (T λ 1 )(T λ 2 )... (T λ n )=. Vi benytter induktion over n. Når n =1er T =[λ 1 ] og T λ 1 =[λ 1 ] λ 1 [1] =. Antag så, at resultatet gælder for øvretriangulære matricer i Mat, (F), og at T er som i hypotesen. Vi kan skrive [ ] λ1 b T = C hvor b Mat 1, (C) og C Mat, (C) er øvretriangulær med diagonalindgange λ 2,..., λ n. Vi har [ ] b T λ 1 = C λ 1 og [ ][ b λ1 λ (T λ 1 )(T λ 2 )= 2 b C λ 1 I C λ 2 [ ] b(c λ2 ) =. (C λ 1 )(C λ 2 ) ] 218
2 SEKTION 12.1 CAYLEY-HAMILTON-SÆTNINGEN, fortsat På samme måde fås (T λ 1 )(T λ 2 )(T λ 3 ) b(c λ 2 )(C λ 3 ) = (C λ 1 )(C λ 2 )(C λ 3 ),. (T λ 1 )... (T λ n ) b(c λ 2 )... (C λ n ) = (C λ 1 )(C λ 2 )... (C λ n ). Induktionshypotesen giver, at (C λ 2 )... (C λ n ) =, så (T λ 1 )... (T λ n )=. Induktionsskridtet er taget, og resultatet dermed bevist. for Sætning Ifølge Schurs sætning findes der en unitær matrix U Mat n,n (C) så U T AU = T, en øvretriangulær matrix med A s egenværdier λ 1,..., λ n som diagonalindgange. Proposition giver så, at Da U T AU λ i = U T (A λ i )U fås så (U T AU λ 1 )(U T AU λ 2 )... (U T AU λ n )=. U T (A λ 1 )U U T (A λ 2 )U... U T (A λ n )U =, U T (A λ 1 )(A λ 2 )... (A λ n )U =, fordi UU T =. Gang fra venstre med U, og fra højre med U T : (A λ 1 )(A λ 2 )... (A λ n )=. 219
3 SEKTION 12.1 CAYLEY-HAMILTON-SÆTNINGEN Korollar Lad A Mat n,n (C); og lad p være et komplekst polynomium. Der findes et polynomium q af grad <nså p(a) =q(a). Vi vil vise, at hvis P er et komplekst polynomium af grad n, så findes der et polynomium Q af grad mindre end P så P (A) =Q(A); resten følger iterativt. Antag, at P (x) =a k x k a, hvor k n, og lad Så er grad Q k 1, og Q = P ( 1) n a k x k n p A. Q(A) =P (A) ( 1) k a k A k n p A (A) =P (A). 22
4 12.2 Matrix-eksponentialet og lineære differentialligninger Sætning Lad A Mat n,n (C). Der findes en differentiabel matrix-funktion t exp(ta) :R Mat n,n (C) således at exp(a) = og d (exp(ta)) = A exp(ta); dt og denne funktion er entydigt bestemt af disse betingelser. Det påstås i [L] (s. 338), at denne funktion eksisterer, og er givet som summen af matrixrækken + ta + t2 2! A Der skal dog bruges nogle dybere resultater fra matematisk analyse for at vise, at rækken konvergerer. Fremgangsmåden er heller ikke særligt praktisk, fordi rækkens sum er ikke nem at beregne direkte (med mindre A er diagonaliserbar, se [L], s.337). Her er et andet argument, som bruger Cayley-Hamilton-sætningen og kun helt elementær analyse. Sætning (Putzers algoritme) Lad A Mat n,n (C); lad λ 1,..., λ n være egenværdierne for A, talt med multiplicitet. Lad P =, og, for k =1,..., n, P k = k j=1 (A λ j ); og definer Q(t) = r k+1 (t)p k, k= hvor r 1 (t) =e λ1t, og r k er induktivt defineret, for k =2,..., n, ved r k (t) =e λ kt e λ ks r k 1 (s) ds. Så gælder, at Q() = og Q (t) =AQ(t) =Q(t)A. Vi ser, at r 1 () = 1 og r k () = for k =2,..., n, så Q() = P =. Det er klart, at A kommuterer med A λ i for i = 1,..., n, så den kommuterer med P,..., P og så med Q(t); altså AQ(t) =Q(t)A. Vi har, for k>1, at r k(t) =λ k e λ kt = λ k r k (t)+r k 1 (t); e λ ks r k 1 (s) ds + e λ kt e λ kt r k 1 (t) ved at definere r (t) til at være identisk gælder dette også når k =1. 221
5 , fortsat Vi har da Q (t) = r k+1(t) P k k= ( = λk+1 r k+1 (t)+r k (t) ) P k, k= så Q ( ) (t) AQ(t) = rk+1 (t)(λ k+1 P k AP k )+r k (t) P k k= ( ) = rk+1 (t)(a λ k+1 )P k + r k (t) P k k= ( ) = rk+1 (t) P k+1 + r k (t) P k k= = r n (t) P n =, fordi ( 1) n P n = p A (A), som er ifølge Cauchy-Hamilton-sætningen. et er fuldført. Addendum Lad R : R Mat n,n (C) tilfredsstille, at R() = og R (t) =AR(t). Så er R = Q. Vi beregner d dt (Q( t)r(t)) = Q ( t)r(t)+q( t)r (t) = (Q( t)a)r(t)+ Q( t)(ar(t)) = ; så Q( t)r(t) er konstant, så lig med, som er dens værdi når t =. Dette gælder også når R = Q; så Q(t) er invertibel, med invers Q( t). Vi får derfor som ønsket. Q(t) = Q(t) = Q(t)(Q( t)r(t)) = (Q(t)Q( t))r(t) = R(t) = R(t), Putzers algoritme og addendummet viser Sætning
6 Korollar Lad A Mat n,n (C), v C n. Ligningen y = Ay har en entydig løsning x : R C n med x() = v, givet ved x(t) = exp(ta)v. Vi beregner x (t) = d dt (exp(ta)v) = A exp(ta)v = Ax(t); da x() = v = v er x en løsning med den ønskede -værdi. Lad z være en anden løsning med z() = v. Vi beregner d dt (exp( ta)z(t)) = A exp( ta)z(t) + exp( ta)z (t) = A exp( ta)z(t) + exp( ta)az(t) = fordi A og exp( ta) (som er Q( t) fra Proposition og Addendum ) kommuterer. Så exp( ta)z(t) er konstant, så lig med v, dens værdi når t =. Vi har da og entydigheden er også vist. z(t) = exp(ta) exp( ta)z(t) = exp(ta)v = x(t), 223
7 Putzers algoritme giver en ret effektiv metode til at beregne exp(ta). Eksempel Lad 1 A = Vi beregner exp(ta). Det karakteriske polynomium er λ 1 p A (λ) = det λ λ [ ] [ ] λ 1 1 = λ det det 3 3 λ 1 3 λ så λ 1 = λ 2 = λ 3 =1. Vi beregner = λ( λ(3 λ) + 3) + 1 = 1 3λ +3λ 2 λ 3 = (1 λ) 3 ; r 1 (t) =e t, r 2 (t) =e t e s e s ds = e t 1 ds = te t, r 3 (t) =e t e s se s ds = e t s ds = 1 2 t2 e t ; så Da fås exp(ta) =e t + te t (A )+ 1 2 t2 (A ) 2 = e t ( + t(a )+ 1 2 t2 (A ) 2 ) A = 1 1, (A ) 2 = t + 1 exp(ta) =e t 2 t2 t t t2 1 2 t2 1 t t 2 t t2. t t2 3t t 2 1+2t t2 Det centrale i Putzers algoritme ses at være beregning af funktionerne r k, en beregning som er uafhængig af andet end λ 1,..., λ n. 224
8 Proposition Lad værdierne af λ 1,..., λ k være de p tal µ 1,..., µ p, som optræder i listen af λ i erne med multipliciteter k 1,..., k p. r k (t) er da en lineær kombination af de k funktioner t m e µjt, m<k j, 1 j p. Vi argumenterer induktivt over k. Når k =1gælder påstanden, idet r 1 (t) =e λ1t = e µ1t. Antag nu induktivt, at påstanden gælder for r k 1 (t). Så er r k (t) en lineær kombination af funktionerne f jm (t) =e λ kt s m e (µj λ k)s ds, m (k 1) j, j p. Det er derfor nok at vise, at hver af disse funktioner er en lineær kombination af t m e µjt, m<k j, 1 j p. Hvis λ k = µ j, så k j =(k 1) j +1, er f jm (t) =e µjt s m ds = 1 m +1 tm+1 e µjt, og m +1< (k 1) j + 1 = k j, så f jm (t) har den ønskede form. Hvis λ k µ j, så k j =(k 1) j, er sm e (µj λk)s ds en lineær kombination af den konstante funktion 1 og t r e (µj λk)t, r m, et resultat der følger ved gentagen delvis integration, eller af formlen ( t s m e as ds = m! m ) (at) r a m+1 e at 1 r! med a = λ k µ j. Så f jm (t) er en lineær kombination af funktionerne e λ kt og t r e µjt, r m. Da λ k = µ q for et q mellem 1 og p (q j), er k q >. Vi har også r m (k 1) j = k j. Så f jm (t) har den ønskede form også i dette tilfælde. Den induktive skridt er taget, og beviset er fuldført. r= Dette resultat indikerer, at potenser af t vil optræde i Putzer-beregningen af exp(ta) så snart der er egenværdier med algebraisk multiplicitet større end 1. På den anden side, betragt diagonaliserbar A Mat n,n (C). Så findes der en invertibel matrix V så A = V diag(λ 1,..., λ n )V 1, og vi har tidligere set, at exp(ta) =V diag(e λ1t,..., e λnt )V 1, lige meget hvilke multipliciteter A s egenværdier λ 1,..., λ n har. De potenser af t, der kunne vise sig undervejs i Putzer-beregningen må derfor på snedig vis forsvinde til sidst! Man kan også arrangere beregningerne så de ikke optræder overhovedet. Det er ikke svært at se, at hvis µ 1,..., µ p er de forskellige værdier taget af λ 1,..., λ n, så er (A µ 1 I)... (A µ p I)=. Altså, hvis vi ordner egenværdierne for A med µ 1,..., µ p først og gentagelsene senere, så vil Putzer-beregningen slutte efter p skridt (fordi =P p = P p+1 =...), uden at potenser af t optræder i r 1 (t),..., r p (t). Mere generelt, hvis λ er en egenværdi for B Mat n,n (C), så kan t m e λt optræde i exp(tb) kun hvis m Alg(λ) Geo(λ), men det kan vi ikke vise her. 225
9 Lad os nu betragte differentialligningen y (n) + p y () + + p 1 y + p y = ( ) hvor p,..., p C og y (r) er y s r te afledede; vi vil ofte også bruger denne notation med r =1 (y (1) = y ) og r =(y () = y). En løsning til denne ligning er en n gange differentiable funktion f : R C således, at f (n) (t)+p f () (t)+ + p 1 f (t)+p y(t) =for alle t R. Det er nemt at se, at løsningsmængden L er et underrum af C n (R, C), rummet af n gange differentiable funktioner. Proposition Lad A være n n-matricen p p 1 p 2... p ; og lad [f (t),f 1 (t),..., f (t)] være den første række i exp(ta). 1. f,..., f er løsninger til ligningen ( ), som tilfredstiller, for i, j n 1, at f (j) i () er 1 hvis i = j, og hvis i j. 2. {f,..., f } er en basis for løsningsmængden L for ( ). 1. En vektor-funktion G : R C n med komponenter g,g 1,..., g er en løsning til ligningen y = Ay hvis og kun hvis g (t) =g 1 (t), g 1(t) =g 2 (t),..., g n 2(t) =g (t), og så hvis og kun hvis g (t) = p g (t)... p g (t), og g 1 (t) =g (1) (t), g 2(t) =g (2) (t),., g (t) =g () (t), g (n) (t) = p g (t)... p g () ; dvs. hvis og kun hvis G s første komponent g er en løsning til ( ) og de resterende komponenter er afledede af g, g r = g (r) for r =1,..., n
10 , fortsat Lad nu i n 1. Ifølge Korollar er exp(ta)e i+1 løsningen til y = Ay med -værdi e i+1 ; så dens første komponent-funktion f i er en løsning til ( ) og Sættes t =fås f i (t) f (1) i (t) exp(ta)e i+1 =.. f () i (t) e i+1 = f i () f (1) i (). f () i (), så f (j) i () er 1 hvis i = j, og hvis i j, som påstået. 2. Lad g L, løsningmængden for ( ). Ifølge det ovenstående er en løsning G til x = Ax givet ved g g (1) G =.. g () Ifølge Korollar er G(t) = exp(ta)g(), så har første indgang g()f (t)+g (1) ()f 1 (t) g () ()f (t). Så og f,f 1,..., f udspænder L. g = g()f + g (1) ()f g () ()f ; Antag nu, at der findes a,a 1,..., a C så a f + a 1 f a f =. Lad j n 1. Ved at differentiere j gange, og evaluere derefter i, fås a f (j) () + a 1f (j) 1 () + + a f (j) () =. Da f (j) i () er 1 hvis i = j, og hvis i j, giver dette a j =. Så f,f 1,..., f er lineært uafhængige. Vi har vist, at {f,f 1,..., f } er en basis for L, som ønsket. En egentlig beregning af løsninger til ( ) i konkrete eksempler kræver egenværdier. 227
11 Lemma Lad A Mat n,n (C) være matricen p p 1 p 2... p Så er p A (λ) =( 1) n (λ n + p λ p 1 λ + p ).. Minormatricen M(A λ ) ni har blokform [ ] Pi 1 Q n i hvor λ 1... λ... P i 1 =.... λ 1... λ er en (i 1) (i 1) øvre-trekants matrix med λ i diagonalindgangene, og 1... λ 1... Q n i = λ 1 er en (n i) (n i) nedre-trekants matrix med 1 i diagonalindgangene. Så det(m(a λ ) ni ) = det(p i 1 ) det(q n i ) = ( λ) i 1 og, ved at udvikle langs n te række af A λ, fås som påstået. p A (λ) = det(a λ ) = ( 1) n+i ( p i 1 )( λ) i 1 +( 1) 2n ( p λ)( λ) i=1 =( 1) n (λ n + p λ p 1 λ + p ), 228
12 Sætning Lad p,p 1,..., p C; og lad µ 1,..., µ p C være de forskellige rødder for polynomiet λ n + p λ p 1 λ + p, med respektive multipliciteter n 1,..., n p (så n n p = n). De n funktioner g mi : R C givet ved g mi (t) =t m e µit for m<n i, 1 i p, udgør da en basis for løsningsrummet L til differentialligningen y (n) + p y () p 1 y + p y =. ( ) Lad A Mat n,n (C) være matricen fra Proposition og Lemma Ifølge Lemma er µ 1,..., µ p de forskellige egenværdier for A, med respektive algebraiske multipliciteter n 1,..., n p. Ifølge Sætning og Proposition er indgangene i exp(ta) da lineære kombinationer af g mi (t), m < n i, 1 i p. Dette gælder specielt for indgangene i den første række, dvs. for f (t),f 1 (t),..., f (t), hvor f,f 1,..., f er basis en for L fundet i Proposition ; så f,f 1,..., f er lineære kombinationer af g mi, m<n i, 1 i p. Lad L = Span(g mi : m < n i, 1 i p). Da L er udspændt af n elementer er dim(l ) n. Vi har set ovenfor, at f,f 1,..., f L. Men de n funktioner f,f 1,..., f er uafhængige, så dim(l )=n, og {f,f 1,..., f } er en basis for L. Men så er L = Span(f,f 1,..., f )=L. L er derfor udspændt af de n funktioner g mi, m < n i, 1 i p; da dim(l) =n må disse da være en basis for L. Notation Polynomiet p givet ved p(λ) =λ n + p λ p 1 λ + p kaldes det karakterisktiske polynomium af differentialligningen y (n) + p y () p 1 y + p y =. 229
13 Eksempel Vi vil finde løsningen f : R C til differentialligningen y (4) 8y (2) + 16y = med f() = f (1) () = f (2) () =, f (3) () = 32. Det karakteriske polynomium er λ 4 8λ = (λ 2 4) 2 =(λ 2) 2 (λ + 2) 2 ; så rødderne er 2 og 2, begge med multiplicitet 2, og f(t) er derfor en lineær kombination af e 2t, te 2t,e 2t og te 2t ; vi skriver med a, b, c, d C. Vi differentierer tre gange: Nu sættes t =: f(t) =ae 2t + bte 2t + ce 2t + dte 2t, f (t) =a(2e 2t )+b(2te 2t + e 2t )+c( 2e 2t )+d( 2te 2t + e 2t ), f (t) =a(4e 2t )+b(4te 2t +4e 2t )+c(4e 2t )+d(4te 2t 4e 2t ), f (t) =a(8e 2t )+b(8te 2t + 12e 2t )+c( 8e 2t )+d( 8te 2t + 12e 2t ). =f() = a + c, =f () = 2a + b 2c + d, =f () = 4a +4b +4c 4d, 32 =f () = 8a + 12b 8c + 12d. Ligningssystemet løses ved rækkereduktion: så a = 1, b=2,c=1,d=2, og f(t) =e 2t ( 1+2t)+e 2t (1 + 2t)., 23
DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II
DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II Preben Alsholm Efterår 21 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden Lineært differentialligningssystem
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
Læs mereLineær Algebra F08, MØ
Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder
Læs mereEgenværdier og egenvektorer
1 Egenværdier og egenvektorer 2 Definition Lad A være en n n matrix. En vektor v R n, v 0, kaldes en egenvektor for A, hvis der findes en skalar λ således Av = λv Skalaren λ kaldes en tilhørende egenværdi.
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote 7 enote 7 Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses Der bruges egenværdier og egenvektorer i løsningsproceduren,
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
Læs mere3.1 Baser og dimension
SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V
Læs mere9.1 Egenværdier og egenvektorer
SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der
Læs mereLineær Algebra eksamen, noter
Lineær Algebra eksamen, noter Stig Døssing, 20094584 June 6, 2011 1 Emne 1: Løsninger og least squares - Løsning, ligningssystem RREF (ERO) løsninger Bevis at RREF matrix findes Løsninger til system (0,
Læs mereNoter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.
Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra
Læs mereLineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering
Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Egenvektorer og egenværdier Mål: Forståelse af afbildningen x Ax fra R n R n for en n n-matrix
Læs mereNøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Læs mereDiagonalisering. Definition (diagonaliserbar)
1 Diagonalisering 2 Definition (diagonaliserbar) Lad A være en n n-matrix. A siges at være diagonaliserbar hvis A er similær med en diagonal matrix, dvs. A = PDP 1, hvor D er en n n diagonal matrix og
Læs mere4.1 Lineære Transformationer
SEKTION 41 LINEÆRE TRANSFORMATIONER 41 Lineære Transformationer Definition 411 ([L], s 175) Lad V, W være F-vektorrum En lineær transformation L : V W er en afbildning, som respekterer lineær struktur,
Læs mereOversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Læs mereDesignMat Uge 4 Systemer af lineære differentialligninger I
DesignMat Uge Systemer af lineære differentialligninger I Preben Alsholm Efterår 008 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden I Lineært differentialligningssystem
Læs mereDen homogene ligning. Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning. d n y dt n. an 1 + any = 0 (1.2) dt. + a1 d n 1 y dt n 1
1/7 Den homogene ligning Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning a 0 d n y dt n + a1 d n 1 y dt n 1 hvor a 0,..., a n R og a 0 0. Vi skriver ligningen på kort form som + + dy
Læs mereOversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [DL] 1, 2
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [DL] 1, 2 Her skal du lære om Separable ligninger Logistisk ligning og eksponentiel vækst 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens
Læs mereSylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder
Sætning 9 Sylvesters kriterium Nej, ikke mit kriterium Rasmus Sylvester Bryder Inspireret af en statistikers manglende råd om hvornår en kvadratisk matrix er positivt definit uden at skulle ud i at bestemme
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Reeksamen August 2016
Besvarelser til Lineær Algebra Reeksamen - 9. August 26 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mere13.1 Matrixpotenser og den spektrale radius
SEKTION 3 MATRIXPOTENSER OG DEN SPEKTRALE RADIUS 3 Matrixpotenser og den spektrale radius Cayley-Hamilton-sætningen kan anvendes til at beregne matrixpotenser: Proposition 3 (Lasalles algoritme) Lad A
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at
Læs mereModulpakke 3: Lineære Ligningssystemer
Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system
Læs mereChapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning
Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis
Læs mere1.1 Legemer. Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal.
SEKTION 11 LEGEMER 11 Legemer Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal Definition 111 Et legeme F er en mængde udstyret
Læs mereKøbenhavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Forelæsningsnote 8. (NB: Noten er ikke en del af pensum)
Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet Lineær Algebra LinAlg Forelæsningsnote 8 NB: Noten er ikke en del af pensum Eksempel på brug af egenværdier og egenvektorer Måske er det stadig
Læs mereDesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer
DesignMat September 2008 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum
Læs mere6.1 Reelle Indre Produkter
SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER 6.1 Reelle Indre Produkter Definition 6.1.1 Et indre produkt på et reelt vektorrum V er en funktion, : V V R således at, for alle x, y V, I x, x 0 med lighed x = 0, II
Læs mereNøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 14, 15 Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Calculus 2-2005
Læs mereLineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter
enote 13 1 enote 13 Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter I forlængelse af enote 11 og enote 12 om differentialligninger, kommer nu denne enote omkring 2. ordens differentialligninger.
Læs mereSymmetriske og ortogonale matricer Uge 6
Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6 Preben Alsholm Efterår 2010 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Det sædvanlige
Læs mereLineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl
Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Oktober 2016 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan måde,
Læs mereSymmetriske og ortogonale matricer Uge 7
Symmetriske og ortogonale matricer Uge 7 Preben Alsholm Efterår 2009 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Definitioner Definitioner En kvadratisk matrix A = [ a ij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji
Læs mereJ n (λ) = dvs. n n-jordan blokken med λ i diagonalen. Proposition 1.2. For k 0 gælder. nullity (J n (λ) λi) k 1) 1 for 1 k n. n for k n.
. Jordan normalform Målet med dette notat er at vise hvorledes man ud fra en given matrix beregner dens Jordan normalform. Definition.. For n og λ C sættes λ 0... 0. 0 λ... J n λ).......... 0....... λ
Læs mereDesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof
DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +
Læs mereDESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til.
DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL 13 INSTITUT FOR MATEMATIK 1. Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til. 2. Aktiviteter mandag 13 17 2.1.
Læs mereAffine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2
Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016
Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 206 Mikkel Findinge http://findinge.com/ Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan.
Læs mereDefinition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers
Læs mereNøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse
Læs mereTidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra
Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................
Læs mereOversigt [LA] 3, 4, 5
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers
Læs mereNoter til An0 DIFFERENTIALLIGNINGER MED KONSTANTE KOEFFICIENTER
UDKAST 7122009 Noter til An0 Inst f Matematiske Fag Gerd Grubb December 2009 DIFFERENTIALLIGNINGER MED KONSTANTE KOEFFICIENTER 1 Generelle resultater 11 Introduktion I tidligere kurser er der gennemgået
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske tekst på bagsiden, hvis du følger den danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra Første
Læs mereEksempel på 2-timersprøve 2 Løsninger
Eksempel på -timersprøve Løsninger Preben lsholm Februar 4 Opgave Maplekommandoerne expand( (z-*exp(i*pi/))*(z-*exp(-i*pi/))*(z-exp(i*pi/))*(z-exp(-i*pi/))): sort(%); resulterer i polynomiet z 4 z + z
Læs mereSymmetriske matricer
Symmetriske matricer Preben Alsholm 17. november 008 1 Symmetriske matricer 1.1 Definitioner Definitioner En kvadratisk matrix A = a ij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji for alle i og j. Altså hvis A
Læs mereKomplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet
Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N
Læs mereReeksamen i Lineær Algebra. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet
Reeksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. februar 9 kl. 9:-: Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider
Læs mereMat10 eksamensspørgsmål
Mat10 eksamensspørgsmål Martin Geisler 9. januar 2002 Resumé Dette dokument er en gennemgang af de eksamensspørgsmål der blev stillet til den mundtlige eksamen i Mat10, januar 2002
Læs mereOversigt [LA] 10, 11; [S] 9.3
Oversigt [LA] 1, 11; [S] 9.3 Nøgleord og begreber Repetition: enhedsvektor og identitetsmatrix Diagonalmatricer Diagonalisering og egenvektorer Matrixpotens August 22, opgave 2 Skalarprodukt Længde Calculus
Læs mereLineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl
Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl 2. udgave, oktober 207 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan
Læs mereLigningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet
Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet Ligningssystemet Ax = 0 har mere end en løsning (uendelig mange) hvis og kun hvis nullity(a) 0 Løsningerne til et konsistent ligningssystem Ax
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på modsatte side hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra
Læs mereDifferentialligninger Hvad beskriver en differentialligning? Hvordan noget ændrer sig (oftest over tid). Tangenthældninger langs en kurve.
Differentialligninger Hvad beskriver en differentialligning? Hvordan noget ændrer sig (oftest over tid) Tangenthældninger langs en kurve x Retningsfelter x x(t) sin(π t) + x / π cos(π t) Jeppe Revall Frisvad
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereFigur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet
Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer smængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen Enten-eller
Læs mereNøgleord og begreber
Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel
Læs mere8 Regulære flader i R 3
8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således
Læs mereEksamen i Lineær Algebra. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet
Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 4. januar 9 kl. 9:-: Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Juni 28 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereLineær algebra 1. kursusgang
Lineær algebra 1. kursusgang Eksempel, anvendelse To kendte punkter A og B på en linie, to ukendte punkter x 1 og x 2. A x 1 x 2 B Observationer af afstande: fra A til x 1 : b 1 fra x 1 til x 2 : b 2 fra
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2017
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 12. Juni 2017 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereLineær algebra Kursusgang 6
Lineær algebra Kursusgang 6 Mindste kvadraters metode og Cholesky dekomposition Vi ønsker at finde en mindste kvadraters løsning til det (inkonsistente) ligningssystem hvor A er en m n matrix. Ax = b,
Læs mereFørsteordens lineære differentialligninger
enote 16 1 enote 16 Førsteordens lineære differentialligninger I denne enote gives først en kort introduktion til differentialligninger i almindelighed, hvorefter hovedemnet er en særlig type af differentialligninger,
Læs mereOversigt [LA] 11, 12, 13
Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar
Læs mereLineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger
enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.
Læs mereTaylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension
Kapitel 3 Taylors formel 3.1 Klassiske sætninger i en dimension Sætning 3.1 (Rolles sætning) Lad f : [a, b] R være kontinuert, og antag at f er differentiabel i det åbne interval (a, b). Hvis f (a) = f
Læs mereReeksamen i Lineær Algebra
Reeksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. februar 8 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.
Læs mereLotka-Volterra modellen
Lotka-Volterra modellen G4-105 Matematik Aalborg Universitet 20. december 2016 School of Engineering and Science Fredrik Bajers Vej 7G 9220 Aalborg Øst www.ses.aau.dk Titel: Lotka-Volterra modellen Tema:
Læs mereModule 1: Lineære modeller og lineær algebra
Module : Lineære modeller og lineær algebra. Lineære normale modeller og lineær algebra......2 Lineær algebra...................... 6.2. Vektorer i R n................... 6.2.2 Regneregler for vektorrum...........
Læs mereLinAlg 2013 Q3. Tobias Brixen Mark Gottenborg Peder Detlefsen Troels Thorsen Mads Buch 2013
LinAlg 2013 Q3 Tobias Brixen Mark Gottenborg Peder Detlefsen Troels Thorsen Mads Buch 2013 1 Lineær algebra Dispositioner - Dispo 0 2013 Contents 1 Løsninger, og MKL, af lineære ligningssystemer 3 2 Vektorrum
Læs mereIntroduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)
Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer
Læs mereEgenværdier og egenvektorer
enote 9 enote 9 Egenværdier og egenvektorer Denne note indfører begreberne egenværdier og egenvektorer for lineære afbildninger i vilkårlige generelle vektorrum og går derefter i dybden med egenværdier
Læs mere2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010
1 of 7 31-05-2010 13:18 2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010 Welcome Jens Mohr Mortensen [ My Profile ] View Details View Grade Help Quit & Save Feedback: Details Report [PRINT] 2010 Matematik
Læs mereDet Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version
Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version Opgaven består af et antal delopgaver Disse er af varierende omfang Der er også en
Læs mereJeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som
Polynomier, rødder og division Sebastian Ørsted 20. november 2016 Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som de komplekse tal, hvor fokus er på at opbygge værktøjer til
Læs mereLineær Algebra, TØ, hold MA3
Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lad mig allerførst (igen) bemærke at et vi siger: En matrix, matricen, matricer, matricerne. Og i sammensætninger: matrix- fx matrixmultiplikation. Injektivitet og surjektivitet
Læs mereLineær Algebra - Beviser
Lineær Algebra - Beviser Mads Friis 8 oktober 213 1 Lineære afbildninger Jeg vil i denne note forsøge at give et indblik i, hvor kraftfuldt et værktøj matrix-algebra kan være i analyse af lineære funktioner
Læs mereMatrx-vektor produkt Mikkel H. Brynildsen Lineær Algebra
Matrx-vektor produkt [ ] 1 2 3 1 0 2 1 10 4 Rotationsmatrix Sæt A θ = [ ] cosθ sinθ sinθ cosθ At gange vektor v R 2 med A θ svarer til at rotere vektor v med vinkelen θ til vektor w: [ ][ ] [ ] [ ] cosθ
Læs mereOversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
Oversigt [LA], 2, 3, [S] 9.-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis
Læs mereMatricer og lineære ligningssystemer
Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix
Læs mereØlopgaver i lineær algebra
Ølopgaver i lineær algebra 30. maj, 2010 En stor del af de fænomener, vi observerer, er af lineær natur. De naturlige matematiske objekter i beskrivelsen heraf bliver vektorrum rum hvor man kan lægge elementer
Læs mereLiA 5 Side 0. Lineær algebra Kursusgang 5
LiA 5 Side 0 Lineær algebra Kursusgang 5 LiA 5 Side 1 Ved bestemmelse af mindste kvadraters løsning til (store) ligningssystemer vil man gerne anvende en metode der opfylder to krav: antallet af regneoperationer
Læs mereKursusgang 3 Matrixalgebra Repetition
Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem
Læs mereDIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 2003 AARHUS UNIVERSITET
DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 2003 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN INDHOLD. Lineær ligning 2 2. Lineært system 8 3. Generel ligning 6 4. Stabilitet 8 Litteratur 2 Noterne er til 4 timers forelæsninger
Læs mereNote om endelige legemer
Note om endelige legemer Leif K. Jørgensen 1 Legemer af primtalsorden Vi har i Lauritzen afsnit 2.1.1 set følgende: Proposition 1 Lad n være et positivt helt tal. Vi kan da definere en komposition + på
Læs mereBesvarelse af Eksamensopgaver Juni 2005 i Matematik H1
Besvarelse af Eksamensopgaver Juni 5 i Matematik H Opgave De fire vektorer stilles op i en matrix som reduceres: 4 4 4 8 4 4 (a) Der er ledende et-taller så dim U =. Som basis kan f.eks. bruges a a jfr.
Læs mereEksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2
Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel
Læs mereEksempler Determinanten af en kvadratisk matrix. Calculus Uge
Oversigt [LA] 8 Her skal du lære om 1. Helt simple determinanter 2. En udvidelse der vil noget 3. Effektive regneregler 4. Genkend determinant nul 5. Produktreglen 6. Inversreglen 7. Potensreglen 8. Entydig
Læs mereBesvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7
Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 De anførte besvarelser er til dels mere summariske end en god eksamensbesvarelse bør være. Der kan godt være fejl i - jeg vil meget gerne informeres,
Læs mereOm første og anden fundamentalform
Geometri, foråret 2005 Jørgen Larsen 9. marts 2005 Om første og anden fundamentalform 1 Tangentrummet; første fundamentalform Vi betragter en flade S parametriseret med σ. Lad P = σu 0, v 0 være et punkt
Læs mereer en n n-matrix af funktioner
Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19 Ligning og løsning Nøgleord og begreber Eksistens og entdighed Elementære funktioner Eksponential af matrix Retningsfelt Hastighedsfelt for sstem for sstem Stabilitet
Læs mereKursusgang 3 Matrixalgebra Repetition
Kursusgang 3 Repetition - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 16. september 2008 1/19 Betingelser for nonsingularitet af en Matrix
Læs mereMatematik og FormLineære ligningssystemer
Matematik og Form Lineære ligningssystemer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2014 Ligningssystemer og matricer Til et ligningssystem svarer der en totalmatrix [A b] bestående af koefficientmatrix
Læs merex 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet
Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen
Læs mere(Prøve)eksamen i Lineær Algebra
(Prøve)eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt bestaår af 9 nummererede sider med ialt 15 opgaver.
Læs merez 1 = z 1z 1z 1 z 1 2 = z z2z 1 z 2 2
M å l e p u n k t R i e m a n n s k G e o m e t r i E 8 J a ko b L i n d b l a d B l a ava n d 2 5 3 6 7 5 27 oktober 28 I n s t i t u t fo r M at e m at i s k e Fag A a r h u s U n i v e r s i t e t indledning
Læs mereLineær Algebra Dispositioner
Lineær Algebra Dispositioner Michael Lind Mortensen, 20071202, DAT4 12. august 2008 Indhold 1 Løsning og mindste kvadraters løsninger af lineære ligningssystemer 4 1.1 Disposition............................
Læs mere