Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5"

Transkript

1 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at have beskæftiget os med andenordens homogene lineære ODE er med konstante koefficienter, går vi i gang med en bestemt type andenordens homogene lineære ODE er med variable koefficienter, nemlig de såkaldte Euler-Cauchy-ligninger, som er ODE er af typen x 2 y (x + axy (x + by(x = 0, hvor a og b er konstanter. Som før i lignende situationer, prøver vi først ad med en simpel funktion, som ligner koefficienterne, nemlig f(x = x m : x 2 f (x + axf (x + bf(x = x 2 m(m 1x m 2 + axmx m 1 + bx m = x m (m(m 1 + am + b = x m (m 2 + (a 1m + b, som i hvert fald er 0, hvis andengradspolynomiet i m, m 2 + (a 1m + b, er 0. Som i tilfældet med konstante koefficienter skal vi altså betragte tre tilfælde, nemlig to reelle, én reel dobbelt- og to komplekse rødder. Determinanten er d = (a 1 2 4b, så det svarer til: Positiv diskriminant: (a 1 2 4b > 0 og to reelle rødder De to rødder er givet ved m ± = 1 a ± 1 (a b, og to lineært uafhængige løsninger er derfor y + (x = x m 1 og y (x = x m 2. Alle andre løsninger findes således ved linearkombinationer af disse to. 1

2 Diskriminanten er 0: (a 1 2 4b = 0 og én dobbeltrod Dobbeltroden er givet ved m 0 = 1 a 2 som svarer til løsningen y 0 (x = x 1 a 2, og en anden løsning kan nu findes vha. metoden reduktion af orden. Først skal ODE en bringes på standardform (ellers dur formlen ikke: y (x + a x y (x + b x 2 y(x = y (x + a x y (x + (a 12 4x 2 y(x = 0, hvor b = (a 12 4, da determinanten var antaget lig nul. Følger man nu metoden slavisk (og regner rigtigt, kommer man frem til, at u(x = ln x (afhængig af konstantvalg undervejs kan det være, at man i stedet har fået ũ = c 1 u + c 2, men det er ligegyldigt, sålænge c 1 0. Reduktion af orden giver således den af y 0 lineært uafhængige løsning y r (x = ln x x 1 a 2, og alle andre løsninger kan findes som linearkombinationer af y 0 og y r. Negativ diskriminant: (a 1 2 4b < 0 og to komplekse rødder Her er rødderne m ±i = 1 a ± i b 1(a , og skal vi finde en løsning, skal vi således igen til at lege med Eulers formler og være lidt på matematisk tynd is (vi har ikke de rigtige argumenter. Fifler man tilstrækkeligt længe, når man frem til, at ( ( y cos (x = x 1 a 2 cos b 1(a 4 12 ln(x og y sin (x = x 1 a 2 sin b 1(a 4 12 ln(x er to lineært uafhængige løsninger. Det er dog ikke tilfældigt, hvis I ikke har set sin ln eller cos ln før: problemer med disse løsninger optræder sjældent i praksis. 2 Eksistens og entydighed samt konsekvenser heraf [Bogens afsnit 2.6, side 74] 2.1 Eksistens og entydighed for andenordens homogene lineære ODE er Vi så i lektion 3, at der var eksistens og entydighed af løsninger under visse betingelser for førsteordens-ode er. Noget tilsvarende gør sig gældende i tilfældet andenordens homogene lineære differentialligninger y (x + p(xy (x + q(xy(x = 0. (1 Som i førsteordenstilfældet er eksistens- og entydighedssætningerne bundet op på et IVP, dvs. vi skal have fat i en IC som i andenordenstilfældet ser ud som følger: Vi kan nu formulere sætningen: y(x 0 = K 0 og y 0(x 0 = K 1 (2 2

3 Sætning 2.1 (Bogens Theorem 1 på side 74. Hvis koefficientfunktionerne p og q er kontinuerte på det åbne interval I og x 0 I, så eksisterer der netop én løsning til IVP et givet ved (1 og (2. Beviset er udenfor dette kursus afgrænsning. Det er konsekvenserne af sætningen dog ingenlunde, og vi vil om lidt se indtil flere meget vigtige konsekvenser af denne sætning, inkl. sidste lektions påstand om, at når vi havde fundet to lineært uafhængige løsninger, så kan vi finde resten ved linearkombinationer. Vi vil nu vise følgende proposition: Proposition 2.2. To løsninger y 1 og y 2 til ODE en (1 defineret på samme interval I er lineært uafhængige hvis og kun hvis ( ( y1 (x 0 y2 (x y 1(x og 0 0 y 2(x 0 er lineært uafhængige for alle x 0 I. Bevis. Bemærk, at y 0 0 er en løsning for alle homogene, lineære ODE er og linært afhængig af alle andre løsninger. Antag nu, at y 1 og y 2 er to linært uafhængige løsninger til IVP et givet ved (1 og (2, hvor p og q er kontinuerte. Vælg et punkt x 0 I. Vi viser først, at vi ikke kan have y 1 (x 0 = y 2 (x 0 = 0: Påstand 1: y 1 (x 0 og y 2 (x 0 kan ikke samtidigt være 0. Hvis y 1 (x 0 = 0, så er y 1(x 0 0 da vi pr. entydighed ellers havde, at y 1 = y 0, som ikke kan være lineært uafhængig af andre løsninger. Det samme gælder for y 2. Vi har altså, at hvis y 1 (x 0 = y 2 (x 0 = 0, så er y 1(x 0 0 og y 2(x 0 0. Sæt nu a = y 2 (x 0. Så er y 1 (x 0 ay 1 (x 0 = y 2 (x 0 og ay 1(x 0 = y 2(x 0 y 1(x 0 y 1(x 0 = y 2(x 0, og ay 1 og y 2 er pr. entydighed identiske. Dette er i modstrid med antagelserne om uafhængighed. Altså må der være noget i vejen med antagelsen om, at y 1 (x 0 = y 2 (x 0 = 0. Vi kan konkludere, at mindst ét af tallene y 1 (x 0 og y 2 (x 0 er forskelligt fra 0. Om y 1 (x 0 0 eller y 2 (x 0 0 er ligegyldigt, så vi antager, at y 1 (x 0 0 og bytter blot rundt på y 1 og y 2, hvis det ikke er tilfældet. Vi vil nu vise følgende: Påstand 2: Hvis y 1 (x 0 0, så er ay 1 (x 0 = y 2 (x 0 og ay 1(x 0 y 2(x 0 for a = y 2(x 0 y 1 (x 0. Vi ser først at ay 1 (x 0 = y 2(x 0 y 1 (x 0 y 1(x 0 = y 2 (x 0, men hvis vi så har, at ay 1(x 0 = y 2(x 0, så vil ay 1 og y 2 være samme løsning jf. entydigheden. Dette er i modstrid med antagelsen om uafhængighed. Antag nu, at der findes to tal c 1 og c 2, ikke begge lig 0, så ( ( ( y1 (x c 0 y2 (x 1 y 1(x + c y 2(x =. (3 0 0 Specielt er c 1 y 1 (x 0 = c 2 y 2 (x 0. (4 3

4 Påstand I betyder som sagt, at vi kan antage, at y 1 (x 0 0. Men så giver Påstand II os at ac 1 y 1 (x 0 = c 1 y 2 (x 0 = ac 2 y 2 (x 0, så enten er y 2 (x 0 = 0, eller også er a 0 og ac 2 = c 1. Antag først, at y 2 (x 0 = 0. Så giver Påstand I og (4, at c 1 = 0 = a og samtidig, at y 2(x 0 ay 1(x 0 = 0, så (3 kan ikke være opfyldt, med mindre også c 2 = 0, i modstrid med antagelsen. Vi mangler nu kun tilfældet y 2 (x 0 0 hvor altså a 0 og ac 2 = c 1, hvilket kort kan skrives a = c 1 c 2 0 (grundet antagelsen om, at ikke både c 1 og c 2 er 0 giver ac 2 = c 1 og a 0 først, at de begge må være forskellige fra 0, og vi kan herefter dividere med c 2. I dette tilfælde kan (3 reduceres til a ( y1 (x 0 y 1(x + 0 ( y2 (x 0 y 2(x = 0 ( 0, 0 hvilket er i modstrid med Påstand II. Det var den første halvdel af sætningen, nemlig, at lineær uafhængighed af løsningerne medfører lineær uafhængighed af ( y1 (x 0 y 1(x 0 og ( y2 (x 0 y 2(x. (5 0 Anden halvdel af sætningen, nemlig at afhængighed af løsningerne medfører afhængighed af (5 for alle x 0 I, er heldigvis lettere. Antag nu, at y 1 og y 2 er to lineært afhængige løsninger og at c 1 og c 2 er de to tal, ikke begge 0, så c 1 y 1 + c 2 y 2 0. Så er også c 1 y 1 + c 2 y 2 0. Evaluerer vi nu disse to funktionsudtryk i et punkt x 0, så følger det, at også c 1 ( y1 (x 0 y 1 (x 0 + c2 ( y2 (x 0 y 2 (x 0 = ( 00. Da linær uafhængighed af to vektorer i R 2 reducerer til at determinanten af matricen, der har de to vektorer som søjler, er forskellig fra 0, får vi følgende korollar til Proposition 2.2: Korollar 2.3 (Bogens Theorem 2 på side 75. To løsninger y 1 og y 2 til ODE en y + py + qy = 0, hvor p og q er kontinuerte på et åbent interval I, er lineært uafhængige såfremt deres såkaldte Wronskideterminant ( y1 y W (y 1, y 2 = det 2 y 1 y 2 = y 1 y 2 y 2 y 1 er 0 i ét (og dermed alle x 0 I. Omvendt er W (y 1, y 2 0 for afhængige y 1 og y 2. Bemærk, at W (y 1, y 2 er en funktion: W (y 1, y 2 (x = y 1 (xy 2(x y 2 (xy 1(x. Vi er dog så heldige, at enten er den identisk 0, eller også er den aldrig 0. Bevis. Det er stort set bare en omformulering af Proposition 2.2 jf. bemærkningen over korollaret. Vi knytter dog lige en kommentar til dét med, at hvis Wronski-determinanten er forskellig fra 0 i ét punkt x 0, så er den det overalt. Vi konstaterer, at hvis W (y 1, y 2 (x 0 0, så kan vi ikke have, at c 1 y 1 + c 2 y 2 0 med mindre at c 1 = c 2 = 0, fordi vi ellers også ville have, at c 1 y 1 + c 2 y 2 0 og ( y1 (x dermed ville vi specielt have at c 0 1 y 1 (x 0 W (y 1, y 2 (x 0 = 0. + c2 ( y2 (x 0 y 2 (x 0 = ( 00. Og hvis dette er tilfældet, så er også Vi er slet ikke færdige med at drage konklusioner af Proposition 2.2 og Sætning 2.1: 4

5 Korollar 2.4 (Bogens Theorem 3 og 4 på side 77 og 78. Hvis p og q er kontinuerte på det åbne interval I, så har ODE en y + py + qy = 0 to lineært uafhængige løsninger y 1 og y 2 defineret på I. Hvis y 1 og y 2 er lineært uafhængige løsninger på I, så kan alle andre løsninger kan skrives på formen Ydermere er alle y på ovenstående form en løsning. y = c 1 y 1 + c 2 y 2. Bevis. Vi begynder nedefra med at konstatere, at vi allerede sidste gang så, at løsningsrummet er lukket under linearkombinationer, hvilket medfører sidste linje i korollaret. At vi kan finde to lineært uafhængige løsninger, følger af entydighedssætningen, hvor vi vælger et x 0 og begyndelsesbetingelserne y 1 (x 0 = 1 og y 1(x 0 = 0 samt y 2 (x 0 = 0 og y 2(x 0 = 1, som giver Wronski-determinanten W (y 1, y 2 (x 0 = 1 0. Lad y 1 og y 2 være tilfældige, lineært uafhængige løsninger og y en vilkårlig løsning, vi gerne vil skrive på formen y = c 1 y 1 + c 2 y 2. Vi skal blot løse følgende lineære ligningssystem i variablene c 1 og c 2 ( y1 (x 0 y 2 (x 0 y 1(x 0 y 2(x 0 ( c1 = c 2 ( y(x0 y (x 0 som har en entydig løsning da matricens determinant er Wronski-determinanten i x 0 og dermed forskellig fra 0 jf. Korollar 2.3, og matricen er dermed invertibel. Sætter vi nu ỹ = c 1 y 1 + c 2 y 2 har vi, at ỹ er en løsning, ỹ(x 0 = y(x 0 og ỹ (x 0 = y (x 0, så pr. entydighed er ỹ = y som ønsket. Næstsidste korollar: Korollar 2.5. Andenordens homogene lineære ODE er med kontinuerte koefficientfunktioner har todimensionelle løsningsrum. 3 Andenordens ikke-homogene linære ODE er [Bogens afsnit 2.7 på side 79] 3.1 Generelle og partikulære løsninger Genkalder vi os beviset for, at summer og skaleringer af løsninger til homogene linære ODE er igen er løsninger, så mindes vi, at det hele koges ned til, at højresiden er 0: = 0 og a 0 = 0. Vi ødelægger nu alt (næsten da i dét argument ved at betragte ikke-homogene andenordens lineære ODE er: y + py + qy = r (6 hvor p, q og r er (normalt kontinuerte funktioner, og r 0. Det parentesiske næsten da er selvfølgelig ikke så parentesisk, når det kommer til stykket, idet regnestykker som 0 + r = r og a 0 + r = r giver anledning til begreberne partikulære og generelle løsninger: 5

6 Definition 3.1 (Bogens Definition på side 80. En konkret løsning y p på et interval I til ODE en (7 kaldes en partikulær løsning. Hvis ydermere y 1 og y 2 er lineært uafhængige løsninger på I til den tilsvarende homogene andenordens lineære ODE (1 på side 2, så kaldes en generel løsning. y g = y p + c 1 y 1 + c 2 y 2 Lad L betegne den lineære operator givet ved Så kan (7 og (1 skrives hhv. L(y(x = y (x + p(xy (x + q(xy(x. L(y = r og L(y = 0. Med denne notation på plads viser vi hurtigt følgende: Sætning 3.2 (Bogens Theorem 1, side 80. En generel løsning er en løsning til (7, og differensen mellem to partikulære løsninger til (7 er en løsning til (1. Bevis. Lad y g = y p + c 1 y 1 + c 2 y 2 være en generel løsning. Så er L(y g = L(y p + c 1 L(y 1 + c 2 L(y 2 = r + c c 2 0 = r, og y g løser altså (7. Omvendt, lad y p og ỹ p være to forskellige løsninger til (7. Så er og y p ỹ p løser altså (1. L(y p ỹ p = L(y p L(ỹ p = r r = 0 Sidste korollar i følgen af korollarer, der fulgte Proposition 2.2 på side 3 er: Korollar 3.3 (Theorem 2, side 80. Lad p, q og r være kontinuerte og y p, y 1 og y 2 være som i Definition 3.1. Da kan enhver løsning skrives som en generel løsning for passende valg af c 1 og c 2. y g = y p + c 1 y 1 + c 2 y 2 Bevis. Lad ỹ p være en løsning, som vi vil skrive på formen ỹ p = y g = y p + c 1 y 1 + c 2 y 2. Da er ỹ p = y p + (ỹ p y p = y p + c 1 y 1 + c 2 y 2 idet ỹ p y p er en løsning til den homogene ODE jf. Sætning 3.2, som kan skrives på formen c 1 y 1 + c 2 y 2 jf. Korollar Stabilitet af løsninger for ODE er med konstante koefficienter Sidste gang så vi på løsninger af andenordens homogene lineære ODE er med konstante koefficienter og viste, at det at finde løsninger svarede til at finde rødder i det tilhørende karakteristiske polynomium. Vi bemærkede også, at disse løsninger konvergerede mod 0 for x hvis og kun hvis rødderne var negative eller havde negativ realdel. Dette betyder i det ikke-homogene tilfælde, at y g konvergerer mod y p for x, hvis og kun hvis rødderne i det karakteristiske polynomium er negative eller har negativ realdel. Er det tilfældet, kaldes ODE en stabil, mens den i det modsatte fald kaldes ustabil. 6

7 3.3 De ubestemte koefficienters metode Vi vil nu se på en relativt nem og hurtig, men ikke nødvendigvis skudsikker metode til at finde løsninger til andenordens ikke-homogene lineære ODE er med konstante koefficienter, dvs. ODE er på formen y + ay + by = r, (7 hvor a og b er konstanter og r er en kontinuert funktion. Vi har så småt diskuteret den i specialtilfælde, men vil nu gøre det mere systematisk. Det handler om at gætte kvalificeret på en løsning. For at være konkret kommer her en tabel samt en opskrift på at bruge den. Led i r(x ke γx Valg for y p (x Ce γx kx n (n N } K n x n + K n 1 x n K 1 x 1 + K 0 k sin(ωx k cos(ωx } K cos(ωx + M sin(ωx ke αx cos(ωx ke αx sin(ωx e αx (K cos(ωx + M sin(ωx Metoden går ud på at gøre følgende: Hvis r kan skrives som en sum af funktioner fra venstre side i ovenstående tabel, så vælges y p som summen af de tilsvarende udtryk på højresiden i tabellen. Kald funktionerne i y p -summen f i, så y p = n i=1 f i. Sæt nu L = D 2 + ad + bi, så (7 kan skrives som L(y = r Hvis L(f i = 0, så erstat f i med functionen f i : x xf i (x. Er også L( f i = 0 (f i svarer til en dobbeltrod, så erstat med x x 2 f i (x. Til sidst bestemmes koefficienterne i f i erne (C, K, M og K 1,..., K n. Metoden er illustreret i bogens Example 1, 2 og 3 på siderne

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 4 Morten Grud Rasmussen 17. september, 013 1 Homogene andenordens lineære ODE er [Bogens afsnit.1] 1.1 Linearitetsprincippet Vi så sidste gang, at førsteordens

Læs mere

DesignMat Lineære differentialligninger I

DesignMat Lineære differentialligninger I DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge 9 Forår 2010 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 6

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 6 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 6 Morten Grud Rasmussen 24. september, 2013 1 Forcerede oscillationer [Bogens afsnit 2.8, side 85] 1.1 Et forstyrret masse-fjeder-system I udledningen

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er

Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave

Læs mere

Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17

Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 1

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 1 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rasmussen 4. september, 2013 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Overskrifter

Matematisk modellering og numeriske metoder. Overskrifter Matematisk modellering og numeriske metoder Overskrifter Morten Grud Rasmussen 25. november, 2013 Lektion 1 Ordinære differentialligninger ODE er helt grundlæggende Løsninger Begyndelsesværdiproblemer

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på

Læs mere

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 2003 AARHUS UNIVERSITET

DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 2003 AARHUS UNIVERSITET DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 2003 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN INDHOLD. Lineær ligning 2 2. Lineært system 8 3. Generel ligning 6 4. Stabilitet 8 Litteratur 2 Noterne er til 4 timers forelæsninger

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 11 Morten Grud Rasmussen 17. oktober, 2013 1 Partielle differentialligninger 1.1 D Alemberts løsning af bølgeligningen [Bogens sektion 12.4 på side 553]

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 3. november 206 Numerisk metode til Laplace- og Poisson-ligningerne. Finite difference-formulering af problemet I det følgende

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 10

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 10 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 10 Morten Grud Rasmussen 2. november 2016 1 Partielle differentialligninger 1.1 Det grundlæggende om PDE er Definition 1.1 Partielle differentialligninger

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 11 Morten Grud Rasmussen 5. november 2016 1 Partielle differentialligninger 1.1 Udledning af varmeligningen Vi vil nu på samme måde som med bølgeligningen

Læs mere

3.1 Baser og dimension

3.1 Baser og dimension SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V

Læs mere

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis

Læs mere

Lektion 12. højere ordens lineære differentiallininger. homogene. inhomogene. eksempler

Lektion 12. højere ordens lineære differentiallininger. homogene. inhomogene. eksempler Lektion 12 2. ordens lineære differentialligninger homogene inhomogene eksempler højere ordens lineære differentiallininger 1 Anden ordens lineære differentialligninger med konstante koefficienter A. Homogene

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II Preben Alsholm Efterår 21 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden Lineært differentialligningssystem

Læs mere

Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet

Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 17, 18 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Calculus 2-2004 Uge 49.2-1 Ligning og løsning [LA] 17 Generel ligning

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Lektion 13 Homogene lineære differentialligningssystemer

Lektion 13 Homogene lineære differentialligningssystemer Lektion 13 Lineære differentialligningssystemer Homogene lineære differentialligningssystemer med konstante koefficienter Inhomogene systemer To-kammer modeller Lotka Volterra (ikke lineært) 1 To-kammer

Læs mere

Lineær Algebra F08, MØ

Lineær Algebra F08, MØ Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder

Læs mere

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009 Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,

Læs mere

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N

Læs mere

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som Polynomier, rødder og division Sebastian Ørsted 20. november 2016 Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som de komplekse tal, hvor fokus er på at opbygge værktøjer til

Læs mere

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning (Dette projekt dækker læreplanens krav om supplerende stof vedr. differentialligningsmodeller. Projektet hænger godt sammen med projekt 4.0: Fiskerimodeller,

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r))

GEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r)) GEOMETRI-TØ, UGE 12 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1, [P] 632 Vis at Ennepers flade σ(u, v) = ( u u 3 /3

Læs mere

Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker

Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker Arne Jensen 7. 11. marts 2005 1 Indledning I forbindelse med kurset i Reelle og Komplekse Funktioner afholdes et fordybelsesprojekt med et omfang

Læs mere

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 4

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 4 Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet Lineær Algebra LinAlg Afleveringsopgave 4 Eventuelle besvarelser laves i grupper af 2-3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte forsider

Læs mere

Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter

Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter enote 13 1 enote 13 Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter I forlængelse af enote 11 og enote 12 om differentialligninger, kommer nu denne enote omkring 2. ordens differentialligninger.

Læs mere

Lektion ordens lineære differentialligninger

Lektion ordens lineære differentialligninger Lektion 11 1. ordens lineære differentialligninger Lineære differentialligninger Lineære differentialligninger af 1. orden 1. homogene 2. inhomogene Lineære differentialligninger af 1. orden med konstante

Læs mere

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium

Læs mere

9.1 Egenværdier og egenvektorer

9.1 Egenværdier og egenvektorer SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der

Læs mere

Matematik for økonomer 3. semester

Matematik for økonomer 3. semester Matematik for økonomer 3. semester cand.oecon. studiet, 3. semester Planchesæt 2 - Forelæsning 3 Esben Høg Aalborg Universitet 10. september 2009 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Esben

Læs mere

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til.

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til. Polynomier Polynomier Polynomium Et polynomium P(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter

Læs mere

MM502+4 forelæsningsslides

MM502+4 forelæsningsslides MM502+4 forelæsningsslides uge 7, 2009 Produceret af Hans J Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael Rørdam 1 Definition kritisk punkt: funktion f(x, y) er et kritisk punkt

Læs mere

Matematik og FormLineære ligningssystemer

Matematik og FormLineære ligningssystemer Matematik og Form Lineære ligningssystemer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2014 Ligningssystemer og matricer Til et ligningssystem svarer der en totalmatrix [A b] bestående af koefficientmatrix

Læs mere

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby 24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder

Læs mere

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier Grupperne forventes at regne en mængde af opgaver, som tilsammen dækker 100 point. De små opgaver giver hver 5 point,

Læs mere

Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19

Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19 Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Elementære funktioner Eksponential af matrix Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt for system Eulers metode for

Læs mere

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier Preben Alsholm Uge 8 Forår 010 1 Den komplekse eksponentialfunktion 1.1 Definitionen Definitionen Den velkendte eksponentialfunktion x e x vil

Læs mere

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Diffusionsligningen. Fællesprojekt for FY520 og MM502. Marts Hans J. Munkholm og Paolo Sibani. Besvarelse fra Hans J.

Diffusionsligningen. Fællesprojekt for FY520 og MM502. Marts Hans J. Munkholm og Paolo Sibani. Besvarelse fra Hans J. Diffusionsligningen Fællesprojekt for FY50 og MM50 Marts 009 Hans J. Munkholm og Paolo Sibani Besvarelse fra Hans J. Munkholm 1 (a) Lad [x, x + x] være et lille delinterval af [a, b]. Den masse, der er

Læs mere

DiploMat 1 Inhomogene lineære differentialligninger

DiploMat 1 Inhomogene lineære differentialligninger DiploMat 1 Inhomogene lineære differentialligninger Preben Alsholm Uge Efterår 2008 1 Lineære Differentialligninger af anden orden 1.1 Den inhomogene ligning I Den inhomogene ligning I Vi betragter nu

Læs mere

Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7

Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 De anførte besvarelser er til dels mere summariske end en god eksamensbesvarelse bør være. Der kan godt være fejl i - jeg vil meget gerne informeres,

Læs mere

6.1 Reelle Indre Produkter

6.1 Reelle Indre Produkter SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER 6.1 Reelle Indre Produkter Definition 6.1.1 Et indre produkt på et reelt vektorrum V er en funktion, : V V R således at, for alle x, y V, I x, x 0 med lighed x = 0, II

Læs mere

De fire elementers kostbare spejl

De fire elementers kostbare spejl Projekt.6 Lineær algebra moderne og klassisk kinesisk De fire elementers kostbare spejl "Som bekendt anses matematikken for at være en meget vigtig videnskab. Denne bog om matematik vil derfor være af

Læs mere

Statistik og Sandsynlighedsregning 2

Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Uafhængighed og reelle transformationer Helle Sørensen Uge 8, mandag SaSt2 (Uge 8, mandag) Uafh. og relle transf. 1 / 16 Program I dag: Uafhængighed af kontinuerte

Læs mere

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse

Læs mere

Om første og anden fundamentalform

Om første og anden fundamentalform Geometri, foråret 2005 Jørgen Larsen 9. marts 2005 Om første og anden fundamentalform 1 Tangentrummet; første fundamentalform Vi betragter en flade S parametriseret med σ. Lad P = σu 0, v 0 være et punkt

Læs mere

x 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet

x 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen

Læs mere

Løsningsforslag Mat B August 2012

Løsningsforslag Mat B August 2012 Løsningsforslag Mat B August 2012 Opgave 1 (5 %) a) Løs uligheden: 2x + 11 x 1 Løsning: 2x + 11 x 1 2x x + 1 0 3x + 12 0 3x 12 Divideres begge sider med -3 (og husk at vende ulighedstegnet!) x 4 Opgave

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 37, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm 2009 bearbejdet af Jessica Carter 2010 1 Hvad er et komplekst tal? Hvordan regner man med komplekse tal? Man kan betragte udvidelsen

Læs mere

Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu

Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2012 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 15

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 15 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 15 Morten Grud Rasmussen 1. november, 2013 1 Numerisk analyse [Bogens afsnit 19.1 side 788] 1.1 Grundlæggende numerik Groft sagt handler numerisk analyse

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 16. september 2008 1/19 Betingelser for nonsingularitet af en Matrix

Læs mere

Implicit givne og inverse funktioner

Implicit givne og inverse funktioner Implicit givne og inverse funktioner Morten Grud Rasmussen 1 11. april 2016 1 Implicit givne funktioner I lineær algebra har vi lært meget om at løse lineære ligningsystemer og om strukturen af løsningsmængden.

Læs mere

Polynomier af én variabel

Polynomier af én variabel enote 30 1 enote 30 Polynomier af én variabel I denne enote introduceres komplekse polynomier af én variabel. Der forudsættes elementært kendskab til komplekse tal, og kendskab til reelle polynomier af

Læs mere

Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonfo. Rang og nullitet

Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonfo. Rang og nullitet Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonform Rang og nullitet Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 11.2.2013 Reduktion til (reduceret) echelonmatrix Et eksempel Et ligningssystem

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Digital eksamensopgave med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Digital eksamensopgave med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet Forberedelsesmateriale frs-matn/a-270420 Onsdag den 27. april 20 Forberedelsesmateriale til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes

Læs mere

Formelsamling til MatIntro kurset på Københavns Universitet

Formelsamling til MatIntro kurset på Københavns Universitet Formelsamling til MatIntro kurset på Københavns Universitet af Michael Flemming Hansen Version 1.0 1. februar 2012 Indhold 1 Funktioner af en variabel 4 1.1 Komplekse tal........................... 4 1.1.1

Læs mere

Analyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser

Analyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 24. og 27. september 203 Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.) Hvis (u j ) j er en følge af positive, målelige, numeriske funktioner (dvs. med værdier i [, ]) over

Læs mere

DesignMat Uge 11 Lineære afbildninger

DesignMat Uge 11 Lineære afbildninger DesignMat Uge Lineære afbildninger Preben Alsholm Forår 008 Lineære afbildninger. Definition Definition Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge). Afbildningen

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

MM502+4 forelæsningsslides

MM502+4 forelæsningsslides MM502+4 forelæsningsslides uge 11+12 1, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael Rørdam 1 I nærværende forbindelse er 11 + 12 23 1 Egenskaber for

Læs mere

Ølopgaver i lineær algebra

Ølopgaver i lineær algebra Ølopgaver i lineær algebra 30. maj, 2010 En stor del af de fænomener, vi observerer, er af lineær natur. De naturlige matematiske objekter i beskrivelsen heraf bliver vektorrum rum hvor man kan lægge elementer

Læs mere

DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination

DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm Uge Forår 010 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Om talrummet R n Om talsæt bestående af n tal R n er blot mængden

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele

Læs mere

Potensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen

Potensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen Potensrækker Morten Grud Rasmussen 1 10 november 2015 Definition og konvergens af potensrækker Definition 1 Potensrække) En potensrække er en uendelig række på formen a n pz aq n, 1) hvor afsnittene er

Læs mere

DesignMat Uge 2. Preben Alsholm. Efterår Lineære afbildninger. Preben Alsholm. Lineære afbildninger. Eksempel 2 på lineær.

DesignMat Uge 2. Preben Alsholm. Efterår Lineære afbildninger. Preben Alsholm. Lineære afbildninger. Eksempel 2 på lineær. er DesignMat Uge 2 er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II Efterår 2010 Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge).

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f

GEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f GEOMETRI-TØ, UGE 6 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1 Lad f : R 2 R være tre gange kontinuert differentierbar

Læs mere

Lineær Algebra - Beviser

Lineær Algebra - Beviser Lineær Algebra - Beviser Mads Friis 8 oktober 213 1 Lineære afbildninger Jeg vil i denne note forsøge at give et indblik i, hvor kraftfuldt et værktøj matrix-algebra kan være i analyse af lineære funktioner

Læs mere

Fraktaler Mandelbrots Mængde

Fraktaler Mandelbrots Mængde Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 2 Komplekse tal 5 2.1 Definition.......................................

Læs mere

Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination

Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm 18 februar 008 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Et eksempel Et eksempel 100g mælk Komælk Fåremælk Gedemælk Protein g 6g 8g

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Eksempelsamling

Matematisk modellering og numeriske metoder. Eksempelsamling Matematisk modellering og numeriske metoder Eksempelsamling Morten Grud Rasmussen 2. december 206 Indhold Analytiske metoder 3. Metoder til ODE er af første orden............................ 3.. Separation

Læs mere

Noter til An0 DIFFERENTIALLIGNINGER MED KONSTANTE KOEFFICIENTER

Noter til An0 DIFFERENTIALLIGNINGER MED KONSTANTE KOEFFICIENTER UDKAST 7122009 Noter til An0 Inst f Matematiske Fag Gerd Grubb December 2009 DIFFERENTIALLIGNINGER MED KONSTANTE KOEFFICIENTER 1 Generelle resultater 11 Introduktion I tidligere kurser er der gennemgået

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold December 2015 vinter VUC Vestegnen stx Mat A Gert Friis

Læs mere

er en n n-matrix af funktioner

er en n n-matrix af funktioner Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19 Ligning og løsning Nøgleord og begreber Eksistens og entdighed Elementære funktioner Eksponential af matrix Retningsfelt Hastighedsfelt for sstem for sstem Stabilitet

Læs mere

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x,y) = x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3. ) Angiv gradienten f. 2) Angiv

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

Eulers equidimensionale differentialligning

Eulers equidimensionale differentialligning Eulers equidimensionale differentialligning Projektbesvarelse for MM501, udformet af Hans J. Munkholm Differentialligningen September-oktober 2009 For at kunne referere let og elegant gentages differentialligningen

Læs mere

Egenværdier og egenvektorer

Egenværdier og egenvektorer enote 9 enote 9 Egenværdier og egenvektorer Denne note indfører begreberne egenværdier og egenvektorer for lineære afbildninger i vilkårlige generelle vektorrum og går derefter i dybden med egenværdier

Læs mere

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Hvilke hele tal går op i tallet 60? Det kan vi få svar på ved at skrive 60 som et produkt af sine primtal: 60 3 5 Divisorerne i 60 er lige præcis de tal, der kan

Læs mere

MODUL 8. Differensligninger. Forfattere: Michael ELMEGÅRD & Øistein WIND-WILLASSEN. Modulet er baseret på noter af Peter BEELEN.

MODUL 8. Differensligninger. Forfattere: Michael ELMEGÅRD & Øistein WIND-WILLASSEN. Modulet er baseret på noter af Peter BEELEN. MODUL 8 Differensligninger Forfattere: Michael ELMEGÅRD & Øistein WIND-WILLASSEN Modulet er baseret på noter af Peter BEELEN. 26. august 2014 2 Indhold 1 Introduktion 5 1.1 Rekursioner og differensligninger.........................

Læs mere