Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 6
|
|
- Lise Berg
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 6 Morten Grud Rasmussen 24. september, Forcerede oscillationer [Bogens afsnit 2.8, side 85] 1.1 Et forstyrret masse-fjeder-system I udledningen af masse-fjeder-systemets ODE antog vi, at der ikke var nogen ydre kræfter. Hvis nu fjederen ikke er spændt fast i et solidt loft, men der i stedet står en eller anden lurendrejer og bevæger den normalt fastspændte del af fjederen op og ned i en jævn bevægelse, så kommer der en ydre kraft med i modellen, et input, som vi tidligere har benævnt det, og vores ODE ophører med at være homogen. I stedet får vi den ikke-homogene ODE my + cy + ky = r, hvor r er inputtet. Da systemet uden input er et oscillerende system, er det naturligt at fokusere på følgende specielle valg af r: my (t) + cy (t) + ky(t) = cos(ωt), (1) hvor og ω ligesom m og k er positive reelle tal (mens c i udgangspunktet blot er ikkenegativ). Man kan ved hjælp af de ubestemte koefficienters metode vise, at y p givet ved er en partikulær løsning, såfremt y p (t) = a cos(ωt) + b cos(ωt) a = m(ω 2 0 ω 2 ) m 2 (ω 2 0 ω 2 ) 2 + ω 2 c 2 og b = ωc m 2 (ω 2 0 ω 2 ) 2 + ω 2 c 2, (2) 1
2 k hvor ω 0 =. Jf. sidste lektion kan enhver løsning dermed skrives på formen m hvor y h er en løsning til den homogene ODE y = y p + y h, my + cy + ky = 0. Som sagt er kravet på c blot, at den er ikke-negativ c = 0 svarer som bekendt til et udæmpet system, mens c > 0 svarer til et dæmpet. Vi vil nu se på de to tilfælde hver for sig. 1.2 Udæmpede, forcerede oscillationer samt resonans Hvis c = 0, så fremgår det af (2), at vi skal til at overveje tingene lidt nøjere, såfremt ω 0 = ω. Antag derfor i første omgang, at ω 0 ω. Da vil (2) reducere til a = m(ω0 2 ω 2 ) = k ( 1 ( ω ω 0 ) 2) og b = 0, k hvor vi kommer fra den ene repræsentation af a til den anden ved at bruge, at ω 0 =. Hermed m er y p (t) = m(ω0 2 ω 2 ) cos(ωt), og henter vi den homogene løsning ind fra lektion 4, så får vi den generelle løsning til at være: y(t) = y p (t) + y h (t) = m(ω 2 0 ω 2 ) cos(ωt) + C cos(ω 0t δ), altså en sum af to harmoniske oscillationer med forskellig frekvens! Nok så vigtigt, så ser vi, at amplituden i første oscillation (dén fra y p ) er 0 F, som altså vokser ubegrænset, når ω nærmer sig m(ω0 2 ω2 ) ω 0. Tager man amplituden af inputtet, fjederkonstanten k og massen m ud af billedet, så ender man med tallet ρ = k m(ω0 2 ω 2 ) = 1 1 ( ω ω 0 ), 2 og δ = 0, så kan vi bruge de trigono- som kaldes resonansfaktoren. Hvis vi vælger C = m(ω0 2 ω2 ) metriske additionsformler til at vise, at y(t) = y p (t) + y h (t) = m(ω 2 0 ω 2 ) sin( ω 0 +ω 2 t ) sin ( ω 0 ω 2 t ). Hvis ω således nærmer sig ω 0, så bliver ω 0 ω lille, og sidste sinus-funktion bliver langsomtsvingende, mens ω 0 + ω forbliver i størrelsesordenen 2ω 0. Det er det samme, som den interferens, man lytter efter, når man stemmer sin guitar (eller sit klaver, hvis man er til den slags). Vi vil nu se på, hvad der sker, hvis ω = ω 0. Ud fra ovenstående kunne man få den tanke, at der ikke længere er en øvre grænse for løsningens udsving. Vi opskriver ODE en: y (t) + ω 2 0y(t) = m cos(ω 0t)). 2
3 Dette er en oplagt kandidat til de ubestemte koefficienters metode, men idet cos(ω 0 t) og sin(ω 0 t) begge løser den homogene ODE, så skal vi altså gange med t: y p (t) = t(a cos(ω 0 t) + b sin(ω 0 t)). Regner vi på det, får vi, at a = 0 og b = 2mω 0. En partikulær løsning er derfor y p (t) = 2mω 0 t sin(ω 0 t), som tydeligvis oscillerer vildere og vildere pga. faktoren t. Dette kaldes resonans, et begreb, som er rigt illustreret på YouTube (søg eksempelvis på resonance bridge derfor skal ingeniører lære matematik). 1.3 Dæmpede, forcerede oscillationer Som vi husker fra lektion 4, så har det karakteristiske polynomium for det homogene system negativ realdel, eller sagt på en anden måde, alle løsninger konvergerer mod 0, hvilket betyder, at ODE en (1) er stabil i den forstand, vi indførte i sidste lektion. Det betyder blot, at alle løsninger konvergerer mod den samme partikulære løsning, som altså kan skrives på formen y p (t) = C cos(ωt δ) = F 0 cos(ωt δ), m2 (ω0 2 ω 2 ) 2 + ω 2 c2 ωc hvor tan(δ) =. Det kan vises, at amplituden C antager sin maksimale værdi som funktion m(ω0 2 ω2 ) af ω, når ω 2 = ω0 2 c2, såfremt højresiden er ikke-negativ, hvilket er tilfældet, når c 2 2mk (se 2m 2 også noterne fra lektion 4). Sætter vi dette valg af ω ind, så får vi følgende værdi af C: C = 2m c 4m 2 ω 2 0 c 2, (ω2 = ω 2 0 c2 2m 2 ). 2 En generel løsningsformel for andenordens ikke-homogene lineære ODE er med kontinuerte koefficienter og input [Bogens afsnit 2.10, side 99] 2.1 De arbitrære parametres variationsmetode Vi vil nu se på en generel løsningsformel for andenordens ikke-homogene lineære ODE er med kontinuerte koefficienter og kontinuert input, dvs. y + py + qy = r, (3) hvor p, q og r er kontinuerte på et åbent interval I, hvor vi ønsker at finde en løsning. 3
4 Advarsel: Denne metode kan resultere i svære integraler! Såfremt en anden metode kan anvendes (eksempelvis de ubestemte koefficienters metode), vil denne ofte være nemmere i praksis! Metodens styrke er naturligvis, at den (i hvert fald teoretisk) virker i alle situationer og dermed udgør et konstruktivt bevis for, at sådanne ODE er altid har én løsning, og dermed et todimensionelt løsningsrum, jf. lektion 5. Vi begynder med at betragte den homogene pendant til (3) på standardform, altså ODE en y + py + qy = 0, og kalder to uafhængige løsninger til denne for y 1 og y 2 (husk, at vi fra lektion 4 har en generel løsningsformel i tilfældet, for p og q er konstante, mens vi fra lektion 5 har en generel løsningsformel i tilfældet, hvor ODE en er en Euler-Cauchy-ligning, altså p(x) = a, q(x) = b, hvor vi husker, x x 2 at Euler-Cauchy-ligningen først skal bringes på standardform). Fra lektion 5 ved vi, at W = y 1 y 2 y 2 y 1 0 overalt. Hermed er følgende veldefineret: y p = y 1 y2 (x)r(x) W (x) dx + y 2 y1 (x)r(x) W (x) dx, (4) og ydermere viser det sig, at y p defineret på denne måde er en løsning til (3)! Nu kommer et par kommentarer. Som I ser, så svarer de to integraler lidt til funktionen u i metoden reduktion af orden, idet der også dér var tale om, at man tog en løsning og gangede med en variabel funktion. Havde ovenstående ubestemte integraler således været konstante (lad os kalde disse konstanter hhv. c 1 og c 2 ), så ville y p = c 1 y 1 + c 2 y 2 og altså løse det homogene system. Vi ser nu, at vi ved at variere parametrene har fundet en løsning til det ikke-homogene problem. Kommentar nr. to har sikkert større interesse for jer, idet den handler om en praktisk faldgruppe. Som det fremgår af (4), så indgår er et par x er i formuleringen af løsningen. Det er dog uhyre vigtigt at holde sig for øje, at disse variable er såkaldt dummy-variable, idet de ingen betydning har uden for deres respektive integraler, og dermed kan omdøbes efter forgodtbefindende! De har intet med den frie variabel at gøre! Vi kan således omskrive (4) til y p (x) = y 1 (x) x a y 2 (t)r(t) W (t) dt + y 2 (x) x b y 1 (s)r(s) W (s) hvor a og b bestemmer integrationskonstanterne. Indtil man har styr på metoden, er det faktisk anbefalelsesværdigt at gøre dette, så man ikke forveksler de mange variable. At løsningsformlen er rigtig, kan verificeres ved inspektion. Udregn blot y p + py p + qy p og konstatér, at udtrykket er lig r. Advarsel: Tungen skal holdes lige i munden! Alternativt kan man følge udledningen i bogen side Jeg vil anbefale, at I tror på formlen som den står, men dog altid tjekker jeres resultater efter ved inspektion. På den måde får I tjekket, om I har regnet rigtigt og et sådant tjek gør det strengt taget også ud for et bevis i jeres konkrete tilfælde! 3 Systemer af ODE er [Bogens afsnit 4.1, side 130] 4 ds,
5 3.1 Et eksempel på et naturligt system af ODE er Antag, at vi har to tanke, T 1 og T 2, som hver indeholder 100 volumenenheder vand. I tank T 1 er vandet rent til tid 0, mens 150 masseenheder gødning er opløst i T 2. De to tanke er under konstant omrøring, så vi kan antage, at deres indhold er uniformt. To rør forbinder tankene, og gennem dem cirkulerer 2 volumenenheder pr. tidsenhed hhv. den ene og den anden vej. Vi skal nu finde ud af, hvor hurtigt der er mindst halvt så meget gødning i T 1 som i T 2. Lad derfor y 1 betegne mængden af gødning i T 1 til en given tid, mens y 2 betegner mængden af gødning i T 2. Først konstaterer vi, at der er tale om differentialligninger: vi kender ændringen pr. tid, ikke værdien pr. tid. Den øjeblikkelige ændring er jo forskellen på, hvor meget der flyder ind og hvor meget, der flyder ud. Altså: 2 [volumenenheder pr. tidsenhed] y 1 = y y 1 og y 2 = y y 2, idet = 1 [pr. tidsenhed] er andelen, der flyder fra den ene tank til den 100 [volumenenheder] 50 anden pr. tidsenhed, mens y 1 og y 2 som sagt er mængden i de enkelte tanke, hvilket betyder at produktet 1 y 50 1 [mængdeenhed pr. tidsenhed] eksempelvis er mængden, som flyder fra T 1 til T 2 pr. tidsenhed. Skriver vi nu y = ( y 1 y 2 ), så er systemet altså beskrevet ved Hvis nu A i stedet var en diagonalmatrix, ( y 1 = Ay hvor A = ( ) λ1 0 A =, 0 λ så ville de to systemer ikke forstyrre hinanden, og vi ville i realiteten blot have ). (5) y 1 = λ 1 y 1 y 2 = λ 2 y 2, som har løsningerne y 1 (t) = c 1 e λ 1t og y 2 (t) = c 2 e λ 2t. Bemærk dog, at λ 1 og λ 2 i dette tilfælde er egenværdierne for A, og at egenvektorerne for a er v 1 = ( 1 0 ) og v 2 = ( 0 1 ), så løsningen har formen x 1 (t) = v 1 e λ 1t og x 2 (t) = v 2 e λ 2t. Vi gætter derfor på, at det generelt gælder, at x i (t) = v i e λ it, hvor v i er egenvektor for A med tilhørende egenværdi λ i, er en løsning til y = Ay. Vi tjekker efter: x i(t) = (v i e λ it ) = λ i v i e λ it = Av i e λ it = Ax i (t), hvoraf det kan ses, at det faktisk er tilfældet. For matricen A i (5) finder vi egenværdier og egenvektorer til at være λ 1 = 0 og v 1 = ( 1 1 ) samt λ 2 = 1 og v 25 2 = ( 1 1 ). Den generelle løsning til (5) er derfor ( ) ( ) 1 1 y(t) = c 1 v 1 e λ1t + c 2 v 2 e λ2t = c 1 + c 1 2 e 1 25 t. 1 5
6 Hvis vi til tiden t = 0 har y(0) = ( y 1 (0) ) y 2 (0) = ( ) = c 1 ( 1 1 ) + c 2 ( 1 1 ), så må c 1 = 75 og c 2 = 75. Løsningen på vores IVP er altså y 1 (t) = 75 75e 1 25 t y 2 (t) = e 1 25 t. Vi skulle finde t 0, så y 1 (t 0 ) = 1y 2 2(t 0 ). Da y 1 + y (der fordamper ikke gødning!) så betyder det, at y 1 (t 0 ) = 50 og dermed at t 0 = log(3) 1 = 25 log(3) 27.5, og vi skal altså lade blandingen 25 foregå i ca. 30 tidsenheder. 3.2 Konvertering af en n te-ordens ODE til et system af n ODE er I afsnittet før så vi på et naturligt system af ODE er. Hvad er så et unaturligt (som vel må eksistere qua den ovenforbenyttede distinktion)? Tja, man kan vel diskutere, hvor unaturligt, det er, men idéen er, at man tager en almindelig n te-ordens ODE og laver den om til et system, hvor man ikke nødvendigvis kan tolke de enkelte ODE er som andet end sådan noget som hastigheden og accelerationen. Metoden fremgår af nedenstående sætning, som på det nærmeste er indelysende. Sætning 3.1. Antag, at vi har en n te-ordens ODE på formen y (n) (t) = F (t, y (t), y (t),..., y (n 1) (t)). (6) Dette system er da ækvivalent med følgende system af n ODE er: y 1 = y 2 y 2 = y 3 (7) y n 1 = y n y n = F (t, y 1, y 2,..., y n ) via identifikationen y 1 = y, y 2 = y, y 3 = y, y n = y (n 1). For illustration omskriver vi nu masse-fjeder-systemet fra lektion 4 til et system af førsteordens ODE er. Først skal vi bringe problemt på samme form som (6): my + cy + y = 0 omskrives altså til y = c m y k m y. Hermed er masse-fjeder-systemet beskrevet på formen (6) såfremt vi sætter F (t, y, z) = c m z k m y. Vi kan nu sætte y 1 = y og y 2 = y og skrive masse-fjeder-systemet på formen (7): y 1 = y 2 y 2 = F (t, y 1, y 2 ) = c m y 2 k m y 1. 6
7 Matricen for systemet er således ( 0 1 A = k m og systemet kan nu løses ved at finde egenværdier og egenvektorer for A og benytte metoderne fra foregående afsnit. c m ) 7
Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 4 Morten Grud Rasmussen 17. september, 013 1 Homogene andenordens lineære ODE er [Bogens afsnit.1] 1.1 Linearitetsprincippet Vi så sidste gang, at førsteordens
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder
Matematisk modellering og numeriske metoder Morten Grud Rasmussen September 0, 016 1 Lineære ODE er af første orden 1.1 De grundlæggende definitioner Definition 1.1. Lineære ODE er af første orden er ODE
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Overskrifter
Matematisk modellering og numeriske metoder Overskrifter Morten Grud Rasmussen 25. november, 2013 Lektion 1 Ordinære differentialligninger ODE er helt grundlæggende Løsninger Begyndelsesværdiproblemer
Læs mereLektion 12. højere ordens lineære differentiallininger. homogene. inhomogene. eksempler
Lektion 12 2. ordens lineære differentialligninger homogene inhomogene eksempler højere ordens lineære differentiallininger 1 Anden ordens lineære differentialligninger med konstante koefficienter A. Homogene
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 1
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rasmussen 4. september, 2013 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder
Matematisk modellering og numeriske metoder Morten Grud Rasmussen 5. september 2016 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).
Læs mereLineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter
enote 13 1 enote 13 Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter I forlængelse af enote 11 og enote 12 om differentialligninger, kommer nu denne enote omkring 2. ordens differentialligninger.
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote 7 enote 7 Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses Der bruges egenværdier og egenvektorer i løsningsproceduren,
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
Læs mereNøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Læs mereOversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Læs mereDen homogene ligning. Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning. d n y dt n. an 1 + any = 0 (1.2) dt. + a1 d n 1 y dt n 1
1/7 Den homogene ligning Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning a 0 d n y dt n + a1 d n 1 y dt n 1 hvor a 0,..., a n R og a 0 0. Vi skriver ligningen på kort form som + + dy
Læs mereModulpakke 3: Lineære Ligningssystemer
Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system
Læs mereLineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger
enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 11 Morten Grud Rasmussen 17. oktober, 2013 1 Partielle differentialligninger 1.1 D Alemberts løsning af bølgeligningen [Bogens sektion 12.4 på side 553]
Læs mereFørsteordens lineære differentialligninger
enote 16 1 enote 16 Førsteordens lineære differentialligninger I denne enote gives først en kort introduktion til differentialligninger i almindelighed, hvorefter hovedemnet er en særlig type af differentialligninger,
Læs mereFysik 2 - Den Harmoniske Oscillator
Fysik 2 - Den Harmoniske Oscillator Esben Bork Hansen, Amanda Larssen, Martin Qvistgaard Christensen, Maria Cavallius 5. januar 2009 Indhold 1 Formål 1 2 Forsøget 2 3 Resultater 3 4 Teori 4 4.1 simpel
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 19
Matematisk modellering numeriske metoder Lektion 19 Morten Grud Rasmussen 15. november, 2013 1 Mangeskridtsmetoder til løsning af førsteordens ODE er [Bens afsnit 21.2 side 908] 1.1 Adams-Bashforth-metoder
Læs mereChapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning
Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 10
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 10 Morten Grud Rasmussen 2. november 2016 1 Partielle differentialligninger 1.1 Det grundlæggende om PDE er Definition 1.1 Partielle differentialligninger
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 11 Morten Grud Rasmussen 5. november 2016 1 Partielle differentialligninger 1.1 Udledning af varmeligningen Vi vil nu på samme måde som med bølgeligningen
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 3. november 206 Numerisk metode til Laplace- og Poisson-ligningerne. Finite difference-formulering af problemet I det følgende
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Metoder
Matematisk modellering numeriske metoder Metoder Morten Grud Rasmussen 29. december 2015 Indhold 1 Analytiske metoder 3 1.1 Metoder til ODE er af første orden............................ 3 1.1.1 Separation
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er
Læs mereKomplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet
Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N
Læs mereStudieretningsopgave
Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...
Læs mereNoter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.
Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra
Læs mereVejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009
Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,
Læs mereEulers equidimensionale differentialligning
Eulers equidimensionale differentialligning Projektbesvarelse for MM501, udformet af Hans J. Munkholm Differentialligningen September-oktober 2009 For at kunne referere let og elegant gentages differentialligningen
Læs mereIntroduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)
Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer
Læs mereDesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge Forår 0 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En differentialligning,
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 9. november 25 Divergens af et vektorfelt [Sektion 9.8 og.7 i bogen, s. 43]. Definition af og og egenskaber for divergens Lad
Læs mereNøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 14, 15 Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Calculus 2-2005
Læs mereOversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [DL] 1, 2
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [DL] 1, 2 Her skal du lære om Separable ligninger Logistisk ligning og eksponentiel vækst 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens
Læs mereDESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til.
DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL 13 INSTITUT FOR MATEMATIK 1. Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til. 2. Aktiviteter mandag 13 17 2.1.
Læs mereLektion ordens lineære differentialligninger
Lektion 11 1. ordens lineære differentialligninger Lineære differentialligninger Lineære differentialligninger af 1. orden 1. homogene 2. inhomogene Lineære differentialligninger af 1. orden med konstante
Læs mereProjekt 4.9 Bernouillis differentialligning
Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning (Dette projekt dækker læreplanens krav om supplerende stof vedr. differentialligningsmodeller. Projektet hænger godt sammen med projekt 4.0: Fiskerimodeller,
Læs mereFononiske Båndgab. Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2005
Fononiske Båndgab Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005 1 Baggrund Bølgeudbredelse i materialer og medier (som f.eks. luft) er et fænomen, der kendes af alle og som observeres i forskellige former i
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rasmussen. december 16 1 Numerisk integration og differentiation 1.1 Simpsons regel Antag, at vi har en funktion f på intervallet I = [a,
Læs mereDesignMat Uge 4 Systemer af lineære differentialligninger I
DesignMat Uge Systemer af lineære differentialligninger I Preben Alsholm Efterår 008 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden I Lineært differentialligningssystem
Læs mereLektion 13 Homogene lineære differentialligningssystemer
Lektion 13 Lineære differentialligningssystemer Homogene lineære differentialligningssystemer med konstante koefficienter Inhomogene systemer To-kammer modeller Lotka Volterra (ikke lineært) 1 To-kammer
Læs mereDesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge 9 Forår 2010 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En
Læs mereFononiske Båndgab. Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2004
Fononiske Båndgab Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2004 1 Baggrund Bølgeudbredelse i materialer og medier (som f.eks. luft) er et fænomen, der kendes af alle og som observeres i forskellige former i
Læs mereDesignMat Uge 2. Preben Alsholm. Efterår Lineære afbildninger. Preben Alsholm. Lineære afbildninger. Eksempel 2 på lineær.
er DesignMat Uge 2 er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II Efterår 2010 Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge).
Læs mere12.1 Cayley-Hamilton-Sætningen
SEKTION 12.1 CAYLEY-HAMILTON-SÆTNINGEN 12.1 Cayley-Hamilton-Sætningen Sætning 12.1.1 (Cayley-Hamilton) Lad A Mat n,n (C). Så gælder p A (A) =. Sætningen gælder faktisk over et vilkårligt legeme, men vi
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016
Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 206 Mikkel Findinge http://findinge.com/ Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan.
Læs mereNote om Laplace-transformationen
Note om Laplace-transformationen Den harmoniske oscillator omskrevet til et ligningssystem I dette opgavesæt benyttes laplacetransformationen til at løse koblede differentialligninger. Fordelen ved at
Læs mereDesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II
DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II Preben Alsholm Efterår 21 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden Lineært differentialligningssystem
Læs mereFourier transformationen
MODUL 6 Fourier transformationen Forfattere: Øistein WIND-WILLASSEN & Michael ELMEGÅRD 4. juni 4 Indhold Fourier transformationen 5. Definition og oprindelse.............................. 5.. Funktioner
Læs mereKomplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013
Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil
Læs mereKøbenhavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Forelæsningsnote 8. (NB: Noten er ikke en del af pensum)
Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet Lineær Algebra LinAlg Forelæsningsnote 8 NB: Noten er ikke en del af pensum Eksempel på brug af egenværdier og egenvektorer Måske er det stadig
Læs mereDOK-facitliste DOK. DOK-facitliste 1
-facitliste 1 -facitliste Listens numre refererer til samlingen af supplerede -opgaver (de gamle eksamensopgaver. På listen står næsten kun facitter, og ikke tilstrækkelige svar på opgaverne. [Korrigeret
Læs mereAnalyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x
Læs mereMat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb
Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med
Læs mereDesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof
DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +
Læs merex 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet
Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 40, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm bearbejdet af JC 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen s.445-8 dx Eksempler
Læs mereØlopgaver i lineær algebra
Ølopgaver i lineær algebra 30. maj, 2010 En stor del af de fænomener, vi observerer, er af lineær natur. De naturlige matematiske objekter i beskrivelsen heraf bliver vektorrum rum hvor man kan lægge elementer
Læs mereLotka-Volterra modellen
Lotka-Volterra modellen G4-105 Matematik Aalborg Universitet 20. december 2016 School of Engineering and Science Fredrik Bajers Vej 7G 9220 Aalborg Øst www.ses.aau.dk Titel: Lotka-Volterra modellen Tema:
Læs mereReaktionskinetik - 1 Baggrund. lineære og ikke-lineære differentialligninger. Køreplan
Reaktionskinetik - lineære og ikke-lineære differentialligninger Køreplan 1 Baggrund På 2. eller 4. semester møder kemi/bioteknologi studerende faget Indledende Fysisk Kemi (26201/26202). Her behandles
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Uafhængighed og reelle transformationer Helle Sørensen Uge 8, mandag SaSt2 (Uge 8, mandag) Uafh. og relle transf. 1 / 16 Program I dag: Uafhængighed af kontinuerte
Læs mereOversigt [LA] 10, 11; [S] 9.3
Oversigt [LA] 1, 11; [S] 9.3 Nøgleord og begreber Repetition: enhedsvektor og identitetsmatrix Diagonalmatricer Diagonalisering og egenvektorer Matrixpotens August 22, opgave 2 Skalarprodukt Længde Calculus
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Digital eksamensopgave med adgang til internettet
Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet Forberedelsesmateriale frs-matn/a-270420 Onsdag den 27. april 20 Forberedelsesmateriale til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes
Læs mereMM501/MM503 forelæsningsslides
MM501/MM503 forelæsningsslides uge 50, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen dx Eksempler = et udtryk, der indeholder
Læs mereDesignMat Uge 11 Lineære afbildninger
DesignMat Uge Lineære afbildninger Preben Alsholm Forår 008 Lineære afbildninger. Definition Definition Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge). Afbildningen
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereEn sumformel eller to - om interferens
En sumformel eller to - om interferens - fra borgeleo.dk Vi ønsker - af en eller anden grund - at beregne summen og A x = cos(0) + cos(φ) + cos(φ) + + cos ((n 1)φ) A y = sin (0) + sin(φ) + sin(φ) + + sin
Læs mereNoter til An0 DIFFERENTIALLIGNINGER MED KONSTANTE KOEFFICIENTER
UDKAST 7122009 Noter til An0 Inst f Matematiske Fag Gerd Grubb December 2009 DIFFERENTIALLIGNINGER MED KONSTANTE KOEFFICIENTER 1 Generelle resultater 11 Introduktion I tidligere kurser er der gennemgået
Læs mereMM502+4 forelæsningsslides
MM502+4 forelæsningsslides uge 11+12 1, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael Rørdam 1 I nærværende forbindelse er 11 + 12 23 1 Egenskaber for
Læs mereOpgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. 3) Angiv en enhedsvektor u så at den retningsafledede D u f(5, 2) er 0.
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereMomenter som deskriptive størrelser. Hvad vi mangler fra onsdag. Momenter for sandsynlighedsmål
Hvad vi mangler fra onsdag Momenter som deskriptive størrelser Sandsynlighedsmål er komplicerede objekter de tildeler numeriske værdier til alle hændelser i en σ-algebra. Vi har behov for simplere, deskriptive
Læs mereHvad vi mangler fra onsdag. Vi starter med at gennemgå slides fra onsdag.
Hvad vi mangler fra onsdag Vi starter med at gennemgå slides 34-38 fra onsdag. Slide 1/17 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 6. December, 2013 Momenter som deskriptive størrelser Sandsynlighedsmål er
Læs merez + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w
Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 15
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 15 Morten Grud Rasmussen 1. november, 2013 1 Numerisk analyse [Bogens afsnit 19.1 side 788] 1.1 Grundlæggende numerik Groft sagt handler numerisk analyse
Læs mereEgenværdier og egenvektorer
1 Egenværdier og egenvektorer 2 Definition Lad A være en n n matrix. En vektor v R n, v 0, kaldes en egenvektor for A, hvis der findes en skalar λ således Av = λv Skalaren λ kaldes en tilhørende egenværdi.
Læs mereOversigt Matematik Alfa 1, Januar 2003
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereFraktaler Mandelbrots Mængde
Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 2 Komplekse tal 5 2.1 Definition.......................................
Læs mereOpgave 1 - løsning 1) De partielle afledede beregnes. Opgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. f x = y 1 (x + y) 2.
Oversigt Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Juni 2019 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereLokalt ekstremum DiploMat 01905
Lokalt ekstremum DiploMat 0905 Preben Alsholm Institut for Matematik, DTU 6. oktober 00 De nition Et stationært punkt for en funktion af ere variable f vil i disse noter blive kaldt et egentligt saddelpunkt,
Læs merePotensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen
Potensrækker Morten Grud Rasmussen 1 10 november 2015 Definition og konvergens af potensrækker Definition 1 Potensrække) En potensrække er en uendelig række på formen a n pz aq n, 1) hvor afsnittene er
Læs mereWigner s semi-cirkel lov
Wigner s semi-cirkel lov 12. december 2009 Eulers Venner Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Diagonalisering af selvadjungeret matrix Lad H være en n n matrix med komplekse
Læs mereSkriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02)
SYDDANSK UNIVERSITET ODENSE UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM2) Fredag d. 2. januar 22 kl. 9. 3. 4 timer med alle sædvanlige skriftlige
Læs mereFunktionsfamilier. Frank Villa. 19. august 2012
Funktionsfamilier Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere
Læs mereOm første og anden fundamentalform
Geometri, foråret 2005 Jørgen Larsen 9. marts 2005 Om første og anden fundamentalform 1 Tangentrummet; første fundamentalform Vi betragter en flade S parametriseret med σ. Lad P = σu 0, v 0 være et punkt
Læs mereTidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra
Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42
Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder
Læs mereMatematik A. Højere teknisk eksamen. Forberedelsesmateriale. htx112-mat/a-26082011
Matematik A Højere teknisk eksamen Forberedelsesmateriale htx112-mat/a-26082011 Fredag den 26. august 2011 Forord Forberedelsesmateriale til prøverne i matematik A Der er afsat 10 timer på 2 dage til
Læs mere1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier
MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober 2017 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier Grupperne forventes at regne de små opgaver i afsnittene 1 5 i løbet af de første 4 halve dage. Dernæst tilføjes
Læs mereElektromagnetisme 14 Side 1 af 10 Elektromagnetiske bølger. Bølgeligningen
Elektromagnetisme 14 Side 1 af 1 Bølgeligningen Maxwells ligninger udtrykker den indbyrdes sammenhæng mellem de elektromagnetiske felter samt sammenhængen mellem disse felter og de feltskabende ladninger
Læs mereKalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger
Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning
Læs mereEksamen i Mat F, april 2006
Eksamen i Mat F, april 26 Opgave Lad F være et vektorfelt, givet i retvinklede koordinater som: Udregn F og F: F x F = F x i + F y j + F z k = F y = z 2 F z xz y 2 F = F x + F y + F z = + + x. F = F z
Læs mereLineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering
Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Egenvektorer og egenværdier Mål: Forståelse af afbildningen x Ax fra R n R n for en n n-matrix
Læs mereDIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 2003 AARHUS UNIVERSITET
DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 2003 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN INDHOLD. Lineær ligning 2 2. Lineært system 8 3. Generel ligning 6 4. Stabilitet 8 Litteratur 2 Noterne er til 4 timers forelæsninger
Læs mereTaylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension
Kapitel 3 Taylors formel 3.1 Klassiske sætninger i en dimension Sætning 3.1 (Rolles sætning) Lad f : [a, b] R være kontinuert, og antag at f er differentiabel i det åbne interval (a, b). Hvis f (a) = f
Læs mere