Lidt supplerende køteori (ikke pensum)
|
|
- Karina Juhl
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 H.Keiding: Operationsanalyse MØK 205II Note om køteori, side. Lidt mere om M/M/ Lidt supplerende køteori (ikke pensum).. Rate-equality. I den første note endte vi de generelle betragtninger med en hurtig gennemgang af køen M/M/. Den var jo i princippet kendt i forvejen, og ikke nok med det, vi tager den lige en gang til her, men denne gang mest for at illustrere at man kan komme nemmere til en del resultater ved at udnytte generelle egenskaber. Vi har nemlig at gøre med en fødsels- og dødsproces: Køens tilstand er givet ved antal kunder i systemet, og det ændrer sig kun til en mere eller en mindre, hvilket gør køsystemet simpelt som anskuet som Markov process. Vi skal i denne note interessere os for denne type køsystemer. Når vi først har indskrænket os til at se på systemer hvor man kun flytter til to nabotilstande, så er den simpleste blandt disse en der opfylder rate-equality princippet: Hastigheden hvormed systemet kommer ind i en bestemt tilstand er lig med hastigheden hvormed man forlader tilstanden. Dette holder jo i M/M/, for ellers ville der ske ophobning omkring et bestemt kundeantal. Hvis vi som tidligere antager at ankomster er Poisson med parameter λ og betjening Poisson med parameter (og at steady state løsningen med sandsynligheder p n for tilstande n = 0,,... er veldefineret), så kan vi bruge rate-equality til at finde hastigheder ind i og ud af tilstande. For tilstand 0 har vi at hastigheden ind (sim sandsynligheden for at køen er i tilstand og går til 0 i et lille tidsinterval) er p og hastigheden ind er tilsvarende p 0 λ, så vi har λ p. For tilstand er hastigheden ind λp 0 + p 2 og hastigheden ud er p (λ), og for tilstand n har vi λp n + p n = λp n + p n+, og ved løsning får vi så det allerede kendte udtryk p n = ( ρ)ρ n, n = 0,,..... Nogle mål for køsystemets ydelse. Som tidligere nævnt er det meningen med analysen af køsystemer ikke blot at finde gennemsnitsmål, så som ventetid og antallet af kunder i køen, men også mål der knytter sig til fordelingen af disse størrelser og dermed giver et fingerpeg om, hvor galt det kan gå, netop fordi systemet er stokastisk. Lad N være antal kunder i systemet (som enten venter eller bliver ekspederet), og lad W ventetiden i systemet, begge i steady state, når systemet har fungeret længe (og dermed er underkastet sandsynlighederne p n fundet ovenfor). Vi har at E[N] = np n = n( ρ)ρ n = ρ ( ρ),
2 H.Keiding: Operationsanalyse MØK 205II Note om køteori, side 2 (der skal ofte summeres med en vis behændighed, her sætter man ρ( ρ) udenfor summationen og bruger formlen for en uendelig kvotientrække), og man kan tilsvarende finde E[N 2 ] = 2ρ2 ( ρ) + ρ 2 ρ, (summationen kræver her betydelig mere opfindsomhed og overlades til en øvelse), så at vi får variansen of N til at være Var[N] = E[N 2 ] (E[N]) 2 ρ = ( ρ). 2 Det ses at variansen går mod når ρ vokser mod, hvilket fortæller os at et vilkårligt køsystem vil være opføre sig meget forskelligt fra middelværdien (der iøvrigt også går mod uendelig). Bruger vi nu Little s formel, har vi at E[W] = E[N] λ = ( ρ). Imidlertid er vi jo ikke tilfreds med den gennemsnitlige ventetid, vi vil også gerne kende fordelingerne. Lad os indføre betegnelsen W q for ventetid i kø til forskel fra den samlede ventetid W (ofte betegnet response time eller sojourn time). For at finde fordelingerne må vi vide noget om kødisciplinen (er det de sidst ankomne eller de først ankomne der betjenes først?) og vi antager at det er FCFS (First Come First Served, også kendt som FIFO). Vi har at W q = 0 netop når systemet er tomt ved kundens ankomst (her har vi effektivt brugt FCFS), så sandsynligheden for W q = 0 er åbenbart ρ, eller, sagt på anden måde, sandsynligheden for, at en kunde kommer til at vente efter sin ankomst, er P{W q > 0} = ρ. Hvis kunden finder n andre kunder i systemet, så vil ventetiden være S n = v + v v n, hvor v er den resterende betjeningstid for den kunde, der netop ekspederes, og v 2,..., v n er betjeningstiden for de andre ventende kunder. Heldigvis er betjeningen eksponentialfordelt, så den tid der går fra et vilkårligt stadie af en betjening og til betjeningen er slut, har samme fordeling som hele betjeningen (overvej!), og det betyder, at S n er summen af n uafhængige eksponentialfordelte variable, og den er gammafordelt med tæthedsfunktion n x n e x. Γ(n) For at finde tæthedsfunktionen w q (x) for ventetiden bruger vi at w q (x)dx = P{x W q x + dx} for intervallet dx meget lille, og vi har så at w q (x)dx = P{x W q x + dx n kunder i systemet} P{n kunder i systemet} = n x n e x p n = e x ( ρ)ρ Γ(n) = ρ( ρ)e ( ρ)x, (ρx) n (n )!
3 H.Keiding: Operationsanalyse MØK 205II Note om køteori, side 3 der (næsten) kan genkendes som tæthedsfunktionen for en eksponentialfordelt variabel; ialt har tætheden formen ρ for x = 0, w q (x) = ρ( ρ)e ( ρ)x for x > 0. Det er ofte hensigtsmæssigt at bruge Laplace transform når man skal finde fordelinger som her. Generelt defineres Laplace transformen fra en given tæthedsfunktion f som funktionen L f defineret på alle reelle (og komplekse) tal ved (L f )(s) = E[e sx ]. Blandt de mange egenskaber ved Laplace transformen, der gør den nyttig, er at summer af stokastiske variable oversætter til produkter af deres Laplace transformer. For en eksponentialfordelt variabel med parameter (betjeningstiden i vores kømodel), får vi en Laplace transform af formen E[e sx ] = 0 e sx e x dx = 0 e (s+)x dx = s +, Det betyder at Laplace transformen for ventetid givet n kunder i systemet (som er summen af n eksponentialfordelte variable), får formen ( ) n w q(s n) =. s + På samme måde som ovenfor har vi at w q(s) = p 0 + p n w q(s n) = ( ρ) + ( ρ) = ( ρ) + ( ρ n s + ρ( ρ) s + ( ρ). Indtil nu har vi blot gendannet argumentet fra før, men det smarte ved Laplace transformen er, at vi nu kan gå direkte til fordelingen for W, som jo er samlet tid i systemet, dvs. ventetid plus betjening, og den tilhørende Laplace transform bliver derfor w (s) = w q(s) s + = ( ρ) s + ( ρ). Denne Laplace transform genkender vi umiddelbart som hørende til en eksponentialfordeling med paramter ( ρ). Der er også andre sidegevinster ved at bruge Laplace transform, f.eks. kan vi ret nemt finde fordelingernes momenter af den generelle formel (hvor den stokastiske variabel X har tæthed f og Laplace transform F) E[X n ] = ( ) n F (n) (0). ) n
4 H.Keiding: Operationsanalyse MØK 205II Note om køteori, side 4 Anvendt på W q får vi og Herfra får vi så variansen af W q som Var[W q ] = E[W q ] = d ds w q(s) s=0 = E[W q ] = d2 ds 2 w q(s) s=0 = λ ( λ) 2λ ( λ) 2. ( ) 2 2λ ( λ) λ = 2 ( λ) ρ(2 ρ) ( λ) Køsystemer med begrænset venterum; køen M/M//K Vi tilføjer nu en lille detalje til vores køsystem, nemlig en kapacitetsgrænse, forstået således at der højest kan være N kunder i systemet. Når dette kundeantal er nået, tillades ikke flere ankomster, således at køen i tilstand K kun kan ændres i nedadgående retning. For at finde de enkelte tilstandes sandsynlighed i steady state bruger vi rate-equality princippet fra tidligere. Vi har da λ p λp n + p n = λp n + p n+, n =, 2,..., K, λp K = p K. Fra de to første ligninger får vi (som sædvanlig) og fra den sidste ligning har vi p n = p 0 ρ n, n = 0,,..., K, p K = ρp K = ρ(p 0 ρ K ) = p 0 ρ K. Vi har dermed at p n = p 0 ρ h for alle tilladte n, og vi skal så blot finde p 0 udfra betingelsen p n =, hvoraf vi får at p n = ρ ρ K+ for ρ, and Ialt har vi således for ρ at for ρ =. K + p n = p 0 ρ n = ( ρ)ρn ρ K+, som er en afkortet geometrisk fordeling.
5 H.Keiding: Operationsanalyse MØK 205II Note om køteori, side 5 Med begrænsningen på antallet af kunder i systemet, og den resulterende afvisning af kunder, der ikke er plads til, vil det gennemsnitlige antal kunder i systemet også blive anderledes. I specialtilfældet ρ = fås L K = np n = n K + = K 2. I det mere interessante tilfælde hvor ρ >, har vi L K = ( ρ)ρ ρ K+ nρ n, og hvis vi bruger, at nρ n = n d dρ ρn = d dρ ρ n = ( ρ)(k + )ρk + ρ K+ ( ρ) 2, får vi L K = ρ (K + )ρk+. ρ ρ K+ Selvom kunderne ankommer til systemet med hastighed λ, vil den effektive kundeankomst blive mindre, fordi nogle kunder afvises. Det forventede antal kunder som kommer ind i systemet pr. tidsenhed er λ = λ( p K ) = λ( ρk ) ρ K+ for ρ <. Tilsvarende er udnyttelsesgraden ikke ρ men b = = ( p 0 ) = ρ( ρk ) ρ K+, og den forventede output hastighed bliver [ b = ρ ] = λ, ρ K+ så med passende moditikationer ser tingene ud som de gjorde uden kapacitetsbegrænsninger. Man kan identificere M/M//K med en totrins cyklisk model for behandling af K emner, som cirkulerer mellem to servere I og II, som har uafhænginge eksponentielle betjeningstider med parametre og λ, som vist i Figur. Så længe der er mindre end K kunder i køen før server I vil der komme kunder fra server II, hvor tiden mellem hver ankomst er fordelt som servicetid i server II, dvs. eksponentielt med parameter λ. Når alle kunder er i I, kan der ikke komme flere. Formelt er systemet derfor det samme som en M/M//K kø.
6 H.Keiding: Operationsanalyse MØK 205II Note om køteori, side 6 I denne model har vi derfor at sandsynligheden p(n, K n) for n kunder i I og K n kunder i II er p n fundet ovenfor, udnyttelsesgraderne er ρ ρ = p 0, ρ 2 = p k, = ρ, ρ 2 og det forventede antal kunder i de to servere er E(N ) = np n, E(N 2 ) = K E(N ). Forventet tidsforbrug gennem hele systemet er K ρ = K ρ 2 λ. 3. Køen M/M/ med tilstandsafhængig ankomst og betjening Hvis processerne for ankomst og betjening ikke er karakteriseret alene ved de to parametre λ og, men afhænger af den aktuelle tilstand, bliver udtrykkene lidt mere komplicerede, men der sker egentlig ikke noget principielt nyt. Lad ankomst og betjening i tilstand n være givet ved parametrene λ n og n. Vi indfører som tidligere p n = lim t P{N(t) = n}, n = 0,, 2,... og bruger rate-equality som tidligere. Det giver for tilstanden n = 0, og for n 0 får vi Ligningssystemet kan løses ved at vi omskriver (0) til og så indsætter rekursivt, så at vi får λ 0 p (9) (λ n + n )p n = λ n p n + n+ p n+. (0) λ n p n n+ p n+ = λ n p n n p n λ n p n n+ p n+ = λ n 2 p n 2 n p n = = λ 0 p 0 p = 0, hvor det sidste lighedstegn følger fra (9). Det giver os at p n+ = Vi bruger så at p n = og får at λ n n+ p n = λ n n+ λ n n p n = = + n k=0 λ k k+. h k=0 λ k k+ p 0. Køen M/M//K er iøvrigt et specialtilfælde, idet den fremkommer ved at man sætter λ n = λ for n = 0,,..., K λ n = 0 for n = K og n = for alle n.
7 H.Keiding: Operationsanalyse MØK 205II Note om køteori, side 7 4. Køen M/M/c Vi går nu et skridt videre, idet vi antager, at der er c parallele betjeningssteder (også kaldet kanaler ) med hver sin uafhængige og identisk eksponentialfordelte betjeningstid, med parameter. Vi antager, at nye kunder allokeres til ledige betjeningssteder, hvis der er sådanne. Specielt betyder det, at hvis antal kunder n er mindre end c, så er n kanaler optagne og samlet servicetid er eksponentialfordelt med parameter n. Hvis omvendt n c, så er alle kanaler igang og betjeningstiden er eksponentialfordelt med parameter c. Vi kan således analysere denne kø som en M/M/ kø med tilstandsafhængige betjeningsprocesser, og det giver os helt umiddelbart et udtryk for steady-state sandsynlighederne, nemlig ved for n =,..., c, og p n = p n = λ n ()(2) (n) λ n [()(2) (n)](c) n c p 0 c!c p n c 0 for n = c, c +,.... For at få sandsynlighederne udtrykt ved parametrene alene må vi bruge normaliseringsbetingelsen =, hvoraf man får at c = + p 0 ( λ ) n + n=c c!c, n c og da det sidste led i udtrykket på højre side kan skrives som c!c c n=c, c som er en konvergent kvotientrække når ρ <, får vi alt at c ( ) c λ ( c! λ c (bemærk at den første sum er udvidet til også at omfatte tilfældet n = 0). Vi kan nu finde sandsynligheden for at en kunde må vente efter ankomst, den er givet ved ( ) c λ ( C = C c, λ ) = P{N c} = p n = c!( ρ p c ρ n=c )
8 H.Keiding: Operationsanalyse MØK 205II Note om køteori, side 8 kendt som Erlang s C formel. Det forventede antal optagne betjeningssteder kan findes som c EB = np n + cp n. n=c som ved efter indsættelse af formlerne for p n reducerer til det simple udtryk (det kan checkes som øvelse) EB = c λ = cρ. Forventet antal betjeningssteder som ikke benyttes er dermed EI = E[c B] = c( ρ). 5. Køsystemer med tab: Køen M/M/c/c Vi antager nu om vort køsystem, at kunder, som ankommer når alle c betjeningssteder er optagne, forlader systemet uden at afvente betjening. Eksemplet på sådanne systemer er telefoncentraler med c linier, og det var netop Erlangs studie af sådanne køsystemer, som satte gang i køteorien som selvstændig disciplin. Et system med tab af kunder kaldes et (c-kanals) tabssystem (loss system). Formelt set har vi at gøre med en sældvanlig fødsels- og dødsproces med λ n = λ, n = n for n = 0,, 2,..., c, men med λ n = 0, n = c for n c. På samme måde som tidligere får vi p n =, n =,..., c, 0, n > c, and således at vi ialt har p n = c k=0 ( λ c k! k=0 ) k ( λ k! ) k, n = 0,,..., c. Udtrykket er kendt som Erlangs første formel. En kunde som ankommer til systemet er tabt,,
9 H.Keiding: Operationsanalyse MØK 205II Note om køteori, side 9 hvis alle kanaler er optagne ved ankomst, og sandsynligheden for dette er ( ) c λ p c = c! ( ) k, λ c k! k=0 kendt som Erlangs tabsformel (eller Erlangs B-formel, B står for blocking ), og man bruger notationen B(c, λ/) for denne sandsynlighed. Det forventede antal optagne betjeningssteder kan som før findes af EB = c np n = λ ( p c) = λ [ B ( c, λ og forventet antal ubenyttede betjeningssteder bliver så EI = E[c I] = c λ [ ( B c, λ )]. )], 6. Køsystemer med endeligt antal kunder: Køen M/M/c/ /m I mange situationer vides det, at der er et endeligt antal m af kunder; for at undgå trivielle tilfælde vil vi antage at c m. Hver af de c betjeningssteder har samme eksponentialfordeling med parameter, så den samlede servicehastighed er n hvis n betjeningssteder er i gang, og c, hvis alle er i gang. Hvis der er n kunder i systemet (som enten venter eller betjenes), så er der m n udenfor, og det antages at der ankommer kunder med hastighed λ(m n). Sådanne køsystemer kendes blandt andet fra maskinproblemer med m maskiner og c reparatører. Vi kan som sædvanlig finde steady-state sandsynligheder fra den relevante fødsels- og dødsproces, der har parametre (m n)λ, n = 0,,..., m, λ n = 0, n m, og n, n =, 2,..., c, n = c, n c. Hvis p n er sandsynligheden for at der er n kunder i systemet (i steady state), så har vi trivielt at p n = 0 for n > m. For n = 0,,..., c er p n = = n i=0 λ i i+ n i=0 (m i)λ (i + ) p 0 ( λ m(m ) (m n + ) ) n ( ) ( ) n m λ p 0, n
10 H.Keiding: Operationsanalyse MØK 205II Note om køteori, side 0 og for n = c, c +,..., m er p n = n i=0 (m i)λ (i + ) m! (m n)! c!c n c p 0. Som sædvanlig mangler vi at finde p 0 ved normaliseringsbetingelsen m p n =, hvilket giver c ( m n ) ( λ ) n + m m! (m n)! n=c c!c n c ( ) n λ. Det kan vises (Bunday & Scarton, 980), at resultaterne ovenfor holder for et vilkårligt køsystem med endeligt input og eksponentielle betjeningstider og vilkårligt fordelte ankomsttider (som skal være uafhængige og have gennemsnitlig hastighed λ), altså for et køsystem G/M/c/ /m. Referencer Bunday, B.D. and R.E.Scarton (980), The G/M/r machine interference model, European Journal of Operational Reseach 4,
Udvikling af operations karakteristika/performance mål for køsystemer
Chapter 2: Genstandsområde: Køteori Analyse af køsystemer Formål: Udvikling af operations karakteristika/performance mål for køsystemer > ssh for 0 enheder i system > gns # enheder i køen > gns # enheder
Læs mereStokastiske processer og køteori
Stokastiske processer og køteori 7. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 OVERBLIK Sidste gang: M/M/(m, n m)-køsystemet: ligevægtsfordeling; performancestørrelser;
Læs mereStokastiske processer og køteori
Stokastiske processer og køteori 2. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 STOKASTISK MODEL FOR KØSYSTEM Population Ankomst Kø Ekspedition Output Ankomstproces
Læs mereLøsning til prøveeksamen 1
IMM - DTU 020 Probability 2006-2-8 BFN/bfn Løsning til prøveeksamen Spørgsmål ) For en indikatorvariabel I A for hændelsen A gælder E(I A ) = P(A) (se for eksemepl side 68). Således er E(X) = P(N ) = =
Læs mereVi har beskæftiget os indgående med ankomst- og servicetidsprocesser. Disse karakteriserer input til et køsystem. Andre karakteriserende størrelser?
Dagens emner Kvalitative egenskaber og karakteristiske størrelser i generelle køsystemer. Little s formel. Repetition af hopdiagrammer og Markovprocesser. Fødsels- og dødskøsystemer. AGR/PSE (I17) VS7-5.
Læs mereStokastiske processer og køteori
Stokastiske processer og køteori 6. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 KØSYSTEMER NOTATION Notation for parallelforbundne ekspeditionssystemer X/Y(m, q).
Læs mereStokastiske processer og køteori
Stokastiske processer og køteori 5. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 DAGENS EMNER Kvalitative egenskaber og karakteristiske størrelser i generelle køsystemer.
Læs mereNotation for parallelforbundne ekspeditionssystemer
Køsystemer notation Notation for parallelforbundne ekspeditionssystemer X /Y (m, q). Ankomstproces X og ekspeditionstidsproces Y kan antage værdier: M: Uafhængige og eksponentialfordelte ventetider. Dvs.
Læs mereModeller for ankomstprocesser
Modeller for ankomstprocesser Eric Bentzen Institut for Produktion og Erhvervsøkonomi Handelshøjskolen i København November 2007 1 . Afsnit Indhold Side 1 Indledning 3 2 Ankomstprocessen 3 3 Servicesystemet
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Den hændelse, der ikke indeholder
Læs mereStokastiske processer og køteori
Stokastiske processer og køteori 8. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 HVAD ER KØNETVÆRK? Åbent kønetværk Lukket kønetværk HVAD ER KØNETVÆRK? 2 Vi skal
Læs mereSandsynlighedsregning 6. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 6. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 4.2, 4.3 og 4.4 Poissonprocessen/eksponentialfordelingen
Læs mereBilledbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 1)
; C ED 6 > Billedbehandling og mønstergenkendelse Lidt elementær statistik (version 1) Klaus Hansen 24 september 2003 1 Elementære empiriske mål Hvis vi har observationer kan vi udregne gennemsnit og varians
Læs mereProgram. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians. Eksempler fra sidst. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål
Program Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume fra i mandags og et par eksempler mere om sammenhængen
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag SaSt2 (Uge 6, onsdag) Middelværdi og varians 1 / 18 Program I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume
Læs mereMatematisk model for køsystem
Matematisk model for køsystem Ankomstproces T 1, T 2,... (ankomsttid per kunde). Kødisciplin (rækkefølge for service). Ekspeditionstidsproces S 1, S 2,... (servicetid per kunde). Dagens emne: ankomstprocesser.
Læs mereProgram. Statistik og Sandsynlighedsregning. Eksempler. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål
Program Statistik og Sandsynlighedsregning Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R Varians og middelværdi Normalfordelingen Susanne Ditlevsen Uge 48, tirsdag Tætheder og fordelingsfunktioner
Læs mere02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser, Uge 4
02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser, Uge 4 Vejledende løsning 5.46 P (0.010 < error < 0.015) = (0.015 0.010)/0.050 = 0.1 > punif(0.015,-0.025,0.025)-punif(0.01,-0.025,0.025) [1] 0.1
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Et sandsynlighedsmål er en
Læs mereSandsynlighedsregning 6. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 6. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfn@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 4.2, 4.3 og 4.4 Poissonprocessen/eksponentialfordelingen
Læs mere1 Palm teori. Palm teori 1
Palm teori 1 1 Palm teori Lad X = {X(t)} t 0 være en stokastisk proces defineret på et måleligt rum (Ω, F), og lad T = {T n } n N0 være en voksende følge af ikke-negative stokastiske variable herpå. Vi
Læs mereTeoretisk Statistik, 16. februar Generel teori,repetition
1 Uge 8 Teoretisk Statistik, 16. februar 2004 1. Generel teori, repetition 2. Diskret udfaldsrum punktssh. 3. Fordelingsfunktionen 4. Tæthed 5. Transformationer 6. Diskrete vs. Kontinuerte stokastiske
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Approksimation af binomialsandsynligheder, Afsnit 4.5 Multinomial fordeling, Afsnit 4.8 Negativ binomialfordeling, Afsnit 4.4 Poisson fordeling og Poisson process, Afsnit 4.6 Kontinuerte
Læs mereOperationsanalyse, Ordinær Eksamen 2017I Rettevejledning
Operationsanalyse, Ordinær Eksamen 207I Rettevejledning Opgave A Ifølge de givne oplysninger skal der ialt udbringes 000 kg gødning i årets løb. Det fremgår videre af teksten, at der ønskes udbragt en
Læs mereHvad er kønetværk? AGR/PSE (I17) VS7-8. minimodul 1 / 17
Hvad er kønetværk? AGR/PSE (I17) VS7-8. minimodul 1 / 17 Hvad er kønetværk? Vi skal kun se på åbne kønetværk (ankomst fra eksterne kilder, hver kunde forlader systemet med sandsynlighed 1). Ideelt vil
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 30. maj 2016 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 7 sider Skriftlig prøve, den: 0. maj 206 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret
Læs mereRepetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable
Normal fordelingen Normal fordelingen Egenskaber ved normalfordelingen Standard normal fordelingen Find sandsynligheder ud fra tabel Transformation af normal fordelte variable Invers transformation Repetition
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 29. maj 2015 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 7 sider Skriftlig prøve, den: 9. maj 05 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af:
Læs mereOperationsanalyse MØK
Operationsanalyse MØK 2015II Eksamensopgave, Rettevejledning, side 1 Operationsanalyse MØK Eksamensopgave, 4. januar 2016 Rettevejledning 1. Vi har at gøre med et transportproblem, der kan skrives på formen
Læs mereIntroduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Peder Bacher
Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk
Læs mereSandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse
Læs mereFornyelsesteori med anvendelser: Punktprøve
Fornyelsesteori med anvendelser: Punktprøve May 9, 2003 For at få kredit for kurset Fornyelsesteori med anvendelser kræves at afleveringsopgave 1 og 2 samt nedenstående punktprøve besvares tilfredsstillende.
Læs mereTeoretisk Statistik, 13 april, 2005
Poissonprocessen Teoretisk Statistik, 13 april, 2005 Setup og antagelser Fordelingen af X(t) og et eksempel Ventetider i poissonprocessen Fordeling af ventetiden T 1 til første ankomst Fortolkning af λ
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Uafhængighed og reelle transformationer Helle Sørensen Uge 8, mandag SaSt2 (Uge 8, mandag) Uafh. og relle transf. 1 / 16 Program I dag: Uafhængighed af kontinuerte
Læs mereEn oversigt over udvalgte kontinuerte sandsynlighedsfordelinger
Institut for Økonomi Aarhus Universitet Statistik 1, Forår 2001 Allan Würtz 4. April, 2001 En oversigt over udvalgte kontinuerte sandsynlighedsfordelinger Uniform fordeling Benyttes som model for situationer,
Læs mereLøsning til eksamen 16/
1 IMM - DTU 245 Probability 24-5-11 BFN/bfn Løsning til eksamen 16/12 23 Spørgsmål 1) 2 44% Man benytter formlen for skalering og positionsskift i forbindelse med varians og standardafvigelse, samt formlen
Læs mereNoget om en symmetrisk random walks tilbagevenden til udgangspunktet
Random Walk-kursus 2014 Jørgen Larsen 14. oktober 2014 Noget om en symmetrisk random walks tilbagevenden til udgangspunktet Dette notat giver et bevis for at en symmetrisk random walk på Z eller Z 2 og
Læs mereBernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen
Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition Lov om total sandsynlighed Bayes sætning P( B A) = P(A) = P(AI B) + P(AI P( A B) P( B) P( A B) P( B) +
Læs mereSandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse
Læs mereKarakteristiske funktioner og Den Centrale Grænseværdisætning
E6 efterår 1999 Notat 10 Jørgen Larsen 20. oktober 1999 Karakteristiske funktioner og Den Centrale Grænseværdisætning Karakteristiske funktioner som er nære slægtninge til Fourier-transformationen) er
Læs mereenote 2: Kontinuerte fordelinger Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher enote 2: Continuous Distributions
Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 33B, Rum 9 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk Efterår
Læs mereSandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse
Læs merehvor a og b er konstanter. Ved middelværdidannelse fås videre
Uge 3 Teoretisk Statistik. marts 004. Korrelation og uafhængighed, repetition. Eksempel fra sidste gang (uge ) 3. Middelværdivektor, kovarians- og korrelationsmatrix 4. Summer af stokastiske variable 5.Den
Læs mereEksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Eksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Kontinuerte fordelinger Ventetider i en Poissonproces Beskrivelse af kontinuerte fordelinger: - Median og kvartiler - Middelværdi - Varians Simultane fordelinger 1 Ventetider i en Poissonproces
Læs mereStokastiske processer og køteori
Info Stokastiske processer og køteori 1. kursusgang Jesper Møller Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet http://www.math.aau.dk/ jm JM (I17) VS7-1. minimodul 1 / 40 Info Praktisk information
Læs mereFortolkning. Foldning af sandsynlighedsmål. Foldning af tætheder. Foldning af Γ-fordelinger Eksempel: Hvis X og Y er uafhængige og. Sætning (EH 20.
Foldning af sandsnlighedsmål Lad µ og ν være to sandsnlighedsmål på (R, B). Fortolkning Lad φ : R R være φ(, ) = + for (, ) R. Lad X og Y være to reelle stokastiske variable defineret på (Ω, F, P). Definition
Læs mereIntroduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)
Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007. Dagens program
Dagens program Approksimation af binomialsandsynligheder, Afsnit 4.5 Poisson fordeling og Poisson process, Afsnit 4.6 Kontinuerte fordelinger, Afsnit 5.1-5.2: - Fordelingsfunktion - Tæthedsfunktion - Eksempel:
Læs mereBetingning med en uafhængig variabel
Betingning med en uafhængig variabel Sætning Hvis X er en reel stokastisk variabel med første moment og Y er en stokastisk variabel uafhængig af X, så er E(X Y ) = EX. Bevis: Observer at D σ(y ) har formen
Læs mereTeoretisk Statistik, 9 marts nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts.
Teoretisk Statistik, 9 marts 2005 Empiriske analoger (Kap. 3.7) Normalfordelingen (Kap. 3.12) Opsamling på Kap. 3 nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts. 1 Empiriske analoger Betragt
Læs mereHvad skal vi lave i dag?
p. 1/2 Hvad skal vi lave i dag? Eksempler på stokastiske variable. Ventetid på krone ved møntkast. Antal plat ved n kast. Antal radioaktive henfald. Ventetiden på en flyulykke. Udtrækning af tal i et interval.
Læs mereStatistik for ankomstprocesser
Statistik for ankomstprocesser Anders Gorst-Rasmussen 20. september 2006 Resumé Denne note er en kortfattet gennemgang af grundlæggende statistiske værktøjer, man kunne tænke sig brugt til at vurdere rimeligheden
Læs mereSandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)
Program: 1. Repetition: sandsynlighedsregning 2. Sandsynlighedsregning fortsat: stokastisk variabel, sandsynlighedsfunktion/tæthed, fordelingsfunktion. 1/16 Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)
Læs mereReeksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Reeksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål. Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt.
Læs mereMarkovkæder med endeligt tilstandsrum
Kapitel 9 Markovkæder med endeligt tilstandsrum En følge af stokastiske variable {X t } = {X 0, X 1, X 2,...} kaldes en stokastisk proces. Vi kan nemlig tænke på de stokastiske variable som tilstanden
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Kapitel 8.7, 8.8 og 8.10 Momenter af gennemsnit og andele kap. 8.7 Eksempel med simulationer Den centrale grænseværdisætning (Central Limit Theorem) kap. 8.8 Simulationer Normalfordelte
Læs mereDefinition. Definitioner
Definition Landmålingens fejlteori Lektion Diskrete stokastiske variable En reel funktion defineret på et udfaldsrum (med sandsynlighedsfordeling) kaldes en stokastisk variabel. - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/
Læs mereNote om Laplace-transformationen
Note om Laplace-transformationen Den harmoniske oscillator omskrevet til et ligningssystem I dette opgavesæt benyttes laplacetransformationen til at løse koblede differentialligninger. Fordelen ved at
Læs mereSupplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 136
Supplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 36 Det er besværligt at regne med binomialfordelingen, og man vælger derfor ofte at bruge en approksimation med normalfordeling. Man
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25
Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 40, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm bearbejdet af JC 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen s.445-8 dx Eksempler
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R Helle Sørensen Uge 6, mandag SaSt2 (Uge 6, mandag) Tætheder og kont. fordelinger 1 / 19 Program Velkommen I dag:
Læs mereNormalfordelingen og Stikprøvefordelinger
Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen Standard Normal Fordelingen Sandsynligheder for Normalfordelingen Transformation af Normalfordelte Stok.Var. Stikprøver og Stikprøvefordelinger
Læs mereCIVILINGENIØREKSAMEN Side?? af?? sider. Skriftlig prøve, den: 16. december 2004 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
CIVILINGENIØREKSAMEN Side?? af?? sider Skriftlig prøve, den: 6. december 2004 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: (navn) (underskrift)
Læs mereLad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt:
SANDSYNLIGHEDSREGNING Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet Til gengæld kan vi prøve
Læs mereINSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c
INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c AALBORG UNIVERSITET FREDRIK BAJERS VEJ 7 G 9220 AALBORG ØST Tlf.: 96 35 89 27 URL: www.math.aau.dk Fax: 98 15 81 29 E-mail: bjh@math.aau.dk Dataanalyse Sandsynlighed og stokastiske
Læs mereKursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen
Læs mereNote om Monte Carlo metoden
Note om Monte Carlo metoden Kasper K. Berthelsen Version 1.2 25. marts 2014 1 Introduktion Betegnelsen Monte Carlo dækker over en lang række metoder. Fælles for disse metoder er, at de anvendes til at
Læs mereSandsynlighedsregning 11. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 11. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 28 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@imm.dtu.dk Dagens nye emner afsnit 6.3 (og 6.4 Betingede
Læs mereKursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet March 1, 2013 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen
Læs mereChapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning
Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis
Læs mereTema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.
Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Kapitel 4: Diskrete fordelinger Hypergeometrisk fordeling, Afsnit 4.3 Multinomial fordeling, Afsnit 4.8 Geometrisk fordeling og Negativ binomialfordeling (Inverse Sampling), Afsnit 4.4 Approksimation
Læs mereMatematik B, august 2017 Løsninger CAS-værktøj: Nspire. Delprøven uden hjælpemidler
Delprøven uden hjælpemidler Opgave 1 a) Gennemsnitligt antal tilmeldte: 4 +3+1+ 9+12+ 4 +17+5+14 +11 x = = 80 10 10 = 8 Det gennemsnitlig antal tilmeldte er 8 personer. Opgave 2 Graf: Opgave 3 a) Vi indsætter
Læs mereModul 2: Sandsynlighedsmodeller og diskrete stokastiske variable
Forskningsenheden for Statistik ST501: Science Statistik Bent Jørgensen Modul 2: Sandsynlighedsmodeller og diskrete stokastiske variable 2.1 Sandsynlighedsbegrebet............................... 1 2.1.1
Læs mereOpgaver i sandsynlighedsregning
Afdeling for Teoretisk Statistik STATISTIK Institut for Matematiske Fag Preben Blæsild Aarhus Universitet 9. januar 005 Opgaver i sandsynlighedsregning Opgave Lad A og B være hændelser således at P(A)
Læs mereLandmålingens fejlteori - Repetition - Kontinuerte stokastiske variable - Lektion 3
Landmålingens fejlteori Repetition - Kontinuerte stokastiske variable Lektion 4 - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf10 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 29. april
Læs mereCenter for Statistik. Multipel regression med laggede responser som forklarende variable
Center for Statistik Handelshøjskolen i København MPAS Tue Tjur November 2006 Multipel regression med laggede responser som forklarende variable Ved en tidsrække forstås i almindelighed et datasæt, der
Læs mereSandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger
Tue Tjur Marts 2007 Sandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger Stat. MØK 2. år Kapitel : Sandsynlighedsfordelinger og stokastiske variable En sandsynlighedsfunktion på en mængde E (udfaldsrummet)
Læs mereStokastiske processer og køteori
Stokastiske processer og køteori 3. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 SIDSTE GANG Ankomstproces T 1, T 2,... (ankomsttid per kunde) til køsystem. Modellér
Læs mereCIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 28. maj 2010 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
CIVILINGENIØREKSAMEN Side af 6 sider Skriftlig prøve, den: 8. maj 00 Kursus nr : 005 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: navn underskrift bord nr Der
Læs mereKiosk-modellen (News vendor s model) og EOQ modellen
Kiosk-modellen (News vendor s model) og EOQ modellen Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet September 17, 2014 1/15 Stokastiske modeller i økonomi Fundamentale modeller i
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 19. december 2018 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 7 sider Skriftlig prøve, den: 9. december 08 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 11, 2016 1/22 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs mereStokastiske processer og køteori
Stokastiske processer og køteori 1. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 PRAKTISK INFORMATION Hjemmeside: http://www.math.aau.dk/~gorst/vs7 Litteratur: 1.
Læs mereLøsninger til kapitel 5
1 Løsninger til kapitel 5 Opgave 51 Det nemmeste er her at omskrive alle sandsynlighederne til differenser mellem kumulerede sandsynligheder, dvs af sandsynligheder af formen, og derefter beregne disse
Læs mereHvad skal vi lave i dag?
p. 1/1 Hvad skal vi lave i dag? Repeterer lidt om diskrete sv. Standardfordelinger (binomial, Poisson, geometrisk) Stokastiske vektorer Diskrete stokastiske vektorer p. 2/1 Repetition Heltallige sv er
Læs mereSkriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Mandag den 11. juni 2007 kl. 15.00 18.00
Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Mandag den 11. juni 2007 kl. 15.00 18.00 Forskningsenheden for Statistik IMADA Syddansk Universitet Alle skriftlige hjælpemidler samt brug af lommeregner er tilladt.
Læs mereCIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 20. december 2011 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 16 sider Skriftlig prøve, den: 20. december 2011 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: (navn) (underskrift)
Læs mereProjekt 4.9 Bernouillis differentialligning
Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning (Dette projekt dækker læreplanens krav om supplerende stof vedr. differentialligningsmodeller. Projektet hænger godt sammen med projekt 4.0: Fiskerimodeller,
Læs mereMatricer og lineære ligningssystemer
Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix
Læs mereVejledende løsninger til opgaver i kapitel 6
Vejledende løsninger til opgaver i kapitel Opgave 1: a) Den stokastiske variabel, X, der angiver, om en elev består, X = 1, eller dumper, X =, sin eksamen i statistik. b) En binomialfordelt variabel fremkommer
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side?? af?? sider. Skriftlig prøve, den: 18. december 2014 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side?? af?? sider Skriftlig prøve, den: 8. december 04 Kursus nr : 040 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25
Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 27. maj 2019 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 16 sider Skriftlig prøve, den: 7. maj 019 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret
Læs mereEn martingalversion af CLT
Kapitel 11 En martingalversion af CLT Når man har vænnet sig til den centrale grænseværdisætning for uafhængige, identisk fordelte summander, plejer næste skridt at være at se på summer af stokastiske
Læs mereSandsynlighed og Statistik
36 Sandsynlighed og Statistik 6.1 Indledning Denne note beskriver de statistiske begreber og formler som man med rimelig sandsynlighed kan komme ud for i eksperimentelle øvelser. Alt er yderst korfattet,
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen
Landmålingens fejlteori Lektion Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet En stokastisk variabel er en variabel,
Læs mere