Udvikling af operations karakteristika/performance mål for køsystemer
|
|
- Filippa Jensen
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Chapter 2: Genstandsområde: Køteori Analyse af køsystemer Formål: Udvikling af operations karakteristika/performance mål for køsystemer > ssh for 0 enheder i system > gns # enheder i køen > gns # enheder i systemet > gns tid en enhed bruger i køen > gns tid en enhed bruger i systemet > ssh for at en ankommende enhed skal vente Sandsynlighedsfordelinger for ankomstmønstre og betjeningstider må introduceres Skelnen mellem single og multiple channel systemer Skelnen mellem endelig og uendelig underliggende population Bemærk: Lærebogens gennemgang sigter primært imod at gøre Jer bekendt med ideerne bag karakteristik af et køsystem og herunder specielt de formler, der typisk bruges til det formål I dette notesæt gives også en introduktion til den bagvedliggende statistik, og denne bruges til udledning af relevante formler for en enkelt kømodel Den del af notesættet er kursorisk læsning Fordeling af ankomster: Ankomster antages tilfældige og uafhængigt fordelte Ofte antages ankomstmønsteret approximeret ved en Poisson fordeling karakteriseret ved sandsynlighedsfunktionen: x / x! P(x) for x0,, 2, x: # ankomster i given tidsperiode : gns # ankomster per tidsperiode /: basistal for naturlig logaritme (2724) Hvis kendes, så kan P(x) altså beregnes for ethvert heltalligt x Antag at erfaringen viser, at der i løbet af en time i gennemsnit ankommer 45 kunder til et køsystem Så er 075 kunde/minut 45 kunder 60 minutter
2 Ssh for ankomst af 0,, 2, kunder per minut kan nu beregnes ved indsættelse i formlen for P(x) Fordeling af serviceringstider: Den tid, det tager at servicere en enkelt kunde, antages typisk exponentialfordelt: P(seviceringstid Ÿ> ) / > : gns # enheder, der kan serviceres per tidsenhed Hvis kendes, så kan P(seviceringstid Ÿ> ) beregnes for ethver > Kø disciplin: Typisk antages first come first served princippet SteadyState tilstand: Systemets opstartsperiode betegnes dets transient period Opstartsperioden ender, når systemet når dets normaltilstand eller steadystate tilstand Notation: Kømodeller beskrives ofte ÎÎ Den første streg angiver fordelingen af tider mellem to på hinanden følgende ankomster, den anden fordelingen af serviceringstider, og den tredie antal channels i systemet M: Exponentialfordeling (Markovian) D: Degenereret fordeling (konstante tider) E: 5 Erlang's fordeling med parameter 5 G: Generel fordeling Eksempel: MMs Î Î > interarrival times exponential > serviceringstider exponential > s channels Little's formler: Generelle resultater for ethvert køsystem uanset fordelingsantagelser vedr ankomster serviceringstider og uanset # channels: L: ; gns # enheder i køen L: gns # enheder i systemet W: ; gns tid i køen per enhed W: gns tid i systemet per enhed : gns # ankomster per tidsperiode (eller ankomstraten) : gns # enheder, der kan serviceres per tidsenhed (eller serviceringsraten)
3 Nu gælder: L W L W ; ; WW ; Disse relationer er vigtige, fordi de giver mulighed for at bestemme samtlige 4 fundamentale størrelser W, W, L ogl når blot den ene er kendt ; ; Hver af disse størrelser definerer et væsentligt karakteristika for systemet Exponentialfordlingens rolle (kursorisk læsning): Lad T betegne en random variable, som repræsenterer enten 3>/<+<<3@+6 eller =/<@3/ times T siges at være exponentialfordelt med parameter! hvis dens tæthedsfunktion er / for > 0 0 T() >!!> 0 for > 0 De modsvarende kumulerede sandsynligheder er i den situation: P(T Ÿ> ) /!> for > 0 og den forventede værdi og varians for T er E(T) "! var(t) "! # Hvad er nu implikationerne af at antage T exponentialfordelt? Det spørgsmål kan besvares ved fordelingens følgende egenskaber (listen er bestemt ikke udtømmende!): ) 0 T() > er strengt aftagende i >ß > 0 Heraf følger specielt P(0 Ÿ T Ÿ? > ) P( >Ÿ T Ÿ>? > ) for ethver >ß? > 0 fordi pågældende sandsynligheder er arealerne under tæthedsfunktionen i respektive intervaller Det betyder, at det ikke blot er muligt men også sandsynligt, at T vil antage en lille værdi nær 0 Faktisk gælder " " #! #! # 3! P(0 ŸT Ÿ ) P( ŸT Ÿ )
4 Dette beskriver mange (men bestemt ikke alle!) køsituationer, feks på et hospital, et posthus, eller i en bank 2) Lack of memory P(T >? > T? > ) P(T > ) for ethver >ß? > 0 Sandsynlighedsfordelingen for den resterende tid til ankomst eller afslutning af service er upåvirket af den tid, der allerede er gået; systemet 'glemmer' således sin egen historie Dette er rimeligt for interarrival tider (men vanskeligere at begrunde for serviceringstider!) 3) Minimum af flere uafhængigt exponentialfordelte random variables er exponentialfordelt med fordelingsparameter!!! Þ Dette resultat er specielt vigtigt for serviceringstider i systemer med flere channels Betragt feks situationen, hvor alle channels er karakteriseret ved samme exponentialfordeling med parameter Lad betegne antal pt aktive channels og lad T3 betegne den resterende serviceringstid for channel 3, som i følge egenskab 2) også er exponentialfordelt med parameter! 3 Det følger nu, at Ymin{T" ß T# ßÞÞÞÞß T }, dvs tiden indtil næste afslutning af en servicering fra en af de aktive channels, er exponentiualfordelt med parameter Multi channel systemet agerer således aktuelt som et single channel system 4) Hvis interarrival times er exponentialfordelte, så er antal ankomster per tidsenhed Poissonfordelte med parameter! t Lad x( > ) betegne antal ankomster tidspunkt > Så gælder (! t) /!t! P(x( > ) ) for 0,, 2, Poissonfordelingens middelværdi er E(x( > ))! t så det forventede antal ankomster pr tidsenhed er! Denne egenskab er vigtig for beskrivelsen af den følgende BirthandDeath Process! 3 3 The BirthandDeathProcess
5 I de fleste simple køsystemer antages, at inputs (ankomster til systemet) og outputs (kunder der forlader systemet) sker i overensstemmelse med den såkaldte BirthandDeath Process I et køsystem refererer birth til ankomst af en kunde og death til afgang af en kunde Systemets tilstand tidspunkt > betegnes N( > ) og angiver antal kunder i systemet til tidspunkt > The BirthandDeathProcess giver en probabilistisk beskrivelse af, hvordan N( > ) ændres som tiden går (dvs > vokser) Intuitivt beskriver denne proces, at individuelle 'births' og 'deaths' sker tilfældigt med deres gennemsnitlige forekomstrate alene afhængig af aktuel tilstand N( > ) Følgende 3 antagelser gøres: ) For givet n( > ) er den aktuelle sandsynlighedsfordeling for den resterende tid til næste birth exponential med parameter, 0,, 2, 2) For givet n( > ) er den aktuelle sandsynlighedsfordeling for den resterende tid til næste death exponential med parameter, 0,, 2, 3) På ethvert givet tidspunkt kan kun 3 hændelser forekomme: a) netop en birth, b) netop en death, eller c) systemet ændrer ikke tilstand Egenskab 4) for exponentialfodelingen (se ovenfor) betyder, at og, 0,, 2, er gennemsnitsrater Þ Antagelserne kan derfor sammenfattes i følgende såkaldte ratediagram:! " # " Ä Ä Ä Ä Ä 0 Ã " Ã # Ã ÞÞÞÞÞÞÞ " Ã Ã " tilstand tilstand tilstand tilstand tilstand tilstand " " # $ Pilene i diagrammet viser jvf 3) de eneste mulige overgange i systemets tilstand, og Î værdierne for hver pil angiver jvf ) & 2) den gennemsnitlige rate for pågældende overgang givet systemet er i tilstanden specificeret ved pilens startpunkt Antag at der med start i >0er foretaget en optælling af det antal gange, systemet er gået ind i tilstand ß, 2, og af det antal gange systemet har forladt denne tilstand: E(): > antal gange systemet er gået ind i tilstand L (): > antal gange systemet har forladt tilstand Indgang til og udgang fra en bestemt tilstand må alternere Det betyder E() > L () > Ÿ"
6 Divider nu med > på begge sider og tag grænseværdien for > gående mod uendelig (steady state tilstand): E() >Î> L() >Î> Ÿ"Î> lime() >Î> L() >Î> 0 >Ä lim E() >Î> : gnsn rate for hvilken systemet går ind i tilstand >Ä lim L() >Î> : gnsn rate for hvilken systemet forlader tilstand >Ä Heraf følger det helt basale princip: Rate in Rate out princippet: For enhver systemtilstand rate mean leaving rate 0,, 2,, gælder mean entering Dette princip kan udtrykkes i den såkaldte balance ligning for tilstand 0,, 2, Konstruktion af balance ligninger for enhver tilstand i termer af steady state sandsynligheder P, 0,, 2,, dvs ligevægtssandsynligheder for at systemet befinder sig i tilstand, gør det muligt at beregne disse sandsynligheder Og kendskab til disse sandsynligheder gør det efterfølgende muligt at beregne systemets operative karakteristika, feks L: ; gns # enheder i køen L: gns # enheder i systemet W: ; gns tid i køen per enhed W: gns tid i systemet per enhed ssh for at systemet er tomt ssh for at køen er tom Det følgende afsnit er kursorisk læsning: Lad os først se på tilstand 0 Systemet kan kun bevæge sig ind i denne tilstand fra tilstand Sandsynligheden for at være i tilstand er P ", og mean rate of entering tilstand 0 givet systemet er i tilstand er Mean entering rate til tilstand 0 er derfor P " Tilsvarende, Steady state sandsynligheden for at være i tilstand 0 er P! og mean rate of leaving tilstand 0 er! Þ Mean leaving rate fra tilstand 0 er derfor P!! Balanceligningen for tilstand 0 siger nu P P!! " Betragt nu tilstand Vi kan kun komme til tilstand enten fra tilstand 0 (hvis der kommer en kunde og systemet er i tilstand 0) eller fra tilstand 2 (hvis en kunde færdigbetjenes og
7 systemet er i tilstand 2) Mean entering rate til tilstand er derfor! P! 2 P 2 Vi kan kun forlade tilstand enten til tilstand 0 (hvis en kunde færdigbetjenes og systemet er i tilstand ) eller til tilstand 2 (hvis der ankommer en kunde og systemet er i tilstand ) Mean leaving rate fra tilstand er derfor ( )P Balanceligningen for tilstand siger nu P P ( )P!! 2 2 " " Tilsvarende ræsonnementer for alle øvrige tilstande indebærer nu følgende balanceligninger: tilstand rate in rate out 0 P"! P!! P! 2P 2 ( )P" 2 P 3P 3 ( 2 2)P2 ã n 2P 2 P n ( )P P " P " ( )P ã " Bemærk strukturen i dette ligningssystem Ligningen for tilstand 0 omfatter som den eneste kun to steady state sandsynligheder, P! og P Ligningen for tilstand omfatter P 0, P og P, 2 ligningen for tilstand 2 P, P 2 og P 3,, ligningen for tilstand P #, P og P, og ligningen for tilstand P ", P og P Ved bevægelse fra en ligning til den efterfølgende introduceres altså en ny P variabel, og en anden elimineres Det betyder, at steady state sandsynlighederne P, P ß, P ß P kan udtrykkes som funktion af P À 0: P "! P! # "! P P! 2 2 P 0P!) "! 2P2 2P P2 P) 3 3 2! 3 2 P "! "À P ( P #À P ( ã " P " " P ( P P ) " " # # " P " " # ÞÞÞ2! " ÞÞÞ P 3 2 "! P " P " ÞÞÞ2! P " " " P " ) " " ÞÞÞ "! 3 2 P ( P ã Lad os nu forenkle notationen på følgende måde: " ÞÞÞ2! ÞÞÞ 3 2 " C for, 2, Så kan steady state sandsynlighederne skrives P C P for, 2,!
8 Men steady state sandsynlighederne skal summere til :! P Det betyder at eller der medfører P C P C P ÞÞÞÞ C P C P "! "! #!!! (! C )P! P!! C Vi kan herefter i princippet bergne samtlige steady state sandsynligheder Kendskab til disse gør det muligt at beregne det forventede antal kunder i systemet som L! P Idet = angiver antal channels, dvs antal kunder der kan serviceres ad gangen og altså ikke er i køen, kan det forventede antal kunder i køen beregnes som L ;! Ð =ÑP = Brug af Little's relationer gør det endelig muligt at bestemme den forventede ventetid i systemet (W) og den forventede ventetid i køen (W ), idet ; Her angiver L L ; ; W og W! den gennemsnitlige steady state ankomstrate, dvs P Bemærk at en række af de ovenfor udledte relationer indebærer summation over et uendeligt antal led Disse summationer har i en række praktisk relevante tilfælde analytiske
9 løsninger, dvs de kan beregnes exakt Den analytiske løsning er baseret på de følgende resultater for summen af en vilkårlig geometrisk serie: R R " x! x x for ethvert x " " x! x hvis x De kan alternativt approximeres ved summation af et endeligt antal led Steady state resultaterne forudsætter selvsagt, at og parametrene har værdier, så systemet faktisk kan nå en steady state tilstand Denne forudsætning er altid opfyldt hvis 0 for en værdi af større end den initiale tilstand, så at kun et endeligt antal tilstande (nemlig dem mindre end dette ) er mulige Den holder også altid, hvis og er defineret så Forudsætningen er ikke opfyldt, hvis! C = " De køsystemer, der herefter beskrives i lærebogen, er alle specialtilfælde af den beskrevne birthanddeath proces De ovenfor udledte generelle steady state resultater kan derfor bruges til karakteristik af specifikke steady state resultater for de efterfølgende modeller Jeg vil alene gøre dette for den mest simple (MÎM)model Î Men de resultater, der er rapporteret i bogen for de mere komplicerede modeller kan udledes analogt MÎMÎsmodellen I denne modeltype antages ) interarrival tider er uafhængigt og identisk exponentialfordelte, 2) serviceringstider er uafhængigt og identisk exponentialfordelte, 3) # channels s, s, 2, 3, Det betyder, at denne model er specialtilfældet af birthanddeath processen, hvor køsystemets gns ankomstrate og gns serviceringsrate pr optaget channel er konstant uanset systemets tilstand, dvs " # " " # "
10 Singlechannel kømodel med Poisson ankomster og exponentialfordelte serviceringstider (MÎMÎ): Det resulterende ratediagram i MÎMÎ modellen er som følger: s: ß0,, 2, ß0,, 2, 0 " # ÞÞÞÞÞÞÞ " " Ä Ä Ä Ä Ä Ã Ã Ã Ã Ã tilstand tilstand tilstand tilstand tilstand tilstand Husk fra det generelle system: " ÞÞÞ2! ÞÞÞ 3 2 " C for, 2, P C P for, 2,! ÞÞÞÞÞÞ P!! C Heraf fås for det aktuelle system C Ð Ñ,, 2,!!! "! Ð Ñ " Ê P P Ð Ñ,, 2, P Ð Ð Ñ Ñ Ð Ñ hvilket svarer til (24) i lærebogen og indebærer P Ð ÑÐ Ñ,, "ß 2, Herefter kan L (forventet antal kunder i systemet) bestemmes, idet det erindres L! P! Ð ÑÐÑ Ð" Ñ! Ð Ñ ( ) (her er leddet i summationstegnet den afledte af Ð Ñ mht Ð Ñ selv)
11 ! ( Ð Ñ ) L ÐÑ ÐÑ " Ê Ð" Ñ Ð" Ñ Vi kan nu bruge Little's formler til beregning af W, W ; og L; À W L W; W L ; W ; Lad os konkretisere sidste lighed: L ; Ð Ñ # Ð Ñ Ð Ñ Ð ) Ð Ñ hvilket er (25) i lærebogen Lad os nu finde en sammenhæng mellem L med L ; À L # Ð Ñ ; Ð Ñ Ð Ñ L Dette er (26) i lærebogen (27) er ligesom (2) en af Little's relationer (29) følger af, at sandsynligheden for at vente P må være minus sandsynligheden for, at A der ikke er kunder i systemet, dvs PA P! Dette er lærebogens relation (29) Multiplechannel kømodel med Poisson ankomster og exponentialfordelte serviceringstider (MÎMÎs): Dette system kan også analyseres med udgangspunkt i birthanddeath processen Det resulterende ratediagram er som følger: s : ß0,, 2,
12 ,, 2,, s s, s, s, Ä Ä Ä Ä Ä 0 à " à # à ÞÞÞÞÞÞÞ s " à s à s "ÞÞÞÞÞÞ 2 3 s s tilstand tilstand tilstand tilstand tilstand tilstand Bemærk at gns serviceringsrater i denne model er lidt mere komplicerede end i MÎM Î modellen Årsagen er, at exponentialfordelingens egenskab 4) indebærer, at når den gennemsnitlige serviceringsrate pr optaget channel er, så er overall gns serviceringsrate for optagne channels Derfor er for Ÿs og s for s, idet alle s channels er optagne i den situation De resulterende relationer er (2) Singlechannel kømodel med Poisson ankomster og generelt fordelte/vilkårlige serviceringstider (MÎGÎs): Dette system kan analyseres tilsvarende De resulterende relationer er (22429) Multiplechannel kømodel med Poisson ankomster og generelt fordelte/vilkårlige serviceringstider (MÎGÎs) og ingen kø: Dette system er karakteriseret ved, at en kunde alene går ind i systemet, hvis mindst en channel er ledig, og kan analyseres tilsvarende De resulterende relationer er (2332) Singlechannel kømodel med Poisson ankomster og exponentialt fordelte serviceringstider (MÎMÎ), men med en endelig underliggende population: I denne situation bliver beregning af steady state sandsynligheder lidt mere besværlig, fordi sandsynligheden for ankomst af en ny kunde nu afhænger af antallet af kunder i systemet Men også dette system kan analyseres med udgangspunkt i birthanddeath processen Økonomisk analyse af kømodeller:
13 Notation: C A: ventetidsomkostninger pr tidsperiode pr enhed L: gns antal enheder i systemet C: = service omkostninger pr tidsenhed pr channel 5: #channels TC: total cost pr tidsperiode 5 TC C L C A =
Profitten i det første år kan da beregnes som (i kr.)
Chapter 13: Simulation Simulation er en kvantitativ metode til bestemmelse af et real life systems basale karakteristika under usikkerhed v.h.a. eksperimenter indenfor en modelramme, der repræsenterer
Læs mereLidt supplerende køteori (ikke pensum)
H.Keiding: Operationsanalyse MØK 205II Note om køteori, side. Lidt mere om M/M/ Lidt supplerende køteori (ikke pensum).. Rate-equality. I den første note endte vi de generelle betragtninger med en hurtig
Læs mereStokastiske processer og køteori
Stokastiske processer og køteori 2. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 STOKASTISK MODEL FOR KØSYSTEM Population Ankomst Kø Ekspedition Output Ankomstproces
Læs mereModeller for ankomstprocesser
Modeller for ankomstprocesser Eric Bentzen Institut for Produktion og Erhvervsøkonomi Handelshøjskolen i København November 2007 1 . Afsnit Indhold Side 1 Indledning 3 2 Ankomstprocessen 3 3 Servicesystemet
Læs mereVi har beskæftiget os indgående med ankomst- og servicetidsprocesser. Disse karakteriserer input til et køsystem. Andre karakteriserende størrelser?
Dagens emner Kvalitative egenskaber og karakteristiske størrelser i generelle køsystemer. Little s formel. Repetition af hopdiagrammer og Markovprocesser. Fødsels- og dødskøsystemer. AGR/PSE (I17) VS7-5.
Læs mereMatematisk model for køsystem
Matematisk model for køsystem Ankomstproces T 1, T 2,... (ankomsttid per kunde). Kødisciplin (rækkefølge for service). Ekspeditionstidsproces S 1, S 2,... (servicetid per kunde). Dagens emne: ankomstprocesser.
Læs mereStokastiske processer og køteori
Stokastiske processer og køteori 7. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 OVERBLIK Sidste gang: M/M/(m, n m)-køsystemet: ligevægtsfordeling; performancestørrelser;
Læs mereStokastiske processer og køteori
Stokastiske processer og køteori 6. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 KØSYSTEMER NOTATION Notation for parallelforbundne ekspeditionssystemer X/Y(m, q).
Læs mereLidt om fordelinger, afledt af normalfordelingen
IMM, 2002-10-10 Poul Thyregod Lidt om fordelinger, afledt af normalfordelingen 1 Introduktion I forbindelse med inferens i normalfordelinger optræder forskellige fordelinger, der er afledt af normalfordelingen,
Læs mereRepetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable
Normal fordelingen Normal fordelingen Egenskaber ved normalfordelingen Standard normal fordelingen Find sandsynligheder ud fra tabel Transformation af normal fordelte variable Invers transformation Repetition
Læs mereNormalfordelingen og Stikprøvefordelinger
Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen Standard Normal Fordelingen Sandsynligheder for Normalfordelingen Transformation af Normalfordelte Stok.Var. Stikprøver og Stikprøvefordelinger
Læs mereProjekt Planlægning: PERT/CPM
Chapter 10: Projekt Planlægning: PERT/CPM -> Planlægning og koordinering af aktiviteter, der tilsammen definerer et helt projekt, så projektet færdiggøres indenfor en planlagt tidsramme. Aktiviteterne
Læs mereStokastiske processer og køteori
Stokastiske processer og køteori 5. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 DAGENS EMNER Kvalitative egenskaber og karakteristiske størrelser i generelle køsystemer.
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Den hændelse, der ikke indeholder
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007. Dagens program
Dagens program Approksimation af binomialsandsynligheder, Afsnit 4.5 Poisson fordeling og Poisson process, Afsnit 4.6 Kontinuerte fordelinger, Afsnit 5.1-5.2: - Fordelingsfunktion - Tæthedsfunktion - Eksempel:
Læs mereBilledbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 1)
; C ED 6 > Billedbehandling og mønstergenkendelse Lidt elementær statistik (version 1) Klaus Hansen 24 september 2003 1 Elementære empiriske mål Hvis vi har observationer kan vi udregne gennemsnit og varians
Læs mereKursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Et sandsynlighedsmål er en
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Approksimation af binomialsandsynligheder, Afsnit 4.5 Multinomial fordeling, Afsnit 4.8 Negativ binomialfordeling, Afsnit 4.4 Poisson fordeling og Poisson process, Afsnit 4.6 Kontinuerte
Læs mereenote 2: Kontinuerte fordelinger Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher enote 2: Continuous Distributions
Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 33B, Rum 9 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk Efterår
Læs mereNotation for parallelforbundne ekspeditionssystemer
Køsystemer notation Notation for parallelforbundne ekspeditionssystemer X /Y (m, q). Ankomstproces X og ekspeditionstidsproces Y kan antage værdier: M: Uafhængige og eksponentialfordelte ventetider. Dvs.
Læs mereFornyelsesteori med anvendelser: Punktprøve
Fornyelsesteori med anvendelser: Punktprøve May 9, 2003 For at få kredit for kurset Fornyelsesteori med anvendelser kræves at afleveringsopgave 1 og 2 samt nedenstående punktprøve besvares tilfredsstillende.
Læs mereIntroduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Peder Bacher
Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk
Læs mereOversigt over nyttige fordelinger
Oversigt over nyttige fordelinger Helene Regitze Lund Wandsøe November 14, 2011 1 Bernoulli-fordelingen 1 Når et eksperiment har to mulige udfald: succes eller fiasko. X er en stokastisk variabel med følgende
Læs mereKursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet March 1, 2013 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen
Læs mereBernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen
Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition Lov om total sandsynlighed Bayes sætning P( B A) = P(A) = P(AI B) + P(AI P( A B) P( B) P( A B) P( B) +
Læs mereBinomialfordelingen. X ~ bin(n,p): X = antal "succeser" i n uafhængige forsøg, der alle har samme sandsynlighed p for at ende med succes.
Uge 9 Teoretisk Statistik 23. februar 24 1. Binomialfordelingen 2. Den hypergeometriske fordeling 3. Poissonfordelingen 4. Den negative binomialfordeling 5. Gammafordelingen Binomialfordelingen X ~ bin(n,p):
Læs mereHvad skal vi lave i dag?
p. 1/2 Hvad skal vi lave i dag? Eksempler på stokastiske variable. Ventetid på krone ved møntkast. Antal plat ved n kast. Antal radioaktive henfald. Ventetiden på en flyulykke. Udtrækning af tal i et interval.
Læs mereSandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)
Program: 1. Repetition: sandsynlighedsregning 2. Sandsynlighedsregning fortsat: stokastisk variabel, sandsynlighedsfunktion/tæthed, fordelingsfunktion. 1/16 Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)
Læs mereModul 2: Sandsynlighedsmodeller og diskrete stokastiske variable
Forskningsenheden for Statistik ST501: Science Statistik Bent Jørgensen Modul 2: Sandsynlighedsmodeller og diskrete stokastiske variable 2.1 Sandsynlighedsbegrebet............................... 1 2.1.1
Læs mereChapter 6: Følsomhedsanalyse og dualitet i LP
Chapter 6: Følsomhedsanalyse og dualitet i LP ) Følsomhedsanalyse -> kriteriekoeffricienter -> RHSs ) Dualitet -> økonomisk fortolkning af dualvariable -> anvendelse af dual løsning til identifikation
Læs mereEn oversigt over udvalgte kontinuerte sandsynlighedsfordelinger
Institut for Økonomi Aarhus Universitet Statistik 1, Forår 2001 Allan Würtz 4. April, 2001 En oversigt over udvalgte kontinuerte sandsynlighedsfordelinger Uniform fordeling Benyttes som model for situationer,
Læs mereForelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereLøsning til eksaminen d. 29. maj 2009
DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 20-2-01 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 29. maj 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th
Læs mereSimplex metoden til løsning af LP
Chapter : Simplex metoden til løsning af LP Formål: Udvikling af generel metode til løsning af enhver type LP. Metoden udvikles først for LP i standard form -> max problem alle uligheder af typen Ÿ alle
Læs mereBinomial fordeling. n f (x) = p x (1 p) n x. x = 0, 1, 2,...,n = x. x x!(n x)! Eksempler. Middelværdi np og varians np(1 p). 2/
Program: 1. Repetition af vigtige sandsynlighedsfordelinger: binomial, (Poisson,) normal (og χ 2 ). 2. Populationer og stikprøver 3. Opsummering af data vha. deskriptive størrelser og grafer. 1/29 Binomial
Læs mereNoget om en symmetrisk random walks tilbagevenden til udgangspunktet
Random Walk-kursus 2014 Jørgen Larsen 14. oktober 2014 Noget om en symmetrisk random walks tilbagevenden til udgangspunktet Dette notat giver et bevis for at en symmetrisk random walk på Z eller Z 2 og
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår 2006. Dagens program
Dagens program Afsnit 2.4-2.5 Bayes sætning Uafhængige stokastiske variable - Simultane fordelinger - Marginale fordelinger - Betingede fordelinger Uafhængige hændelser - Indikatorvariable Afledte stokastiske
Læs mereTeoretisk Statistik, 16. februar Generel teori,repetition
1 Uge 8 Teoretisk Statistik, 16. februar 2004 1. Generel teori, repetition 2. Diskret udfaldsrum punktssh. 3. Fordelingsfunktionen 4. Tæthed 5. Transformationer 6. Diskrete vs. Kontinuerte stokastiske
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 40, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm bearbejdet af JC 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen s.445-8 dx Eksempler
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 11, 2016 1/22 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Kapitel 4: Diskrete fordelinger Hypergeometrisk fordeling, Afsnit 4.3 Multinomial fordeling, Afsnit 4.8 Geometrisk fordeling og Negativ binomialfordeling (Inverse Sampling), Afsnit 4.4 Approksimation
Læs mereKiosk-modellen (News vendor s model) og EOQ modellen
Kiosk-modellen (News vendor s model) og EOQ modellen Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet September 17, 2014 1/15 Stokastiske modeller i økonomi Fundamentale modeller i
Læs mereOversigt. Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger
Introduktion til Statistik Forelæsning 2: og diskrete fordelinger Oversigt 1 2 3 Fordelingsfunktion 4 Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 017 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereKarakteristiske funktioner og Den Centrale Grænseværdisætning
E6 efterår 1999 Notat 10 Jørgen Larsen 20. oktober 1999 Karakteristiske funktioner og Den Centrale Grænseværdisætning Karakteristiske funktioner som er nære slægtninge til Fourier-transformationen) er
Læs mereSandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6.1 og 6.2 Betingede diskrete
Læs mereTeoretisk Statistik, 13 april, 2005
Poissonprocessen Teoretisk Statistik, 13 april, 2005 Setup og antagelser Fordelingen af X(t) og et eksempel Ventetider i poissonprocessen Fordeling af ventetiden T 1 til første ankomst Fortolkning af λ
Læs mere4 Oversigt over kapitel 4
IMM, 2002-09-14 Poul Thyregod 4 Oversigt over kapitel 4 Introduktion Hidtil har vi beskæftiget os med data. Når data repræsenterer gentagne observationer (i bred forstand) af et fænomen, kan det være bekvemt
Læs mereSandsynlighedsregning 6. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 6. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 4.2, 4.3 og 4.4 Poissonprocessen/eksponentialfordelingen
Læs mereStikprøver og stikprøve fordelinger. Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader
Stikprøver og stikprøve fordelinger Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader Statistik Statistisk Inferens: Prediktere og forekaste værdier af
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Stokastiske Variable
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereSandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6.1 og 6.2 Betingede diskrete
Læs mereSandsynlighed og Statistik
36 Sandsynlighed og Statistik 6.1 Indledning Denne note beskriver de statistiske begreber og formler som man med rimelig sandsynlighed kan komme ud for i eksperimentelle øvelser. Alt er yderst korfattet,
Læs mereSandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 0. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6. og 6. Betingede diskrete
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Kapitel 8.7, 8.8 og 8.10 Momenter af gennemsnit og andele kap. 8.7 Eksempel med simulationer Den centrale grænseværdisætning (Central Limit Theorem) kap. 8.8 Simulationer Normalfordelte
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Afsnit 3.1-3.2 Middelværdi -Definition - Regneregler Betinget middelværdi Middelværdier af funktioner af stokastiske variabler Loven om den itererede middelværdi Eksempler 1 Beskrivelse
Læs mereChapter 5: Simplex metoden til løsning af LP. -> max problem alle uligheder af typen ì alle højresider ikke-negative alle variable ikke-negative
Chapter 5: Simplex metoden til løsning af LP Formål: Udvikling af generel metode til løsning af enhver type LP. Metoden udvikles først for LP i standard form -> max problem alle uligheder af typen ì alle
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Kapitel 4: Diskrete fordelinger Afsnit 4.1-4.2, 4.7: Bernoulli fordeling Binomial fordeling Store Tals Lov (Laws of Averages, Laws of Large Numbers) 1 Bernoulli fordeling Kvantitative Metoder
Læs mereSandsynlighedsregning 6. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 6. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfn@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 4.2, 4.3 og 4.4 Poissonprocessen/eksponentialfordelingen
Læs mereVejledende løsninger til opgaver i kapitel 6
Vejledende løsninger til opgaver i kapitel Opgave 1: a) Den stokastiske variabel, X, der angiver, om en elev består, X = 1, eller dumper, X =, sin eksamen i statistik. b) En binomialfordelt variabel fremkommer
Læs mereHvad skal vi lave i dag?
p. 1/1 Hvad skal vi lave i dag? Repeterer lidt om diskrete sv. Standardfordelinger (binomial, Poisson, geometrisk) Stokastiske vektorer Diskrete stokastiske vektorer p. 2/1 Repetition Heltallige sv er
Læs mereMM501/MM503 forelæsningsslides
MM501/MM503 forelæsningsslides uge 50, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen dx Eksempler = et udtryk, der indeholder
Læs mereLøsning til prøveeksamen 1
IMM - DTU 020 Probability 2006-2-8 BFN/bfn Løsning til prøveeksamen Spørgsmål ) For en indikatorvariabel I A for hændelsen A gælder E(I A ) = P(A) (se for eksemepl side 68). Således er E(X) = P(N ) = =
Læs mereOversigt. Course 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff
Course 242/2323 Introducerende Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 22 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark
Læs mere1 Palm teori. Palm teori 1
Palm teori 1 1 Palm teori Lad X = {X(t)} t 0 være en stokastisk proces defineret på et måleligt rum (Ω, F), og lad T = {T n } n N0 være en voksende følge af ikke-negative stokastiske variable herpå. Vi
Læs mereStokastiske processer og køteori
Stokastiske processer og køteori 8. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 HVAD ER KØNETVÆRK? Åbent kønetværk Lukket kønetværk HVAD ER KØNETVÆRK? 2 Vi skal
Læs mere1 Sandsynlighed Sandsynlighedsbegrebet Definitioner Diskret fordeling Betinget sandsynlighed og uafhængighed...
Indhold 1 Sandsynlighed 1 1.1 Sandsynlighedsbegrebet................................. 1 1.2 Definitioner........................................ 2 1.3 Diskret fordeling.....................................
Læs mereStatistik Lektion 3. Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen
Statistik Lektion 3 Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition En stokastisk variabel er en funktion defineret på S (udfaldsrummet, der antager
Læs mereCIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve, den: XY. december 200Z Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 18 sider Skriftlig prøve, den: XY. december 200Z Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: (navn) (underskrift)
Læs mereLøsning til eksaminen d. 14. december 2009
DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 200-2-0 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 4. december 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition,
Læs mereOversigt. Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Eksponential fordelingen
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 305/324 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mereDefinition. Definitioner
Definition Landmålingens fejlteori Lektion Diskrete stokastiske variable En reel funktion defineret på et udfaldsrum (med sandsynlighedsfordeling) kaldes en stokastisk variabel. - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/
Læs mereStatistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning
Statistik Lektion 1 Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning Introduktion Kasper K. Berthelsen, Inst f. Matematiske Fag Omfang: 8 Kursusgang I fremtiden
Læs mereGrundlæggende statistik Lektion 2 Indhold Diskrete fordelinger Binomial fordelingen Poisson fordelingen Hypergeometrisk fordeling Data typer el. typer af tilfældige variable Diskrete variable > Kategoriseres
Læs mereLøsninger til kapitel 5
1 Løsninger til kapitel 5 Opgave 51 Det nemmeste er her at omskrive alle sandsynlighederne til differenser mellem kumulerede sandsynligheder, dvs af sandsynligheder af formen, og derefter beregne disse
Læs mereForelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup)
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske
Læs mereSandsynlighedsregning 5. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 5. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 3.5 og 4.1 Poissonfordelingen
Læs mere02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser, Uge 4
02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser, Uge 4 Vejledende løsning 5.46 P (0.010 < error < 0.015) = (0.015 0.010)/0.050 = 0.1 > punif(0.015,-0.025,0.025)-punif(0.01,-0.025,0.025) [1] 0.1
Læs mereChapter 7: Transport-, assignment- & transshipmentproblemer
Chapter 7: Transport-, assignment- & transshipmentproblemer 1) Formulering af de 3 problemtyper 2) Algoritme for det balancerede transportproblem 3) Algoritme for assignmentproblemet Samtlige 3 problemtyper
Læs mereSandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger
Tue Tjur Marts 2007 Sandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger Stat. MØK 2. år Kapitel : Sandsynlighedsfordelinger og stokastiske variable En sandsynlighedsfunktion på en mængde E (udfaldsrummet)
Læs mere1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori - lidt om kurset Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Kursusholder
Læs mereEx µ = 3,σ 2 = 1 og µ = 1,σ 2 = 4. hvor. Vha. R: Vha. tabel:
Normal fordeling Tæthedsfunktion for normalfordeling med middelværdi µ og varians σ 2 : Program (8.15-10): f() = 1 µ)2 ep( ( 2πσ 2 2σ 2 ) E µ = 3,σ 2 = 1 og µ = 1,σ 2 = 4 1. vigtige sandsynlighedsfordelinger:
Læs mereDiskrete fordelinger. Fire vigtige diskrete fordelinger: 1. Uniform fordeling (diskret) 2. Binomial fordeling. 3. Hyper-geometrisk fordeling
Disrete fordelinger Fire vigtige disrete fordelinger: 1. Uniform fordeling (disret) 2. Binomial fordeling 3. Hyper-geometris fordeling 4. Poisson fordeling 1 Uniform fordeling Definition Esperiment med
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereStatistik viden eller tilfældighed
MATEMATIK i perspektiv Side 1 af 9 DNA-analyser 1 Sandsynligheden for at en uskyldig anklages Følgende histogram viser, hvordan fragmentlængden for et DNA-område varierer inden for befolkningen. Der indgår
Læs mereHvad er kønetværk? AGR/PSE (I17) VS7-8. minimodul 1 / 17
Hvad er kønetværk? AGR/PSE (I17) VS7-8. minimodul 1 / 17 Hvad er kønetværk? Vi skal kun se på åbne kønetværk (ankomst fra eksterne kilder, hver kunde forlader systemet med sandsynlighed 1). Ideelt vil
Læs mereStatistiske modeller
Statistiske modeller Statistisk model Datamatrice Variabelmatrice Hændelse Sandsynligheder Data Statistiske modeller indeholder: Variable Hændelser defineret ved mulige variabel værdier Sandsynligheder
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 29. maj 2015 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 7 sider Skriftlig prøve, den: 9. maj 05 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af:
Læs mereRettevejledning til Kvantitative metoder 1, 2. årsprøve 18. juni timers prøve med hjælpemidler
Rettevejledning til Kvantitative metoder 1, 2. årsprøve 18. juni 2007 4 timers prøve med hjælpemidler Opgaven består af re delopgaver, som alle skal besvares. De re opgaver indgår med samme vægt. Opgaverne
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 30. maj 2016 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 7 sider Skriftlig prøve, den: 0. maj 206 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret
Læs mereØkonometri 1. Den simple regressionsmodel 11. september Økonometri 1: F2
Økonometri 1 Den simple regressionsmodel 11. september 2006 Dagens program Den simple regressionsmodel SLR : Én forklarende variabel (Wooldridge kap. 2.1-2.4) Motivation for gennemgangen af SLR Definition
Læs mereLad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt:
SANDSYNLIGHEDSREGNING Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet Til gengæld kan vi prøve
Læs mereSlides til Makro 2, Forelæsning 5 5. oktober 2006 Chapter 5
DEN GENERELLE SOLOWMODEL = SOLOW-MODELLEN Slides til Makro 2, Forelæsning 5 5 oktober 2006 Chapter 5 Peter Birch Sørensen og Hans Jørgen Whitta-Jacobsen September 29, 2006 Tilbage til lukket økonomi Basal
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R Helle Sørensen Uge 6, mandag SaSt2 (Uge 6, mandag) Tætheder og kont. fordelinger 1 / 19 Program Velkommen I dag:
Læs mereProgram. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians. Eksempler fra sidst. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål
Program Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume fra i mandags og et par eksempler mere om sammenhængen
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag SaSt2 (Uge 6, onsdag) Middelværdi og varians 1 / 18 Program I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume
Læs mereOversigt over emner. Punktestimatorer: Centralitet(bias) og efficiens
Oversigt Oversigt over emner 1 Punkt- og intervalestimation Punktestimatorer: Centralitet(bias) og efficiens 2 Konfidensinterval Konfidensinterval for andel Konfidensinterval - normalfordelt stikprøve
Læs mereLandmålingens fejlteori - Repetition - Kontinuerte stokastiske variable - Lektion 3
Landmålingens fejlteori Repetition - Kontinuerte stokastiske variable Lektion 4 - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf10 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 29. april
Læs mere