Stokastiske processer og køteori
|
|
- Edvard Winther
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Stokastiske processer og køteori 1. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1
2 PRAKTISK INFORMATION Hjemmeside: Litteratur: 1. Andersen, KE (2001). Operationsanalytiske metoder i produktions- og lagerstyring. 2. Kopier og noter. Software: 1. Enterprise Dynamics 2. R ( 3. Excel. PRAKTISK INFORMATION 2
3 Tentativ kursusform: : Repetition : Opgavegning : Forelæsning. Eksamen (!): Gruppevis mundtlig eksamen (karakterer efter binær skala) på baggrund af (skriftligt) miniprojekt. Afleveringsdato: 20. december Eksamensdato: 12. januar PRAKTISK INFORMATION 3
4 I DAG 1. Lidt overordnet om køteori og anvendelser. 2. Noget om kursets indhold. 3. Modeller for køsystemer, og hvorfor vi skal se på stokastiske (fremfor deterministiske) af slagsen. 4. Stokastiske processer definition og eksempler. 5. Markovprocesser definition og beregning. I DAG 4
5 KØTEORI LIDT PRAKTISK MOTIVATION Produktionssystemer. Hvor lang tid tager en ordre? Er der nok maskiner? Bør man ændre prioriteringen på ordrer? Supermarked. Ventetid ved kasselinie? Er der nok kasser åbne? Venteliste. Ventetid på operation? Er der allokeret tilstrækkelige ressourcer til behandlingsformen? Callcenter. Risiko for optaget? Ventetid på service? Skal der bruges flere operatører? Arrest-til-grundlovsforhør. Ventetid fra anholdelse til foretræde for domstol? Bemanding tilstrækkelig? Datakommunikation Sandsynlighed for pakketab? Forsinkelse på pakker? Skal bufferstørrelsen ændres? KØTEORI LIDT PRAKTISK MOTIVATION 5
6 KØSYSTEMER Tre hovedbestanddele: Kunde: Det/den, som afventer service. Kø: Mængden af kunder, som afventer service (evt. med et maksimalt antal pladser i køen). Server: Det/den, som udfører service. Generelt ikke kunde/server/kø i sædvanlig fysisk forstand. Målsætning: Sikr tilfredsstillende performance ved dimensionering: 1. Teoretisk baseret simulering af køsystem før implementation. 2. Empirisk baseret optimering efter implementation. KØSYSTEMER 6
7 MODELDANNELSE FOR KØSYSTEMER 1. Definér centrale karakteristika for køsystem. Pas på detaljeringsgrad; modeller kan let bliver uoverskuelige! Hold altid formålet for øje; hvad skal modellen bruges til? 2. Udvikl matematisk formulering. Deterministisk eller stokastisk model? Kan man bruge gængse, velstuderede modeltyper? Afvej nøje modelrealisme op imod formål. Gør ikke tingene unødigt komplicerede, men vær opmærksom på forsimplende antagelser. 3. Definér performancevariable (en del af 1+2). 4. Ideelt: Validér (dele af) modellen mod rigtige data. MODELDANNELSE FOR KØSYSTEMER 7
8 EKSEMPLER Kasselinie i den lokale kiosk (let eksempel): 1 server (kassen). System blokeret, når kunde ekspederes. Performancemål; f.eks. gennemsnitlig ventetid eller blokadesandsynlighed. Dimensionering; flere kasselinier? Hurtigere ekspedienter? Call-center (svært eksempel): Mange servere. System blokeret, når alle optaget. Tekniske overvejelser ang. matematisk model 1. Kunder, der bliver afvist kan ringe igen. 2. Kunder kan blive utålmodige og opgive før service. Performancemål/dimensionering? EKSEMPLER 8
9 KORT OM DETERMINISTISKE PRODUKTIONSSYSTEMER Antagelser: 1. Deterministiske ankomster (x enheder/time). 2. Deterministiske produktionstider. 3. Uendeligt mange køpladser per maskine. 4. Ligevægt ingen ophobning af enheder i system.... kan i så fald benytte fluid modeller: Produktionssystem som deterministisk fluid model Produkter strømmer gennem system med fast hastighed. Produktionslinier som rør, hvor Længden er et mål for produktionstiden Tykkelsen er et mål for maksimalt throughput. KORT OM DETERMINISTISKE PRODUKTIONSSYSTEMER 9
10 DETERMINISTISKE PRODUKTIONSSYSTEMER EKSEMPEL 40% forarbejdning i areal 2 & 3, 60% i areal 4 & 5. Produktionstider: Maskine Tid (timer/enhed) Hvad er maksimalt throughput λ (enheder/time)? Udnyttelsesgrad λ λ Maskine 1: 0.2λ Maskine 2: λ = 0.24λ Maskine 3: λ = 0.16λ Maskine 4: λ = 0.18λ Maskine 5: λ = 0.30λ Maskine 6: 0.1λ Maskine 5 er flaskehalsen fuld udnyttelse når 0.30λ = 1 λ = 3.33/time. DETERMINISTISKE PRODUKTIONSSYSTEMER EKSEMPEL 10
11 FORDELE/ULEMPER VED DETERMINISTISKE MODELLER + Let at analysere komplicerede netværk af produktionslinier. + Fordrer kun begrænset kendskab til systemparametre. + Hurtige skøn af performance. - Gennemført determinisme sjældent realistisk. - Ufleksible. Vi skal arbejde med mere generelle stokastiske modeller eksempler på beregninger i det deterministiske setup vil blive givet ifm. opgaveregning. FORDELE/ULEMPER VED DETERMINISTISKE MODELLER 11
12 Køsystem: STOKASTISKE MODELLER FOR KØSYSTEMER Ankomstproces T 1, T 2,... (ankomsttid per kunde). Kødisciplin (rækkefølge for ekspedition). Vi vil normalt antage FIFO (first-in-first-out). Ekspeditionstidsproces S 1, S 2,... (ekspeditionstid per kunde). Kønetværk: Flere køsystemer sat sammen. Eks. Patienter på venteliste opereration/reoperation. Produktionssystem med kvalitetskontrol. STOKASTISKE MODELLER FOR KØSYSTEMER 12
13 ANKOMSTPROCESSER Bank. Kunder til pengeautomat. Hospital. Patienter på venteliste. Produktionssystem. Ordretilgang, råvaretilgang. Arrest-til-grundlovsforhør. Anholdte. Vi skal se på ankomstprocesser, som er fornyelsesprocesser: T n = n U i, U i uafhængige og identisk fordelte, n = 1, 2,... i=1 Yderpunkter i denne klasse: Fuldstændig tilfældige ankomster (Poissonproces). Deterministiske ankomster. ANKOMSTPROCESSER 13
14 Bank. Tid for transaktion. EKSPEDITIONSTIDSPROCESSER Hospital. Transport, narkose, operation, opvågning. Produktionssystem. Forarbejdningstid, transport, reparation/omstilling af maskiner, kvalitetskontrol, shipping. Arrest-til-grundlovsforhør. Tid til grundlovsforhør. Yderpunkter: Eksponentialfordelingen (ingen hukommelse). Deterministisk proces (konstant ekspeditionstid). EKSPEDITIONSTIDSPROCESSER 14
15 VI SKAL SE PÅ... Modeller for ankomst- og ekspeditionstidsproces. Simple stokastiske kømodeller som kan analyseres eksakt. Statistiske metoder til empirisk analyse af køsystemer. Performancemål og outputanalyse for simulationer. Køteori for produktionssystemer: Realistiske produktionssystemer: brug simulation! Kræver Empiriske metoder til bestemmelse af systemmodel. Kendskab til outputanalyse og performancemål. Hvorfor så vide noget om forsimplede eksakte modeller? Hvad kan man, og hvad kan man ikke regne på? Springbræt til studier af mere avanceret teori. VI SKAL SE PÅ... 15
16 STOKASTISKE PROCESSER (DEN TEKNISKE DEFINITION) Ω: Udfaldsrum. F: Mængde af delmængder af Ω (hændelser). I praksis er alle A Ω hændelser. P: Sandsynlighedsmål, funktion fra F til [0, 1]. Stokastisk variabel: Funktion X fra Ω til R så {ω : X(ω) t} F for alle t R. Fastlagt ved fordelingsfunktion F X (x) := P(X x), t R. Stokastisk proces: Samling af stok. var. {X(t) : t T [0, )}. Fastlagt (i dette kursus) via marginale fordelinger for n N P(X(t 1 ) x 1 X(t n ) x n ), (s 1,..., s n ),(t 1,..., t n ) R n. Heuristisk: Stokastisk proces = stokastisk variabel med værdier i klassen af funktioner T R. STOKASTISKE PROCESSER (DEN TEKNISKE DEFINITION) 16
17 Legetøjseksempel: Ω = {1,..., 6}. P(A) = 1 6 A for A Ω. HVAD BETYDER DET SÅ...? Stokastisk proces X(ω, t) = ωt, t [0, ) Algoritmisk fortolkning: 1. Kast en terning. Betegn udfald ω. 2. Vælg funktionen ωt som udfaldsfunktion for X. I dette kursus: Vi bekymrer os ikke om Ω og P. Konstruér stokastiske processer via algoritmiske beskrivelser. HVAD BETYDER DET SÅ...? 17
18 VIGTIGE BEGREBER Stokastisk proces {X(t) : t T [0, )} Indeksmængde. T. Udfaldsfunktion. X(ω, ). Tilstandsrum. Billedmængden for X(ω, ). Betegnes S. Udfald/tilstand. X(ω, t). Udfald Udfaldsfunktion 2 Udfaldsfunktion Tid VIGTIGE BEGREBER 18
19 EKSEMPEL RANDOM WALK Definér X(0) := 0, X(n) := X(n 1) 1 med sandsynlighed 1/2 X(n 1) + 1 med sandsynlighed 1/2 Position Position Tid EKSEMPEL RANDOM WALK 19
20 ... OG I 2 DIMENSIONER Random walk y x... OG I 2 DIMENSIONER 20
21 EKSEMPEL BROWNSK BEVÆGELSE 1. X(0) = 0; 2. X(t) X(s) N(0, s t), t > s, uafh. af {X(u) : 0 u s}; 3. udfaldsfunktionerne for X er kontinuerte Tid Patologisk! X intetsteds differentiabel, uendelig længde osv. EKSEMPEL BROWNSK BEVÆGELSE 21
22 STOKASTISK PROCES FRA DEN VIRKELIGE VERDEN Ventetid på ekspedition i et callcenter. Matematisk model...? Ventetid Kunde STOKASTISK PROCES FRA DEN VIRKELIGE VERDEN 22
23 VORES SETUP Vi skal næsten udelukkende beskæftige os med stokastiske processer med diskret tilstandsrum. Dvs. tilstandsrum S = {1,..., n} ell. S = N = {1, 2,...}. Eksempel antal kunder i et callcenter efter midnat: Antal kunder Timer VORES SETUP 23
24 ET SIMPELT KØSYSTEM Afvisningssystem med 1 køplads: 1 server og ingen køplads (eksempelvis 1 badeværelse og ingen køplads). Model: Stokastisk proces {X(t) : t [0, )} hvor X(t) := 0 hvis system optaget til tid t, 1 ellers. Bemærk, X er fastlagt ved ankomst/ekspeditionstidsproces. X X X X O X Modtaget ankomst Afvist ankomst Tid ET SIMPELT KØSYSTEM 24
25 MARKOVPROCESSER MED DISKRET TILSTANDSRUMN X stokastisk proces på [0, ) med tilstandsrum S = {0,..., n} Tidsafhængig overgangssandsynlighed: p ij (s, t) := P(X(t) = j X(s) = i), 1 i, j n, t s. Da man altid befinder sig i en tilstand j {1,..., n} gælder n p ij (s, t) = 1. j=0 X kaldes en Markovproces, hvis X har Markovegenskaben: P(X(t) = j X(t 1 ) = x 1,..., X(t m ) = x m, X(s) = i) = p ij (s, t), for alle t 1 t m s t samt i, j S Heuristisk: P(fremtid fortid og nutid) = P(fremtid nutid). MARKOVPROCESSER MED DISKRET TILSTANDSRUMN 25
26 EKSEMPLER PÅ MARKOVPROCESSER Random walk X(0) := 0, X(n) := X(n 1) 1 med sandsynlighed 1/2 X(n 1) + 1 med sandsynlighed 1/2 Fornyelsesprocesser T n = n U i, i=1 U i uafhængige og identisk fordelte. De fleste afledte processer i køsystem med Markov ankomstproces (kølængde, ventetid etc). EKSEMPLER PÅ MARKOVPROCESSER 26
27 LIGEVÆGTSSANDSYNLIGHEDER FOR MARKOVPROCESSER Stokastisk proces X er en stationær/homogen Markovproces, hvis 1. X har Markovegenskaben, og 2. p ij (s, t) afhænger kun af t s. Antag stationaritet. Hvis der for alle i, j eksisterer t så p ij (t) > 0 (irreducibilitet) gælder lim p ij(t) = p j [0, 1]. (1) t Højresiden kaldes ligevægtssandsynligheden for tilstand j. Heuristisk: p j er brøkdelen af tid i tilstand j i det lange løb. Kan benyttes til beregning af udnyttelsesgrader, gennemsnitlig ventetid, brøkdel af kunder, som afvises osv. Hvis grænseværdien (1) eksisterer for alle i, j, taler man om et ligevægtssystem eller et ergodisk system. LIGEVÆGTSSANDSYNLIGHEDER FOR MARKOVPROCESSER 27
28 EKSEMPEL LIGEVÆGT FOR REFLEKTERET RANDOM WALK Udfaldsfunktion Overgang fra 0 til 1 X Estimeret sandsynlighed Tid Tid EKSEMPEL LIGEVÆGT FOR REFLEKTERET RANDOM WALK 28
29 MELLEMLANDINGSFORMLEN Hvordan kommer man fra tilstand i til tid s til tilstand j til tid t? F.eks. ved mellemlanding i tilstand l i }{{} tid s l }{{} tid u j }{{} tid t Loven om total sandsynlighed giver, s u t p ij (s, t) = = n P(X(t) = j X(u) = l, X(s) = i)p(x(u) = l X(s) = i) l=0 n p il (s, u)p lj (u, t) (af Markovegenskaben). l=0 Mellemlandingsformlen/Chapman-Kolmogorov s ligning. MELLEMLANDINGSFORMLEN 29
30 Antag at OVERGANGSINTENSITETER 1. p ij (t, t) = 0 for i j, samt p ii (t, t) = 1 for vilkårligt t; 2. p ij er differentiabel i andenkoordinaten. Så defineres overgangsintensiteten c ij som c ij (s) := t p ij(s, t). t=s Momentan tilbøjelighed til overgang fra i til j til tid s. Markovproces fastlagt af c ij, 1 i, j n. Tit er c ij kendte (vi kender ankomst/afgangsrate), og vi ønsker at bestemme overgangs/ligevægtssandsynligheder. Bemærk n j=0 c ij(s) = 0 (bevarelse af masse). OVERGANGSINTENSITETER 30
31 KOLMOGOROV S FREMADGÅENDE DIFF. LIGN. I Mellemlandingsformel: p ij (s, t) = n l=0 p il(s, u)p lj (u, t). Differentiér mht. t og lad u t t p ij(s, t) = n p il (s, t)c lj (t), l=0 0 s < t På matrixform: p 00 p 0n t. = p n0 p nn c 00 c 1n p 00 p 0n.. c n0 c nn p n0 p nn eller med matrixnotation, P t(s, t) = P(s, t)c(t). Matrixdifferentialligning: generelt vanskelig at løse analytisk. KOLMOGOROV S FREMADGÅENDE DIFF. LIGN. I 31
32 KOLMOGOROV S FREMADGÅENDE DIFF. LIGN. II Antag at X stationær Markovproces (p ij (s, t) afh. kun af t s). Så er overgangsintensiteterne uafhængige af s: t p p ij (t t + h) p ij (t t) ij(s, t) = lim t=s h 0 h p ij (h) p ij (0) = lim = c ij. h 0 h Dvs. C(t) C er en konstant matrix. Fremadgående diff. lign. bliver da: d dt p ij(t) = n p il (t)c lj P(t) = P(t)C. l=0 Kan løses både eksakt og mht. ligevægtsfordelingen. KOLMOGOROV S FREMADGÅENDE DIFF. LIGN. II 32
33 HVAD BETYDER KONSTANTE OVERGANGSINTENSITETER? Definér T i := tid i tilstand i (sojourn time ell. opholdstid). Sandsynligheden at blive i tilstand i i lille interval (t, t + h) 1 j i p ij (t + h) 1 i j c ij h = 1 c ii h. Inddel [0, t] i k lige store intervaller. Af Markovegenskaben P(T i > t) = lim k = lim k k 1 i=0 P(T i > (i + 1)/k T i > i/k) ( 1 c ii t/k) k = e c ii t. Dvs. fordelingsfkt. F Ti (t) = 1 e c iit (eksponentialfordeling). HVAD BETYDER KONSTANTE OVERGANGSINTENSITETER? 33
34 UDREGNING AF LIGEVÆGTSFORDELING Lad t. Så fås 0 = n l=0 p lc lj, j = 0,..., n. På vektorform, C p = 0, hvor p = [p 0,..., p n ]. Da n j=0 c ij = 0, har C rang højest n. Bestemmelse af n + 1 ligevægtssandsynligheder? Yderligere betingelse n i=0 p i = 1 (vektorform 1 p = 1). Ligevægtsfordelingen p for en stationær Markovproces med kendt intensitetsmatrix C kan bestemmes ved løsning af ligningssystemet 1 C p = 1, 0 hvor p = [p 0,..., p n ] m. p i ligevægtssandsynlighed for tilstand i. UDREGNING AF LIGEVÆGTSFORDELING 34
35 PÅ KOGEBOGSFORM 1. Lad C være en intensitetsmatrix. 2. Lad A være matricen, som fremkommer ved at udskifte øverste række i C med ettaller. 3. Lad a være vektoren [1, 0,..., 0]. 4. Ligevægtsfordelingen p for Markovkæden med intensitetsmatrix C er da givet ved p = A 1 a. PÅ KOGEBOGSFORM 35
36 EKSEMPEL SIMPELT AFVISNINGSSYSTEM I 1 server, 1 køplads. Tilstandsproces X(t) := 0 hvis system optaget til tid t 1 ellers. Hopdiagram: c c 10 EKSEMPEL SIMPELT AFVISNINGSSYSTEM I 36
37 EKSEMPEL SIMPELT AFVISNINGSSYSTEM II Intensitet hvormed kunder ankommer: 15/time. c 01 = 15, hvoraf c 00 = 15 af massebevarelse. Intensitet hvormed kunder ekspederes c 10 = 10, hvoraf c 11 = 10 af massebevarelse. Intensitetsmatrix C = Fjern øverste række, erstat med [1, 1]. Ligningssystem: p p 1 5 = p = [0.4, 0.6]. 0 Dvs. system optaget 60% af tiden. Intuitivt! EKSEMPEL SIMPELT AFVISNINGSSYSTEM II 37
38 EKSAKTE (IKKE-LIGEVÆGT) BEREGNINGER I Lineært differentialligningssystem x (t) = Ax(t) for en kontinuert differentiabel vektorfunktion x, en matrix A. Generel løsning x(t) = i α i exp(λ i t)v i, hvor λ i : v i : α i : ite egenværdi for A ite egenvektor for A konstant, fastlægges ud fra begyndelsesbetingelser.. Fås ved gæt på løsning på form x(t) = e λt v for ikke-fastlagt vektor v og en konstant λ. EKSAKTE (IKKE-LIGEVÆGT) BEREGNINGER I 38
39 EKSAKTE (IKKE-LIGEVÆGT) BEREGNINGER II X stationær Markovproces; fremadg. diff. lign. P (t) = C P(t). Løs som n + 1 differentialligningssystemer. d dt p i0 (t) p i0 (t) = C , i = 0,..., n p in (t) p in (t) med begyndelsesbetingelsen P(0) = I. Da C har rang højest n er mindst én egenværdi 0. Heraf p i0 (t) = 6 4 p in (t) p 0. p n 3 n α i e λit v i, i=0 indsvingning mod ligevægt er eksponentiel. α i kst. EKSAKTE (IKKE-LIGEVÆGT) BEREGNINGER II 39
40 EKSAKTE BEREGNINGER, SIMPELT AFVISNINGSSYSTEM Intensitetsmatrix C = Egenværdier 0, 25 med egenvektorer [1, 3/2], [ 1, 1]. Løsning (under begyndelsesbetingelser) er følgelig p 00(t) p 01 (t) = 0.6e 25t 0.6e 25t. p 10 (t) p 11 (t) e 25t 0.4e 25t Ligevægt når e 25t 0 svarende til et kvarters tid... EKSAKTE BEREGNINGER, SIMPELT AFVISNINGSSYSTEM 40
41 OPSAMLING HVAD SKAL I KUNNE? Teori: Redegøre for hvad der forstås ved et køsystem. Definere en stokastisk proces (side 14) og skelne mellem begreberne på side 16. Definere en Markovproces og kende eksempler herpå; vide at Markovprocesser har eksponentialfordelte sojourn times. Definere overgangssandsynligheder, stationaritet, ligevægtssandsynligheder og overgangsintensiteter. Regneteknik: Udregne ligevægtsfordelingen for en stationær Markovproces. Udregne overgangssandsynlighederne for en stationær Markovproces. OPSAMLING HVAD SKAL I KUNNE? 41
Stokastiske processer og køteori
Info Stokastiske processer og køteori 1. kursusgang Jesper Møller Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet http://www.math.aau.dk/ jm JM (I17) VS7-1. minimodul 1 / 40 Info Praktisk information
Læs mereStokastiske processer og køteori
Stokastiske processer og køteori 2. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 STOKASTISK MODEL FOR KØSYSTEM Population Ankomst Kø Ekspedition Output Ankomstproces
Læs mereStokastiske processer og køteori
Stokastiske processer og køteori 5. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 DAGENS EMNER Kvalitative egenskaber og karakteristiske størrelser i generelle køsystemer.
Læs mereVi har beskæftiget os indgående med ankomst- og servicetidsprocesser. Disse karakteriserer input til et køsystem. Andre karakteriserende størrelser?
Dagens emner Kvalitative egenskaber og karakteristiske størrelser i generelle køsystemer. Little s formel. Repetition af hopdiagrammer og Markovprocesser. Fødsels- og dødskøsystemer. AGR/PSE (I17) VS7-5.
Læs mereStokastiske processer og køteori
Stokastiske processer og køteori 7. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 OVERBLIK Sidste gang: M/M/(m, n m)-køsystemet: ligevægtsfordeling; performancestørrelser;
Læs mereStokastiske processer og køteori
Stokastiske processer og køteori 6. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 KØSYSTEMER NOTATION Notation for parallelforbundne ekspeditionssystemer X/Y(m, q).
Læs mereStokastiske processer og køteori
Stokastiske processer og køteori 9. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 OPSAMLING EKSAKTE MODELLER Fordele: Praktiske til initierende analyser/dimensionering
Læs mereStokastiske processer og køteori
Stokastiske processer og køteori 8. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 HVAD ER KØNETVÆRK? Åbent kønetværk Lukket kønetværk HVAD ER KØNETVÆRK? 2 Vi skal
Læs mereKræver generelt at diverse ventetider er eksponentialfordelte. Faste rammer for serverdiscipliner mv. Svært at modellere ikke-standard køsystemer.
Opsamling eksakte modeller Fordele Praktiske til initierende analyser/dimensionering Ofte nemme at regne på. Kan bruges til at løse optimeringsopgaver, som ellers ville kræve snedige simulationsdesigns.
Læs mere1 Palm teori. Palm teori 1
Palm teori 1 1 Palm teori Lad X = {X(t)} t 0 være en stokastisk proces defineret på et måleligt rum (Ω, F), og lad T = {T n } n N0 være en voksende følge af ikke-negative stokastiske variable herpå. Vi
Læs mereNotation for parallelforbundne ekspeditionssystemer
Køsystemer notation Notation for parallelforbundne ekspeditionssystemer X /Y (m, q). Ankomstproces X og ekspeditionstidsproces Y kan antage værdier: M: Uafhængige og eksponentialfordelte ventetider. Dvs.
Læs merePlan. Markovkæder Matematisk modelling af kølængde, yatzy, smittespredning og partikelbevægelser. Materiale mm.
Institut for Matematiske Fag Plan Markovkæder Matematisk modelling af kølængde, yatzy, smittespredning og partikelbevægelser Helle Sørensen Eftermiddagen vil være bygget om 3 4 eksempler: A. B. Random
Læs mereTeoretisk Statistik, 13 april, 2005
Poissonprocessen Teoretisk Statistik, 13 april, 2005 Setup og antagelser Fordelingen af X(t) og et eksempel Ventetider i poissonprocessen Fordeling af ventetiden T 1 til første ankomst Fortolkning af λ
Læs mereMatematisk model for køsystem
Matematisk model for køsystem Ankomstproces T 1, T 2,... (ankomsttid per kunde). Kødisciplin (rækkefølge for service). Ekspeditionstidsproces S 1, S 2,... (servicetid per kunde). Dagens emne: ankomstprocesser.
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 11, 2016 1/22 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs mereTeoretisk Statistik, 16. februar Generel teori,repetition
1 Uge 8 Teoretisk Statistik, 16. februar 2004 1. Generel teori, repetition 2. Diskret udfaldsrum punktssh. 3. Fordelingsfunktionen 4. Tæthed 5. Transformationer 6. Diskrete vs. Kontinuerte stokastiske
Læs mereHvad er kønetværk? AGR/PSE (I17) VS7-8. minimodul 1 / 17
Hvad er kønetværk? AGR/PSE (I17) VS7-8. minimodul 1 / 17 Hvad er kønetværk? Vi skal kun se på åbne kønetværk (ankomst fra eksterne kilder, hver kunde forlader systemet med sandsynlighed 1). Ideelt vil
Læs mereKursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R Helle Sørensen Uge 6, mandag SaSt2 (Uge 6, mandag) Tætheder og kont. fordelinger 1 / 19 Program Velkommen I dag:
Læs mereKursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet March 1, 2013 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen
Læs mereSandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)
Program: 1. Repetition: sandsynlighedsregning 2. Sandsynlighedsregning fortsat: stokastisk variabel, sandsynlighedsfunktion/tæthed, fordelingsfunktion. 1/16 Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereNanostatistik: Stokastisk variabel
Nanostatistik: Stokastisk variabel JLJ Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 1/29 Repetition Ω: udfaldsrummet: alle de mulige udfald af et experiment P(A): ss for hændelsen A = frekvens i uafhængige gentagelser
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Den hændelse, der ikke indeholder
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereDefinition. Definitioner
Definition Landmålingens fejlteori Lektion Diskrete stokastiske variable En reel funktion defineret på et udfaldsrum (med sandsynlighedsfordeling) kaldes en stokastisk variabel. - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/
Læs mereLidt supplerende køteori (ikke pensum)
H.Keiding: Operationsanalyse MØK 205II Note om køteori, side. Lidt mere om M/M/ Lidt supplerende køteori (ikke pensum).. Rate-equality. I den første note endte vi de generelle betragtninger med en hurtig
Læs mere13 Markovprocesser med transitionssemigruppe
13 Markovprocesser med transitionssemigruppe I nærværende kapitel vil vi antage at tilstandsrummet er polsk, hvilket sikrer, at der findes regulære betingede fordelinger. Vi skal se på eksistensen af Markovprocesser.
Læs mereModulpakke 3: Lineære Ligningssystemer
Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system
Læs mereSandsynlighedsregning Stokastisk variabel
Sandsynlighedsregning Stokastisk variabel I eksperimenter knyttes ofte en talværdi til hvert udfald. S s X(s) R Definition: En stokastisk variabel X er en funktion defineret på S, der antager værdier på
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs mereNanostatistik: Stokastisk variabel
Nanostatistik: Stokastisk variabel JLJ Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 1/34 Repetition Ω: udfaldsrummet: alle de mulige udfald af et experiment P(A): ss for hændelsen A = frekvens i uafhængige gentagelser
Læs mereModeller for ankomstprocesser
Modeller for ankomstprocesser Eric Bentzen Institut for Produktion og Erhvervsøkonomi Handelshøjskolen i København November 2007 1 . Afsnit Indhold Side 1 Indledning 3 2 Ankomstprocessen 3 3 Servicesystemet
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Et sandsynlighedsmål er en
Læs mereFornyelsesteori med anvendelser: Punktprøve
Fornyelsesteori med anvendelser: Punktprøve May 9, 2003 For at få kredit for kurset Fornyelsesteori med anvendelser kræves at afleveringsopgave 1 og 2 samt nedenstående punktprøve besvares tilfredsstillende.
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote 7 enote 7 Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses Der bruges egenværdier og egenvektorer i løsningsproceduren,
Læs mereMarkovkæder med endeligt tilstandsrum
Kapitel 9 Markovkæder med endeligt tilstandsrum En følge af stokastiske variable {X t } = {X 0, X 1, X 2,...} kaldes en stokastisk proces. Vi kan nemlig tænke på de stokastiske variable som tilstanden
Læs mereSkriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Mandag den 11. juni 2007 kl. 15.00 18.00
Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Mandag den 11. juni 2007 kl. 15.00 18.00 Forskningsenheden for Statistik IMADA Syddansk Universitet Alle skriftlige hjælpemidler samt brug af lommeregner er tilladt.
Læs mereOpgaver i sandsynlighedsregning
Afdeling for Teoretisk Statistik STATISTIK Institut for Matematiske Fag Preben Blæsild Aarhus Universitet 9. januar 005 Opgaver i sandsynlighedsregning Opgave Lad A og B være hændelser således at P(A)
Læs mere1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori - lidt om kurset Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Kursusholder
Læs mereSandsynlighedsregning 6. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 6. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfn@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 4.2, 4.3 og 4.4 Poissonprocessen/eksponentialfordelingen
Læs mereProgram. Statistik og Sandsynlighedsregning. Eksempler. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål
Program Statistik og Sandsynlighedsregning Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R Varians og middelværdi Normalfordelingen Susanne Ditlevsen Uge 48, tirsdag Tætheder og fordelingsfunktioner
Læs mereUdvikling af operations karakteristika/performance mål for køsystemer
Chapter 2: Genstandsområde: Køteori Analyse af køsystemer Formål: Udvikling af operations karakteristika/performance mål for køsystemer > ssh for 0 enheder i system > gns # enheder i køen > gns # enheder
Læs mereTidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra
Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................
Læs mereStokastiske processer og køteori
Stokastiske processer og køteori 3. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 SIDSTE GANG Ankomstproces T 1, T 2,... (ankomsttid per kunde) til køsystem. Modellér
Læs mereStatistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning
Statistik Lektion 1 Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning Introduktion Kasper K. Berthelsen, Inst f. Matematiske Fag Omfang: 8 Kursusgang I fremtiden
Læs mereForelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup)
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 40, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm bearbejdet af JC 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen s.445-8 dx Eksempler
Læs mereSandsynlighedsregning
Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 12. Oktober, 2007 Kontinuerte fordelinger Vi har hidtil set på fordelinger af stokastiske variable der højst kan antage tælleligt mange værdier (diskrete stokastiske
Læs mereINSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c
INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c AALBORG UNIVERSITET FREDRIK BAJERS VEJ 7 G 9220 AALBORG ØST Tlf.: 96 35 89 27 URL: www.math.aau.dk Fax: 98 15 81 29 E-mail: bjh@math.aau.dk Dataanalyse Sandsynlighed og stokastiske
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mereSandsynlighedsregning 6. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 6. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 4.2, 4.3 og 4.4 Poissonprocessen/eksponentialfordelingen
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Kontinuerte fordelinger Ventetider i en Poissonproces Beskrivelse af kontinuerte fordelinger: - Median og kvartiler - Middelværdi - Varians Simultane fordelinger 1 Ventetider i en Poissonproces
Læs mereKursusgang 3 Matrixalgebra Repetition
Kursusgang 3 Repetition - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 16. september 2008 1/19 Betingelser for nonsingularitet af en Matrix
Læs mereProgram. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians. Eksempler fra sidst. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål
Program Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume fra i mandags og et par eksempler mere om sammenhængen
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag SaSt2 (Uge 6, onsdag) Middelværdi og varians 1 / 18 Program I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume
Læs mereTeoretisk Statistik, 9 marts nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts.
Teoretisk Statistik, 9 marts 2005 Empiriske analoger (Kap. 3.7) Normalfordelingen (Kap. 3.12) Opsamling på Kap. 3 nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts. 1 Empiriske analoger Betragt
Læs mereAffine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2
Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket
Læs mereOverheads til forelæsninger, mandag 5. uge På E har vi en mængde af mulige sandsynlighedsfordelinger for X, (P θ ) θ Θ.
Statistiske modeller (Definitioner) Statistik og Sandsynlighedsregning 2 IH kapitel 0 og En observation er en vektor af tal x (x,..., x n ) E, der repræsenterer udfaldet af et (eller flere) eksperimenter.
Læs mereMatricer og lineære ligningssystemer
Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix
Læs mereChapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning
Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis
Læs mereTema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.
Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i
Læs mereNøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Stokastiske Variable
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereForelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereNoget om en symmetrisk random walks tilbagevenden til udgangspunktet
Random Walk-kursus 2014 Jørgen Larsen 14. oktober 2014 Noget om en symmetrisk random walks tilbagevenden til udgangspunktet Dette notat giver et bevis for at en symmetrisk random walk på Z eller Z 2 og
Læs mereKursusgang 3 Matrixalgebra fortsat
Kursusgang 3 fortsat - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12. september 2008 1/31 Nødvendige betingelser En nødvendig betingelse
Læs mereOversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Læs mereIntroduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Peder Bacher
Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk
Læs mereHvad skal vi lave i dag?
p. 1/1 Hvad skal vi lave i dag? Repeterer lidt om diskrete sv. Standardfordelinger (binomial, Poisson, geometrisk) Stokastiske vektorer Diskrete stokastiske vektorer p. 2/1 Repetition Heltallige sv er
Læs mereEksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Eksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt
Læs mereBilledbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 1)
; C ED 6 > Billedbehandling og mønstergenkendelse Lidt elementær statistik (version 1) Klaus Hansen 24 september 2003 1 Elementære empiriske mål Hvis vi har observationer kan vi udregne gennemsnit og varians
Læs mereenote 2: Kontinuerte fordelinger Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher enote 2: Continuous Distributions
Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 33B, Rum 9 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk Efterår
Læs mereStatistik II 1. Lektion. Sandsynlighedsregning Analyse af kontingenstabeller
Statistik II 1. Lektion Sandsynlighedsregning Analyse af kontingenstabeller Kursusbeskrivelse Omfang 5 kursusgange (forelæsning + opgaveregning) 5 kursusgange (mini-projekt) Emner Analyse af kontingenstabeller
Læs mereMatematik for økonomer 3. semester
Matematik for økonomer 3. semester cand.oecon. studiet, 3. semester Planchesæt 2 - Forelæsning 3 Esben Høg Aalborg Universitet 10. september 2009 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Esben
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
Læs mereI kurset Samhørende og partielle differentialligninger vil vi i foråret 2006 benytte bogen
S.&P. DIFFERENTIALLIGNINGER 2. februar 2006 Oversigt nr. 1 I kurset Samhørende og partielle differentialligninger vil vi i foråret 2006 benytte bogen [EP] Elementary differential equations with boundary
Læs mereKursusgang 3 Matrixalgebra Repetition
Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem
Læs mereLineær Algebra, kursusgang
Lineær Algebra, 2014 12. kursusgang Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet LinAlg November 2014 Om miniprojekt 2 Kirchoffs love. Opstil lineære ligningssystemer og løs dem. 0-1-matricer.
Læs mereMM501/MM503 forelæsningsslides
MM501/MM503 forelæsningsslides uge 50, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen dx Eksempler = et udtryk, der indeholder
Læs mereTeoretisk Statistik, 2. december 2003. Sammenligning af poissonfordelinger
Uge 49 I Teoretisk Statistik, 2. december 2003 Sammenligning af poissonfordelinger o Generel teori o Sammenligning af to poissonfordelinger o Eksempel Opsummering om multinomialfordelinger Fishers eksakte
Læs mereDesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II
DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II Preben Alsholm Efterår 21 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden Lineært differentialligningssystem
Læs mereHvad skal vi lave i dag?
p. 1/2 Hvad skal vi lave i dag? Eksempler på stokastiske variable. Ventetid på krone ved møntkast. Antal plat ved n kast. Antal radioaktive henfald. Ventetiden på en flyulykke. Udtrækning af tal i et interval.
Læs mereIntroduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)
Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer
Læs mereOversigt. Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger
Introduktion til Statistik Forelæsning 2: og diskrete fordelinger Oversigt 1 2 3 Fordelingsfunktion 4 Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 017 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereLandmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/41 Landmålingens fejlteori - lidt om kurset
Læs mereModul 2: Sandsynlighedsmodeller og diskrete stokastiske variable
Forskningsenheden for Statistik ST501: Science Statistik Bent Jørgensen Modul 2: Sandsynlighedsmodeller og diskrete stokastiske variable 2.1 Sandsynlighedsbegrebet............................... 1 2.1.1
Læs mereComputerstøttet beregning
CSB 2009 p. 1/16 Computerstøttet beregning Lektion 1. Introduktion Martin Qvist qvist@math.aau.dk Det Ingeniør-, Natur-, og Sundhedsvidenskabelige Basisår, Aalborg Universitet, 3. februar 2009 people.math.aau.dk/
Læs mereDESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til.
DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL 13 INSTITUT FOR MATEMATIK 1. Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til. 2. Aktiviteter mandag 13 17 2.1.
Læs mereDefinition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Repetition:
Læs mereGamle eksamensopgaver (DOK)
EO 1 Gamle eksamensopgaver ) Opgave 1. sommer 1994, opgave 1) a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen x 6x + 9x =. b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen Opgave 2.
Læs mereDesignMat Uge 4 Systemer af lineære differentialligninger I
DesignMat Uge Systemer af lineære differentialligninger I Preben Alsholm Efterår 008 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden I Lineært differentialligningssystem
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Uafhængighed og reelle transformationer Helle Sørensen Uge 8, mandag SaSt2 (Uge 8, mandag) Uafh. og relle transf. 1 / 16 Program I dag: Uafhængighed af kontinuerte
Læs mereReeksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Reeksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål. Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt.
Læs mereStatistik Lektion 3. Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen
Statistik Lektion 3 Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition En stokastisk variabel er en funktion defineret på S (udfaldsrummet, der antager
Læs mereUge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 2004
1 Uge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 004 1. u-fordelingen. Normalfordelingen 3. Middelværdi og varians 4. Mere normalfordelingsteori 5. Grafisk kontrol af normalfordelingsantagelse 6. Eksempler 7. Oversigt
Læs mereNøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 14, 15 Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Calculus 2-2005
Læs mereSkriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Mandag den 11. juni 2007 kl. 15.00 18.00
Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Mandag den 11. juni 2007 kl. 15.00 18.00 Forskningsenheden for Statistik IMADA Syddansk Universitet Alle skriftlige hjælpemidler samt brug af lommeregner er tilladt.
Læs mereReaktionskinetik - 1 Baggrund. lineære og ikke-lineære differentialligninger. Køreplan
Reaktionskinetik - lineære og ikke-lineære differentialligninger Køreplan 1 Baggrund På 2. eller 4. semester møder kemi/bioteknologi studerende faget Indledende Fysisk Kemi (26201/26202). Her behandles
Læs mereBesvarelse af Eksamensopgaver Juni 2005 i Matematik H1
Besvarelse af Eksamensopgaver Juni 5 i Matematik H Opgave De fire vektorer stilles op i en matrix som reduceres: 4 4 4 8 4 4 (a) Der er ledende et-taller så dim U =. Som basis kan f.eks. bruges a a jfr.
Læs mere