Stokastiske processer og køteori

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Stokastiske processer og køteori"

Transkript

1 Stokastiske processer og køteori 1. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1

2 PRAKTISK INFORMATION Hjemmeside: Litteratur: 1. Andersen, KE (2001). Operationsanalytiske metoder i produktions- og lagerstyring. 2. Kopier og noter. Software: 1. Enterprise Dynamics 2. R (http://www.r-project.org). 3. Excel. PRAKTISK INFORMATION 2

3 Tentativ kursusform: : Repetition : Opgavegning : Forelæsning. Eksamen (!): Gruppevis mundtlig eksamen (karakterer efter binær skala) på baggrund af (skriftligt) miniprojekt. Afleveringsdato: 20. december Eksamensdato: 12. januar PRAKTISK INFORMATION 3

4 I DAG 1. Lidt overordnet om køteori og anvendelser. 2. Noget om kursets indhold. 3. Modeller for køsystemer, og hvorfor vi skal se på stokastiske (fremfor deterministiske) af slagsen. 4. Stokastiske processer definition og eksempler. 5. Markovprocesser definition og beregning. I DAG 4

5 KØTEORI LIDT PRAKTISK MOTIVATION Produktionssystemer. Hvor lang tid tager en ordre? Er der nok maskiner? Bør man ændre prioriteringen på ordrer? Supermarked. Ventetid ved kasselinie? Er der nok kasser åbne? Venteliste. Ventetid på operation? Er der allokeret tilstrækkelige ressourcer til behandlingsformen? Callcenter. Risiko for optaget? Ventetid på service? Skal der bruges flere operatører? Arrest-til-grundlovsforhør. Ventetid fra anholdelse til foretræde for domstol? Bemanding tilstrækkelig? Datakommunikation Sandsynlighed for pakketab? Forsinkelse på pakker? Skal bufferstørrelsen ændres? KØTEORI LIDT PRAKTISK MOTIVATION 5

6 KØSYSTEMER Tre hovedbestanddele: Kunde: Det/den, som afventer service. Kø: Mængden af kunder, som afventer service (evt. med et maksimalt antal pladser i køen). Server: Det/den, som udfører service. Generelt ikke kunde/server/kø i sædvanlig fysisk forstand. Målsætning: Sikr tilfredsstillende performance ved dimensionering: 1. Teoretisk baseret simulering af køsystem før implementation. 2. Empirisk baseret optimering efter implementation. KØSYSTEMER 6

7 MODELDANNELSE FOR KØSYSTEMER 1. Definér centrale karakteristika for køsystem. Pas på detaljeringsgrad; modeller kan let bliver uoverskuelige! Hold altid formålet for øje; hvad skal modellen bruges til? 2. Udvikl matematisk formulering. Deterministisk eller stokastisk model? Kan man bruge gængse, velstuderede modeltyper? Afvej nøje modelrealisme op imod formål. Gør ikke tingene unødigt komplicerede, men vær opmærksom på forsimplende antagelser. 3. Definér performancevariable (en del af 1+2). 4. Ideelt: Validér (dele af) modellen mod rigtige data. MODELDANNELSE FOR KØSYSTEMER 7

8 EKSEMPLER Kasselinie i den lokale kiosk (let eksempel): 1 server (kassen). System blokeret, når kunde ekspederes. Performancemål; f.eks. gennemsnitlig ventetid eller blokadesandsynlighed. Dimensionering; flere kasselinier? Hurtigere ekspedienter? Call-center (svært eksempel): Mange servere. System blokeret, når alle optaget. Tekniske overvejelser ang. matematisk model 1. Kunder, der bliver afvist kan ringe igen. 2. Kunder kan blive utålmodige og opgive før service. Performancemål/dimensionering? EKSEMPLER 8

9 KORT OM DETERMINISTISKE PRODUKTIONSSYSTEMER Antagelser: 1. Deterministiske ankomster (x enheder/time). 2. Deterministiske produktionstider. 3. Uendeligt mange køpladser per maskine. 4. Ligevægt ingen ophobning af enheder i system.... kan i så fald benytte fluid modeller: Produktionssystem som deterministisk fluid model Produkter strømmer gennem system med fast hastighed. Produktionslinier som rør, hvor Længden er et mål for produktionstiden Tykkelsen er et mål for maksimalt throughput. KORT OM DETERMINISTISKE PRODUKTIONSSYSTEMER 9

10 DETERMINISTISKE PRODUKTIONSSYSTEMER EKSEMPEL 40% forarbejdning i areal 2 & 3, 60% i areal 4 & 5. Produktionstider: Maskine Tid (timer/enhed) Hvad er maksimalt throughput λ (enheder/time)? Udnyttelsesgrad λ λ Maskine 1: 0.2λ Maskine 2: λ = 0.24λ Maskine 3: λ = 0.16λ Maskine 4: λ = 0.18λ Maskine 5: λ = 0.30λ Maskine 6: 0.1λ Maskine 5 er flaskehalsen fuld udnyttelse når 0.30λ = 1 λ = 3.33/time. DETERMINISTISKE PRODUKTIONSSYSTEMER EKSEMPEL 10

11 FORDELE/ULEMPER VED DETERMINISTISKE MODELLER + Let at analysere komplicerede netværk af produktionslinier. + Fordrer kun begrænset kendskab til systemparametre. + Hurtige skøn af performance. - Gennemført determinisme sjældent realistisk. - Ufleksible. Vi skal arbejde med mere generelle stokastiske modeller eksempler på beregninger i det deterministiske setup vil blive givet ifm. opgaveregning. FORDELE/ULEMPER VED DETERMINISTISKE MODELLER 11

12 Køsystem: STOKASTISKE MODELLER FOR KØSYSTEMER Ankomstproces T 1, T 2,... (ankomsttid per kunde). Kødisciplin (rækkefølge for ekspedition). Vi vil normalt antage FIFO (first-in-first-out). Ekspeditionstidsproces S 1, S 2,... (ekspeditionstid per kunde). Kønetværk: Flere køsystemer sat sammen. Eks. Patienter på venteliste opereration/reoperation. Produktionssystem med kvalitetskontrol. STOKASTISKE MODELLER FOR KØSYSTEMER 12

13 ANKOMSTPROCESSER Bank. Kunder til pengeautomat. Hospital. Patienter på venteliste. Produktionssystem. Ordretilgang, råvaretilgang. Arrest-til-grundlovsforhør. Anholdte. Vi skal se på ankomstprocesser, som er fornyelsesprocesser: T n = n U i, U i uafhængige og identisk fordelte, n = 1, 2,... i=1 Yderpunkter i denne klasse: Fuldstændig tilfældige ankomster (Poissonproces). Deterministiske ankomster. ANKOMSTPROCESSER 13

14 Bank. Tid for transaktion. EKSPEDITIONSTIDSPROCESSER Hospital. Transport, narkose, operation, opvågning. Produktionssystem. Forarbejdningstid, transport, reparation/omstilling af maskiner, kvalitetskontrol, shipping. Arrest-til-grundlovsforhør. Tid til grundlovsforhør. Yderpunkter: Eksponentialfordelingen (ingen hukommelse). Deterministisk proces (konstant ekspeditionstid). EKSPEDITIONSTIDSPROCESSER 14

15 VI SKAL SE PÅ... Modeller for ankomst- og ekspeditionstidsproces. Simple stokastiske kømodeller som kan analyseres eksakt. Statistiske metoder til empirisk analyse af køsystemer. Performancemål og outputanalyse for simulationer. Køteori for produktionssystemer: Realistiske produktionssystemer: brug simulation! Kræver Empiriske metoder til bestemmelse af systemmodel. Kendskab til outputanalyse og performancemål. Hvorfor så vide noget om forsimplede eksakte modeller? Hvad kan man, og hvad kan man ikke regne på? Springbræt til studier af mere avanceret teori. VI SKAL SE PÅ... 15

16 STOKASTISKE PROCESSER (DEN TEKNISKE DEFINITION) Ω: Udfaldsrum. F: Mængde af delmængder af Ω (hændelser). I praksis er alle A Ω hændelser. P: Sandsynlighedsmål, funktion fra F til [0, 1]. Stokastisk variabel: Funktion X fra Ω til R så {ω : X(ω) t} F for alle t R. Fastlagt ved fordelingsfunktion F X (x) := P(X x), t R. Stokastisk proces: Samling af stok. var. {X(t) : t T [0, )}. Fastlagt (i dette kursus) via marginale fordelinger for n N P(X(t 1 ) x 1 X(t n ) x n ), (s 1,..., s n ),(t 1,..., t n ) R n. Heuristisk: Stokastisk proces = stokastisk variabel med værdier i klassen af funktioner T R. STOKASTISKE PROCESSER (DEN TEKNISKE DEFINITION) 16

17 Legetøjseksempel: Ω = {1,..., 6}. P(A) = 1 6 A for A Ω. HVAD BETYDER DET SÅ...? Stokastisk proces X(ω, t) = ωt, t [0, ) Algoritmisk fortolkning: 1. Kast en terning. Betegn udfald ω. 2. Vælg funktionen ωt som udfaldsfunktion for X. I dette kursus: Vi bekymrer os ikke om Ω og P. Konstruér stokastiske processer via algoritmiske beskrivelser. HVAD BETYDER DET SÅ...? 17

18 VIGTIGE BEGREBER Stokastisk proces {X(t) : t T [0, )} Indeksmængde. T. Udfaldsfunktion. X(ω, ). Tilstandsrum. Billedmængden for X(ω, ). Betegnes S. Udfald/tilstand. X(ω, t). Udfald Udfaldsfunktion 2 Udfaldsfunktion Tid VIGTIGE BEGREBER 18

19 EKSEMPEL RANDOM WALK Definér X(0) := 0, X(n) := X(n 1) 1 med sandsynlighed 1/2 X(n 1) + 1 med sandsynlighed 1/2 Position Position Tid EKSEMPEL RANDOM WALK 19

20 ... OG I 2 DIMENSIONER Random walk y x... OG I 2 DIMENSIONER 20

21 EKSEMPEL BROWNSK BEVÆGELSE 1. X(0) = 0; 2. X(t) X(s) N(0, s t), t > s, uafh. af {X(u) : 0 u s}; 3. udfaldsfunktionerne for X er kontinuerte Tid Patologisk! X intetsteds differentiabel, uendelig længde osv. EKSEMPEL BROWNSK BEVÆGELSE 21

22 STOKASTISK PROCES FRA DEN VIRKELIGE VERDEN Ventetid på ekspedition i et callcenter. Matematisk model...? Ventetid Kunde STOKASTISK PROCES FRA DEN VIRKELIGE VERDEN 22

23 VORES SETUP Vi skal næsten udelukkende beskæftige os med stokastiske processer med diskret tilstandsrum. Dvs. tilstandsrum S = {1,..., n} ell. S = N = {1, 2,...}. Eksempel antal kunder i et callcenter efter midnat: Antal kunder Timer VORES SETUP 23

24 ET SIMPELT KØSYSTEM Afvisningssystem med 1 køplads: 1 server og ingen køplads (eksempelvis 1 badeværelse og ingen køplads). Model: Stokastisk proces {X(t) : t [0, )} hvor X(t) := 0 hvis system optaget til tid t, 1 ellers. Bemærk, X er fastlagt ved ankomst/ekspeditionstidsproces. X X X X O X Modtaget ankomst Afvist ankomst Tid ET SIMPELT KØSYSTEM 24

25 MARKOVPROCESSER MED DISKRET TILSTANDSRUMN X stokastisk proces på [0, ) med tilstandsrum S = {0,..., n} Tidsafhængig overgangssandsynlighed: p ij (s, t) := P(X(t) = j X(s) = i), 1 i, j n, t s. Da man altid befinder sig i en tilstand j {1,..., n} gælder n p ij (s, t) = 1. j=0 X kaldes en Markovproces, hvis X har Markovegenskaben: P(X(t) = j X(t 1 ) = x 1,..., X(t m ) = x m, X(s) = i) = p ij (s, t), for alle t 1 t m s t samt i, j S Heuristisk: P(fremtid fortid og nutid) = P(fremtid nutid). MARKOVPROCESSER MED DISKRET TILSTANDSRUMN 25

26 EKSEMPLER PÅ MARKOVPROCESSER Random walk X(0) := 0, X(n) := X(n 1) 1 med sandsynlighed 1/2 X(n 1) + 1 med sandsynlighed 1/2 Fornyelsesprocesser T n = n U i, i=1 U i uafhængige og identisk fordelte. De fleste afledte processer i køsystem med Markov ankomstproces (kølængde, ventetid etc). EKSEMPLER PÅ MARKOVPROCESSER 26

27 LIGEVÆGTSSANDSYNLIGHEDER FOR MARKOVPROCESSER Stokastisk proces X er en stationær/homogen Markovproces, hvis 1. X har Markovegenskaben, og 2. p ij (s, t) afhænger kun af t s. Antag stationaritet. Hvis der for alle i, j eksisterer t så p ij (t) > 0 (irreducibilitet) gælder lim p ij(t) = p j [0, 1]. (1) t Højresiden kaldes ligevægtssandsynligheden for tilstand j. Heuristisk: p j er brøkdelen af tid i tilstand j i det lange løb. Kan benyttes til beregning af udnyttelsesgrader, gennemsnitlig ventetid, brøkdel af kunder, som afvises osv. Hvis grænseværdien (1) eksisterer for alle i, j, taler man om et ligevægtssystem eller et ergodisk system. LIGEVÆGTSSANDSYNLIGHEDER FOR MARKOVPROCESSER 27

28 EKSEMPEL LIGEVÆGT FOR REFLEKTERET RANDOM WALK Udfaldsfunktion Overgang fra 0 til 1 X Estimeret sandsynlighed Tid Tid EKSEMPEL LIGEVÆGT FOR REFLEKTERET RANDOM WALK 28

29 MELLEMLANDINGSFORMLEN Hvordan kommer man fra tilstand i til tid s til tilstand j til tid t? F.eks. ved mellemlanding i tilstand l i }{{} tid s l }{{} tid u j }{{} tid t Loven om total sandsynlighed giver, s u t p ij (s, t) = = n P(X(t) = j X(u) = l, X(s) = i)p(x(u) = l X(s) = i) l=0 n p il (s, u)p lj (u, t) (af Markovegenskaben). l=0 Mellemlandingsformlen/Chapman-Kolmogorov s ligning. MELLEMLANDINGSFORMLEN 29

30 Antag at OVERGANGSINTENSITETER 1. p ij (t, t) = 0 for i j, samt p ii (t, t) = 1 for vilkårligt t; 2. p ij er differentiabel i andenkoordinaten. Så defineres overgangsintensiteten c ij som c ij (s) := t p ij(s, t). t=s Momentan tilbøjelighed til overgang fra i til j til tid s. Markovproces fastlagt af c ij, 1 i, j n. Tit er c ij kendte (vi kender ankomst/afgangsrate), og vi ønsker at bestemme overgangs/ligevægtssandsynligheder. Bemærk n j=0 c ij(s) = 0 (bevarelse af masse). OVERGANGSINTENSITETER 30

31 KOLMOGOROV S FREMADGÅENDE DIFF. LIGN. I Mellemlandingsformel: p ij (s, t) = n l=0 p il(s, u)p lj (u, t). Differentiér mht. t og lad u t t p ij(s, t) = n p il (s, t)c lj (t), l=0 0 s < t På matrixform: p 00 p 0n t. = p n0 p nn c 00 c 1n p 00 p 0n.. c n0 c nn p n0 p nn eller med matrixnotation, P t(s, t) = P(s, t)c(t). Matrixdifferentialligning: generelt vanskelig at løse analytisk. KOLMOGOROV S FREMADGÅENDE DIFF. LIGN. I 31

32 KOLMOGOROV S FREMADGÅENDE DIFF. LIGN. II Antag at X stationær Markovproces (p ij (s, t) afh. kun af t s). Så er overgangsintensiteterne uafhængige af s: t p p ij (t t + h) p ij (t t) ij(s, t) = lim t=s h 0 h p ij (h) p ij (0) = lim = c ij. h 0 h Dvs. C(t) C er en konstant matrix. Fremadgående diff. lign. bliver da: d dt p ij(t) = n p il (t)c lj P(t) = P(t)C. l=0 Kan løses både eksakt og mht. ligevægtsfordelingen. KOLMOGOROV S FREMADGÅENDE DIFF. LIGN. II 32

33 HVAD BETYDER KONSTANTE OVERGANGSINTENSITETER? Definér T i := tid i tilstand i (sojourn time ell. opholdstid). Sandsynligheden at blive i tilstand i i lille interval (t, t + h) 1 j i p ij (t + h) 1 i j c ij h = 1 c ii h. Inddel [0, t] i k lige store intervaller. Af Markovegenskaben P(T i > t) = lim k = lim k k 1 i=0 P(T i > (i + 1)/k T i > i/k) ( 1 c ii t/k) k = e c ii t. Dvs. fordelingsfkt. F Ti (t) = 1 e c iit (eksponentialfordeling). HVAD BETYDER KONSTANTE OVERGANGSINTENSITETER? 33

34 UDREGNING AF LIGEVÆGTSFORDELING Lad t. Så fås 0 = n l=0 p lc lj, j = 0,..., n. På vektorform, C p = 0, hvor p = [p 0,..., p n ]. Da n j=0 c ij = 0, har C rang højest n. Bestemmelse af n + 1 ligevægtssandsynligheder? Yderligere betingelse n i=0 p i = 1 (vektorform 1 p = 1). Ligevægtsfordelingen p for en stationær Markovproces med kendt intensitetsmatrix C kan bestemmes ved løsning af ligningssystemet 1 C p = 1, 0 hvor p = [p 0,..., p n ] m. p i ligevægtssandsynlighed for tilstand i. UDREGNING AF LIGEVÆGTSFORDELING 34

35 PÅ KOGEBOGSFORM 1. Lad C være en intensitetsmatrix. 2. Lad A være matricen, som fremkommer ved at udskifte øverste række i C med ettaller. 3. Lad a være vektoren [1, 0,..., 0]. 4. Ligevægtsfordelingen p for Markovkæden med intensitetsmatrix C er da givet ved p = A 1 a. PÅ KOGEBOGSFORM 35

36 EKSEMPEL SIMPELT AFVISNINGSSYSTEM I 1 server, 1 køplads. Tilstandsproces X(t) := 0 hvis system optaget til tid t 1 ellers. Hopdiagram: c c 10 EKSEMPEL SIMPELT AFVISNINGSSYSTEM I 36

37 EKSEMPEL SIMPELT AFVISNINGSSYSTEM II Intensitet hvormed kunder ankommer: 15/time. c 01 = 15, hvoraf c 00 = 15 af massebevarelse. Intensitet hvormed kunder ekspederes c 10 = 10, hvoraf c 11 = 10 af massebevarelse. Intensitetsmatrix C = Fjern øverste række, erstat med [1, 1]. Ligningssystem: p p 1 5 = p = [0.4, 0.6]. 0 Dvs. system optaget 60% af tiden. Intuitivt! EKSEMPEL SIMPELT AFVISNINGSSYSTEM II 37

38 EKSAKTE (IKKE-LIGEVÆGT) BEREGNINGER I Lineært differentialligningssystem x (t) = Ax(t) for en kontinuert differentiabel vektorfunktion x, en matrix A. Generel løsning x(t) = i α i exp(λ i t)v i, hvor λ i : v i : α i : ite egenværdi for A ite egenvektor for A konstant, fastlægges ud fra begyndelsesbetingelser.. Fås ved gæt på løsning på form x(t) = e λt v for ikke-fastlagt vektor v og en konstant λ. EKSAKTE (IKKE-LIGEVÆGT) BEREGNINGER I 38

39 EKSAKTE (IKKE-LIGEVÆGT) BEREGNINGER II X stationær Markovproces; fremadg. diff. lign. P (t) = C P(t). Løs som n + 1 differentialligningssystemer. d dt p i0 (t) p i0 (t) = C , i = 0,..., n p in (t) p in (t) med begyndelsesbetingelsen P(0) = I. Da C har rang højest n er mindst én egenværdi 0. Heraf p i0 (t) = 6 4 p in (t) p 0. p n 3 n α i e λit v i, i=0 indsvingning mod ligevægt er eksponentiel. α i kst. EKSAKTE (IKKE-LIGEVÆGT) BEREGNINGER II 39

40 EKSAKTE BEREGNINGER, SIMPELT AFVISNINGSSYSTEM Intensitetsmatrix C = Egenværdier 0, 25 med egenvektorer [1, 3/2], [ 1, 1]. Løsning (under begyndelsesbetingelser) er følgelig p 00(t) p 01 (t) = 0.6e 25t 0.6e 25t. p 10 (t) p 11 (t) e 25t 0.4e 25t Ligevægt når e 25t 0 svarende til et kvarters tid... EKSAKTE BEREGNINGER, SIMPELT AFVISNINGSSYSTEM 40

41 OPSAMLING HVAD SKAL I KUNNE? Teori: Redegøre for hvad der forstås ved et køsystem. Definere en stokastisk proces (side 14) og skelne mellem begreberne på side 16. Definere en Markovproces og kende eksempler herpå; vide at Markovprocesser har eksponentialfordelte sojourn times. Definere overgangssandsynligheder, stationaritet, ligevægtssandsynligheder og overgangsintensiteter. Regneteknik: Udregne ligevægtsfordelingen for en stationær Markovproces. Udregne overgangssandsynlighederne for en stationær Markovproces. OPSAMLING HVAD SKAL I KUNNE? 41

Stokastiske processer og køteori

Stokastiske processer og køteori Info Stokastiske processer og køteori 1. kursusgang Jesper Møller Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet http://www.math.aau.dk/ jm JM (I17) VS7-1. minimodul 1 / 40 Info Praktisk information

Læs mere

Stokastiske processer og køteori

Stokastiske processer og køteori Stokastiske processer og køteori 2. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 STOKASTISK MODEL FOR KØSYSTEM Population Ankomst Kø Ekspedition Output Ankomstproces

Læs mere

Stokastiske processer og køteori

Stokastiske processer og køteori Stokastiske processer og køteori 5. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 DAGENS EMNER Kvalitative egenskaber og karakteristiske størrelser i generelle køsystemer.

Læs mere

Stokastiske processer og køteori

Stokastiske processer og køteori Stokastiske processer og køteori 7. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 OVERBLIK Sidste gang: M/M/(m, n m)-køsystemet: ligevægtsfordeling; performancestørrelser;

Læs mere

Vi har beskæftiget os indgående med ankomst- og servicetidsprocesser. Disse karakteriserer input til et køsystem. Andre karakteriserende størrelser?

Vi har beskæftiget os indgående med ankomst- og servicetidsprocesser. Disse karakteriserer input til et køsystem. Andre karakteriserende størrelser? Dagens emner Kvalitative egenskaber og karakteristiske størrelser i generelle køsystemer. Little s formel. Repetition af hopdiagrammer og Markovprocesser. Fødsels- og dødskøsystemer. AGR/PSE (I17) VS7-5.

Læs mere

Stokastiske processer og køteori

Stokastiske processer og køteori Stokastiske processer og køteori 6. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 KØSYSTEMER NOTATION Notation for parallelforbundne ekspeditionssystemer X/Y(m, q).

Læs mere

Stokastiske processer og køteori

Stokastiske processer og køteori Stokastiske processer og køteori 9. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 OPSAMLING EKSAKTE MODELLER Fordele: Praktiske til initierende analyser/dimensionering

Læs mere

Stokastiske processer og køteori

Stokastiske processer og køteori Stokastiske processer og køteori 8. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 HVAD ER KØNETVÆRK? Åbent kønetværk Lukket kønetværk HVAD ER KØNETVÆRK? 2 Vi skal

Læs mere

Kræver generelt at diverse ventetider er eksponentialfordelte. Faste rammer for serverdiscipliner mv. Svært at modellere ikke-standard køsystemer.

Kræver generelt at diverse ventetider er eksponentialfordelte. Faste rammer for serverdiscipliner mv. Svært at modellere ikke-standard køsystemer. Opsamling eksakte modeller Fordele Praktiske til initierende analyser/dimensionering Ofte nemme at regne på. Kan bruges til at løse optimeringsopgaver, som ellers ville kræve snedige simulationsdesigns.

Læs mere

Teoretisk Statistik, 13 april, 2005

Teoretisk Statistik, 13 april, 2005 Poissonprocessen Teoretisk Statistik, 13 april, 2005 Setup og antagelser Fordelingen af X(t) og et eksempel Ventetider i poissonprocessen Fordeling af ventetiden T 1 til første ankomst Fortolkning af λ

Læs mere

Statistik og Sandsynlighedsregning 2

Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R Helle Sørensen Uge 6, mandag SaSt2 (Uge 6, mandag) Tætheder og kont. fordelinger 1 / 19 Program Velkommen I dag:

Læs mere

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M. Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen

Læs mere

Teoretisk Statistik, 16. februar Generel teori,repetition

Teoretisk Statistik, 16. februar Generel teori,repetition 1 Uge 8 Teoretisk Statistik, 16. februar 2004 1. Generel teori, repetition 2. Diskret udfaldsrum punktssh. 3. Fordelingsfunktionen 4. Tæthed 5. Transformationer 6. Diskrete vs. Kontinuerte stokastiske

Læs mere

Nanostatistik: Stokastisk variabel

Nanostatistik: Stokastisk variabel Nanostatistik: Stokastisk variabel JLJ Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 1/29 Repetition Ω: udfaldsrummet: alle de mulige udfald af et experiment P(A): ss for hændelsen A = frekvens i uafhængige gentagelser

Læs mere

Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)

Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition) Program: 1. Repetition: sandsynlighedsregning 2. Sandsynlighedsregning fortsat: stokastisk variabel, sandsynlighedsfunktion/tæthed, fordelingsfunktion. 1/16 Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)

Læs mere

Lidt supplerende køteori (ikke pensum)

Lidt supplerende køteori (ikke pensum) H.Keiding: Operationsanalyse MØK 205II Note om køteori, side. Lidt mere om M/M/ Lidt supplerende køteori (ikke pensum).. Rate-equality. I den første note endte vi de generelle betragtninger med en hurtig

Læs mere

Elementær sandsynlighedsregning

Elementær sandsynlighedsregning Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Den hændelse, der ikke indeholder

Læs mere

Sandsynlighedsregning Stokastisk variabel

Sandsynlighedsregning Stokastisk variabel Sandsynlighedsregning Stokastisk variabel I eksperimenter knyttes ofte en talværdi til hvert udfald. S s X(s) R Definition: En stokastisk variabel X er en funktion defineret på S, der antager værdier på

Læs mere

Modeller for ankomstprocesser

Modeller for ankomstprocesser Modeller for ankomstprocesser Eric Bentzen Institut for Produktion og Erhvervsøkonomi Handelshøjskolen i København November 2007 1 . Afsnit Indhold Side 1 Indledning 3 2 Ankomstprocessen 3 3 Servicesystemet

Læs mere

Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Mandag den 11. juni 2007 kl. 15.00 18.00

Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Mandag den 11. juni 2007 kl. 15.00 18.00 Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Mandag den 11. juni 2007 kl. 15.00 18.00 Forskningsenheden for Statistik IMADA Syddansk Universitet Alle skriftlige hjælpemidler samt brug af lommeregner er tilladt.

Læs mere

Opgaver i sandsynlighedsregning

Opgaver i sandsynlighedsregning Afdeling for Teoretisk Statistik STATISTIK Institut for Matematiske Fag Preben Blæsild Aarhus Universitet 9. januar 005 Opgaver i sandsynlighedsregning Opgave Lad A og B være hændelser således at P(A)

Læs mere

Sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsregning Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 12. Oktober, 2007 Kontinuerte fordelinger Vi har hidtil set på fordelinger af stokastiske variable der højst kan antage tælleligt mange værdier (diskrete stokastiske

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 16. september 2008 1/19 Betingelser for nonsingularitet af en Matrix

Læs mere

Stokastiske processer og køteori

Stokastiske processer og køteori Stokastiske processer og køteori 3. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 SIDSTE GANG Ankomstproces T 1, T 2,... (ankomsttid per kunde) til køsystem. Modellér

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 40, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm bearbejdet af JC 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen s.445-8 dx Eksempler

Læs mere

Sandsynlighedsregning 6. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 6. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 6. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfn@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 4.2, 4.3 og 4.4 Poissonprocessen/eksponentialfordelingen

Læs mere

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................

Læs mere

Statistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning

Statistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning Statistik Lektion 1 Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning Introduktion Kasper K. Berthelsen, Inst f. Matematiske Fag Omfang: 8 Kursusgang I fremtiden

Læs mere

Noget om en symmetrisk random walks tilbagevenden til udgangspunktet

Noget om en symmetrisk random walks tilbagevenden til udgangspunktet Random Walk-kursus 2014 Jørgen Larsen 14. oktober 2014 Noget om en symmetrisk random walks tilbagevenden til udgangspunktet Dette notat giver et bevis for at en symmetrisk random walk på Z eller Z 2 og

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Stokastiske Variable

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Stokastiske Variable Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II Preben Alsholm Efterår 21 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden Lineært differentialligningssystem

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Billedbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 1)

Billedbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 1) ; C ED 6 > Billedbehandling og mønstergenkendelse Lidt elementær statistik (version 1) Klaus Hansen 24 september 2003 1 Elementære empiriske mål Hvis vi har observationer kan vi udregne gennemsnit og varians

Læs mere

Oversigt. Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger

Oversigt. Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger Introduktion til Statistik Forelæsning 2: og diskrete fordelinger Oversigt 1 2 3 Fordelingsfunktion 4 Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 017 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528)

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den 20 Januar 2009, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug

Læs mere

TØ-opgaver til uge 46

TØ-opgaver til uge 46 TØ-opgaver til uge 46 Først laver vi en liste over de ligninger med mere i [ITP], der skal bruges: [1]: Ligning (2.5) på side 4. [2]: Sætning 3.1, ligning (3.3) på side 7. [3]: Sætning 3.1, ligning (3.4)

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

enote 2: Kontinuerte fordelinger Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher enote 2: Continuous Distributions

enote 2: Kontinuerte fordelinger Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher enote 2: Continuous Distributions Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 33B, Rum 9 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk Efterår

Læs mere

Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians. Eksempler fra sidst. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål

Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians. Eksempler fra sidst. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål Program Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume fra i mandags og et par eksempler mere om sammenhængen

Læs mere

Hvad skal vi lave i dag?

Hvad skal vi lave i dag? p. 1/2 Hvad skal vi lave i dag? Eksempler på stokastiske variable. Ventetid på krone ved møntkast. Antal plat ved n kast. Antal radioaktive henfald. Ventetiden på en flyulykke. Udtrækning af tal i et interval.

Læs mere

Modul 2: Sandsynlighedsmodeller og diskrete stokastiske variable

Modul 2: Sandsynlighedsmodeller og diskrete stokastiske variable Forskningsenheden for Statistik ST501: Science Statistik Bent Jørgensen Modul 2: Sandsynlighedsmodeller og diskrete stokastiske variable 2.1 Sandsynlighedsbegrebet............................... 1 2.1.1

Læs mere

Middelværdi og varians. Kovarians. korrelation = 0.02 korrelation = 0.7 korrelation = 1.0

Middelværdi og varians. Kovarians. korrelation = 0.02 korrelation = 0.7 korrelation = 1.0 Middelværdi og varians Middelværdien af en diskret skalarfunktion f(x), for x = 0, N er: µ = N f(x) N x=0 For vektorfuktioner er middelværdivektoren tilsvarende: µ = N f(x) N x=0 Middelværdien er en af

Læs mere

Statistiske modeller

Statistiske modeller Statistiske modeller Statistisk model Datamatrice Variabelmatrice Hændelse Sandsynligheder Data Statistiske modeller indeholder: Variable Hændelser defineret ved mulige variabel værdier Sandsynligheder

Læs mere

Kiosk-modellen (News vendor s model) og EOQ modellen

Kiosk-modellen (News vendor s model) og EOQ modellen Kiosk-modellen (News vendor s model) og EOQ modellen Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet September 17, 2014 1/15 Stokastiske modeller i økonomi Fundamentale modeller i

Læs mere

TØ-opgaver til uge 45

TØ-opgaver til uge 45 TØ-opgaver til uge 45 Først laver vi en liste over de ligninger med mere i [IPT], der skal bruges: [1]: Ligning (2.5) på side 4. [2]: Ligning (2.6) på side 5. [3]: Sætning 3.1, ligning (3.3) på side 7.

Læs mere

{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}

{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet. Til gengæld kan vi prøve at sige noget om,

Læs mere

Sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsregning Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 28. September, 2007 Stokastiske variable Betragt 3 kast med en mønt. Så er udfaldsrummet Ω = {(p, p, p), (p, p, k), (p, k, p), (p, k, k), (k, p, p), (k, p, k),

Læs mere

Tema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.

Tema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i

Læs mere

UVB. Skoleår: 2013-2014. Claus Vestergaard og Franka Gallas

UVB. Skoleår: 2013-2014. Claus Vestergaard og Franka Gallas UVB Skoleår: 2013-2014 Institution: Fag og niveau: Lærer(e): Hold: Teknisk Gymnasium Skive Matematik A Claus Vestergaard og Franka Gallas 3. A Titel 1: Rep af 1. og 2. år + Gocart Titel 2: Vektorer i rummet

Læs mere

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt:

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt: SANDSYNLIGHEDSREGNING Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet Til gengæld kan vi prøve

Læs mere

For nemheds skyld: m = 2, dvs. interesseret i fordeling af X 1 og X 2. Nemt at generalisere til vilkårligt m.

For nemheds skyld: m = 2, dvs. interesseret i fordeling af X 1 og X 2. Nemt at generalisere til vilkårligt m. 1 Uge 11 Teoretisk Statistik 8. marts 2004 Kapitel 3: Fordeling af en stokastisk variabel, X Kapitel 4: Fordeling af flere stokastiske variable, X 1,,X m (på en gang). NB: X 1,,X m kan være gentagne observationer

Læs mere

Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Mandag den 11. juni 2007 kl. 15.00 18.00

Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Mandag den 11. juni 2007 kl. 15.00 18.00 Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Mandag den 11. juni 2007 kl. 15.00 18.00 Forskningsenheden for Statistik IMADA Syddansk Universitet Alle skriftlige hjælpemidler samt brug af lommeregner er tilladt.

Læs mere

LinAlgDat 2014/2015 Google s page rank

LinAlgDat 2014/2015 Google s page rank LinAlgDat 4/5 Google s page rank Resumé Vi viser hvordan lineære ligninger naturligt optræder i forbindelse med en simpel udgave af Google s algoritme for at vise de mest interessante links først i en

Læs mere

Personlig stemmeafgivning

Personlig stemmeafgivning Ib Michelsen X 2 -test 1 Personlig stemmeafgivning Efter valget i 2005 1 har man udspurgt en mindre del af de deltagende, om de har stemt personligt. Man har svar fra 1131 mænd (hvoraf 54 % har stemt personligt

Læs mere

Lineær algebra: Spænd. Lineær (u)afhængighed

Lineær algebra: Spænd. Lineær (u)afhængighed Lineær algebra: Spænd. Lineær (u)afhængighed Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Linearkombinationer. Spænd Definition Givet et antal vektorer a 1,..., a p R n. En vektor v = c 1 a 1

Læs mere

Differentialligninger Hvad beskriver en differentialligning? Hvordan noget ændrer sig (oftest over tid). Tangenthældninger langs en kurve.

Differentialligninger Hvad beskriver en differentialligning? Hvordan noget ændrer sig (oftest over tid). Tangenthældninger langs en kurve. Differentialligninger Hvad beskriver en differentialligning? Hvordan noget ændrer sig (oftest over tid) Tangenthældninger langs en kurve x Retningsfelter x x(t) sin(π t) + x / π cos(π t) Jeppe Revall Frisvad

Læs mere

Computerstøttet beregning

Computerstøttet beregning CSB 2009 p. 1/16 Computerstøttet beregning Lektion 1. Introduktion Martin Qvist qvist@math.aau.dk Det Ingeniør-, Natur-, og Sundhedsvidenskabelige Basisår, Aalborg Universitet, 3. februar 2009 people.math.aau.dk/

Læs mere

Maj 2013 (alle opgaver og alle spørgsmål)

Maj 2013 (alle opgaver og alle spørgsmål) Maj 2013 (alle opgaver og alle spørgsmål) Alternativ besvarelse (med brug af Maple til beregninger, incl. pakker til VektorAnalyse2 og Integrator8). Jeg gider ikke håndregne i de simple spørgsmål! Her

Læs mere

Sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsregning Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 7. September, 2007 Hvad er sandsynlighedsregning? Formel matematisk måde til at håndtere tilfældigheder. Dybest set en formalisering af udregninger med proportioner.

Læs mere

Oversigt. Course 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger

Oversigt. Course 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger Course 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Danmarks Tekniske Universitet

Læs mere

13.1 Matrixpotenser og den spektrale radius

13.1 Matrixpotenser og den spektrale radius SEKTION 3 MATRIXPOTENSER OG DEN SPEKTRALE RADIUS 3 Matrixpotenser og den spektrale radius Cayley-Hamilton-sætningen kan anvendes til at beregne matrixpotenser: Proposition 3 (Lasalles algoritme) Lad A

Læs mere

Statistik noter - Efterår 2009 Keller - Statistics for management and economics

Statistik noter - Efterår 2009 Keller - Statistics for management and economics Statistik noter - Efterår 2009 Keller - Statistics for management and economics Jonas Sveistrup Hansen - stud.merc.it 22. september 2009 1 Indhold 1 Begrebsliste 3 2 Forelæsning 1 - kap. 1-3 3 2.1 Kelvin

Læs mere

Teoretisk Statistik, 2. december 2003. Sammenligning af poissonfordelinger

Teoretisk Statistik, 2. december 2003. Sammenligning af poissonfordelinger Uge 49 I Teoretisk Statistik, 2. december 2003 Sammenligning af poissonfordelinger o Generel teori o Sammenligning af to poissonfordelinger o Eksempel Opsummering om multinomialfordelinger Fishers eksakte

Læs mere

Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller

Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 Indledning 2 Sandsynlighed i binomialfordelingen 3 Normalfordelingen 4 Modelkontrol

Læs mere

Kombinatorik. Eksempel 2: En mand har 7 par bukser og 10 skjorter. Skal han både vælge en skjorte og et par bukser, så har han 10. 7=70 mulige valg.

Kombinatorik. Eksempel 2: En mand har 7 par bukser og 10 skjorter. Skal han både vælge en skjorte og et par bukser, så har han 10. 7=70 mulige valg. Noter til Biomat, 005. Kombinatorik. - eller kunsten at tælle. Alle tal i kombinatorik-afsnittet er hele og ikke-negative. Additionsprincippet enten - eller : Antag vi enten skal lave et valg med m muligheder

Læs mere

Uge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 2004

Uge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 2004 1 Uge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 004 1. u-fordelingen. Normalfordelingen 3. Middelværdi og varians 4. Mere normalfordelingsteori 5. Grafisk kontrol af normalfordelingsantagelse 6. Eksempler 7. Oversigt

Læs mere

Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Specielt: Var(aX) = a 2 VarX 1/40. Lad X α, X β og X γ være stokastiske variable (vinkelmålinger) med

Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Specielt: Var(aX) = a 2 VarX 1/40. Lad X α, X β og X γ være stokastiske variable (vinkelmålinger) med Repetition: Varians af linear kombination Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - rw@math.aau.dk Antag X 1, X,..., X n er uafhængige stokastiske variable, og Y er en linearkombination af X

Læs mere

Monotoniforhold Der gælder følgende sætninger om en differentiabel funktions monotoniforhold:

Monotoniforhold Der gælder følgende sætninger om en differentiabel funktions monotoniforhold: Side 21 Oversigt over undervisningen i matematik - 2x 05/06 Der undervises efter: Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 Claus Jessen, Peter Møller og

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 15/16 Institution Horsens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik B Mette

Læs mere

MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009

MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009 EUROPÆISK STUDENTEREKSAMEN 2009 MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009 PRØVENS VARIGHED: 4 timer (240 minutter) TILLADTE HJÆLPEMIDLER Europaskolernes formelsamling Ikke-grafisk, ikke-programmerbar lommeregner

Læs mere

DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 30. maj 2016 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)

DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 30. maj 2016 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr) DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 7 sider Skriftlig prøve, den: 0. maj 206 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret

Læs mere

Statistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik

Statistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Statistik Lektion 1 Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Introduktion Kursusholder: Kasper K. Berthelsen Opbygning: Kurset består af 5 blokke En blok består af: To normale

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen

Landmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen Landmålingens fejlteori Lektion Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet En stokastisk variabel er en variabel,

Læs mere

Statistik i basketball

Statistik i basketball En note til opgaveskrivning jerome@falconbasket.dk 4. marts 200 Indledning I Falcon og andre klubber er der en del gymnasieelever, der på et tidspunkt i løbet af deres gymnasietid skal skrive en større

Læs mere

Simulering af stokastiske fænomener med Excel

Simulering af stokastiske fænomener med Excel Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen

Læs mere

Sandsynlighedsregning og statistik

Sandsynlighedsregning og statistik og statistik Jakob G. Rasmussen, Institut for Matematiske Fag jgr@math.aau.dk Litteratur: Walpole, Myers, Myers & Ye: Probability and Statistics for Engineers and Scientists, Prentice Hall, 8th ed. Slides

Læs mere

02402 Løsning til testquiz02402f (Test VI)

02402 Løsning til testquiz02402f (Test VI) 02402 Løsning til testquiz02402f (Test VI) Spørgsmål 4. En ejendomsmægler ønsker at undersøge om hans kunder får mindre end hvad de har forlangt, når de sælger deres bolig. Han har regisreret følgende:

Læs mere

Statistik for ankomstprocesser

Statistik for ankomstprocesser Statistik for ankomstprocesser Anders Gorst-Rasmussen 20. september 2006 Resumé Denne note er en kortfattet gennemgang af grundlæggende statistiske værktøjer, man kunne tænke sig brugt til at vurdere rimeligheden

Læs mere

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Forelæsningsnote 8. (NB: Noten er ikke en del af pensum)

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Forelæsningsnote 8. (NB: Noten er ikke en del af pensum) Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet Lineær Algebra LinAlg Forelæsningsnote 8 NB: Noten er ikke en del af pensum Eksempel på brug af egenværdier og egenvektorer Måske er det stadig

Læs mere

Binomialfordelingen. Binomialfordelingen. Binomialfordelingen

Binomialfordelingen. Binomialfordelingen. Binomialfordelingen Statistik og Sandsynlighedsregning 1 MS kapitel 3 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne Definition 3.2.1 Lad X 1, X 2,..., X n være uafhængige

Læs mere

Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonfo. Rang og nullitet

Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonfo. Rang og nullitet Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonform Rang og nullitet Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 11.2.2013 Reduktion til (reduceret) echelonmatrix Et eksempel Et ligningssystem

Læs mere

Note om Monte Carlo eksperimenter

Note om Monte Carlo eksperimenter Note om Monte Carlo eksperimenter Mette Ejrnæs og Hans Christian Kongsted Økonomisk Institut, Københavns Universitet 9. september 003 Denne note er skrevet til kurset Økonometri på. årsprøve af polit-studiet.

Læs mere

Preben Blæsild og Jens Ledet Jensen

Preben Blæsild og Jens Ledet Jensen χ 2 Test Preben Blæsild og Jens Ledet Jensen Institut for Matematisk Fag Aarhus Universitet Egå Gymnasium, December 2010 Program 8.15-10.00 Forelæsning 10.15-12.00 Statlab: I arbejder, vi cirkler rundt

Læs mere

Lineær algebra 1. kursusgang

Lineær algebra 1. kursusgang Lineær algebra 1. kursusgang Eksempel, anvendelse To kendte punkter A og B på en linie, to ukendte punkter x 1 og x 2. A x 1 x 2 B Observationer af afstande: fra A til x 1 : b 1 fra x 1 til x 2 : b 2 fra

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold December 2015 vinter VUC Vestegnen stx Mat A Gert Friis

Læs mere

Biologisk model: Epidemi

Biologisk model: Epidemi C1.2 C.7 Se forklaring i Appendiks A 1, si. 9 Biologisk model: Epidemi af John V. Petersen 1. Biologisk model: Epidemi... si. 1 A. Appendiks A 1. Ligninger si. 1, forklaring... si. 9 A 2. Egenvektorer

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Digital eksamensopgave med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Digital eksamensopgave med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet Forberedelsesmateriale frs-matn/a-270420 Onsdag den 27. april 20 Forberedelsesmateriale til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program Dagens program Approksimation af binomialsandsynligheder, Afsnit 4.5 Multinomial fordeling, Afsnit 4.8 Negativ binomialfordeling, Afsnit 4.4 Poisson fordeling og Poisson process, Afsnit 4.6 Kontinuerte

Læs mere

Indblik i statistik - for samfundsvidenskab

Indblik i statistik - for samfundsvidenskab Indblik i statistik - for samfundsvidenskab Læs mere om nye titler fra Academica på www.academica.dk Nikolaj Malchow-Møller og Allan H. Würtz Indblik i statistik for samfundsvidenskab Academica Indblik

Læs mere

Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination

Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm 18 februar 008 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Et eksempel Et eksempel 100g mælk Komælk Fåremælk Gedemælk Protein g 6g 8g

Læs mere

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2 Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel

Læs mere

Fejlforplantning. Landmålingens fejlteori - Lektion 5 - Fejlforplantning. Repetition: Varians af linear kombination. Eksempel: Vinkelberegning

Fejlforplantning. Landmålingens fejlteori - Lektion 5 - Fejlforplantning. Repetition: Varians af linear kombination. Eksempel: Vinkelberegning Fejlforplantning Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf13 Landmåling involverer ofte bestemmelse af størrelser som ikke kan

Læs mere

Signalbehandling og matematik 1 (Tidsdiskrete signaler og systemer)

Signalbehandling og matematik 1 (Tidsdiskrete signaler og systemer) Signalbehandling og matematik 1 (Tidsdiskrete signaler og systemer) Session 1. Sekvenser, diskrete systemer, Lineære systemer, foldning og lineære tidsinvariante systemer Ved Samuel Schmidt sschmidt@hst.aau.dk

Læs mere

Lektion 13 Homogene lineære differentialligningssystemer

Lektion 13 Homogene lineære differentialligningssystemer Lektion 13 Lineære differentialligningssystemer Homogene lineære differentialligningssystemer med konstante koefficienter Inhomogene systemer To-kammer modeller Lotka Volterra (ikke lineært) 1 To-kammer

Læs mere

Oversigt. Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Eksponential fordelingen

Oversigt. Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Eksponential fordelingen Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 305/324 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail:

Læs mere

9.1 Egenværdier og egenvektorer

9.1 Egenværdier og egenvektorer SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der

Læs mere

Introduktion til sandsynlighedsregning

Introduktion til sandsynlighedsregning Jens E. Overø Introduktion til sandsynlighedsregning Samfundslitteratur Jens E.Overø Introduktion til sandsynlighedsregning 1. udgave 1992 1. udgave, 2. oplag 2001 Samfundslitteratur 2001 Grafisk tilrettelæggelse:

Læs mere

Løsninger til kapitel 5

Løsninger til kapitel 5 1 Løsninger til kapitel 5 Opgave 51 Det nemmeste er her at omskrive alle sandsynlighederne til differenser mellem kumulerede sandsynligheder, dvs af sandsynligheder af formen, og derefter beregne disse

Læs mere