Prisfastsættelse af optioner på VIX og S&P500

Transkript

1 MSc. in Finance Vejleder: Thomas Kokholm Prisfastsættelse af optioner på VIX og S&P500 En praktisk analyse af Hestonmodellen Thomas E. Asmussen Ebbe Matthiesen Aarhus School of Business, Aarhus University Juli 2010

2 EXECUTIVE SUMMARY The main objective of this thesis is to conduct a thorough analysis of the Heston model (1993) s ability to price options on the S&P500 index and the VIX index. When using the Heston model to price options on the VIX index some inconsistencies occur, which are described and analysed in depth. The analysis gives rise to a discussion and possible solutions to the problems with inconsistency. The main conclusion of the thesis is that the Heston model is capable of pricing options on the S&P500 and other similar stock indices. Furthermore the thesis concludes that the Heston model also is capable of pricing options on the VIX index, despite the inconsistencies connected with using this approach. The thesis then analyses these inconsistencies and suggests alternative methods and expansions for model specification. One of the expansions is to include jumps in the price process of the underlying asset, this expansion is then carried out in the last part of the thesis. The conclusion for including jumps is that it enhances the overall performance of the Heston model. The motivation for this thesis is based on the need for a model that is capable of pricing options on the VIX index. The colloquial term for the VIX index is the investors fear gauge which is an understandable name, since the VIX index measures the 30 day expected market volatility on the S&P500. The VIX index has existed since 1993, and since 2006 it has been possible to buy options on the VIX index. Due to the construction of the VIX index, it has the very interesting characteristic that it is negatively correlated with the S&P500 index. For financial market participants, this feature facilitates the use of options on the VIX for risk management of their portfolios. The large amount of derivatives that are traded with the VIX as underlying verifies this. In the section describing the data both the S&P500 and the VIX index is introduced and analyzed thoroughly. It is shown that the returns for both indices do not follow a normal distribution, and that the two are also negatively correlated. Since derivatives on the VIX are being traded, a model that can be used to price these derivatives is needed. The classical model that is referred to in options pricing is the Black-Scholes model from This model is very useful as a starting point, but the model is oversimplifying reality due to the assumptions that are being made. The two most crucial assumptions in the Black-Scholes model are that returns are assumed to be lognormally distributed, and that the volatility is assumed to be constant for all strike prices and maturities. If one wishes to model these two assumptions more realistically, a different model specification is needed. After working out a general framework for a stochastic volatility model, the Heston model is chosen for incorporating these two assumptions.

3 After having picked the model of choice, the semi-closed solution to the Heston model is presented. It is then shown that the solution can be made both by numerical integration, and by the use of the Fast Fourier Transform. The methods section describes the simulation and calibration procedure that is used on the data in the thesis. The calibration uses a non-linear optimization algorithm, to minimize the difference between the known market prices and the model prices. The simulation algorithm uses a combination of Glasserman (2004) and Andersen (2007) to simulate the price process and the process for the variance. The simulation of prices is carried out in order to ensure, that the prices calculated using numerical integration and fast Fourier are correct. The analysis of the Heston model s ability to price S&P500 options shows that the model is capable of pricing the options. This is validated by a relative pricing error around 5 % and a total percentage of options inside the spread of 70 %. The analysis also shows good results for out of sample data, indicating that the model can be used in a real life scenario. Hence, the relative pricing error for out of sample data is around 11 % and the total percentage of options inside the spread is 59 %. These results are on the same level as the in sample results, which is a sign of a good and stable model. Furthermore the analysis of the volatility surface shows that the S&P index has a volatility smile, or skew, which also was the expected shape. The reason why the volatility is shaped like this is because of the negative correlation between the S&P500 index and its volatility. The last part of the section is a discussion of the parameters that are calibrated to fit the model to the S&P500 index. This discussion shows that the calibrated parameters look sensible, and that they are in line with what could be anticipated. Although the model performs satisfactory there still are a few culprits that need to be taken into account. The main drawback of the model is that it has problems with fitting the volatility smile for short maturities. This can be solved by simply discarding the short maturity data, or by adding jumps to the price process of the underlying. Finally the model calibration applied in the thesis is not a global optimizer. This gives rise to the possibility that the parameters that are found are not the global ones. However the model performs well for the S&P500 so this problem seems to be negligible. All in all, the conclusion is that the Heston model performs well when it is used for pricing options on the S&P500. The VIX options analysis confirms that the Heston model can also be used for pricing options on the VIX index. The relative pricing error in the VIX case is around 5 % and the total percentage of options inside the

4 spread is above 80 %. This indicates that the Heston model in this particular case actually performs marginally better in pricing VIX options than S&P500 options. The analysis of the volatility surface for the VIX index shows that the VIX has a frown instead of a smile. This shape is due to the positive correlation between the VIX index and its volatility. The reasoning behind why the VIX index shows a frown instead of a smile is described thoroughly in the thesis. In terms of out of sample performance the Heston model produces good results for the VIX index. The relative pricing error is almost unchanged around 5 % and the total percentage of options inside the spread is above 70 %. This indicates that the model is capable of pricing VIX options, and it also shows the flexibility of the model. The flexibility is evident, because the Heston model gives good results both for the pricing of options based on the S&P500 which is an index based on stocks, and options based on the VIX which is an index based on an index. The discussion of the parameters that are calibrated to the VIX model shows that the parameters are much more unstable. Furthermore they have a clear tendency to be more extreme when the model is calibrated to the VIX index. Two of the reasons for this are, that the index itself is more extreme in its distribution of returns than the S&P500 is, and that the use of the Heston model for calibration to the VIX index is inconsistent. This inconsistency means that it becomes much harder to give any economic interpretation to the calibrated parameters. Combining the findings for the analysis leads to the final conclusion that the Heston model is good at pricing options based on the VIX index, but that it is inconsistent to do this. However if one is willing to accept this inconsistency the model can still be used. The last section of the thesis is focusing on the inconsistencies that are present when the Heston model is used for pricing options on the VIX index. The section is divided into three. The first part discusses why there is inconsistency and how to resolve the problem. The reason why the Heston model works despite the inconsistency is because of the flexibility that is automatically present in the framework that is used in the model. The possibility of making a different specification of the model in order to make it consistent is also discussed. A suggestion of a double Heston specification is elaborated, this specification will have a price process similar to a geometric Brownian motion with stochastic volatility, the volatility and the volatility on volatility will both be specified as CIR processes. If this specification is modeled correctly is should be able to solve the inconsistency problem. The second part discusses the possibility of defining the price process for the VIX as being independent. A possible specification of a process more optimal than the Heston is suggested. This specification is a CIR process for both the underlying VIX index and the volatility. The reason why the CIR specification is

5 attractive for describing the price process of the VIX index is that it has mean reversion incorporated. This is ideal because one of the traits that are distinctive for the VIX is that it displays mean reversion. The final part of the last section discusses the incorporation of jumps in the price process for the Heston model. The incorporation of jumps in the model is expected to resolve the problems that the model has with pricing options with a short maturity. The reason for this is that the imminent effect of adding jumps to the price process will be greater flexibility. However when calibrating the model with jumps, it turns out that the optimization algorithm that is chosen in the thesis seems to be inadequate for calibration of the model. Still when predefined jumps are added the overall performance of the model is improved, this is shown because the relative pricing error falls from 12.2 % to 9.5 % for the S&P500 options. The overall conclusion is that adding jumps is not a panacea for the problems in the model. However a further study of the specification of the model, and improvement of the calibration algorithm should further enhance the performance of the model.

6 Indholdsfortegnelse 1. INDLEDNING PROBLEMFORMULERING AFGRÆNSNING STRUKTUR DATAGRUNDLAG VOLATILTITY CLUSTERING TEORIAFSNIT VIX INDEKSET DERIVATER GRUNDLÆGGENDE OPTIONSTEORI INTRODUKTION TIL STOKASTISKE VOLATILITETSMODELLER HESTONMODELLEN METODE KALIBRERING AF MODELLEN SIMULATION AF MODELLEN ANALYSE PRISFASTSÆTTELSE AF OPTIONER PÅ S&P PRISFASTSÆTTELSE AF OPTIONER PÅ VIX INDEKSET PERSPEKTIVERENDE ANALYSEAFSNIT INKONSISTENS I MODELLEN NY SELVSTÆNDIG VIX SPECIFIKATION GENEREL UDVIDELSE TIL HESTONMODELLEN KONKLUSION LITTERATURLISTE BILAG

7 Figuroversigt Figur 1 Strukturoversigt... 3 Figur 2 Histogram over daglige afkast på S&P500 siden Figur 3 - Histogram over daglige afkast på VIX siden Figur 4 Daglige afkast på S&P500 fra 1985 til Figur 5 Udvikling i niveauet for S&P500 og VIX siden Figur 6 Options payoff og Put-call Paritet Figur 7 Simulerede sti for en GBM, diffusion, samt driftled Figur 8 Implicit volatilitet for S&P500 optioner den 28. maj Figur 9 Implicit volatilitet på S&P500 fra 20. august 2008, T=0, Figur 10 - Implicit volatilitet på S&P500 indekset den 20. august 2008 for T=0, Figur 11 Volatilitetssmilet for t=0,025 år den 12. maj Figur 12 - Volatilitetssmilet for t=0,18 år den 12. maj Figur 13 - Implicit volatilitet for markedet og modellen for T =8 dage Figur 14 - Markedspris og modelpris for T = 64 dage Figur 15 - Implicit volatilitet på VIX indekset den 20. august 2008 for T=0, Figur 16 - Implicit volatilitet på VIX indekset den 20. august 2008 for T=0, Figur 17 Sammenhæng mellem VIX indekset og 20 dags volatilitet på afkastet Figur 18 Sammenhæng mellem S&P500 indekset og 20 dages volatilitet på afkastet Figur 19 Markedets implicitte volatilitet ved forskellige løbetider og udnyttelseskurser Figur 20 - Implicit volatilitet for markedet og modellen løbetid = 34 dage Figur 21 - Implicit volatilitet på S&P500 indekset den 20. august 2008 for T=0, Figur 22 - Implicit volatilitet S&P500 indekset den 20. august 2008 for T=0, Figur 23 - Implicit volatilitet på S&P500 indekset den 20. august 2008 for T=0, Figur 24 Implicit volatilitet på S&P500 indekset den 20. august 2008 for T=0, Figur 25 Implicit volatilitet på S&P500 indekset den 20. august 2008 for T=0, Figur 26 - Implicit volatilitet på S&P500 indekset den 12. maj 2010 for T=0, Figur 27 - Implicit volatilitet på S&P500 indekset den 12. maj 2010 for T=0, Figur 28- Implicit volatilitet på S&P500 indekset den 12. maj 2010 for T=0, Figur 29 - Implicit volatilitet på S&P500 indekset den 12. maj 2010 for T=0, Figur 30 - Implicit volatilitet på S&P500 indekset den 12. maj 2010 for T=0, Figur 31 - Implicit volatilitet på S&P500 indekset den 12. maj 2010 for T=1, Figur 32 Estimeret modelpris I forhold til markedspris for Out of sample Figur 33 Implicit volatilitet for Out of sample Figur 34 - Implicit volatilitet på VIX indekset den 20. august 2008 for T=0, Figur 35 - Implicit volatilitet på VIX indekset den 20. august 2008 for T=0, Figur 36 - Implicit volatilitet på VIX indekset den 20. august 2008 for T=0, Figur 37 - Implicit volatilitet på VIX indekset den 12. maj for T=0, Figur 38- Implicit volatilitet på VIX indekset den 12. maj for T=0, Figur 39 - Implicit volatilitet på VIX indekset den 12. maj for T=0, Figur 40 - Implicit volatilitet på VIX indekset den 12. maj for T=0, Figur 41 - Implicit volatilitet på VIX indekset den 12. maj for T=0,

8 Tabeloversigt Tabel 1 Beskrivende statistik af de daglige afkast på S&P500 og VIX siden Tabel 2 AR(1) model af afkastet på S&P Tabel 3 Test for ARCH effekter... 9 Tabel 4 Parametre i konstruktionen af VIX indekset Tabel 5 Korrelation mellem daglig afkast på S&P500 og VIX siden Tabel 6 - Oversigt over forskellige modeller til at prisfastsætte derivater Tabel 7 - Parametre til brug i test af simulering Tabel 8 Resultater ved simulering af Hestonmodellen Tabel 9 - Parametersæt for S&P500 kalibreret ud fra de givne datoer Tabel 10 Fejlmål for kalibrering ud fra data fra den 20. august 2008 ved forskellige løbetider Tabel 11 Fejlmål for kalibrering ud fra data fra den 20. august 2008 ved forskellig moneyness Tabel 12 - Fejlmål for kalibrering ud fra data fra den 12. maj 2010 ved forskellige løbetider Tabel 13 - Fejlmål for kalibrering ud fra data fra den 12. maj 2010 ved forskellige moneyness Tabel 14 Fejlmål for out for sample for den 13. maj Tabel 15 Out of sample fejlmål for den korteste løbetid Tabel 16 - Out of sample fejlmål for en mellemlang løbetid Tabel 17 - Resultater af alternativ kalibrering Tabel 18 Påvirkning på optionspris ved forskellige ændringer i parameterværdierne Tabel 19 Oversigt over parametre i Hestonmodellen i forskellige artikler for S&P Tabel 20 VIX indekset og de kalibrerede volatiliteter Tabel 21 - Parametersæt for VIX kalibreret ud fra de givne datoer Tabel 22 - Fejlmål for kalibrering ud fra VIX data fra den 20. august for forskellige løbetider Tabel 23 - Fejlmål for kalibrering af VIX ud fra data fra den 12. maj 2010 ved forskellige løbetider Tabel 24 - Fejlmål for kalibrering af VIX ud fra data den 12. maj 2010 ved forskellige løbetider Tabel 25 - Fejlmål for out of sample den 13. maj for VIX indekset Tabel 26 Oversigt over VIX parametre ved forskellige kalibreringer Tabel 27 Studier af parametrene i Hestonmodellen med jumps Tabel 28 Fejlmål for Hestonmodellen med jumps fra den 20. august

9 1. Indledning I de senere år har de finansielle markeder været igennem en turbulent periode. Finanskrisen har medført, at det største amerikanske indeks, S&P500, er faldet fra over $1550 til omkring $850 inden for meget kort tid. Aktier er dermed kendetegnet ved, at de er meget volatile, især de senere år. Dette ses ved, at S&P500 er faldet mere end 5 % på én enkelt dag 13 gange siden Chicago Board of Option Exchange introducerede i 1993 første version af et volailitetsindeks, som målte risikoen på S&P100 indekset. Dette indeks er siden blevet modificeret til det, der i dag kendes som VIX indekset, som måler risikoen på S&P500 indekset. Siden 2006 har det været muligt at handle optioner på VIX indekset. Et interessant aspekt ved VIX indekset er dets negative korrelation med S&P500. Denne korrelation er stigende, når S&P500 har mere ekstreme ændringer. Dermed er VIX indekset yderst interessant, da værdien er steget de 13 gange, hvor S&P500 har oplevet ekstreme fald. Finansielle institutioner kan derfor anvende VIX optioner til risikostyring ved at hedge deres positioner i S&P500. Det faktum, at derivater på VIX indekset anvendes til risikostyring, underbygges af, at der handles en stor mængde kontrakter, hvor VIX indekset er det underliggende aktiv. Derfor er det nødvendigt at finde en metode til prisfastsættelse af optioner på VIX indekset. En metode til at prisfastsætte optioner er den klassiske Black-Scholes model. Denne populære optionsmodel fra 1973 bygger på mange kritiske forudsætninger, hvilket oversimplificerer modellen. To af de vigtigste antagelser omhandler konstant volatilitet samt normalfordelte logaritmiske aktieafkast. I denne afhandling vil det blive vist, at disse to antagelser ikke holder empirisk set. Forudsætningsbruddet omkring konstant volatilitet har medført udvikling af bedre modeller, der tager højde for dette. En af de mest populære modeller, som har inkorporeret stokastisk volatilitet, er Heston (1993). Denne afhandling vil udlede en generel stokastisk volatilitetsmodel, som vil danne grundlag for den semi-lukkede løsningsformel fra Heston (1993). Hestonmodellen vil herefter blive brugt til at prisfastsætte optioner på S&P500 og VIX indekset. Hovedformålet i afhandlingen er dermed at teste Hestonmodellens evne til at prisfastsætte optioner på de to indeks. Analysen har fokus på de praktiske aspekter i forbindelse med anvendelsen af modellen. Endvidere vil der i forlængelse af analysen være en diskussion af, hvorvidt det er meningsfyldt at anvende Hestonmodellen på et volatilitetsindeks. Dette leder frem til den sidste del af analysen, hvor den eventuelle inkonsistens samt udvidelser til Hestonmodellen vil blive diskuteret. 1

10 1.1 Problemformulering Det er empirisk bevist, at Black-Scholes modellen ikke holder i praksis på grund af kritiske forudsætningsbrud. Her kan blandt andet nævnes volatilitetssmilet. Derfor er det interessant at kigge på, hvilke modeller, der tager højde for disse forudsætningsbrud. I denne afhandling vil der blive udledt et generelt udtryk for en stokastisk volatilitetsmodel. Dette vil lede frem til Hestonmodellen, som vil blive anvendt som primær model i afhandlingen. Afhandlingns hovedmål er at prisfastsætte optioner baseret på volatilitet, det såkaldte VIX indeks, ved hjælp af Hestonmodellen. Inden dette kan gøres, skal Hestonmodellen testes på optioner baseret på et standard aktieindeks. Derfor er følgende undersøgelsesspørgsmål formuleret: Kan Hestonmodellen anvendes til at prisfastsætte optioner på S&P500 indekset? Når dette er besvaret, kan Hestonmodellen afprøves på optioner med volatilitet som underliggende, hvilket leder til næste undersøgelsesspørgsmål: Kan Hestonmodellen anvendes til at prisfastsætte optioner på VIX indekset? Ved hjælp af en eksakt løsning, kalibrering og Monte Carlo simulation vil Heston parametrene samt en modelpris blive estimeret. Dermed fremkommer næste undersøgelsesspørgsmål: Hvordan er Hestonmodellens performance til prisfastsættelse af optioner, når de to indeks sammenlignes? Endvidere vil det blive analyseret, hvordan Hestonmodellen beskriver volatilitetssmilet for det pågældende indeks. Antagelsen om en Heston udvikling for både det underliggende aktiv og VIX indekset er inkonsistent. Dette leder frem til det sidste perspektiverende undersøgelsesspørgsmål: Uafhængigt af resultaterne af modellens performance vil vi diskutere forskellige forhold omkring modellens inkonsistens, når både det underliggende aktiv og VIX indekset er beskrevet ved Hestonmodellen. Herunder vil denne afhandling give forslag til, hvordan modellen kan modificeres til at tage højde denne inkonsistens. 2

11 1.2 Afgrænsning Denne afhandling fokuserer primært på anvendelsen af Hestonmodellen samt kvaliteten af modellen. Der vil igennem teoriafsnittet være fokus på at skabe en forståelse med henblik på den praktiske anvendelse. Derfor afgrænses der fra at lave matematiske udledninger, som ikke er relevante i forhold til den praktiske anvendelse. Det antages ligeledes, at læseren har et grundlæggende kendskab til finansiel teori, hvilket betyder, at Black-Scholes eksempelvis ikke bliver udledt. Afhandlingens formål er at prisfastsætte europæiske optioner, hvorved mere eksotiske optioner ikke vil blive inddraget. Specifikke emner vil endvidere blive afgrænset løbende i afhandlingen, når dette findes nødvendigt. 1.3 Struktur Strukturen i afhandlingen er bedst illustreret ved nedenstående figur. Figur 1 Strukturoversigt 2. Datagrundlag + 3. Teoriafsnit 5. Analyseafsnit 4. Metode 6. Perspektiverende analyse 7. Konklusion Kilde: Egen tilvirkning I afhandlingen bliver der taget udgangspunkt i en gennemgående beskrivelse og analyse af datagrundlaget i hovedafsnit 2. Her vil der være en analyse af fordelingerne for de to indeks samt en analyse af volatility clustering. Hovedafsnit 3 indeholder en grundig gennemgang af den anvendte teori. Der vil blandt andet være en beskrivelse af leverage effekten, VIX indeksets konstruktion samt udledning af løsningen til Hestonmodellen. Hovedafsnit 2 og 3 danner dermed grundlag for den videre analyse. Hovedafsnit 4 beskriver de anvendte metoder til kalibrering og simulering, der senere bliver brugt i analysen. I hovedafsnit 5 analyseres Hestonmodellens evne til at prisfastsætte optioner på S&P500 og VIX indekset. Dette hovedafsnit indeholder en analyse af den implicitte volatilitet, beregning af fejlmål og Hestonmodellens anvendelse i praksis. Afsnittet vil yderligere indeholde en analyse og diskussion af de 3

12 kalibrerede parametre. Konklusionerne fra analysen leder frem til hovedafsnit 6, hvor de opnåede resultater bliver perspektiveret. Hovedafsnit 6 vil primært omhandle den inkonsistens, der er i forbindelse med at prisfastsætte optioner på VIX indekset med Hestonmodellen, samt mere generelle udvidelser til Hestonmodellen. Hovedafsnit 2, 3 og 4 vil dermed danne grundlaget for en tilbundsgående analyse i hovedafsnit 5 og 6, der leder frem til afhandlingens samlede konklusion i hovedafsnit 7. 4

13 2. Datagrundlag I dette afsnit er forskellige forhold omkring fordelingen af afkast på S&P500 og VIX beskrevet. Dette er interessant, da det kan afgøre, hvorvidt forudsætningen om Gaussian afkast er opfyldt i forhold til Black- Scholes formlen. Ydermere er det muligt, at fordelingen af de daglige data kan have indflydelse på, hvordan Hestonmodellen prisfastsætter optioner på de to indeks, hvilket gøres senere i afhandlingen. Det skal for den resterende del af afhandlingen bemærkes, at der er taget logaritmen til alle daglige afkast. Figur 2 Histogram over daglige afkast på S&P500 siden Frekvens ,09-0,07-0,04-0,01 0,02 0,05 0,08 0,10 Logafkast Kilde: Egen tilvirkning Som det ses af ovenstående figur, er det daglige afkast på S&P500 tilnærmelsesvis normalfordelt. Der er dog ekstreme afkast på mindre end -9 % og over 10 % på én enkelt dag, hvilket ligger langt fra de øvrige afkast. Skævheden ligger relativt tæt på en standardnormalfordeling med en værdi på -0,2. Der kan dog ikke antages normalitet, da Jarque-Bera testen, der er en test af, om data er normalfordelte, giver en teststatistik, der er langt over det kritiske niveau. H0 hypotesen for Jarque-Bera testen er, at data er normalfordelte, denne holder ikke, da P-værdien for testen er lig nul, hvilket kan ses i tabel 1. Dette skyldes ikke alene skævheden, men også, at kurtosis ligger tæt på 10, hvilket er langt over kurtosis på 3, som ses ved en standardnormalfordeling. Dermed kan det konstateres, at afkastet på S&P500 har excess kurtosis, eller, mere populært sagt, fede haler. Dette betyder, at ekstreme udfald er langt mere sandsynlige, end hvad der kunne forventes i en normalfordeling. 5

14 Figur 3 - Histogram over daglige afkast på VIX siden 1990 Frekvens ,30-0,19-0,08 0,03 0,14 0,25 0,36 0,47 Logafkast Kilde: Egen tilvirkning Som det ses af ovenstående figur, er de daglige afkast på VIX indekset med en skævhed på 0,64 væsentlig mere skævt fordelt end afkastet på S&P500. VIX indekset har i perioden haft mere ekstreme afkast, idet udfaldsrummet er væsentligt større. Omvendt har de ekstreme udfald ikke samme hyppighed, idet kurtosis er 4,46. Der kan ikke antages normalitet, da Jarque-Bera testen giver en værdi på 4791 svarende til en p- værdi på nul. Tabel 1 Beskrivende statistik af de daglige afkast på S&P500 og VIX siden 1990 S&P500 VIX Middelværdi 0, ,27*10 Median 0, ,00057 Standard afvigelse 1,15 % 5,79% Minimum -9,47 % -29,99 % Maksimum 10,95 % 49,6 % Skævhed -0,2018 0,6473 Kurtosis 9,5578 4,4575 Jarque-Bera P-værdi 0 0 Kilde: Egen tilvirkning -5 Det er interessant at sammenligne de to forskellige fordelinger. Både S&P500 og VIX har fede haler. Standardafvigelsen for VIX indekset er en del større end for S&P500, hvilket skyldes det større udfaldsrum. 6

15 Som nævnt er udfaldsrummet meget forskelligt, da VIX indekset svinger fra -29,99 % til 49,6 % - dette bør der tages højde for i modelleringen. En interessant observation er, at middelværdien for VIX indekset praktisk talt er lig nul, hvilket kan have indflydelse på modelleringen senere i afhandlingen. 2.1 Volatiltity clustering Som det ses på nedenstående figur, er afkastet på S&P500 præget af volatility clustering. Dette fænomen er først beskrevet af Mandelbrot (1963) som store udsving er efterfulgt af store udsving og små udsving er efterfulgt af små udsving. Figur 4 Daglige afkast på S&P500 fra 1985 til ,15 0,1 Afkast 0,05 0-0,05-0,1-0,15-0,2-0,25 Kilde: Datastream samt egen tilvirkning Som det ses i figuren, er der tegn på volatility clustering i afkast på S&P500 de seneste 25 år. Afkastet har numerisk set været stort de seneste par år. Dette er konsistent med den større usikkerhed skabt på baggrund af finanskrisen, som startede i USA i sommeren 2007, da de risikofyldte subprime lån begyndte at blive misligholdt. Dette betyder, at variansen er afhængig af tiden, hvilket medfører, at tidsserien ikke kan modelleres hensigtsmæssigt ud fra normalfordelingen jf. Heij et al. (2004). Dette skal der endvidere tages højde for ved konstrueringen af en model. 7

16 I nedenstående tabel er der lavet en regression af den første laggede værdi af S&P500, en såkaldt AR(1) model jf. Heij et al. (2004). Tabel 2 AR(1) model af afkastet på S&P500 Variabel Koefficient Std. Afvigelse P-værdi Konstant 0, , ,1638 SPX R t 1-0, , Kilde: Egen tilvirkning Note: Regressionen er udført som en almindelig least squares regression. Regressionen er foretaget på baggrund af 5248 daglige afkast. Forklaringsgraden for regressionen er på 3 %. R er lig det daglige afkast på S&P500 Som det ses i ovenstående tabel, er afkastet i denne periode afhængig af afkastet i sidste periode med en p-værdi på nul. Dermed er der signifikant belæg for, at der optræder seriel korrelation i S&P500 afkast for daglige data 1. 2 Endvidere kan der laves en test for ARCH effects, for at se, hvorvidt der reelt er volatility clustering i datasættet, som figur 4 giver indtryk af. Finansielle data har følgende tre egenskaber jf. Heij et al. (2004): (1) white noise, hvilket betyder, at der ikke er nogen autokorrelation i priserne (2) volatility clustering og (3) excess kurtosis. De to sidste er de mest relevante, idet der i denne afhandling fokuseres på afkastet. Derfor er white noise egenskaben ikke analyseret nærmere her. Som det kan ses ovenfor i tabel 1, er der signifikant belæg for excess kurtosis jf. afvigelsen fra normalitet. Nedenfor er test af volatility clustering lavet, ved hjælp af test for ARCH effekter. Helt basalt kan det konstateres, at når volatilitetsklynger er til stede, er volatiliteten ikke konstant for hele tidsserien, hvilket tidligere figurer også påviste. Dette fænomen er også kaldet heteroskedasticitet. Testen for ARCH effekter kan kort beskrives som en test af, hvorvidt nul hypotesen omkring uafhængige fejlled kan fastholdes. Der anvendes derefter en såkaldt Lagrange Multiplier (LM) test for at se, hvorvidt de kvadrerede fejlled er uafhængige eller ej. 1 Det skal kort bemærkes, at denne konklusion i princippet strider mod Efficient Market Hypothesis (EMH) i svag form om, at det i et efficient marked ikke er muligt at forudsige kurser. EMH i svag form er antaget opfyldt i den øvrige del af afhandlingen. Det skal blot bemærkes, at holdbarheden af EMH til stadighed er et emne, der diskuteres i litteraturen, se blandt andet Campell et al. (1997). Derudover er EMH et speciale-emne i sig selv, og der er derfor ikke gjort mere ud af at diskutere holdbarheden af EMH her. 2 Autoregressive conditional heteroskedasticity 8

17 Resultatet af testen kan ses i nedenstående tabel. Tabel 3 Test for ARCH effekter Variabel Koefficient Std. Afv. t-statistik P-værdi -6 Konstant 0,0001 6,33*10 16,80 2 Laggede Fejlled 0,209 0,014 14,46 0 F statistik 209, Obs*R 201,11 Kilde: Egen tilvirkning Note: Den afhængige variabel er det kvadrerede fejlled, antallet af observationer er lig 5247, forklaringsgraden er lig 3,82 %. Som det ses i tabel 3, er testen for ARCH effekter signifikant, da Obs*R 2 har en p-værdi på nul. Dette betyder, at afkastet på S&P500 er påvirket af volatility clustering. Analogt kan samme test udføres for afkastet på VIX indekset. Dette bør give samme konklusioner, nemlig at AR(1) modellen er signifikant, samt at ARCH effekter er til stede. ARCH og GARCH 3 modeller kan også bruges til at forudsige den fremtidige volatilitet. Dette kunne være interessant at inkorporere i en stokastisk volatilitetsmodel. I denne afhandling afgrænses der dog fra at anvende disse modeller til at forudsige volatiliteten, idet dette emne i sig selv kunne udgøre en hel afhandling Teoriafsnit Dette afsnit gennemgår den relevante teori, der anvendes i denne afhandling. Det første afsnit omhandler volatilitet og volatilitetsindekset, VIX. Dernæst vil der være en kort beskrivelse af optionsteori samt en beskrivelse af den klassiske Black-Scholes model. Yderligere vil der være en fyldestgørende beskrivelse af stokastiske volatilitetsmodeller, og denne vil danne grundlag for en redegørelse af Hestonmodellen. 3.1 VIX indekset Volatilitet er i den finansielle verden et udtryk for standardafvigelsen for afkastet på et finansielt aktiv. Standardafvigelsen beskriver variationen omkring gennemsnittet i en statistisk fordeling. Dermed er volatilitet usikkerheden på det realiserede afkast. Volatiliteten anvendes som en vigtig parameter, når prisen på optioner skal fastsættes. I Black-Scholes modellen er niveauet for volatiliteten en afgørende parameter i forhold til optionsprisen. Før 1987 var det en generel opfattelse, at volatiliteten for optioner 3 Generalized ARCH 4 Det forudsættes her, at læseren er bekendt med grundlæggende økonometri, da det falder udenfor afhandlingens rammer at forklare de anvendte test nærmere. Alternativt kan der læse mere i Hejl et al. (2004). 9

18 var flad jf. Hull (2008). Efter Black Monday i 1987 ændrede opfattelsen af den flade volatilitet sig. Herefter blev den såkaldte implied volatility i større grad anvendt i praksis. 5 Der er forskellige definitioner af volatilitet. Først og fremmest er der historisk volatilitet, hvilket, som navnet antyder, beskriver størrelsen på volatilitet målt over en historisk periode. Et sådant mål kan være interessant at analysere, men er reelt ikke retvisende for den fremtidige volatilitet, fordi den netop tager udgangspunkt i historiske data. Et andet udtryk er realiseret volatilitet, som oftest bruges i volatilitets swap kontrakter. Den realiserede volatilitet er, som navnet indikerer, et mål for den konkrete volatilitet over en specifik periode. I den finansielle verden og i denne afhandling er historiske værdier ikke optimale. Den historiske kurs har ingen indflydelse på den fremtidige, da kursen afspejler forventningen til fremtiden og ikke er påvirket af fortiden. Dette kaldes indenfor finansiel matematik en Markov Property. Hvis et afkast eller volatilitet er Markov, er den historiske udvikling irrelevant i forhold til den fremtidige udvikling, hvilket betyder, at information om niveauet i dag er det eneste relevante jf. Hull (2008). Historisk information kan ikke bruges til forudsigelse af den fremtidige udvikling, og det medfører, at eksempelvis teknisk analyse ikke er anvendelig. Dette er i overensstemmelse med Efficient Market Hypothesis (EMH) i den svage form. Denne teori opstillet af Fama (1970) beskriver et marked i tre forskellige former; svag, semi-stærk og stærk. Den svage form for markedsefficiens indebærer, at der ikke kan anvendes historiske data til at skabe et overnormalt afkast. Den svage form for markedsefficiens antages at holde i denne afhandling. Dermed kan historiske kurser ikke anvendes til at forudsige fremtidige kurser. Dette er helt på linje med den tidligere definerede Markov Property. Endvidere kan no arbitrage argumentet også anvendes til underbygning af, at Markov egenskaben er opfyldt. Ingen arbitrage er en af de stærkeste forudsætninger i den finansielle teori. Dette argument siger, at der ikke kan laves et overnormalt afkast, uden at der påtages ekstra risiko. Ét af argumenterne for, at arbitrage ikke er mulig, er antallet af aktører i markedet samt den store informationsmængde. Der er mange forskellige aktører på de finansielle markeder. Når der opstår en potentiel arbitragemulighed, bliver den udnyttet med det samme. Det betyder, at priserne i markedet øjeblikkeligt konvergerer, hvilket medfører, at arbitrage ikke er mulig. På baggrund af ovenstående kan den historiske volatilitet ikke anvendes, da denne ikke kan antages at være konstant i fremtiden og må betragtes som stokastisk. Derfor skal der tages højde for den stokastiske volatilitet i modeludviklingen, når optioner skal prisfastsættes. 5 Mere herom senere i afsnittet om Black-Scholes modellen 10

19 3.1.1 Leverage effekten En vigtig egenskab ved aktier er den såkaldte leverage effekt. Dette fænomen er baseret på corporate finance-teori på baggrund af det banebrydende arbejde med finansielle teorier af Modigiani og Miller, jf. Black (1976). En virksomhed er overordnet finansieret af gæld og egenkapital. Den nominelle værdi af gælden er på kort sigt konstant, hvilket gør, at egenkapitalen er den eneste variable parameter. Værdien af den totale markedsværdi af egenkapitalen ændres hele tiden ud fra markedets forventning til virksomheden. Dermed opstår leverage effekten, når gælden er konstant og værdien af egenkapitalen falder, da størrelsen på gælden bliver relativt større. Dette betyder, at virksomheden bliver mere risikofyldt, idet en højere gældsandel medfører større risiko for aktionærerne. Volatiliteten er et udtryk for risikoen på en aktie, hvilket er det samme som risikoen på egenkapitalen. Derfor må volatiliteten stige, når aktien falder i værdi, idet risikoen stiger på grund af en relativt større gæld. Dette er en teoretisk motivation for en negativ korrelation mellem volatiliteten og afkastet. Figlewski & Wang (2000) mener at leverage effekten kun er til stede, når aktiemarkedet falder, en såkaldt down market effect. Endvidere skriver de også, at leverage effekten ikke kan forklare hele den negative korrelation mellem volatiliteten og afkastet. Generelt er leverage effekten bland andet yderst relevant i forhold til volatilitetssmilet, som bliver beskrevet senere i afhandlingen Introduktionen af et volatilitetsindeks Allerede i 1993 introducerede Chicago Board of Option Exchange (CBOE) et indeks, som målte risikoen i markedet ved hjælpe af volatiliteten på S&P100 indekset. Dette fungerede indtil 2003 under navnet VIX, hvor S&P 100 blev udskiftet med S&P500 indekset i stedet. Det gamle indeks skiftede navn til VXO. Det nye VIX indeks er baseret på et større datagrundlag, da det anvender de 500 største virksomheder i USA. Dette er en bedre approksimation af markedets samlede risiko, end når der kun anvendes de 100 største virksomheder. Derfor vil kun det nye VIX blive taget i betragtning i denne afhandling, da dette nødvendigvis må give et bedre estimat for risikoen på de største amerikanske aktier. VXO indekset er beregnet på baggrund af near-the-money Black-Scholes implied volatilities 6 jf. Carr & Wu (2006), hvor VIX derimod er baseret på markedspriser. Dette giver dermed et mere retvisende billede af risikoen i markedet. CBOE introducerede det nye VIX indeks, fordi dette har en bedre økonomisk fortolkning jf. Carr & Wu (2006). Hvis VIX indekset kvadreres, kan det ses som prisen på en portefølje af optioner (1) eller som en approksimation på en volatilitets swap (2): 6 Near-the-money er optioner, som har en udnyttelsesværdi tæt på aktiens nuværende kurs. 11

20 (1) Carr & Wu (2006) dekomponerer den realiserede varians i forskellige led. Herefter anvender de det risiko-neutrale mål samt tager forventningen. Dette resulterer i et udtryk, der ligner den generelle formel for VIX 2 (denne kan ses senere i afsnittet), hvilket betyder, at VIX 2 kan betragtes som en portefølje af optioner. (2) VIX 2 er den risiko neutrale forventning til den annualiserede volatilitet de næste 30 dage, og derfor må det netop være en approksimation af swap renten over de næste 30 dage Konstruktion af VIX indekset Den generelle formel for beregning af VIX ser således ud, CBOE Whitepaper (2009): σ 2 = 2 (ΔK i ) T i K 2 E rt Q(K i ) 1 F 1 2 (1) i T K 0 Tabel 4 Parametre i konstruktionen af VIX indekset Parameter input T Beskrivelse Tid til udløb for den enkelte option F Forwardindeks niveau udledt fra put-call pariteten (Se bilag 1) K 0 K i ΔK i r Q(K i ) Første udnyttelseskurs under forwardindeks niveau, F, hvor spreadet mellem Call og Put prisen er numerisk lavest. Udnyttelseskurs af out-of-the-money option i. Call option, hvis K i > K 0. Put, hvis K i < K 0. Hvis K i = K 0 er det både en put og en call. Intervallet mellem udnyttelseskurser ΔK i = K i+1 K i=1. For den mindste og højeste udnyttelseskurs er 2 det forskellen mellem denne og den nærmeste udnyttelseskurs. Risikofri rente indtil udløb (varierer over længden på optionen, da rentekurven ikke er flad) Median mellem bid-ask spreadet Kilde: CBOE Whitepaper (2009), samt egen tilvirkning VIX indekset er beregnet ud fra priser på to sæt af optioner med kortest og næst kortest tid til udløb, dog skal løbetiden være over én uge for at undgå anomalier. Optionerne, der er anvendt, er alle out-of-themoney (OTM) optioner med en positiv bid pris. Derfor varierer antallet af optioner, der indgår i beregningen af VIX, hele tiden, da bid prisen hele tiden ændres i forhold til, hvad køberne er villige til at betale. 7 Se mere i Carr & Wu (2006) 12

21 De anvendte call og put priser svarer til den udnyttelseskurs, hvor forskellen mellem de to er numerisk mindst. Herefter kan forward prisen udregnes ved hjælp af nedenstående formel: F = K + e rt (C P) (2) For alle OTM optionspriser med bid pris større end nul beregnes medianen mellem bid-ask spreadet, Q(K i ). Dermed er der redegjort for alle input variable i variansen for hvert af de to sæt optioner. Herefter kan værdien af VIX indekset beregnes som nedenstående, hvor N er en tidsfaktor og t er udløbstid: VIX = 100 t 1 σ 1 2 N t2 N 30 N t 2 N t1 + t 2 σ 2 2 N t30 N 1 N 365 (3) N t 2 N N t1 30 Ovenstående formel er kvadratroden af den 30 dages gennemsnitlige varians for de to korteste udløbsdatoer på mere end én uge, ganget med 100. VIX indekset er dermed baseret på investorernes forventninger til volatiliteten i nær fremtid. Som der kan læses i nedenstående afsnit er VIX indekset negativt korreleret med aktiemarkedet. Når aktierne er i en turbulent periode, stiger værdien af VIX indekset. Derfor har VIX indekset fået tilnavnet investors fear gauge 8. Frygt er et negativt ladet ord, derfor er dette ikke helt retvisende. Grunden til dette tilnavn er, at VIX måler usikkerheden i markedet usikkerhed kan her blandt andet forstås som markedets gennemsigtighed eller usikkerhed omkring fremtidige forventninger. Dette betyder også, at værdien af VIX indekset godt kan falde, selvom investorerne tror, at aktiemarkederne falder. Forudsætningen for dette specialtilfælde vil være, at gennemsigtigheden i markedet er stigende jf. CBOE Research Note (2009) Historisk udvikling CBOE har beregnet VIX indekset tilbage til 1990, selvom det reelt først blev introduceret senere. I nedenstående figur 5 kan udviklingen i niveauet for både S&P500 og VIX indekset aflæses. I figuren ses det, at S&P500 har haft to højdepunkter siden 1990, og begge er efterfulgt af store fald. Denne udvikling skyldes IT-boblen omkring årtusindskiftet samt ejendomsboblen, som medførte finanskrisen i sommeren 2007 og frem. Ligeledes ses det, at VIX indekset som udgangspunkt ligger på et meget stabilt niveau og ser ud til at have en mean reverting tendens. Dog er der store stigninger i perioden. Disse stigninger kommer i forbindelser med store ændringer i S&P På dansk: Investorernes frygtmåler. 13

22 Figur 5 Udvikling i niveauet for S&P500 og VIX siden 1990 Pris SPX VIX Pris Kilde: Datastream Note: Den blå kurve er S&P500 og måles på venstre aksen. Den røde kurve VIX bliver målt på højre aksen. Ovenstående figur viser, at korrelation mellem S&P500 og VIX synes at være negativ. Det giver ud fra et teoretisk perspektiv god mening, da volatiliteten netop stiger, når værdien af aktierne falder, hvilket blandt andet skyldes leverage effekten. Korrelationen mellem S&P500 og VIX er beregnet i nedenstående tabel. Tabel 5 Korrelation mellem daglig afkast på S&P500 og VIX siden 1990 Numerisk afkast Korrelation Observationer Alle afkast -0, >0,5 % -0, >1 % -0, >2,5 % -0, >5 % -0,92 28 Kilde: Egen tilvirkning Note: Alle korrelationer er statistisk signifikant forskellige fra 0 ved et signifikansniveau på 5 %. Tabellen er opdelt efter den numeriske størrelse på afkast den pågældende dag. Dataperioden løber fra 1. januar 1990 til 15. februar Tabel 5 viser, at der er en negativ korrelation mellem S&P500 og VIX på -0,69, hvilket figur 5 også indikerede. Denne korrelation stiger i takt med, at det numeriske afkast stiger. Når S&P500 f.eks. falder eller stiger mere end 5 %, er korrelationen meget tæt på -1, nemlig -0,92. Dermed er VIX et aktiv, der i ekstreme situationer kan minimere risikoen på en portefølje, da det næsten er en perfekt hedge i forhold til 14

23 S&P500. Dette kræver dog, at investoren rebalancerer porteføljen kontinuerligt, hvilket er vanskeligt i praksis. Endvidere kan VIX betragtes ud fra fundamental porteføljeteori jf. Markowitz (1952). Markowitz redegør for, at når korrelationen går fra 1 mod -1 mellem to aktiver, bliver gevinsten ved diversifikation større. Når korrelationen går mod -1, bliver variansen på porteføljen lavere givet et bestemt afkast. Såfremt det var muligt at købe VIX direkte, ville det være fordelagtigt at inkludere VIX i en portefølje af aktiver med henblik på at minimere risikoen. Dette er dog en hypotetisk situation, da det vil være meget omkostningsfyldt at replikere en position i VIX indekset, da det er konstrueret ved hjælp af mange forskellige optioner. Siden 1990 har S&P500 oplevet stigninger eller fald på mere end 5 % på én dag 28 gange. Ud af disse 28 dage, hvor S&P500 har haft store ændringer, var 17 negative. Dette underbygger, at S&P500 har en negativ skævhed, da der er flest store negative fald. Siden 2008 har der 22 gange været en ændring S&P500 på mere end 5 %, hvor 13 af disse var negative. Dermed er størstedelen af de ekstreme udfald sket under finanskrisen. En lang position i VIX kunne derfor have mindsket tabene for en investor i S&P500 under finanskrisen Handlede aktiver med volatilitet som underliggende I 2004 kom de første finansielle derivater baseret på VIX indekset kaldet VIX futures. To år senere, i 2006, blev VIX optioner indført. Siden introduktionen er handlen med derivater baseret på VIX indekset steget kraftigt til mere end kontrakter per dag, hvilket gør det til CBOE s mest succesfulde indeks jf. CBOE Whitepaper (2009). I denne afhandling vil der som nævnt blive fokuseret på VIX indekset. Der findes dog andre volatilitetsindeks, som er baseret på andre indeks, eksempelvis VXN (Nasdaq 100), VXD (Dow Jones Industrial Average), OVX (Crude Olie), GVZ (guld), Vdax (DAX) 9 og forskellige andre europæiske volatilitetsindeks Derivater I dette afsnit bliver generelle derivater og optionsteori gennemgået. Der vil specielt blive lagt vægt på anvendelsen i forbindelse med volatilitetsderivater. En option kan defineres som en mulighed for at foretage en given handling, f.eks. sælge (put option) eller købe (call option) et underliggende aktiv, S, til en fast udnyttelseskurs K, på et givet tidspunkt i fremtiden, T Blandet baseret på FTSE100 og CAC

24 Payoff på en call og put option kan derfor skrives op som: c = max(s T K, 0) (4) p = max (K S T, 0) (5) Payoff strukturen for en option illustreres bedst grafisk. Figur 6 Options payoff og Put-call Paritet Long Put Long Call Short put Short Call P+S C+e -rt *K P + S = C + e rt K Kilde: Egen tilvirkning Sammenhængen mellem put og call optioner kan beskrives ved hjælp af put-call pariteten: P + S = C + e rt K (6) Hvor r er den risikofrie rente. Ud fra put-call pariteten kan prisen på en call eller put option nemt udledes under forudsætning af, at de andre input i formlen er kendte. Put-call pariteten bygger ikke på nogen modelantagelser og kan derfor udledes ud fra markedsprisen. Det gør den til et stærkt værktøj Forwards og futures En forward kontrakt kan defineres som en forpligtigelse til at købe eller sælge et givet underliggende aktiv, S, til en given pris, K, på et givet tidspunkt i fremtiden, T. Ligeledes kan en futures kontrakt beskrives på næsten samme måde; forskellen er, at værdien af en future bliver opgjort dagligt marked to market, og at en future er en standardiseret kontrakttype, der kan handles på børsen, hvorimod en forward typisk er specielt designet til kunden. 16

25 Forward prisen på et aktiv, der ikke giver noget direkte afkast, kan skrives som: F 0 = S 0 e rt (7) Forward prisen er lig den nuværende pris fremdiskonteret med den risikofrie rente. Grunden til denne sammenhæng er, at det ellers ville være muligt at opnå arbitrage. Dette gøres ved at lave en portefølje, hvor det instrument, der er overvurderet, sælges, og det instrument, der er undervurderet, købes. For en forward kontrakt, der er indgået på et tidligere tidspunkt, kan den nuværende pris på kontrakten, f, udregnes ved hjælp af følgende formel: f = (F 0 K)e rt f = S 0 Ke rt (8) Forwardprisen og futureprisen er identiske, når renten er konstant jf. Hull (2008). Det er blandt andet disse formler for futurepriser, der anvendes i Blacks (1976) udvidelse til Black-Scholes formlen Grundlæggende optionsteori Dette afsnit vil først gennemgå den generelle teori, der er nødvendig for at kunne opstille en model til at prisfastsætte optioner. Derefter vil den gennemgåede teori blive anvendt på den simple Black-Scholes model. Formålet med dette afsnit er dermed at introducere de fundamentale ting, der skal anvendes, når mere komplekse optionsmodeller tages i brug Stokastiske processer generelt En optionsmodel skal grundlæggende kunne modellere udviklingen i det underliggende aktiv. Dette gøres ved hjælp af en stokastisk proces, som er en proces, der ændrer sig tilfældigt over tid. Denne proces er nødvendig, da den fremtidige udvikling i det underliggende aktiv er ukendt. To vigtige egenskaber for en stokastisk proces med aktier som underliggende er Markov og Martingale egenskaberne Markov egenskaben Processer med Markov egenskaben er populært sagt processer, der ikke har nogen hukommelse, eller med andre ord processer, hvor al tidligere information om priser er inkorporeret i prisen i dag. Dermed er det kun den nuværende værdi, der er relevant for at kunne estimere fremtidige værdier. 17

26 Markov egenskaben kan skrives som: E(S i+1 S 1,, S i ) = E(S i+1 S i ) (9) Det forudsættes typisk for aktiepriser, at de er Markov processer 11. Hvis et afkast antages at være Markov, er den historiske udvikling irrelevant i forhold til den fremtidige udvikling, og det betyder, at information om niveauet i dag er det eneste relevante jf. Hull (2008) Martingale Martingale egenskaben er en anden vigtig egenskab, som en stokastiske proces kan besidde. Hvis en proces er en Martingale, kan den skrives som: E(S i+1 S 1,, S i ) = S i (10) Dette betyder med ord, at det bedste estimat på forventningen til prisen i morgen, givet al tidligere information, er lig med prisen i dag. Dermed vil en proces, der er en Martingale, ikke have nogen drift. Et eksempel på en Martingale kunne for eksempel være en random walk Itô processer og Itô s Lemma En Itô proces er et generelt udtryk for den proces, som en givet stokastisk variabel følger: dx i = a(x, t) i dt + b(x, t) i dz i (11) Her er funktionerne a(s,t) og b(s,t) afhængige af tiden og det underliggende aktiv. Dermed fortæller driftleddet, hvor stor den gennemsnitlige ændring er for processen i den næste periode dt. Diffusionsleddet fortæller, hvor stor variationen vil være omkring den forventede værdi af processen. Denne generelle stokastiske differential-ligning (SDE) vil senere i afhandlingen blive anvendt til at udlede en generel prisformel for stokastiske modeller. Ud fra ovenstående proces kan Itô s lemma udledes - en formel, der ofte anvendes indenfor stokastisk calculus. Ved hjælp af Itô s lemma kan der bestemmes en stokastisk proces for en funktion af en variabel. Det bekvemmelige ved Itô s lemma er, at dette udelukkende gøres ved hjælp af den stokastiske proces for variablen selv. 11 Det antages i afhandlingen at S&P500 er Markov 18