Planen idag. Fin1 (mandag 16/2 2009) 1
|
|
- Maria Skov
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Planen idag Porteføljeteori; kapitel 9 Noterne Moralen: Diversificer! Algebra: Portefølje- og lineær. Nogenlunde konsistens med forventet nyttemaksimering Middelværdi/varians-analyse Fin1 (mandag 16/2 2009) 1
2 Introduktion til porteføljeteori Hvorfor har vi behov for at handle porteføljer af aktiver? Kunne vi så ikke bare nøjes med at handle det aktiv med - eksempelvis - størst Forventet afkast Standardafvigelse på afkast? M.a.o.: Er der nogen god grund til at handle i mere end det ene aktiv? Ja! Fin1 (mandag 16/2 2009) 2
3 1) Ved at kombinere forskellige aktiver opstår nye (og bedre) muligheder: Betragt et marked med kun to aktiver. Deres årlige afkast r 1 og r 2 pr. investeret krone er stokastiske variable med fordelinger der opfylder Forventet årligt afkast : E Varians-matrix : Cov ( r1 ) ( r 2 ) r1 r 2 = = ( ) 0.05 ( ). Begge aktiver har samme forventede afkast men med forskellig usikkerhed (=varians på afkast). Antag vi kan investere for 1 kr. og at vi kun kan investere i disse to aktiver. Fin1 (mandag 16/2 2009) 3
4 Hvordan gør vi det optimalt, dvs. så variansen på afkastet af vores investering bliver mindst mulig? En førstehånds indskydelse ville måske være at investere 1 kr. i aktiv 1?! Det har trods alt den mindste varians. Investeres α [0,1] i aktiv 1 og (1 α) i aktiv 2, så har den samlede investering forventet afkast E ( αr 1 + (1 α)r 2 ) = αe(r1 ) + (1 α)e(r 2 ) = 0.05 og varians V ar ( αr 1 + (1 α)r 2 ) = α 2 V ar(r 1 ) + (1 α) 2 V ar(r 2 ) + 2α(1 α)cov(r 1,r 2 ) = 0.02α (1 α) α(1 α) Fin1 (mandag 16/2 2009) 4
5 som minimeres for α = Det er altså en fordel at handle en portefølje bestående af begge aktiver! Intuition: Hvis eksempelvis afkastet på aktiv 1 begynder at falde så vil afkastet på aktiv 2 omvendt tendere til at stige (alt andet lige) pga. den negative kovarians (og vice versa). Det vil samlet set have en stabiliserende effekt på porteføljens afkast (i form af mindre varians). Hvis man kun handler i enten aktiv 1 eller aktiv 2 og afkastet på det aktiv begynder at falde, så mister man diversificeringsgevinsten (gevinsten ved at handle i begge aktiver). Fin1 (mandag 16/2 2009) 5
6 2) Med store porteføljer kan idiosynkratisk risiko diversifiseres væk Betragt et marked bestående af uendeligt mange aktiver med årligt afkast r 1,r 2,... Lad σ 2 n = 1 n V ar(r i ) Fin1 (mandag 16/2 2009) 6
7 være den gennemsnitlige afkastvarians blandt de n første aktiver og η n = 1 n(n 1) Cov(r i, r j ) j=1 j i være den gennemsnitlige kovarians på afkast blandt de n første aktiver. Fin1 (mandag 16/2 2009) 7
8 Antag nu at vi investerer 1 kr. ligeligt i de første n aktiver, dvs. 1 n i hvert aktiv. Variansen på afkastet på vores portefølje er dermed V ar ( 1 n ) r i = 1 n V ar(r n 2 i ) + 1 n n 2 = σ2 n n + n 1 n η n Cov(r i,r j ) j=1 j i = σ2 n η n n + η n. Fin1 (mandag 16/2 2009) 8
9 Under passende (svage) regularitetsbetingelser vil σ 2 n n σ 2 η n n η. σ 2 og η kan man tænke på som størrelser, der måler den gennemsnitlige varians hhv. kovarians på afkast blandt alle aktiver i markedet. Fin1 (mandag 16/2 2009) 9
10 Hvis vi nu øger antallet af aktiver n i vores portefølje og tilsvarende reducerer andelen investeret i hvert aktiv 1 n, således at den samlede investering på 1 er uændret, så vil variansen på afkastet på vores portefølje nærme sig η idet V ar ( 1 n ) r i = σ2 n η n n + η n n η. Intuition: Hvis vi handler tilpas mange aktiver kan vi (stort set) fjerne den idiosynkratiske risiko σi 2, dvs. den risiko der alene knytter sig til afkastet på aktiv i. Risikospredning i form af handel med tilpas store og veldiversificerede porteføljer fører altså til en samlet risiko, der omtrent matcher den systematiske risiko η i markedet. Fin1 (mandag 16/2 2009) 10
11 Man kan således ikke fjerne al risiko (forhåbentlig ikke den store overraskelse), men man kan fjerne den idiosynkratiske risiko ved at diversificere sin investering. Skal man så altid diversificere, når man investerer? Det er i hvert fald en mulighed for at mindske risikoen på sin investering. Hvis man selv vil diversificere sin investering bliver gevinsten hurtigt slugt af en masse transaktionsomkostninger, fordi diversificering jo helt naturligt kræver, at man handler mange forskellige aktiver. En billigere måde at opnå diversificeringsgevinsten på er ved i stedet at investere i indeks f.eks. via såkaldte index funds, hvis proklamerede mål det er at matche et givet indeks (f.eks. S&P500, DAX, etc.). Hvorfor ikke blot investere i mere sikre aktiver frem for at diversificere? Fin1 (mandag 16/2 2009) 11
12 Man kan naturligvis også mindske risikoen ved f.eks. at investere i mere sikre aktiver som statsobligationer frem for f.eks. aktier, råvarer (guld, olie etc.), derivater m.m. Konsekvensen er at investeringen sker til et lavere forventet afkast. Samme effekt vil også i et vist omfang indtræffe, når man diversificerer: Diversificeringsgevinsten i form af eliminering af idiosynkratisk risiko betyder også, at betydningen af enkeltaktier med højt forventet afkast også reduceres. Det forventede afkast på den veldiversificerede portefølje er E ( 1 n ) r i = 1 n E(r i ) så gevinsten ved f.eks. at investere 1 n i et givet aktiv i 0 med særligt højt forventet afkast E(r i0 ) aftager naturligvis, når n vokser. Fin1 (mandag 16/2 2009) 12
13 Man kan i praksis vælge forskellige grader af diversificering (i form af forskelligt antal aktiver, antal markeder etc.). Fin1 (mandag 16/2 2009) 13
14 Formulering af porteføljevalgsmodel Først: Nogle facts fra lineær algebra. Fin1 (mandag 16/2 2009) 14
15 Så en model: Vi ser på en én-periode-model for et finansielt marked dvs. med tidspunkter t = 0, 1. En realistisk model vil (naturligvis) omfatte flere perioder, men én periode er nok til at fastlægge de grundlæggende resultater. Det finansielle marked omfatter n usikre aktiver i = 1,...,n og ét risikofrit aktiv i = 0. Det i te aktiv har pris S i,0 til tidspunkt t = 0 og pris S i,1 (stokastisk) til tidspunkt t = 1, og vi tager alle priser som givne. Afkastraten på det i te aktiv er således r i = S i,1 S i,0 S i,0 (og stokastisk fordi Fin1 (mandag 16/2 2009) 15
16 S i,1 er stokastisk). Vi sætter r = r 1. r n. Vi ser i første omgang bort fra det risikofri aktiv i = 0 fordi det gør analysen nemmere. Fin1 (mandag 16/2 2009) 16
17 En agent med givet initial formue W 0 > 0 skal til tidspunkt t = 0 beslutte, hvorledes han/hun vil investere sin formue i de n risikofyldte aktiver. Agentens porteføljevalg: Agentens beslutning består i at vælge hvor mange stk. a i der skal købes af det i te aktiv for i = 1,...,n. Vi antager, at alle aktiver er perfekt delelige (dvs. man kan købe lige præcis det antal man måtte ønske). Agentens investeringsbeslutning er derfor en relativ beslutning - hvordan skal de forskellige aktiver vægtes i forhold til hinanden? Fin1 (mandag 16/2 2009) 17
18 Vi normerer derfor ved i stedet for den absolutte portefølje a = at se på de relative porteføljevægte a 1. a n w i = a is i,0 W 0. w i er den del af formuen W 0, der investeres i aktiv i. Enhver portefølje a kan repræsenteres ved en vektor af porteføljevægte w (og vice versa). Fin1 (mandag 16/2 2009) 18
19 Agentens investeringsbeslutning reduceres dermed til et valg af porteføljevægte w = w 1. w n R n hvor w 1 = w i = a i S i,0 W 0 = 1. Modellen tillader kortsalg - altså at sælge aktiver også selv om man ikke ejer dem. Det svarer til a i < 0 (og w i < 0 hvis aktiv i har positiv pris S i,0 > 0). For et givet valg af portefølje a/porteføljevægte w er agentens formue til Fin1 (mandag 16/2 2009) 19
20 tidspunkt t = 1 givet som W 1 = = a i S i,1 a i S i,0 + = W 0 (1 + S i,1 S i,0 a i S i,0 S i,0 ) w i r i = W 0 ( 1 + w r ). Fin1 (mandag 16/2 2009) 20
21 Den forventede værdi af agentens formue til tidspunkt t = 1 er E(W 1 ) = W 0 ( 1 + w E(r) ). Usikkerheden omkring værdien af formuen til tidspunkt t = 1 her repræsenteret ved variansen V ar(w 1 ) er V ar(w 1 ) = V ar ( W 0 ( 1 + w r )) hvor Cov(r) er kovariansmatricen for r. = W 2 0V ar(w r) = W 2 0w Cov(r)w Fin1 (mandag 16/2 2009) 21
22 Agentens præferencer: Lad u(x) være agentens nyttefunktion, hvor x er formue til tidspunkt t = 1. Dvs. det eneste der betyder noget er formuens størrelse til tidspunkt t = 1. Vi antager, at agenten... har positiv men aftagende marginalnytte, dvs. u > 0,u < 0. ønsker at maksimere den forventede nytte E ( u(w 1 ) ) til tidspunkt t = 1. En 2. ordens Taylor-udvikling af u i E(W 1 ) giver u(x) u ( E(W 1 ) ) + u ( E(W 1 ) )( x E(W 1 ) ) + u ( E(W 1 ) ) (x E(W 1 ) ) 2 2 Fin1 (mandag 16/2 2009) 22
23 og dermed E ( u(w 1 ) ) u ( E(W 1 ) ) + u ( E(W 1 ) ) E ( W 1 E(W 1 ) ) }{{} =0 + u ( E(W 1 ) ) E(W 1 E(W 1 ) ) 2 2 }{{} =V ar(w 1 ) = u ( E(W 1 ) ) + u ( E(W 1 ) ) V ar(w 1 ). }{{ 2 } <0 Når agenten vælger sin portefølje gælder dermed at... jo højere forventet formue desto bedre - alt andet lige jo lavere varians på formuen desto bedre - alt andet lige (risikoaversion). Fin1 (mandag 16/2 2009) 23
24 Spørgsmålet vi ønsker at besvare er derfor: For givet forventet afkast E(w r), hvordan vælger vi så vores porteføljevægte w s variansen V ar(w r) bliver mindst mulig? Eller sagt anderledes: Løs min w 1 2 w Σw under bibetingelserne: w µ = µ P w 1 = 1. Dette kaldes middelværdi/varians-analyse ( mean-variance analysis ). Eller Markowitz-analyse. Vi løser altså minimeringsproblemet for en givet forventet afkastrate µ P. Fin1 (mandag 16/2 2009) 24
25 Sætning For et givet forventet afkast µ P er porteføljen med mindst mulig varians givet ved ŵ = Σ 1[ µ 1 ] [ ] A 1 µp 1 hvor A = [ µ Σ 1 µ µ Σ 1 1 µ Σ Σ 1 1 ] =: [ a b b c ]. Denne portefølje kaldes for minimum-varians-porteføljen hørende til µ P. Den mindst mulige varians er σˆ P 2 = cµ2 P 2µ Pb + a. ac b 2 Fin1 (mandag 16/2 2009) 25
Dagens tema: Middelværdi/varians-optimale porteføljer
Dagens tema: Middelværdi/varians-optimale porteføljer Geometrien; frihåndstegninger. Et eksempel; 2004 opg. 3 med samt julelege. Tre sætninger: - To-fondsseparation (Prop. 30); fond (fund) bruges blot
Læs mere2 Risikoaversion og nytteteori
2 Risikoaversion og nytteteori 2.1 Typer af risikoholdninger: Normalt foretages alle investeringskalkuler under forudsætningen om fuld sikkerhed om de fremtidige betalingsstrømme. I virkelighedens verden
Læs mereMikroøkonomi Projektopgave: Valg Under Usikkerhed
Mikroøkonomi Projektopgave: Valg Under Usikkerhed Peter Norman Sørensen, Økonomisk Institut Forår 2003 1. Formalia [10 minutter] Denne obligatoriske projektopgave er en guide til selvstudium af kapitel
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Afsnit 3.1-3.2 Middelværdi -Definition - Regneregler Betinget middelværdi Middelværdier af funktioner af stokastiske variabler Loven om den itererede middelværdi Eksempler 1 Beskrivelse
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Afsnit 3.1-3.2 Middelværdi -Definition - Regneregler Betinget middelværdi Middelværdier af funktioner af stokastiske variable Loven om den itererede middelværdi Eksempler 1 Beskrivelse af
Læs mere22. maj Investering og finansiering Ugeseddel nr. 15. Nogle eksamensopgaver:
22. maj 2006 Investering og finansiering Ugeseddel nr. 15 Nogle eksamensopgaver: 1 NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN INVESTERING OG FINANSIERING Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 6 4 timers
Læs mereGrinblatt & Titman kap. 5. Afdeling for Virksomhedsledelse, Aarhus Universitet Esben Kolind Laustrup
Grinblatt & Titman kap. 5 Dagens forelæsning Investeringsmulighedsområdet Sammenhængen mellem risiko og forventet afkast (security market line) Capital Asset Pricing Model (CAPM) Empiriske tests af CAPM
Læs mereKapitel 12: Valg under usikkerhed
1 November 25, 2008 2 Usikkerhed Usikre faktorer: Fremtidige priser Fremtidig (real)indkomst Vejret Andre agenters handlinger (strategisk interaktion).... Håndtering af usikkerhed: Forsikring (sundhed,
Læs mereVægte motiverende eksempel. Landmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl. Vægtet model. Vægtrelationen
Vægte motiverende eksempel Landmålingens fejlteori Lektion 4 Vægtet gennemsnit Fordeling af slutfejl - kkb@mathaaudk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Højdeforskellen mellem punkterne P
Læs mereIndføring i de nyeste modeller for dynamisk asset allocation
Indføring i de nyeste modeller for dynamisk asset allocation Syddansk Universitet 29. marts 2006 Den Danske Finansanalytikerforening Kvant-workshop 1 Oversigt 1 Indledning 2 3 4 5 Centrale spørgsmål En
Læs mereNATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET INVESTERINGS- OG FINANSIERINGSTEORI. 4 timers skriftlig eksamen, 9-13 torsdag 6/
NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET INVESTERINGS- OG FINANSIERINGSTEORI 4 timers skriftlig eksamen, 9-13 torsdag 6/6 2002 VEJLEDENDE BESVARELSE OG KOMMENTARER Opgave 1 Spg 1a
Læs mereRettevejledning til 1. obligatoriske opgave Beslutninger og strategi
Rettevejledning til. obligatoriske opgave Beslutninger og strategi Christian S. Liebing og Tobias N. Thygesen Forår 00. version. Opgave Betragter en agent med vnm-præferencer. Vi får oplyst, at agenten
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl
Landmålingens fejlteori Lektion 4 Vægtet gennemsnit Fordeling af slutfejl - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf13 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/1 Vægtet
Læs mereAnvendt Lineær Algebra
Anvendt Lineær Algebra Kursusgang 4 Anita Abildgaard Sillasen Institut for Matematiske Fag AAS (I17) Anvendt Lineær Algebra 1 / 32 Vægtet mindste kvadraters metode For et lineært ligningssystem (af m ligninger
Læs mereOM RISIKO. Kender du muligheder og risici ved investering?
OM RISIKO Kender du muligheder og risici ved investering? Hvad sker der, når du investerer? Formålet med investeringer er at opnå et positivt afkast. Hvis du har forventning om et højt afkast, skal du
Læs mereInstitut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Specielt: Var(aX) = a 2 VarX 1/40. Lad X α, X β og X γ være stokastiske variable (vinkelmålinger) med
Repetition: Varians af linear kombination Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - rw@math.aau.dk Antag X 1, X,..., X n er uafhængige stokastiske variable, og Y er en linearkombination af X
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl
Landmålingens fejlteori Lektion 4 Vægtet gennemsnit Fordeling af slutfejl - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/36 Estimation af varians/spredning Antag X 1,...,X n stokastiske
Læs mereDet naturvidenskabelige fakultet Vintereksamen 1997/98 Matematisk-økonomisk kandidateksamen Fag: Driftsøkonomi 2
1 Det naturvidenskabelige fakultet Vintereksamen 1997/98 Matematisk-økonomisk kandidateksamen Fag: Driftsøkonomi 2 Opgavetekst Generelle oplysninger: Der ses i nedenstående opgaver bort fra skat, transaktionsomkostninger,
Læs mereAnvendt Lineær Algebra
Anvendt Lineær Algebra Kursusgang 3 Anita Abildgaard Sillasen Institut for Matematiske Fag AAS (I17) Anvendt Lineær Algebra 1 / 38 Vi betragter et lineært ligningssystem (af m ligninger med n ubekendte)
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Afsnit 3.3-3.5 Varians Eksempel: Forventet nytte Kovarians og korrelation Middelværdi og varians af summer af stokastiske variabler Eksempel: Porteføljevalg 1 Beskrivelse af fordelinger
Læs mereDet naturvidenskabelige fakultet Vintereksamen 96/97 Matematisk-økonomisk kandidateksamen Fag: Driftsøkonomi 2
1 Det naturvidenskabelige fakultet Vintereksamen 96/97 Matematisk-økonomisk kandidateksamen Fag: Driftsøkonomi 2 Opgavetekst Generelle oplysninger: Der ses i nedenstående opgaver bort fra skat, transaktionsomkostninger,
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Lineære transformationer, middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 8, onsdag SaSt2 (Uge 8, onsdag) Lineære transf. og middelværdi 1 / 15 Program I formiddag: Fordeling
Læs mereFejlforplantning. Landmålingens fejlteori - Lektion 5 - Fejlforplantning. Repetition: Varians af linear kombination. Eksempel: Vinkelberegning
Fejlforplantning Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf13 Landmåling involverer ofte bestemmelse af størrelser som ikke kan
Læs mereVi har gjort det enkelt for dig at vælge de bedste investeringer til din pensionsopsparing eller dine frie midler
Bank Forsikring Pension Få mere til dig selv med InvestorPlus Vi har gjort det enkelt for dig at vælge de bedste investeringer til din pensionsopsparing eller dine frie midler InvestorPlus AB 21062018
Læs mereKapitel 4: Nyttefunktioner
Kapitel 4: Nyttefunktioner Hvad er nytte? - det gamle syn: 1. Nytte betragtet som en indikator for et individs overordnede velfærd. 2. Nytten er kardinal: Størrelsen på nyttedifferencer har betydning.
Læs mereInvesterings- og finansieringsteori, F04, ugeseddel 14
5. maj 2004 Rolf Poulsen AMS Investerings- og finansieringsteori, F04, ugeseddel 14 Resten af semesteret Uge 20 (dvs. 10., 12. og 14. maj) er der er almindelige forelæsninger og øvelser, hvor man til sidstnævnte
Læs mereFå mere til dig selv med SaxoInvestor
Få mere til dig selv med SaxoInvestor Vi har gjort det enkelt for dig at vælge de bedste investeringer til din pensionsopsparing eller dine frie midler Fuldautomatisk porteføljepleje Test din risiko og
Læs mere3 Stokastiske variable 3.1 Diskrete variable
3 Stokastiske variable 3.1 Diskrete variable Punktsandsnligheden benævnes P(x) = P(X = x). {x, P(x)} er en sandsnlighedsfordeling for den stokastiske variabel, X, hvis 1) P(x) $ 0 for alle værdier af x.
Læs mereMLR antagelserne. Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som
MLR antagelserne Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + + β k x k + u, hvor β 0, β 1, β 2,...,β k er ukendte parametere,
Læs mereTema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.
Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i
Læs mereMarkedskommentar august: Black August vækstnedgang i Kina giver aktienedtur
Nyhedsbrev Kbh. 3. sep. 2015 Markedskommentar august: Black August vækstnedgang i Kina giver aktienedtur Uro i Kina sætte sine blodrøde spor i aktiemarkederne i august måned. Vi oplevede de største aktiefald
Læs mereDefinition. Definitioner
Definition Landmålingens fejlteori Lektion Diskrete stokastiske variable En reel funktion defineret på et udfaldsrum (med sandsynlighedsfordeling) kaldes en stokastisk variabel. - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/
Læs mereKapitel 4: Nyttefunktioner. Hvad er nytte? - det gamle syn:
Kapitel 4: Nyttefunktioner Hvad er nytte? - det gamle syn: 1. Nytte er en indikator for et individs overordnede velfærd. 2. Nytten måles for eksempel på en skala fra 0 til 100. 3. Skalaen er kardinal:
Læs mereHjemmeprøve 1 Efterår 2013: Afkast og risiko ved investering i aktier
Hjemmeprøve 1 Efterår 2013: Afkast og risiko ved investering i aktier Udviklingen i OMXC20 aktieindekset 2008 2013 1 1 OMXC20 er et indeks over de 20 mest omsatte aktier på Nasdaq OMX Copenhagen ( Københavns
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Estimation: Kapitel 9.1-9.3 Estimation Estimationsfejlen Bias Eksempler Bestemmelse af stikprøvens størrelse Konsistens De nitioner påkonsistens Eksempler på konsistente og middelrette estimatorer
Læs mereLandmålingens fejlteori - Repetition - Fordeling af slutfejl - Lektion 8
Landmålingens fejlteori Repetition - Fordeling af slutfejl Lektion 8 - tvede@math.aau.dk http://www.math.aau.dk/ tvede/teaching/l4 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 15. maj 2008 1/13 Fordeling
Læs mereNATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET INVESTERINGS- OG FINANSIERINGSTEORI
NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET INVESTERINGS- OG FINANSIERINGSTEORI 4 timers skriftlig eksamen, 9-13, tirsdag 16/6 2003. Ingen hjælpemidler (blyant & lommeregner dog tilladt).
Læs mereAntag X 1, X 2,..., X n er n uafhængige stokastiske variable, hvor Var(X 1 )=σ 2 1,..., Var(X n )=σ 2 n.
Simple fejlforplantningslov Landmålingens fejlteori Lektion 6 Den generelle fejlforplantningslov Antag X, X,, X n er n uafhængige stokastiske variable, hvor Var(X )σ,, Var(X n )σ n Lad Y g(x, X,, X n ),
Læs mereMotivation. Konfidensintervaller og vurdering af usikkerhed på estimerede størrelser
Motivation Konfidensintervaller og vurdering af usikkerhed på estimerede størrelser Rasmus Waagepetersen October 26, 2018 Eksempel: En landmåler får til opgave at måle længden λ fra A til B. Entreprenøren
Læs mereNATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET INVESTERINGS- OG FINANSIERINGSTEORI. 4 timers skriftlig eksamen, mandag 1/
NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET INVESTERINGS- OG FINANSIERINGSTEORI 4 timers skriftlig eksamen mandag /6 2004. Opgave Spg..a [0] Modellen er arbitragefri hvis der findes et
Læs mereInvestering. Investpleje Mix. Investpleje Mix 1
Investering Investpleje Mix Investpleje Mix 1 Investpleje Mix Med Investpleje Mix er du sikret en god og enkelt investeringsløsning, der samtidigt er skræddersyet til netop din risikovillighed og tidshorisont.
Læs mereDynamiske Porteføljevalg
Dynamiske Porteføljevalg Rasmus Højberg Andersen Bachelorprojekt, Matematik-Økonomi Vejleder: Claus Munk, Institut for Regnskab og Finansiering 9. februar 2004 Indhold 1 Indledning 3 2 En periode middelværdi-varians
Læs mereFå mere til dig selv med SaxoInvestor
Få mere til dig selv med SaxoInvestor Vi har gjort det enkelt for dig at vælge de bedste investeringer til din pensionsopsparing eller dine frie midler Fuldautomatisk porteføljepleje Test din risiko og
Læs mereMarkedskommentar april: Stigende vækst- og inflationsforventninger i Europa!
Nyhedsbrev Kbh. 5. maj. 2015 Markedskommentar april: Stigende vækst- og inflationsforventninger i Europa! Efter 14 mdr. med stigninger kunne vi i april notere mindre fald på 0,4 % - 0,6 %. Den øgede optimisme
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Kapitel 4: Diskrete fordelinger Afsnit 4.1-4.2, 4.7: Bernoulli fordeling Binomial fordeling Store Tals Lov (Laws of Averages, Laws of Large Numbers) 1 Bernoulli fordeling Kvantitative Metoder
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Afsnit 6.1 Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler Lineære transformationer
Læs mereMÅNEDSRAPPORT MAJ 2016 FALCON FLEX
PORTEFØLJEN I DEN FORGANGNE MÅNED Ligesom de sidste par måneder viste de globale aktiemarkeder en fortsat stigende tendens. Porteføljen i Falcon Flex gav et afkast på 0,87% i maj på baggrund af porteføljeomlægning
Læs mereEn hurtig approksimativ beregning af usikkerheden om den fremtidige pension
En hurtig approksimativ beregning af usikkerheden om den fremtidige pension Claus Munk 1. september 017 1 Sammenfatning Den pension, som en pensionsopsparer en kunde) ender med at få, er usikker både på
Læs mereNYHEDSBREV. Max Drawdown og Duration - Kongetallene
NYHEDSBREV Max Drawdown og Duration - Kongetallene Kære læser Vi fortsætter i dette nyhedsbrev vores fokus på Risikostyring. I sidste måneds nyhedsbrev beskrev vi hvorfor God risikostyring er afgørende
Læs mereForelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup)
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske
Læs mereFinansiel planlægning
Side 1 af 8 SYDDANSK UNIVERSITET Erhvervsøkonomisk Diplomuddannelse HD 2. del Regnskab og økonomistyring Reeksamen Finansiel planlægning Tirsdag den 12. juni 2007 kl. 9.00-13.00 Alle hjælpemidler er tilladte.
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår 2006. Dagens program
Dagens program Afsnit 2.4-2.5 Bayes sætning Uafhængige stokastiske variable - Simultane fordelinger - Marginale fordelinger - Betingede fordelinger Uafhængige hændelser - Indikatorvariable Afledte stokastiske
Læs mereNormalfordelingen og Stikprøvefordelinger
Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen Standard Normal Fordelingen Sandsynligheder for Normalfordelingen Transformation af Normalfordelte Stok.Var. Stikprøver og Stikprøvefordelinger
Læs merePlanen idag. Fin1 (onsdag 11/2 2009) 1
Planen idag Rentefølsomhedsanalyse; resten af kapitel 3 i Noterne Varighed og konveksitet 3 fortolkninger af varighed Varighed og konveksitet for porteføljer Multiplikative skift i rentestrukturen Fin1
Læs mereNATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET INVESTERINGS- OG FINANSIERINGSTEORI
NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET INVESTERINGS- OG FINANSIERINGSTEORI 4 timers skriftlig eksamen, 10-14, tirsdag 1/6 2004. Ingen hjælpemidler (blyant & lommeregner dog tilladt).
Læs mereØkonometri lektion 5 Multipel Lineær Regression. Inferens Modelkontrol Prædiktion
Økonometri lektion 5 Multipel Lineær Regression Inferens Modelkontrol Prædiktion Multipel Lineær Regression Data: Sæt af oservationer (x i, x i,, x ki, y i, i,,n y i er den afhængige variael x i, x i,,
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereRepetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable
Normal fordelingen Normal fordelingen Egenskaber ved normalfordelingen Standard normal fordelingen Find sandsynligheder ud fra tabel Transformation af normal fordelte variable Invers transformation Repetition
Læs mere1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori - lidt om kurset Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Kursusholder
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Kapitel 8.7, 8.8 og 8.10 Momenter af gennemsnit og andele kap. 8.7 Eksempel med simulationer Den centrale grænseværdisætning (Central Limit Theorem) kap. 8.8 Simulationer Normalfordelte
Læs mereStatistik. Hjemmeside: kkb. Statistik - lektion 1 p.1/22
Statistik Kursets omfang: 2 ECTS Inklusiv mini-projekt! Bog: Complete Business Statistics, AD Aczel & J. Sounderpandian Software: SPSS eller Excel?? Forelæser: Kasper K. Berthelsen E-mail: kkb@math.aau.dk
Læs mereVi sætter. (Signal støj- forhold) Poul Thyregod, 25. april Specialkursus vid.stat. foraar Lad Y i angiver observationer fra i te udtagne balle.
Modellens parametre Mandag den 25 april Hierarkiske normalfordelingsmodeller Dagens program: Resume af ensidet variansanalysemodel med tilfældig effekt estimation af tilfældige effekter, fortolkning som
Læs merePlanen idag. Noterne afsnit 3.1:
Planen idag Noterne afsnit 3.1: En abstrakt (matrix, vektor) model for et finansielt marked Betalingsrækker og priser Porteføljer, arbitrage og komplethed Diskonteringsfaktorer Hovedstætninger Et marked
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff.
Kursus 242 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 35/324 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mereMIRANOVA ANALYSE. Investeringsforeninger med obligationer: Omkostningerne æder afkastet. Udgivet 4. juni 2014
MIRANOVA ANALYSE Udgivet 4. juni 2014 Investeringsforeninger med obligationer: Omkostningerne æder afkastet Når omkostningerne æder dit afkast Lige nu tales der meget om de lave renter på obligationer,
Læs mereLøsning eksamen d. 15. december 2008
Informatik - DTU 02402 Introduktion til Statistik 2010-2-01 LFF/lff Løsning eksamen d. 15. december 2008 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th
Læs mereNaturvidenskabelig Bacheloruddannelse Forår 2006 Matematisk Modellering 1 Side 1
Matematisk Modellering 1 Side 1 I nærværende opgavesæt er der 16 spørgsmål fordelt på 4 opgaver. Ved bedømmelsen af besvarelsen vægtes alle spørgsmål lige. Endvidere lægges der vægt på, at det af besvarelsen
Læs mereNYHEDSBREV. Fokus på risiko: Udbredt fokus: Trend Ratio Ro i maven. Slå Benchmark Is i maven
01 December 2017 NYHEDSBREV Udbredt fokus: Slå Benchmark 30-50 - 70 Is i maven Fokus på risiko: Trend Ratio 0-100 Ro i maven Som investor er det altid hensigtsmæssigt at forholde sig til det marked man
Læs mere1 Bytteøkonomier (kapitel 30)
1 Bytteøkonomier (kapitel 30) 1. Setup: Vi har en række forbrugere med hver deres initialbeholdning af en række goder. (a) Ren bytteøkonomi - ingen virksomheder - ingen produktion! 2. Typiske spørgsmål:
Læs mereETN-skolen ETN-skolen 2016
ETN-skolen Agenda 17.30 17.40 Velkomst 17.40 18.15 Analytikerindlæg 18.15 19.00 Grundlæggende info 19.00 19.10 Pause 19.10 19.50 Anvendelse 19.50 20.00 Praktiske informationer ETN et marked i vækst ETN
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 5 - Fejlforplantning
Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - kkb@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/30 Fejlforplantning Landmåling involverer ofte bestemmelse af størrelser som ikke
Læs mereStatistik Lektion 3. Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen
Statistik Lektion 3 Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition En stokastisk variabel er en funktion defineret på S (udfaldsrummet, der antager
Læs mereForelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereBeskrivelse af nøgletal
Beskrivelse af nøgletal Carnegie WorldWide Dampfærgevej 26 DK-2100 København Ø Telefon: +45 35 46 35 46 Fax: +45 35 46 36 00 Web: www.carnegieam.dk E-mail: cww@cww.dk 11. marts 2008 Indhold 1 Porteføljeafkast
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Afsnit 6.1. Ligefordelinger, fra sidst Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler
Læs merePrivate Banking Portefølje. et nyt perspektiv på dine investeringer
Private Banking Portefølje et nyt perspektiv på dine investeringer Det er ikke et spørgsmål om enten aktier eller obligationer. Den bedste portefølje er som regel en blanding. 2 2 Private Banking Portefølje
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs mereInvesteringsaftale Mix
Investering Investeringsaftale Mix Investeringsaftale Mix 1 Investeringsaftale Mix Med Investeringsaftale Mix er du sikret en god og enkelt investeringsløsning, der samtidigt er skræddersyet til netop
Læs mereSystematisk risiko, usystematisk risiko og eksempel på beregning af Beta
Peter Bank Larsen peterbank8660@gmail.com D. 26.05.2019 Systematisk risiko, usystematisk risiko og eksempel på beregning af Beta Risiko er sandsynligheden for et fremtidig udfald. Risikoen opdeles i to:
Læs mereKursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet March 1, 2013 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen
Læs mereSandsynlighed og Statistik
36 Sandsynlighed og Statistik 6.1 Indledning Denne note beskriver de statistiske begreber og formler som man med rimelig sandsynlighed kan komme ud for i eksperimentelle øvelser. Alt er yderst korfattet,
Læs mereUndervisningsnoter til øvelse i Panel Modeller. %, it. E(x kjs
4 I afsnit 3 beskæftigede vi os med 1EC modellen og viste, hvordan den kunne estimereres med FGLS - bla under forudsætning af, at det individspecifikke stokastiske led er ukorreleret med de forklarende
Læs mereRisikospredning på flere forvaltere
Risikospredning på flere forvaltere Af Peter Rixen Senior Porteføljemanager peter.rixen@skandia.dk Risikospredning er den eneste såkaldte free lunch på de finansielle markeder. Derfor er der også meget
Læs merePhillipskurven: Inflation og arbejdsløshed
Phillipskurven: Inflation og arbejdsløshed Vores udgangspunkt er AS-kurven, dvs. relationen mellem prisniveau og output så der er ligevægt på arbejdsmarkedet, og der har følgende form P = ( + µ) P e F
Læs mereØkonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/27
Økonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/27 Multipel Lineær Regression Sidst så vi på simpel lineær regression, hvor y er forklaret af én variabel. Der er intet, der forhindre os i at have mere
Læs mereLandmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/41 Landmålingens fejlteori - lidt om kurset
Læs mereProgram: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19
Program: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19 For test med signifikansniveau α: p < α forkast H 0 2/19 p-værdi Betragt tilfældet med test for H 0 : µ = µ 0 (σ kendt). Idé: jo større
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Kontinuerte fordelinger Ventetider i en Poissonproces Beskrivelse af kontinuerte fordelinger: - Median og kvartiler - Middelværdi - Varians Simultane fordelinger 1 Ventetider i en Poissonproces
Læs mereVi investerer stadig for lånte penge:
MIRANOVA ANALYSE Udarbejdet af: Rune Wagenitz Sørensen, adm. Direktør Oliver West, porteføljemanager Udgivet d. 10 december 2015 Vi investerer stadig for lånte penge: Mange danskere investerer med underskud,
Læs mereØKONOMISKE PRINCIPPER I
ØKONOMISKE PRINCIPPER I 1. årsprøve, 1. semester Forelæsning 4 Pensum: Mankiw & Taylor kapitel 4 Claus Thustrup Kreiner www.econ.ku.dk/ctk/principperi Introduktion Kapitel 3 påpegede mulige gevinster ved
Læs mereTrin 1: Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H 0 : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse
Statistik 7. gang 9. HYPOTESE TEST Hypotesetest ved 6 trins raket! : Trin : Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H 0 : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse H eller H A : Alternativ
Læs mere1 Bytteøkonomier (kapitel 31)
1 Bytteøkonomier (kapitel 31) 1. Setup: Vi har en række forbrugere med hver deres initialbeholdning af en række goder. (a) Ren bytteøkonomi - ingen virksomheder - ingen produktion! (b) Vi har en "generel
Læs mereModerne Porteføljeteori
HA, Almen 6. Semester Bachelor afhandling Tværfagligt institut Gruppe nr. S11-13,64 Opgaveskriver: Lasse Maigaard Randløv Vejleder: Henning Rud Jørgensen Moderne Porteføljeteori Handelshøjskolen, Aarhus
Læs mereStikprøver og stikprøve fordelinger. Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader
Stikprøver og stikprøve fordelinger Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader Statistik Statistisk Inferens: Prediktere og forekaste værdier af
Læs mereFordele ved international porteføljediversifikation
Institut for Økonomi Bachelorafhandling HA almen, 6. semester Studienummer: AC87632 Forfatter: Anders Christensen Vejleder: Carsten Tanggaard Fordele ved international porteføljediversifikation En kvantitativ
Læs mereALM med aktuarvinkel. Peter Holm Nielsen, Invensure A/S. Den Danske Finansanalytikerforening Kvant-workshop
ALM med aktuarvinkel Peter Holm Nielsen, Invensure A/S Den Danske Finansanalytikerforening Kvant-workshop 6 22.11.06. Oversigt 1. Introduktion 2. Livs- og pensionsforsikringers finansielle indhold 3. Markedsværdier
Læs mereI dag. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve med kendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) Eksempel: kobbertråd
I dag Statistisk analyse af en enkelt stikprøve med kendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik SaSt) Helle Sørensen Først lidt om de sidste uger af SaSt. Derefter statistisk analyse af en enkelt
Læs mereProgram: 1. Repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. Konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke.
Program: 1. Repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. Konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke. 1/23 Opsummering af fordelinger X 1. Kendt σ: Z = X µ σ/ n N(0,1)
Læs mere3.600 kg og den gennemsnitlige fødselsvægt kg i stikprøven.
PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 1, onsdag den 6. september 2006 Eksempel: Sammenhæng mellem moderens alder og fødselsvægt I dag: Introduktion til statistik gennem analyse af en stikprøve
Læs mereDet naturvidenskabelige fakultet Sommereksamen 1997 Matematisk-økonomisk kandidateksamen Fag: Driftsøkonomi 2
1 Det naturvidenskabelige fakultet Sommereksamen 1997 Matematisk-økonomisk kandidateksamen Fag: Driftsøkonomi 2 Opgavetekst Generelle oplysninger: Der ses i nedenstående opgaver bort fra skat, transaktionsomkostninger,
Læs mere