Planen idag. Fin1 (mandag 16/2 2009) 1

Transkript

1 Planen idag Porteføljeteori; kapitel 9 Noterne Moralen: Diversificer! Algebra: Portefølje- og lineær. Nogenlunde konsistens med forventet nyttemaksimering Middelværdi/varians-analyse Fin1 (mandag 16/2 2009) 1

2 Introduktion til porteføljeteori Hvorfor har vi behov for at handle porteføljer af aktiver? Kunne vi så ikke bare nøjes med at handle det aktiv med - eksempelvis - størst Forventet afkast Standardafvigelse på afkast? M.a.o.: Er der nogen god grund til at handle i mere end det ene aktiv? Ja! Fin1 (mandag 16/2 2009) 2

3 1) Ved at kombinere forskellige aktiver opstår nye (og bedre) muligheder: Betragt et marked med kun to aktiver. Deres årlige afkast r 1 og r 2 pr. investeret krone er stokastiske variable med fordelinger der opfylder Forventet årligt afkast : E Varians-matrix : Cov ( r1 ) ( r 2 ) r1 r 2 = = ( ) 0.05 ( ). Begge aktiver har samme forventede afkast men med forskellig usikkerhed (=varians på afkast). Antag vi kan investere for 1 kr. og at vi kun kan investere i disse to aktiver. Fin1 (mandag 16/2 2009) 3

4 Hvordan gør vi det optimalt, dvs. så variansen på afkastet af vores investering bliver mindst mulig? En førstehånds indskydelse ville måske være at investere 1 kr. i aktiv 1?! Det har trods alt den mindste varians. Investeres α [0,1] i aktiv 1 og (1 α) i aktiv 2, så har den samlede investering forventet afkast E ( αr 1 + (1 α)r 2 ) = αe(r1 ) + (1 α)e(r 2 ) = 0.05 og varians V ar ( αr 1 + (1 α)r 2 ) = α 2 V ar(r 1 ) + (1 α) 2 V ar(r 2 ) + 2α(1 α)cov(r 1,r 2 ) = 0.02α (1 α) α(1 α) Fin1 (mandag 16/2 2009) 4

5 som minimeres for α = Det er altså en fordel at handle en portefølje bestående af begge aktiver! Intuition: Hvis eksempelvis afkastet på aktiv 1 begynder at falde så vil afkastet på aktiv 2 omvendt tendere til at stige (alt andet lige) pga. den negative kovarians (og vice versa). Det vil samlet set have en stabiliserende effekt på porteføljens afkast (i form af mindre varians). Hvis man kun handler i enten aktiv 1 eller aktiv 2 og afkastet på det aktiv begynder at falde, så mister man diversificeringsgevinsten (gevinsten ved at handle i begge aktiver). Fin1 (mandag 16/2 2009) 5

6 2) Med store porteføljer kan idiosynkratisk risiko diversifiseres væk Betragt et marked bestående af uendeligt mange aktiver med årligt afkast r 1,r 2,... Lad σ 2 n = 1 n V ar(r i ) Fin1 (mandag 16/2 2009) 6

7 være den gennemsnitlige afkastvarians blandt de n første aktiver og η n = 1 n(n 1) Cov(r i, r j ) j=1 j i være den gennemsnitlige kovarians på afkast blandt de n første aktiver. Fin1 (mandag 16/2 2009) 7

8 Antag nu at vi investerer 1 kr. ligeligt i de første n aktiver, dvs. 1 n i hvert aktiv. Variansen på afkastet på vores portefølje er dermed V ar ( 1 n ) r i = 1 n V ar(r n 2 i ) + 1 n n 2 = σ2 n n + n 1 n η n Cov(r i,r j ) j=1 j i = σ2 n η n n + η n. Fin1 (mandag 16/2 2009) 8

9 Under passende (svage) regularitetsbetingelser vil σ 2 n n σ 2 η n n η. σ 2 og η kan man tænke på som størrelser, der måler den gennemsnitlige varians hhv. kovarians på afkast blandt alle aktiver i markedet. Fin1 (mandag 16/2 2009) 9

10 Hvis vi nu øger antallet af aktiver n i vores portefølje og tilsvarende reducerer andelen investeret i hvert aktiv 1 n, således at den samlede investering på 1 er uændret, så vil variansen på afkastet på vores portefølje nærme sig η idet V ar ( 1 n ) r i = σ2 n η n n + η n n η. Intuition: Hvis vi handler tilpas mange aktiver kan vi (stort set) fjerne den idiosynkratiske risiko σi 2, dvs. den risiko der alene knytter sig til afkastet på aktiv i. Risikospredning i form af handel med tilpas store og veldiversificerede porteføljer fører altså til en samlet risiko, der omtrent matcher den systematiske risiko η i markedet. Fin1 (mandag 16/2 2009) 10

11 Man kan således ikke fjerne al risiko (forhåbentlig ikke den store overraskelse), men man kan fjerne den idiosynkratiske risiko ved at diversificere sin investering. Skal man så altid diversificere, når man investerer? Det er i hvert fald en mulighed for at mindske risikoen på sin investering. Hvis man selv vil diversificere sin investering bliver gevinsten hurtigt slugt af en masse transaktionsomkostninger, fordi diversificering jo helt naturligt kræver, at man handler mange forskellige aktiver. En billigere måde at opnå diversificeringsgevinsten på er ved i stedet at investere i indeks f.eks. via såkaldte index funds, hvis proklamerede mål det er at matche et givet indeks (f.eks. S&P500, DAX, etc.). Hvorfor ikke blot investere i mere sikre aktiver frem for at diversificere? Fin1 (mandag 16/2 2009) 11

12 Man kan naturligvis også mindske risikoen ved f.eks. at investere i mere sikre aktiver som statsobligationer frem for f.eks. aktier, råvarer (guld, olie etc.), derivater m.m. Konsekvensen er at investeringen sker til et lavere forventet afkast. Samme effekt vil også i et vist omfang indtræffe, når man diversificerer: Diversificeringsgevinsten i form af eliminering af idiosynkratisk risiko betyder også, at betydningen af enkeltaktier med højt forventet afkast også reduceres. Det forventede afkast på den veldiversificerede portefølje er E ( 1 n ) r i = 1 n E(r i ) så gevinsten ved f.eks. at investere 1 n i et givet aktiv i 0 med særligt højt forventet afkast E(r i0 ) aftager naturligvis, når n vokser. Fin1 (mandag 16/2 2009) 12

13 Man kan i praksis vælge forskellige grader af diversificering (i form af forskelligt antal aktiver, antal markeder etc.). Fin1 (mandag 16/2 2009) 13

14 Formulering af porteføljevalgsmodel Først: Nogle facts fra lineær algebra. Fin1 (mandag 16/2 2009) 14

15 Så en model: Vi ser på en én-periode-model for et finansielt marked dvs. med tidspunkter t = 0, 1. En realistisk model vil (naturligvis) omfatte flere perioder, men én periode er nok til at fastlægge de grundlæggende resultater. Det finansielle marked omfatter n usikre aktiver i = 1,...,n og ét risikofrit aktiv i = 0. Det i te aktiv har pris S i,0 til tidspunkt t = 0 og pris S i,1 (stokastisk) til tidspunkt t = 1, og vi tager alle priser som givne. Afkastraten på det i te aktiv er således r i = S i,1 S i,0 S i,0 (og stokastisk fordi Fin1 (mandag 16/2 2009) 15

16 S i,1 er stokastisk). Vi sætter r = r 1. r n. Vi ser i første omgang bort fra det risikofri aktiv i = 0 fordi det gør analysen nemmere. Fin1 (mandag 16/2 2009) 16

17 En agent med givet initial formue W 0 > 0 skal til tidspunkt t = 0 beslutte, hvorledes han/hun vil investere sin formue i de n risikofyldte aktiver. Agentens porteføljevalg: Agentens beslutning består i at vælge hvor mange stk. a i der skal købes af det i te aktiv for i = 1,...,n. Vi antager, at alle aktiver er perfekt delelige (dvs. man kan købe lige præcis det antal man måtte ønske). Agentens investeringsbeslutning er derfor en relativ beslutning - hvordan skal de forskellige aktiver vægtes i forhold til hinanden? Fin1 (mandag 16/2 2009) 17

18 Vi normerer derfor ved i stedet for den absolutte portefølje a = at se på de relative porteføljevægte a 1. a n w i = a is i,0 W 0. w i er den del af formuen W 0, der investeres i aktiv i. Enhver portefølje a kan repræsenteres ved en vektor af porteføljevægte w (og vice versa). Fin1 (mandag 16/2 2009) 18

19 Agentens investeringsbeslutning reduceres dermed til et valg af porteføljevægte w = w 1. w n R n hvor w 1 = w i = a i S i,0 W 0 = 1. Modellen tillader kortsalg - altså at sælge aktiver også selv om man ikke ejer dem. Det svarer til a i < 0 (og w i < 0 hvis aktiv i har positiv pris S i,0 > 0). For et givet valg af portefølje a/porteføljevægte w er agentens formue til Fin1 (mandag 16/2 2009) 19

20 tidspunkt t = 1 givet som W 1 = = a i S i,1 a i S i,0 + = W 0 (1 + S i,1 S i,0 a i S i,0 S i,0 ) w i r i = W 0 ( 1 + w r ). Fin1 (mandag 16/2 2009) 20

21 Den forventede værdi af agentens formue til tidspunkt t = 1 er E(W 1 ) = W 0 ( 1 + w E(r) ). Usikkerheden omkring værdien af formuen til tidspunkt t = 1 her repræsenteret ved variansen V ar(w 1 ) er V ar(w 1 ) = V ar ( W 0 ( 1 + w r )) hvor Cov(r) er kovariansmatricen for r. = W 2 0V ar(w r) = W 2 0w Cov(r)w Fin1 (mandag 16/2 2009) 21

22 Agentens præferencer: Lad u(x) være agentens nyttefunktion, hvor x er formue til tidspunkt t = 1. Dvs. det eneste der betyder noget er formuens størrelse til tidspunkt t = 1. Vi antager, at agenten... har positiv men aftagende marginalnytte, dvs. u > 0,u < 0. ønsker at maksimere den forventede nytte E ( u(w 1 ) ) til tidspunkt t = 1. En 2. ordens Taylor-udvikling af u i E(W 1 ) giver u(x) u ( E(W 1 ) ) + u ( E(W 1 ) )( x E(W 1 ) ) + u ( E(W 1 ) ) (x E(W 1 ) ) 2 2 Fin1 (mandag 16/2 2009) 22

23 og dermed E ( u(w 1 ) ) u ( E(W 1 ) ) + u ( E(W 1 ) ) E ( W 1 E(W 1 ) ) }{{} =0 + u ( E(W 1 ) ) E(W 1 E(W 1 ) ) 2 2 }{{} =V ar(w 1 ) = u ( E(W 1 ) ) + u ( E(W 1 ) ) V ar(w 1 ). }{{ 2 } <0 Når agenten vælger sin portefølje gælder dermed at... jo højere forventet formue desto bedre - alt andet lige jo lavere varians på formuen desto bedre - alt andet lige (risikoaversion). Fin1 (mandag 16/2 2009) 23

24 Spørgsmålet vi ønsker at besvare er derfor: For givet forventet afkast E(w r), hvordan vælger vi så vores porteføljevægte w s variansen V ar(w r) bliver mindst mulig? Eller sagt anderledes: Løs min w 1 2 w Σw under bibetingelserne: w µ = µ P w 1 = 1. Dette kaldes middelværdi/varians-analyse ( mean-variance analysis ). Eller Markowitz-analyse. Vi løser altså minimeringsproblemet for en givet forventet afkastrate µ P. Fin1 (mandag 16/2 2009) 24

25 Sætning For et givet forventet afkast µ P er porteføljen med mindst mulig varians givet ved ŵ = Σ 1[ µ 1 ] [ ] A 1 µp 1 hvor A = [ µ Σ 1 µ µ Σ 1 1 µ Σ Σ 1 1 ] =: [ a b b c ]. Denne portefølje kaldes for minimum-varians-porteføljen hørende til µ P. Den mindst mulige varians er σˆ P 2 = cµ2 P 2µ Pb + a. ac b 2 Fin1 (mandag 16/2 2009) 25