Himalayaoptioner. Brugen af himalayaoptioner i finansielle produkter og prisfastsættelse af disse

Transkript

1 Christian Kjølhede, Studienummer: CK9792 Bachelorafhandling HA Almen, 6. semester Forfatter Christian Kjølhede Vejleder Peter Løchte Jørgensen Himalayaoptioner Brugen af himalayaoptioner i finansielle produkter og prisfastsættelse af disse Foto: McKay Savage Aarhus University Business & Social Science Department of Economics & Business Maj 23 Antal tegn (uden mellemrum): Side af 53

2 Christian Kjølhede, Studienummer: CK9792 Indholdsfortegnelse Abstract Indledning Introduktion Motivation Metode Problemformulering Afhandlingens struktur Software Afgrænsninger of forudsætninger Værdiansættelse af derivater Modelforudsætninger De finansielle markeder er efficiente Aktivets værdi følger en tilfældig kursudvikling Riskoneutral værdiansættelse Optioner er europæiske Ingen dividende på underliggende aktier Ingen transaktionsomkostninger eller skatter Konstant volatilitet Konstant risikofri rente Grundteori for prisfastsættelse af derivater Binomialmodellen Black-Scholes-modellen Proces for en akties tilfældige kursudvikling Itôs lemma: Værdien af et derivat Teori for prisfastsættelse af optioner i Black-Scholes Monte Carlo simulation Choleskys dekomposition Typer af himalayaoptioner Udarbejdelse prisfastsættelsesmodel for himalayaoptioner Faktisk produkt: PLUS Index 5 Super Modelinput Risikofri rente Volatilitet Korrelation Side 2 af 53

3 Christian Kjølhede, Studienummer: CK Indeksdata Obligationen Opbygning af simulationsmodel Resultat og følsomhedsanalyse Værdi af Himalayaoptionen i PLUS Index 5 Super Følsomhedsanalyse for simulationsmodellen Værdi af PLUS Index 5 Super Konklusion Bibliografi Figurer Tabeller Appendiks : LU-faktorisering af eksempel i 2.6 Choleskys dekomposition Appendiks 2: LU-faktorisering af korrelationsmatrice for indeks i himalayaoptionen i PLUS Index 5 Super Appendiks 3: Prisfastsættelse af obligationer Appendiks 4: Simulationsmodel for prisfastsættelse af PLUS Index 5 Super Side 3 af 53

4 Christian Kjølhede, Studienummer: CK9792 Abstract The main goal of this bachelor thesis is to show how himalaya options can be priced. A himalaya option is an exotic option which does not only derive its possible payoff from one asset, but is instead based on a basket of assets. The maturity of the option is divided into a number of measuring periods, and at the end of every period the performance of the best asset is found. The performance of this asset then contributes to the payoff of the himalaya option and is taken out of the basket afterwards. Therefore, each asset can only contribute to the payoff once. The payoff structure of a himalaya option can vary, as there can be less measuring periods than the number of underlying assets, lower global or local bounds regarding the payoff, and the performance measure can be based either on the performance since issued or only for every single measuring period. The complex payoff structure of himalaya options and the fact, that the movements in the value of the underlying assets are correlated with each other, are making the traditional pricing from derivative theories with a closed model solutions impossible. By introducing basic derivative pricing theory and the binomial model it is proven that the value of a derivative equals to the expected future payoff discounted by the risk free rate, as option pricing can be done correctly using a risk neutral evaluation. This is also the case using the pricing theory from the Black-Scholes-model, which introduces the random walk of the underlying asset following a Geometric Brownian Motion. The Geometric Browninan Motions can be used to imitate the movements of the underlying assets of the himalaya option as well. There will be created one scenario of the random walks of all underlying assets, where the uncertainty in the random walks are generated from standard normal distributed values. This gives one scenario of the future price of the himalaya option. By using Monte Carlo simulation to create many of these random scenarios, the mean of the different scenarios will converge towards the expected future payoff of the option. This can be discounted to its present value using the risk free rate, which gives the price of the himalaya option. However, for the price to reflect the true value of the himalaya option the correlation between the underlying assets has to be incorporated in the pricing model. Thus, the Cholesky factorization is introduced which is a matrix operation procedure to transform the correlation matrix of the underlying assets into a product of two matrixes where the one of them is the Cholesky decomposition. By multiplying all vectors of the random generated standard normal distributed values with the Cholesky decomposition, it transforms the values in these vectors into correlated values. The theory presented has then been used to price the himalaya option in the structured product PLUS Index 5 Super 2. From the five indices included as the underlying assets, their volatilities and the correlations between the indices are calculated and are used as inputs for the model. The model that calculates and simulates the estimated value of the himalaya option is programmed in Microsoft Excel. For the simulation part, data tables have been used to create 5. simulations to boost the precision of the simulated estimated value. The value of the bond in the structured product has also been calculated and the issue price of the product clearly seems to be significantly overpriced. That is the case even if the costs for the issuer for issuing and marketing the structural product are taken into account. The sensitivity of the estimated value is tested with respect to the level of the risk free rate, the correlations between the underlying indices, and the general volatility level and differences in the level of volatility among the underlying indices. This captures if the estimate is sensitive to the assumption chosen for the input data used in the model. It can also tell in general how realistic the assumptions of a constant volatility level and constant risk free rate are when pricing this kind of options. Even Side 4 af 53

5 Christian Kjølhede, Studienummer: CK9792 though all the input has effect on the price estimate, the effect is only small from changes in the risk free rate, moderate for changes in the correlation level, and only large for changes in the volatility level. However, considering even this, the overprice is still significant. Side 5 af 53

6 Christian Kjølhede, Studienummer: CK9792. Indledning. Introduktion Denne bachelorafhandling sætter fokus på Himalayaoptioner, som er en eksotisk optionstype, der modsat almindelige optioner baserer sit afkast på flere underliggende aktiver end ét (Overhaus, 22). Afhandlingen har til formål at vise, hvordan den gængse teori for prisfastsættelse af almindelige optioner kan bruges som udgangspunkt og modificeres til at fastsætte værdien af mere eksotiske optioner; I denne afhandling eksemplificeret ved himalayaoptioner. Afhandlingen introducerer først den generelle teori for, hvordan et derivat prisfastsættes ud fra at replikere dem med en portefølje og bygger derefter videre med modeller for prisfastsættelse af optioner. Udfordringen i afhandlingen ligger i, hvordan denne grundlæggende teori for prisfastsættelse af optioner kan tilpasses, så den kan bruges til at prisfastsætte himalayaoptioner, der har en mere kompliceret opbygning. Kompleksiteten sammenlignet med almindelige optioner ligger i, at himalayaoptioner består af en kurv af flere underliggende aktiver, som til en hvis grad korrelerer med hinanden. Desuden beregnes afkastet som et gennemsnit af flere afkast gennem himalayaoptionens levetid. Dette umuliggør en lukket metode for prisfastsættelse af optionen, som man normalvis bruger. I stedet kan man ved hjælp af Monte Carlo simulation estimere værdien for himalayaoptionen, idet man ved hjælp af Choleskys dekomposition kan inddrage korrelationen, som eksisterer mellem de underliggende aktiver (Hull, 28). Afhandlingen andevender denne teori til at opbygge en model, som kan prisfastsætte det strukturerede produkt PLUS Index 5 Super 2, der indeholder en bestemt variant af en himalayaoption. Yderligere præsenteres nogle forskellige varianter af himalayaoptioner, og hvordan disse adskiller sig fra hinanden. Værdien på det valgte strukturerede produkt, som er fundet ved hjælp af den opstillede model, samt nogle af forudsætningerne i modellen, testes efterfølgende for at vurdere modellens præcision og følsomhed..2 Motivation Grunden til, at netop denne afhandling er interessant kan begrundes både med, at emnet er teoretisk relevant samt ligeledes samfundsrelevant. Med teoretisk relevant menes, at afhandlingen tager udgangspunkt i den grundlæggende teori om optioner, og bruger denne som grundlag for at opbygge modeller, som kan prisfastsætte mere komplekse optioner. Dette sker ved hjælp af tilpasning af den opbyggede model, så den tager de hensyn, som lukkede modeller for prisfastsættelse af almindelige optioner ikke kan. Dette gælder problematikken med, at himalayaoptioner har flere underliggende aktiver, som korrelerer med hinanden og, at prisfastsættelsen derfor må tage højde for dette. Derfor må der i stedet estimeres en pris på optionen ved hjælp af teori om Monte Carlo simulation samt brug af Choleskys dekomposition for at inkludere det komplekse form for afkast på optionen samt effekten af korrelation mellem de underliggende aktiver. Dog er der stadig en klar sammenhæng med selve opbygningen af modellen for prisfastsættelse, idet den tager udgangspunkt i viden, som er kendt fra blandt andet Black-Scholes-modellen og binomialmodellen (Chance & Brooks, 2). Side 6 af 53

7 Christian Kjølhede, Studienummer: CK9792 Rent samfundsmæssig er afhandlingen relevant, da himalayaoptioner ligesom flere andre typer eksotiske optioner er blevet mere populære gennem de seneste år, og endda i høj grad er blevet solgt som en del af et finansielt produkt til private investorer under navnet strukturerede obligationer eller garantiobligationer. Disse produkter er for alvor kommet ind på det danske marked omkring årtusindskiftet, og den samlede mængde af disse strukturerede optioner er siden mangedoblet (Jørgensen, Nørholm, & Skovmand, 22). Alene i Danmark er der strukturerede obligationer i omløb for en samlet værdi på næsten 29 mia. DKK ultimo 22 (Boldt & Pedersen, 23). Trods krisen tegnes der stadig nye strukturerede obligationer i Danmark, blandt andet så sent som i starten af marts 23 (Danske Bank, 23). Desuden er PLUSinvest, som laves for BANKinvest, et dansk varemærke for strukturerede obligationer (PLUSinvest, 23). Den finansielle krise slog dog nogle skår til tilliden til sikkerheden ved strukturerede obligationer. Blandt andet ved Lehmann Brothers bankerot som medførte, at udstedte strukturerede obligationer fra Lehmann Brothers mistede al deres sikkerhed, hvorfor man næppe kunne kalde produkterne for garantiobligationer. Bare tre måneder forinden udgjorde forpligtelser på hybride finansielle produkter 36,6 mia. USD, hvoraf hovedparten af disse var strukturerede obligationer (Lehman Brothers Holdings Inc., 28). Selv om strukturerede obligationer stadig handles meget af private investorer, er der tale om et meget komplekst produkt. Derfor advarer SEC (U.S. Securities and Exchange Commission) også private investorer om uden videre at investere i disse produkter uden først at sætte sig grundigt ind i, hvordan de fungerer (Byrnes & Bloink, 2). For det første skal man være bekendt med den kreditrisiko, som man står overfor hos den investeringsbank, som udsteder obligationen. Desuden er det svært at gennemskue, hvor godt strukturerede obligationer har præsteret, og hvordan gevinsten beregnes. Det er derfor ligeledes set i et samfundsmæssigt perspektiv interessant at prøve rent faktisk at forstå de bagvedliggende mekanismer i et kompleks produkt, som en dem, der indeholder en himalayaoption..3 Metode Dette afsnit gennemgår en problemformulering for afhandlingen, der specificerer, formålet med afhandlingen samt, hvori udfordringen ligger. Der beskrives ydermere, hvordan afhandlingen er bygget op, hvilke softwareværktøjer, der er brugt som støtte til at nå frem til de fundne resultater, og der er foretaget afgrænsninger samt forudsætningsantagelser, som er nødvendige for afhandlingen..3. Problemformulering Formålet med denne afhandling er at dække emnet himalayaoptioner og den større kompleksitet, som disse har sammenlignet med almindelige optioner, fordi de har flere underliggende aktiver, som korrelerer med hinanden og et afkast, som beregnes på en anderledes måde, end ved almindelige optioner. Afhandlingen vil derfor beskrive flere af de typer af himalayaoptioner, som i dag findes, og hvor forskellen imellem dem ligger. Desuden vil afhandlingen ved et numerisk eksempel med udgangspunkt i et faktisk finansielt produkt vise, hvordan værdien af én af de beskrevne typer af himalayaoptioner kan estimeres. For at dette kan gøres, vil der indledningsvis beskrives grundlæggende teori for derivater og prisfastsættelse af disse. Med udgangspunkt i kendt options- og derivatteori vil afhandlingen efterfølgende forsøge at omsætte dette til brug for prisfastsættelse af himalayaoptioner, idet der tages højde for en underliggende kurv bestående af flere aktiver, som korrelerer indbyrdes. Dette vil Side 7 af 53

8 Christian Kjølhede, Studienummer: CK9792 kræve introduktion af Monte Carlo simulation og af Choleskys Dekomposition, som efterfølgende integreres i modellen, som er opstillet til at estimere værdien af himalayaoptionen i PLUS Indeks 5 Super 2. Efterfølgende vil målet være at teste følsomheden i den konstruerede model i forhold til det opnåede resultat. Opgavens store udfordring ligger i transformationen fra en model, der kan fastsætte en option med ét underliggende aktiv, til en model, som kan estimere værdien for en option med flere underliggende aktiver, hvis udviklinger simultant korrelerer med hinanden..3.2 Afhandlingens struktur Afhandlingen er inddelt i 4 hovedafsnit foruden den samlede konklusion. Første del af opgaven er indledende. Der er indledningsvist en introduktion til afhandlingen samt efterfølgende et motivationsafsnit, der vurderer opgavens relevans teoretisk set og set ud fra et samfundsmæssigt synspunkt. Desuden er der et metodeafsnit, som foruden dette afsnit indeholder en problemformulering, introduktion til anvendte sofwareværktøjer samt et afsnit, som gennemgår de afgræsninger, som er sat for opgaven og de forudsætninger, som er nødvendige at antage. Dette gælder både i forhold til generelle forudsætninger i optionsteorien og specifikke forudsætninger og afgrænsninger for denne afhandling. Afsnit to giver indledende en introduktion til derivatteori. Fokus ligger blandt andet på, hvordan et derivat er konstrueret, og hvordan derivater prisfastsættes. Efterfølgende er inddraget to modeller; Binomialmodellen og Black-Scholes-modellen, som bruges til at fastsætte prisen på et derivat i en henholdsvis diskret eller kontinuer proces. Ydermere er introduceret teori om Monte Carlo simulation samt Cholesky dekomposition. Det er efterfølgende vist, hvordan disse to elementer kan tilpasse ideen bag den grundlæggende Black-Scholes-model til at kunne estimere prisen på optioner med flere underliggende aktiver. I afsnit tre er introduceret nogle af de forskellige typer af himalayaoptioner, som eksisterer, og hvordan de adskiller sig fra hinanden i forhold til strukturen for deres afkast. Afsnit fire er en præsentation af det strukturerede finansielle produkt PLUS Index 5 Super 2, som indeholder en himalayaoption. Dette afsnit viser, hvordan man med software kan opbygge en model baseret på teorien fra afsnit to til at fastsætte værdien af en himalayaoptionen. Der er taget stilling til estimater for de enkelte parametre, som indgår i modellen, og fastsat en pris for det strukturerede produkt PLUS Index 5 Super 2. Efterfølgende er resultatets sensitivitet testet i forhold til de forskellige parametre, der er opstillet et konfidensinterval for resultatet og der er kommenteret på den samlede estimerede værdi af produktet PLUS Index 5 Super Software Til opsætningen af modellen til estimering af værdien af himalayaoptionen i PLUS Index 5 Super 2 er anvendt Microsoft Excel. Da man grundet korrelationerne mellem de underliggende aktiver er nødt til at estimere prisen ved hjælp af Monte Carlo simulation kræves der, at estimatet af værdien bygger på et gennemsnit af værdier fundet ved flere tilfældigt genererede scenarier. Det er derfor nødvendigt at programmere denne proces ved hjælp af datatabeller således, at modellen i Microsoft Excel er i stand til at kunne estimere værdien af himalayaoptionen baseret på den simulerede proces af mange forskellige scenarier for himalayaoptionens afkast. Side 8 af 53

9 Christian Kjølhede, Studienummer: CK Afgrænsninger of forudsætninger Selv om der i strukturerede obligationer bruges mange forskellige typer af eksotiske optioner vil denne afhandling alene fokusere på himalayaoptioner. Den vil introducere strukturen for forskellige typer af himalayaoptioner, der varierer i deres afkast, men selve opbygningen af modellen til værdiestimering er kun lavet til den type himalayaoption, som indgår i PLUS Index 5 Super 2. Nogle matematiske udledninger og processer i udledningen af modellerne er i bestemte tilfælde for enkeltheds skyld og af hensyn til manglende relevans for afhandlingen udeladt. Både generelt inden for optionsteori samt mere specifikt til de enkelte modeller er der en række forudsætninger, som man er nødt til at antage. De generelle forudsætninger for derivat- og optionsteori samt finansiering i al almindelighed er gennemgået i 2. Modelforudsætninger. Særlige forudsætninger, antagelser og afgrænsninger, som er gjort i forbindelse med input til modellen for udregningen af prisen for PLUS Index 5 Super 2 samt for selve udregningen er gennemgået i henholdsvis 4.2 Modelinput og 4.3 Opbygning af simulationsmodel. 2. Værdiansættelse af derivater Når der bruges modeller til at fastsætte værdien på et derivat tager man udgangspunkt i den teoretisk retfærdige værdi. Dette skyldes, at der er en række forudsætninger, som er gjort for den givne model, brugt til at finde prisen på derivatet. Disse forudsætninger kan være mere eller mindre i overensstemmelse med virkeligheden, hvilket også gør, at man kan se priser, der afviger fra den teoretisk retfærdige værdi i virkeligheden. Det kan skyldes faktorer, som man ikke kan indregne i modellen eller, at nogen af de antagelser, som man har gjort om virkeligheden ikke holder. I Dette afsnit er præsenteret to overordnede typer af modeller; binomialmodellen samt Black-Scholes-modellen. Desuden er der gjort diverse forudsætningsantagelser, som er nødvendige for modellerne. Samtidigt vil er der introduceret teori om Monte Carlo simulation samt Choleskys dekomposition, som er nødvendige for at kunne transformere den gængse teori til himalayaoptioner. Som udgangspunkt antages det i dette afsnit, at det underliggende aktiv er aktier, idet det er det mest almindelige underliggende aktiv og idet, at der for PLUS Index 5 Super er tale om aktieindeks, hvilket må antages bygge på samme bagvedliggende mekanismer. 2. Modelforudsætninger Dette afsnit er gennemgået de forudsætninger, som generelt gælder for de to modeller og for prisfastsættelse af derivater generelt. Disse antagelser er desuden brugt i resten af afhandlingen, men nogle af disse er testet i Følsomhedsanalyse for simulationsmodellen. 2.. De finansielle markeder er efficiente Det er en helt grundlæggende antagelse inden for finansiering, at de finansielle markeder er efficiente. Med dette menes, at markederne reagerer øjeblikkeligt på nye informationer, som har indvirkning på den fundamentale værdi for et værdipapir. Desuden vil det også betyde, at der kun vil være én pris for investeringer, som er lige gode. Er der prisforskel på forskellige markeder eller mellem forskellige investeringsmuligheder, vil der blive mulighed for arbitrage, hvor investorer, der ser dette kan købe Side 9 af 53

10 Christian Kjølhede, Studienummer: CK9792 de produkter, hvis pris ligger under deres fundamentale værdi og shortsælge produkter, hvis pris ligger over deres fundamentale værdi og opnå en ekstra risikofri gevinst. Denne arbitragemekanisme vil dermed korrigere ubalancerne, da der kommer et øget udbud af værdipapirer, som har en overnormal pris, hvilket presser deres pris ned til den fundamentale værdi. Det samme gør sig gældende med værdipapirer med undernormal pris, hvor en øget efterspørgsel vil sende prisen op til dens fundamentale værdi (Chance & Brooks, 2). Selv om man kan ræsonnere sig frem til, at det vil være rationelt, at værdipapirer altid har den fundamentale pris, og at markederne reagerer øjeblikkeligt på informationer, der ændrer den fundamentale værdi på værdipapirer, så har man i praksis kunnet finde flere eksempler på, at markedet ikke er totalt efficient, og at ubalancer opstår og endda kan forekomme længe. Dette har man blandt andet søgt at forklare ved flere adfærdsmæssige elementer, der gør, at investorer ikke altid handler rationelt (Ackert & Deaves, 2), som det helt grundlæggende antages for, at de finansielle markeder er efficiente Aktivets værdi følger en tilfældig kursudvikling Denne forudsætning omhandler kursudvikling for det underliggende aktivs værdi. Forudsætningen om, at et aktivs værdi følger en tilfældig kursudvikling bygger videre på forudsætningen om et efficient marked, idet man som sagt antager, at alle forventninger til et aktivs fremtidige værdi er indregnet i dets nuværende værdi. Derfor vil den forventede værdi ændre sig tilfældigt påvirket af ny information, som man ikke ellers ville have kunnet antage. Var dette ikke tilfældet ville markederne heller ikke handle rationelt og dermed heller ikke være efficiente (Ackert & Deaves, 2). Denne tilfældige udvikling måler man ud fra den afvigelse, som fx en akties kurs tager per tidsinterval. Da der er forskel i, hvordan dette tidsinterval defineres alt efter, hvilken model man tager udgangspunkt i, er dette gennemgået nærmere for de enkelte modeller Riskoneutral værdiansættelse Den mest grundlæggende forudsætning inden for derivatteori er, at alle investorer er risikoneutrale. Med dette menes, at man ikke vil have en større risikopræmie for at tage en større risiko, som man grundlæggende antager i værdiansættelse af aktiver efter fx CAPM (Bodie, Kane, & Marcus, 2). Det er i teorien om prisfastsættelse af optioner vist, at man er nødt til at antage, at dette ikke gælder, når man vil skabe lukkede modeller for at prisfastsætte derivater. Her må man tage udgangspunkt i, at det forventede afkast på alle værdipapirer i en risikoneutral verden antages at være lig med den risikofrie rente. Selv om der ikke er tale om en risikoneutral verden i virkeligheden, vil det være ekstremt kompliceret at finde et mål for folks risikoaversion, da den ikke bare ændrer sig fra person til person, men ligeledes er forskellig hos en enkelt person alt efter ens økonomiske situation, erfaringer med tidligere investeringer og den konkrete investering (Kahneman & Tversky, 979). Desuden har det rent resultatmæssigt ringe betydning, at modellen, som antager en risikoneutral verden bruges i en verden, hvor der er risikoaversion. Dette skyldes, at en risikoavers verden ville forvente en større værditilvækst på de underliggende aktiver, hvilket til gengæld også giver en stigende diskonteringsrente, som bruges til at tilbageskrive det fremtidige afkast for en option. I både Binomialmodellen og Black-Scholes-modellen er disse to effekter modsatgående og vil derfor delvist udligne hinanden (Hull, 28). Det er desuden i 2.2 Grundteori for prisfastsættelse af derivater vist, hvorfor man kan antage, at en risikoneutral værdiansættelse for optioner er rimelig. Side af 53

11 Christian Kjølhede, Studienummer: CK Optioner er europæiske Blandt simple optioner findes der henholdsvis europæiske og amerikanske optioner, der alene adskiller sig ved, at amerikanske optioner kan indløses før det tidspunkt, hvor optionen udløber, mens det for europæiske optioner kun er muligt at indløse optionen på udløbstidspunktet. Derfor giver amerikanske optioner en række ekstra overvejelser med, hvornår de skal indløses. Da dette ikke er relevant for denne afhandling, fordi himalayaoptionen ikke kan indløses før tid (PLUSinvest, 23), vil det ikke blive behandlet, og modellerne tager udgangspunkt i fastsættelse af europæiske optioner Ingen dividende på underliggende aktier Selv om langt de fleste underliggende aktier eller lignende udbetaler dividende tager hverken Binomialmodellen eller Black-Scholes-modellen i deres grundform højde for dette. Modellerne kan dog omdannes til dette formål, men dette vil ikke blive gjort, da det ikke har særlig relevans for denne afhandling og desuden ville gøre modellerne mere komplekse eller mere tidskrævende at bruge Ingen transaktionsomkostninger eller skatter I den virkelige verden bliver både udbytte fra værdipapirer samt afkast ved kursgevinster beskattet. Desuden betaler man oftest forskellige transaktionsgebyrer for at gennemføre handlerne. For at forenkle afhandlingen og gøre modellerne mere brugbare antages det derfor, at der hverken er skat eller transaktionsomkostninger. Selv om dette er langt fra virkeligheden, vil det ikke få en enorm indflydelse på de fundne resultater, idet der er tale om himalyaoptioner. Disse og andre eksotiske optioner bruges oftest i de strukturerede produkter til private investorer, og selv om det er et sekundært marked for disse, holder investorerne oftest produkterne til udløbsdatoen. Dette skyldes både, at der ved mange af produkterne enten er en bindingsperiode, hvor produkterne ikke kan indløses eller en tidlig indløsning medfører et gebyr. Desuden er det sekundære marked ikke særligt likvid, hvorfor sælger må forvente et større kurstab ved salg (Byrnes & Bloink, 2). Derfor er der ikke mange transaktioner med himalayaoptioner, og kun skat på det samlede afkast, som himalayaoptionen kan give ved udløb Konstant volatilitet Den mest alvorlige antagelse, som man gør sig, for at kunne etablere modeller til at prisfastsætte derivater er, at volatilitet for det underliggende aktivs kurs- eller værdiudvikling er konstant gennem hele derivatets levetid. Det har vist sig i høj grad at være forkert, hvorfor man ofte snakker om volatilitetssmil og volatilitetsskævhed. Dette kan også ses i, volatilitetsindex, der kan variere meget, hvorfor hele markedets volatilitet også ændrer sig over tid (Chance & Brooks, 2). For himalayoptioner er dette i høj grad en problemstilling, idet de ofte bruges i produkter, hvis løbetid er mellem 6 og år (Kaifosh, 2). Derfor er der rig mulighed for at volatiliteten kan ændres markant, hvilket i den grad ændrer værdien af himalayaoptionen. Det er dog meget svært at tage højde for en ændret volatilitet, idet denne fremtidige volatilitet lige som den fremtidige værdi ikke er kendt, hvorfor man er nødt til at antage en konstant volatilitet for de simple modeller for prisfastsættels af derivater. Side af 53

12 Christian Kjølhede, Studienummer: CK Konstant risikofri rente Da den risikofri rente ændrer sig hele tiden alt efter handlen på pengemarkedet, er det næppe en realistisk antagelse, at der vil være en uændret risikofri rente over hele perioden. Dette gælder især for Himalayaoptioner, som løber over flere år. Det har dog ikke en voldsom misvisende effekt, at den risikofri rente holdes konstant af to årsager: For det første vil renten på et længere løbende pengemarkedsprodukt eller en statsobligation være summen af de forventede korte renter for den samlede periode (Bodie, Kane, & Marcus, 2). Dermed kan forventningerne til ændringer i renten indregnes ved at bruge en længere løbende rente. For det andet kan man her igen bruge argumentet fra 2..3 Riskoneutral værdiansættelse om, at en ændret risikofri rente har mindre virkning, da den i prisfastsættelsesformlen både indgår som det forventede afkast og som diskonteringsfaktor, hvorfor de to effekter delvist udligner hinanden (Hull, 28). 2.2 Grundteori for prisfastsættelse af derivater Som eksempel på et derivat, er der her taget udgangspunkt i en option. Optioner bygger på underliggende aktiver. Derfor vil deres pris afspejle sig af udviklingen i det underliggende aktivs værdi, da udviklingen i denne værdi afgør, om optionen bliver in the money eller out of the money, hvorved der menes, om der vil være en gevinst ved at indløse optionen og dermed retten til at købe eller sælge det underliggende aktiv til en bestemt pris. Prisen for en option afhænger derfor af prisen på det underliggende aktiv, da den afgør, om der er en positiv forskel mellem indløsningsprisen og aktivets værdi (købsoptioner og salgsoptioner med hver deres fortegn), eller om optionen intet afkast giver, da man vælger ikke af indløse optionen, hvis afkastet er eller negativt (Chance & Brooks, 2). Dette afsnit viser, hvordan man ud fra antagelserne om risikoneutral værdiansættelse samt et efficient marked, hvor arbitrage ikke eksisterer, kan beregne prisen på en option ud fra, hvordan prisen på det underliggende aktivs værdi udvikler sig. Dette vises ud fra en forenklet udgave af binomialmodellen, hvor der, som navnet foreskriver, kun er to udfald. Der antages én tidsperiode, som ligeledes udgør optionens løbetid. I denne ene tidsperiode kan værdien på det underliggende aktiv, her eksemplificeret ved kursen på en aktie, som optionen bygger på, enten falde eller stige. I dette eksempel bruges en købsoption, hvorfor en stigende pris vil gøre, at optionen kan indløses med gevinst, hvorimod en faldende pris vil gøre, at optionen er værdiløs. Scenariet, hvis aktien stiger vil være u, mens scenariet for, at aktien falder vil være d. Disse får en værdi, der afspejler den faktor, med hvilken aktien enten falder eller stiger i perioden (Bodie, Kane, & Marcus, 2). Fx vil et d på,9 betyde, at aktiens værdi falder med %. Ved udledningen af binomialmodellen senere er det vist, hvordan disse faktorer kan tilpasses til at være lig med aktivets volatilitet. For at kunne fastsætte prisen på optionen er det nødvendigt at opstille en hedgeportefølje. Med dette menes en portefølje, der giver det samme afkast uanset, om prisen falder eller stiger. Når man antager, at de finansielle markeder er efficiente, og der derfor ikke er mulighed for arbitrage, så vil en gevinst, som er sikret uden risiko kunne betegnes som den risikofri rente. Denne portefølje opsættes på den ene side af køb af aktier i et bestemt selskab. På den anden side shortes eller skrives købsoptioner på aktien som købes. Da optionens værdi bestemmes direkte af den underliggende akties udvikling, og da et shortsalg af købsoptioner derfor har den modsatte effekt af køb af aktier, så kan der konstrueres en portefølje, hvor afkastet er det samme uanset, hvilken retning kursen udvikler sig i. Afkastet er den risikofri rente. Dette gøres ved at opsætte en ligning for, hvor værdien for en ukendt mængde af købte aktier per shortsolgte option i det ene scenarie for aktiekursens udvikling er lig det tilsvarende i det modsatte scenarie (Hull, 28). Side 2 af 53

13 Christian Kjølhede, Studienummer: CK9792 Notation: S er aktiens værdi ved tidsperiodens start. u er faktor for scenariet, hvor kursen går op, hvorfor S u er prisen for aktien i dette scenarie. d er faktor for scenariet, hvor kursen går ned, hvorfor S d er prisen for aktien i dette scenarie. er den mængde af aktier som købes per shortsolgt købsoption på aktien i porteføljen. T er antallet af tidsintervaller, hvilket her er lig ét. f er optionens værdi, hvor f u er dens værdi i scenarie u mens f d er dens værdi i scenarie d. r er den risikofri rente. Derfor er den løbende rente for perioden kendetegnet ved e r t, hvor summen af alle t er lig T, hvilket dog først har relevans med flere tidsintervaller. Fremtidsværdien af porteføljen i tilfælde af, at aktiens kurs stiger er derfor S u f u, mens den i tilfælde af, at aktiens kurs falder er S d f d. For at sammensætte en portefølje, hvor afkastet er ens uanset, om scenarie u eller d sker, sætter vi derfor de to funktioner lig hinanden. S u f u = S d f d Løser vi denne ligning for finder vi altså ud af, hvor mange aktier, som skal købes per shortsolgt købsoption, hvis man ønsker sig det samme afkast uanset udfaldet af aktiens kursudvikling, hvilket er givet som følge af ændringen i optionsprisen i forhold til ændringen i aktieprisen mellem de to scenarier. = f u f d s u s d Da man ved, at porteføljen giver det risikofri afkast med dette kan man bruge dette til at finde nutidsværdien på optionen. Hertil bruges funktionen for porteføljens fremtidsværdi i et tilfældigt af de to scenarier, da de jo begge har samme fremtidsværdig, som er lig den risikofri rente. Diskonteres denne med den risikofri rente, så vil den være lig værdien af den kalkulerede mængde af aktier per short solgte option minus værdien per option. Altså fremtidsværdi for begge scenarier er hver især lig nutidsværdien for porteføljen. S f = (S u f u )e rt Ved at isolere f og indsætte formularen for, bliver formlen f = e rt ( ert d u d f u + ( ert d u d ) f d) For forenkling introduceres variablen p, som substitut for ert d, hvor ved formlen kommer til at hedde: u d f = e rt (pf u + ( p)f d ), hvor p = ert d u d Når man kender scenarier for, hvor meget kursen på aktien kan svinge i løbet af perioden, kan man ud fra at konstruere en risikoneutral portefølje finde værdien af optionen. Det kan man, fordi man ved, hvor meget nutidsværdien af aktierne er, og man ved, hvor meget nutidsværdien af den samlede portefølje er, hvorfor man kan isolere f, som angiver nutidsværdien for optionen. Side 3 af 53

14 Christian Kjølhede, Studienummer: CK9792 p er kaldes den binomiale sandsynlighed og indregner sandsynligheden for scenariet, hvor aktiekursen stiger. Modsat giver ( p) så sandsynligheden for scenariet, hvor aktiens kurs falder i en risikoneutral verden (Chance & Brooks, 2), (Hull, 28). Derfor viser denne udledning, at værdien på en option er det forventede fremtidige afkast tilbagediskonteret med den risikofri rente. Grunden til, at det forventede fremtidige afkast på aktierne ikke her har relevans for optionens værdi er, at de som sagt i et efficient finansielt marked er indregnet i aktiens pris. Derfor skal de ikke medregnes igen. Ved salgsoptioner er den eneste forskel, at det her er et fald i prisen, der sender optionen in the money. Dette ændrer ikke noget ved den generelle model, der tager højde for begge udfald. Binomialmodellen og Black-Scholes-modellen er begge baseret på dette grundlæggende princip om, hvordan man prisfastsætter en option. Binomialmodellen bygger direkte videre på disse grundprincipper, der udvides til at gælde et infinit antal perioder. Black-Scholes-modellen er i stedet med udgangspunkt i denne teori en model udledt som en kontinuer model, hvor udgangspunkt er, at værdiændringer for det underliggende aktiv sker som en konstant udvikling. Argumentet for, at man kan antage, at det forventede afkast af en aktie er lig den risikofri rente kan vises ved at bruge den viden, som det allerede er kendt fra den ovenstående funktion, hvor man ved, at pf u + ( p)f d udtrykker den forventede værdi for f som det vægtede gennemsnit ud fra en binomial sandsynlighed. På samme måde kan man finde det vægtede gennemsnit ud fra en binomial sandsynlighed for en aktie, E(S T ), ved Da man ved, at p = ert d u d E(S T ) = ps u + ( p)s d kan man substituere dette udtryk ind i funktionen, reducere det og få E(S T ) = S e rt Derfor er det rimeligt at antage, at det forventede værditilvækst på en aktie per periode er lig den risikofri rente, som det er antaget under forudsætningen om risikoneutral værdiansættelse (Hull, 28). 2.3 Binomialmodellen Dette afsnit bygger videre på den grundlæggende teori for prisfastsættelse af optioner, som er gennemgået ovenfor. Man tager ligeledes udgangspunkt i, at der i hvert tidsinterval er to mulige udfald for aktiekursens udvikling. Her udvides modellen bare til at kunne dække flere perioder, hvor aktiekursen hver periode kan få to udfald, og hvor faktorerne d og u er de samme i alle perioder, hvilket vil sige, at man her antager en konstant volatilitet. Proceduren tager udgangspunkt i den helt samme model for prisfastsættelse, der som sagt beregner værdien af optionens nutidsværdi ud fra et vejet gennemsnit ud fra den binomiale sandsynlighed mellem de to mulige fremtidsværdier, som diskonteres med den risikofri rente. Antager man i stedet flere perioder, hvor hvert tidsinterval fortsat har to udfald, beregnes værdien af optionen i en given periode på præcist samme måde. Altså med udgangspunkt i de to mulige udfald i det efterfølgende tidsinterval. Tager man først fx udgangspunkt i en option på en aktie, der løber over to tidsperioder har den nu pludselig tre mulige udfald, da S du og S ud er samme værdi. Side 4 af 53

15 Christian Kjølhede, Studienummer: CK9792 Figur : Binomial udvikling i aktiekurs over tre tidsintervaller t= S t= S u S d t=t S u 2 S ud S du S d 2 T er her lig med to tidsintervaller og t er tidsintervallet på et givent tidspunkt. Nutidsværdien værdien af optionen i t= findes altså ved at bruge den tidligere introducerede model i 2.2 Grundteori for prisfastsættelse af derivater med S u og S d som input. Dette kan man dog ikke gøre, førend værdien af disse er kendt. Disse værdier beregnes så med samme model med henholdsvis S u 2 samt S ud som input i S u og med S ud samt S d 2 som input til S d (Chance & Brooks, 2). Sætter man disse processer sammen i én model ser den ud som følger: f = e 2r t (p 2 f u 2 + 2p( p)f ud + ( p) 2 f d 2) Denne tankegang kan bruges til at udvide modellen til at kunne håndtere er uendeligt antal tidsintervaller. Ganske enkelt skal modellen kunne fange alle mulige binomiale udfald, som aktien kan antage, veje deres forventede værdier ud fra den binomiale sandsynlighed og efterfølgende diskontere det hele til optionens nutidsværdi. Udtrykket f = ( n! j!(n j)! n T! j= t!(t t)! p t ( p) T t Max[; u t d T t S X])e Tr t, hvor p = ert d u d tæller de mulige udfald ved hver givet t, mens den resterende del af parentesen beregner afkastet vejet efter den binomiale sandsynlighed. e Tr t er diskontering af fremtidsværdierne til nutidsværdi. Et problem med binomialmodellen er, at man antager størrelsen for faktorerne u og d, hvilket er en rent teoretisk faktor, som skal afspejle aktiens volatilitet. Derfor bør disse to faktorer til at basere sig på aktiens volatilitet, som i praksis kan observeres (Chance & Brooks, 2). Dette gøres ved at bruge funktionen for aktiens forventede værdi, som blev præsenteret i afsnit 2.2 Grundteori for prisfastsættelse af derivater. E(S T ) = ps u + ( p)s d, hvor p = eu t d u d Ved på den modsatte side at udtrykke den forventede værdi, E(S T ), som en funktion af en forventet værditilvækst, μ, over tid. I 2.4. Proces for en akties tilfældige kursudvikling vises det, at en akties kursudvikling i en løbende proces afviger med σ t per tidsinterval. Variansen er derfor givet ved σ 2 t, hvilket vil svare til afstanden mellem d og u i hvert binomialt udfald. Ved at sætte formlen for aktiens varians i binomialmodellen lig med σ 2 t kan man udlede, at ved en given volatilitet, σ, er (Hull, 28): u = e σ t og d = e σ t Side 5 af 53

16 Christian Kjølhede, Studienummer: CK9792 Den matematiske udledning er her udeladt. 2.4 Black-Scholes-modellen I det foregående afsnit blev binomialmodellen til prisfastsættelse af optioner udledt og introduceret. Modellen er let forståelig og bygger direkte videre på den grundlæggende teori om prisfastsættelse af optioner. Den bliver dog let ekstremt kompleks at arbejde med, hvis man ønsker, at fastsætte prisen for en option med nøjagtighed i en sådan diskret model. Er dette nødvendigt behøves ekstremt mange små tidsintervaller, da kursen på aktier kan svinge betydeligt inden for ganske små tidsintervaller. Derfor bliver antallet af udfald kæmpe stort og dette gør modellen kompleks, hvorfor optionens pris tager langt mere tid at udregne. Black-Scholes-modellen tager, i stedet for tidsintervaller med to mulige udfald for aktiens kursudvikling, udgangspunkt en kontinuer proces, hvor kursen konstant bevæger sig ved at ændre sig inden for en bestemt varians. Denne kontinuere proces, som Black-Scholes tager udgangspunkt i gør, at den pris på en option, som Black-Scholes giver, svarer til den pris, som binomialmodellen konvergerer imod des flere tidsintervaller man deler optionens løbetid op i (Chance & Brooks, 2). Derfor giver Black-Scholes-modellen en mindre kompleks metode til at fastsætte prisen på optioner mere præcist. Udledningen af Black-Scholes-modellen tager udgangspunkt i ideerne fra 2.2 Grundteori for prisfastsættelse af derivater, men giver derudover teoretiske værktøjer, som er egnet for prisfastsættelse af himalayaoptioner, idet denne modeltype er bedre til simulation. Da optioner er baseret på værdien af det underliggende aktiv, er der først introduceret teori for et aktivs tilfældige kursudvikling, for at kunne beskrive, hvordan det påvirker optionen, hvilket eksemplificerer, hvordan processen for alle underliggende aktivers værdiudvikling ser ud. Som aktiv er der taget udgangspunkt i aktier Proces for en akties tilfældige kursudvikling Selv om en akties værdi alene bestemmes som diskrete værdier, som man også antager i binomialmodellen, så er det rimeligt at antage en kontinuer proces for prisudviklingen, idet kursen konstant kan bevæge sig med diskrete ændringer, hvilket gør binomialmodellen svag til at beskrive dette præcist. Som nævnt i 2..2 Aktivets værdi følger en tilfældig kursudvikling er processen for en akties kursudvikling tilfældig. Det skyldes, at alle forventninger til aktiens fremtidige værdi er inkorporeret i dens nuværende pris. Derfor har tidligere ændringer i aktiens kursværdi ingen indflydelse på senere kursændringer, hvilket også er betegnet som den svage form for markedsefficiens (Bodie, Kane, & Marcus, 2). Der er dog set eksempler på, at prisen ikke retter sig øjeblikkelig efter en begivenhed, der ændrer den fundamentale værdi på aktien, hvilket kan stilles som en kritik for, at enhver kursændring er uafhængig af tidligere kursændringer (Ackert & Deaves, 2). Det er dog en rimelig og nødvendig antagelse. En sådan tilfældig proces, hvor tidligere værdier ingen indflydelse har på, hvordan den fremtidige værdi bliver, kaldes en Markov-proces, hvoraf den mest almindelige er kendt som en Wiener-proces. Denne proces udvikler sig efter en standardnormalfordeling (Briys, Bellalah, Mai, & De Varenne, 998). På denne måde sker processen kontinuert, hvor x måler udviklingen ved en ændring et givent tidsinterval som følge af en standardnormalfordeling. x = ε t, hvor ε er en standardnormalfordeling med forventet værdi på og en standardafvigelse på, ɸ(, ). Des mindre værdier af t, som man måler, des mere kontinuer bliver processen. Denne Side 6 af 53

17 Christian Kjølhede, Studienummer: CK9792 udvikling giver altså et uendeligt antal udfald for hver bevægelse, hvor den binomiale tilgang kun gav to mulige udfald. I 2.2 Grundteori for prisfastsættelse af derivater blev det vist, at den forventede værdi på aktiens kurs i er lig dens nuværende værdi plus den risikofri rente. For at tilføje denne forventning kan man med baggrund i Wienerprocessen konstruere en generaliseret Wiener-proces med følgende to led: x = a t + bε t Hvor x beskriver den samlede kursændring ud fra henholdsvis a t, der er den forventede fremtidsværdi over tidsperioden (for optionsteori den risikofri rente), mens bε t udtrykker usikkerheden for aktiekursens udvikling, og størrelsen af b viser, hvor volatil aktien er. Antages en type af denne funktion, hvori t kan den udtrykkes på følgende måde: dx = a dt + b dz For at denne proces kan udtrykke udviklingen for en aktiekurs, er det nødvendigt at gøre den proportional med aktiens nuværende værdi, da dens forventede værdi er beskrevet som en procentdel af nutidsværdien. Derfor ganger man aktiens værdi beskrevet som S, på begge sider, da modellen så afspejler aktiens kursudvikling frem for kun kursændringerne. Faktoren b, udtrykker således aktiens volatilitet som funktion af aktiens kurs. Den forventede værditilvækst udtrykkes med µ, mens volatiliteten i procent udtrykkes som standardafvigelsen, σ (Hull, 28). ds = μsdt + σsdz Denne proces er også kendt som en Geometric Brownian Motion. Problemet ved denne proces til at beskrive de forventede afkast på en aktie er, at data har vist, at afkastene fra aktierne ikke kan antages at følge en normalfordeling. Man kan i stedet udtrykke afkastene som løbende afkast. Man finder altså den sats for afkast, som over løbende tid genererer det normalfordelte afkast ud fra en afkastrate som løbende tilskrives. Måden at gøre dette på er ved hjælp af den naturlige logaritme. Ser man på de lognormalfordelte afkast i stedet, passer de langt bedre med den normalfordeling, som er nævnt ovenfor. Skævheden, som er indbygget i en lognormalfordeling viser foruden, at man forventer flere positive afkast end negative, hvilket historisk set har været rigtigt. Desuden kan man med en lognormalfordeling heller ikke opnå en negativ pris på aktierne, hvilket stemmer overens med virkeligheden (Chance & Brooks, 2) Itôs lemma: Værdien af et derivat Værdien for et derivat kan ses som en funktion af tid og værdien af det underliggende aktiv, som her er beskrevet som aktiekursen. Itôs lemma tager udgangspunkt i en generaliseret Wiener-proces, hvor værdien af faktorerne a og b er forklaret som funktioner af tiden t og værdien på det underliggende aktiv x, der er den stokastiske variabel for funktionen for et derivats udvikling. dx = a(x, t) dt + b(x, t) dz Itôs lemma er den afledte funktion af denne og viser, hvor meget prisen på derivatet ændrer sig som følge af en minimal ændring i prisen på det underliggende aktiv. Dette er en helt essentiel egenskab, hvis man skal kunne udlede Black-Scholes-formlen. Selve udledningen af Itôs lemma vil ikke blive beskrevet i denne afhandling, men der vil i stedet vises, at den for den generaliserede Wiener-proces ser ud som følger: Side 7 af 53

18 Christian Kjølhede, Studienummer: CK9792 dg = G G dx + x t dt + 2 G 2 x 2 b2 dt Indsættes den kendte formel dx = a(x, t) dt + b(x, t) dz ind i stedet for dx, kan den fundne Itô-proces skrives som: dg = ( G G a + x t + 2 G 2 x 2 b2 ) dt + G x Ved at indsætte μs og σs for a og b kan processen skrives som: dg = ( G G μs + S t + 2 G 2 S 2 σ2 S 2 ) dt + G S b dz σs dz Denne proces er udgangspunktet for, hvordan fra Black-Scholes-modellens side fastsætter værdien på derivater Teori for prisfastsættelse af optioner i Black-Scholes Dette afsnit viser med den kontinuere tilgang, hvordan man prisfastsætter derivater ud fra at opbygge en risikofri portefølje af at shorte en option samt købe aktier i den tilsvarende aktie, så afkastet bliver lig den risikofri rente uanset om aktiens kurs stiger eller falder. Derved kan man på samme måde som i 2.2 Grundteori for prisfastsættelse af derivater isolere værdien af optionen på den ene side, hvorved prisen kan bestemmes under forudsætningen om et efficient marked. Den eneste store forskel til den binomiale tilgang er, at den risikofri portefølje kun holder et øjeblik, da der er tale om en løbende kursændring og ikke en ændring over et længere tidsinterval. Konstruktionen af denne risikofri portefølje tager udgangspunkt i Itôs lemma, som netop viser ændring i et derivats værdi som følge af en ændring i dets underliggende aktiv. Her beskriver funktionen dg altså funktionen for derivatet, df (Hull, 28). Den skrives i diskret form: f = ( f f μs + S t + 2 f 2 S 2 σ2 S 2 ) t + f S σs z Da det er z, der i Wiener-processen afspejler variansen eller usikkerheden opnår man en risikofri portefølje ved at denne er lig, da det blev vist i 2.4. Proces for en akties tilfældige kursudvikling, at den forventede kursændring foruden usikkerheden er lig den risikofri rente. Hvis porteføljens afkast er givet ved Π kan afkastet af porteføljen, som består af en shortet købsoption og en mængde aktier udtrykkes som: Π = f + f f S, hvor er mængden af købte aktier. Ændringen i afkastet er givet ved S S Π = f + f S per tidsinterval. Ved at indsætte vores formel for Itôs lemma ind for f samt vores S formel for Geometric Brownian Motion i en diskret form ( S = μs t + σs z ) kan man omskrive funktionen til: Π = (( f f μs + S t + 2 f 2 S 2 σ2 S 2 ) t + f S Hvilket kan reduceres, så z elimineres, og funktionen bliver: Π = ( f t + 2 f 2 S 2 σ2 S 2 ) t f σs z) + (μs t + σs z) S Side 8 af 53

19 Christian Kjølhede, Studienummer: CK9792 Da man nu har elimineret z er der tale om en risikofri portefølje, hvor afkastet for en given tidsperiode derfor er lig den risikofri rente, r (som er den løbende rente, hvorfor den beregnes som r = ln( + r nominel ) ): Π = rπ t Ved at indsætte ovenstående funktion i stedet for Π samt erstatte Π med dens funktion f + f S S, så får man funktionen: ( f t + 2 f 2 S 2 σ2 S 2 ) t = r ( f + f S) t S I denne funktion kan man nu isolere f, og derved har man på samme måde som i 2.2 Grundteori for prisfastsættelse af derivater en generel model til at fastsætte prisen på et derivat. f f + r S t s + 2 f 2 S 2 σ2 S 2 = f r Denne funktion er Black-Scholes-modellen, der ligesom med binomialmodellen fastsætter nutidsværdien på optionens forventede fremtidsværdi tilbagediskonteret med den risikofri rente. Modellen kan omformes til forskellige typer af simple optioner eller andre derivater, hvor der kun er et underliggende aktiv. Alt efter, hvordan afkastet bestemmes for det givne derivat kan modellen opbygges ud fra denne grundlæggende model. Det er dog ikke muligt at bruge denne model til at fastsætte prisen på en himalayaoption, da der er flere underliggende aktiver og disse internt korrelerer med hinanden. Her er dog alligevel vist nogle vigtige pointer, som kan bruges til at lave en model for himalyaoptioner. Der er nemlig bevist, at det underliggende aktiv følger en kontinuer proces, der kan bekrives som en Geometric Brownian Motion, ds = μsdt + σsdz. Man ser også, at ligeledes med denne kontinuere tilgang er derivatets nutidsværdi lig dets forventede fremtidige værdi, som følge af det underliggende aktiv, tilbagediskonteret med den risikofri rente. Det er derfor bevist, at man med brug af Geometric Brownian Motions for de underliggende aktiver kan se deres fremtidsværdi, hvorudfra en options afkast kan beregnes og tilbagediskonteres til den teoretisk retfærdige værdi for optionen, som det blev gjort i 2.2 Grundteori for prisfastsættelse af derivater. Med udgangspunkt i disse pointer kan man præsentere Monte Carlo simulation, der giver en åben metode til at estimere prisen på derivater, hvilket kan anvendes til estimering af værdien på himalayaoptioner. 2.5 Monte Carlo simulation Når noget påvirkes af en variabel, hvor man ikke kender udfaldet, er det muligt at bruge Monte Carlo simulation til at imitere denne usikkerhed. Ved en Monte Carlo simulation genererer man en række tilfældige værdier, der skal repræsentere variablens udfald i et givet scenarie (Balakrishnan, Render, & Stair Jr., 27). Ved at gentage denne proces til mange scenarier ender man op med et gennemsnit, der konvergerer hen imod den forventede værdi for denne stokastiske variabel. Monte Carlo simulation er altså et godt redskab til at simulere en udvikling, som man ikke med sikkerhed kender. Side 9 af 53