Aalborg universitet. P4-4. semestersprojekt. Optionsteori Optioner på valuta

Transkript

1 Aalborg universitet P4-4. semestersprojekt Optionsteori Optioner på valuta 25. maj 2012

2

3 AAUINSTITUT FOR MATEMATISKE FAG TITEL: Optioner på valuta PROJEKT PERIODE: Fra 1. februar 2012 til 25. maj 2012 PROJEKTGRUPPE: Marita Stavø Johansen Jacob Bitsch Nørgaard VEJLEDER: Lasse Bork OPLAGSTAL: 5 ANTAL SIDER: 47 Aalborg den 25. maj 2012 Marita Stavø Johansen Jacob Bitsch Nørgaard c Gruppe G3-117b MAT-ØK ii

4

5 Synopsis I dette projekt fokuseres der på optioner på valuta. For at forstå baggrunden for handel med værdipapirer starter projektet med en gennemgang af centrale principper indenfor optionsteori. Her beskrives bl.a. Put- og Call-optioner og de teorier, der knytter dem sammen. For at kunne få en simpel indgang til, hvordan optioner prisfastsættes gennemgås Binominal modellen. Dernæst introduceres Brownian motion for at kunne gå videre til prisfastsættelse af optioner med Black-Scholes modellen. Projektet går derefter videre med at udbygge teorien for at kunne prisfastsætte optioner på valuta. Derefter introduceres volatilitet, hvilket fører projektet videre til implicit volatilitet. Som en praktisk anvendelse af teorien bliver volatilitets smilet på FX-optioner undersøgt. Der kan her konkluderes, at der er en sammenhæng mellem teori og praksis. Til sidst introduceres enkelte strategier indenfor hedging. 1

6

7 Indhold Indhold 3 1 Indledning Problemformulering Problemstilling Optionsteori Arbitrage Optioner Definitioner og begreber Værdi af optioner Værdien over tid Ændringer i prisen på det underliggende aktiv Put-Call pariteten Prisfastsættelse En-periode binominal Tilføjelse af flere perioder Black-Scholes Markov processer Den simple Brownian motion Brownian motion Ito s lemma Stokastisk modellering af aktiver Black-Scholes ligningen

8 INDHOLD 4 Valuta Prisfastsættelse af FX-optioner Formlerne Volatilitet Implicit volatilitet Volatilitets smil Beregning af implicit volatilitet Data Volatilitets periodestruktur The Greeks Delta Gamma Vega Theta Hedging Put- og Call-optioner som forsikring Delta hedging Konklusion 41 Litteratur 43 4

9 1 Indledning Finansielle derivater er et meget relevant emne indenfor investeringsteori. Der er mange forskellige typer af finansielle derivater, men de deler alle sammen den egenskab, at deres værdi er afledt af værdien af et underliggende aktiv. Prisen på derivatet følger derfor den samme prisudvikling som det underliggende aktiv selv. Et stort problem er at forudsige fremtiden og gætte hvilke aktiver, der vil stige i pris og hvilke, der vil falde. Hvorvidt man tjener penge afhænger af ens evner til at gøre netop dét. Dette er også grunden til, at der er investeret meget tid og energi i at udvikle en matematisk teori som kan forudsige derivaters prisudvikling. 1.1 Problemformulering Hvordan kan prisudviklingen forudsiges på det finansielle marked? Problemstilling Til at besvare dette er følgende problemstillinger opstillet. Hvordan kan finansielle aktiver modelleres? Hvad motiverer disse modeller? Kan markedets forventninger til et aktivs fremtidige afkast beregnes? Hvordan stemmer de teoretiske modeller overens med den virkelige verden? Hvordan minimeres de risici, der er forbundet med investeringer i optioner? 5

10

11 2 Optionsteori Der vil altid være usikkerhed omkring, hvordan priser udvikler sig, da de fastsættes af markedsmekanismer. Optioner giver muligheden for at sælge eller købe aktiver på et fremtidig tidspunkt til en allerede fastlagt pris. Dette kapitel bygger på [David G. Luenberger, 2009, kapitel 1, 11 og 12] og [John C. Hull, 2009, kapitel 12] 2.1 Arbitrage Arbitragemuligheder kan kort defineres som at tjene penge uden egentlig at investere noget. Vil vi nu give et eksempel der illustrerer en arbitragemulighed. Eksempel 1 Man kan låne penge i et pengeinstitut #1 til 5 % i rente og sætte disse penge på en konto i pengeinstitut # 2 til en rente på 7 %. Hvis man fx. låner 10 kr. over en periode i pengeinstitut #1 og indsætter dem i pengeinstitut #2 så har man efter perioden en gæld på 10.5 kr. Tilsvarende har man 10.7 kr. på kontoen i pengeinstitut #2. Når gælden er betalt, har man et risikofrit overskud på 0.2 kr. 20 øre. Dette overskud er risikofrit, hvilket vil sige, at man kan låne = 10 mio. kr. og ende med et risikofrit overskud på 10 mio. kr. (7% 5%) = , altså en indtjening på 2% pr. periode uden risiko. Antagelsen om at der ikke eksisterer arbitragemuligheder kaldes no-arbitrage. Det er et teoretisk begreb, som bruges i økonomi. Man antager, at der ikke eksisterer nogle arbitragemuligheder i markedet for at garantere, at priser på forskellige aktiver opfører sig rationelt. Dette vil vi antage igennem den teoretiske del af projektet. 7

12 KAPITEL 2. OPTIONSTEORI 2.2 Optioner En option er retten, men ikke forpligtelsen til at købe eller sælge et aktiv på nogle bestemte vilkår. Oftest har aktivet en specificeret pris, og er gyldig over en specificeret tidsperiode. En options underliggende aktiv kan blandet andet være aktier, varer eller valuta Definitioner og begreber Vi vil her komme med nogle definitioner på begreber, der bruges igennem projektet. Præmien er prisen på optionen. På tidspunkt t 0 er præmien for en Call-option C 0, og P 0 for en Put-option. Strike pris (K) er prisen en option giver rettighed til at købe eller sælge et aktiv til. Spot pris (S) er det underliggende aktivs værdi. Spot prisen ved optionens start betegnes S 0, på tidspunkt t betegnes den S t, og S T ved udløb. Tid til udløb er den tid som optionen løber over, hvilket vil sige, hvor lang tid den er gyldig. Denne måles igennem projektet i år. På et år regnes der med 252 handelsdage (21 pr. måned). Exercise er det begreb, der bliver brugt om at udnytte den ret som optionen giver. En Call-option er en option, der giver retten til at købe et aktiv til en angivet strike pris, inden, eller på udløbsdato (T ). Optionens løbetid betegnes t. En Put-option er en option, der giver retten til at sælge et aktiv til strike prisen, inden eller på udløbsdato. Der er to forskellige konventioner mht. hvornår optioner kan exercises. Amerikanske optioner kan exercises på et hvilket som helst tidspunkt inden udløbstidspunktet. Europæiske optioner kan kun exercises på udløbstidspunktet. 2.3 Værdi af optioner En Call-options værdi på et givet tidspunkt kan bestemmes ved formlen 8

13 2.3. VÆRDI AF OPTIONER C = max(0, S K), der betyder at C er lig med maksimum af enten 0 eller S K. Hvis S < K er værdien 0, hvis S > K øges værdien af optionen lineært med prisen. En Put-options værdi på et givet tidspunkt kan ligeledes bestemmes ved formlen P = max(0, K S). Der er tre begreber, der bruges til at henvise til, om en option giver overskud eller ej. Hvis spotkursen for det underliggende aktiv i en Call-option, på et givet tidspunkt, er højere end strike prisen siges optionen at være in-the-money; der er udsigt til en gevinst. Er spotkurs og strike prisen den samme, er optionen at-the-money. Hvis spotkursen er lavere end strike prisen er den out-of-themoney; der er ikke fortjeneste. For Put-optioner gælder det omvendte, dvs. at spotkurs er lavere end strike prisen, når optionen er in-the-money Værdien over tid Amerikanske optioner har en værdi i hele tidsperioden, idet de kan exercises på hvilket som helst tidspunkt i hele løbetiden. Europæiske optioner, som kun kan exercises på udløbstidspunktet, har en potentiel værdi igennem hele perioden. En options værdi er afhængig af, hvor lang tid der er til, at den udløber. Længere tid til udløb giver aktivet mere tid til at øges i værdi. Denne effekt er mindre når differensen mellem S og K er stor. Når S er meget mindre end K, er chancen for at S vil stige over K lille. Når S er meget større end K, mindskes fordelen i at eje optionen frem for selve aktivet Ændringer i prisen på det underliggende aktiv Udsvingningerne i prisen på det underliggende aktiv kan påvirke værdien af en option. Hvis to optioner har lige lang tid til udløb, men prisen på de underliggende aktiver svinger forskelligt, har de også forskellig chance for at stige i pris. Store svingninger i prisen giver en større tilbøjelighed til, at aktivets værdi stiger til over strike prisen. Man kan derfor forvente, at værdien af en Call-option øges med udsvingningerne i prisen på det underliggende aktiv. 9

14 KAPITEL 2. OPTIONSTEORI Put-Call pariteten For Europæiske optioner er Put-Call pariteten den teoretiske sammenhæng mellem værdien for Put- og Call-optioner for samme aktiv og med samme tid til udløb. Sammenhængen findes i det faktum at kombinationen af en put-option, en call-option og et risikofrit lån har et afkast lig med det underliggende aktiv. Dette skrives som C P + dk = S, hvor dk er et risikofrit lån. 2.4 Prisfastsættelse Det er vanskeligt at sætte en pris på den rettighed som man ikke ved, hvad er værd på et senere tidspunkt. Der findes mange metoder til at prisfastsætte en option. Disse er bl.a. baseret på forskellige antagelser om markedet som fx, hvordan priser på aktier opfører sig og individuelle præferencer. Vi vil igennem dette afsnit beskrive, hvordan man kan give nogle bud på, hvordan man kan bestemme teoretiske værdier for en options pris. Den første model som introduceres til dette er binominalmodellen. Dette er en model, hvor tiden er diskret og aktivets pris, én periode frem, kun kan antage to forskellige værdier En-periode binominal Prisen har i en binominalmodel to muligheder; op (u) eller ned (d). Antaget, at u 1, 1 d og at aktivets værdi ved periodens slutning er enten us eller ds med sandsynlighederne hhv. p og 1 p, 1 p 0. Vi antager også, at man i perioden kan investere i et risikofrit aktiv med afkast, r, og definerer vækstfaktoren R := 1 + r. For at undgå arbitrage skal u R d. Vi antager derudover, at der er en Call-option på dette aktiv med strike prisen K, og at optionen udløber ved slutningen af perioden. Antaget at vi kender aktivets værdi S, kan vi bestemme aktivets værdi ved periodens udløb, optionens værdi ved periodens udløb og værdien af det risikofrie aktiv. Vi ønsker derved at kunne bestemme Call-optionens værdi ved periodens start, C. Ved slutningen af perioden er værdien af Call-optionen enten C u = max(us K, 0) 10

15 2.4. PRISFASTSÆTTELSE eller C d = max(ds K, 0). Ved at kombinere disse to, kan vi konstruere et mønster for et hvilket som helst udfald. Antag, at der investeres i et aktiv for x kroner, og at der investeres i det risikofrie aktiv for b kroner. Disse kombineres til en portefølje. I den næste tidsperiode vil porteføljen have værdien ux + Rb eller dx + Rb. Dette giver ux + Rb = C u og dx + Rb = C d. Ud fra disse fire ligninger kan værdien af porteføljen bestemmes, som således bliver x + b = 1 R ( R d u d C u + u R ) u d C d. Da vi tidligere har antaget, at der ikke er arbitragemuligheder ved vi, at prisen på Call-optionen bliver C = 1 R ( R d u d C u + u R ) u d C d. (2.1) Denne portefølje, der replikerer udfaldet for optionen, kaldes ofte den replikerende portefølje. Vi definerer q := R d u d 0 q 1. Fra den tidligere antagelse u R d følger det, at 0 < q < 1. q kan således ses som en sandsynlighed. Prisen på en Call-option løbende over en periode i en binominalmodel, kan således findes vha. C = 1 R (qc u + (1 q)c d ), hvor q er den risikoneutrale sandsynlighed. 11

16 KAPITEL 2. OPTIONSTEORI Figur 2.1: Binominal modellering af et aktiv [David G. Luenberger, 2009] Tilføjelse af flere perioder Ved at udnytte de samme principper som vi benyttede for at finde prisen på Call-optionen én periode frem i afsnit 2.4.1, kan man finde prisen for en option to perioder frem. Vi definerede tidligere q := R d u d. Vi kender optionens potentielle værdier efter to perioder C uu = max(u 2 S K, 0) C ud = max(uds K, 0) C dd = max(d 2 S K, 0). Vha. af formlen fra afsnit får man, at C u = 1 R (qc uu + (1 q)c ud ) og C d = 1 R (qc ud + (1 q)c dd ). 12

17 2.4. PRISFASTSÆTTELSE Ved at anvende formlen igen fås, at C = 1 R (qc u + (1 q)c d ). Denne metode kan tilsvarende anvendes, hvis der er tale om flere perioder. 13

18

19 3 Black-Scholes I starten af 1970 erne opnåede Fischer Black, Myron Scholes og Robert Merton banebrydende resultater i at prisfastsætte optioner. Dette involverede modellen der nu er kendt som Black-Scholes (eller Black-Schols-Merton) modellen. Deres arbejde har haft, og har, stor indflydelse på, hvordan optioner prisfastsættes. Dette kapitel bygger på [John C. Hull, 2009, kapitel 12 og 13] samt [David G. Luenberger, 2009, kapitel 13]. 3.1 Markov processer En variabel, hvis værdi ændres tilfældigt over tid siges at følge en stokastisk proces. En stokastisk proces kan være tidsdiskret eller tidskontinuert. Tidsdiskret vil sige, at variablens værdi kun forandres ved faste punkter af tiden, hvor forandring i en tidskontinuert kan ske når som helst. Den kan også være diskret eller kontinuert i værdi. En Markov proces er en stokastisk proces, hvor den nuværende værdi af en variabel er den eneste der er relevant for at forudsige den næste værdi. Tidligere udvikling af variablen, og hvordan den endte hvor den er i dag, er irrelevant. Priser på aktier antages, at følge Markov processen [John C. Hull, 2012, kapitel 12]. Hvis aktiepriser følger denne proces, vil det sige, at prognoser for den fremtidige pris er upåvirket af prisen i den foregående uge, måned eller år. Det eneste der er relevant er prisen lige nu. Da prognoser for fremtiden er usikre, bliver de udtrykt ved hjælp af sandsynlighedsfordelinger. 15

20 KAPITEL 3. BLACK-SCHOLES 3.2 Den simple Brownian motion Den simple Brownian motion, dz, har en drift på 0 og en varians på 1. En drift på 0 betyder, at den forventede værdi af z er lig med dens nuværende værdi. En varians på 1 betyder, at forandring i en stokastisk variabel, z over et tidsinterval med længde T er lig med T. 3.1 Definition En diskret stokastisk process z er en simpel Brownian motion, hvis den har følgende egenskaber. 1. Forandringen i z over et lille tidsinterval t er z = ɛ t (3.1) hvor ɛ er normalfordelt på N(0, 1). 2. Værdierne for z på forskellige tidsintervaller er uafhængige. Fra egenskab 1. følger det at z også er normalfordelt, med Middelværdi af z = 0 Standardafvigelse af z = t Varians af z = t. Forandringen i z over et længere tidsinterval T, angivet ved z(t ) z(0), kan betragtes som en sum af ændringer i z over N tidsintervaller med længde t, hvor Derfor bliver N := T t. z(t ) z(0) = N ɛ i t, (3.2) hvor ɛ i er fordelt på N(0, 1). Fra den simple Brownian motions egenskab nr. 2, følger det at ɛ i er uafhængige. Fra ligning 3.2 ses det, at z(t ) z(0) er normalfordelt med z når t 0 noteres med dz. i=1 Middelværdi af [z(t ) z(0)] = 0 Varians af [z(t ) z(0)] = N t = T Standardafvigelse af [z(t ) z(0)] = T Tidligere har de processer, der er blevet beskrevet været diskrete. I afsnit 3.3, samt de efterfølgende afsnit, vil processerne være kontinuerte. Dette gøres for at opnå en større fleksibilitet og præcision. 16

21 3.3. BROWNIAN MOTION 3.3 Brownian motion En Brownian motion, dx, har en drift på a og en varians på b Definition En Brownian motion for en variabel x defineret fra dz kan skrives dx = adt + bdz, (3.3) hvor a og b er konstanter. Definitionen indikerer, at x har en forventet drift på a pr. tidsenhed. Uden det andet led bdz står dx = a tilbage. Integreres dette med hensyn til t fås dt x = x 0 + at, hvor x 0 er værdien ved t = 0. dz-leddet er en Brownian motion med standardafvigelse 1, og det følger derved, at Std[b] = b. For et lille tidsinterval dt er forandringen i x-værdien givet ved 3.1 og 3.3. hvor ɛ N(0, 1). dx = adt + bɛ dt, (3.4) Figur 3.1: Brownian motion med drift a=0.3 og varians b=1.5 [John C. Hull, 2009, s. 264]. 17

22 KAPITEL 3. BLACK-SCHOLES 3.4 Ito s lemma En Brownian motion kan generaliseres til en Ito proces, hvilket er en proces der ofte bruges til at beskrive adfærden af finansielle aktiver. Parametrene a og b er funktioner af værdien af den underliggende variabel x og tiden t. Både forventet drift og varians afhænger af tiden t. dx = a(x, t)dt + b(x, t)dz. (3.5) 3.1 Sætning (Ito s lemma) Antag, at værdien af en variabel x følger Ito processen dx = a(x, t)dt + b(x, t)dz, hvor dz er en Brownian motion og a og b er funktioner af x og t. Variablen x har en drift på a og en varians på b 2. Ito s lemma siger at en funktion G af x og t følger processen dg = ( G δx a + G x ) G 2 x 2 b2 dt + G bdz (3.6) x G følger således en Ito proces med drift G x a + G x G 2 x 2 b2 og varians ( ) 2 G b 2. x Hvis man betragter en Brownian motion med drift på µ og varians på σ 2 og anvender Ito s lemma, fås ( G G dg = µs + S t ) G 2 S 2 σ2 S 2 dt + G σsdz (3.7) S En udledning af Ito s lemma kan findes i [John C. Hull, 2009, kapitel 12 s. 275]. Dette resultat er vigtig for udledningen af Black-Scholes ligningen. 3.5 Stokastisk modellering af aktiver Stokastisk modellering af aktiver anvendes til at sætte sandsynligheder på de påvirkninger som man ikke kan gøre rede for på andre måder. 18

23 3.6. BLACK-SCHOLES LIGNINGEN Antag at der over en periode havde været observeret et mønster i et aktivs prisudvikling. Dette ville gøre, at man kunne forudsige, hvornår aktivet ville stige i værdi. Lige inden at aktivet burde stige i værdi ville spekulanter opkøbe store mængder af aktivet. Derved hæves prisen på aktivet op over det niveau som det tidligere havde ligget på og mønsteret ville således være brudt. Dette er selvfølgelig under antagelsen af, at der på markedet er velinformerede spekulanter. Andre ting der gør, at aktiver opfører sig stokastiske er, at priserne bliver påvirket af folks følelser, teorier og håb om fremtiden. Disse er meget komplekse at modellere, hvis ikke umulige. Brownian motion har tidligere været anvendt til beskrivelsen af pollenpartiklers bevægelse i vand samt støvpartiklers bevægelse igennem en gas. En af årsagerne til, at man anvender Brownian motion til at modellere aktiver skyldes, at der er ligheder mellem partiklernes bevægelse og prisudviklingen på finansielle aktiver Gasmolekylerne er mindre en støvpartiklen og bevæger sig i forskellige, tilfældige retninger og med forskellige hastigheder. Man kan ikke umiddelbart observere gasmolekyler, da disse er for små, men man kan observere støvpartikler. Når de kollidere med støvpartiklen, kan man observere, at denne tilsyneladende bevæger sig tilfældigt gennem gassen med små rystende bevægelser i tilfældige retninger. Dette er analogt med det der sker i de finansielle markeder. Priserne på aktiverne bevæger sig på samme måde som støvpartiklen, men under indflydelse af investorer, der investerer forskellige beløb på tilfældige tidspunkter og i tilfældige aktiver. En anden grund til at bruge Brownian motion er pga. bekvemmelighed. Den er nem at modellere samt at den afledte mht. tid af en Brownian motion eksisterer overalt og er kontinuert. Det er en tilnærmelse af rigtige vilkårlige processer som fx aktiemarkedet. Man kan argumentere for, at Brownian motion ikke kan bruges til at modellere finansielle aktiver. Dette skyldes, at Brownian motion er en tidskontinuert stokastisk proces og finansielle markeder til dels er diskrete [Wikimedia Foundation Inc., 2012a]. Kombinationen af bekvemmelighed og den gode tilnærmelse til de finansielle markeder gør at vi vil benytte den på trods af at den ikke er diskret. 3.6 Black-Scholes ligningen Lad S være prisen på det underliggende aktiv, hvor prisen styres af en Brownian motion z over tiden [0, T ]. ds = µsdt + σsdz. (3.8) Antag, at der inddrages et risikofrit aktiv B, med kontinuerlig rente tilskrivning r. Værdien af B opfylder db = rbdt. 19

24 KAPITEL 3. BLACK-SCHOLES 3.2 Sætning (Black-Scholes ligning) Antag, at prisen på et underliggende aktiv styres af 3.8, og at renten på det risikofrie aktiv er r. Optionen på dette aktiv har prisen f(s, t), som opfylder den partielle differentialligning f t + f S rs f S 2 σ2 S 2 = rf. Bevis Fra Ito s lemma 3.7 har vi, at dg = ( G t + G S µs ) G 2 S 2 σ2 S 2 dt + G µsdz (3.9) S Vi definerer en funktion U(t), en replikerende portefølje af det underliggende aktiv S og og et risikofrit aktiv B. Til hvert tidspunkt t vælges en mængde x t af S og en mængde y t af B, som giver porteføljen en totalværdi U(t) = x t S(t) + y t B(t). Det antages i Black-Scholes ligningen, at værdien af en replikerende portefølje U(t) og værdien af optionen f(s, t) er ens. Mængderne x t og y t skal derfor vælges så U(t) = f(s, t). Fra ligning 3.3 fås den afledte af U du = x t ds + y t db, der udvides til du = x t ds + y t db = x t {µsdt + σsdz} + y t rbdt = (x t µs + y t rb)dt + X t σsdz. Koefficienterne fra 3.9 og 3.1 matches og derved fås Siden G = x t S + y t B og G = f, er y t = 1 B x t = f S. (3.10) [ f(s, t) S f ]. (3.11) S Ligningerne 3.10 og 3.11 substitueres ind i ligning 3.1 og dermed fås 20 f S µs + 1 [ f(s, t) S f ] rb = f B S t + f S µs f S 2 σ2 S 2, (3.12)

25 3.6. BLACK-SCHOLES LIGNINGEN som til sidst giver f t + f S µs f 2 S 2 σ2 S 2 = rf. (3.13) Dette er Black-Scholes partielle differentialligning. 21

26

27 4Valuta Dette kapitel beskæftiger sig med valuta og udviklingen af en model til at prisfastsætte europæiske Call-/Put-optioner på valuta. Disse kaldes også for FXoptioner (Foreign Exchange options) eller Currency options. Kapitlet bygger på [John C. Hull, 2012, kapitel 16] samt [Lane Hughston, 1999, kapitel 14]. Valuta er det betalingsmiddel, der bruges i dets tilhørende land. Det er denne funktion, der motiverer valutakryds. Et valutakryds angiver prisen for en given valuta. Et eksempel på et valutakryds er USD/EUR. Dette angiver prisen i euro kroner for en dollar. Spekulation i valuta er ikke meget forskellig fra andre investeringer. Hvis man har en mistanke om, at euroen vil blive styrket overfor dollaren ( USD > 0) i den næste EUR periode, kan man købe dollars og holde dem i euro. Når valutakrydset svækkes, kan man veksle euro til dollars og betale lånet tilbage. Gevinsten kommer fra, at man har kunnet købe flere dollars for euro [Jørgen Rasmussen, 2012]. Dette benyttes bl.a., når man handler på tværs af landegrænser, men også til spekulation. En kvotering er den måde, man noterer et valutakryds. Når man kvoterer et valutakryds, kan det gøres i to forskellige former. Indlandsk valuta målt i udenlandsk valuta eller omvendt. I Danmark kvoteres valutakryds traditionelt med DKR/udenlandsk valuta. 4.1 Prisfastsættelse af FX-optioner Det underliggende aktiv, i forhold til FX-optioner, er renten. Ved prisfastsættelse af FX-optioner, skal teorien udviddes fra ikke-dividende betalende aktiver til aktiver der betaler dividende. Ved standard Black-Scholes prisfastsættelse er det underliggende aktiv et ikke-dividende betalende aktiv. Dette er ikke tilfældet med valuta. Dette skyl- 23

28 KAPITEL 4. VALUTA des, at man kan investere den udenlandske valuta i risikofrie obligationer og derved modtage et afkast tilsvarende den risikofrie rente for det respektive land. Man kan derfor betragte valuta som et investeringsaktiv, hvor udbyttet er den risikofrie rente gældende for den aktuelle udenlandske valuta. Dette kan også siges om den indlandske valuta, da pengene alternativt kan investeres i indlandske obligationer. Differensen mellem den udenlandske og den indlandske risikofrie rente optræder derfor i prisfastsættelsen af FX-optioner. Notation: r f := den risikofrie rente gældende for den udenlandske valuta. r := den risikofrie rente gældende for den indlandske valuta. q := dividende betalinger udtrykt som en procentdel af aktivets værdi. Til at starte med introduceres en tommelfingerregel. Værdien af en europæisk Call-option på et aktiv der ikke betaler dividende med tiden T til udløb, er givet ved c = max(s 0 Ke rt, 0). Dividende betalinger får prisen på et aktiv til at falde dagen efter, at der er blevet udbetalt dividende. Dette sker med en mængde tilsvarende det udbetalte. Under antagelse af, at der er kontinuerlige dividende betalinger, vil betalingerne hæmme væksten i aktivets prisudvikling med en faktor e qt, hvor q er det, der bliver udbetalt målt som en procent af aktivets pris. Dette vil sige, at aktivets pris over en periode fra tiden 0 til T stiger fra S 0 til S T. Hvis der ikke havde været udtalt dividende, ville prisen være steget fra S 0 e qt til S T. For at modellere et aktiv der betaler dividende, kan man antage at prisen i stedet for at starte ved S 0 starter ved S 0 e qt, og derefter modellere det som et aktiv, der ikke betaler dividende. Værdien af en europæisk Call-option på et aktiv der betaler dividende med tiden T til udløb er, ved brug af ovenstående regel, givet ved c = max(s 0 e qt Ke rt, 0). For at finde prisen på en europæisk Put-/Call-option for et aktiv der betaler dividende, kan man løse Black-Scholes differentialligning med funktionen for optionens værdi som begrænsning. Man kan også bruge reglen igen og substituere dette ind i formlen for prisfastsættelse af en europæisk Call-option for et aktiv, der ikke betaler dividende. Man sætter altså S 0 := S 0 e qt og får således c = S 0 e qt N(d 1 ) Ke rt N(d 2 ). 24

29 4.1. PRISFASTSÆTTELSE AF FX-OPTIONER Tilsvarende fås for Put-optionen p = Ke rt N( d 2 ) S 0 e qt N( d 1 ). Da bliver ln S 0e qt K = lns 0 K qt d 1 = lns 0/K + (r q + σ 2 /2)T σ T og d 2 = d 1 σ T Formlerne I forbindelse med optioner på valuta er den dividende, der bliver betalt lig med den risikofrie rente tilhørende den udenlandske valuta. Dette medfører at q := r f og værdien af optionerne bliver derved c = max(s 0 e r f T Ke rt, 0) p = max(ke rt S 0 e qt, 0). Det vil sige, at prisen kan bestemmes ud fra følgende ligninger c = S 0 e r f T N(d 1 ) Ke rt N(d 2 ). Tilsvarende fås for Put-optionen p = Ke rt N( d 2 ) S 0 e r f T N( d 1 ), hvor d 1 = lns 0/K + (r r f + σ 2 /2)T σ T og d 2 = d 1 σ T. En tolkning af de faktorer der indgår i formlen er som følger [Lars Tyge Nielsen, 1992]. N(d 2 ) kan tolkes som den risiko-justerede sandsynlighed for, at optionen bliver exercised. Dette er sandsynligheden for at S T > K. N(d 1 ) kan betragtes som den faktor hvorved, nutidsværdien af aktivet overgår den nuværende værdi af aktivet. N(d 1 ) er altså den faktor, der gør, at S 0 e r f T N(d 1 ) = c + Ke rt N(d 2 ). Hvis N(d 1 ) er fraværende fra udtrykket ville det resultere i, at optionens teoretiske værdi ville overstige dens egentlige værdi. For at se dette kan N(d 1 ) 25

30 KAPITEL 4. VALUTA fjernes fra udtrukket. Man kan derved analysere, hvad der sker i de forskellige situationer. Da 0 < N(d 1 ) < 1 bliver S 0 e r f T c + Ke rt N(d 2 ). Hvis optionen ender in-the-money, bliver den exercised. Dette vil sige, at N(d 2 ) = 1 jf. fortolkningen af N(d 2 ), hvilket medfører, at optionens pris bliver c = S 0 e r f T Ke rt. Dette er prisforskellen mellem spot prisen og strike prisen. Hvis optionen ender out-of-the-money, bliver den teoretiske værdi c = S 0 e r f T. Denne værdi tilsvarer, at man kan exercise optionen og få nutidsværdien af aktivet. Dette er tydeligvis ikke tilfældet, da en option der er out-of-the-money på udløbstidspunktet har værdien 0. 26

31 5 Volatilitet Dette kapitel bygger på [John C. Hull, 2012, kapitel 14 og 19] og [Wikimedia Foundation Inc., 2012c]. Volatilitet for et finansielt aktiv er et mål for usikkerheden omkring aktivets fremtidige afkast. Det er den eneste parameter i Black-Scholes formlen, som ikke kan observeres direkte. Volatilitet kan opfattes på to måder. Den første er, at man kan se hvilken usikkerhed, der har været omkring et aktivs afkast i tidligere perioder. Dette kan bruges til at generalisere volatilitet i fremtiden. Dette kan gøres ved at bruge matematiske argumenter til at generalisere på tidligere volatilitet og således forudsige volatilitet i fremtiden. 5.1 Implicit volatilitet Den anden måde at opfatte volatilitet på er vha. implicit volatilitet. Implicit volatilitet af en option er volatiliteten af prisen på det underliggende aktiv, der er antydet af markedsprisen på optionen, hvilket er baseret på en prisfastsættelsesmodel. En sådan model kan fx være Black-Scholes [Wikimedia Foundation Inc., 2012b]. Det kommer af, at der er en 1-til-1 sammenhæng mellem volatilitet og prisen på optionen. Ved brug af Black-Scholes prisfastsættelsesmodel til en europæisk Call-option fås 1 d 1 := ln (S 0/K) + (r σ 2 /2)T σ T 1 [John C. Hull, 2012, s. 313] d 2 := d 1 σ T 27

32 KAPITEL 5. VOLATILITET c = S 0 N(d 1 ) Ke rt N(d 2 ), hvor N(x) := 1 2π x e t2 2 dt 2. c := prisen på en Europæisk call-option. S 0 := prisen på det underliggende aktiv til tiden t = 0. K := Strike prisen. r := den risikofrie rente. T := tid til udløb. σ := volatilitet. Hvis alle faktorer er kendte, på nær σ i denne sammenhæng, kan implicit volatilitet bestemmes ved at finde det σ, som opfylder ligningen. Eksempel 2 c = 1.875, S 0 = 21, K = 20, r = 0.1, og T = 0.25, så vil σ = opfylde Black-Scholes lignigen, og er derfor implicit volatilitet for det underliggende aktiv. Man kan ikke løse ligningen analytisk mht. σ, men man kan finde en løsning vha. numerisk løsningsmetoder som fx en iterativ søgningsalgoritme. En måde at se implicit volatilitet på, er ved at se det som markedets forventning til aktivet. 5.2 Volatilitets smil I dette afsnit beskrives volatilitets smilet. 5.1 Definition (Volatilitets smilet) Et plot af implicit volatilitet af optioner med samme tid til udløb og deres tilhørende strike priser. 2 [Peter Olofsson, 2005] 28

33 5.2. VOLATILITETS SMIL Et resultat for volatiltets smilet, baseret på Put-Call pariteten og ingen arbitrage, er at dette er det samme for Put- og Call-optioner med samme strike pris og samme tid til udløb. Dette resultat medfører også at volatilitets periodestrukturen er den samme for Put- og Call-optioner med samme strike pris og samme tid til udløb. Volatilitets smilet for FX-optioner har en karakteristisk form. Implicit volatilitet er relativ høj for optioner der er in-the-money og out-of-the-money, mens den tilgengæld er relativ lav for optioner, der er at-the-money. For at forklare hvorfor man observerer et smil på valutamarkedet, skal vi først kigge på alternativet og de antagelser, der ligger bag. Alternativet til smilet ville være en konstant volatilitet. Dette kommer fra, at Black-Scholes modellen prisfastsætter optioner med en fast volatilitetsparameter. Grunden til at Black-Scholes ikke holder her skyldes, at to af de antagelser som denne bygger på ikke er opfyldt på valutamarkedet. Den første antagelse er, at det underliggende aktivs prisudvikling kan modelleres med en lognormal fordeling. Observationer viser, at en lognormal fordeling undervurderer markedets virkelige udvikling, når der er tale om hhv. meget små og meget store prisændringer [John C. Hull, 2012, tabel 19.1, s. 412]. Derfor observerer man smilet. Den anden antagelse er, at prisen på det underliggende aktiv ændrer sig kontinuerligt både i tid og værdi. Dette er imidlertid ikke tilfældet, da man ikke kan handle alle dage, hele døgnet rundt. Det er heller ikke muligt at købe aktiver for uendeligt små beløb (kun fx hele kroner). Et fænomen som observeres i valutamarkedet er, at volatilitet smilet bliver mindre fremtrædende, når tiden til udløb for optioner bliver større 3. Dette skyldes, at når der er længere tid til udløb, så passer en model, hvor prisudviklingen er kontinuert i tid og værdi bedre på valuta. De gennemsnitlige afvigelser, der måtte være mellem den diskrete virkelighed og den kontinuerte model går mod 0, når T går mod [John C. Hull, 2012, kapitel 19 s. 413]. 3 [John C. Hull, 2012, s. 385] 29

34

35 6 Beregning af implicit volatilitet Dette kapitel omhandler en applikation af teorien i form af et volatilitets smil fra valutamarkedet. Ud fra data fra valutamarkedet vil vi regne tilbage og finde implicit volatilitet for valutamarkedet. 6.1 Data De data vi har medtaget i vores projekt er optioner på valutakrydset mellem dollar (USD) og euro (EUR). Priserne er altså USD pr. EUR. Optionspriserne er kvoteret d. 13/05/12 og har et år til udløb. Det er europæiske Call-optioner, hvilket vil sige at for at regne tilbage til implicit volatilitet skal vi bruge formlerne fra kapitel 4. Når man regner implicit volatilitet, er det ikke vigtigt, hvorvidt man har Put-optioner eller Call-optioner. De skal dog have samme tid til udløb og pris. Det er heller ikke vigtigt hvilken side af valutakrydset, man regner på. Dette skyldes, at implicit volatilitet er et udtryk for svingningerne mellem de to valutaer og disse svingninger er ens, uanset hvorfra man ser dem. Dvs. at en Call-option på USD er det samme som en Put-option på EUR. Eksempel 3 Vi vil nu gennemgå en metode til at regne implicit volatilitet ud. For at regne implicit volatilitet skal alle andre parametre i Black-Scholes være kendte. I dette eksempel har vi at r f = r = S = USD/EUR. C = USD. K =

36 KAPITEL 6. BEREGNING AF IMPLICIT VOLATILITET Dette medfører at d 1 = ln ( / ) 1 σ 1 d 2 = d 1 σ 1. Vi kan finde implicit volatilitet ved en iterativ søgningsmetode og får at implicit volatilitet = 11.65%. Med denne implicit volatilitet kan man også beregne N(d 2 ), hvilket er sandsynligheden for, at optionen ender in-the-money N (d 2 (11.65%)) = Dvs. at markedet forventer, at der er 45.9% sandsynlighed for, at optionen vil blive exercised. Selvom de beregninger vi har foretaget er lavet med computerkraft, er det samme princip, der er blevet benyttet. Når vi kører vores data igennem en algoritme, der kan bestemme implicit volatilitet får vi tallene som vist i tabel 6.1. Søjlen med S/K viser om optionen er at-the-money (S/K = 1), out-of-themoney (S/K < 1) eller in-the-money (S/K > 1). S/K Implicit volatilitet Tabel 6.1: Implcit volatilitet og spot pris/strike pris forhold for valuta med T=1. Når vi laver et plot af de data fra tabel 6.1 som (x, y) = (S/K, implicit vol), får man grafen i figur 6.1. Dette skulle gerne være et smil, altså en tilnærmelse af en parabel ligesom i figur 6.2. Med vores data er dette ikke tilfældet, hvilket kan ses på figur 6.1. Dette ligner en aftagende funktion. Dette er ifølge [John C. Hull, 2012] ikke urimeligt da optionerne har relativt lang tid til udløb og dette gør at volatilitets smilet bliver mindre udpræget Volatilitets periodestruktur Hvis vi havde flere datapunkter, kunne vi have udbygget vores analyse af volatilitets smilet til en tredimensionel graf, der viser, hvordan smilet bliver mere utydeligt jo længere optionerne har til udløb. Man ville så lave et plot med (x, 32

37 6.1. DATA Figur 6.1: Plot over volatilitet smilet. Figur 6.2: Et perfekt volatilitets smil. y, z)=(s/k, implicit volatilitet, tid til udløb). Denne graf burde være en flade, der er kurvet i den ene ende og som flader ud, når man bevæger sig ud af z-aksen. Denne graf kan også opfattes som en sammenfatning af en masse volatilitets smil for optioner med forskellig tid til udløb. Hvis fladen tilter til en side, kan dette skyldes, at markedet har en forventning om, at der skal ske noget i fremtiden som påvirker aktivet i en grad, som ikke kan bestemmes. 33

38 KAPITEL 6. BEREGNING AF IMPLICIT VOLATILITET Figur 6.3: Eksempel på en volatilitets periodestruktur flade kan se ud [Wikimedia Foundation Inc., 2012b]. 34

39 7 The Greeks The Greeks er et vigtig redskab for at analysere og risikostyre en portefølje. Hver greek måler følsomheden af en værdi i porteføljen over for forandringer i en given underliggende parameter. Dette kapitel bygger på [David G. Luenberger, 2009, kapitel 13] og [Wikimedia Foundation Inc., 2012d] Delta En options værdi, f(s, t), er følsom over for forandringer i det underliggende aktivs pris. Denne følsomhed beskrives med Delta, der er givet ved = f(s, t) S. (7.1) I Black-Scholes modellen er BS = N(d 1 ) for en europæisk call-option og BS = N(d 1 ) 1 for en put-option. Delta kan anvendes til at risikostyre, idet man kan konstruere en portefølje af derivater, der er Delta neutral, hvilket betyder, at = 0. Når = 0 er man sikret imod ændringer i prisen på det underliggende aktiv. Da Delta varierer med prisen for det underliggende aktiv og med tiden, skal en portefølje rebalanceres for at forblive neutral. Denne rebalancering beskrives af Gamma Gamma Γ = 2 f(s, t) S 2 = S. (7.2) Γ er således den andenordens afledte i forhold til det underliggende aktiv, og beskriver Deltas følsomhed over for ændringer i det underliggende aktiv. Deraf er Gamma et mål for hvor meget, eller hvor ofte, man skal rebalancere for at 35

40 KAPITEL 7. THE GREEKS opretholde en Delta neutral portefølje. Gamma i Black-Scholes beskrives som Γ BS = N (d 1 ) Sσ T. (7.3) Både for europæiske Put- og Call-optioner uden dividende Vega Vega er optionsprisens følsomhed over for volatilitet. ν = f(s, t). (7.4) σ Vega er en meget vigtig greek pga. volatilitetens usikkerhed. En portefølje vil være meget følsom over for små ændringer i volatiliteten, hvis absolutværdien af Vega er høj. Er værdien lav vil indvirkningen af ændringer i volatiliteten være lille Theta Theta er hastigheden for ændringer i optionsprisen over tiden. Θ = f(s, t). (7.5) t For en europæisk Call-option uden dividende kan Theta, vha. Black-Scholes formlen, angives som og for en Put-option ligeledes Θ BS = SN (d 1 )σ 2 T Θ BS = SN (d 1 )σ 2 T rke r T N(d 2 ), (7.6) + rke r T N( d 2 ). (7.7) 36

41 8 Hedging Dette kapitel bygger på [David G. Luenberger, 2009, kapitel 1] og [John C. Hull, 2012, kapitel 17]. Hedging er en proces, hvor målet er at reducere den finansielle risiko, der opstår enten ved alm. forretningsoperationer eller ved investeringer også kendt som risikostyring. Hedging kan betragtes som en af de vigtigste anvendelser af de finansielle markeder. En form for hedging er forsikring, hvor man kan betale et fast beløb for at sikre sig imod tab indenfor et specielt område, fx. ildebrand, tyveri eller ufavorable ændringer i priserne. Et typisk eksempel på hedging er som følger. Eksempel 4 En grønthandler indgår en kontrakt med et firma om at levere frugt hver onsdag morgen igennem de næste fire måneder til en aftalt pris. Dette er en god aftale for grønthandleren, da han er garanteret at kunne afsætte et minimum af frugt tilsvarende kontrakten over de næste fire måneder. Desværre er grønthandleren nu i den situation, at hvis prisen på frugt stiger, så vil dette gå ud over hans overskud. Han kan endda risikere at miste penge på kontrakten, hvis prisen stiger meget. Han vil gerne sikre sig imod denne risiko således, at hans overskud af kontakten er sikret. Dette gøres ved at indgå en aftale, der garanterer ham at kunne købe frugt af plantagerne til en aftalt pris. Han betaler for aftalen, men er således uden risiko i kontrakten. 8.1 Put- og Call-optioner som forsikring Call-optioner kan opfattes som en forsikring mod stigninger i prisen på et aktiv. Tilsvarende kan Put-optioner opfattes som en forsikring mod, at prisen på et aktiv falder. Hvis man holder et aktiv og gerne vil sælge det i fremtiden, kan man købe en 37

42 KAPITEL 8. HEDGING Put-option for at sikre, at man tjener mindst strike prisen på aktivet. Planlægger man derimod at købe et aktiv, kan man købe en Call-option og derved være garanteret, at man kan købe aktivet til højst strike prisen. 8.2 Delta hedging Der er to hovedformer for hedging, hvilket er statisk hedging og dynamisk hedging. Statisk hedging er en form for hedging, hvor det kun vurderes, hvordan man bedst hedger sin position, når handlen indgås. Ved dynamisk hedging sørger man hele tiden for at være dækket ind. Forskellige former for statisk hedging kan fx være naked position og covered position. Ved naked position gør man ikke noget for at sikre sig. Hvis man fx har solgt en europæisk Call-option kan man vælge ikke at gøre noget og håbe på, at denne udløber uden at blive exercised. Det vil give et overskud på den præmie som optionen er solgt for men med risiko for, at optionen bliver exercised, og at der realiseres et tab. Ved covered position opkøbes aktiver tilsvarende den Call-option man har solgt. Denne metode virker bedst, hvis optionen bliver exercised, da man derved kan sælge aktiverne til køberen af optionen og opnå en fortjeneste på præmien. Hvis optionen ikke bliver exercised betyder det, at den på udløbstidspunktet er out-of-the-money og man vil således stå med et tab på aktiverne, som skal dækkes af præmien. Kan dette ikke lade sig gøre realiseres et tab. En Stop-loss hedging strategi er en strategi, hvori man hele tiden evaluerer, hvorvidt det er en fordel enten at have en naked eller en covered position. Hvis prisen på det underliggende aktiv er over strike prisen på Call-optionen holder man ikke noget af aktivet. Hvis prisen på det underliggende aktiv derimod ligger under strike prisen, holder man den mængde af det underliggende aktiv som optionen lyder på. Man bliver ved med at lave den evaluering eller dynamiske hedging i hele optionens levetid. Det vil være en fordel at købe og sælge, når prisen er relativt tæt på strike prisen. Dette gøres for at undgå det tab, der er forbundet med at købe, når prisen er høj og sælge, når prisen er lav. Uanset hvor god man er til at købe og sælge, vil man altid være udsat for et lille tab, da man ikke kan vide, hvordan prisen vil udvikle sig omkring strike prisen. Når spot prisen aldrig krydser strike prisen, vil omkostningerne forbundet med at handle aktivet være lig nul. Hvis spot prisen krydser strike prisen uendelig mange gange, bliver omkostningen forbundet med hedging strategien uendelig stor. Dette kunne være tilfældet, hvis prisudviklingen følger en Brownian motion. Det er imidlertid mere praktisk at bruge en form for dynamisk hedging, der garanterer, at man ikke køber mere af det underliggende aktiv, end man er nødt til. Dette kaldes for Delta hedging. 38

43 8.2. DELTA HEDGING Delta defineres for en option som beskrevet i afsnit Delta er lig med hældningen på kurven, der illustrerer optionsprisen som en funktion af aktivets pris. I relation til tilfældet hvor der blev solgt en europæisk Call-option, repræsenterer Delta den mængde af det underliggende aktiv, man skal købe for at hedge sig imod prisændringer fra det underliggende aktiv. Eksempel 5 Først defineres de mængder som bruges i eksemplet. S = 200 kr. pr. aktie. C = 15 kr. pr. option. #C = 10 stk.. #S/C = 100 stk. pr. C. Delta = 0.5. En investor sælger 10 europæiske Call-optioner til en værdi af 15 kr. stk. og det underliggende aktiv handles til 200 kr. stk.. Hver Call-option lyder på 100 stk. af det underliggende aktiv. Hvis Delta beregnes til 0.5, betyder det, at han skal købe for = kr. af det underliggende aktiv for at hedge sig. Hvis delta tilsvarende havde været beregnet til 0.5, skulle han have handlet for = kr. eller solgt 500 af det underliggende aktiv. Delta for en FX Put-option er put = e r f T N(d 1 ) og for en FX Call-option er call = e r f T (N(d 1 ) 1). Vi vil her ikke gå ind i udledningen af disse. Delta for en portefølje af derivater for det samme aktiv kan beregnes som et vægtet gennemsnit af alle derivaternes delta. Vægtene er den del som det enkelte derivat udgør af den samlede portefølje. Dette kan for en portefølje med n derivater med tilhørende vægte, w, skrives som portefølje = n w i δ i. i=1 39

44

45 9 Konklusion Vi har igennem vores arbejde med optionsteori erfaret, at finansielle aktiver kan modelleres med stokastiske processer såsom binominalmodellen, Markov processer og Brownian motion. Disse er tilpasset således, at de efterligner det finansielle marked bedst muligt. Ved hjælp af sandsynligheder kan man modellere noget som egentlig er uforudsigeligt. Vi gjorde os nogle antagelser omkring aktivernes prisudvikling for at være i stand til at modellere dem. Nogle af disse viste sig imidlertid ikke at passe præcis på den virkelige verden. Motivet for at benytte disse modeller er forskellige. Binominalmodellen benyttes for den simplificerede og nemme tilgang, men kasseres samtidig pga. de grove og unuancerede antagelser, der ligger til grund for den. Brownian motion benyttes til dels for dens gode tilnærmelse af de finansielle markeders udvikling. samt for dens matematiske fundament. Ud fra Brownian motion har vi vist, at man kan bygge videre og prisfastsætte optioner på forskellige aktiver vha. Black- Scholes modellen. Ud fra Black-Scholes har vi vist, at man kan bygge videre på prisfastsættelsesformlerne for derivater af aktiver, der ikke betaler dividende til aktiver der betaler dividende, heriblandt valuta. Når man har en model, der kan bestemme et derivats teoretiske pris, kan man bruge denne til at beregne markedets forventninger til de fremtidige prissvingninger for det underliggende aktiv og derved også få et mål for de fremtidige afkast. Når teori sættes op imod virkeligheden har vi vist, at på lang sigt er Black- Scholes et bedre bud på den virkelige verden, end den er på kort sigt. Dette skyldes, at forskellene på den diskrete virkelighed og den kontinuerte model bliver udvisket, når man ser på et større perspektiv. Vi har i vores applikation af teorien undersøgt en serie af optioner med et år til udløb. Vi ønskede at undersøge, om der kunne findes en sammenhæng mellem valutamarkedet og vores model. Det viste sig, at disse stemte overens. Vi kunne ikke observere det volatilitets smil vi gerne ville, men kunne konkludere, at dette skyldtes, at optionerne havde relativt lang tid til udløb. Det kan være vanskeligt at beskytte sig imod risiko på det finansielle marked. 41

46 KAPITEL 9. KONKLUSION De teorier og strategier vi har fremlagt giver retningslinier for, hvordan man kan mindske den risiko, der er forbundet med at investere i aktiver og derivater. Dette gøres ved konstant at justere investeringerne, således at de tilsammen fjerner den risiko, de hver for sig udgjorde. Dette gøres bl.a. ved Delta hedging. Samlet set er vi nået frem til, at prisudviklingen ikke direkte kan forudsiges på det finansielle marked. Man kan derimod sætte sandsynligheder på forskellige udfald eller komme med kvalificerede bud baseret på teoretiske argumenter. Ved en kombination af matematiske modeller og økonomisk teori kan man gætte på, hvordan fremtiden vil forme sig. 42

47 Litteratur [David G. Luenberger, 2009] David G. Luenberger (2009). Investment Science. Oxford University Press, international edition. ISBN: [John C. Hull, 2009] John C. Hull (2009). Options, futures and other derivatives. PEARSON, 7. edition. ISBN: [John C. Hull, 2012] John C. Hull (2012). Options, futures and other derivatives. PEARSON, 8. edition. ISBN: [Jørgen Rasmussen, 2012] Jørgen Rasmussen (2012). penge.dk/spoerg/ hvad-er-et-valutakryds. Hjemmeside. [Lane Hughston, 1999] Lane Hughston (1999). Options. RISK BOOKS, special edition. ISBN: [Lars Tyge Nielsen, 1992] Lars Tyge Nielsen (1992). Understanding N(d1) and N(d2). INSEAD. [Peter Olofsson, 2005] Peter Olofsson (2005). Probability, statistics and stochastic processes. John Wiley, international edition. ISBN: [Wikimedia Foundation Inc., 2012a] Wikimedia Foundation Inc. (2012a). en. wikipedia.org/wiki/brownian_motion. Hjemmeside. [Wikimedia Foundation Inc., 2012b] Wikimedia Foundation Inc. (2012b). en. wikipedia.org/wiki/implied_volatility. Hjemmeside. [Wikimedia Foundation Inc., 2012c] Wikimedia Foundation Inc. (2012c). en. wikipedia.org/wiki/volatility_smile. Hjemmeside. [Wikimedia Foundation Inc., 2012d] Wikimedia Foundation Inc. (2012d). Hjemmeside. 43

48 Bilag

49 USD continously compounded interestrate EUR continously compounded interestrate Trade date Expiry Time to S expiry C K Implied volatility S/K K/S 03/15/ /15/ /15/ /15/ /15/ /15/ /15/ /15/ /15/ /15/ /15/ /15/ /15/ /15/ /15/ /15/