Introduktion til Statistiske Modeller for Finansielle Tidsserier. Forelæsningsnoter til Finansiel Økonometri

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Introduktion til Statistiske Modeller for Finansielle Tidsserier. Forelæsningsnoter til Finansiel Økonometri"

Transkript

1 Introduktion til Statistiske Modeller for Finansielle Tidsserier Forelæsningsnoter til Finansiel Økonometri Jesper Lund 14. marts 2006

2 1 Indledning Formålet med denne forelæsningsnote er at beskrive nogle statistiske tidsseriemodeller, som ofte anvendes indenfor finansiel økonometri. Det er primært modellernes matematiske struktur, som beskrives her. For så vidt angår eksempler på anvendelser henvises til CLM [Campbell et al (1997) og forelæsningerne i faget. GARCH modeller behandles ikke her, idet der senere kommer en særskilt forelæsingsnote om dette emne. For en uddybende fremstilling af emnet tidsseriemodeller henvises til lærebøger som Hamilton (1994) og Harvey (1993). 1 2 Autokovarianser og autokorrelationer En tidsserie {y t } er en sekvens (følge) af stokastiske variable, som observeres på forskellige tidspunkter t. Den statistiske model, som beskriver udviklingen i denne tidsserie kaldes en stokastisk proces eller tidsseriemodel. 2 Den grundlæggende egenskab ved en stokastisk proces er afhængigheden mellem observationerne på forskellige tidspunkter. Ofte er vi kun interesseret i den lineære afhængighed mellem y t erne. Til dette formål bruges kovariansen mellem y t og y t k, som er defineret ved [ Cov(y t, y t k ) = E (y t E(y t ))(y t k E(y t k )). (1) For k = 0 er dette variansen på y t. Vi vil primært betragte stationære stokastiske processer, hvor y t og y t k har den samme marginale fordeling, og hvor afhængigheden mellem de to stokastiske variable kun afhænger af afstanden mellem de respektive tidspunkter, dvs. k, der kaldes laglængden. Når vi antager stationaritet, kan vi introducere begrebet autokovariansfunktionen, som er ligning (1) som funktion af laglængden k, [ γ(k) = E (y t µ) (y t k µ), hvor µ = E(y t ). (2) I de følgende afsnit vil opstille generelle udtryk for autokovariansfunktionen for de forskellige modeller (stokastiske processer). Ofte er det mere naturligt at benytte korrelationer i stedet for kovarianser. Derfor introducerer vi autokorrelationsfunktionen ρ(k), der er defineret ved: Cov(y t, y t k ) ρ(k) = = γ(k)/γ(0), (3) Var(y t ) Var(y t k ) idet y t og y t k har samme standardafvigelse, nemlig kvadratroden af variansen γ(0). For en given tidsserie (stikprøve), kan autokorrelationsfunktionen estimeres ved hjælp af empiriske varianser og kovarianser for y t og y k, f.eks. ˆγ(k) = 1 T t=k+1 (y t ˆµ)(y t k ˆµ), hvor ˆµ = 1 T y t. (4) t=1 1 Harvey (1993) og Hamilton (1994) er mine personlige favoritter, men der er naturligvis skrevet mange andre lærebøger om emnet tidsseriemodeller. 2 Ordene stokastisk proces og tidsseriemodel bruges i flæng i denne forelæsningsnote. 1

3 Man kan argumentere for at der kun skal divideres med T k 1 for at få et unbiased estimat, men stort set alt statistisk teori for tidsserier er asymptotisk, dvs. at resultaterne gælder formelt kun for T. Den empiriske, eller estimerede, autokorrelationsfunktion er på tilsvarende vis defineret ved: ˆρ(k) = ˆγ(k)/ˆγ(0). (5) Generelle udtryk for variansen på estimatorerne (4) og (5) er relativt komplicerede, da samtlige autokorrelationer indgår, se ligningerne (2.4.8) og (2.4.10) i CLM. Hvis alle sande autokorrelationer er 0, er den asymptotiske varians på ˆρ(k) dog meget simpel, nemlig Var[ˆρ(k) = 1, hvis ρ(j) = 0 for alle j 1. (6) T Som regel har man kun brug for standardafvigelsen på ˆρ(k) når man skal teste en nulhypotese om ingen afhængighed, dvs. ρ(k) = 0 for alle k, og hertil er formlen i ligning (6) tilstrækkelig. 3 Hvid støj Den simpleste stokastiske proces er selvfølgelig ingen tidsmæssig afhængighed, hvilket ofte kaldes hvid støj (engelsk: white noise) i tidsserielitteraturen. 3 Hvis {ε t } er en hvid støj process, er ρ(k) = 0 for alle k > 0. Ofte antages det at middelværdien er 0, og at den stokastiske variabel ε t er normalfordelt med varians γ(0) = σ 2. Med disse yderligere antagelser har ε t de sædvanlige egenskaber for et fejlled i en regressionsmodel. Normalfordelt hvid støj, eller blot hvid støj med middelværdi 0, er den basale byggeklods i AR(p), MA(q) og ARMA(p, q) modeller, som behandles i de efterfølgende afsnit i denne forelæsningsnote. 4 Betingede fordelinger og likelihood funktioner Hvis x og y er to stokastiske variable med simultan sandsynlighedsfordeling p(x, y), er den betingede fordeling for y givet x defineret ved p(y x) = p(x, y) p(x). (7) Hvis x og y er stokastisk uafhængige, er p(y x) = p(y), altså den betingede fordeling er identisk med den marginale fordeling. Det svarer til at den simultane fordeling kan skrives som p(x, y) = p(y)p(x). 3 Begrebet hvid støj stammer fra ingeniørvidenskaben, hvor store dele af den statistiske teori for tidsserier er udviklet. 2

4 I mange situationer inden for tidserieanalyse har man brug for et mere generelt udtryk for afhængighed over tid end korrelation, som måler den lineære afhængighed. Til dette formål bruges den betingede fordeling eller, mere typisk, momenter fra den betingede fordeling. En martingale differens proces (MD proces) er defineret ved følgende egenskab: E (ε t ε t 1,...,ε 1 ) = ε t p(ε t ε t 1,..., ε 1 )dε t = 0 for alle t, (8) hvor p(ε t ε t 1,...,ε 1 ) er den betingede tæthedsfunktion for ε t givet alle de tidligere værdier af processen. En MD proces udelukker ikke at der er stokastisk afhængighed mellem ε t og ε t k, men den betingede middelværdi er uafhængig af ε t k. En MD proces opfylder egenskaberne for en hvid støj proces uden antagelsen om normalitet. Omvendt kan man ikke konkludere, at en hvid støj proces er en MD proces. 4 Normalfordelt hvid støj vil dog altid være en MD proces, idet uafhængighed og ingen korrelation er det samme i den simultane normalfordeling. Ved maximum likelihood estimation bruger man ofte følgende omskrivning af den simultane tæthed for alle observationer: p(y 1, y 2,...,y T ) = p(y T y T 1,..., y 2, y 1 )p(y T 1,...,y 2, y 1 ) = p(y T y T 1,..., y 2, y 1 )p(y T 1 y T 2,...,y 2, y 1 )p(y T 2,...,y 2, y 1 ) { T } = p(y t Y t 1 ) p(y 1 ), hvor Y t = (y t, y t 1,...,y 2, y 1 ). (9) t=2 Den sidste linie i ligning (9) fremkommer ved gentagen anvendelse af spaltningen i de to første linier. Det smarte ved omskrivningen i ligning (9) er at en tidsseriemodel generelt er specificeret ved den betingede tæthedsfunktion p(y t Y t 1 ). Ud fra den betingede tæthedsfunktion kan man let konstruere den simultane tæthedsfunktion, og dermed likelihoodfunktionen. Tricket i ligning (9) kaldes prediction error decomposition i litteraturen. Forudsigelsesfejlen (prediction error) er defineret som u t = y t E (y t Y t 1 ), (10) og den statistiske model vil typisk specificere en fordeling for u t og den funktionelle form af den betingede middelværdi for y t givet de tidligere værdier af processen, dvs. Y t 1 med vores notation. Den stokastiske variabel u t kaldes ofte en innovation i tidsserielitteraturen. Log-likelihood funktionen kan nu skrives som log L(y 1, y 2,...,y T ) = log p(y t Y t 1 ) + log p(y h,...,y 1 ) t=h+1 log p(y t Y t 1 ) (11) t=h+1 4 En GARCH model er et eksempel på en stokastisk proces, som kan være MD uden at være hvid støj, altså hvor der kan være stokastisk afhængighed men lineær uafhængighed (ingen korrelation). 3

5 I den første linie af (11) er der valgt en lidt mere generel opskrivning, hvor den simultane tæthed for de første h observationer ikke spaltes i produktet af de betingede tætheder. Logaritmen til tætheden (9) vil således svare til h = 1 i (11). Den anden linie i (11) er en approksimation til log-likelihood funktionen, idet leddet log p(y h,..., y 1 ) er udeladt. I mange situationer er den approksimative log-likelihood funktion nemmere at håndtere, og hvis antallet af observationer T er tilpas stort, vil der ikke være en nævneværdig forskel mellem at maksimere den eksakte log-likelihood funktion og den approksimative. For eksempel kan en AR(p) estimeres ved hjælp af almindelig OLS, hvis man bruger den approksimative log-likelihood funktion med h = p, mens den eksakte log-likelihood funktion er noget mere kompliceret at håndtere. 5 MA(q) processer En MA(q) proces defineres med udgangspunkt i en hvid støj ε t, eventuelt en normalfordelt hvid støj af hensyn til muligheden for at opstille log-likelihood funktionen. MA(q) er defineret ved y t = µ + ε t + θ 1 ε t θ q ε t q q = µ + θ j ε t j, med θ 0 1, (12) j=0 og hvor ε t N(0, σ 2 ). Middelværdien af y t er µ, idet E(ε t ) = 0 for alle t. Den simpleste MA(q) proces er MA(1) processen, hvor y t = µ + ε t + θ 1 ε t 1. (13) Autokovariansfunktionen for en MA(q) proces er givet ved σ 2 q j=k γ(k) = θ jθ j k hvis 0 k q 0 hvis k > q. (14) Beviset fremkommer ved at opstille udtrykket q q E [(y t µ)(y t k µ) = E θ i ε t i θ j ε t k j og udnytte at q = i=0 q i=0 j=0 j=0 θ i θ j E(ε t i ε t k j ) (15) E(ε t i ε t k j ) = { σ 2 hvis i = k j 0 ellers. (16) Hvis k q er der q k led i summen (15), som er forskellig fra 0. Omvendt er der ingen korrelation mellem y t og y t k hvis k > q. Den tidsmæssige afhængighed i en MA(q) proces er altså begrænset til de seneste q observationer. 4

6 Ved at sætte k = 0 i ligning (14) kan variansen bestemmes som q q Var(y t ) = γ(0) = σ 2 θj 2 = σ (17) j=0 θj 2 j=1 Det indebærer at autokorrelationsfunktionen kan skrives som q j=k ρ(k) = θ jθ j k q hvis 0 k q 1+ j=1 θ2 j 0 hvis k > q. Estimation af parametrene i en MA(q) proces behandles i afsnittet om estimation af ARMA modeller, idet MA(q) modellen er en ARMA(0, q), altså et specialtilfælde. 6 AR(p) processer AR(p) processen defineres ligeledes med udgangspunkt i en hvid støj ε t y t (18) = µ + φ 1 (y t 1 µ) + + φ p (y t p µ) + ε t p = µ + φ i (y t i µ) + ε t. (19) Nogle gange ses en alternativ parameterisering, hvor p y t = φ 0 + φ i y t i + ε t. (20) Det er selvfølgelig den samme model, idet ( ) p p φ 0 = µ φ i µ = µ 1 φ i, (21) hvor µ = E(y t ), altså den ubetingede middelværdi af y t. 5 Et specialtilfælde af AR(p) modellen er AR(1) modellen, hvor y t = µ + φ (y t 1 µ) + ε t. (22) Man kan omskrive en AR(p) model til en MA( ), altså en MA model af uendelig orden. Det gøres ved successivt at indsætte udtrykket for y t 1 i ligning (19). For en AR(1) model med φ < 1 giver det y t = µ + φ 1 (φ 1 y t 2 + ε t 1 ) + ε t = µ + φ 2 1 (φ 1 y t 3 + ε t 2 ) + φ 1 ε t 1 + ε t = µ + ε t + φ i ε t i. (23) 5 Dette forudsætter at p φ i < 1, hvilket er en af betingelserne for stationaritet. Da vi generelt kun diskuterer stationære stokastiske processer, bortset fra bemærkningerne om I(1) processer i afsnittet om integration og kointegration, vil vi ikke komme nærmere ind på denne problemstilling. Den interesserede læser henvises til Harvey (1993) eller Hamilton (1994) for de præcise betingelser for stationaritet i AR(p) modellen. 5

7 Autokovariansfunktionen for en AR(1) model er [ γ(k) = E (y t µ)(y t k µ) = E [( = φ k E φ k (y t k µ) + k 1 i=0 [ (y t k µ)(y t k µ) φ i ε t i ) (y t k µ) = φ k γ(0), (24) idet y t k er ukorreleret med ε t k+1,, ε t. Autokorrelationsfunktionen for AR(1) modellen er derfor ρ(k) = γ(k)/γ(0) = φ k. (25) Det vil sige at man faktisk slet ikke behøver at kendes den ubetingede varians γ(0) for at bestemme autokorrelationsfunktionen. Hvis man får behov for at udlede den ubetingede varians, gøres det nemmest via MA( ) omskrivningen af AR(1) modellen: ( γ(0) = σ 2 + ) φ i 2 σ 2 = σ 2 (φ 2 ) i = σ2 1 φ2, hvis φ < 1. (26) i=0 En alternativ metode til at eftervise dette resultat er at beregne variansen på begge sider af lighedstegnet i ligning (22) Var(y t ) = φ 2 Var(y t 1 ) + σ 2 = γ(0) = φ 2 γ(0) + σ 2, (27) og løse den sidste ligning mht. γ(0). Bemærk at vi har udnyttet stationaritetsantagelsen, hvorved Var(y t ) og Var(y t 1 ) er identiske. Udledningen i (27) kvalificerer dog ikke helt som et bevis for den ubetingede varians, idet man er nødt til at antage stationatitet, mens betingelsen for stationaritet φ < 1 udledes samtidig med udtrykket for γ(0) i beviset (26). Man kan også udlede generelle udtryk for autokorrelationsfunktionen i AR(p) processen, men disse udtryk er relativt komplicerede. 6 I stedet henvises der til lærebøger om tidsseriemodeller som Harvey (1993) og Hamilton (1994). 7 ARMA(p, q) processer Det er muligt at kombinere AR og MA specifikationerne, hvilket giver en ARMA(p, q) model. Den generelle specification er p q y t = µ + φ i (y t i µ) + ε t + θ j ε t j (28) j=1 6 Det er værd at bemærke, at forskellen mellem en AR(2) og AR(1) model er ganske betydelig for så vidt angår udtrykket for autokorrelationsfunktionen, mens der ikke er nævneværdig forskel på en MA(1) og MA(2) model i den henseende. Når vi kommer til estimationen af modellerne, er en AR(2) model dog ikke mere kompliceret end en AR(1) model. Begge kan estimeres vha. OLS, som svarer til betinget maksimum likelihood, hvis ε t er normalfordelt. 6

8 Den simpleste ARMA model er ARMA(1, 1) modellen: y t = µ + φ (y t 1 µ) + ε t + θε t 1. (29) ARMA(p, q) modellen kan ligesom AR(p) modellen omskrives til en MA( ) model. Dette vises kun for ARMA(1, 1) modellen, hvor vi får y t = µ + ε t + (φ + θ)φ j 1 ε t j, (30) j=1 altså en MA( ) model med θ j = (φ + θ) φ j 1. Hvis φ = θ er θ j = 0 for alle j > 0, og ARMA(1, 1) modellen er identisk med en hvid støj proces. Dette er et eksempel på det såkaldte identifikationsproblem. Hvis den sande proces er en hvid støj, kan man godt specificere en ARMA(1, 1) model, men der vil være uendeligt mange forskellige ARMA(1, 1) modeller, som passer til data, nemlig alle modeller hvor φ = θ. Dette lyder måske som en noget teoretisk diskussion, men det er i høj grad også et praktisk problem. Hvis man overparameteriserer sin ARMA(p, q) model, altså angiver en for høj orden af både AR og MA delen, er der stor risiko for at estimationen ikke vil konvergere, fordi en AR og MA komponent ophæver hinanden. Autokorrelationsfunktionen for den generelle ARMA(p, q) model er temmelig kompliceret, og den udelades derfor fra denne fremstilling. I faget Finansiel Økonometri vil vi generelt kun støde på rene AR eller MA processer. 8 Estimation af ARMA modeller Hvis ε t er normalfordelt med konstant varians, kan man opstille log-likelihood funktionen vha. metoden i afsnit 4. For den generelle ARMA(p, q) er den betingede middelværdi og varians af y t givet ved p q E(y t Y t 1 ) = µ + φ i (y t i µ) + θ j ε t j (31) j=1 Var(y t Y t 1 ) = E [ (y t E[y t Y t 1 ) 2 Y t 1 = E [ ε 2 t Y t 1 = σ 2 hvor Y t 1 = (y t 1, y t 2,..., y 1 ). Den approksimative log-likelihood funktion for ARMA(p, q) modellen kan nu skrives som { log L = 1 2 log(2π) 1 2 log ( σ 2) 1 (y t E[y t Y t 1 ) 2 } 2 σ 2 t=p+1 = T p 2 log(2π) T p 2 log ( σ 2) 1 2σ 2 t=p+1 (32) ε 2 t (33) hvor ε t = y t E[y t Y t 1 er innovationen (fejlleddet), jf. definitionen i afsnit 4. Bemærk at summationen starter ved observation t = p+1, og ikke t = 1. Det skyldes at vi skal bruges p laggede værdier af y t som startværdier til den betingede middelværdi. Laggede værdier af innovationen ε t indgår også i den betingede middelværdier. Her 7

9 sættes startværdier til 0, dvs. ε t = 0 for t p. Derefter kan den betingede middelværdi, og dermed log-likelihood funktionen, beregnes rekursivt fra t = p + 1 til t = T. Log-likelihood funktionen i (33) er ikke den eksakte log-likelihood funktionen, men medmindre antallet af observationer T er meget lille, er approksimationen uden praktisk betydning. 7 Den approksimative log-likelihood funktion er specielt nyttig for rene AR(p) modeller, hvor (33) er log-likelihood funktionen for en lineær regressionsmodel med y t 1,..., y t p som forklarende variable. Det vil sige, at OLS kan benyttes til estimation. For MA(q) og ARMA(p, q) modeller er det nødvendigt at anvendes numerisk optimering for at finde maximum likelihood estimaterne. Statistikprogrammet SAS har rutiner til dette i SAS/ETS. Før man estimerer en ARMA(p, q) model, skal man naturligvis angive ordenen af AR og MA delen, altså p og q. Umiddelbart kunne det være fristende at angive en meget høj orden af begge dele, og efterfølgende fjerne de insignifikante komponenter vha. t-tests eller F-tests vedr. flere parametre på samme tid. Ved almindelig regressionsanalyse, hvor man er usikker på specifikationen af modellen, kan denne metode ofte anvendes med succes. Metoden er desværre ikke brugbar for blandede ARMA modeller, idet en MA og AR komponent kan ophæve hinanden, som vi så i eksemplet med ARMA(1, 1) ovenfor. Dette problem optræder ikke for rene AR eller MA modeller, så her kan general-to-simple metoden i princippet anvendes. For en korrekt specificeret ARMA model gælder det, at fejlleddet ε t er hvid støj, dvs. alle autokorrelationer er lig med 0. Det kan man teste via residualerne fra den estimerede model. 8 Ud fra strukturen i autokorrelationsfunktionen ˆρ(k) kan man visualt vurdere, om det er AR eller MA delen som skal have en højere orden. Denne metode er udviklet af Box & Jenkins (1976), og deres bog var i mange år standardreferencen for ARMA modeller. 9 Box-Jenkins metoden til specifikation af ARMA modellen diskuteres også af Mills (1990) og Milhøj (1986). 9 Lidt om integration og kointegration CLM kommer visse steder ind på enhedsrødder (unit roots) og stationære sammenhænge mellem to forskellige tidsserier med enhedsrod, hvilket kaldes kointegration. I dette afsnit af forelæsningsnoten gives en meget kortfattet introduktion til disse begreber. 7 Eksakt maximum likelihood estimation kræver generelt, at man inverterer den fulde T T kovariansmatrix for samtlige observationer y 1, y 2,...,y T (PROC ARIMA i SAS/ETS gør dette, når man specificerer maximum likelihood estimation med option METHOD=ML). Det er tidskrævende, hvis antallet af observationer T er stort. Man kan dog undgå at invertere en T T matrix ved at anvende Kalman filteret til beregning af den eksakte log-likelihood funktion, hvilket diskuteres i kapitel 13 i Hamilton (1994). 8 Her skal der dog tages højde for at residualerne har lidt andre statistiske egenskaber end fejlleddet ε t, idet residualerne er beregnet med estimater på de ukendte parametre. De nærmere detaljer ligger uden for rammerne af denne forelæsningsnote. 9 I visse dele af tidsserielitteraturen kaldes ARMA modeller ligefrem Box-Jenkins modeller! 8

10 9.1 Test for enhedsrødder 10 I den simple AR(1) model med middelværdi 0 y t = ρy t 1 + ε t, (34) er maximum likelihood estimatet på ρ givet ved ˆρ = Tt=2 y t y t 1 Tt=2 y 2 t 1 (35) Det kan endvidere vises, at den asymptotiske fordeling for ML estimatoren er 11 T (ˆρ ρ0 ) L N ( ) 0, 1 ρ 2 0, hvis ρ0 < 1, (36) hvor ρ 0 er den sande værdi af parameteren ρ (den værdi, som vi prøver at estimere). I praksis vil (36) sige, at man kan teste hypoteser om parameteren ρ ved at udnytte at ˆρ er normalfordelt med variansen Var(ˆρ) = (1 ˆρ 2 )/T. Alternativt kan man lave et almindeligt t-test baseret på den standardafvigelse, som et standard OLS program 12 beregner, dvs. t = ˆρ ρ 0 ˆσ 2 ε /( Tt=2 y 2 t 1 ), hvor ˆσ 2 ε = 1 T 2 (y t ˆρy t 1 ) 2. (37) t=2 Dette gælder imidlertid ikke, hvis den sande værdi af parameteren er ρ 0 = 1, herunder hvis vi tester en nulhypotese om at ρ = 0. I tidsserielitteraturen kaldes ρ 0 = 1 tilfældet for en enhedsrod, eller unit root på engelsk. Hvis ρ 0 = 1 indsættes i ligning (36) får man en asymptotisk varians på 0, hvilket naturligvis ikke giver mening. Det fremgår også af ligning (36), at den asymptotiske fordeling kun gælder hvis 1 < ρ 0 < 1. OLS standardafvigelsen på ˆρ i nævneren af (37) kan dog altid beregnes, og standardafvigelsen vil selvfølgelig være strengt større end 0, men den asymptotiske fordeling for t-statistikken (37) vil afvige fra normalfordelingen når ρ 0 = 1, som vi skal se i det følgende. Konsekvensen af dette er at ˆρ har en anden asymptotisk fordeling hvis ρ 0 = 1. I kapitel 17 i Hamilton (1994) udledes følgende asymptotiske fordelinger for ˆρ og t-testet hvis ρ 0 = 1: T(ˆρ 1) L (1/2) {[W(1)2 1} 1 0 [W(r)2 dr (38) t L (1/2) {[W(1)2 1} { 1 0 [W(r)2 dr } (39) 1/2 10 Dette afsnit kan med fordel læses sammen med afsnit 2.7 i CLM. 11 Formelt er det nødvendigt at udlede den asymptotiske fordeling for T (ˆρ ρ 0 ), idet fordelingen for ˆρ kollapser til en enkelt værdi, nemlig ρ 0 (ellers ville estimatoren ikke være konsistent). Skaleringen med T er standardmetoden til at udlede den asymptotiske fordeling for en estimator. 12 For eksempel PROC REG i SAS eller Tools:Data Analysis:Regression i Excel. 9

11 De nye asymptotiske fordelinger er funktionaler af en Brownian motion W(r), se kapitel 17 i Hamilton (1994) for en uddybende forklaring af dette begreb. Her skal vi blot bemærke at fordelingerne er mere venstreskæve end normalfordelingen, hvilket betyder at de negative fraktilværdier er lavere end de tilsvarende værdier fra normalfordelingen. For eksempel er 5% fraktilværdien af (39) fordelingen for et ensidet t-test -1,95 mod -1,645 i normalfordelingen. Populært sagt skal der altså mere til for at afvise en nulhypotese pga. den nye fordeling. De specielle statistiske tests baseret på fordelingerne (38) og (39) kaldes ofte for Dickey-Fuller testet i unit root litteraturen. 9.2 Kointegration Testet for ρ = 1 i afsnit 9.1 er i virkeligheden et test mellem to vidt forskellige fordelinger, nemlig ikke-stationaritet versus stationaritet. Under nulhypotesen ρ = 1 følger y t random-walk processen y t = y t 1 + ε t, (40) som indebærer at der ikke er en stationær fordeling for y t. Det betyder igen, at stikprøvemomenter som ȳ = 1 T t=1 y t og Var(y) = 1 T (y t ȳ) 2 (41) t=1 ikke vil konvergere til konstante værdier når T (variansen Var(y) vil i teorien vokse eksplosivt). Under alternativhypotesen ρ < 1 følger y t derimod en stationær stokastisk process, og den ubetingede middelværdi og varians på y t eksisterer. Figur 1 viser grafisk forskellen på en randow-walk proces og en stationær autoregression. Selvom det er samme statistiske AR(1) model, blot med hhv. ρ = 0, 97 og ρ = 1 er der meget stor forskel på de to tidsserier. Random-walk processen (den røde tidsserie) har meget store udsving, mens den stationære proces (den blå tidsserie) hele tiden trækkes mod den ubetingede middelværdi 0. En ikke-stationær tidsserie kaldes ofte I(1), mens en stationær kaldes I(0). Betegnelsen I(1) henviser til at der skal tages differenser een gang før processen er stationær, idet førstedifferensen y t = y t y t 1 = ε t er en stationær process. Kointegration er en speciel relation mellem to ikke-stationære tidsserier. Hvis x t og y t begge er ikke-stationære, altså I(1), men der eksisterer en lineær relation mellem y t og x t som er stationær, altså I(0), siger man at y t og x t kointegrerer. Det formelle krav er altså, at der findes en værdi af β, således at e t = y t βx t I(0) (42) selv om y t og x t hver for sig er I(1) processer. Ligesom der findes statistiske tests for I(1) mod I(0), findes der statistiske tests for kointegration. Dem skal vi ikke gennemgå her, men blot henvise til eksempelvis Hamilton (1994), hvor dette emne behandles. Nogle gange er der økonomisk-teoretiske argumenter for at to tidsserier skal kointegrere. Det gælder f.eks. aktiekurser og dividender, jf. teorien om present-value modeller i CLM kapitel 7. Figur 2 viser den reale aktiekurs og den reale dividende for 10

12 Figur 1: Simulation af x(t)=rho*x(t-1) + eps(t) x(t) Observation rho=0.97 rho=1 Figur 1: Forskel på random-walk og stationær AR(1) proces US reale aktiekurser og dividender 20 Real aktiekurs Real dividende År Real P(t) e(t) Real D(t) 0 Figur 2: Eksempel på kointegration: reale aktiekurser og dividender i USA 11

13 SP-500 aktieindekset i USA. Både aktiekurser og dividender ser umiddelbart ud til at være I(1) processer. 13 Den tredje tidserie i Figur 2 er residualen e t fra en OLS regression af aktiekursen på dividendeserien. Denne tidsserie (residualerne) ser umiddelbart ud til at være stationær, hvilket svarer til at der er kointegration mellem aktiekurser og dividender. 10 VAR modeller VAR betyder Vector AutoRegression, og det er en multivariat generalisering af den univariate AR model. I stedet for en enkelt stokastisk variabel y t, opstiller vi en tidsseriemodel for en stokastisk vector x t. Lad x t være en n-dimensional stokastisk vektor, altså en n 1 vektor af stokastiske variable. Vi antager at x t kan beskrives ved følgende stokastiske process x t = µ + A (x t 1 µ) + ε t, (43) hvor A er en n n matrix af VAR koefficienter (parametre), og µ = E(x t ) er den ubetingede middelværdi (middelvektor) af x t. Hvis n = 2, kan VAR modellen også skrives som x 1t = µ 1 + a 11 (x 1,t 1 µ 1 ) + a 12 (x 2,t 1 µ 2 ) + ε 1t (44) x 2t = µ 2 + a 21 (x 1,t 1 µ 1 ) + a 22 (x 2,t 1 µ 2 ) + ε 2t, (45) men matrix formen (43) er naturligvis mere generel. Fejlleddet ε t i ligning (43) antages at opfylde følgende betingelser: E [ε t X t 1 = 0 (46) E [ ε t ε t+1 X t 1 = Ω, (47) hvor X t 1 = (x t 1,x t 2,...,x 1 ) er informationsmængden i den betingede forventning. For at forenkle notationen vil vi nogle gange skrive E t 1 [, der skal fortolkes som E t 1 [ X t 1. (48) Ovenstående er en VAR(1) model. Der findes naturligvis også en generel VAR(p) model, der er specificeret som p x t = µ + A i (x t i µ) + ε t. (49) I afsnit 10.2 nedenfor skal vi se på forecastfunktionen i en VAR model. Denne funktion er væsentligt nemmere at udlede for en VAR(1) end for en generel VAR(p) model. 13 Et statistisk test kan i hvert fald ikke afvise at begge processer er I(1). 12

14 Derfor bruger man ofte følgende trick, hvorved en VAR(p) kan omskrives til en VAR(1) model på såkaldt companion form: x t x t 1 x t p+1 = µ µ µ A 1 A 2 A p 1 A p I I 0 + x t 1 µ x t 2 µ x t p µ + ε t 0 0. (50) For VAR(2) modellen specialiseres dette til [ [ [ [ xt µ A1 A = + 2 xt 1 µ µ I 0 x t 2 µ x t 1 + [ εt 0. (51) En VAR(p) model kan således opfattes som en VAR(1) model for den augmenterede stokastiske vector x t x Z t t 1 med Z t = µ + A Z t 1 + ε t (52) x t p+1 og hvor definitionerne af np 1 vectorerne µ og ε t, samt np np matricen A følger af opskrivningen i ligning (50) Estimation af VAR modeller Hvis ε t N (0, Ω), kan den eksakte log-likelihood funktion for VAR(p) modellen skrives som log L = { n 2 log(2π) 1 2 log Ω 1 } 2 ε t Ω 1 ε t t=p+1 np 2 log(2π) 1 2 log V p 1 2 ( ) ( ) Xp µ p V 1 p Xp µ p, (53) hvor X p er np 1 vektoren bestående af de første p observationer af vektoren x t, og hvor µ p og V p er hhv. den ubetingede middelvektor og kovariansmatrix for den stokastiske vektor X p. Opskrivningen af den eksakte log-likelihood funktion i (53) fremkommer ved at anvende prediction error decomposition metoden, jf. afsnit 4, på den multivariate betingede tæthedsfunktion for x t. Det er meget nemmere at håndtere den approksimative log-likelihood funktion hvor bidraget fra de første p observationer, altså den anden linie i ligning (53) ignoreres. Den approksimative log-likelihood funktion, der også kan fortolkes som den betingede log-likelihood funktion givet de første p observationer på x t, kan skrives som: (T p)n log L log(2π) T p log Ω t=p+1 ε t Ω 1 ε t. (54) 13

15 Hvis man anvender reparameteriseringen c = µ (I p A i ), svarer dette til loglikelihood funktionen for den multivariate regressionsmodel p x t = c + A i x t i + ε t, for t = p + 1,..., T. (55) Da der er de samme forklarende variable i alle n regressionsligninger, kan dette system estimeres ligning for ligning ved almindelig OLS uden efficienstab (dvs. OLS ligningfor-ligning er ML estimation) Forecast funktionen i en VAR model I forbindelse med emnet present-value modeller og forventningshypoteseteorien for rentestrukturen skal vi bruge en VAR model til at forudsige fremtidige værdier. Det kaldes forecast funktionen i VAR modellen, og det bedste forecast er den betingede forventning givet den information, som er tilgængelig på forecasttidspunktet. Den betingede forventning af x t+1 i en VAR(1) model er E t [x t+1 = µ + A (x t µ), (56) da E t [ε t+1 = 0. Den betingede forventning af x t+2 på tidspunkt t kan bestemmes ved at anvende dette princip to gange E t [x t+2 = E t [E t+1 [x t+2 = E t [µ + A (x t+1 µ) = µ + AA (x t+1 µ), (57) hvor den første lighed følger af loven om itererede forventninger. 14 Generelt kan det vises at E t [x t+k = µ + A k (x t µ) (59) hvor A k skal læses som A 2 = AA, A 3 = AAA, A 4 = AAAA, etc, (60) altså matricen A multipliceret med sig selv k 1 gange. Sagt med andre ord: A k er matrix generaliseringen af potensopløftning for skalarer. 14 Hvis F og G er informationssæt med relationen G F, gælder det generelt at E [z G = E [E [z F G, (58) dvs. at man først kan tage forventningen af den stokastisk variabel z betinget af det store informationssæt F, og dernæst forventningen af forventningen givet det lille informationssæt F. Slutresultatet svarer til forventningen af den oprindelige stokastiske variabel givet det lille informationssæt. Dette resultat kaldes loven om itererede forventninger (law of iterated expectations). 14

16 Litteratur Box, G.E.P. & G.M. Jenkins (1976), Time Series Analysis: Forecasting and Control, revised edition, Holden-Day, San Francisco, CA. Campbell, J.Y., A.W. Lo & A.C. MacKinlay (1997), The Econometrics of Financial Markets, Princeton University Press, Princeton NJ. Hamilton, J.D. (1994), Time Series Analysis, Princeton University Press, Princeton NJ. Harvey, A.C. (1993), Time Series Models, 2nd edition, Prentice-Hall, UK. Milhøj, A. (1986), Tidsrækkeanalyse for Økonomer, Akademisk Forlag, København. Mills, T.C. (1990), Time Series Techniques for Economists, Cambridge University Press, Cambridge UK. 15

Matrix Algebra med Excel Forelæsningsnoter til FR86. Jesper Lund mail@jesperlund.com http://www.jesperlund.com

Matrix Algebra med Excel Forelæsningsnoter til FR86. Jesper Lund mail@jesperlund.com http://www.jesperlund.com Matrix Algebra med Excel Forelæsningsnoter til FR86 Jesper Lund mail@jesperlund.com http://www.jesperlund.com 28. august 2002 1 Indledning Matrix algebra er et uundværligt redskab til økonometri, herunder

Læs mere

Statistik for ankomstprocesser

Statistik for ankomstprocesser Statistik for ankomstprocesser Anders Gorst-Rasmussen 20. september 2006 Resumé Denne note er en kortfattet gennemgang af grundlæggende statistiske værktøjer, man kunne tænke sig brugt til at vurdere rimeligheden

Læs mere

Økonometri: Lektion 4. Multipel Lineær Regression: F -test, justeret R 2 og aymptotiske resultater

Økonometri: Lektion 4. Multipel Lineær Regression: F -test, justeret R 2 og aymptotiske resultater Økonometri: Lektion 4 Multipel Lineær Regression: F -test, justeret R 2 og aymptotiske resultater 1 / 35 Hypotesetest for én parameter Antag vi har model y = β 0 + β 1 x 2 + β 2 x 2 + + β k x k + u. Vi

Læs mere

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i.

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i. Repetition af vektor-regning Økonometri: Lektion 3 Matrix-formulering Fordelingsantagelse Hypotesetest Antag vi har to n-dimensionelle (søjle)vektorer a 1 b 1 a 2 a =. og b = b 2. a n b n Tænk på a og

Læs mere

Simpel Lineær Regression

Simpel Lineær Regression Simpel Lineær Regression Mål: Forklare variablen y vha. variablen x. Fx forklare Salg (y) vha. Reklamebudget (x). Vi antager at sammenhængen mellem y og x er beskrevet ved y = β 0 + β 1 x + u. y: Afhængige

Læs mere

Supplement til kapitel 4 Om sandsynlighedsmodeller for flere stokastiske variable

Supplement til kapitel 4 Om sandsynlighedsmodeller for flere stokastiske variable IMM, 00--6 Poul Thyregod Supplement til kapitel 4 Om sandsynlighedsmodeller for flere stokastiske variable Todimensionale stokastiske variable Lærebogens afsnit 4 introducerede sandsynlighedsmodeller formuleret

Læs mere

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x) Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen

Læs mere

Introduktion til GLIMMIX

Introduktion til GLIMMIX Introduktion til GLIMMIX Af Jens Dick-Nielsen jens.dick-nielsen@haxholdt-company.com 21.08.2008 Proc GLIMMIX GLIMMIX kan bruges til modeller, hvor de enkelte observationer ikke nødvendigvis er uafhængige.

Læs mere

Indblik i statistik - for samfundsvidenskab

Indblik i statistik - for samfundsvidenskab Indblik i statistik - for samfundsvidenskab Læs mere om nye titler fra Academica på www.academica.dk Nikolaj Malchow-Møller og Allan H. Würtz Indblik i statistik for samfundsvidenskab Academica Indblik

Læs mere

µ = κ (θ); Kanonisk link, θ = g(µ) Poul Thyregod, 9. maj Specialkursus vid.stat. foraar 2005

µ = κ (θ); Kanonisk link, θ = g(µ) Poul Thyregod, 9. maj Specialkursus vid.stat. foraar 2005 Hierarkiske generaliserede lineære modeller Lee og Nelder, Biometrika (21) 88, pp 987-16 Dagens program: Mandag den 2. maj Hierarkiske generaliserede lineære modeller - Afslutning Hierarkisk generaliseret

Læs mere

Stokastiske processer og køteori

Stokastiske processer og køteori Stokastiske processer og køteori 9. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 OPSAMLING EKSAKTE MODELLER Fordele: Praktiske til initierende analyser/dimensionering

Læs mere

Schweynoch, 2003. Se eventuelt http://www.mathematik.uni-kassel.de/~fathom/projekt.htm.

Schweynoch, 2003. Se eventuelt http://www.mathematik.uni-kassel.de/~fathom/projekt.htm. Projekt 8.5 Hypotesetest med anvendelse af t-test (Dette materiale har været anvendt som forberedelsesmateriale til den skriftlige prøve 01 for netforsøget) Indhold Indledning... 1 χ -test... Numeriske

Læs mere

Program. 1. Varianskomponent-modeller (Random Effects) 2. Transformation af data. 1/12

Program. 1. Varianskomponent-modeller (Random Effects) 2. Transformation af data. 1/12 Program 1. Varianskomponent-modeller (Random Effects) 2. Transformation af data. 1/12 Dæktyper og brændstofforbrug Data fra opgave 10.43, side 360: cars 1 2 3 4 5... radial 4.2 4.7 6.6 7.0 6.7... belt

Læs mere

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0 Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Efterår 2014 Institution Niels Brock Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold HHX Matematik - Niveau A Peter Harremoës GSK hold t14gymaau1o2 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

STATISTIKNOTER Simple binomialfordelingsmodeller

STATISTIKNOTER Simple binomialfordelingsmodeller STATISTIKNOTER Simple binomialfordelingsmodeller Jørgen Larsen IMFUFA Roskilde Universitetscenter Februar 1999 IMFUFA, Roskilde Universitetscenter, Postboks 260, DK-4000 Roskilde. Jørgen Larsen: STATISTIKNOTER:

Læs mere

Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Mandag den 11. juni 2007 kl. 15.00 18.00

Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Mandag den 11. juni 2007 kl. 15.00 18.00 Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Mandag den 11. juni 2007 kl. 15.00 18.00 Forskningsenheden for Statistik IMADA Syddansk Universitet Alle skriftlige hjælpemidler samt brug af lommeregner er tilladt.

Læs mere

Epidemiologi og Biostatistik

Epidemiologi og Biostatistik Kapitel 1, Kliniske målinger Epidemiologi og Biostatistik Introduktion til skilder (varianskomponenter) måleusikkerhed sammenligning af målemetoder Mogens Erlandsen, Institut for Biostatistik Uge, torsdag

Læs mere

Statikstik II 2. Lektion. Lidt sandsynlighedsregning Lidt mere om signifikanstest Logistisk regression

Statikstik II 2. Lektion. Lidt sandsynlighedsregning Lidt mere om signifikanstest Logistisk regression Statikstik II 2. Lektion Lidt sandsynlighedsregning Lidt mere om signifikanstest Logistisk regression Sandsynlighedsregningsrepetition Antag at Svar kan være Ja og Nej. Sandsynligheden for at Svar Ja skrives

Læs mere

Statistik II 4. Lektion. Logistisk regression

Statistik II 4. Lektion. Logistisk regression Statistik II 4. Lektion Logistisk regression Logistisk regression: Motivation Generelt setup: Dikotom(binær) afhængig variabel Kontinuerte og kategoriske forklarende variable (som i lineær reg.) Eksempel:

Læs mere

Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller

Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 Indledning 2 Sandsynlighed i binomialfordelingen 3 Normalfordelingen 4 Modelkontrol

Læs mere

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M. Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen

Læs mere

Statistik i GeoGebra

Statistik i GeoGebra Statistik i GeoGebra Peter Harremoës 13. maj 2015 Jeg vil her beskrive hvordan man kan lave forskellige statistiske analyser ved hjælp af GeoGebra 4.2.60.0. De statistiske analyser svarer til pensum Matematik

Læs mere

ISCC. IMM Statistical Consulting Center. Brugervejledning til beregningsmodul til robust estimation af nugget effect. Technical University of Denmark

ISCC. IMM Statistical Consulting Center. Brugervejledning til beregningsmodul til robust estimation af nugget effect. Technical University of Denmark IMM Statistical Consulting Center Technical University of Denmark ISCC Brugervejledning til beregningsmodul til robust estimation af nugget effect Endelig udgave til Eurofins af Christian Dehlendorff 15.

Læs mere

Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10)

Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10) Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

IMFUFA TEKST NR 435 2004. TEKSTER fra ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER BASISSTATISTIK. Jørgen Larsen 2004, 2005

IMFUFA TEKST NR 435 2004. TEKSTER fra ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER BASISSTATISTIK. Jørgen Larsen 2004, 2005 TEKST NR 435 2004 BASISSTATISTIK Jørgen Larsen 2004, 2005 TEKSTER fra IMFUFA INSTITUT ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER FOR STUDIET AF MATEMATIK OG FYSIK SAMT DERES FUNKTIONER I UNDERVISNING, FORSKNING OG ANVENDELSER

Læs mere

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Microsoft Excel har en del standard anvendelsesmuligheder i forhold til den beskrivende statistik og statistisk

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Juni 2013 Roskilde

Læs mere

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt?

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projektet drejer sig om at udvikle en metode, til at undersøge om et givet talmateriale med rimelighed kan siges at være normalfordelt.

Læs mere

Teoretisk Statistik, 2. december 2003. Sammenligning af poissonfordelinger

Teoretisk Statistik, 2. december 2003. Sammenligning af poissonfordelinger Uge 49 I Teoretisk Statistik, 2. december 2003 Sammenligning af poissonfordelinger o Generel teori o Sammenligning af to poissonfordelinger o Eksempel Opsummering om multinomialfordelinger Fishers eksakte

Læs mere

Program. t-test Hypoteser, teststørrelser og p-værdier. Hormonkonc.: statistisk model og konfidensinterval. Hormonkoncentration: data

Program. t-test Hypoteser, teststørrelser og p-værdier. Hormonkonc.: statistisk model og konfidensinterval. Hormonkoncentration: data Faculty of Life Sciences Program t-test Hypoteser, teststørrelser og p-værdier Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Resumé og hængepartier fra sidst. Eksempel: effekt af foder på hormonkoncentration

Læs mere

Forwardkurve modellering

Forwardkurve modellering Copenhagen Business School Institut for Finansiering Cand.merc.(mat) Kandidatafhandling Afleveret den 15. april 2011 Forwardkurve modellering af Gas, Elektricitet og CO 2 -implementering og prisfastsættelse

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

1. Lav en passende arbejdstegning, der illustrerer samtlige enkeltobservationer.

1. Lav en passende arbejdstegning, der illustrerer samtlige enkeltobservationer. Vejledende besvarelse af hjemmeopgave Basal statistik, efterår 2008 En gruppe bestående af 45 patienter med reumatoid arthrit randomiseres til en af 6 mulige behandlinger, nemlig placebo, aspirin eller

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 11/12 Institution VUC Holstebro-Lemvig-Struer Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Matematik

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B (Valghold) PEJE

Læs mere

Fordelinger for realiseret volatilitet for aktieafkast

Fordelinger for realiseret volatilitet for aktieafkast Cand. Merc. Finansiering Investigations of Securities Markets Opgaveløsere Per H. Frederiksen 3. semester Mads Overgaard Vejleder Carsten Tanggaard Fordelinger for realiseret volatilitet for aktieafkast

Læs mere

CIVILINGENIØREKSAMEN. Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve, den: 2. juni 2009 Kursus nr : 02405. Kursus navn: Sandsynlighedsregning

CIVILINGENIØREKSAMEN. Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve, den: 2. juni 2009 Kursus nr : 02405. Kursus navn: Sandsynlighedsregning CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 18 sider Skriftlig prøve, den: 2. juni 2009 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: (navn) (underskrift)

Læs mere

CIVILINGENIØREKSAMEN. Side 1 af 19 sider. Skriftlig prøve, den: 20. december 2006 Kursus nr : 02405. Kursus navn: Sandsynlighedsregning

CIVILINGENIØREKSAMEN. Side 1 af 19 sider. Skriftlig prøve, den: 20. december 2006 Kursus nr : 02405. Kursus navn: Sandsynlighedsregning CIVILINGENIØREKSAMEN Side af 9 sider Skriftlig prøve, den: 0. december 006 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: navn underskrift bord

Læs mere

Økonomisk Kandidateksamen 2003II Økonometri 1. Værdisætning af skov

Økonomisk Kandidateksamen 2003II Økonometri 1. Værdisætning af skov Økonomisk Kandidateksamen 2003II Økonometri 1 Værdisætning af skov Praktiske anvisninger til individuel tag-hjem eksamen i Økonometri 1: Start med at sikre dig at du kan få adgang til data, opgavetekst

Læs mere

Vejledning til Gym18-pakken

Vejledning til Gym18-pakken Vejledning til Gym18-pakken Copyright Maplesoft 2014 Vejledning til Gym18-pakken Contents 1 Vejledning i brug af Gym18-pakken... 1 1.1 Installation... 1 2 Deskriptiv statistik... 2 2.1 Ikke-grupperede

Læs mere

Byggeøkonomuddannelsen

Byggeøkonomuddannelsen Byggeøkonomuddannelsen Risikoanalyse Successiv kalkulation Ken L. Bechmann 18. november 2013 1 Dagens emner Risikoanalyse og introduktion hertil Kalkulation / successiv kalkulation Øvelser og småopgaver

Læs mere

B3: Strategi, marked og produktion. F2003 Obligatorisk Opgave 1

B3: Strategi, marked og produktion. F2003 Obligatorisk Opgave 1 B3: Strategi, marked og produktion. F2003 Obligatorisk Opgave 1 Svend Hylleberg, Claus Thrane Jensen, Per Baltzer Overgaard og Michael H.J. Stæhr 10.4.2003 Abstract Udleveret materiale findes på Obligatorisk_1_03_udl.xls

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2014 IBC-Kolding

Læs mere

Estimation af Multifaktor Affine Rentestruktur Modeller ved Kalman Filter metoder. Morten Boelt Barslund Jens Dick-Nielsen Allan Sall Tang Andersen

Estimation af Multifaktor Affine Rentestruktur Modeller ved Kalman Filter metoder. Morten Boelt Barslund Jens Dick-Nielsen Allan Sall Tang Andersen Estimation af Multifaktor Affine Rentestruktur Modeller ved Kalman Filter metoder Morten Boelt Barslund Jens Dick-Nielsen Allan Sall Tang Andersen 20. maj 2006 Indhold 1 Indledning 3 I Det teoretiske fundament

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Side 1 af 8. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2010/11.

Side 1 af 8. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2010/11. Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2010/11 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Zealand Business College Hhx Matematik

Læs mere

statistik statistik viden fra data statistik viden fra data Jens Ledet Jensen Aarhus Universitetsforlag Aarhus Universitetsforlag

statistik statistik viden fra data statistik viden fra data Jens Ledet Jensen Aarhus Universitetsforlag Aarhus Universitetsforlag Jens Ledet Jensen på data, og statistik er derfor et nødvendigt værktøj i disse sammenhænge. Gennem konkrete datasæt og problemstillinger giver Statistik viden fra data en grundig indføring i de basale

Læs mere

Studieretningsprojekter i machine learning

Studieretningsprojekter i machine learning i machine learning 1 Introduktion Machine learning (ml) er et område indenfor kunstig intelligens, der beskæftiger sig med at konstruere programmer, der kan kan lære fra data. Tanken er at give en computer

Læs mere

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP()

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Et kast med 10 terninger gav følgende udfald Fig. 1 Result of rolling 10 dices

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2014 IBC-Kolding

Læs mere

ANALYSE AF DET DANSKE, TYSKE OG HOLLANDSKE SMÅGRISEMARKED

ANALYSE AF DET DANSKE, TYSKE OG HOLLANDSKE SMÅGRISEMARKED Støttet af: ANALYSE AF DET DANSKE, TYSKE OG HOLLANDSKE SMÅGRISEMARKED NOTAT NR. 147 Den danske puljenotering følger den tyske Nord-West notering med 4 ugers forsinkelse i gennemsnit. Drivkræfterne bag

Læs mere

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse.

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse. Opdateret 28. maj 2014. MD Ofte brugte kommandoer i Geogebra. Generelle Punktet navngives A Geogebra navngiver punktet Funktionen navngives f Funktionen navngives af Geogebra Punktet på grafen for f med

Læs mere

Baggrundsnotat: Modelteknisk

Baggrundsnotat: Modelteknisk Sekretariatet for Energitilsynet Baggrundsnotat: Modelteknisk materiale Store forskelle i varmepriserne hvorfor? Center for Varme Tekniske bilag I dette baggrundsnotat gennemgås de økonometriske forhold

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2012 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B Ejner Husum

Læs mere

Spar Nord Banks ansøgningsscoremodel. - et ekspertbaseret ratingsystem for nye udlånskunder

Spar Nord Banks ansøgningsscoremodel. - et ekspertbaseret ratingsystem for nye udlånskunder Spar Nord Banks ansøgningsscoremodel - et ekspertbaseret ratingsystem for nye udlånskunder Mål for ansøgningsscoremodel Rating af nye udlånskunder som beskrives vha. en række variable: alder, boligform,

Læs mere

Eksamen ved. Københavns Universitet i. Kvantitative forskningsmetoder. Det Samfundsvidenskabelige Fakultet

Eksamen ved. Københavns Universitet i. Kvantitative forskningsmetoder. Det Samfundsvidenskabelige Fakultet Eksamen ved Københavns Universitet i Kvantitative forskningsmetoder Det Samfundsvidenskabelige Fakultet 14. december 2011 Eksamensnummer: 5 14. december 2011 Side 1 af 6 1) Af boxplottet kan man aflæse,

Læs mere

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin juni 2011 Institution Campus Bornholm Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hhx Matematik C Peter Seide 1AB

Læs mere

Program. Logistisk regression. Eksempel: pesticider og møl. Odds og odds-ratios (igen)

Program. Logistisk regression. Eksempel: pesticider og møl. Odds og odds-ratios (igen) Faculty of Life Sciences Program Logistisk regression Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Odds og odds-ratios igen Logistisk regression Estimation og inferens Modelkontrol Slide 2 Statistisk Dataanalyse

Læs mere

Statistik. Deskriptiv statistik, normalfordeling og test. Karsten Juul

Statistik. Deskriptiv statistik, normalfordeling og test. Karsten Juul Statistik Deskriptiv statistik, normalfordeling og test Karsten Juul Intervalhyppigheder En elevgruppe på et gymnasium har spurgt 100 tilfældigt valgte elever på gymnasiet om hvor lang tid det tager dem

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. VIDEREGÅENDE STATISTIK II Regressionsanalyse (TI-89 og Statgraphics)

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. VIDEREGÅENDE STATISTIK II Regressionsanalyse (TI-89 og Statgraphics) MOGENS ODDERSHEDE LARSEN VIDEREGÅENDE STATISTIK II Regressionsanalyse (TI-89 og Statgraphics) DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET 6 udgave 005 FORORD Dette notat kan læses på baggrund af en statistisk viden

Læs mere

Statistik med TI-Nspire CAS version 3.2. Bjørn Felsager September 2012. [Fjerde udgave]

Statistik med TI-Nspire CAS version 3.2. Bjørn Felsager September 2012. [Fjerde udgave] Statistik med TI-Nspire CAS version 3.2 Bjørn Felsager September 2012 [Fjerde udgave] Indholdsfortegnelse Forord Beskrivende statistik 1 Grundlæggende TI-Nspire CAS-teknikker... 4 1.2 Lister og regneark...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj / juni 2015 Institution Vejen Business College Uddannelse Fag og niveau HHX Matematik niveau B Lærer(e)

Læs mere

En statistisk analyse af aktieafkast

En statistisk analyse af aktieafkast En statistisk analyse af aktieafkast Af cand.scient.oecon. Erik Christiansen IBC Kolding Efterår 2008 Forord Kan man ved bruge af statistiske modeller og de historiske aktiekurser forudsige fremtidens

Læs mere

Statistisk bearbejdning af overvågningsdata - Trendanalyser

Statistisk bearbejdning af overvågningsdata - Trendanalyser Danmarks Miljøundersøgelser Miljøministeriet Teknisk anvisning fra DMU nr. 4, 006 Statistisk bearbejdning af overvågningsdata - Trendanalyser NOVANA (Tom side) Danmarks Miljøundersøgelser Miljøministeriet

Læs mere

Hvad er CAS? Hvad er algebra? Didaktisk analyse af CAS-brug Hvad kan lærerne gøre?

Hvad er CAS? Hvad er algebra? Didaktisk analyse af CAS-brug Hvad kan lærerne gøre? CAS og folkeskolens matematik muligheder og udfordringer Carl Winsløw winslow@ind.ku.dk http://www.ind.ku.dk/winslow Hvad er CAS? Hvad er algebra? Didaktisk analyse af CAS-brug Hvad kan lærerne gøre? 1

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2014 Institution Campus Vejle Uddannelse HHX Fag og niveau Matematik B ( Valghold ) Lærer(e) LSP (

Læs mere

INDLEDNING...2 DATAMATERIALET... 2 KARAKTERISTIK AF POPULATIONEN... 4

INDLEDNING...2 DATAMATERIALET... 2 KARAKTERISTIK AF POPULATIONEN... 4 Indholdsfortegnelse INDLEDNING...2 DATAMATERIALET... 2 KARAKTERISTIK AF OULATIONEN... 4 DELOGAVE 1...5 BEGREBSVALIDITET... 6 Differentiel item funktionsanalyser...7 Differentiel item effekt...10 Lokal

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/Juni 2014 Institution Vejen Business College Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik niveau

Læs mere

Program. Sammenligning af grupper Ensidet ANOVA. Case 3, del II: Fiskesmag i lammekød. Case 3, del I: A-vitamin i leveren

Program. Sammenligning af grupper Ensidet ANOVA. Case 3, del II: Fiskesmag i lammekød. Case 3, del I: A-vitamin i leveren Faculty of Life Sciences Program Sammenligning af grupper Ensidet ANOVA Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Sammenligning af to grupper: tre eksempler Sammenligning af mere end to grupper: ensidet

Læs mere

Oversigt. Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 10: Statistik ved hjælp af simulering. Per Bruun Brockhoff.

Oversigt. Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 10: Statistik ved hjælp af simulering. Per Bruun Brockhoff. Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 10: Statistik ved hjælp af simulering Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

H.D.- Studiet i finansiel rådgivning Hovedopgave forår 2012 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

H.D.- Studiet i finansiel rådgivning Hovedopgave forår 2012 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - H.D.- Studiet i finansiel rådgivning Hovedopgave forår 2012 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Opgaveløser: Bo Rasmussen Vejleder: Robert Neumann

Læs mere

ETNISKE GRUPPERS VÆRDIER

ETNISKE GRUPPERS VÆRDIER ETNISKE GRUPPERS VÆRDIER Analyse af Surveys afleveret d. 1/12-2008 Udarbejdet af: Emil Nejstgaard Vejleder: Hans Bay Opponent: Ann Sophie Johansen Antal sider inklusiv denne forside: 21 Side 1 af 21 INDHOLD

Læs mere

Statistik II Lektion 3. Logistisk Regression Kategoriske og Kontinuerte Forklarende Variable

Statistik II Lektion 3. Logistisk Regression Kategoriske og Kontinuerte Forklarende Variable Statistik II Lektion 3 Logistisk Regression Kategoriske og Kontinuerte Forklarende Variable Setup: To binære variable X og Y. Statistisk model: Konsekvens: Logistisk regression: 2 binære var. e e X Y P

Læs mere

Stokastiske processer og køteori

Stokastiske processer og køteori Stokastiske processer og køteori 6. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 KØSYSTEMER NOTATION Notation for parallelforbundne ekspeditionssystemer X/Y(m, q).

Læs mere

Kønsproportion og familiemønstre.

Kønsproportion og familiemønstre. Københavns Universitet Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik Projektopgave forår 2005 Kønsproportion og familiemønstre. Matematik 2SS Inge Henningsen februar 2005 Indledning I denne opgave undersøges,

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Eksempel: PEFR. Epidemiologi og biostatistik. Uge 1, tirsdag. Erik Parner, Institut for Biostatistik.

Eksempel: PEFR. Epidemiologi og biostatistik. Uge 1, tirsdag. Erik Parner, Institut for Biostatistik. Epidemiologi og biostatistik. Uge, tirsdag. Erik Parner, Institut for Biostatistik. Generelt om statistik Dataanalysen - Deskriptiv statistik - Statistisk inferens Sammenligning af to grupper med kontinuerte

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 200/2010 Institution Herning HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hf Matematik C, HF Johnny

Læs mere

Et matematikeksperiment: Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF

Et matematikeksperiment: Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF Sammenligning af to måleserier En af de mest grundlæggende problemstillinger i statistik består i at undersøge om to forskellige måleserier er signifikant forskellige eller om forskellen på de to serier

Læs mere

Hvad bør en option koste?

Hvad bør en option koste? Det Naturvidenskabelige Fakultet Rolf Poulsen rolf@math.ku.dk Institut for Matematiske Fag 19. marts 2015 Dias 1/22 Reklame først: Matematik-økonomi-uddannelsen Økonomi på et solidt matematisk/statistisk

Læs mere

Bilag 1: Beregning af omkostningsækvivalenter

Bilag 1: Beregning af omkostningsækvivalenter Bilag 1: Beregning af omkostningsækvivalenter Bilaget indeholder den tekniske beregning af omkostningsækvivalenterne til brug for benchmarkingen 2013. FORSYNINGSSEKRETARIATET FEBRUAR 2013 INDLEDNING...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2013 HTX Vibenhus

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2012 (denne beskrivelse dækker efterår 2011 og forår 2012) Institution Roskilde Handelsskole Uddannelse

Læs mere

Estimation af middellevetider for mænd og kvinder i Danmark 2002-2100 baseret på Lee-Carter metoden

Estimation af middellevetider for mænd og kvinder i Danmark 2002-2100 baseret på Lee-Carter metoden VELFÆRDS KOMMISSIONEN Estimation af middellevetider for mænd og kvinder i Danmark 2002-2100 baseret på Lee-Carter metoden Niels Haldrup Arbejdsrapport 2004:3 Estimation af middellevetider for mænd og kvinder

Læs mere

Matematik B. Højere handelseksamen

Matematik B. Højere handelseksamen Matematik B Højere handelseksamen hh123-mat/b-17122012 Mandag den 17. december 2012 kl. 9.00-13.00 Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt 5 spørgsmål.

Læs mere

matx.dk Undersøgelsesdesign Statistik Dennis Pipenbring

matx.dk Undersøgelsesdesign Statistik Dennis Pipenbring matx.dk Undersøgelsesdesign Statistik Dennis Pipenbring 7. april 2011 Indhold 1 Undersøgelsesdesign 5 1.1 Kausalitet............................. 5 1.2 Validitet og bias......................... 6 1.3

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Statistisk beskrivelse og test

Statistisk beskrivelse og test Statistisk beskrivelse og test 005 Karsten Juul Kapitel 1. Intervalhyppigheder Afsnit 1.1: Histogram En elevgruppe på et gymnasium har spurgt 100 tilfældigt valgte elever på gymnasiet om hvor lang tid

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj / juni 2014 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C Lene Thygesen

Læs mere

En meget kort introduktion til R på polit

En meget kort introduktion til R på polit En meget kort introduktion til R på polit Sebastian Barfort sebastian.barfort@econ.ku.dk Indhold 1 Introduktion 1 2 R som lommeregner 2 3 Tabeller, grafer og estimation 6 4 Økonomiske figurer 11 1 Introduktion

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni, 2013/14

Læs mere

Konjunkturbarometre som prognoseværktøj

Konjunkturbarometre som prognoseværktøj 73 Konjunkturbarometre som prognoseværktøj Jonas Sørensen, Økonomisk Afdeling INDLEDNING OG SAMMENFATNING Den økonomiske aktivitet opgøres mest udførligt i nationalregnskabet, men det offentliggøres først

Læs mere

SAS Asset Management. Mikal Netteberg Marianne Hansen Søren Johansen SAS Institute A/S. Copyright 2006, SAS Institute Inc. All rights reserved.

SAS Asset Management. Mikal Netteberg Marianne Hansen Søren Johansen SAS Institute A/S. Copyright 2006, SAS Institute Inc. All rights reserved. SAS Asset Management Mikal Netteberg Marianne Hansen Søren Johansen SAS Institute A/S Agenda Introduktion Arbejdsmetode Overordnet forretningsmæssig kravspecifikation Detailforretningsmæssig kravspecifikation

Læs mere

Projektopgave Observationer af stjerneskælv

Projektopgave Observationer af stjerneskælv Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der

Læs mere

Teknikker til analyse af tal med Excel

Teknikker til analyse af tal med Excel 1 Appendiks 2 Teknikker til analyse af tal med Excel Dette appendiks indeholder mange gentagelser fra kapitel 10, afsnit 4 Teknikker til analyse af tal i Den skinbarlige virkelighed) dog med den forskel,

Læs mere

Opgave 6. Opgave 7. Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 26 maj 2015. a) Se Bilag 2! b) Variablen n isoleres. L = 2 z 1 α. L = 2 z 1 α L = n =

Opgave 6. Opgave 7. Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 26 maj 2015. a) Se Bilag 2! b) Variablen n isoleres. L = 2 z 1 α. L = 2 z 1 α L = n = Opgave 6 a) Se Bilag 2! b) Variablen n isoleres ( L = 2 z 1 α 2 ) 2 L = 2 z 1 α 2 L = 2 z 1 α 2 n = ( ˆp (1 ˆp) n ˆp (1 ˆp) n ˆp (1 ˆp) ( n ( ˆp (1 ˆp) ) 1/2 ) 2 L 2 z 1 α 2 n ) 1/2 Opgave 7 n = 4ˆp (1

Læs mere