Matrix Algebra med Excel Forelæsningsnoter til FR86. Jesper Lund

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Matrix Algebra med Excel Forelæsningsnoter til FR86. Jesper Lund mail@jesperlund.com http://www.jesperlund.com"

Transkript

1 Matrix Algebra med Excel Forelæsningsnoter til FR86 Jesper Lund 28. august 2002

2 1 Indledning Matrix algebra er et uundværligt redskab til økonometri, herunder fag som empirisk finansiering. Formålet med denne note er at beskrive de basale regneregler for matrix algebra, svarende nogenlunde til hvad der forudsættes ved læsning af lærebogen for faget FR86 [Campbell, Lo and MacKinlay (1997)]. Noten beskriver desuden hvordan regnearket Microsoft Excel kan anvendes til (visse) matrix algebra operationer. 2 Definitioner 2.1 Matrix En matrix er en rektangulær tabel af tal (rektangulær vil sige at hver række og hver søjle indeholder lige mange tal). Notationen en n m matrix (læses: n kryds m) betyder en matrix med n rækker og m søjler (kolonner). Elementet i den i te række og j te søjle benævnes a ij, og hele matricen skrives som A n m = a 11 a 12 a 1m a 22 a 22 a 2m a n1 a n2 a nm eller mere kortfattet A = [a ij ]. Notationen betyder at vi har udeladt et vilkårligt antal rækker eller søjler ved opskrivningen. Bemærk desuden at man normalt skriver matricer med stort A, mens de enkelte elementer skrives med lille a ij efterfulgt af de relevante fodtegn. Ligeledes skrives matricer (og vektorer) ofte med boldface skrifttype, sådan som det er gjort her. Et mere konkret eksempel er en 2 3 matrix, der har følgende elementer [ ] a11 a A 2 3 = 12 a 13 (2) a 21 a 22 a 23 Ofte udelader man fodtegnet n m, der angiver dimensionerne på matricen, men i starten når man lærer matrix algebra, er det en god ide konsekvent at skrive dimensionerne på matricen, blandt andet fordi regneregler som matrix multiplikation kun gælder hvis dimensioner overholder visse betingelser (mere herom senere). En n m matrix siges at være kvadratisk hvis n = m. For en kvadratiske matrix A n n kalder man elementerne a ii for diagonalelementerne. 2.2 Transponering Transponering af matricen A benævnes ved A (læses: A mærke), og det vil sige at man bytter om på rækker og søjler. Hvis man f.eks. transponerer matricen A 2 3 fås a 11 a 21 A 3 2 = a 12 a 22 (3) a 13 a 23 1 (1)

3 og for den generelle n m matrix giver transponering A m n = a 11 a 21 a n1 a 12 a 22 a n2 a 1m a 2m a nm 2.3 Lighed mellem matricer og symmetri. (4) To matricer A og B siges at være lig med hinanden, hvis de har samme dimensioner, og hvis a ij = b ij for samtlige elementer i de to matricer. En matrix A kaldes symmetrisk, hvis A = A. Dertil kræves at matricen er kvadratisk, og at a ij = a ji for alle i j. 2.4 Vektor En vektor er et specialtilfælde af en matrix, hvor der kun er en søjle. v n 1 = v 1 v 2 v n (5) Strengt taget burde man kalde ovennævnte en søjlevektor. Der findes nemlig også rækkevektorer, som er matricer med en række og n søjler. Når man blot skriver vektor mener man normalt en søjlevektor. Transponering gælder også for vektorer, dvs. hvis v er en (søjle)vektor, så er v en rækkevektor. Nogle gange er der hensigtsmæssigt at skrive en matrix vha. søjle- eller rækkevektorer. For eksempel kan den generelle n m matrix skrives som A n m = a 1 a 2 a n, hvor a k er en (søjle)vektor med m elementer (således at a k er en 1 m rækkevektor). Her angiver fodtegnet k ikke dimensionen af vektoren, men placeringen (rækken) i matricen A. 2.5 Nogle specielle matricer og vektorer Identitetsmatricen I n n er en symmetrisk matrix, der har 1 på diagonalen og 0 alle andre steder. For den generelle I n n identitetsmatrix har vi I n n = (6). (7) 2

4 En diagonal matrix er en kvadratisk matrix, hvor alle elementer uden for diagonalen er 0. Det vil sige at hvis D er en diagonal matrix, er d ij = 0 for alle i j. Identitetsmatricen er således et specialtilfælde af en diagonal matrix, hvor alle diagonalelementerne er 1. Ettalsvektoren er en vektor hvor alle elementer er 1. Ofte benævnes denne vektor ved symbolet ι, og vi har således ι n 1 = (1 1 1). Bemærk at ι n 1 er en søjlevektor, men at jeg af pladshensyn har skrevet den som en rækkevektor og derefter transponeret den. 3 Regneregler for matricer De følgende regneregler for matricer gælder også for vektorer, idet man jo skal huske at en n-dimensional vektor er en n 1 matrix. 3.1 Addition og subtraktion af matricer Addition mellem to matricer defineres som elementvis addition, og operationen er derfor kun defineret hvis de to matricer har samme dimensioner (sagt formelt: er konforme for addition). Hvis A og B begge er n m matricer, er C n m = A n m + B n m (8) en n m matrix med elementerne c ij = a ij + b ij. Subtraktion defineres på samme måde som addition (elementvis subtraktion), dvs. elementerne i C = A B er givet ved c ij = a ij b ij. Ved addition og subtraktion er rækkefølgen ligegyldig. Det betyder for eksempel at (bemærk brugen af paranteser) D = A (B + C) = A C B. (9) Dette følger umiddelbart af definitionen på matrix addition som elementvis addition, hvorved vi har at c ij = a ij (b ij + c ij ). 3.2 Det indre produkt for vektorer Det indre produkt mellem to n-dimensionale vektorer a og b benævnes a b, og det er defineret som a b = a i b i = a 1 b 1 + a 2 b a n b n. (10) i=1 Vektorerne skal have samme dimension for at det indre produkt er defineret. Bemærk at denne regneregel kun er defineret for vektorer. I visse sammenhænge taler man om længden af en vektor, benævnt ved notationen v. Længden af vektoren v er defineret som v = v v. 3

5 3.3 Matrix multiplikation Hvis A n m er en n m matrix og B m K er en m K matrix, kan vi multiplicere A med B. Matrix multiplikation defineres som det indre produkt at rækkerne i den første matrix med søjlerne i den anden. Det vil sige at elementerne i matrix multiplikationen C n K = A n m B m K (11) givet ved m c ik = a ij b jk. j=1 (12) Bemærk at matrix multiplikationen AB er kun defineret hvis antallet af søjler i A svarer til antallet af rækker i B (hvorved matricerne er konforme for multiplikation). For at være helt præcis siger man at A postmultipliceres med B, eller at B præmultipliceres med A. Hvis man transponerer et matrix produkt AB, gælder følgende regneregel: (AB) = B A. (13) For at indse dette, kan man betragte element c ji i C K n = B K ma m n, der kan skrives som K c ji = K b jk a ki = a ik b kj, (14) k=1 k=1 idet a ki = a ik. Den sidste sum i (14) er netop udtrykket (12) for element c ij i matrix produktet C = AB. Hvis ellers dimensionerne passer, kan man multiplicere flere matricer med hinanden. For eksempel er følgende multiplikation defineret D n m = A n M B M K C K m. (15) Det er underordnet om man først multiplicerer A med B eller B med C. Derimod gælder det generelt at AB BA, selvom begge matrix multiplikationer er definerede. 3.4 Skalar multiplikation En skaler er et almindeligt tal (som et element i en matrix). Skalar multiplikationen ca, hvor c er en skalar, vil sige at alle elementer i matricen A multipliceres med c. ca n m = ca 11 ca 12 ca 1m ca 22 ca 22 ca 2m ca n1 ca n2 ca nm Skalar multiplikation ændrer naturligvis ikke på dimensionerne af matricen. (16) 4

6 3.5 Matrix determinant Matrix determinanten er kun defineret for kvadratiske matricer (n n). Man bruger notationen A eller det(a) for determinanten af matricen A. For en 2 2 matrix A 2 2 er determinanten givet ved udtrykket A = a 11 a 22 a 21 a 12. (17) For en generel n n kan man skrive determinanten ved hjælp af den såkaldte co-faktor expansion. Ud fra en vilkårlig række i kan man beregne determinanten som A = a ij ( 1) i+j A ij = a ij C ij, (18) j=1 j=1 hvor A ij er den matrix der fremkommer ved at slette række i og søjle j, og skalaren C ij = ( 1) i+j A ij kaldes co-faktoren. I ligning (18) skal vi altså beregne n determinanter for matricer af dimensionen (n 1) (n 1). Hvis man nu fortsætter med en co-faktor expansion for disse n determinanter, vil man på et eller andet tidspunkt ende med en 2 2 matrix, hvis determinant kan beregnes ud fra formel (17). I praksis vil man naturligvis foretage determinant beregninger udover 3 3 ved hjælp af en computer, f.eks. regnearket Excel, mere herom i afsnit 4. Hvis A og B begge er kvadratiske matricer, kan det vises at AB = A B. (19) Dette resultat betyder endvidere at AB = BA, (20) selvom det generelt gælder at AB BA. For en diagonal matrix D n n kan determinanten umiddelbart beregnes som D = n d ii = d 11 d 22 d nn. (21) i=1 Dette er let at se ved at bruge co-faktor expansionen ovenfor. regneregel er at En anden nyttig A = A, (22) dvs. at matricerne A og A (begge n n) har samme determinant. 3.6 Matrix inversion Ligesom determinanten for en matrix, gælder denne regneregel kun for kvadratiske matricer. Den inverse matrix af A er den matrix som opfylder betingelsen AA 1 = I, (23) 5

7 hvor I er identitetsmatricen (der har 1 på diagonalen og 0 for alle andre elementer). Den inverse matrix er kun defineret for ikke-singulære matricer, og det kan vises at det svarer til at determinanten A skal være forskellig fra 0. For en 2 2 matrix er den inverse defineret ved [ ] A 1 1 a22 a = 12 (24) a 11 a 22 a 21 a 12 a 21 a 11 Bemærk at nævneren i skalaren er determinanten for A, hvilket forklarer hvorfor den inverse kun er defineret hvis A 0. For den generelle n n matrix kan det vises at A 1 = 1 A C 11 C 21 C n1 C 12 C 22 C n2 C 1n C 2n C nn, (25) hvor C ij = ( 1) i+j A ij er den ij te co-faktor, altså ( 1) i+j gange determinanten af den matrix, som fremkommer ved at slette række i og søjle j fra matricen A. Ligesom for determinant beregninger er denne formel ikke videre praktisk for dimensioner udover 3 3. Computere løser heldigvis dette problem for os. Følgende regneregler for A 1 er ofte nyttige (A 1 ) 1 = A (26) (A ) 1 = (A 1 ) (27) A 1 = 1 A. (28) Hvis A er symmetrisk, vil den inverse også være symmetrisk. Dette følger umiddelbart af ligning (27). Endelig gælder det at (AB) 1 = B 1 A 1, (29) forudsat at den inverse er defineret (kvadratisk dimension) og eksisterer for såvel A som B (svarende til at A 0 og B 0). 3.7 Trace af en matrix Trace operatoren Tr(A) er kun defineret for kvadratiske matricer. Her gælder det at Tr(A n n ) = a ii. (30) i=1 Trace af en matrix er altså summen af diagonalelementerne. 6

8 3.8 Kvadratiske former Den kvadratiske form for en n n symmetrisk matrix C er en skalar, som er defineret ved udtrykket [hvor x er en n-dimensional vektor] x 1 nc n n x n 1 = x i x j c ij. (31) i=1 j=1 Den kvadratiske form bruges blandt andet til at defineret egenskaben positiv semidefinit ved en matrix. En symmetrisk matrix C siges nemlig at være positiv semidefinit, hvis x Cx 0 for alle værdier af vektoren x. Hvis uligheden gælder som en streng ulighed, x Cx > 0, siges matricen C at være positiv definit. Det kan vises at kovariansmatricer altid er mindst positiv semi-definit, mere herom senere i afsnit 6.1. Der findes forskellige metoder til at checke om en matrix er positiv definit eller ej, men de falder udenfor rammerne af denne forelæsningsnote. 3.9 Kronecker produkt 1 Hvis vi har to matricer A n m og B L K, kan vi definere det såkaldte Kronecker produkt A B som en Ln Km matrix med elementerne a 11 B a 12 B a 1m B a (A B) Ln Km = 21 B a 22 B a 2m B. (32) a n1 B a n2 B a nm B Kronecker produktet er en Ln Km, der består af nm submatricer, hver af dimensionen L K. Hver af disse submatricer fremkommer ved skalarmultiplikation mellem a ij og B. En matrix bestående af submatricer kaldes en partitioneret matrix. 4 Excel funktioner til matrix algebra Regnearket Excel har fire funktioner, som giver mulighed at lave basale matrix beregninger. Funktionsnavnene nedenfor refererer til den engelske udgave af Excel, og Microsoft har muligvis valgt andre navne i den danske udgave af Excel (i så fald må man konsultere F1-tasten, eller gætte sig frem). En matrix defineres som et range i Excel Funktionen transpose kan bruges til at beregne den transponerede matrix. Funktionen mmult multiplicerer to matricer med hinanden. Funktionen mdeterm beregner determinanten af en matrix. Funktionen minverse beregner den inverse matrix. 1 Dette afsnit kan eventuelt overspringes uden tab af kontinuitet. Bemærk dog at Kronecker produktet bruges i Appendix A af Campbell et al. (1997) 7

9 Funktionerne transpose, mmult og minverse er array funktioner. For at se det fulde output, skal man markere et range af passende dimension (her regnereglerne for matrix algebra nyttige), og trykke F2 og derefter SHIFT-CTRL-ENTER på samme tid. 5 Regneregler for vektor differentiation 5.1 Definition af begrebet vektor differentiation Ved en funktion af en vector forstås en funktion af elementerne i vektoren: F (x) = F (x 1, x 2,..., x n ), (33) hvor x er en n-dimensional vektor. Ligning (33) kaldes også en funktion af n variable. Differentiation af F (x) med hensyn til vektoren x er en n-dimensional vektor, hvor vi samler de n partialle differentialekvotienter: F (x) x = F (x) x 2 F (x) x x = F (x 1, x 2,..., x n ) x 1 F (x 1, x 2,..., x n ) x 2 F (x 1, x 2,..., x n ) x n Notationen betyder at de n partialle afledede stilles op som en 1 n række F (x) vektor, svarende til at = ( ) F (x) (dette er dog mere notation end en egentlig x x regneregel). Ligning (34) kaldes ofte gradienten af funktionen F (x). Hessian matricen for funktionen F (x) er defineret ved 2 F (x) 2 F (x) x 2 2 F (x) x 1 1 x 2 x 1 x n 2 F (x) 2 F (x) x 2 x 1 x 2 2 F (x) x 2 2 x n 2 F (x) 2 F (x) x n x 1 x n x 2 F (x) 2 x 2 n Hessian matricen er altid en symmetrisk matrix idet det gælder at (34) (35) 2 F (x) x i x j = 2 F (x) x j x i (36) for alle differentiable funktioner (du vil ikke støde på ikke-differentiable funktioner i faget FR86). 8

10 5.2 Vektor differentiation af lineære former En lineær form er en funktion af typen F (x) = a x = a i x i, (37) i=1 hvilket er det indre produkt af x med en vektor af konstante coefficienter a. Da den partielt afledede af F (x) med hensyn til x i er a i, ses det umiddelbart at F (x) x = a, idet det i te element i (38) er a i. 5.3 Vektor differentiation af kvadratiske former Lad F (x) repræsentere den kvadratiske form af den symmetriske matrix C n n (38) F (x) = x Cx = x k x l c kl. (39) k=1 l=1 Hvis vi differentierer (partielt) med hensyn til x i får vi F (x) x i = x k x i x l c kl + x k x l x i c kl k=1 l=1 k=1 l=1 = x l c il + x k c ki (40) l=1 k=1 = 2 c ik x k. k=1 Den første linie i (40) er den sædvanlige regneregel for differentiation af et produkt, mens forenklingen i den sidste linie skyldes at C er symmetrisk. Hvis man kigger nærmere på den sidste linie i ligning (40), skulle man gerne genkende det som element i fra multiplikationen mellem matricen C og vektoren x. Dermed kan man, som generel regneregel for alle kvadratiske former, skrive x Cx x = 2Cx. Elementerne i Hessian matricen er givet ved 2 F (x) = 2 x i x j k=1 (41) c ik x ik x j = 2c ij. (42) Det betyder med andre ord at hele Hessian matricen af den kvadratiske form kan skrives som 2 x Cx x x = 2C. 9 (43)

11 6 Et par anvendelser af matrix algebra 6.1 Stokastiske vektorer Ved en stokastisk vektor x n forstår vi en vektor af n stokastiske variable (x 1, x 2,..., x n ). Middelværdien af en stokastisk vektor er middelværdien af de enkelte elementer E(x 1 ) E(x E(x) = 2 ). (44) E(x n ) Den flerdimensionale udgave af variansen er matricen Cov(x) = E [ (x E(x)) (x E(x)) ] = [E {x i E(x i )} {x j E(x j )}] n n (45) = [Cov(x i, x j )] n n. (46) Bemærk at det ij te element i n n matricen Cov(x) er kovariansen mellem de stokastiske variable x i og x j. Da Cov(x i, x j ) = Cov(x j, x i ), er matricen Cov(x) symmetrisk. Man kan bruge ligning (45) til at vise at en kovariansmatrix altid som minimum er positiv semi-definit, og normalt endvidere altid positiv definit. Husk at en symmetrisk matrix C siges at være positiv definit hvis w Cw > 0 for alle w. Hvis vi lader Cov(x) være C, kan vi skrive w Cov(x)w = w E [ (x E(x)) (x E(x)) ] w = E [ w (x E(x)) (x E(x)) w ] (47) = E [ {w (x E(x))} 2] > 0, idet den sidste linie er variansen på en skalar stokastisk variabel, og varianser er altid positive. Dermed har vi, bortset fra en enkelt undtagelse, vist at en generel kovariansmatrix altid er positiv definit Variansen på en porteføljes afkast Lad os antage at man kan investrer i n aktiver, og at den stokastiske vektor r angiver afkastet i den næste periode for disse n aktiver. Portefølje vægtene kalder vi w i, og hvis vi samler dem i vektoren w, kan porteføljens afkast skrives som R p = w i r i = w r (48) i=1 2 Den pågældende undtagelse er hvis der eksisterer en linearkombination w af de n stokastiske variable som altid er 0. Dette relativt sjældne tilfælde kaldes en stokastisk singularitet, og i så fald er kovariansmatricen kun positiv semi-definit, dvs. w Cw 0 for alle w. Du vil faktisk støde på en variant af dette problem i forbindelse med estimation af de såkaldte heteroskedasticitet og autokorrelation konsistente kovariansmatricer, herunder Newey-West (1987) estimatoren. 10

12 Det forventede afkast på porteføljen er givet ved E(R p ) = w i E(r i ) = w E(r) (49) i=1 Variansen på porteføljens afkast kan beregnes som Var(R p ) = E [w (r E(r))] 2 = E [ w (r E(r)) {w (r E(r))} ] = E [w (r E(r))(r E(r)) w] (50) = w E [(r E(r))(r E(r)) ] w = w Cov(r)w. I den anden linie udnytter vi at transponeringen af en skalar også er en skalar, hvorved x 2 kan skrives som xx (en skalar kan opfattes som en 1 1 vektor). I den fjerde (næstsidste) linie flytter vi den konstante vektor w uden for forventningen, hvorefter vi får Cov(r). Bemærk at desuden at w Cov(r)w = w i w i Cov(r i, r j ) = i=1 j=1 w i w i ρ ij σ i σ j, (51) i=1 j=1 hvor ρ ij er korrelationen mellem r i og r j, og σ 2 i er variansen på r i. 6.3 Løsning af n lineære ligninger med n ubekendte Matrix algebra er en effektiv metode til at løse n lineære ligninger med n ubekendte. Uden matrix algebra ville man opskrive ligningssystemet på følgende form a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b n. (52) Hvis man i stedet samler elementerne a ij i en n n matrix A, og x i og b i i vektorerne x og b, kan ligningssystemet skrives som A n n x n 1 = b n 1. (53) For at løse dette ligningssystem præmultiplicerer vi med A 1 på begge sider af lighedstegnet, hvilket giver A 1 Ax = A 1 b x = A 1 b, (54) idet A 1 A = I og Ix = x. Vi løser altså det linære ligningssystem ved først at invertere A, og dernæst multiplicere A 1 og b. 11

13 6.4 Multipel regression Matrix algebra er desuden yderst anvendelig til multipel regression. I den klassiske regressions model, med K 1 forklarende variable (regressorer) foruden konstantledet, antager vi at den i te observation y i kan skrives som y i = β 1 + β 2 x i2 + β 3 x i3 + + β K x ik + ε i, i = 1, 2,..., n (55) hvor fejlleddet ε i opfylder betingelserne E(ε i ) = 0 (56) var(ε i ) = σ 2 (57) cov(ε i, ε j ) = 0 for alle i j, (58) hvilket betegnes som fravær at heteroskedasticitet og autokorrelation (hvis y i er en tidsserie). Hvis vi nu definerer x i = (1 x i2 x i3 x ik ) og β = (β 1 β 2 β 3 β K ) som to K-dimensionale vektorer, kan vi skrive regressionsligningen (55) på følgende måde: y i = x iβ + ε i, i = 1, 2,... n (59) Det næste trin er er skrive regressionsligningen for samtlige n observationer på matrix form: y 1 y 2 =. y n } {{ } y n 1 x 1 x 2. β x n } {{ } X n K β K 1 + ε 1 ε 2. ε n } {{ } ε n 1. (60) Ved hjælp af matrix algebra kan den fulde regressionsmodel altså skrives på meget kompakt form: y n 1 = X n K β K 1 + ε n 1. (61) Bemærk at element ij i matricen X er den j te regressor (forklarende variabel) for den i te observation. Vektoren er ε er en n 1 stokastisk vektor med egenskaberne E(ε) = 0 n 1 og Cov(ε) = σ 2 I n n, (62) hvilket præcist er betingelserne (56) (58) skrevet på matrixform. Den mest almindelige estimator for den ukendte parameter(vektor) β er ordinary least squares (OLS), der på dansk kaldes mindste kvadraters metode. Estimatoren β findes ved at minimere funktionen Q(β) = ε 2 i = ε ε = (y Xβ) (y Xβ). (63) i=1 Ved at regne lidt på det sidste udtryk fås Q(β) = y y 2β X y + β X Xβ. (64) 12

14 For at finde minimum for denne funktion skal vi beregne gradienten og sætte den lig med nul-vektoren. Da funktionen Q(β) er en blanding af en lineær form og en kvadratisk form i β, kan vi bruge regnereglerne fra afsnittet om vektor differentiation. Q(β) β = 2X y + 2X Xβ. (65) At sætte gradienten lig med 0 svarer til at løse ligningssystemet (X X) K K β K 1 = (X y) K 1, (66) hvilket vi jo netop har gjort i afsnit 6.3. Løsningen er ˆβ = (X X) 1 X y, (67) hvor notationen ˆβ betyder en estimator for den ukendte parameter β. endvidere vises at kovariansmatricen for OLS estimatoren er givet ved Det kan Cov(ˆβ) = σ 2 (X X) 1. (68) I praksis erstatter man den ukendte σ 2 med en unbiased estimator, nemlig s 2 = 1 ( ( y Xˆβ) y Xˆβ), (69) n K som er summen af de kvadrerede residualer divideren med antallet af frihedsgrader. Literatur Campbell, J.Y., A.W. Lo and A.C. MacKinlay (1997), The Econometrics of Financial Markets, Princeton University Press. Newey, W. and K.D. West (1987), A Simple Positive Semi-Definite Heteroskedasticity and Autocorrelation Consistent Covariance Matrix, Econometrica, 55,

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i.

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i. Repetition af vektor-regning Økonometri: Lektion 3 Matrix-formulering Fordelingsantagelse Hypotesetest Antag vi har to n-dimensionelle (søjle)vektorer a 1 b 1 a 2 a =. og b = b 2. a n b n Tænk på a og

Læs mere

Supplement til kapitel 4 Om sandsynlighedsmodeller for flere stokastiske variable

Supplement til kapitel 4 Om sandsynlighedsmodeller for flere stokastiske variable IMM, 00--6 Poul Thyregod Supplement til kapitel 4 Om sandsynlighedsmodeller for flere stokastiske variable Todimensionale stokastiske variable Lærebogens afsnit 4 introducerede sandsynlighedsmodeller formuleret

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Simpel Lineær Regression

Simpel Lineær Regression Simpel Lineær Regression Mål: Forklare variablen y vha. variablen x. Fx forklare Salg (y) vha. Reklamebudget (x). Vi antager at sammenhængen mellem y og x er beskrevet ved y = β 0 + β 1 x + u. y: Afhængige

Læs mere

Introduktion til Statistiske Modeller for Finansielle Tidsserier. Forelæsningsnoter til Finansiel Økonometri

Introduktion til Statistiske Modeller for Finansielle Tidsserier. Forelæsningsnoter til Finansiel Økonometri Introduktion til Statistiske Modeller for Finansielle Tidsserier Forelæsningsnoter til Finansiel Økonometri Jesper Lund mail@jesperlund.com http://www.jesperlund.com 14. marts 2006 1 Indledning Formålet

Læs mere

Økonometri: Lektion 4. Multipel Lineær Regression: F -test, justeret R 2 og aymptotiske resultater

Økonometri: Lektion 4. Multipel Lineær Regression: F -test, justeret R 2 og aymptotiske resultater Økonometri: Lektion 4 Multipel Lineær Regression: F -test, justeret R 2 og aymptotiske resultater 1 / 35 Hypotesetest for én parameter Antag vi har model y = β 0 + β 1 x 2 + β 2 x 2 + + β k x k + u. Vi

Læs mere

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER og LINEÆRE LIGNINGER med inddragelse af lommeregner (TI89) og programmerne TI-Nspire og Mathcad 0 3 4 3 4 0 3 0 3 0 3 4 x x x x 3 udgave 03 FORORD Dette notat giver en

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x) Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen

Læs mere

ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER

ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER I dette kapitel gennemgås de almindelige regnefunktioner, samt en række af de mest nødvendige redigerings- og formateringsfunktioner. De øvrige redigerings- og formateringsfunktioner

Læs mere

Boolesk Algebra og det binære talsystem - temahæfte informatik. Oprindelse.

Boolesk Algebra og det binære talsystem - temahæfte informatik. Oprindelse. Boolesk Algebra og det binære talsystem - temahæfte informatik. I dette hæfte arbejdes der med to-tals systemet og logiske udtryk. Vi oplever at de almindelige regneregler også gælder her, og vi prøver

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 5. 6. semester efterår 2013-forår 2014 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Affine - et krypteringssystem

Affine - et krypteringssystem Affine - et krypteringssystem Matematik, når det er bedst Det Affine Krypteringssystem (Affine Cipher) Det Affine Krypteringssystem er en symmetrisk monoalfabetisk substitutionskode, der er baseret på

Læs mere

Introduktion til GLIMMIX

Introduktion til GLIMMIX Introduktion til GLIMMIX Af Jens Dick-Nielsen jens.dick-nielsen@haxholdt-company.com 21.08.2008 Proc GLIMMIX GLIMMIX kan bruges til modeller, hvor de enkelte observationer ikke nødvendigvis er uafhængige.

Læs mere

Statistik for ankomstprocesser

Statistik for ankomstprocesser Statistik for ankomstprocesser Anders Gorst-Rasmussen 20. september 2006 Resumé Denne note er en kortfattet gennemgang af grundlæggende statistiske værktøjer, man kunne tænke sig brugt til at vurdere rimeligheden

Læs mere

Vejledning til Gym18-pakken

Vejledning til Gym18-pakken Vejledning til Gym18-pakken Copyright Maplesoft 2014 Vejledning til Gym18-pakken Contents 1 Vejledning i brug af Gym18-pakken... 1 1.1 Installation... 1 2 Deskriptiv statistik... 2 2.1 Ikke-grupperede

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Matematisk Formelsamling

Matematisk Formelsamling Duborg-Skolen Duborg-Skolen Duborg-Skolen Duborg-Skolen Matematisk Formelsamling Indholdsfortegnelse Emne side Vektorer i planen... 1 og 2 Linje... 3 Cirkel, ellipse, hyperbel og parabel... 4 Trekant...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2014 Institution Campus Vejle Uddannelse HHX Fag og niveau Matematik B ( Valghold ) Lærer(e) LSP (

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Oversigt [S] App. I, App. H.1 Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Test komplekse tal Komplekse rødder Kompleks eksponentialfunktion

Læs mere

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner FUNKTIONER del Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner -klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse FUNKTIONSBEGREBET... 3 Funktioner beskrevet ved mængder...

Læs mere

Komplekse tal og rækker

Komplekse tal og rækker Komplekse tal og rækker John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal og rækker. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. I afsnit 2 bliver

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2012 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B Ejner Husum

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2013 IBC-Kolding

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. VIDEREGÅENDE STATISTIK II Regressionsanalyse (TI-89 og Statgraphics)

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. VIDEREGÅENDE STATISTIK II Regressionsanalyse (TI-89 og Statgraphics) MOGENS ODDERSHEDE LARSEN VIDEREGÅENDE STATISTIK II Regressionsanalyse (TI-89 og Statgraphics) DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET 6 udgave 005 FORORD Dette notat kan læses på baggrund af en statistisk viden

Læs mere

Statikstik II 2. Lektion. Lidt sandsynlighedsregning Lidt mere om signifikanstest Logistisk regression

Statikstik II 2. Lektion. Lidt sandsynlighedsregning Lidt mere om signifikanstest Logistisk regression Statikstik II 2. Lektion Lidt sandsynlighedsregning Lidt mere om signifikanstest Logistisk regression Sandsynlighedsregningsrepetition Antag at Svar kan være Ja og Nej. Sandsynligheden for at Svar Ja skrives

Læs mere

Indblik i statistik - for samfundsvidenskab

Indblik i statistik - for samfundsvidenskab Indblik i statistik - for samfundsvidenskab Læs mere om nye titler fra Academica på www.academica.dk Nikolaj Malchow-Møller og Allan H. Würtz Indblik i statistik for samfundsvidenskab Academica Indblik

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Maj 2011 Institution Handelsskolen Tradium, Hobro afd. Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik A Kenneth Berg k708hhxa3 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Komplekse tal og Kaos

Komplekse tal og Kaos Komplekse tal og Kaos Jon Sporring Datalogisk Institut ved Københavns Universitet Universitetsparken 1, 2100 København Ø August, 2006 1 Forord Denne opgave er tiltænkt gymnasiestuderende med matematik

Læs mere

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0 Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt

Læs mere

Vektorregning. Vektorer som lister

Vektorregning. Vektorer som lister 10 Vektorregning Vektorer som lister En vektor laves nemmest som en liste på TI-89 Titanium / Voyage 200. I nedenstående skærmbillede ser du, hvordan man definerer vektorer og laver en simpel udregning

Læs mere

Iteration af et endomorft kryptosystem. Substitutions-permutations-net (SPN) og inversion. Eksklusiv disjunktion og dens egenskaber

Iteration af et endomorft kryptosystem. Substitutions-permutations-net (SPN) og inversion. Eksklusiv disjunktion og dens egenskaber Produktsystemer, substitutions-permutations-net samt lineær og differentiel kryptoanalyse Kryptologi, fredag den 10. februar 2006 Nils Andersen (Stinson 3., afsnit 2.7 3.4 samt side 95) Produkt af kryptosystemer

Læs mere

Indhold DANSK Statistikregning Display...S.158 Startvejledning Funktionelle, Videnskabelige Beregninger Indtastning af Udtryk og Vœrdier

Indhold DANSK Statistikregning Display...S.158 Startvejledning Funktionelle, Videnskabelige Beregninger Indtastning af Udtryk og Vœrdier Indhold Statistikregning Valg af Statistiktype...S.171 Indtast Statistikdata...S.172 Redigering af Statistiske Stikprøvedata...S.172 Skærmbilledet Statistikregning...S.172 Statistikmenu...S.172 Statistikregning...S.174

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2011 Institution Uddannelsescenter Herning, afd. HHX-Ikast Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Uddannelsescenter

Læs mere

Grundlæggende regneteknik

Grundlæggende regneteknik Grundlæggende regneteknik Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis 13. november 2014 Indhold Forord Indledning iii iv 1 Regning med brøker 1 1.1 Faktorisering i primtal.............................. 3

Læs mere

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse

Læs mere

Stokastiske processer og køteori

Stokastiske processer og køteori Stokastiske processer og køteori 9. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 OPSAMLING EKSAKTE MODELLER Fordele: Praktiske til initierende analyser/dimensionering

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011/2012 ZBC Ringsted Hhx Matematik B Jens Jørvad 12hhx21 Oversigt over

Læs mere

1. Opbygning af et regneark

1. Opbygning af et regneark 1. Opbygning af et regneark Et regneark er et skema. Vandrette rækker og lodrette kolonner danner celler, hvori man kan indtaste tal, tekst, datoer og formler. De indtastede tal og data kan bearbejdes

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B (Valghold) PEJE

Læs mere

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin

Læs mere

Schweynoch, 2003. Se eventuelt http://www.mathematik.uni-kassel.de/~fathom/projekt.htm.

Schweynoch, 2003. Se eventuelt http://www.mathematik.uni-kassel.de/~fathom/projekt.htm. Projekt 8.5 Hypotesetest med anvendelse af t-test (Dette materiale har været anvendt som forberedelsesmateriale til den skriftlige prøve 01 for netforsøget) Indhold Indledning... 1 χ -test... Numeriske

Læs mere

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring Matematik - et grundlæggende kursus Dennis Cordsen Pipenbring 22. april 2006 2 Indhold I Matematik C 9 1 Grundlæggende algebra 11 1.1 Sprog................................ 11 1.2 Tal.................................

Læs mere

Studieretningsprojekter i machine learning

Studieretningsprojekter i machine learning i machine learning 1 Introduktion Machine learning (ml) er et område indenfor kunstig intelligens, der beskæftiger sig med at konstruere programmer, der kan kan lære fra data. Tanken er at give en computer

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Efterår 2014 Institution Niels Brock Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold HHX Matematik - Niveau A Peter Harremoës GSK hold t14gymaau1o2 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08

Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08 Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08 side1 Der undervises efter: MatC Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik C ( Forlaget HAX) EKS Knud Nissen : TI-82 stat introduktion og eksempler Ovenstående

Læs mere

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 8. klasse handler om tal og regning. Kapitlet indledes med, at vores titalssystem som positionssystem sættes i en historisk sammenhæng. Gennem arbejdet med

Læs mere

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Computere er uvurderlige redskaber for personer der ønsker at arbejde med matematiske modeller

Læs mere

Statistik i GeoGebra

Statistik i GeoGebra Statistik i GeoGebra Peter Harremoës 13. maj 2015 Jeg vil her beskrive hvordan man kan lave forskellige statistiske analyser ved hjælp af GeoGebra 4.2.60.0. De statistiske analyser svarer til pensum Matematik

Læs mere

Introduktion Indtastning Funktioner Scripts Optimering. Matlab

Introduktion Indtastning Funktioner Scripts Optimering. Matlab - robert@math.aau.dk http://www.math.aau.dk/ robert/teaching/2010/matlab 9. august 2010 1/39 Disposition 1. Lidt om. 2. Basiskursus. 3. Opgaver. 4. Mere til basiskursus. 5. Opgaver. 2/39 MATLAB = MATrix

Læs mere

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Microsoft Excel har en del standard anvendelsesmuligheder i forhold til den beskrivende statistik og statistisk

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Kapitel 9. Optimering i Microsoft Excel 97/2000

Kapitel 9. Optimering i Microsoft Excel 97/2000 Kapitel 9 Optimering i Microsoft Excel 97/2000 9.1 Indledning... 164 9.2 Numerisk løsning af ligninger... 164 9.3 Optimering under bibetingelser... 164 9.4 Modelformulering... 165 9.5 Gode råd ommodellering...

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Indhold. Bind 1. 1 Eksperimentel geometri 3. 2 Areal 33

Indhold. Bind 1. 1 Eksperimentel geometri 3. 2 Areal 33 Indhold Bind 1 del I: Eksperimenterende geometri og måling 1 Eksperimentel geometri 3 Hvorfor eksperimenterende undersøgelse? 4 Eksperimentel undersøgelse: På opdagelse med sømbrættet 6 Geometriske konstruktioner

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kenneth Hansen 1. Basis Jorden elektron Hvor mange elektroner svarer Jordens masse til? 1. Basis 1.0 Indledning 1.1 Tal 1. Brøker 1. Reduktioner 11

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

MODUL 8. Differensligninger. Forfattere: Michael ELMEGÅRD & Øistein WIND-WILLASSEN. Modulet er baseret på noter af Peter BEELEN.

MODUL 8. Differensligninger. Forfattere: Michael ELMEGÅRD & Øistein WIND-WILLASSEN. Modulet er baseret på noter af Peter BEELEN. MODUL 8 Differensligninger Forfattere: Michael ELMEGÅRD & Øistein WIND-WILLASSEN Modulet er baseret på noter af Peter BEELEN. 26. august 2014 2 Indhold 1 Introduktion 5 1.1 Rekursioner og differensligninger.........................

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Statistik II 4. Lektion. Logistisk regression

Statistik II 4. Lektion. Logistisk regression Statistik II 4. Lektion Logistisk regression Logistisk regression: Motivation Generelt setup: Dikotom(binær) afhængig variabel Kontinuerte og kategoriske forklarende variable (som i lineær reg.) Eksempel:

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni, 2013/14

Læs mere

Vejledning i udtræk af input-output data fra Statistikbanken

Vejledning i udtræk af input-output data fra Statistikbanken - 1 - Vejledning i udtræk af input-output data fra Statistikbanken Introduktion Input-output tabellerne er konsistente med nationalregnskabet og udarbejdes i tilknytning hertil. De opdateres årligt i december

Læs mere

Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer

Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer Uge 33-48 Målsætningen med undervisningen er at eleverne individuelt udvikler deres matematiske kunnen,opnår en viden indsigt i matematik kens verden således at de kan gennemføre folkeskolens afsluttende

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

ITS MP 013. Talsystemer V009. Elevens navn. IT Skolen Boulevarden 19A-C 7100 Vejle Tel.:+45 76 42 62 44

ITS MP 013. Talsystemer V009. Elevens navn. IT Skolen Boulevarden 19A-C 7100 Vejle Tel.:+45 76 42 62 44 ITS MP 013 V009 Elevens navn IT Skolen Boulevarden 19A-C 7100 Vejle Tel.:+45 76 42 62 44 ITS MP 013 Udarbejdet af Søren Haahr, juni 2010 Copyright Enhver mangfoldiggørelse af tekst eller illustrationer

Læs mere

Excel tutorial om lineær regression

Excel tutorial om lineær regression Excel tutorial om lineær regression I denne tutorial skal du lære at foretage lineær regression i Microsoft Excel 2007. Det forudsættes, at læseren har været igennem det indledende om lineære funktioner.

Læs mere

En meget kort introduktion til R på polit

En meget kort introduktion til R på polit En meget kort introduktion til R på polit Sebastian Barfort sebastian.barfort@econ.ku.dk Indhold 1 Introduktion 1 2 R som lommeregner 2 3 Tabeller, grafer og estimation 6 4 Økonomiske figurer 11 1 Introduktion

Læs mere

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning Graftegning på regneark. Ved hjælp af Excel regneark kan man nemt tegne grafer. Man åbner for regnearket ligger under Microsoft Office. Så indtaster man tallene fra tabellen i regnearkets celler i en vandret

Læs mere

MønsterGenkendelse Forår 2001. S. I. Olsen

MønsterGenkendelse Forår 2001. S. I. Olsen MønsterGenkendelse Forår 2001 S. I. Olsen Dette skrift er 3. udkast til et notesæt til brug i kurset Mønstergenkendelse. Noterne dækker primært områderne: Statistiske mønstergenkendelse, Klyngeanalyse,

Læs mere

Økonomisk Kandidateksamen 2003II Økonometri 1. Værdisætning af skov

Økonomisk Kandidateksamen 2003II Økonometri 1. Værdisætning af skov Økonomisk Kandidateksamen 2003II Økonometri 1 Værdisætning af skov Praktiske anvisninger til individuel tag-hjem eksamen i Økonometri 1: Start med at sikre dig at du kan få adgang til data, opgavetekst

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b

13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b 3 -Integralregning Hayati Balo, AAMS,Århus 3. Stamfunktioner Der er to slags integralregning:. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. Det bestemte integrale som betegnes med b a f (x)dx Det

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Artikel i Matematik nr. 2 marts 2001 VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Inge B. Larsen Siden midten af 80 erne har vi i INFA-projektet arbejdet med at udvikle regne(arks)programmer til skolens

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne De komplekse tals historie side 1 Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave I. De komplekse tals historie Historien om 3. grads ligningerne x 3 + a x = b, x 3 + a x 2 = b, - Abraham bar Hiyya Ha-Nasi,

Læs mere

Løsningsforslag MatB December 2013

Løsningsforslag MatB December 2013 Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}

{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet. Til gengæld kan vi prøve at sige noget om,

Læs mere

Internet hitlister. En geometrisk præsentation af interesse-afstande Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2006

Internet hitlister. En geometrisk præsentation af interesse-afstande Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2006 Internet hitlister En geometrisk præsentation af interesse-afstande Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2006 1 Formål Formålet med denne projekt-opgave er at finde en geometrisk repræsentation (i 2D eller

Læs mere

Dynamisk programmering. Flere eksempler

Dynamisk programmering. Flere eksempler Dynamisk programmering Flere eksempler Eksempel 1: Længste fælles delstreng Alfabet = mængde af tegn: {a,b,c,...,z}, {A,C,G,T}, {,1} Streng = sekvens x 1 x 2 x 3... x n af tegn fra et alfabet: helloworld

Læs mere

>> Analyse af et rektangels dimensioner

>> Analyse af et rektangels dimensioner >> Analyse af et rektangels dimensioner Kommensurabilitet Tag et stykke kvadreret papir og klip ud langs stregerne et rektangel så nogenlunde stort og tilfældigt. Nu vil vi finde forholdet mellem længde

Læs mere

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Indledning: I B-bogen har vi i studieretningskapitlet i B-bogen om matematik-fsik set på parallelkoblinger af resistanser

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Statistik II Lektion 3. Logistisk Regression Kategoriske og Kontinuerte Forklarende Variable

Statistik II Lektion 3. Logistisk Regression Kategoriske og Kontinuerte Forklarende Variable Statistik II Lektion 3 Logistisk Regression Kategoriske og Kontinuerte Forklarende Variable Setup: To binære variable X og Y. Statistisk model: Konsekvens: Logistisk regression: 2 binære var. e e X Y P

Læs mere