Stikordsregister med abstract til Hvad er matematik? C. Matematiske sætninger, begreber og opdagelser, der indgår i Hvad er matematik?

Transkript

1 Stikordsregister med abstract til Hvad er matematik? C Matematiske sætninger, begreber og opdagelser, der indgår i Hvad er matematik? Stikord ca. årstal abstract findes her: Achilleus og skildpadden -400 fvt. 1. I antikken udnyttede filosoffen Zenon således de paradoksale forhold 1. C, kapitel 10, afsnit 2.5 omkring de uendelige processer til at så tvivl om, hvorvidt vores oplevelse 2. C, projekt 10.5 af verden nu rent faktisk også afspejler verden, som den er. Et af hans mest berømte paradokser er paradokset om Achilleus og skildpadden. 2. Projektet undersøger den gamle fortælling om Achilleus og skildpadden. Diskussionen om uendelighedsbegrebet rummer en diskussion om forholdet mellem matematik og virkelighed Afgiftspolitik For det andet anvendes afgifter, som pålægges produkter med en sundhedsskadelig C, kapitel 14, afsnit 5 effekt Her vil vi se på virkningen af afgifter. Kan man få nedsat folks forbrug ved at hæve afgifter? Afhængig variabel se: variabel Aftagende funktion Mængden af tilgængelige ressourcer er aftagende i hele perioden C, kapitel 1.6 side 55ff Aksiomer, Beliggenheds 1900 Om punkters og linjers indbyrdes beliggenhed C, projekt 3.10 C, projekt 10.1 Aksiomer, Kongruens 1900 Aksiomer der giver mulighed for at flytte objekter C, projekt 3.10 C, projekt 10.1 Aksiomer, Kontinuitets (geometrisk) 1900 Aksiomer der giver mulighed for at tale om indre og ydre C, projekt 3.10 C, projekt 10.1 Aksiomer, Skærings (incidensaksiomer) 1900 Aksiomer, der fastlægger hvornår der er tale om skæringspunkter C, projekt 3.10 C, projekt 10.1 Aksiomsystem, Euklids -300 fvt. Hver bog starter med en række definitioner og nogle postulater (eller: C, Projekt 3.10 aksiomer dom vi ville sige i dag). Bog I starter således med 23 definitioner og 5 postulater. Dertil kommer 5 aksiomer som gælder i al matematik. Du finder det som vedrører bind 1 i bilag 1 (Forløb med systematisk indføring i den aksiomatisk deduktive metode. Hele værket med omfattende kommentarer findes her)

2 Aksiomsystem, Hilberts Omkring år 1900 udarbejdede datidens største matematiker David Hilbert et bud på et moderne aksiomsystem. Projekt 3.10 handler dels om Euklids system, dels om hullerne og om Hilberts forsøg på at lappe. 2. Et projekt om manglerne i Euklids aksiomsystem og om Hilberts moderne aksiomsystem fra omkring år 1900, der havde som mål at udbedre disse mangler Algebraiske tal. Løsninger til ligninger som disse eller mere generelt til ligninger som kaldes for algebraiske tal. Alternative hypotese 1. Den modsatte antagelse, at udfaldet delvist må bero på systematiske variationer kaldes den alternative hypotese. 2. Praxis: Fremgangsmåde når vi tester en hypotese først formuleres nulhypotesen (og dermed også den alternative hypotese). 1. C, projekt C, kapitel 10, afsnit 1.3, C, projekt 10.1 C, kapitel 7.3, side 248f 1. C, kapitel 9.2, side C, kapitel 9.2, side 297 Amortisationstabel Ofte er man interesseret i at får svar på, hvor stor en restgæld man har C, projekt 4.3 efter et vist antal terminer. Køber man fx en lejlighed, vil man normalt af sin bank eller af sin ejendomsmægler få et skema med en sådan oversigt. Dette kaldes en amortisationstabel. En amortisationstabel bygges forholdsvis let op i et regneark Annuitetslån Når man skal købe hus eller ny bil har man sjældent mulighed for på C, projekt 4.3 kort tid at spare hele beløbet op. Derfor låner man. Det samme gør stater, når de skal finansiere et underskud på statens budget, eller når de skal sætte store byggeprojekter i gang. Bygning af Storebæltsforbindelsen er så kostbar, også for en stat, at man vælger at lånefinansiere det. Archimedes aksiom -250 fvt. Med en enhed kan vi måle vilkårligt store tal og længder C, projekt 3.10 C, projekt 10.1 Arealet af en trekant Formlen med brug af sinus C, kapitel 8.3 side 276f Asymptoter Definition og illustrationer C, kapitel 4.4 side 157 Asymptoter til eksponentialfunktioner Illustrationer C, kapitel 4.4, side 157 Asymptoter til hyperbler Matematisk gennemgang af asymptoter til hyperbler i forbindelse med C, projekt 8.10 projekt om lysets bølgenatur Asymptoter til logaritmefunktioner Sætning om lodret asymptote C, kapitel 6.2, side 217 Asymptoter til potensfunktioner Illustrationer C, kapitel 5.2, side 186 Basisår Er der tale om årstal, kaldes starttidspunktet for basisåret. C, kapitel 4.2.1, side 141

3 Bedste rette linje, se: regression Begyndelsesværdi se: startværdi Beliggenhedsaksiomer 1900 Hilberts definition af beliggenhed. Hilberts aksion om punkters og linjers indbyrdes beliggenhed bevisteknik I forlængelse af Menon ser vi på de særlige argumentations- og bevisteknikker, som sammenfattes under overskriften, Det udelukkede tredjes princip. Herunder kommer vi i matematik ind på det indirekte bevis og eksistensbeviser C, projekt 3.10 C, projekt 3.10 C, kapitel 10, afsnit 2 Bias En stikprøve, der overrepræsenterer eller underrepræsenterer individer C, kapitel 9.2, side 319 med bestemte karakteristika (variable), og hvor disse har indflydelse på det spørgsmål, man undersøger, siges at være præget af bias. BMI For at beregne børnenes grad af over- eller undervægt benyttede man C, kapitel 13, afsnit 3 Body Mass Index, BMI. BMI beregnes ud fra formlen BNP I tabellen nedenfor er vist udviklingen i BNP i Danmark, Kina og USA C, kapitel 14, afsnit 4.2 Boksplot Definition med illustration 1. C, kapitel2,side83 2. Anvendelse af boksplot til sammenligning af datasæt illustreret med 2. C, kapitel2,side86 eksempel 3. C, kapitel2,side88ff 3. Boksplot blev første gang introduceret af den amerikanske statistiker 4. C, kapitel 8,side290ff John Tukey i bogen Exploratory Data Analysis fra Tukey gik nye veje med sin eksperimenterende og meget direkte tilgang til håndtering af datamaterialer. 4. Analyse af datamaterialet fra Challengerulykken med brug af boksplot Breddegrader, bestemmelse af Illustreret øvelse C, kapitel 10, afsnit 4.3 Bruttonationalprodukt, se BNP Brøker centerivinkel I denne øvelse skal du undersøge sammenhængen mellem de to hoved fvt. 1. Ægypterne opererede med brøker for år siden, men det var dog 1. C, kapitel 7.1, side 236f begrænset til... stambrøker, samt tallet 2. C, kapitel 7.2, side Sådan regnes med brøker C, projekt 3.4 typer af vinkler i en cirkel: Centervinkler og periferivinkler Grafisk illustration 1. C, kapitel 9.4, side Anvendelse i løsning af opgave 2. C, kapitel 9.4, side 323f 1902 Vi vil undersøge to typer af problemer, man møder i mange fag og C, kapitel 9.1, side 301ff sammenhænge, og som alle kan håndteres med stort set samme meto- Chi-i-anden (χ2-) fordeling, Den kumulerede Chi-i-anden (χ2-) test

4 der, nemlig den såkaldte χ2-test Cirkeldiagram 1. I første omgang illustrerer vi dette ved at konstruere cirkeldiagrammer, fordi disse netop viser procentfordelingerne. 2. I vores sammenligning af ungdomsuddannelserne vil vi først se på 1. C, kapitel 2.4 side 99f 2. C, kapitel 14, afsnit C, kapitel 14, afsnit 3.2 rådighedsbeløbet for eleverne på de forskellige ungdomsuddannelser Når man gerne vil illustrere fordelingen grafisk bruger man søjle- og cirkeldiagrammer. Her er vist et søjlediagram og et cirkeldiagram for STX. 3. Forskellene fremgår tydeligt af cirkeldiagrammerne. I grupperne 8-14, og timer er der ingen forskel imellem de to uddannelser. Forskellen træder tydeligt frem, når vi ser, at 41,6 % af STX eleverne bruger computeren 0-7 timer om ugen til ikke skolerelaterede aktiviteter, mens det kun er 17,1 % af HTX eleverne. Cirklens kvadratur Kan man alene ved hjælp af passer og lineal konstruere en løsning på følgende: Cirklens kvadratur. Givet en cirkel. Konstruér et kvadrat, der har samme areal som cirklen. C, projekt 10.3 Cosinus i den retvinklede trekant 400 evt. 1. Definition ud fra standardtrekant og med tabel 2. Ordet cosinus skal opfattes som co-sinus, hvor co står for komplementvinklen. Givet en vinkle v, så defineres komplementvinklen til at være 90 v 1. C, kapitel 3.5 side C, projekt 8.4 Cosinus på enhedscirklen Definition og illustration C, kapitel 8.2 side 267ff Cosinusrelationerne 1. Sætningen formuleret i to versioner 1. C, kapitel 8.3 side 277ff 2. Cosinusrelationerne kaldes også den udvidede Pythagoras' sætning - 2. C, kapitel 8.3 side 279 alternativt bevis. 3. C, kapitel 8.3 side Cosinusrelationerne i stumpvinklede trekanter Datasæt, Behandling af et hvorledes man kan skabe sig overblik over og præsenterer et datamateriale C, kapitel 2.2, side 74ff Decibelskala Decibelskalaen et mål for lydstyrke C, kapitel 6.5.3, side 224f Decimaltal Brøker og decimaltal, eksakt og tilnærmet C, kapitel 7.2.2, side 241 Decimaltal, Stevins indførelse af 1585 Det var ikke mindst Stevins bøger, der udbredte kendskabet til de decimaltal, som vi finder helt naturlige i dag. Før Stevins tid blev alt nemlig udtrykt i brøker. C, kapitel 7.1, side 235 C, projekt 7.4 Dedekinds aksiom 1872 Aksiom til konstruktion af de reelle tal C, projekt 3.10 C, projekt 10.1

5 Definitionsmængde 1. Det interval, den uafhængige variabel løber i, kalder vi også definitionsmængden 2. Hvilke værdier kan x antage? Disse tilladte værdier kaldes også defi nitionsmængden for x. Deliske problem -250 fvt. Øen Delos midt i det ægæiske hav blev ramt af pest, og i deres nød henvendte befolkningen sig til oraklet i Delfi for at spørge om råd. Oraklet svarede, at de skulle drage hjem og mildne gudernes vrede ved at gøre det terningformede alter, de havde i deres Apollon-tempel på øen, dobbelt så stort. Se også: Terningens fordobling Dynamisk geometri, introduktion til 1. Introduktion til geometriværktøjerne i TI-Nspire cas 1. Introduktion til geometriværktøjerne i Cabri II e (grundtallet for den naturlige eksponentialfunktion) Dens grundtal kaldes for e, og dette tal er ligesom tallet π et af de fundamentale tal i matematikken. Det er et uendeligt decimaltal. Angivet med de første 5 decimaler 1. C, kapitel 1.6.3, side C, kapitel 1.6.3, side 58 C, kapitel 10, afsnit C, projekt C, projekt 3.5 C, kapitel 6.2.2, side 214 Efterspørgselskurve Normalt i faget økonomi afbildes efterspørgselskurven i et diagram med C, kapitel 14, afsnit 5.2, 5.3 prisen som den uafhængige variabel ud af y-aksen og mængden som den afhængige variabel ud af x-aksen. Eksistensbevis 1. I matematik er de mest omstridte anvendelser af det udelukkede tredjes princip henholdsvis de indirekte beviser og de såkaldte eksistensbeviser. 1. C, kapitel 10, afsnit C, projekt Et eksempel på det sidste eksempel på det sidste er Euklids bevis for, at der bliver ved med at komme primtal, uanset hvor langt vi kommer op i talrækken 2. To eksempler på eksistensbeviser Eksponentialfunktion, den naturlige Den tilhørende eksponentialfunktion kaldes den naturlige eksponentialfunktion. C, kapitel 6.2.2, side 214 Den skrives Eksponentialfunktioners egenskaber Grundlæggende definitioner og sætninger C, kapitel 4.4, side 153ff Eksponentiel notation Eksponentiel notation - sådan skrives store tal og små tal C, kapitel 7.2.4, side 244 Eksponentiel regression, se: Regression Eksponentiel vækst 1. Dermed blev antallet af riskorn fordoblet hver gang Det vi her ser, er et eksempel på eksponentiel vækst. 2. De to positive tilbagekoblinger, der omfatter fødselstal og investeringsrater, genererer eksponentiel vækstadfærd i befolkning og kapital 3. De to grafer, der er gengivet i illustrationen af Malthus påstand, viser, 1. C, kapitel 0.2, side 20ff 2. C, kapitel 1.1, side C, kapitel 4.2, side C, projekt C, projekt 4.10

6 hvad der kendetegner lineær og eksponentiel vækst 6. C, kapitel 14, afsnit En sammenligning af kroppens forbrænding af fx alkohol og hash er en sammenligning af lineære og eksponentielle modeller 5. Minamata-katastrofen et projekt om ligevægt mellem lineær og veksponentiel vækst 6. Karakteriser på baggrund af den grafiske fremstilling væksten i USA, Kina og Danmark Ekstrema, lokale og globale voksende frem til ca. 2040, hvor befolkningskurven har et maksimum, C, kapitel 1.6 side 5f hvorefter populationen er aftagende. Det ser ud til, at populationen når et minimum omkring år 2090 og herefter igen vokser svagt. Enheder i matematik og fysik I matematik arbejder man typisk med variable uden enheder. I fysik C, kapitel 11, afsnit 2.2 arbejder man derimod typisk med variable med enheder. Man omdanner en Enhedscirklen Definition og illustration C, kapitel 8.2 side 267ff Ensvinklede trekanter -400 fvt. 1. I vores beregninger har vi udnyttet den sammenhæng, som også Thales 1. C, kapitel 3.3, side 114ff kendte, der er mellem ensvinklede trekanter. De er nemlig også lige- 2. C, projekt 3.1 dannede, dvs. den ene trekant kan forstørres eller formindskes, så vi får den anden trekant. 2. Anvendelse af ensvinklede trekanter i boringen af tunellen på Samos Euklids aksiomatisk deduktive metode Euklids algoritme fvt 1. Hver bog starter med en række definitioner og nogle postulater (eller: 1. C, Projekt 3.10 aksiomer dom vi ville sige i dag). Bog I starter således med 23 definitioner og 5 postulater. Dertil kommer 5 aksiomer som gælder i al matema- 2. C, kapitel 10, afsnit 1.3 tik. Du finder det som vedrører bind 1 i bilag 1 (Forløb med systematisk indføring i den aksiomatisk deduktive metode. Hele værket med omfattende kommentarer findes her) 2. Vi vil i det følgende illustrere metoden med en detaljeret gennemgang af Euklids bevis for den allerførste sætning i Elementerne. Dernæst vil vi give en række eksempler på, hvorledes den euklidiske matematik har påvirket tænkningen siden fvt. Euklids algoritme er berømt af mange årsager: Det er en af de første C, projekt effektive algoritmer man kender i matematikhistorien og den er uløseligt forbundet med problemerne omkring de inkommensurable størrelser. Euklids første sætninger, Bevis for -300 fvt. Gå ind på hjemmesiden, læs de første fire propositioner i kapitel I, og C, kapitel 10, afsnit 1.3

7 udfyld et skema som dette, hvor du krydser af, hver gang Euklid anvender definitioner, forudsætninger eller allerede viste sætninger Eulerlinjen 1750 Eksperimentel og teoretisk undersøgelse C, projekt 3.3 Eulers polyedersætning Find oplysninger på nettet om Eulers polyedersætning, og forklar fx 1. C kapitel0.1, side 20 ved brug af en terning og en pyramide, hvad sætningen siger. Den udtaler 2. C, kapitel0.5, projekt 0.2 sig ikke kun om regulære polyedre Du kan her finde et projekt 2. Øvelser og opgaver der leder frem til beviset for sætningen 3. C, kapitel 10, afsnit C, projekt (Lakatos) gav et stort gennemarbejdet eksempel på sin teori i bogen. Eksemplet handler om en meget berømt sætning i matematikkens historie, Eulers Polyedersætning, der siger, at 4. Et projekt om matematisk videnskabsteori, der med fyldige uddrag af Lakatos Proofs and Refutations gennemgår hans teori om, hvordan matematikken udvikler sig. Fejl af anden art Definition C, kapitel 9.1, side 300 Fejl af første art Definition C, kapitel 9.1, side 300 Fibonaccital 1102 Leonardo af Pisa er den første store matematiker i Europa efter middelalderen. C, projekt 7.11 Han er i eftertiden blevet mest kendt under navnet Fibonacci. Hans kendteste værk, bogen Liber Abacci, indeholder det mest berømte af alle Fibonaccis problemer, det såkaldte Kaninproblem Fjerdeproportionalen, konstruktion af -300 fvt. Konstruktion af produktet af a og b (konstruktion af»fjerdeproportionalen«) C, projekt 10.3 Flatland På hjemmesiden er der en større omtale af Flatland, med henvisninger C, kapitel 0.1, side 15 til netadresser, med materialer, fi lm, øvelser og oplæg til et tværfagligt samarbejde. Florence Nightingale s Coxcomb diagram 1850 erne Florence Nightingale's 'coxcomb' diagram on mortality in the army C, projekt 2.5 (Florence Nigtingales særlige diagrammer) Fordoblingskonstant 1. Rutherfords opdagelse bygger på følgende grundlæggende egenskab: 1. C, kapitel 4.7 side 168ff Enhver eksponentiel udvikling har en karakteristisk konstant, der beskriver, 2. C, kapitel 0.2 side 20ff hvor hurtigt eller hvor langsomt udviklingen foregår. 2. Antallet af riskorn skulle fastlægges af skakbrættet selv, idet han skulle have et riskorn for det første felt, to for det andet felt, fire for det tredje felt osv. Dermed blev antallet af riskorn fordoblet hver gang Forstørrelsesfaktor Tallet k har mange navne. Ved trekantsberegninger bruger vi normalt ordet forstørrelsesfaktoren. Men k kaldes også skalafaktoren eller måle- C, kapitel 3.3 side 116

8 stoksforholdet fortegnsregler Praxis: Regning med fortegn og parenteser C, kapitel 7.2, side 238 Forventede værdier 1. Definition og illustrationer 2. Eksempler fra samfundsfag 1. C, kapitel 9.2, side 293 C, kapitel 9.5, side C, kapitel 14, afsnit 3.2 Frekvens (procentandel) for grupperede Praxis: Betegnelser vedrørende grupperede datasæt C, kapitel 2.3 side 89 datasæt Fremskrivningsfaktor Definition C, kapitel 4.4, side 153 Frihedsgrader Definition med en række eksempler 2. Eksempler fra samfundsfag 1. C, kapitel 9.4, side 308, 2. C, kapitel 14, afsnit 3.2 Funktion af x 1750 Indførelse af notationen f( x) C, kapitel 1.2, side 68ff Genaille Lucas stave 1891 En generalisering af Napiers stave er Genaille-Lucas stave C, projekt 6.2 Gennemsnit af datasæt Ved middeltallet eller gennemsnittet for et datasæt forstår vi C, kapitel 2.2 side 75 Gennemsnitlig procent (rente) 1. Ved den gennemsnitlige procent forstår vi 2. Potensbegrebet og gennemsnitlig rente 1. C, kapitel 4.2.2, side C, projekt 4.1 Geometrisk algebra -300 fvt. Præsentation af ideen om at gennemføre regningsarterne med passer C, projekt 10.3 og lineal samt en række øvelser Gitterformlen 1803 Når vi er kommet så langt, kan vi endelig udlede gitterformlen for lysets C, projekt 8.10 afbøjning i en dobbeltspalte eller lige så godt et gitter. Goodness-of-fit (GOF), Chi-i-anden (χ2-)test for Sådanne spørgsmål behandles med en χ2-test, der kaldes Goodnessof-fit-testet idet den måler 2. For at udføre det indbyggede Goodness-of-fi t test i dit værktøjsprogram skal du 3. Praxis: Løsning af eksamensopgaver med Goodness-of-fit test Googol og googolplex I matematik opereres af og til med helt uvirkeligt store tal, som ikke findes repræsenteret noget sted i universet. Det største tal med et eget navn Grader (vinkelmål) 1. Vores vinkelmål er defi neret ud fra, at en hel cirkel 2. Når man udregner værdier for cos(a) og sin(a) i et værktøjsprogram, skal man indstille programmet, så det regner vinkler i grader. Graf for en funktion 1. Hvis det drejer sig om grafskitser, markeres af og til blot enheden på hver af de to akser. Enhederne behøver ikke være de samme på de to 1. C, kapitel 9.2, side C, kapitel 9.2, side C, kapitel 9.2, side 314 C, kapitel 7.2.4, side C, kapitel 0.1, side C, kapitel 3.5.2, side C, kapitel 1.4, side C, kapitel 1.8, side 61

9 akser. Men på hver af de to akser skal man anvende samme enhed langs hele aksen. 2. Grafen for en funktion, der er givet ved en formel eller en ligning, består af Grafisk løsning Grafi sk løsning af ligningen C, kapitel 7.4.3, side 255 Grundtallet for en logaritmefunktion log a kaldes for logaritmen med grundtallet a C, kapitel 6.2, side 213 Grupperede datasæt (observationer) 1. Når man henter store datamaterialer vil de normalt være grupperede, 2. I samfundsfag har man ofte brug for at have en meget stor gruppe respondenter, og samtidig er det ikke altid muligt, at spørge til de helt eksakte værdier for det man un-dersøger. Derfor grupperer man ofte data. 1. C, kapitel 2.3, side 88ff 2. C, kapitel 14, afsnit 2.4 Gældsannuitet Når man skal købe hus eller ny bil har man sjældent mulighed for på C, projekt 4.3 kort tid at spare hele beløbet op. Derfor låner man. Det samme gør stater, når de skal finansiere et underskud på statens budget, eller når de skal sætte store byggeprojekter i gang. Bygning af Storebæltsforbindelsen er så kostbar, også for en stat, at man vælger at lånefinansiere det Halveringskonstant 1. Rutherfords opdagelse bygger på følgende grundlæggende egenskab: 1. C, kapitel 4.7 side 168ff Enhver eksponentiel udvikling har en karakteristisk konstant, der beskriver, 2. C, projekt 4.4 hvor hurtigt eller hvor langsomt udviklingen foregår. 3. C. projekt En af de store bekymringer, som entreprenørerne havde forud for boringen af tunnellen under Storebælt var, om man ville støde på mange meget store granitsten, de såkaldte vandreblokke. 3. I 1972 fandt to grønlandske jægere nogle yderst velbevarede grønlandske mumier i Qilakitsoq i Uummannaq-distriktet i NV-Grønland Halvlinje Hilberts definition af halvlinje C, projekt 3.10 C, projekt 10.1 Hele tal Mængden af hele tal betegnes i matematik med symbolet C, kapitel 7.3, side 247 Hilberts aksiomsystem, David 1900 Forløb over Hilberts 16 aksiomer til afløsning af Euklids C, projekt 3.10 Omkring år 1900 udarbejdede datidens største matematiker David Hilbert C, kapitel 10, afsnit 1.3 et bud på et moderne aksiomsystem. Du kan her finde projekt 10.1 der hedder "Er der huller i Euklids argumentation", der handler om dette Histogram Praxis: Tegning af et histogram C, kapitel 2.3, side 90

10 Hyperblens egenskaber -200 fvt. Matematisk gennemgang af asymptoter til hyperbler i forbindelse med C, projekt 8.10 projekt om lysets bølgenatur hypotenuse I en retvinklet trekant ABC, hvor vinkel C er den rette vinkel, kaldes siden C, kapitel 3.5.1, side 120ff c overfor den rette vinkel for hypotenusen Hypotese, teste en Praxis: Fremgangsmåde når i tester en hypotese - dels med brug arf C, kapitel 9.2, side 297 kritisk værdi, dels med brug af p-værdi Hyppighed for grupperede datasæt Antallet kaldes for hyppigheden eller intervalhyppigheden. På engelsk C, kapitel 2.3, side 89 kaldes Hældningskoefficient Definition C, kapitel 1.8 side 61 Højderne i en trekant 1. Teoretisk undersøgelse 2. Definition og eksperimentel undersøgelse 1. C kapitel 3.4, side C, projekt 3.3 C, projekt 3.5 Højreskæv Definition C, kapitel 1.2 side 84 Ikke-grupperede observationer, se: datasæt Incidens, se: Skæringsaksiomer Indekstal 1. Definition og illustration 2. Da det absolutte tal for Danmark er meget lille i forhold til USA og 1. C, kapitel 4.2 side C, kapitel 14, afsnit4.2 Kina, kan der være grund til at omregne til indekstal, således at udviklingen i diagrammet bliver sammenlignelig for de tre lande Indirekte bevis I matematik er de mest omstridte anvendelser af det udelukkede tredjes C, kapitel 10, afsnit 2.3 princip henholdsvis de indirekte beviser og de såkaldte eksistensbeviser. C, projekt Et eksempel på det første er beviset for at kvadratrod 2 er irrational Indkomstelasticitet Indre punkt Hilberts definition af et indre punkt i en vinkel et indre punkt i en trekant et indre punkt i en cirkel Indre vinkel, se: vinkel C, projekt 3.10 C, projekt 10.1 indskrevne cirkel Konstruér trekantens omskrevne cirkel c1 ved brug af Cirkel-værktøjet C, projekt 3.3 Kontrollér din konstruktion ved a Induktionsbevis Ideen i et induktionsbevis er følgende: Vi viser først, at formlen gælder C, kapitel 4.2 side 143 for. Inkommensurable forhold fvt 1. På hjemmesiden er der et projekt om grækernes opdagelse af de såkaldte 1. C, kapitel 7.3, side 248 inkommensurable forhold i geometri, der netop svarer til opda- 2. C, kapitel 10, afsnit 2.2

11 Interpolation, Beregning af tabelværdier ved hjælp af Interval Logaritmefunktioner kan komprimere enorme og uoverskuelige interval- gelsen af irrationale tal 3. C, projekt et projekt hvor vi med geometriske argumenter overbeviser os om, at tal som kvadratrod 8 ikke kan måles med en given enhed (uanset, hvor lille denne vælges). Samtidig inddrager vi tekster fra middelalderfilosoffen Oresme, der inddrager det inkommensurable i en overvejelse om universets indretning. 3. Når vi arbejder med hele tal er der en mindste enhed, nemlig tallet 1. Det sikrer at Euklids algoritme nødvendigvis går i stå. Når vi arbejder med linjestykker er der imidlertid ikke nogen nedre grænse for hvor små de kan være. Vi kan derfor ikke være sikre på at Euklids algoritme anvendt på linjestykker også rent faktisk går i stå: I princippet kan 1790 erne 1. et stort hold arbejdere,, der var ansvarlige for at udfylde resten af 1. C, kapitel 6.1, side 211f tabelværdierne ved brug af såkaldte interpolationsmetoder Interpolation betyder, at man ud fra kendte værdier i en tabel be- 3. C, projekt C, projekt 6.1 regner værdier 2. Lineær interpolation: Hvordan bestemmer vi log(sin(0,0015)), som ikke står i tabellen? 3. Tallene i denne kolonne anvendes til at bestemme korden for vinkler, der ligger mellem to af de i første kolonne angivne vinkler. Metoden kaldes interpolation, C, kapitel 6.5, side 220 ler af tal intervallet fra 0 til 11, og intervallet fra 5 til 0. Disse intervaller skrives symbolsk således: [0;11] og [-5;0]. C, kapitel 2.3, side 90 tervalbredden skal så vidt muligt Intervalbredde Søjlens bredde bør svare til bredden af det underliggende interval. In- Intervalhyppighed, se hyppighed Irrational, Bevis for at kvadratroden -350 fvt. To versioner af beviset C, projekt af 2 er Irrationale tal 1. De reelle tal, som ikke er rationale, dvs. som ikke kan skrives som et 1. C. kapitel 7.3, side 248f periodisk decimaltal, kaldes for de irrationale tal. 2. Et projekt, der karakteriserer rationale og irrationale tal 2. C, projekt C, projekt b 3. Der findes irrationale tal a og b, så tallet a er rational Kalendermatematik Gennemgang af principper og problemer i kalenderopbygning C, kapitel 10, afsnit 4.1 C, projekt 10.8

12 kapitalfremskrivning 1. Formel nr. 3 til procentregning 2. Under emnet procentregning i kapitel 4 afsnit 2.1 viste vi følgende formel, der ofte kaldes kapitalfremskrivningsformlen 1. C, kapitel 4.2.1, side C, projekt 4.3 Katete Praxis: Kateter og hypotenuse C, kapitel 3.5, side 120f Keplers love 1. Keplers 1. og 2. lov 1. C, kapitel 5.1, side I hans sidste store værk, Verdens Harmoni (1619), hvor han samlede 2. C, kapitel 5.1, side 178 en række af disse "opdagelser", finder vi også det, vi i dag kalder Keplers 3. C, kapitel lov. 4. C, projekt 10.9 Koefficienter Koefficienter er de tal, der står foran de ubekendte C, kapitel 7.5, side 259 Komplekse tal, Caspar Wessels Caspar Wessel indførte de nye tal som et redskab i sine beregninger, idet han opdagede, at længder og vinkler i trekanter kunne beregnes ved at gange komplekse tal sammen. 2. Projektet drejer sig om at læse en tekst med matematisk indhold, at uddrage det væsentlige heri og at præsentere dette mundtligt. Teksten er Jørgen Eberts kronik om Caspar Wessel. 3. Læsning og bearbejdning af Caspar Wessels egen beskrivelse af de komplekse tal i et uddrag fra Kongruens i geometri Kongruensaksiomer: De følgende aksiomer fastlægger hvad vi forstår ved kongruens Kongruente trekanter Påstand 3: Hvis to trekanter har to vinkler og en side lige store, så er trekanterne kongruente (dvs. de kan flyttes, så de præcist dækker hinanden). Konstruktion af ukendte sider Vi konstruerer trekanten, og værktøjsprogrammet bestemmer til sidst de ukendte sider. Konstruktionen kan foregå som vist her 1. C, kapitel 8.1 side C, projekt C, projekt 8.3 C, projekt 3.10 C. projekt 10.1 C, projekt 3.6 C, kapitel 8.3.1, side 272 Konstruktion af ukendte vinkler Vi konstruerer trekanten og værktøjsprogrammet bestemmer til sidst de C, kapitel 8.3.1, side 273 ukendte vinkler. Konstruktionen kan foregå som vist her trekanten, og Konstruktionsbevis Overvej, at ligegyldigt hvor i planen vi konstruerer en kopi af trekant C, projekt 3.6 ABC, så vil vi altid kunne flytte (dreje, parallelforskyde, spejle) kopien, så den dækker trekant ABC. Kontinuitetsaksiomer i geometri 1900 Aksiomer der giver mulighed for at tale om indre og ydre C, projekt 3.10 C. projekt 10.1 Koordinatboks ofte vil det være uhensigtsmæssigt at tegne koordinatsystemet, så (0,0) C, kapitel 1.4, side 46 er med. I så fald benyttes en koordinatboks, der viser Koordinatsystemer Definition og øvelser C, kapitel 1.4, side 45ff

13 Koordinatsystemets omløbsretning Definition C, kapitel 1.4, side 45 Kordefunktion, Ptolemaios 150 evt. Ptolemaios tabel indeholder jo ikke sinus og cosinus, men i stedet en C, projekt 8.1 funktion, som kaldes en kordefunktion, som defineres som Kritisk værdi Praxis: Fremgangsmåde når vi tester en hypotese brug af kritisk værdi C, kapitel 9.2, side 297 Krydstabel 1. Definition og eksempler 2. Krydstabel i bekræftende statistik 3. Krydstabel og frihedsgrader 1. C, kapitel 2.4.2, side 97ff 2. C, kapitel side C, kapitel 8.6.4, side 323 Kulstof 14 I 1972 fandt to grønlandske jægere nogle yderst velbevarede grønlandske C, projekt 4.6 mumier For at fastlægge det tidspunkt hvor de blev begravede anvendte nationalmuseet kulstof 14 metoden. Kumuleret procent (frekvens) Kumuleret betyder opsummeret. Eksempelvis er tallet 45,7 fremkommet C, kapitel 2.3 side 93f ved Kvadranter, Koordinatsystemets Definition C, kapitel 1.4, side 45 Kvadratrod 1. Rodfunktioner kender vi fra kvadratroden, hvor 2. Udvidelse af potensbegrebet med halve 1. C, kapitel 4.2.2, side C, projekt 4.1 Kvadratrødder, geometrisk konstruktion -300 fvt. Konstruktionen af kvadratrødder er en speciel variant af den generelle C, projekt 10.3 af konstruktion af mellemproportionaler Kvadratsætningerne Formlerne C, kapitel 7.2, side 239f Kvartilsæt af datasæt Talsættet bestående af 1., 2., og 3. kvartil kaldes for kvartilsættet. C, kapitel 1.2 side 80ff Kvartilsæt for grupperede datasæt Definition C, kapitel 2.3 side 95 Kvartilsæt, Det udvidede Praxis: Det udvidede kvartilsæt eller 5-punkts-opsummeringen C, kapitel 1.2 side 82 Lafferkurve inspirerede den amerikanske økonom Arthur Laffer til at postulere den C, kapitel 14, afsnit 5.4 såkaldte Lafferkurve (se figuren) Ligebenet trekant Påstand 1: Vinklerne ved grundlinjen i en ligebenet trekant er lige store C, projekt 3.6 ligedannede figurer Sætning 3.1 siger, at det at være ligedannet og være ensvinklet er præcis C, kapitel 3.3, side 113ff det samme i trekanternes verden. Gælder det samme i firkanternes verden? ligesidet trekant Du skal nu gennemføre beviset for sætning 1.1: At konstruere en ligesidet C, kapitel 10, afsnit 1.3 trekant på en begrænset ret linje. Lige store koefficienters metode lige store koefficienters metode. Dette er en meget kraftfuld metode C, kapitel 7.5, side 259ff til ligningsløsning. Den kan generaliseres til Lige vinkel En halv cirkel svarer så til 180 Det kaldes en lige vinkel. C, kapitel 0.1, side 11 lighedstegnet = 1. Symbolet "=" blev første gang brugt i Indtil lighedstegnet blev 1. C, kapitel 0.1, side 13

14 Ligningsløsning, Regler for Ligningssystem, løsning af udbredt, skrev man på dets plads i en ligning: er lig med (på latin: 2. C, kapitel 7.2.1, side 238 aequales). 2. Vi kan også læse Robert Recordes begrundelse for at benytte = i stedet for ord (her gengivet på moderne engelsk) -300 fvt. 1. Eksempel: Ligningsløsning og beregning med formeludtryk 1. C, kapitel 1.5, side Den mest berømte matematikbog, der nogensinde er skrevet, hedder 2. C, kapitel 7.4, side 254 Elementerne og er forfattet af Euklid ca. år 300 f.v.t. til brug for matematikundervisningen i Alexandria i Ægypten. I starten af bogen er der 3. C, kapitel 7,4, side 252ff oplistet 5 almindelige regler, som man skal overholde i al slags matematik. De tre første af disse lyder:.. 3. En ligning udtrykker, at de to størrelser er i balance. Man kan forestille sig det som en gammeldags vægt med to vægtskåle 1800 lige store koefficienters metode er en meget kraftfuld metode til ligningsløsning. Den kan generaliseres til n ligninger med n ubekendte, og C, kapitel 7.4, side 259ff det er en metode, der kan sættes på en formel, hvilket vi vender tilbage til på A-niveau Linearisering 1. Det er eksempler på en mere generel metode, der kaldes linearisering, og som går ud på 2. Linearisering: Arrhenius ligningen 3. Undersøgelse af Boyle-Mariottes lov ved hjælp af linearisering 1. C, kapitel 6.5, side 220ff 2. C, kapitel 12, afsnit C, kapitel 12, afsnit 1.5 Lineære funktioners egenskaber Grundlæggende definitioner og sætninger C, kapitel 1.8, side 61ff Lineære modeller, se: Regression, lineær Lineær regression, se: Regression, lineær Lineær vækst 1. Lineær vækst: Når x vokser med 1 vokser (eller aftager) y med et bestemt tal a. 2. En sammenligning af kroppens forbrænding af fx alkohol og hash er en sammenligning af lineære og eksponentielle modeller 3. Minamata-katastrofen et projekt om ligevægt mellem lineær og veksponentiel vækst 1. C, kapitel 4.2, side C, projekt C, projekt 4.10 ln, Den naturlige logaritme Vi vil nu konstruere en særlig logaritmefunktion med den egenskab, at C, kapitel 6.2.2, side 214 log, Titalslogaritmen Vi ser nu specielt på tilfældet, hvor grundtallet er 10 C, kapitel 6.2.1, side 213 log og ln, Sammenhængen mellem Logaritmefunktionerne log og ln er proportionale C, kapitel 6.4, side 220

15 log a log a kaldes for logaritmen med grundtallet a C, kapitel 6.2, side 213 Logaritmefunktioners egenskaber 1625 Grundlæggende definitioner og sætninger C, kapitel 6.2, side 213ff Logaritmer, Konstruktionen af Det blev den skotske godsejer John Napier, der løste dette gennem konstruktion C, kapitel 6.1,side207ff 1628 af et omfattende tabelværk over tal, han kaldte logaritmer, og som ifølge Napier havde disse "vidunderlige egenskaber" Napier dør 1618 og Briggs gør arbejdet færdigt. I 1628 udkommer de første komplette tabeller Logaritme-regneregler 1625 Formulering af reglerne og beviser for dem C, kapitel 6.2, side 215ff Logaritmetabeller Logaritmetabeller. Napiers konstruktion fra 1614 forbedres af Briggs i 1. C, kapitel 6.1, s.207f På hjemmesiden ligger et uddybende materiale om logaritmer 2. C, kapitel 6.1, side 210ff 2. Det er et kæmpearbejde, som man pålægger matematikeren de Prony C, projekt 6.1 ( ) til dennes store utilfredshed. Det tog 20 år af Napiers liv, og nu vil man have tabeller med omkring 20 decimaler! Der skal beregnes op mod en halv million værdier. Hvordan skal han dog organisere det? logaritmisk skala, se: linearisering Logaritmefunktioner kan komprimere enorme og uoverskuelige interval-cler af kapitel 6.5, side 220ff tal logiske regler, Euklids 5 almindelige 1. I starten af bogen er der oplistet 5 almindelige regler, som man skal overholde i al slags matematik. De tre første af disse lyder 2. Dertil kommer 5 aksiomer som gælder i al matematik. Du finder det som vedrører bind 1 i bilag 1. Hos Euklid skelnes mellem postulater, der er ting vi tager for givet i et bestemt område, som her plangeometri, og aksiomer, der er ting vi tager for givet i al matematik 1. C, kapitel 7.4.2, side C, projekt 3.10, bilag 1 Lykke, Måling af Der foretages også målinger af folks lykke. Det sker på en skala fra C, kapitel 14, afsnit 4.3 En skitse af sammenhængen Længde- og breddegrader Projekter om navigation C, kapitel 10, afsnit 4.3 Mandatfordeling 1. Det danske samfund er organiseret som et repræsentativt demokrati. 1. C, kapitel 10, afsnit 5.4 Repræsentanterne vælges efter et såkaldt forholdstalssystem. Du kan her finde 2. C, projekt C, projekt I projektet vil vi med geometriske midler undersøge, hvor små forskydninger der skal til, før mandatfordelingen kan ændre sig. Det centrale spørgsmål er: Vil et flertal i stemmer altid medføre et flertal i mandater? 3. Projektet undersøger mandatfordelingen ved kommunale valg

16 Median af datasæt Ved medianen for et datasæt forstår vi C, kapitel 2.2 side 75 Medianerne i en trekant 1. Teoretisk undersøgelse 2. Definition og eksperimentel undersøgelse 1. C kapitel 3.4, side C, projekt 3.3 C, projekt 3.5 Mellemproportionaler, Sammenhørende -250 fvt forholder sig til x som x forholder sig til y som y forholder sig til 2 1. C, kapitel 10, afsnit 1.4 Sådanne linjestykker kaldtes sammenhørende mellemproportionaler 2. C projekt Ifølge overleveringen viste matematikeren Hippokrates, at terningens 3. C, projekt 10.3 fordobling svarer til problemet om at konstruere to sammenhørende mellemproportionaler, der går ud på følgende 3. undersøgelser over»de sammenhørende mellemproportionaler«førte frem til opdagelsen af parabler, ellipser og hyperbler. Det var en anden af de store før Euklid, matematikeren Menaichmos (ca. 350 f.kr.), der nåede frem til dette Middeltal af datasæt Ved middeltallet eller gennemsnittet for et datasæt forstår vi C, kapitel 2.2 side 75 Middeltal for chi-i-anden (χ2-) fordeling Middeltallet for χ2-fordeling er lig med antallet af frihedsgrader C, kapitel 8.5, side 311 Middeltal for grupperede observationer Når vi skal danne os et skøn over middeltallet for ofrenes alder, vil vi C, kapitel 2.3 side 93f således antage, Midtnormalerne i en trekant 1. Teoretisk undersøgelse 2. Definition og eksperimentel undersøgelse 1. C kapitel 3.4, side C, projekt 3.3 C, projekt 3.5 Mindste kvadraters metode 1795 Regressionslinjen er netop valgt, så summen af kvadraterne er mindst C, kapitel 1.6 side 60ff mulig. Metoden kaldes derfor mindste kvadraters metode. Modeksemplers betydning For Lakatos betyder det ofte, at der kommer modeksempler på banen: C, kapitel 10, afsnit 2.4 Vi prøver at bevise noget (proof) og så kommer der et modeksempel (refutation). Hvis teorien er produktiv, så sættes nu en ny scene. Modellering af fysiske fænomener, I fysik benytter man sig af mange forskellige matematiske modeller. Den C, kapitel 11, afsnit 3 Matematisk vigtigste sammenhæng er den lineære, som vi behandlede i afsnit 2. I bogens kapitel 4 og 5 behandles eksponentielle og potens sammenhænge. Begge disse er også meget anvendt til modellering i fysik. Hvis man har et datamateriale Monotoniforhold Når vi skal angive monotoniforhold for en variabelsammenhæng betyder C, kapitel 1.6, side 55ff det Monty Hall eksperimentet Det klassiske Monty Hall-problem er følgende: Bag tre lukkede døre på C, kapitel 0.3, side 28

17 scenen står der Multiplikation ud fra et punkt At forstørre eller formindske geometriske figurer uden at ændre deres C, projekt 3.11 form svarer til en geometrisk transformation, som kaldes en multiplikation. Geometrisk multiplikation med et tal k ud fra et punkt M betyder Napiers logaritmer 1614 Napier udgav sit første tabelværk om logaritmerne i Det var ikke C, kapitel 6.1, side 210 de logaritmer, vi kender i dag. Napiers logaritmer log N opfyldte en lidt anden regel, nemlig forholdsreglen Napiers stave 1610 I starten af 16. hundrede tallet udvikledes en række regnetekniske hjælpemidler C, projekt 6.2 bla. udarbejdede Napier en multiplikationstabel, som er kendt under navnet Napiers stave Naturlige tal Tallene 1,2,3,4, kaldes som tidligere nævnt for de naturlige tal C, kapitel 7.3, side 246 Negative tal De negative tal opstår endnu senere i Europa C, kapitel 7.1.5, side 236 Negativ potens Definition: Potenser med 0 og med negative tal C, kapitel 4.3.1, side 152 Newtons afkølingslov 1. Et projekt, der rummer en indføring i og sammenligning af lineære og eksponentielle modeller, herunder anvendelse af regression til behandling af dataværdier. 2. Eksperimentel tilgang til afkølingsloven Nipunktscirklen 1. Teoretisk undersøgelse 2. Eksperimentel undersøgelse n te rod 1. Definition: Ved den n'te rod af a, forstås tallet 2. Udvidelse af potensbegrebet med stambrøkerne n te dele Nul 1. Babylonierne havde ikke opfundet nullet, så har vi ikke andre oplysninger end selve tegnet, kan vi ikke være sikre på talværdien 2. Udvidelse af talbegrebet nul, negative tal, brøker Nulhypotese, Formulering af Definition 2. Eksempler på formuleringer af nulhypoteser. 3. Fishers oprindelige beskrivelse. Numerisk værdi <denne skal ud, hører til B> Den numeriske værdi af et tal x er afstanden målt på tallinjen fra tallet x hen til C, projekt C, kapitel C kapitel 3.4, side C, projekt C, kapitel 4.2.2, side C, projekt C, kapitel 7.1.4, side C, kapitel 7.1.5, side C, kapitel 9.2, side C, kapitel 9.5, side 310 C, kapitel 9.5, side 313 C, kapitel 9.6, side 316ff C, kapitel 13, afsnit 4 3. C, projekt 9.1 C, kapitel 14, afsnit 3.2 B, kapitel 4.2, side 165

18 Nygrader Der har været forsøg på at ændre vinkelmålet, så en ret vinkel er 100 o C, kapitel 0.1, side Prony regnede i nygrader, hvor en lige (180 o ) vinkel svarer til C, projekt 6.1 nygrader. Omregn følgende Observerede værdier 1. Definition og illustrationer 2. Praxis: Beregning af observerede værdier i Goodness-of-fit-testen 3. Anvendelser i samfundsfag Omskrevne cirkel Konstruér trekantens omskrevne cirkel c1 ved brug af Cirkel-værktøjet idet du Omvendt funktion (logaritmer) 1. Log er den omvendte funktion til 2. ln er den omvendte funktion til 3. Vi konstruerede logaritmefunktionerne som omvendte funktioner til eksponentialfunktionerne. Dvs Omvendt funktion (sinus og cosinus) Funktionerne sin -1 (eller arcsin) og cos -1 (eller arccos) kaldes også omvendte funktioner. 1. C, kapitel 9.2, side C, kapitel 9.5, side C, kapitel 14, afsnit 3.2 C, projekt C, kapitel 6.2, side C, kapitel 6.2, side C, kapitel 6.2, side 216 C, kapitel 3.5.2, side 132 Omvendt fun ktion (potens og rod) Definition: Ved den n'te rod af a, forstås tallet C, kapitel 4.2.2, side 145 Omvendte operationer Praxis: Omvendte operationer C, kapitel 7.4.2, side 253f Omvendt proportional To variable, y og x, siges at være omvendt proportionale, hvis der findes C, kapitel 5.2.1, side 181 en konstant k, så: C, kapitel 14, afsnit den neutrale elastiske efterspørgsel, dvs. E = -1, svarer til en omvendt proportionalitetsmodel Omvendte Pythagoras Benyt cosinusrelationen til at bevise den omvendte Pythagoras' sætning C, kapitel 8.4, side 279 Opinionsundersøgelser 1. Da Gallup vandt og opinionsmålingerne blev født 2. Opinionsundersøgelser sammenholdt med valgresultater 3. Empiriske undersøgelser Opinionsundersøgelser Opsparingsannuitet Når man sparer op, fx for at have en udbetaling til at kunne købe en ejerlejlighed, sker det ofte ved, at man indsætter et bestemt beløb på en særlig konto hver måned eller hvert år. Vi bruger ofte ordet termin som et fælles ord for denne periode: Vi indsætter altså et fast beløb hver termin. 1. C, kapitel 0.3, side C, kapitel 9.5.1, side C, kapitel 14, afsnit 1 C, projekt 4.3 outliers Definition C, kapitel 1.2 side 85 Ovalkonstruktioner 1542 Indføring i konstruktionsmetoden og anvendelse i analyse af Peterspladsen C, projekt 10.14

19 Parallelaksiom, Euklids -300 fvt. Formulering C, projekt 3.10 Parallelaksiom, Hilberts 1900 Formulering og diskussion C, projekt 3.10 C, projekt 10.1 Parallelle linjer, Euklids og Hilberts definition af 1. Hvis l er parallel med AB, så påstod vi, at 2. Euklids definition 3. Hilberts definition 1. C, kapitel 0.1, side C, projekt C, projekt 10.1 Parentesregler Praxis: Regning med fortegn og parenteser C, kapitel 7.2.1, side 237f Pascals trekant 1650 Trekanten kaldes Pascals trekant efter en af de matematikere, Blaise C, kapitel 7.2, side 240 Pascal ( ), der studerede denne periferivinkel I denne øvelse skal du undersøge sammenhængen mellem de to hovedtyper C, projekt 3.4 af vinkler i en cirkel: Centervinkler og periferivinkler periodisk decimaltal Et sådant tal kaldes et periodisk decimaltal. Man kan vise, at brøker og C, kapitel 7.2 side 242 periodiske decimaltal i virkeligheden er det samme. C, projekt 7.4 ph-skalaen ph-skalaen blev udviklet af de danske kemikere S. P. L. Sørensen (t.v.) 1. C, kapitel 6.5, side 223ff og Johannes Brøndsted (t.h.), mens de arbejdede som forskere på Carlsberg. 2. C, kapitel 12 afsnit 4 Den omtales første gang i en artikel af S. P. L. Sørensen fra undersøgelse af, hvorfor man har valgt den mystiske definition af ph, se..(stort sammenhængende forløb om ph mellem matematik og kemi). pi (π) 1. Eksempel: Tallet π 1. C, kapitel 7.2.2, side 241f 2. I den græske tradition forstod man π geometrisk, nemlig som forholdet 2. C, kapitel 7.3, side 248 mellem en cirkels omkreds og dens diameter. Det var først i 1600 tallet, at den engelske matematiker John Wallis ( ) foreslog, at π også kunne forstås som et tal. i 1882 beviste den tyske matematiker Ferdinand von Lindemann,at π hører til de transcendente tal. Pivot-tabel Definition og eksempler C, kapitel 2.4.2, side 97ff Platoniske legemer 1. De fem regulære polyedre og de fem elementer indgår i et af hans værker (dialogen Timaios), og siden er de blevet kaldt for de platoniske legemer. 2. I et værk fra 1596 med titlen Det Kosmografiske Mysterium gav han den forklaring, som han selv mente, var hans største opdagelse: "Solsystemets arkitektur er bestemt af de fem regulære polyedre." 3. I værket vender han ofte tilbage til sin første model fra bogen Mysterium Cosmographicum, hvor solsystemet modelleres med de regulære 1. C, kapitel 0.1, side C, kapitel 5.1, side C, projekt 10.9

20 polyedre. Du kan hente en interaktiv model af Keplers verdensbillede Polyedersætning, se: Eulers polyedersætning Polyedre, se: Regulære polyedre Polygon Mangekanter kaldes også polygoner (poly betyder mange og -gon betyder C, kapitel 0.1, side 16ff vinkel). De polygoner, hvor alle vinkler og sider er lige store, kaldes regulære polygoner. Population Definition C, kapitel 9.4, side 303 Positionstalsystemer fvt. Romertallene og de ægyptiske tal er ikke positionstal. C betyder 100, C, kapitel 7.3, side 233ff uanset hvor det står. Men babyloniernes talsystem, der stammer fra ca f.v.t., og som blev skrevet med kileskrift, var et positionstalsystem. Potensfunktioners egenskaber Grundlæggende definitioner og sætninger C, kapitel 5.2 side 181ff Potensregneregler, Systematisk behandling af Definitioner og regneregler 2. I et værk fra 1544 skrev forfatteren Michael Stifel ( ) om talfølger som disse "addition i den øverste række svarer til multiplikation i den nederste række, ligesom subtraktion i den øverste svarer til division i den nederste." 3. Potensbegrebet og geometriske rækker Det, vi i dag kalder eksponentiel udvikling, var dengang kendt under navnet geometriske rækker. 1. C, kapitel 3.3,side150f 2. C, kapitel 6.1,side C, projekt 4.1 Potensregression, se: Regression Prikdiagram Da der er tale om en numerisk variabel med talværdier, kan vi afsætte C, kapitel 1.2 side 74ff observationerne som prikker langs en talakse. Derved fremkommer prikdiagrammet for fordelingen Primiske, Indbyrdes -300 fvt. Hvis to tal a pog b har 1 som det største fælles mål, dvs. de har ingen fælles primfaktorer, siges de at være indbyrdes primiske. Det er en bemærkelsesværdig kendsgerning at vi har en simpel algoritme for at afgøre C, projekt Primtal Priselasticitet Procentandel (frekvens) for grupperede datasæt -300 fvt. 1. Definition 2. Euklids eksistensbevis vedr. mængden af primtal. Der er flere primtal end ethvert forelagt antal. 1. C, kapitel 7.3, side 246f 2. C, projekt Praxis: Betegnelser vedrørende grupperede datasæt C, kapitel 2.3 side 89