Modellering Ib Michelsen 2013
|
|
- Emil Lange
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Modellering Ib Michelsen 2013
2 Ib Michelsen Modellering Side 2 Matematisk modellering 1 indeholder en række elementer, der er i spil alt afhængig af den konkrete sag: For det første må der ske en afgrænsning og sproglig beskrivelse af det problem eller den situation, der skal modelleres. Dernæst skal der foretages en oversættelse fra naturligt sprog til matematisk sprog af de objekter, fænomener, relationer mv., der er i spil: Der indføres numeriske variable som tid, vægt, koncentration og alder og kategoriale variable som køn, ansættelse, nationalitet og institutionstype. Et billede af virkeligheden repræsenteres ved en matematisk figur, en forandring i tid repræsenteres ved en differentialkvotient osv. Denne matematisering foregår på flere niveauer og kan ofte med fordel ske i et samarbejde med andre fag. Oversættelse af den oprindelige komplekse situation eller problem til et matematisk problem vil altid ske gennem idealiseringer, abstraktion, antagelse af bestemte forudsætninger osv., dvs. der er sket et informationstab. Der kan være bias (systematiske fejl) i en indsamlet stikprøve. Når dette er givet en matematisk form, så anvendes de relevante matematiske metoder til at behandle den matematiske model og løse de matematiske problemer, der nu er formuleret. Første trin vil ofte være deskriptive og grafiske metoder, der repræsenterer materialet i en form, hvor-fra man kan stille yderligere spørgsmål. Og endelig sker der en validering af den matematiske model ved at oversætte tilbage fra det matematiske sprog til det oprindelige og bedømme holdbarheden af de matematiske resultater. Ved at inddrage andre fag kan man med større sikkerhed svare på, om resultaterne er holdbare eller kan forklares med skjulte variable (konfundering) eller med en stor usikkerhed i forsøgs-opstillingen mv. Gennem en kommunikation med andre fag skal der således ske en kritisk analyse af modelbygningen og af modellens holdbarhed og gyldighed. Et eksempel: En fodboldbane Lad der være givet en fodboldbane med fintklppet græs og hvide kalkstriber som afgrænser banen. Den vil ofte blive kaldt et rektangel, men det er den ikke: Rektanglet er en matematisk model med sine rette vinkler og linjer uden bredde i et plan. Rektangler findes kun som idealforestillinger i hovedet på matematikere; heller ikke den mest omhyggeligt udførte tegning af et rektangel er et rigtigt rektangel. Selv den tyndeste linje har en bredde, selv den vinkel, der er tegnet efter alle kunstns regler som ret, har en lille afvigelse osv. Men vi kan sige, at et matematisk rektangel kan bruges som model for en fodboldbane. Med kendskab til fx sidelængder kan rektanglets omkreds og areal beregnes i modellen og disse resultater kan så overføres til fodboldbanen. Hvor anvendelige resultaterne er, afhænger både af, hvor stor afstanden mellem virkelighed og model er, og hvor stort behovet for nøjagtighed er. 1 %29/~/media/UVM/Filer/Udd/Gym/PDF10/Vejledninger%20til%20laereplaner/Stx/100806_vejl_matematik_B_stx.ashx (Delvist citat fra afsnit 5.7)
3 Ib Michelsen Modellering Side 3 Geometriske Modeller Jordens omkreds (Eratosthenes) Eratosthenes (240 FVT.) opnåde berømmelse for sin vurdering af jordens omkreds. Hans argumenter var: På en bestemt dag stod solen lodret over Syene; samtidig kunne Erastostenes i Alexandria måle vinklen mellem lodret og en linje til solen som 1/50 af en hel cirkel. Alexandria ligger stik nord for Syene, altså på samme meridian. Afstanden mellem Alexandria og Syene blev opmålt til 5000 stadier Denne afstand (buelængden) er ligefrem proportional med centervinklen (som er den samme som den målte β, da lysstrålerne forudsættes at være parallelle) Derfor beregnes jordens omkreds (over polerne) til 50x5000 stadier = stadier eller godt km 2 2 Argumentationen er rigtig, men forudsætningerne halter en lille smule: Solen har ikke stået præcist lodret over Syene og Alexandria ligger ikke præcist N for Syene, men den største fejlkilde har været den unøjagtige bedømmelse af afstanden mellem de to byer. Yderligere mangler vi præcis viden om forholdet km/stadier. Desuden er solen jo ikke et punkt, og den har en endelig afstand til jorden.
4 Ib Michelsen Modellering Side 4 Kugle eller pandekage? Eratostenes går ud fra, at jorden er rund. Før ham har der ikke været almindelig enighed herom. Dog kan det ikke have været en fjern tanke, fordi det - i modsætning til den flade model - kan forklare: hvorfor ser sømanden, der er på vej mod land, først bjergets top? hvorfor er jordens skyggebillede ved måneformørkelse altid cirkulært - en skiveformet jord ville oftere lave et elliptisk skyggebillede? 3 Aristarchos jord-sol-måne model Aristarchos ( fvt.) er (måske) den første med et heliocentrisk verdensbillede: i stedet for at have jorden som verdens centrum sætter han solen i centrum. Aristarchos vil tegne et Himmelkort, hvor jord (J), sol (S) og måne (M) er punkter. Kortet er naturligvis en formindsket udgave af den virkelige himmeltrekant. Han kender ikke nogen af siderne i himmeltrekanten: dvs. de virkelige afstande mellem himmellegemerne. Men derfor kan han alligevel godt tegne et kort; han mangler blot at kunne angive et målestoksforhold (eller en formindskelsesfaktor.) For at kunne tegne kortet, skal han lave en trekant, der er ensvinklet med himmeltrekanten, og dertil behøver han blot at kende to af dennes tre vinkler. Den første er nem at få: fra jorden kan man nemt få sigtelinjer til både sol og måne, og derefter måle vinklen mellem linjerne. Aristarchos havde ingen ven på månen, han kunne ringe til for at få målt den tilsvarende vinkel der. Men han fik en genial idé: når vi på jorden har halvmåne, må det være fordi: solstrålen, der netop strejfer månen i B, er en tangent til månen solstrålen står derfor vinkelret på diameteren AB og Aristarchos må befinde sig i forlængelse af diameteren AB fordi bevæger han sig mod solen, vil 3 Kort over Månen (hvor sol og jord ligger i same plan)
5 Ib Michelsen Modellering Side 5 månen blive mere fuld og bevæger han sig væk fra solen, bliver den mindre fuld. Derfor behøvede Aristarchos kun at måle én vinkel, men den skulle måles præcis i det øjeblik, der er halvmåne. Det forsøgte Aristarchos, og han kom til resultatet 87. Derfor kunne han tegne tegningen øverst på siden og beregne forholdet mellem tegningens afstande til sol og måne. På tegningen kan aflæses, at sættes JM = 1, er JS = 19,11. For at få virkelighedens mål, skal disse størrelser ganges med et ukendt k, således at de rigtige afstande er hhv. k og 19,11 k. Forholdet mellem afstandene til sol og måne fås så som: Afstandsforholdet= 19,11 k =19,11 k Dermed kunne Aristarchos fastslå, at solen både er langt længere væk end månen og følgelig også langt større! selv om de ser lige store ud. Aristarchos måling var unøjagtig, så selv om metoden er rigtig et langt stykke ad vejen, fik han et resultat for k, som ligger langt fra det resultat, vi har i dag: k = 389. Solen er altså langt, langt længere væk end månen. Grunden til den voldsomme fejl er en lille fejl i vinkelmålingen, som nok især skyldes, at halvmåne har man ikke en hel dag, men kun et øjeblik. Månen bevæger sig jo hele tiden rundt om jorden (samtidig med at jorden bevæger sig rundt om solen) og derfor ændrer vinklen, der skal måles, sig hele tiden. Ved at følge dette link til kan du se en model, der demonstrerer, hvad små ændringer af vinklen gør mht. forholdet. Målebordsblade som modeller af landskabet Samtidigt med trianguleringen (se næste kapitel) blev landet opmålt og tegnet på målebordsblade. Det var meget detaljerede kort i målestokken 1: De fik en ganske lang levetid under forskellige myndigheder. I hvertfald solgtes de stadig i boghandlen efter 1970 som fx M 2108 Finderup, opmålt 1877, rettet 1954, trykt i Köbenhavn 1964 ved Geodætisk Institut. Det var teknikken ved fremstillingen, der gav dem navn. En lidt forenklet gengivelse af denne er: Man benytter et bord, hvor det kommende kort fastgøres. 2 punkter (hvorfra der er en vis udsigt) A og B i naturen udvælges, afstanden mellem dem måles, og punkterne overføres til kortet med en tilsvarende (meget mindre) afstand mellem de tegnede punkter: lad os kalde dem A 1 og B 1. Bordet stilles så op: først ved fx A med kortets A 1 præcist over A og linjen A 1 B 1 lige over en del af AB. Andre punkter i landskabet lægges ind ved at tegne sigtelinjer fra A 1 (A) på papiret sigtende fx mod et kirkespir K. Når et passende antal sigtelinjer mod vigtige punkter er indlagt, flyttes bordet til B med B 1 lige ovenover B og linjen A 1 B 1 lige over en del af AB. Når der så herfra blev tegnes en sigtelinje mod K (eller andre punkter), dannes der to ligedannede trekanter: ABK i naturen og A 1 B 1 K 1 på kortet. Med tilpas mange støttepunkter kan den rutinerede kartograf indtegne øvrige detaljer på fri hånd.
6 Ib Michelsen Modellering Side 6 Herunder er vist det rektangulære målebord efter flytningen til B (i naturen). Da A 1 lå over A (og B 1 lå over punktet i naturen markeret B 2 ), blev den røde sigtelinje tegnet fra A 1 til K 1. Nu er B og B 1 sammenfaldende Der tegnes så en ny sigtelinje, og K 1 s position findes i skæringspunktet. Tilsvarende indtegnes alle andre punkter. Opgave Antag, der også var en mølle M i landskabet og at den er tegnet ind på kortet som M 1. Gør rede for, at forhold mellem alle afstandene på kort og de tilsvarende i naturen er de samme. Vis altså: K 1 M 1 KM = A 1 B 1 AB Danmarkskort 4 Som det allerede er nævnt, betyder geometri jordmåling og resultaterne benyttes til at tegne kort. Kort er og var vigtige. Formålet med at have dem kunne fx være at finde vej eller at fastlægge skel mellem ejendomme eller at beregne ejendommes størrelse. I Danmark skyldes de ældste kort optegnelser gjort af Ptolemæus fra Alexandria ca. 200 EVT. Selve kortet er dog tegnet væsentligt senere. 4 Se: Euklid, VI, sætning 2 Det ældste Danmarkskort Kort tegnet efter optegnelser fra Ptolemæus af Alexandria, 200 E.V.T.
7 Ib Michelsen Modellering Side 7 Johannes Mejers kort De første første gode kort i Danmark og hertugdømmerne skyldes Johannes Mejer fra Husum. Han tegnede en lang række kort: først for hertugen på Gottorp, Friedrich 3. og senere for den danske konge, Christian 4. Han havde studeret matematik i København, som dengang også bl.a inkluderede astronomi, landmåling og kartografi. I midten af tallet var hans kort ubestridt de bedste, og det vedblev de med at være i en lang periode. Trianguleringen i Danmark Blandt de mange kort, der blev tegnet før 1700-tallet, var der et uløst problem: at få lokale kort til at hænge rigtigt sammen med andre lokale kort. Problemet bestod dels i, at uundgåelige småfejl ville blive summeret op ved sammentegning af mange kort, men værre: at de enkelte målebordsblade krympede en smule efter at være fjernet fra målebordet. Først så sent som i 1764 startede Thomas Bugge 5 en opmåling, hvor hele landet blev delt ind i trekanter, som skabte et net til at placere lokale kort korrekt. Teknikken var: Bugge startede med en omhyggelig opmåling af én side i den første trekant (basislinjen). Derefter Triangulering (Bugges første trekanter) Basislinjen er den blå (omhygggeligt opmålte) linje fra Tinghøj til Brøndbye Høj. Alle øvrige (sorte) afstande er beregnet ved hjælp af vinklerne og basislinjen. Fra de nye punkter arbejdes der videre på trekantsnettet over Ballerup, Ølstykke... til det fjerne Jylland. målte han vinklen i et trekantshjørne, hvor basislinjen er det ene vinkelben og sigtelinjen mod trekantens 3. punkt er det andet ben. Denne vinkelmåling blev gentaget i det andet trekantshjørne på basislinjen. Så kunne alle sider og vinkler bestemmes i denne første trekant. Fra de beregnede sider i trekanten kunne man arbejde sig videre og opmåle nye trekanter udelukkende ved at bestemme vinkler. Således blev hele Danmark dækket af et 5
8 Ib Michelsen Modellering Side 8 net af trekanter, der kunne bruges til korrekt placering af de kort, der dækkede et mindre område. De lokale kort, der dækkede et areal på ca. 6,3 km x 9,4 km, udførtes som målebordsblade - se ovenover. Vi har tidligere set, hvordan målebordsblade blev tegnet; nu tegnes med denne triangulering et Danmarkskort, hvor de lokale kort kan indplaceres. For bedre at kunne indplacere lokalkortene blev der samtidigt med opmålingen af trekanternes hjørner også opmålt vigtige punkter som fx kirker. Selvom om arbejdet hurtigt kan skitseres, var det en enorm indsats, det tog over et halvt århundrede at fuldføre. Arbejdedet lettedes af, at instrumenterne til opmåling af vinkler var blevet meget nøjagtige, og at man ved hjælp af sinuselationerne kunne beregne afstandene ret nøjagtigt. Så man var ganske vist fri for det meget besværlige og arbejdskrævende arbejde med at opmåle afstande med undtagelse af basislinjen og nogle få verifikationsafstande, men mange opmålinger af den samme vinkel, besværlig transport, tunge beregninger osv. tog sin tid. Ved samlingen af kortene blev målestokken ændret fra 1: til 1: Dertil benyttedes et tegneteknisk redskab: en pantograf, som kan ses her: Som øvelse for at forstå virkemåden kan du benytte linket:
9 Ib Michelsen Modellering Side 9 Modeller beskrevet med funktioner Alkoholmodellen En sølle stakkel har beruset sig og har i dette øjeblik (kl. 01:00) en alkoholpromille på 1,8. En gængs antagelse er, at alkohollen forbrændes og promillen dermed mindskes med 0,15 promille pr. time. Med denne viden og denne antagelse er det muligt at opstille en model, der til enhver tid kan beregne personens fremtidige alkoholpromille. Modellen bygger desuden på den antagelse, at staklen ikke er i stand til at indtage mere alkohol eller i hvert fald ikke gør det. I modellen indgår to variable: Tiden (t), som måles i timer fra nu (kl. 01:00) og den tilsvarende alkoholpromille (p(t)), som måles i vægt af alkohol i forhold til vægt af blod skrevet som promille. Desuden skal modellen med en funktionsforskrift beskrive sammenhængen mellem de to variable. Typisk vil modellen formuleres således: Model t er tiden målt i timer fra kl. 01:00 f(t) er den tilsvarende alkoholpromille f (t)= 0,15t+1,8, 0 t 12 Bemærk, at efter 12 timer er promillen 0,0; en indsættelse af fx 13 i funktionsforskriften vil give et meningsløst resultat. Kasteparablen På den følgende side er beskrevet en opgave, hvor du skal finde en model for et kast samt undersøge og analysere nogle antagelser i forbindelse hermed. Når man laver rapporter om fysiske forsøg vil en dispostion noget lignende denne være fornuftig: Forside, der ud over titel indeholder navn(e), dato og tegning / foto (evt.) Indledning med formål: fx ved forsøg at vise, at teorien om kasteparablen er rigtig teori: formulering af hypoteser (og sammenhæng mellem antagelser og hypoteser) Materialer og metoder Materialer: lav lister over alt anvendt udstyr
10 Ib Michelsen Modellering Side 10 Fremgangsmåden beskrives, så læseren kan gentage forsøget Resultater Resultater er i første omgang rå data, tabeller, grafer, billeder Resultatbehandling går ud på at bruge de rå data til at besvare opgaven (som den er fomuleret af læreren eller dig selv). Det kan foregå ved aflæsninger beregninger konstruktion af nye grafer løsning af ligninger og argumentation i øvrigt Diskussion Diskussion: Vurder resultatet. Blev hypotesen verificeret eller falsificeret? Fejl og usikkerhed: fjern ikke mærkelige data, men prøv at forklare dem. Konklusion: Den skal være et svar på spørgsmålet i formålet! Den kan skrives som en opsummering og skal indeholde det væsentlige i det fundne, men der står ikke noget nyt i konklusionen.
11 Ib Michelsen Modellering Side 11 Kasteparablen findes eksperimentelt 1. Optag en film af et eller flere kast. 1. Kastet kan passende foretages lige foran en mur eller væg i et plan parallelt med muren. 2. Det er vigtigt, at kameraet holdes / står fuldstændigt stille under kastet og kan fange hele bevægelsen, 3. Mål vandret afstand for kastet. 2. Fra filmen tages med jævne mellemrum en række still-billeder af bevægelsen (fra lige efter objektet har forladt hånden til det rammer gulvet) 3. Disse indsættes præcis samme sted i GeoGebras tegneplan, objektets tyngdepunkt markeres som et punkt og billedet slettes igen. 4. Ved hjælp af regression findes den graf, der passer bedst til punkterne. Der bør ved omhyggeligt arbejde ikke være stor afstand fra noget punkt til grafen. 5. Beskriv modellen for det specifikke kast 6. Vurder: Støtter målinger og beregninger antagelsen, at tyngdepunktet for det kastede objekt følger en parabelbane? Beregning af modeltype 1. Hvis en bevægelse ikke påvirkes af andre kræfter, vil objektet følge en ret linje med konstant hastighed. 1. Lad t være tiden målt i sekunder efter objektet slippes 2. Lad v være vinklen mellem x-aksen og linjen, objektet følger 3. Lad h være hastigheden for objektet langs linjen (m/sekund) 4. Se bort fra luftmodstand og tyngdekraft 5. Lad x(t) være x-værdien af objektets position t sekunder efter start 6. Lad y(t) være y-værdien af objektets position t sekunder efter start 7. Indtegn kurven i GeoGebra med kommandoen kurve efter at have indtastet v=30º og h=5 ; benyt begge variable i definitionen af kurven. 8. Lav en skyder for a, og se hvorledes ændringer af a påvirker kurven. 2. Når et emne slippes og falder mod jorden kun påvirket af tyngdekraften falder det hurtigere og hurtigere (idet vi ser bort fra luftmodstand.) 1. Lad t være tiden målt i sekunder efter objektet slippes 2. Lad f(t) faldets længde efter t sekunder 3. f '(t) kaldes hastigheden (i tidspunkt t) 4. f ''(t) kaldes accelerationen (som fortæller om hastighedsændringen). f ''(t) = 9,82 5. Find en forskrift for f 't) 3. Find nu emnets bane som en ny kurve, idet du ændrer kurven fra punkt 1 med virkningen af tyngdekraften.
12 Ib Michelsen Modellering Side Find nu x som en funktion af t og indsæt resultatet i forskriften for y(t). Sammenlign forskriften med den du fik fra dit første eksperiment. 5. Overvej: Hvad er den virkelige verden og hvad er modellen?
13 Ib Michelsen Modellering Side 13 Operation vandpjask Undersøg ved hjælp af filmene (Materiale til projekter Sammenhængen mellem vandstand og tid h(t) ( i det data opsamles fra filmene) Benyt GeoGebra. Overvej nøje, hvad der er rimelige intervaller for DM(h) og VM(h). Sammenhængen ændringen i vandstanden pr. tidsenhed og tiden. Overvej nøje, hvorledes den elegant kan findes! Hvad er sammenhængen mellem denne størrelse og udstrømningshastigheden? Hvad er sammenhængen mellem udstrømningshastigheden og vandsøjlens højde? 4 vandstråler i forløbet med vidt forskellige strålelængder Alle billeder af strålerne indsættes, så samme punkt får samme koordinater! Punktet for vandstrålens begyndelse A placeres på y-aksen (så x(a) = 0). Placer yderligere en række punkter på den synlige vandstråle og find ved regression funktionssammenhængen. Sammenlign strålernes parametre og kommenter det sete. 6 6 Kommentarerne kan gå fra det meget overfladiske og let sete, til dybsindige overvejelser om sammenhængen mellem de første resultater og parametrenes værdier.
14 Ib Michelsen Modellering Side 14 Hypotesetest Binomialfordelingen En hypotese er en påstand. Mange påstande kan verificeres eller falsifiseres ved at lave et eksperiment og med resultatet af eksperimentet kan man så vurdere, om påstanden holder. Men sandhedsværdien af rigtig mange interessante hypoteser kan ikke umiddelbart afgøres, fordi de indeholder elementer af sandsynlighed: Patienten bliver helbredt med 63 % sandsynlighed, kornet spirer med 90 % sandsynlighed, sandsynligheden for at et barn bliver en dreng er 51,5 %, sandsynligheden for plat (i plat og kronespil) er 50 % osv. I de her nævnte eksempler er der altid 2 udfald, hvor det ene kaldes succes (fx at patienten helbredes) og det andet fiasko. Måden at vurdere denne kategori af hypoteser på, er at lave en række eksperimenter (eller præcisere: n gentagelser af det samme eksperiment). Fordi der er to mulige udfald kaldes eksperimenterne binomielle basiseksperimenter. Når vi gentager forsøget n gange kan vi tælle antallet af succeser: resultatet kan i princippet være alt fra 0, 1, 2 n-1, n. Vi benytter X som navn for den stokastiske (dvs. tilfældige) variabel, der tæller antallet. Hvis vi antager (antagelsen er hypotesen), at sandsynligheden for succes i et basiseksperiment er p, siges X at følge en binomialfordeling, hvilket skrives kort: X~b(n,p), og man kan beregne P(X=a) som er punktsandsynligheden for at de n eksperimenter tilsammen har a successer. Når eksperimenterne udføres n gange, forventer vi at få n p successer eller noget i den retning. Får vi noget, der er usandsynligt langt fra det forventede, vil vi forkaste hypotesen. Den er falsificeret. Og måske med urette, fordi der engang i mellem optræder usandsynlige ting: både heldige og uheldige. Omvendt: Får vi noget tæt på det forventede, accepterer vi hypotesen indtil videre. Vi har ikke bevist, at hypotesen er rigtig, blot at den måske kunne passe.
15 Ib Michelsen Modellering Side 15 Falske terninger Find ud af hvilke af terningerne der er falske i terningemodellen. Til orientering er det kun frekvensen af 6 -ere, der er interessant. Opstil hypoteser og testprocedure, hvor du også angiver, hvor store eller små afvigelser fra den ærlige terning, du ønsker at afsløre. Gennemfør test og drag dine konklusioner. Benyt GeoGebra: Kommando Binomialfordeling og Sandsynlighedslommeregneren Regnearket: Terninge-modellen: eller Undersøgelser af hypotetisk / faktisk fordeling:
Modellering Ib Michelsen 2013
Modellering Ib Michelsen 2013 Ib Michelsen Modellering Side 2 Matematisk modellering indeholder en række elementer, der er i spil alt afhængig af den konkrete sag: For det første må der ske en afgrænsning
Læs mereIb Michelsen: Matematik C, Geometri 2011 Version 7.1 03-10-11 rettet fejl side 47 sin G:\_nyBog\1-2-trig\nyTrigonometri12.odt
Trigonometri Vinkel v sin(v) Vinkel v sin(v) Vinkel v sin(v) 0,00 0,00 30,00 0,50 60,00 0,87 1,00 0,02 31,00 0,52 61,00 0,87 2,00 0,03 32,00 0,53 62,00 0,88 3,00 0,05 33,00 0,54 63,00 0,89 4,00 0,07 34,00
Læs mereLigedannede trekanter
Ib Michelsen: Matematik C, Geometri, 1. kapitel 2011 Version 7.1 22-08-11 Rettet: tempel.png inkorporeret / minioverskrift rettet D:\Appserv260\www\2011\ligedannedeTrekanter2.odt Arven fra Grækenland Arven
Læs mereTriangulering af Danmark.
Triangulering af Danmark. De tidlige Danmarkskort De ældste gengivelser af Danmark er fra omkring 200 e.kr. Kortene er tegnet på grundlag af nogle positionsangivelser af de danske landsdele som stammer
Læs mereRENTES REGNING SIMULATION LANDMÅLING MÅLSCORE I HÅNDBO . K R I S T I A N S E N KUGLE G Y L D E N D A L
SIMULATION 4 2 RENTES REGNING F I NMED N H REGNEARK. K R I S T I A N S E N KUGLE 5 LANDMÅLING 3 MÅLSCORE I HÅNDBO G Y L D E N D A L Faglige mål: Anvende simple geometriske modeller og løse simple geometriske
Læs mereBesvarelse af stx_081_matb 1. Opgave 2. Opgave 1 2. Ib Michelsen, 2z Side B_081. Reducer + + = + + = Værdien af
Ib Michelsen, z Side 1 7-05-01 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 3 4 5 6 7 Besvarelse af stx_081_matb 1 Opgave 1 Reducer ( x + h) h( h + x) ( x h) h( h x) + + = x h xh h h x x + + = Værdien
Læs mereIb Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1
Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Opgave 1 Løs ligningen: 3(2 x+1)=4 x+9 Løsning 3(2 x+1)=4 x+9 6 x+3=4 x+9 6 x+3 3=4 x+9 3 6 x=4 x+6 6x 4 x=4 x+6 4 x 2 x=6 2 x 2 = 6 2 x=3 Opgave 2 P(3,1) er
Læs mereDen syvende himmel. Ib Michelsen. Ikast
Den syvende himmel Ib Michelsen Ikast 2018 Antikken Den syvende himmel Aristoteles Filosof og matematiker (384f.v.t. 322 f.v.t.), Platons elev, samler Antikkens viden op, som senere overtages af og indgår
Læs mereDifferentialregning. Ib Michelsen
Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af
Læs merePersonlig stemmeafgivning
Ib Michelsen X 2 -test 1 Personlig stemmeafgivning Efter valget i 2005 1 har man udspurgt en mindre del af de deltagende, om de har stemt personligt. Man har svar fra 1131 mænd (hvoraf 54 % har stemt personligt
Læs mereStx matematik B maj 2009
Ib Michelsen Svar stxb maj 2009 1 Stx matematik B maj 2009 Opgave 1 Bestem f ' ( x), idet f (x )=2 x 3 +4 x 2 f ' ( x)=(2 x 3 +4 x 2 )'=(2 x 3 )'+(4 x 2 )'=2 ( x 3 )' +4 ( x 2 )'=2 3 x 3 1 +4 2 x 2 1 =6
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet
Matematik A Studentereksamen Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet frs101-matn/a-605010 Onsdag den 6 maj 010 kl 0900-1400 Opgavesættet er delt i to dele Delprøve 1: timer med autoriseret
Læs mereVejledende besvarelse
Ib Michelsen Svar: stx B 29. maj 2013 Side 1 1. Udfyld tabellen Vejledende besvarelse Givet funktionen f (x)=4 5 x beregnes f(2) f (2)=4 5 2 =4 25=100 Den udfyldte tabel er derfor: x 0 1 2 f(x) 4 20 100
Læs mereErik Vestergaard, Haderslev 2010
Erik Vestergaard, Haderslev 2010 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 1. Det første nøjagtige Danmarks kort Før år 1760 eksisterede der landkort over Danmark, men de var meget upræcise. Det første
Læs mereLavet af Ellen, Sophie, Laura Anna, Mads, Kristian og Mathias Fysikrapport blide forsøg Rapport 6, skråt kast med blide Formål Formålet med f
Rapport 6, skråt kast med blide Formål Formålet med forsøget er at undersøge det skrå kast, bl.a. med fokus på starthastighed, elevation og kastevidde. Teori Her følger der teori over det skrå kast Bevægelse
Læs mereKapitel 3 Lineære sammenhænge
Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk
Læs mereIntroduktion til GeoGebra
Introduktion til GeoGebra Om navne Ib Michelsen Herover ses GeoGebra's brugerflade. 1 I øverste linje finder du navnet GeoGebra og ikoner til at minimere vinduet, ændre til fuldskærm og lukke I næste linje
Læs mereLineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul
Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær
Læs mereMatematikprojekt Belysning
Matematikprojekt Belysning 2z HTX Vibenhus Vejledning til eleven Du skal nu i gang med matematikprojektet Belysning. Dokumentationen Din dokumentation skal indeholde forklaringer mm, således at din tankegang
Læs mereEmmas og Frederiks nye værelser - maling eller tapet?
Emmas og Frederiks nye værelser - maling eller tapet? Emmas og Frederiks familie skal flytte til et nyt hus. De har fået lov til at bestemme, hvordan væggene på deres værelser skal se ud. Emma og Frederik
Læs mereFunktioner og ligninger
Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive
Læs mereMatematik A 5 timers skriftlig prøve
Højere Teknisk Eksamen august 2009 HTX092-MAA Matematik A 5 timers skriftlig prøve Undervisningsministeriet Fredag den 28. august 2009 kl. 9.00-14.00 Side 1 af 9 sider Matematik A 2009 Prøvens varighed
Læs mereHvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8
Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt
Læs mere2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk
Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber
Læs mereStudieretningsopgave
Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...
Læs mereMatematik A Terminsprøve Digital prøve med adgang til internettet Torsdag den 21. marts 2013 kl. 09.00-14.00 112362.indd 1 20/03/12 07.
Matematik A Terminsprøve Digital prøve med adgang til internettet Torsdag den 21. marts 2013 kl. 09.00-14.00 112362.indd 1 20/03/12 07.54 Side 1 af 7 sider Opgavesættet er delt i to dele: Delprøve 1: 2
Læs mereMatematik A. 5 timers skriftlig prøve. Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA Matematik A 5 timers skriftlig prøve Undervisningsministeriet Fredag den 29. maj 2009 kl. 9.00-14.00 Matematik A 2009 Prøvens varighed er 5 timer.
Læs mereGratisprogrammet 27. september 2011
Gratisprogrammet 27. september 2011 1 Brugerfladen: Små indledende øvelser: OBS: Hvis et eller andet ikke fungerer, som du forventer, skal du nok vælge en anden tilstand. Dette ses til højre for ikonerne
Læs mereSTUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT
STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 007 010 MATEMATIK A-NIVEAU MATHIT Prøvesæt 010 Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret formelsamling Delprøve
Læs mereVUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri
VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner
Læs mereGrønland. Matematik A. Højere teknisk eksamen
Grønland Matematik A Højere teknisk eksamen Onsdag den 12. maj 2010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Ved valgopgaver må kun det anførte antal afleveres
Læs mereDu skal lave en tegning af bordet set lige på fra alle sider (fra langsiden, den korte side, fra oven og fra neden - 4 tegninger i alt).
Mit bord. Tegn det bord, du sidder ved. Du skal lave en tegning af bordet set lige på fra alle sider (fra langsiden, den korte side, fra oven og fra neden - 4 tegninger i alt). Tegningerne skal laves på
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Digital eksamensopgave med adgang til internettet
Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet 2stx121-MATn/A-31052012 Torsdag den 31. maj 2012 kl. 09.00-14.00 Side 1 af 7 sider Opgavesættet er delt i to dele: Delprøve
Læs meregl. Matematik A Studentereksamen Torsdag den 22. maj 2014 kl gl-1stx141-mat/a
gl. Matematik A Studentereksamen gl-1st141-mat/a-05014 Torsdag den. maj 014 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven
Læs mereMatematik for lærerstuderende klasse Geometri
Matematik for lærerstuderende 4.-10. klasse Geometri Klassisk geometri (kapitel 6) Deduktiv tankegang Ræsonnementskompetence Mål med kapitlet: Erkender Thales sætning som fundament for afstandsberegning.
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU 2g
NETADGANGSFORSØGET I MATEMATIK APRIL 2009 MATEMATIK A-NIVEAU 2g Prøve April 2009 1. delprøve: 2 timer med formelsamling samt 2. delprøve: 3 timer med alle hjælpemidler Hver delprøve består af 14 spørgsmål,
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Tirsdag den 27. maj 2014 kl Digital eksamensopgave med adgang til internettet. 2stx141-MATn/A
Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet 2stx141-MATn/A-27052014 Tirsdag den 27. maj 2014 kl. 09.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler
Læs mere1. Bevægelse med luftmodstand
Programmering i TI nspire. Michael A. D. Møller. Marts 2018. side 1/7 1. Bevægelse med luftmodstand Formål a) At lære at programmere i Basic. b) At bestemme stedbevægelsen for et legeme, der bevæger sig
Læs mereMatematik B. Højere Teknisk Eksamen. Projektoplæg
Matematik B Højere Teknisk Eksamen Projektoplæg htx113-mat/b-11011 Udleveres mandag den 1. december 011 Side 1 af 10 sider Vejledning til eleven Du skal nu i gang med matematikprojektet Gokartkørsel. Projektbeskrivelsen
Læs mereMatematik A. Højere teknisk eksamen
Matematik A Højere teknisk eksamen Matematik A 215 Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladte. Opgavebesvarelsen skal afleveres renskrevet, det er tilladt at skrive med blyant. Notatpapir
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Fredag den 9. december 2011 kl. 9.00-14.00. stx113-mat/a-09122011
Matematik A Studentereksamen stx113-mat/a-09122011 Fredag den 9. december 2011 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven
Læs mereKommentarer til matematik B-projektet 2015
Kommentarer til matematik B-projektet 2015 Mandag d. 13/4 udleveres årets eksamensprojekt i matematik B. Dette brev er tænkt som en hjælp til vejledningsprocessen for de lærere, der har elever, som laver
Læs mereModellering med Målskytten
Modellering med Målskytten - Et undervisningsforløb i WeDo med udgangspunkt i matematiske emner og kompetencer Af Ralf Jøker Dohn Henrik Dagsberg Målskytten - et modelleringsprojekt i matematik ved hjælp
Læs mereProjekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.
Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske
Læs mereUndersøgelser af trekanter
En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,
Læs mereSupplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 136
Supplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 36 Det er besværligt at regne med binomialfordelingen, og man vælger derfor ofte at bruge en approksimation med normalfordeling. Man
Læs mereVejledende løsning. Ib Michelsen. hfmac123
Vejledende løsning hfmac123 Side 1 Opgave 1 På en bankkonto indsættes 30.000 kr. til en rentesats på 2,125 % i 7 år. Beregning af indestående Jeg benytter formlen for kapitalfremskrivning: K n=k 0 (1+r
Læs mereLektion 7 Funktioner og koordinatsystemer
Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Brug af grafer og koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner lignnger med ubekendte Lektion 7 Side 1 Pris i kr Matematik på Åbent VUC Brug af grafer
Læs mereEksperimentel Matematik
Eksperimentel Matematik 4 bidrag Ib Michelsen 2007 Trekanter - der ligner hinanden Ib Michelsen VUC Skive-Viborg ib.michelsen@mimimi.dk Geometri C 2 6 timer Faglige mål Ensvinklede og ligedannede trekanter
Læs mereStatistik. Peter Sørensen: Statistik og sandsynlighed Side 1
Statistik Formålet... 1 Mindsteværdi... 1 Størsteværdi... 1 Ikke grupperede observationer... 2 Median og kvartiler defineres ved ikke grupperede observationer således:... 2 Middeltal defineres ved ikke
Læs mereI kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber:
INTRO Efter mange års pause er trigonometri med Fælles Mål 2009 tilbage som fagligt emne i grundskolens matematikundervisning. Som det fremgår af den følgende sides udpluk fra faghæftets trinmål, er en
Læs mereProjekt 3.7. Pythagoras sætning
Projekt 3.7. Pythagoras sætning Flere beviser for Pythagoras sætning... Bevis for Pythagoras sætning ved anvendelse af ensvinklede trekanter... Opgave 1: Et kinesisk og et indisk bevis for Pythagoras sætning...
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Skriftlig prøve (5 timer) Fredag den. december kl... STX MAA LQGG
Matematik A Studentereksamen Skriftlig prøve (5 timer) STX MAA 581710_STX093-MAA.indd 1 LQGG Fredag den. december kl... 03/11/09 10:53:00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består
Læs mereMatematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver
Matematik A, STX EKSAMENSOPGAVER Vejledende eksamensopgaver 2015 Løsninger HF A-NIVEAU AF SAEID Af JAFARI Anders J., Mark Af K. & Saeid J. Anders J., Mark K. & Saeid J. Kun delprøver 2 Kun delprøve 2,
Læs mereRettevejledning, FP10, endelig version
Rettevejledning, FP10, endelig version I forbindelse med FP9, Matematik, Prøven med hjælpemidler, maj 2016, afholdes forsøg med en udvidet rettevejledning. I forbindelse med FP10 fremstiller opgavekommissionen
Læs mereFor at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning
Graftegning på regneark. Ved hjælp af Excel regneark kan man nemt tegne grafer. Man åbner for regnearket ligger under Microsoft Office. Så indtaster man tallene fra tabellen i regnearkets celler i en vandret
Læs mereArbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen:
Forsøgsopstilling: En kugle ligger mellem to skinner, og ruller ned af den. Vi måler ved hjælp af sensorer kuglens hastighed og tid ved forskellige afstand på rampen. Vi måler kuglens radius (R), radius
Læs mereStx matematik B december 2007. Delprøven med hjælpemidler
Stx matematik B december 2007 Delprøven med hjælpemidler En besvarelse af Ib Michelsen Ikast 2012 Delprøven med hjælpemidler Opgave 6 P=0,087 d +1,113 er en funktion, der beskriver sammenhængen mellem
Læs mereDet er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.
Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår
Læs mere7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri
7 Trekanter Faglige mål Kapitlet Trekanter tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Linjer i trekanter: kende til højde, vinkelhalveringslinje, midtnormal og median, kunne tegne indskrevne og omskrevne
Læs mereTilfældige rektangler: Et matematikeksperiment Variable og sammenhænge
Tilfældige rektangler: Et matematikeksperiment Variable og sammenhænge Baggrund: I de senere år har en del gymnasieskoler eksperimenteret med HOT-programmet i matematik og fysik, hvor HOT står for Higher
Læs mereStudentereksamen i Matematik B 2012
Studentereksamen i Matematik B 2012 (Gammel ordning) Besvarelse Ib Michelsen Ib Michelsen stx_121_b_gl 2 af 11 Opgave 1 På tegningen er gengivet 3 grafer for de nævnte funktioner. Alle funktionerne er
Læs mereKapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4
Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Tirsdag den 24. maj 2016 kl Digital eksamensopgave med adgang til internettet. 1stx161-MATn/A
Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet 1stx161-MATn/A-24052016 Tirsdag den 24. maj 2016 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: 2 timer med autoriseret
Læs mereÅrsplan for matematik i 4. klasse 2014-15
Årsplan for matematik i 4. klasse 2014-15 Klasse: 4. Fag: Matematik Lærer: Ali Uzer Lektioner pr. uge: 4(mandag, tirsdag, torsdag, fredag) Formål for faget matematik Formålet med undervisningen er, at
Læs mereMatematik B. Højere forberedelseseksamen
Matematik B Højere forberedelseseksamen hfe102-mat/b-31082010 Tirsdag den 31. august 2010 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.
Læs mereStart pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul
Start pä matematik for gymnasiet og hf 2010 (2012) Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelåder när du skriver og tegner i håftet, sä du fär et håfte der er egnet til jåvnligt at slä op i under dit
Læs mereMatematik B. Studentereksamen. Tirsdag den 27. maj 2014 kl stx141-MAT/B
Matematik B Studentereksamen 2stx141-MAT/B-27052014 Tirsdag den 27. maj 2014 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven
Læs mereDynamik. 1. Kræfter i ligevægt. Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik.
M4 Dynamik 1. Kræfter i ligevægt Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik. Fx har nøglen til forståelsen af hvad der foregår i det indre af en stjerne været betragtninger
Læs mereOM KAPITLET DIGITALE VÆRKTØJER. egne svar eller Elevernes egne forklaringer. I disse
OM KPITLET I dette kapitel om digitale værktøjer skal eleverne arbejde med anvendelse og vurdering af forskellige digitale værktøjer, som kan bruges til at løse opgaver og matematiske problemstillinger.
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereBarcelona. Elevopgaver (Matematik mv.) Ib Michelsen
Barcelona Elevopgaver (Matematik mv.) Ib Michelsen Ikast 2014 2-5. marts 2014 Version 1.0 Indholdsfortegnelse 3 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...3 Indledning...4 Hyperbolske funktioner...5 Buer
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin juni 2019 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Haderslev Handelsskole hhx Matematik B Carsten
Læs mereFærdigheds- og vidensområder
Klasse: Mars 6./7. Skoleår: 16/17 Eleverne arbejder med bogsystemet format, hhv. 6. og 7. klasse. Da der er et stort spring i emnerne i mellem disse trin er årsplanen udformet ud fra Format 7, hvortil
Læs mereVariabel- sammenhænge
Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.
Læs mereOpgave 1 10. Opgave 2 Andengradsligningen løses, idet. Opgave 3. 11 er en løsning til ligningen, da:
7. marts 0 FVU AVU HF X FAG : Matematik B ark nr. antal ark 8 Opgave 0 a b 5 a b 5 = b 3 er en løsning til ligningen, da: = 9 = 3 Opgave Andengradsligningen løses, idet a = b = 3 c = 4 d (diskriminanten)
Læs mereGeometriske eksperimenter
I kapitlet arbejder eleverne med nogle af de egenskaber, der er knyttet til centrale geometriske figurer og begreber (se listen her under). Set fra en emneorienteret synsvinkel handler kapitlet derfor
Læs mere1gma_tændstikopgave.docx
ulbh 1gma_tændstikopgave.docx En lille simpel opgave med tændstikker Læg 10 tændstikker op på en række som vist Du skal nu danne 5 krydser med de 10 tændstikker, men du skal overholde 3 regler: 1) når
Læs meregl. Matematik A Studentereksamen Torsdag den 14. august 2014 kl gl-stx142-mat/a
gl. Matematik A Studentereksamen gl-stx142-mat/a-14082014 Torsdag den 14. august 2014 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Digital eksamensopgave med adgang til internettet
Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet frs111-matn/a-405011 Tirsdag den 4. maj 011 kl. 09.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret
Læs mere5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve
5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer
Læs mereMatematik A. Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Ved valgopgaver må kun det anførte antal afleveres til bedømmelse.
HTX Matematik A Fredag den 18. maj 2012 Kl. 09.00-14.00 GL121 - MAA - HTX 1 Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Ved valgopgaver må kun det anførte antal afleveres til
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereAnalytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011
Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereModellering af elektroniske komponenter
Modellering af elektroniske komponenter Formålet er at give studerende indblik i hvordan matematik som fag kan bruges i forbindelse med at modellere fysiske fænomener. Herunder anvendelse af Grafregner(TI-89)
Læs mereProjektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik
Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.
Læs mereVejledende besvarelse
Side 1 Vejledende besvarelse 1. Skitse af et andengradspolynomium Da a>0 og da parablen går gennem (3,-1) skal f(3)=-1. Begge dele er opfyldt, hvis f (x )=x 2 10, hvor en skitse ses her: Da grafen skærer
Læs mereMatematik. Meteriske system
Matematik Geometriske figurer 1 Meteriske system Enheder: Når vi arbejder i længder, arealer og rummål er udgangspunktet metersystemet: 2 www.ucholstebro.dk. Døesvej 70 76. 7500 Holstebro. Telefon 99 122
Læs mereFærdigheds- og vidensområder Evaluering. Tal: Færdighedsmål
Klasse: Jorden mat Skoleår: 16/17 Eleverne arbejder med bogsystemet format, hhv. 4. og 5. klasse. Bøgerne er bygget op, så emnerne følger hinanden hele vejen, hvorfor årsplanen er opbygget efter disse.
Læs mereEksempel på den aksiomatisk deduktive metode
Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13
Læs mereGeometri i plan og rum
INTRO I kapitlet arbejder eleverne med plane og rumlige figurers egenskaber og med deres anvendelse som geometriske modeller. I den forbindelse kommer de bl.a. til at beskæftige sig med beregninger af
Læs mereSTUDENTEREKSAMEN AUGUST 2008 MATEMATIK B-NIVEAU. Onsdag den 13. august 2008. Kl. 09.00 13.00 STX082-MAB
STUDENTEREKSAMEN AUGUST 2008 MATEMATIK B-NIVEAU Onsdag den 13 august 2008 Kl 0900 1300 STX082-MAB Opgavesættet er delt i to dele Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5 med i alt 5 spørgsmål Delprøven
Læs mereKompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard
Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...
Læs mereÅRSPLAN MATEMATIK 8. KL SKOLEÅRET 2017/2018
ÅRSPLAN MATEMATIK 8. KL SKOLEÅRET 2017/2018 Der tages udgangspunkt i forenklede fællesmål fra UVM for matematik på 7-9. Klasse. Ved denne plan skal der tages højde for, at ændringer kan forekomme i løbet
Læs mereAalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A
Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00
Læs mereMålebord. Målebord instrumentbeskrivelse og virkemåde
Målebord Målebordet består af en bordplade og et trebenet stativ. Tilbehør : en gaffel med lodsnor, en passer, hvidt papir (A3), en diopterlineal, en libelle (vaterpas) og evt. et kompas. Opstilling af
Læs mereEmne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter
Fag: Matematik Hold: 24 Lærer: TON Undervisningsmål Læringsmål 9 klasse 32-34 Introforløb: række tests, som viser eleverne faglighed og læringsstil. Faglige aktiviteter Emne Tema Materiale r IT-inddragelse
Læs mereFlemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger
Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger a) Ligninger med variabel og kun en løsning. Ligningen løses 10 3 Hvis vi ønsker løsningen udtrykt som en decimalbrøk i stedet: 3.333333333 Løsningen 3 er
Læs mereGUX. Matematik. A-Niveau. August 2015. Kl. 9.00-14.00. Prøveform a GUX152 - MAA
GUX Matematik A-Niveau August 05 Kl. 9.00-4.00 Prøveform a GUX5 - MAA Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Prøven består af opgaverne til 0 med i alt 5 spørgsmål. De 5 spørgsmål indgår med lige vægt
Læs mere