LINEÆR ALGEBRA DIFFERENTIALLIGNINGER

Transkript

1 LINEÆR ALGEBRA DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 006 NIELSEN - SALOMONSEN INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG AARHUS UNIVERSITET 006

2

3 Indhold Forord 5. Vektorer og linearkombinationer 7. Basis og dimension 7 3. Matricer 3 4. Lineære afbildninger Invers matrix Lineære ligningssystemer Gauss Elimination Elementærmatricer Determinanter Egenværdier og egenvektorer 85. Diagonalisering 97. Skalarproduktet Ortogonal projektion Jacobimatrix og Hessematrix 3 5. Lineær differentialligning 3 6. Lineært differentialligningssystem - ligninger Lineært differentialligningssystem - n ligninger Generel differentialligning Stabilitet af autonom differentialligning 57 Løsninger 6 Litteratur 69 Indeks 7 3

4

5 Forord Kapitel -3 er til et 4 timers forløb i lineær algebra delen af kurserne Calculus og på. studieår i Naturvidenskab. De resterende kapitel 4-9 indeholder anvendelser af lineær algebra i funktionsteori og differentialligninger. Dette indgår som et supplement til det øvrige pensum i Calculus. Der henvises eksplicit til [Stewart] Stewart, Calculus concepts & contexts, 3rd metric ed Noterne bygger på forrige års noter Kock & Nielsen, Lineær algebra og differentialligninger, IMF 005. Mål Der er især lagt vægt på at opnå færdigheder i beregning af løsningsmængder til lineære ligningssystemer og lineære differentialligningssystemer. Forudsætninger Analytisk geometri forudsættes i et omfang svarende til højeste niveau i gymnasiet. Så regning med talpar som vektorer og brugen af prikproduktet er principielt velkendt. I kapitlerne om differentialligninger forudsættes det, at man gennem [Stewart] Ch. 7 Differential equations eller tilsvarende materiale kender geometriske begreber som retningsdiagram og hastighedsfelt. Metode Fremstillingen er bevidst kortfattet og præcis, fremfor beskrivende og detaljeret. Dette kræver en lidt større indsats ved første læsning, men vil betale sig i overskuelighed senere. For et helstøbt udbytte forudsættes, at noterne suppleres med både forelæsninger, laboratorier og mange, mange øvelser. Beviser De skitserede beviser er ultrakorte og er kun medtaget for at give appetit til, at se i de mere udførlige fremstillinger i litteraturlisten. Alt i alt lægges der betydelig større vægt på eksempler og opgaver end på beviser. Anvendelser Der er ikke medtaget andre anvendelser end de før nævnte. Men i flæng kan nævnes: Befolkningsvækst, rovdyr-byttedyr, molekylemodeller, økonomisk kontrol, lagerstyring, computergrafik, D-3D grafik, renteberegning, flydesign, radiobølger, radarberegning, vejrobservationer, elektriske kredsløb, microchipdesign, rumfart osv. Næste skridt For videre studier følger her nogle titler fra andre kurser: Fraleigh & Beauregard, Linear algebra, New York 995. Niels Lauritzen, Concrete abstract algebra, Cambridge 003. Jens Carsten Jantzen, Algebra, Aarhus 004. Blæsild & Granfeldt, Statistics with applications in biology and geology, London

6 6 FORORD Resumé I de enkelte kapitler forsøges, at give svar på følgende spørgsmål: Hvad er en linje og en plan? Hvordan kendes forskel på en linje og en plan? 3 Hvad er et regneark som et matematisk objekt? 4 Hvordan regner man med drejninger og spejlinger? 5 Hvordan dividerer man to regneark? 6 Hvad er løsningen til et ligningssystem? 7 Hvordan bogholder man store ligningssystemer? 8 Hvad er de simpleste regnearks operationer? 9 Hvad er areal og volumen? 0 Hvad er forskellen på en drejning og en spejling? Hvordan beregner man en fremskrivning? Hvad er længde og vinkel? 3 Hvordan beregnes korteste afstande? 4 Hvordan afgøres arten af et kritisk punkt? 5 Hvordan løses en lineær differentialligning? 6 Hvordan løses et system af to lineære differentialligninger? 7 Hvordan løses et system af mange lineære differentialligninger? 8 Hvad er en differentialligning præcist? 9 Hvad kan man sige om en tidsuafhængig differentialligning? Sidst I modsætning til resten af noterne er forordet kun beregnet til én læsning. Der er ikke mere i det. Brug tiden på, at regne eksemplerne igennem og løs opgaverne! Aarhus Universitet, Foråret 006

7 Vektorer og linearkombinationer I et regneark foretages operationer på søjler eller rækker. Det er operationer, der i matematik er kendt som vektorregning eller lineær algebra. Først gentages ganske kort situationen for talpar. Dernæst følger den formelle definition af vektorer. Skalering og addition forenes i begrebet linearkombination. I anvendelserne kaldes dette også for superposition. Fra geometrien kendes linjer og planer. I analogi med dette defineres underrum. Talpar og planen Angiv et koordinatsystem i en tegneplan og beskriv et punkts position ved et talpar, punktets koordinater. Talpar kan adderes og skaleres koordinatvis. En linje i planen kan beskrives ved en særlig delmængde af talpar. Eksempel. (Planens koordinater) Et ordnet talpar ( ) x med. koordinat x og. koordinat x skrives som række (x, x ) eller x som søjle. To talpar x og y er ens, x = y, hvis de har samme koordinater, x x = y og x = y. F.eks. (, ) (, ) og (, ) = (, 3 ). De reelle tal betegnes R og mængden af talpar med reelle koordinater betegnes R = R R (mængdeprodukt). x Reelle talpar R beskriver punkterne i en tegneplan efter et valg af koordinatsystem u (u, u ) 0 u x Talpar kan adderes og skaleres koordinatvis ( ) u u + v = + u eller som rækker og skalering med et tal a eller som række ( v ) = v ( ) u + v u + v (u, u ) + (v, v ) = (u + v, u + v ) ( ) ( ) u au au = a = u au a(u, u ) = (au, au ) 7

8 8. VEKTORER OG LINEARKOMBINATIONER F.eks. ( ) og ( ( = 5) 7) ( ( 3 3 = ) 6) For et talpar u er Span(u) mængden af talpar af form tu, x Span(u) Span(u) = {tu R t R} Når u (0, 0) er dette linjen gennem (0,0) med u som retningsvektor. 0 u x Koordinatvektorer Den umiddelbare udvidelse af talpar er taltripler. Men det gør ingen forskel, at tage skridtet fuldt ud og tale om tupler af tal af vilkårlig længde. Det er stadig meget relevant, at bruge en skitse til at administrere den opgivne information. Definition. (Koordinatrum og koordinatvektor) Lad n være et helt positivt tal, altså valgt blandt tallene,, 3,.... Det n-dimensionale koordinatvektorrum udgøres af alle ordnede n-tupler x = (x,..., x i,..., x n ) af reelle tal og betegnes R n = R R } {{ } n Taltuplen x kaldes en (koordinat)vektor med i-te koordinat x i. To vektorer x og y er ens, x = y, hvis de har samme koordinater, x i = y i, i =,..., n. Vektoren, hvis koordinater alle er 0 0 = (0,..., 0) kaldes nulvektoren eller origo. En vektor x 0 kaldes egentlig. Bemærk, at vektoren x også betegnes x. Ligeledes skrives tuplen ofte på søjleform x = x. x n Skitser Det kan være en god hjælp, at danne sig et billede af koordinatvektorrummene. For n = er R de reelle tal og et god skitse er den 0 x reelle tallinje

9 . VEKTORER OG LINEARKOMBINATIONER 9 x For n = er R reelle talpar og en skitse er den reelle talplan u (u, u ) 0 u x x 3 u 3 For n = 3 er R 3 reelle taltripler og en skitse kan være en projektions tegning (u, u, u 3 ) u u x x (u, u, 0) R For n > kan man fortolke R n = R n R og bruge denne opsplitning som akser i en skitse 0 R n Et sidste nyttigt billede får man ved, at fortolke vektorer som pile. To pile giver samme vektor, hvis en forskydning til samme fodpunkt bringer dem til at dække hinanden. FORSKELLIGE VEKTORER

10 0. VEKTORER OG LINEARKOMBINATIONER Addition og skalarmultiplikation Regneoperationerne plus, minus, gange også kaldet addition, subtraktion, multiplikation kendt fra tallene overføres til koordinatvektorer ved koordinatvis udførelse. Definition.3 (Sum, differens og skalering) For vektorer u, v R n og et reelt tal a R defineres: () sum af vektorer () differens af vektorer u + v = u v = u. + u n u v. v n.... u n v v n = = u + v. u n + v n u v.. u n v n (3) skalarmultiplikation af tal, skalar a, og vektor u au au = a. = u n. au n Bemærk de nyttige regler Det skrives også på rækkeform 0u = 0, u = ( )u (u,..., u n ) + (v,..., v n ) = (u + v,..., u n + v n ) a(u,..., u n ) = (au,..., au n ) Eksempel.4 (Koordinatvis udregning) Sum, differens og skalarmultiplikation udregnes koordinatvis = (, 0, 7) (3, 5, 7) = (, 5, 0) 3 = ( 5)(,, 3, 4) = ( 5, 0, 5, 0) Bemærkning.5 (Pile og parallelogrammer) Ved pile-fortolkningen er addition givet ved parallelogramreglen og skalarmultiplikation er skalering med fortegn.

11 . VEKTORER OG LINEARKOMBINATIONER u + v u u u v -u ADDITION SKALARMULTIPLIKATION Regneregler Det er klart, at de sædvanlige regneregler gælder i den udstrækning, de giver mening. Det betyder, at man kan hæve og sætte parenteser samt gange ind i parenteser efter behov. En præcis formulering og populær sprogbrug er givet i følgende sætning. Sætning.6 (Algebra love) For vektorer u, v, w og skalarer a, b gælder: () kommutativ lov () associativ lov (3) distributive love u + v = v + u u + (v + w) = (u + v) + w a(u + v) = au + av (a + b)u = au + bu BEVIS. Reglerne eftervises ved opskrivning. F.eks. er den sidste lov (a + b) u. u n = (a + b)u. = (a + b)u n u = a. + b u n u. u n au + bu. au n + bu n = au bu. +. au n bu n

12 . VEKTORER OG LINEARKOMBINATIONER Bemærkning.7 (Pile og associativitet) u + v + w Den associative lov kan illustreres ved pile fortolkningen u u + v Linearkombination Den vigtigste operation i lineær algebra er en kombination af vektoraddition og vektorskalering. Det er helt afgørende for det videre arbejde, at man gør sig fortrolig med denne konstruktion. Definition.8 (Linearkombination) Lad u,..., u k være et sæt af k vektorer i vektorrummet R n og lad a,..., a k være et sæt af k skalarer. Så kaldes udtrykket a u + + a k u k en linearkombination af vektorerne u,..., u k med koefficienter a,..., a k. På grund af regnereglerne.6 kan udtrykket udregnes uafhængig af, hvordan man sætter parenteser. Udtrykket giver derfor en entydig bestemt vektor i R n. Linearkombinationen skrives også k a i u i i= Bemærkning.9 (Pile og parallelogramreglen) au + bv I pile fortolkningen er en linearkombination af vektorer givet ved parallelogrammet u au v bv Eksempel.0 (Udregn linearkombinationer) Udtrykket (, 3) + 3(3, 0) + 5(, ) er et eksempel på en linearkombination af de tre vektorer (, 3), (3, 0), (, ) i R. Koefficienterne er, 3, 5 og linearkombinationens værdi er (6, ), (, 3) + 3(3, 0) + 5(, ) = (6, )

13 . VEKTORER OG LINEARKOMBINATIONER 3 Yderligere eksempler på linearkombinationer: = (,, 3, 4) ( 4)(,, 3, 4) = ( ( 4))(,, 3, 4) = 5(,, 3, 4) = (5, 0, 5, 0) Eksempel. (En vektor som linearkombination) Skriv vektoren (, 4) som linearkombination af vektorerne (, 0) og (, ). LØSNING. Udtrykket (, 4) = a(, 0) + b(, ) = (a + b, b) giver a + b = og b = 4. Deraf a = 3 og (, 4) = 3(, 0) + 4(, ) Eksempel. (Usynlige linearkombinationer) Lad u, v og w være vektorer i vektorrummet R n. Vektorerne u + 3v + 5w, 3u w, u + v, u og 0 er alle eksempler på linearkombinationer af u, v og w: u + 3v + 5w = u + 3v + 5w 3u w = 3u + 0v + ( )w u + v = u + v + 0w u = u + 0v + 0w 0 = 0u + 0v + 0w Bemærkning.3 (Linearkombinationer af linearkombinationer) En linearkombination af linearkombinationer af et sæt af vektorer er selv en linearkombination af vektorerne fra dette sæt. F.eks. for vektorer u, v og w er (u + 3v + 5w) + 4(3u w) = 6u + 6v + 6w Underrum og Span Fra rummets geometri vides, at to forskellige punkter bestemmer en linje og to forskellige linjer med et skæringspunkt bestemmer en plan. Ved analogi defineres underrum og Span i et generelt koordinatvektorrum. Definition.4 (Underrum) En ikke-tom delmængde U R n kaldes et lineært underrum eller blot et underrum, hvis U er stabil overfor dannelse af sum og skalarmultiplikation. Altså for u, v U og en skalar a gælder: u + v U og au U Delmængden bestående af nulvektoren alene er et underrum, som kaldes nulunderrummet og betegnes 0 = {0}. Bemærkning.5 (Underrum og linearkombination) Et underrum U er stabilt overfor dannelse af linearkombinationer. Dvs. for et sæt u,..., u k U gælder, at enhver linearkombinationen a u + + a k u k U

14 4. VEKTORER OG LINEARKOMBINATIONER Definition.6 (Span og frembringere) Givet et sæt af vektorer u,..., u k i R n. Så er deres Span alle linearkombinationer v = a u + + a k u k Da en linearkombination af linearkombinationer af et sæt af vektorer selv er en linearkombination af vektorerne fra dette sæt,.3 så er Span(u,..., u k ) R n et underrum. Det er det mindste underrum U i R n, som indeholder sættet u,..., u k. Sættet u,..., u k kaldes frembringere for U. Eksempel.7 (De første tilfælde) For k = 0,, fås: k = 0: Span = 0 nulunderrummet. k = : Span(u ) er mængden af vektorer af form t u, Span(u ) = {t u t R} Når u er en egentlig vektor, så er dette linjen gennem origo med u som retningsvektor. Hvis u = 0 er dette nulunderrummet. k = : Span(u, u ) er mængden af vektorer af form t u + t u, Span(u, u ) = {t u + t u t R, t R} Når u, u ikke er på samme linje, så er dette planen udspændt af u og u. Eksempel.8 (Ikke alle linjer er underrum) Diagonalen i talplanen er et Span {(x, x ) x = x } = Span((, )) R En linje i talplanen som ikke går gennem 0 er ikke et underrum A = {(x, x ) x = x + } R Vektorerne (0, ), (, ) A, men summen (0, ) + (, ) = (, 3) / A. x Span(u) x (0, ) + Span(u) u u 0 x 0 x UNDERRUM IKKE UNDERRUM Eksempel.9 (Er to underrum er ens?) Betragt vektorerne i R 4. Så er u = (,, 0, 0), u = (0, 0,, ), u 3 = (,,, ), u 4 = (,,, ) Span(u, u ) = Span(u 3, u 4 ) LØSNING. Span(u, u ) er mængden af vektorer i R 4 af form su + tu = (s, s, 0, 0) + (0, 0, t, t)

15 . VEKTORER OG LINEARKOMBINATIONER 5 hvor s, t R er vilkårlige, Span(u, u ) = {(s, s, t, t) R 4 s, t R} Vektorerne u 3 = (,,, ), u 4 = (,,, ) er da i Span(u, u ). Da både u 3 og u 4 altså er linearkombinationer af u og u, og linearkombinationer af linearkombinationer er linearkombinationer,.3 gælder også at enhver linearkombination af u 3 og u 4 er en linearkombination af u, u. Eller Der gælder Span(u 3, u 4 ) Span(u, u ) u = (,, 0, 0) = (,,, ) + (,,, ), u = (0, 0,, ) = (,,, ) (,,, ), så at u, u Span(u 3, u 4 ). Som ovenfor og dermed Span(u, u ) Span(u 3, u 4 ) Span(u, u ) = Span(u 3, u 4 ). Eksempel.0 (Er en vektor i underrummet?) Undersøg om vektoren (, 4, 0) tilhører Span((,, 3), (3,, )). Altså, kan man finde tal s og t så at (, 4, 0) = s(,, 3) + t(3,, ) LØSNING. Det er let at se, at s = 4, t = klarer opgaven, men hvordan finder man passende koefficienter s og t hvis man ikke, som her, får dem foræret? En systematisk metode er at stille problemet op som et såkaldt lineært ligningssystem; lineære ligningssystemer og metode til løsning af dem behandles senere. Opgaver Opgave. Udregn linearkombinationerne () (4, 0, 3) + 5(3, 4, 0) ( )(, 0, 7) () 7(0, 0,, ) 3(,, 0, 0) + ( 6)(, 0, 0, ) (3) (, ) + (3, 4) + 3(5, 6) + 4(7, 8) Opgave. Beregn. koordinat i linearkombinationerne () a(,, 3) + b(4, 5, 6) c(7, 8, 9) () (a, b, c) (b, c, a) + 3(c, a, b) (3) (, 0, ) + (, 0, ) + + (n, 0, n) Opgave.3 Skriv udtrykkene som en linearkombination af vektorerne u, v, w () ( 7)(u + u) + u () ( 7 + )(u v) + w (3) 0(v + u) (4) (7 )(v + 3u) 3( u + v w)

16 6. VEKTORER OG LINEARKOMBINATIONER Opgave.4 Lad der være givet vektorerne i R 3, (,, ), (, 0, ), (, 3, 5) () Skriv (, 4, 5) som en linearkombination af de givne. () Vis, at (0, 0, ) ikke kan skrives som linearkombination af de givne. Opgave.5 Lad der være givet vektorerne u = (,, ), v = (,, 3) i R 3. Beregn i hvert tilfælde den vektor x som opfylder () x = u v. () u + x = v. (3) x u + v = 0. Opgave.6 Lad u, v være vilkårlige vektorer. Så gælder () Span(u, v) = Span(u, u + v). () Span(u, v) = Span(u v, v). (3) Span(u, v) = Span(u + v, u v). Opgave.7 Hvilke af følgende delmængder af R er ikke lineære underrum? () {(x, y) 3x 4y = 0}. () {(x, y) 3x 4y = 4}. (3) {(x, y) 4y = 3x }. (4) {(x, y) 4y = 3x }. (5) {(x, y) 4y = 3x }. Opgave.8 Undersøg om vektoren (, 4, 0) tilhører Span((, 0, 0), (0,, 0), (0, 0, )) Opgave.9 Vis, at Span((,, 0), (, 0, 0)) = Span((, 0, 0), (0,, 0)) Test.0 (Linearkombination) Enhver vektor x R 3 kan skrives som en linearkombination x = a (,, ) + a (,, ) Afkryds: ja nej Test. (Linearkombination) Der findes en vektor x R 3, der ikke kan skrives som en linearkombination x = a (,, ) + a (0,, 0) + a 3 (0, 0, ) + a 4 (, 0, 0) Afkryds: ja nej

17 Basis og dimension For at kunne afgøre størrelsesordner af lineære underrum, så analyseres forskelle mellem linjer og planer. Det fører til begrebet lineær (u)afhængighed. Den centrale observation er, at hvis en plan er indeholdt i en anden plan, så er de to planer identiske. Det tillader indførelsen af et helt tal, dimension, som mål for et underrums størrelse. Talpar I talplanen repeteres de velkendte begreber om parallelitet, om vektorer på linje og om basis for rummet af talpar. Eksempel. (Afhængige talpar) To talpar u og v er parallelle eller lineært afhængige, hvis den ene er en skalering af den anden: Der findes en skalar a så enten v = au eller u = av. Dette kan sammenfattes som: der findes skalarer a, b ikke begge 0, så linearkombinationen au + bv = 0. x x 3u u u v 0 x 0 x LINEÆR AFHÆNGIGHED LINEÆR UAFHÆNGIGHED Talparrene e = (, 0), e = (0, ) er lineært uafhængige og udgør en basis for R. Det betyder, at enhver vektor x = (x, x ) har en entydig fremstilling som linearkombination af e, e. x = (x, x ) = x (, 0) + x (0, ) = x e + x e Lineær uafhængighed Der gives en formalisering af spørgsmålet om, hvornår alle vektorer i et sæt er nødvendige for at fremstille det underrum de udspænder. Selvom det ser uskyldigt ud, så bør man gøre sig klart, at det ikke er helt indlysende. Det kræver nogen øvelse, at blive fortrolig med disse begreber. 7

18 8. BASIS OG DIMENSION Definition. (Lineær uafhængighed) Et sæt af vektorer u,..., u k kaldes lineært uafhængigt, hvis den eneste linearkombination der fremstiller 0 a u + + a k u k = 0 er den, hvor alle koefficienterne er 0 a = = a k = 0 I modsat fald kaldes sættet for lineært afhængigt; altså hvis der findes skalarer a,..., a k, som ikke alle er 0, men linearkombinationen ovenfor er 0. Eksempel.3 (Lineær afhængighed) Vektorerne (,, ) og (, 0, ) er lineært uafhængige. LØSNING. Hvis a(,, ) + b(, 0, ) = (a + b, a, a + b) = (0, 0, 0), så er a + b = 0 og a = 0. Dermed er a = b = 0 og vektorerne er lineært uafhængige. Eksempel.4 (De første tilfælde) For k = 0,, fås: k = 0: Sættet bestående af den tomme mængde er lineært uafhængigt. k = : Et sæt u er lineært uafhængigt, hvis og kun hvis u 0. k = : Sættet u, u er lineært uafhængigt, hvis og kun hvis vektorerne ikke er på samme linje. u u u u LINEÆRT UAFHÆNGIGE LINEÆRT AFHÆNGIGE Sætning.5 (Entydig fremstilling) Et sæt af vektorer u,..., u k er lineært uafhængigt, hvis og kun hvis enhver vektor v Span(u,..., u k ) har en entydig fremstilling v = a u + + a k u k BEVIS. Fra to fremstillinger a u + + a k u k = b u + + b k u k fås en fremstilling af 0 (a b )u + + (a k b k )u k = 0 Så fremstillingen af 0 er entydig, hvis og kun hvis enhver fremstilling er entydig.

19 . BASIS OG DIMENSION 9 Eksempel.6 (Planens basis) Vektorerne e = (, 0), e = (0, ) er lineært uafhængige. Enhver vektor x = (x, x ) har en entydig fremstilling x = (x, x ) = x (, 0) + x (0, ) = x e + x e Sætning.7 (Vigtigste princip) For et lineært uafhængigt sæt af vektorer u,..., u k Span(v,..., v m ) gælder uligheden k m Antal lineært uafhængige er mindre end antal frembringere. BEVIS. Skriv u = a v + +a m v m og antag efter omnummerering af v erne, at a 0. Det følger, at Span(u, v,..., v m ) = Span(v, v,..., v m ). Skriv u = a u + a v + + a m v m og antag efter omnummerering af v erne, at a 0. Det følger, at Span(u, u,..., v m ) = Span(v, v,..., v m ). Samme metode kan nu erstatte v 3 med u 3 osv. Da der skal være plads til alle u er, følger uligheden k m. Eksempel.8 (3 vektorer i planen) Vis uden at regne, at 3 vektorer u, v, w R altid er lineært afhængige. LØSNING. Fra.6 følger, at planen er frembragt af vektorer. Fra.7 fås, at 3 vektorer i planen altid er lineært afhængige. Basis for underrum En forening af begreberne frembringere og lineær uafhængighed fører til begrebet en basis eller et koordinatsystem i et underrum. Enhver vektor i underrummet har en entydig fremstilling som en linearkombination i den valgte basis. Definition.9 (Basis) Et lineært uafhængigt sæt af vektorer u,..., u k, der udspænder et underrum U kaldes en basis for U. Enhver vektor v U har da ifølge.5 en entydig fremstilling v = a u + + a k u k Definition.0 (Enhedsvektorer) Den i-te standard enhedsvektor e i er (søjle, række)-vektoren, hvis i-te koordinat er og alle øvrige er 0. Sættet e,..., e n R n kaldes standard basen. 0. e i =. 0 e i = ( 0,...,,..., 0 ) Bemærkning. (Span af enhedsvektorer) Span(e,..., e n ) = R n

20 0. BASIS OG DIMENSION En vektor x R n har den entydige fremstilling x = F.eks. n x i e i (,, 3) = (, 0, 0) + (0,, 0) 3(0, 0, ) Standard basen e,..., e n er en basis for vektorrummet R n. i= Sætning. (Eksistens af basis) Ethvert underrum U i R n har en basis bestående af endelig mange vektorer. BEVIS. Hvis U ikke har en endelig basis, så kan vi vælge en følge af vektorer u, u..., så u k+ / Span(u,..., u k ). Det giver et vilkårligt stort sæt lineært uafhængige vektorer i R n, i modstrid med. og.7. Dimension af underrum Størrelsen af et lineært underrum kan afgøres med et enkelt helt tal. Dette er klart overraskende og særdeles nyttigt. Tænk på, at det drejer sig om sammenligning af to uendelige mængder. En sådan sammenligning kan altså for lineære underrum udføres som om, der var tale om endelig mængder. Det såkaldte skuffeprincip for endelige mængder siger: Hvis man har samme endelige antal sokker som skuffer og kommer højst sok i hver skuffe, så er der også mindst sok i hver skuffe. Det gælder jo ikke for uendelige antal. Definition.3 (Dimension) Lad U være et underrum i R n. Fra. følger, at U har mindst én endelig basis. Det mindste antal vektorer i en basis for U kaldes dimensionen af U og betegnes dim U. Sætning.4 (Mindste antal frembringere) Lad U være et underrum. () Enhver basis har netop dim U vektorer. () Et lineært uafhængigt sæt er en basis, hvis og kun hvis det indeholder dim U vektorer. (3) Et sæt af frembringere er en basis, hvis og kun hvis det indeholder dim U vektorer. BEVIS. Lad m = dim U. () Enhver basis er lineært uafhængig, så fra.7 er den endelig med k m vektorer. Per definition er m k og ligheden er vist. () Hvis et lineært uafhængigt sæt u,..., u m ikke er frembringere, så findes u m+ U med u m+ / Span(u,..., u m ). Sættet u,..., u m, u m+ er da lineært uafhængigt i modstrid med.7. (3) Hvis et sæt frembringere u,..., u m ikke er lineært uafhængig, så findes m frembringere blandt u erne i modstrid med.7. Eksempel.5 (Dimension ) Mængden U = {(x, y) x = 3y} er et underrum med basis u = (3, ); så dim U =. Definition.6 (Linje og plan) Et underrum af dimension kaldes en linje og et af dimension kaldes en plan.

21 . BASIS OG DIMENSION Eksempel.7 (Dimension) For et lineært uafhængigt sæt u,..., u k er U = Span(u,..., u k ) et underrum af dimension k. Sætning.8 (Flag af underrum) For underrum U V gælder () dim U dim V. () Hvis dim U = dim V, så er U = V. U V FLAG BEVIS. () En basis i U er lineært uafhængig i V, så uligheden følger af.7. () En basis i U er lineært uafhængig i V og har dim V elementer, så dermed ifølge.4 også frembringere. Altså U = V. Eksempel.9 (Hvornår er vektorer en basis?) Lad U Span(v, v ) være et underrum med dim U =. Så er v, v lineært uafhængig og en basis for U. LØSNING. dim U dim Span(v, v ), så fra.8 følger U = Span(v, v ) og fra.4 følger, at v, v er en basis. Opgaver Opgave. Hvilke vektorpar er lineært afhængige? () (,, 3) og (,, 3). () (0, 0, 0) og (,, ). (3) (, 0, 0) og (0,, 0). (4) (t, t, ) og (t, t, 0). Opgave. Betragt vektorer i R. () Vis, at vektorerne (, ) og (, ) er en basis for R. () Vis, at for et vilkårligt t er vektorerne (cos t, sin t) og ( sin t, cos t) en basis for R. (3) For hvilke t er vektorerne (, t), (t, ) en basis for R. Opgave.3 Betragt underrummet U i R 3 givet ved Vis, at hvert af følgende sæt er en basis: U = {(x, y, z) x = y}

22 . BASIS OG DIMENSION () (,, ), (,, ). () (0, 0, ), (,, 0). Opgave.4 Gør rede for (uden at regne), at vektorerne (,, ), (, 0, ), (, 3, 5), (0, 0, 0) ikke er en basis for R 3. Opgave.5 Lad u, v være vilkårlige lineært uafhængige vektorer. Så gælder () u 0 og v 0. () dim Span(u, v) =. (3) dim Span(u + v, u v) =. Opgave.6 For hvilke værdier af t er følgende sæt af vektorer i R lineært uafhængige? () (t, t ) og (t, t). () (t, ) og (, t). (3) (t +, t ) og (t, t). Test.7 (Lineær uafhængighed) Kan 4 vektorer i R 3 være lineært uafhængige? Afkryds: ja nej Test.8 (Lineær uafhængighed) Bedøm om de to vektorer i rummet er lineært afhængige? ja nej Afkryds: Test.9 (Lineær uafhængighed) Bedøm om de to vektorer i rummet er lineært afhængige? ja nej Afkryds:

23 3 Matricer Matricer er rektangulære skemaer af tal og de spiller en væsentlig administrativ rolle i vektorregningen. Det er muligt, at tilknytte en særlig multiplikation til matricer af passende størrelser. Sammen med vektoraddition giver multiplikationen baggrund for regneregler, som man kender fra tallene. Dog gælder den kommutative lov ikke for multiplikationen. Men det viser sig ikke at udgøre noget væsentligt problem. Derimod er fortolkningen af nulreglen et væsentligere anliggende. Det indgår som en integreret del af ligningsteorien senere. Effekten af alt dette skal opleves i resten af kurset. -matrix Der gives en kort indledning med omtale af matricer i forbindelse med talplanen. Bemærk, at dette er forud for den formelle definition af matricer og matrixmultiplikation. Eksempel 3. ( -matrix) En -matrix er en 4-tupel A skrevet med rækker og søjler ( ) a a A = a a a kaldes -indgangen, a er -indgangen, a er -indgangen, a er -indgangen. ( ) a -tuplen a = (a, a ) er. række, a = (a, a ) er. række, a = er. a ( ) a søjle og a = er. søjle. a Matricer adderes og skaleres indgangsvis som 4-tupler. F.eks er ( ) ( ) ( ) ( ) 4 + = = Desuden har matricer en særlig multiplikation ( ) ( ) ( ) a a b b a b = + a b a b + a b a a b b a b + a b a b + a b F.eks. er matrixproduktet ( ) ( ) ( ) 3 5 [ 3 + 4] [ ( 5) + 0] = [( ) ] [( ) ( 5) + 8 0] ( ) 5 = 9 5 og matrixproduktet er bemærkelsesvist lig nul. ( ) ( ) = ( )

24 4 3. MATRICER Matricer En matrix er i første omgang en tupel skrevet i et rektangulært skema. Som sådan kan matricer opfattes som koordinatvektorer med koordinatvis addition og skalering. Intet nyt endnu. Regneoperationer og regler for tupler gentages med matrix notation. Definition 3. (Matrix) En m n-matrix er et rektangulært regneark med m rækker og n søjler. En matrix betegnes med A eller med A og skrives Tallet i i-te række og j-te søjle A = (a ij ) i=...m,j=...n a... a n =. a ij. a m... a mn a ij kaldes den ij-te (matrix)indgang. To matricer har samme størrelse, hvis de har samme antal rækker og søjler. De er ens, hvis de har samme størrelse og samme indgange på samme pladser. Matricen har i-te række a i = ( a i... a in ) og j-te søjle a j = a j.. a mj Hvis der netop er række, m =, tales der om en rækkevektor/rækkematrix ( a... a n ) og tilsvarende, hvis der netop er søjle, n =, tales der om en søjlevektor/søjlematrix a. a m Matricen 0 = (0) med alle indgange lig 0 kaldes nulmatricen. Faktisk er der en nulmatrix af enhver størrelse, men det er normalt underforstået. Eksempel 3.3 (Visse matricer) 3 4-matrix 4-rækkematrix 3-søjlematrix ( 6 9 ) 5 0 5

25 3. MATRICER 5 Eksempel 3.4 (Ens matricer) For hvilke x gælder ( ) x = x ( ) x x 4 LØSNING. Ligningerne x = x, x = x 4 giver x = 0,. Definition 3.5 (Matrix addition, skalering) To m n-matricer kan adderes til en m n-matrix og en matrix kan skaleres til en matrix af samme størrelse: () matrix sum, differens A = (a ij ) i=...m,j=...n B = (b ij ) i=...m,j=...n A + B = (a ij + b ij ) i=...m,j=...n A B = (a ij b ij ) i=...m,j=...n () matrix skalering A = (a ij ) i=...m,j=...n λa = (λa ij ) i=...m,j=...n Eksempel 3.6 (Indgangsvis addition og skalering) ( ) + 8 ( ) = 8 ( ) 4 = 6 ( ) 8 Sætning 3.7 (Additions love) For matricer A, B, C af samme størrelse og skalarer λ, µ gælder: () kommutativ lov () associativ lov (3) distributive love A + B = B + A A + (B + C) = (A + B) + C λ(a + B) = λa + λb (λ + µ)a = λa + µa Bemærkning 3.8 (Linearkombination) For matricer A,..., A k af samme størrelse og skalarer λ,..., λ k sikrer regnereglerne, at linearkombinationen λa + + λ k A k giver en entydig bestemt matrix ligemeget, hvordan man sætter parenteser. Bemærkning 3.9 (Nul og en) For skalarerne 0 og gælder reglerne: () 0A = 0. () A = A. (3) ( )A = A.

26 6 3. MATRICER Matrixmultiplikation Multiplikationen er en fantastisk opdagelse som udkrystalliserer den underliggende struktur af begreber og metoder i algebra og i funktioner i flere variable. Man kan ikke hurtigt nok blive fortrolig med denne operation. Definition 3.0 (multiplikation) Produktet er kun defineret for matricer, hvor antallet af søjler i den første (venstre) matrix er det samme for antallet af rækker i den anden (højre) matrix. En m n-matrix A og en n p-matrix B kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix AB, som betegnes produktmatricen A = (a ij ) i=...m,j=...n B = (b jk ) j=...n,k=...p AB = (c ik ) i=...m,k=...p Indgangen i i-te række og k-te søjle i produktmatricen er givet ved c ik = a i b k + + a in b nk = n a ij b jk j= Bemærkning 3. (Indgang er række gange søjle) I indgangen c ik indgår kun den i-te række i første matrix og den k-te søjle i anden matrix. b k. c ik = ( ). a i... a ij... a in b jk.. b nk = a i b k + + a ij b jk + + a in b nk Indgangen er altså den samme som -matricen, der fremkommer ved multiplikation af rækkevektoren a i og søjlevektoren b k c ik = a i b k Skrevet lidt mere udførligt ud c c k c p. c i c ik c ip =. c m c mk c mp a a j a n. a i a ij a in. a m a mj a mn b b k b p.. b j b jk b jp.. b n b nk b np

27 3. MATRICER 7 Eksempel 3. (Matrixprodukt) Direkte fra definitionen udregnes ( ) ( ) ( ) 3 5 [ 3 + 4] [ ( 5) + 0] = [( ) ] [( ) ( 5) + 8 0] ( ) 5 = 9 5 Eksempel 3.3 (Matrixprodukt) ( ) 5 0 ( 7 0 = F.eks. er -tallet i nederste højre hjørne fremkommet som ( 4) = Eksempel 3.4 (Regneark) Operationer fra regneark, såsom summen af en række eller summen af en søjle kan fortolkes som en matrixmultiplikation. Rækkesum af m rækker beregnes simultant og giver en ny søjle med summerne som indgange a... a n. a ij. a m... a mn. = ) a + + a n. a m + + a mn Tilsvarende beregnes søjlesum n søjler simultant og giver en ny række med summerne som indgange a... a n ( ),...,... a ij. a m... a mn = ( ) a + + a m,..., a n + + a mn Associativ lov for matrixmultiplikation Den associative lov giver, at man kan hæve og sætte parenteser frit i et matrixprodukt. Det er en meget kraftig lov med mange konsekvenser. Man er nok tilbøjelig til at glemme, hvor tit denne lov bruges ved almindelig regning med tallene. Sætning 3.5 (Vigtigste regneregel) Matrix multiplikation er associativ. Givet A en m n-matrix, B en n p-matrix og C en p q-matrix, så er følgende to m q-matricer ens (AB)C = A(BC) BEVIS. De indgående produkter er klart definerede og de to sider af lighedstegnet resulterer i matricer af samme størrelse. Lad indgangene være a ij, b jk, c kl. Den fælles il-te indgang er på begge sider givet ved dobbeltsummen a ij b jk c kl j,k

28 8 3. MATRICER Det er altså det faktum, at summen af alle indgange i et regneark kan fås ved først at finde rækkesummerne og dernæst summere disse eller ved først at finde søjlesummerne og dernæst summere disse. Eksempel 3.6 (Parenteser) Beregn produktet af følgende m, n og n matricer. ( ). LØSNING. Udregn først produktet af de sidste to ( ). = n Så resultatet er m -matricen n. n =. n Multiplikation og linearkombination At en linearkombination kan udtrykkes ved matrixmultiplikation giver ny indsigt om både linearkombination og matrixmultiplikation. Sætning 3.7 (Multiplikation og linearkombination) Givet A en m n-matrix og x en n-søjlematrix, så er produktet Ax = x a + + x n a n den m-søjlematrix, der fremkommer som linearkombinationen af de n søjler i A med koefficienter de n indgange i x. BEVIS. En udregning af i-te række i linearkombinationen x a. + + x n a m a n. a mn giver j a ijx j, der genkendes som den i-te indgang i matrixproduktet. Eksempel 3.8 (Linearkombination af søjler) En linearkombination af to søjler ( ) 3 4 x = x x 3 + x En linearkombination af tre søjler ( ) 3 0 = ( 4 ) ( = 3 5 ) ( ) ( + 4 )

29 3. MATRICER 9 Regneregler for matrixmultiplikation Der gælder regneregler, så man med lidt omhu kan regne med matricer, som man plejer at regne med tal. Bemærkning 3.9 (Distributive love) For matricer af størrelser, så operationerne er definerede gælder: () distributive love A(B + C) = AB + AC () skalar love (A + B)C = AC + BC (λa)b = A(λB) = λ(ab) Eksempel 3.0 (Sæt udenfor parentes) Studer udregningen ( ) ( ) 3 4 = = = [( ) + ( 0 0) ( )] Kommutativ lov fejler Nu skal man ikke tro, at alt er lige så nemt som for tallene. Den kommutative lov for multiplikationen gælder ikke. Det betyder, at man skal være hygiejnisk med rækkefølgen i et produkt. Altså faktorernes orden er ikke ligegyldig. Men overraskende nok, er det ikke værre end det. Man skal bare holde orden på rækkefølgen. Bemærkning 3. (Pas på) Den kommutative lov holder ikke. Normalt er AB BA ( ) ( ) 3 () For A = og B = er produktet AB ikke defineret, mens produktet BA( er defineret. ) ( ) () For A = og B = er begge produktet AB og BA er definerede, ( ) ( ) 3 4 men AB = er forskellig fra BA =. 4 3 Et andet eksempel, hvor den kommutative lov fejler, er ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) = 0 0 0

30 30 3. MATRICER Nulreglen fejler I modsætning til den kommutative lov, så er problemet her langt mere alvorligt. Ingen nulregel betyder, at man heller ikke har forkortning med ikke-nul matricer i et produkt. Hvis man tænker efter, så er reduktioner i regneudtryk ofte afhængig af forkortningsreglen. Manglen af nulreglen og metoder til at håndtere de problemer det giver er et vigtigt tema i resten af kurset. Bemærkning 3. (Nulreglen) Nulreglen gælder ikke. Altså findes matricer A 0, B 0, AB = 0 F.eks. ( ) ( ) = 0 0 ( ) Bemærkning 3.3 (Forkortning) Forkortning gælder ikke. Hvis A 0 og AB = AC, så kan man ikke generelt slutte at B = C. F.eks. ( ( ) ( ( ( ) 0 0 = = 0) 3 ) 0) 5 Identitetsmatricen Matrixmultiplikationen har et -element. Mere præcist flere, afhængig af størrelse. Det er praktisk i mange formuleringer, men egentlig ikke af større matematisk betydning. Nyd den alligevel. Eksempel 3.4 (Multiplikation af enhedsvektorer) Den i-te standard enhedsvektor e i multiplicerer fra højre som søjle og fra venstre som række. For en m n-matrix A er produktet den j-te søjle i A og produktet Ae j = a j den i-te række i A. Skrevet mere ud e i A = a i 0 a... a n.. a ij. = a m... a mn. 0 a... a n ( ) 0 0. a ij. a m... a mn a j. a mj = ( ) a i a in

31 3. MATRICER 3 Definition 3.5 (Kvadratisk matrix, identitetsmatrix) En kvadratisk matrix er en n n-matrix, altså en matrix med samme antal rækker som søjler. En diagonalmatrix er en kvadratisk matrix, hvor indgange udenfor diagonalen alle er 0. Identitetsmatricen 0... I n = med i diagonalen og 0 udenfor er en diagonalmatrix. Eksempel 3.6 (Identitetsmatricer) De første tre identitetsmatricer: I = ( ) ( ) 0 I = 0 I 3 = Sætning 3.7 (Multiplikation af identitetsmatrix) Lad A være en m n-matrix. Så gælder I m A = A = AI n Matrix multiplikation med identitetsmatricen ændrer ikke en matrix. BEVIS. Den j-te søjle i I n er e j, så den j-te søjle i AI n er den j-te søjle i A. Ae j = a j Eksempel 3.8 (Identitetsmatrix og multiplikation) a b c d = a c 0 0 e f e b d f Transponeret matrix Det kan være nyttigt, at skelne mellem søjlevektorer og rækkevektorer. En formaliseret måde at skifte mellem disse er givet ved transponering. Definition 3.9 (Transponeret matrix) For en m n-matrix A er den transponerede matrix A T n m matricen med søjlerne fra A som rækker. Indgangene i A T er a T ji = a ij

32 3 3. MATRICER Eksempel 3.30 (Søjle/række) Rækkevektorer og søjlevektorer transponerer til hinanden ( ) T a b c = a b og a T b = ( a b c ) c c Eksempel 3.3 (Transponering) a c e b d f T = ( ) a c e og b d f ( ) T a c e = a c b d f e b d f Sætning 3.3 (Simple regler for transponering) For en m n-matricer A og B gælder: () (A T ) T = A. () (A + B) T = A T + B T (3) (λa) T = λa T. Sætning 3.33 (Transponering af matrixprodukt) For en m n-matrix A og en n p-matrix B gælder B T A T = (AB) T BEVIS. De indgående produkter er klart definerede og de to sider af lighedstegnet resulterer i p m-matricer. Lad indgangene være a ij, b jk. Den fælles ki-te indgang er på begge sider givet ved summen a ij b jk j Opgaver Opgave 3. Udregn matricerne ( 3 4 ) ( ) og ( ) ( + ( ) 4 ) Opgave 3. Udregn matrixprodukterne ( 4 ) ( 3 0 ) og ( 3 0 ) ( 4 ) Opgave 3.3 Udregn matrixprodukterne ( a b c d ) ( ) og ( ) ( )

33 3. MATRICER 33 Opgave 3.4 Udregn matrixprodukterne ( ) og ( ) Opgave 3.5 Udregn matrixprodukterne ( 3 ) ( ) og ( 0 0 ) ( 0 0 ) Opgave 3.6 Udregn matrixproduktet af matricen med sig selv først 3 og dernæst 4 gange. ( 0 0 ) Opgave 3.7 Udregn matrixproduktet ( a b c d e f ). Opgave 3.8 Udregn matrixproduktet ( 3 ). Opgave 3.9 Betragt matricerne A = ( 0 ), ( 0 B = ) ( 0, C = 3 Hvilke af matrixprodukterne AA, AB, BB, BC, CB og CBA kan udregnes? ) Opgave 3.0 Betragt matricerne Vis identiteterne A = ( 0 0 ) og B = ( 0 0 ) AA = I, BB = I, AB = BA, ABA = B og BAB = A

34 34 3. MATRICER Opgave 3. Givet søjlevektorer u = () u T v = v T u. () uv T = (v T u) T. u. u n og v = v. v n. Vis, at Test 3. (Matrix multiplikation) Hvilket ( matrixprodukt ) ( ) er ( rigtigt? ) x + x + 4x (a) =. 3 4 x x ( ) ( ) ( ) 7 6 (b) = Afkryds det rigtige: (a) (b) Test 3.3 (Matrixprodukt) Hvilket matrixprodukt er rigtigt? ( ) y x (a) ( x =. (b) y x ) ( x y ) y y = y x x ( ). Afkryds det rigtige: (a) (b)

35 4 Lineære afbildninger Fra geometrien kendes drejninger og spejlinger. Det er specielle lineære afbildninger. Det tema, som behandles her, er en en-til-en korrespondance mellem lineære afbildninger og matricer. Herved falder begreberne sammensætning af afbildninger overens med matrixmultiplikation. Planen En spejling og en drejning i planen behandles ved matrixmultiplikation. Det giver et vink om den generelle situation. Eksempel 4. (Spejling) y Spejlingen i linjen y = x er givet ved funktionsudtrykket f(x, y) = (y, x). Bruges søjlevektorer er dette givet ved en matrixmultiplikation ( ( ( ( ) x y 0 x = y) x) 0) y x Eksempel 4. (Drejning) Drejningen på en kvart omgang mod uret er givet ved funktionsudtrykket f(x, y) = ( y, x). Bruges søjlevektorer er dette givet ved en matrixmultiplikation ( x y) ( ) y = x ( ) ( 0 x 0 y) y x Lineær afbildning I den lineære algebra behandles lineære funktioner, som bevarer 0-vektoren. I praksis betyder det, at konstantleddet altid er 0. Så det generelle funktionsudtryk fås ved efterfølgende addition med en konstant. Definition 4.3 (Lineær afbildning) En afbildning f : R n R m 35

36 36 4. LINEÆRE AFBILDNINGER er en lineær afbildning, hvis sum og skalarmultiplikation bevares f(u + v) = f(u) + f(v) f(au) = af(u) Eksempel 4.4 (Lineær afbildning) Afbildningen f : R R givet ved er lineær. LØSNING. For addition og for skalarmultiplikation f(x, y) = (y, x + y) f((u, u ) + (v, v )) = f(u + v, u + v ) = (u + v, u + v + u + v ) = (u, u + u ) + (v, v + v ) = f(u, u ) + f(v, v ) f(a(u, u )) = f(au, au ) = (au, au + au ) = a(u, u + u ) = af(u, u ) Sætning 4.5 (Lineær afbildning og linearkombinationer) Hvis f : R n R m er en lineær afbildning, så bevares linearkombinationer f(a u + + a k u k ) = a f(u ) + + a k f(u k ) Eksempel 4.6 (Linearkombination) Om en lineær afbildning f vides, at f(u) = (3,, ) og f(v) = (, 0, ). Beregn værdien af f(u 3v). LØSNING. Da linearkombinationer bevares fås f(u 3v) = f(u) 3f(v) = (3,, ) 3(, 0, ) = (3, 4, 5) Fra matrix til lineær afbildning Ved matrixmultiplikation kan man angive en lineær afbildning. Det er en følge af de simple regneregler for multiplikationen. Sætning 4.7 (Matrix til lineær afbildning) Afbildningen f : R n R m f(u) = Au defineret ved multiplikation med en m n-matrix A er lineær f(u + v) = f(u) + f(v)

37 4. LINEÆRE AFBILDNINGER 37 f(au) = af(u) BEVIS. A(u + v) = Au + Av, A(au) = aau Fra de simple regneregler for matrix multiplikation, 3.9. Eksempel 4.8 (Billede ved lineær afbildning) ( u ) u ( ) ( ) ( ) 3 u u + 3u = 3 4 u 3u + 4u x x (u + 3u, 3u + 4u ) u (u, u ) (3u, 4u ) (u, 3u ) 0 u x 0 x Bemærkning 4.9 (Genkend matricen) Den lineære afbildning f(u) = Au defineret ved en matrix A bestemmer matricen ved 3.4 f(e j ) = Ae j = a j j-te søjle i matricen for f er billedet af j-te enhedsvektor. Fra lineær afbildning til matrix Givet en lineær afbildning, så anvises her en procedure for at bestemme en matrix, hvorefter funktionsværdierne kan beregnes ved matrixmultiplikation. Sætning 4.0 (Lineær afbildning til matrix) Enhver lineær afbildning f : R n R m fremkommer fra en entydig bestemt m n-matrix A ved matrixmultiplikation f(u) = Au Den j-te søjle i matricen A er billedet af j-te enhedsvektor i R n Den ij-te indgang a ij er bestemt af a j = f(e j ) f(e j ) = i a ij e i BEVIS. Fra 4.9 følger, at matricen A med søjler a j = f(e j ) er eneste mulighed. En prøve viser, at denne faktisk giver f:

38 38 4. LINEÆRE AFBILDNINGER Skriv en vektor u = j u je j og udregn ved 4.5 og 3.7 f(u) = f( j u j e j ) = j u j f(e j ) = j u j a j = Au Definition 4. (Lineær afbildning til matrix) For en lineær afbildning f : R n R m betegnes den entydig bestemte m n-matrix fra 4.0 med Matr(f) Den j-te søjle i Matr(f) er billedet af j-te enhedsvektor fra R n Matr(f) = ( f(e )... f(e n ) ) For en søjlevektor u R n gælder f(u) = Matr(f)u Nulafbildningen er givet ved nulmatricen 0 og identitetsafbildningen er givet ved identitetsmatricen I. Eksempel 4. (Find matrix) f(x, y) = (4x y, 5x + y, 3y) er en lineær afbildning R R 3. Den repræsenteres ved 3 matricen Matr(f) = thi 4 ( ) 5 x = 4x y 5x + y y 0 3 3y Eksempel 4.3 (Find matrix) f(x, x ) = (x + 3x, 4x + x ) er en lineær afbildning R R. Den repræsenteres ved matricen ( ) 3 Matr(f) = 4 thi Figuren viser billedvektorerne: ( ) ( ) 3 f(, 0) = og f(0, ) = 4

39 4. LINEÆRE AFBILDNINGER 39 x x f(e ) e f f(e ) 0 e x 0 x Multiplikation og sammensætning Den vigtigste konsekvens af ordbogen mellem matricer og lineære afbildninger er en ny fortolkning af matrixproduktet. Det er til stor gavn i teorien for funktioner i flere variable, som det ses senere. Sætning 4.4 (Multiplicere = sammensætte) Lad f, g være lineære afbildninger R n f R m Så er den sammensatte afbildning g f lineær og g R p Matr(g f) = Matr(g) Matr(f) f g u f(u) g f(u) R n R m R p BEVIS. For f(u) = Au, g(v) = Bv giver den associative lov g f(u) = g(f(u)) = B(Au) = (BA)u Sammensætningen er da lineær ved 4.7 og matricen er entydig bestemt ved 4.0. Eksempel 4.5 (Matrix for sammensætning) Givet lineære afbildninger f(x) = ( x, x) og g(y, z) = 3y + 3z, så er sammensætningen g f(x) = cx, hvor c = ( 3 3 ) ( ) = 0 Så sammensætningen er nulafbildningen.

40 40 4. LINEÆRE AFBILDNINGER Eksempel 4.6 (Spejling) Betragt talplanen R, og betragt spejlingen S θ i linjen gennem origo med retningsvinkel på θ radian mod uret. Det er en lineær afbildning. Første enhedsvektor e går ved spejlingen S θ i vektoren ( ) cos θ e θ = sin θ mens anden enhedsvektor e går over i tværvektoren ( ) sin θ ê θ = cos θ Matricen for spejlingen er ( ) cos θ sin θ Matr(S θ ) = sin θ cos θ x e e θ θ e ê θ x Eksempel 4.7 (Drejning) Betragt talplanen R, og betragt drejningen D θ på θ radian mod uret. Det er en lineær afbildning. x Første enhedsvektor e går ved drejningen D θ i vektoren ( ) cos θ e θ = sin θ e e θ mens anden enhedsvektor e går over i ( ) sin θ ê θ = cos θ ê θ θ 0 e x Matricen for drejningen er ( cos θ sin θ Matr(D θ ) = sin θ cos θ ) Eksempel 4.8 (De trigonometriske additionsformler) I fortsættelse af Eksempel 4.7: det er klart, at hvis α og β er to vinkler, så er D α+β = D α D β. Af 4.4 fås derfor ( ) ( ) ( ) cos(α + β) sin(α + β) cos α sin α cos β sin β = sin(α + β) cos(α + β) sin α cos α sin β cos β Sammenligner man -indgangene i de to sider af denne ligning, har man additionsformlen for cos ganske gratis cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β Tilsvarende giver sammenligning af -indgangene additionsformlen for sin. sin(α + β) = cos α sin β + sin α cos β

41 4. LINEÆRE AFBILDNINGER 4 Translation De sædvanlige lineære funktionsudtryk er ikke lineære i den strenge betydning i lineær algebra. Afvigelsen er givet ved en parallelforskydning. Så egenskaberne ved lineære afbildninger kan i høj grad overføres til de sædvanlige udtryk. De sædvanlige lineære udtryk kaldes affine afbildninger. Eksempel 4.9 (Lineær funktion) Fra funktionsteorien kendes lineære udtryk f(x) = ax + b. Dette består af den lineære funktion g(x) = ax og addition med en konstant h(u) = u + b. Det lineære udtryk er den sammensatte funktion f(x) = h g(x). Definition 4.0 (Translation) For en vektor b R m defineres en afbildningen h : R m R m ved h(u) = u + b. Denne kaldes translation eller parallelforskydning med b. For en delmængde U R m betegnes billedmængden ved translation med U + b = {u + b u U} Eksempel 4. (Translateret linje) x Linjen i (x, x )-planen givet ved ligningen x = ax + b kan skrives som en translation U + (0, b), hvor U = Span((, a)) er linjen gennem (0, 0) givet ved x = ax. 0 Span((, a)) + (0, b) x Definition 4. (Affin afbildning) For en m n-matrix A og en vektor b R m defineres en affin afbildning f : R n R m ved at efterfølge den lineære afbildning g(x) = Ax med translation med b, h(u) = u+b, f(x) = Ax + b Opgaver Opgave 4. Find Matr(f) for den lineære afbildningen f(x, y) = (y, x + y). Opgave 4. Find matricerne for de lineære afbildninger f(x) = (x, x, x) og g(x, y, z) = x + y + z. Opgave 4.3 Lad f og g være lineære afbildninger R n R m. Antag at f(e ) = g(e ),..., f(e n ) = g(e n ). Vis, at f = g.

42 4 4. LINEÆRE AFBILDNINGER Opgave 4.4 Betragt funktionen f : R R givet ved f(x, y) = 3x y. Vis at f er lineær, og angiv Matr(f). Opgave 4.5 Betragt afbildningen R R, der består i spejling i y-aksen, altså (x, y) ( x, y). Vis, at den er lineær, og angiv dens matrix. Opgave 4.6 Betragt den lineære afbildning f : R R givet ved (x, y) (x + y, x y). Angiv dens matrix. Angiv også matricen for f f. Opgave 4.7 Betragt den lineære afbildning f : R 3 R givet ved (x, y, z) (x, y) ( projektion ned på gulvets plan ). Angiv dens matrix. Test 4.8 (matrix-afbildning) Denlineære afbildning f(x, y) = (x + y, x y, y) har tilhørende matrix Matr(f): (a). (b) ( ) 0. (c) Afkryds den korrekte: (a) (b) (c) Test 4.9 (Matrix-lineær afbildning) Den lineære afbildning f(x, y) = (0, x + 3y, x) har tilhørende matrix Matr(f): [ ] (a). (b) 0 0 [ ] 0 3. (c) Afkryds den korrekte: (a) (b) (c)

43 5 Invers matrix Da matrixmultiplikationen ikke er kommutativ, så giver det god mening at spørge om en ensidig invers. I tilfældet med kvadratiske matricer vil det senere vise sig, at der ikke er forskel på en ensidig og en tosidig invers. Den sædvanlige produkt regel for invers gælder stadig, dog skal man udvise omhu med rækkefølgen. Ensidig invers Der gives en kort introduktion til inversproblemer generelt. Fra næste afsnit betragtes hovedsageligt tosidige inversproblemer. Bemærkning 5. (højre- og venstreinvers) For en given matrix A kan man spørge efter om den har en højreinvers og om den har en venstreinvers. Lad A være en m n matrix. En højreinvers til A er en n m matrix B så at AB = I m En venstreinvers til A er en n m matrix C så at CA = I n Hvis B er både højre- og venstreinvers til A, kaldes B en to-sidet invers til A. Når man bare siger B er en invers til A, mener man at den er en to-sidet invers. Hvis A har en to-sidet invers, kaldes A invertibel. Eksempel 5. (Ensidig invers) A = ( har en højreinvers, nemlig matricen B givet ved 0 B = 7. At AB = I er en simpel øvelse i matrix-multiplikation ( ) 5 0 ( 7 0 = Derimod er B ikke venstreinvers til A, idet der gælder som jo ikke er = I 3. ( ) = ) ) , 43

44 44 5. INVERS MATRIX Invers matrix Invers eller reciprok matrix spiller nok sin største rolle i teorien, som i mange tilfælde bliver langt mere overskuelig. I regnetekniske anvendelser bruges normalt lidt anderledes metoder. Fra nu af betragtes kun inversproblemet for kvadratiske matricer. Eksempel 5.3 ( -matrix) Betragt matricen A = ( Den har en højreinvers, nemlig matricen B givet ved ( ) /3 /3 B = /3 /3 hvad man nemt kontrollerer ved udregning AB = I. Man kan også let ved udregning BA = I kontrollere, at B er en venstreinvers til A. Matricen B er altså en to-sidet invers til A (og A en to-sidet invers til B). ) Sætning 5.4 (Entydig invers) Hvis der for en kvadratisk A findes matricer B, C, så Så er B = C. AB = I = CA BEVIS. Beregn ved den associative lov for matrixmultiplikation B = IB = (CA)B = C(AB) = CI = C Definition 5.5 (Invers matrix) En kvadratisk n n-matrix A har en invers matrix B, hvis B er ifølge 5.4 entydig bestemt og betegnes AB = I n = BA B = A Matricen A (og B) kaldes i så fald invertibel. Eksempel 5.6 (Invers diagonalmatrix) En diagonal n n-matrix λ 0... Λ = λ n med alle diagonal indgange λ i 0 er invertibel. Den inverse er λ 0... Λ = λ n

45 Inversregel for et produkt 5. INVERS MATRIX 45 Man kan invertere et produkt, bare man er omhyggelig med rækkefølgen. Sætning 5.7 (Inverter matrixprodukt) Lad A, B være invertible n n-matricer. Så er AB invertibel og der gælder Pas på rækkefølgen. (AB) = B A BEVIS. (AB)(B A ) = A(BB )A = AI n A = AA = I n og tilsvarende (B A )(AB) = I. Eksempel 5.8 (Produktreglen) Betragt invertible matricer A og B, hvorom det vides: ( ) A = og B = Beregn matricen (AB). LØSNING. Beregn ifølge 5.7 ( 3 (AB) = B A ( ) ( ) 3 = ( ) 5 4 = ) Invertibel afbildning og invers matrix Ordbogen mellem lineær afbildning og matrix 4.0 kan udbygges til at omfatte en sammenkædning af invers afbildning og invers matrix. Se 8.9 for sprogbrug om afbildninger. Sætning 5.9 (Invertibel og invers afbildning) Den lineære afbildning f : R n R n givet ved f(x) = Ax er bijektiv, hvis og kun hvis matricen A er invertibel. I så fald er den inverse afbildning lineær og givet ved multiplikation med matricen A. BEVIS. Hvis f har invers givet ved g(y) = By, så er matricerne AB og BA matricer for identitetsafbildninger og dermed identitetsmatricer. Omvendt, hvis A og B er hinandens inverse. Bemærkning 5.0 (Frem og tilbage) Det er praktisk, at overskue situationen ved en figur.