Læringsprogram. - Numeriske metoder. Lavet af: Benjamin Løv Timmermann, Nicklas Nygaard Larsen og Kim Clemensen Holdt 3.4 Roskilde Tekniske Gymnasium
|
|
- Martin Lindholm
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Læringsprogram - Numeriske metoder Lavet af: Benjamin Løv Timmermann, Nicklas Nygaard Larsen og Kim Clemensen Holdt 3.4 Roskilde Tekniske Gymnasium
2 Indhold Introduktion... 3 Programmering som kommunikation... 3 Teknisk planlægning... 4 Ressourceplan... 4 Design... 4 Kravspecifikation... 5 Kommunikation planlægning... 5 Målgruppeanalyse... 5 Budskab... 5 Planlægning af tid... 5 Matematikken... 6 Numerisk differentiation... 6 Numerisk integration... 6 Numerisk rodbestemmelse... 6 Lineær regression... 7 Mindste kvadraters metode... 7 Korrelationskoefficient... 7 Moduler og dokumentation... 7 Sympy modulet... 7 Math modulet... 8 future modulet... 8 Dokumentation... 8 Differentiation... 8 Integration... 9 Rodbestemmelse... 9 Lineær regression Test Testspecifikation Testresultater Konklusion
3 Introduktion Vi har fået stillet til opgave at lave et læringsprogram, der er i stand til at hjælpe elever, med en grundviden inden for matematik, at lære hvordan numerisk differentiation, numerisk integration, rodbestemmelse og lineær regression hænger sammen. Derefter skal programmet sammenligne den numeriske og den eksakte værdi. Programmering som kommunikation Kommunikation er et vidt begreb og kan foregå på mange måder, så som at tale og lytte, skrive og læse, tegne og observere, men udviklingen af computeren gav os endnu en mulighed programmering. Så kan det diskuteres om det rent faktisk også er at kommunikere, så lad os derfor se på hvad begrebet kommunikation dækker over. Kommunikation kan defineres som den samlede verbale og nonverbale interaktion mellem individer indbyrdes og/eller institutioner. Kommunikation (fra Latin commmunicatio = samkvem, trafik, forbindelse, udveksling af meddelelser, indbyrdes forståelse). (kommunikere = udveksle meddelelser el. synspunkter; få kontakt med andre). Grundlæggende er kommunikation i modsætning til information (som er en envejsmeddelelse til andre) en udveksling af informationer/viden mellem flere individer. - Kommunikation er altså hvis 2 eller flere personer/institutioner interagere med hinanden. Derfor kan man altså sige at det man har programmeret, f.eks. en lommeregner, kommunikere med brugeren, da de udveksler informationer. Se eksempel: 3
4 Billedet viser et hurtigt program i Python der kommunikere ved at man giver den 2 tal og så lægger den dem sammen for dig. Python er et programmeringssprog ligesom C++ og JavaScript. Hvis man skulle finde nogle modargumenter for at man skulle sige at det ikke var kommunikation, så kunne det være at man ikke kan føre en dynamisk samtale med programmet. Men det er jo heller ikke derfor man bruger et program. Programmet bruger man til at udnytte dets egenskaber. Desuden kan vi heller ikke vide hvor længe der går før programmer der kan før en samtale kommer ud på markedet. Teknisk planlægning Ressourceplan Tidsplan Antal moduler Indhold Uge: Mat Pgr IT Lineær regression Numerisk differentiation Numerisk integration Design Tkinter og Qtdesigner 3 Terminsprøver Dokumentation, afprøvning og aflevering Som det kan ses i skemaet har vi god tid til at få implementeret funktionerne. Design Vi starter med at kigge på det indre design, som er den kode der skal drive programmet. Når man starter programmet vil et vindue åbne, hvor der er mulighed for at vælge, hvilken matematisk funktion man ønsker at bruge. Det gøres ved at skifte fane i toppen. Efter valget af det matematiske begreb, beder programmet om de relevante inputs der er nødvendige for programmet. Kan man ikke helt finde ud af hvad man skal skrive kan man i toppen af programmet trykke på hjælp hvor man kan finde informationer om de enkelte funktioner og hvordan de bruges. Derudover findes der også en forklaring af de tilhørende matematiske begreber. 4
5 Kravspecifikation Programmet skal primært opfylde de betingelser der blev opsat i oplægget. Benjamin Timmermann, Nicklas Nygaard og Kim Holdt Finde den bedste lineære regression, ud fra et sæt punkter. Kunne regne numerisk differentiation. Kunne regne numerisk integration. Være muligt for brugeren at vælge antal inddelinger. Sammenligne det numeriske resultat med en analytisk løsning. Beskrive de metoder der er anvendt. Derudover skal programmet være brugervenligt opbygget, altså skal vores UI være let og overskueligt og output skal være fint. Kommunikation planlægning Målgruppeanalyse Vores målgruppe er folk, som har en basis viden indenfor matematiske begreber som lineær regression, numerisk differentiation, numerisk integration, og som kan bruge matematiske programmer. Der findes mange matematiske programmer, som kan hjælpe gymnasium elever. Programmer som Graph, Geogebra og Graphmatica, som kan yde hjælp til eleverne. Derfor laver vi nogle programmer som kan hjælpe elever med at løse de forskellige begreber. Vi kan altså konkludere at vores målgruppe er: Gymnasium elever Elever som har en indsigt i matematiske begreber og matematiske programmer Andre personer som søger hjælp til at forstå i de matematiske begreber programmet viser Budskab Vores budskab er at vise ved hjælp af et program i Python, at man kan udregne de forskellige begreber som; lineær regression, numerisk differentiation, numerisk integration. Og vi ønsker at de forskellige elever skal få en oplevelse af et program, som kan hjælpe med at udregne matematiske begreber. Planlægning af tid Tidsplan Antal moduler Indhold Uge: Mat Pgr IT Lineær regression, og numerisk differentiation Numerisk integration Start på rapporten. Qtdesigner 3 Terminsprøver Dokumentation, Qtdesigner, afprøvning, laver rapporten færdig og afleverer. 5
6 Matematikken For at kunne implementere matematikken, må vi nødvendigvis kunne forstå hvorfor og hvordan det hænger sammen. Numerisk differentiation Numerisk differentiation går i alt sin enkelthed ud på at finde differentialkvotienten, ved numeriske metoder, altså ikke ved at finde den afledte funktion, men ved tilnærmelse af den afledte funktion, med hældningskoefficienten for en sekant til grafen. Formlen for numerisk differentiation ser sådan ud: X 0 er den x-værdi hvor man ønsker at finde hældningen. h er afstanden fra x 0 til der hvor man skal finde sekanten. Numerisk integration Numerisk integration er ligesom numerisk differentiation, ikke en eksakt løsning, men en tilnærmelse. Den fungerer altså ikke ved at man finde stamfunktionen, men ved at man dele intervallet op og benytter summer. Jo flere intervaller man har jo mere præcis bliver det. Numerisk integration inde for et interval, findes ved at opdele intervallet i flere delintervaller. Herefter finder man midtsummerne af disse delintervaller. Det giver formlen: Man kan også gøre det samme med venstre- eller højresummen, men i de fleste tilfælde giver det, det mest præcise resultat, når man bruger midtsummen. Numerisk rodbestemmelse Numerisk rodbestemmelse gøres ved hjælp af Newton-Raphsons metode. Newton-Raphsons metode benyttes kvadratisk konvergens til løsning af. Fremgangsmåden er at man starter med et x 0 og i dette punkt laver man en tangent til f(x 0 ). Ved denne tangent finder man skæringen, med x-aksen som nu bliver til. bliver nu det det nye punkt som man laver en tangent til, og finder skæring med x-aksen, og der med. Og sådan bliver man ved indtil forskellen af punkterne er tilfredsstillende. Formlen ser ud som følgende: Funktionen skal være kontinuert og differentiable. 6
7 Benjamin Timmermann, Nicklas Nygaard og Kim Holdt Lineær regression Lineær regression handler om at finde den bedste rette linje, der tilnærmer sig et punktsæt. Det kunne for eksempel være som på billede på højre. Hvor den røde linje er den rette linje der tilnærmer sig de blå punkter. Denne linje kan fastsættes efter mindste kvadraters metode. Linjen skal selvfølgelig lægge så tæt som muligt på samtlige punkter. Som et udtryk for hvor langt linjen ligger på punkterne, har man korrelationskoefficient, som skal være så tæt på 1 som mulig. Mindste kvadraters metode En ret linje har formlen: Vi ønsker altså at finde konstanterne på følgene måde: og. De kan findes ved mindste kvadraters metode. Man kan finde Hvor er gennemsnittet at alle x-værdierne, og er gennemsnittet at alle y-værdierne. Når man har fundet, kan man finde, på følgene måde. Korrelationskoefficient Korrelationskoefficient, som er et udtryk for hvor tæt linjen ligger på punkterne, kaldes også. Den regnes sådan: ( ) Korrelationskoefficient ligger altid mellem 0 og 1. Jo tætter den er på 1 jo tætter ligger linjen på punkterne. Hvis den er 1 går den gennem alle punkterne. Moduler og dokumentation Sympy modulet I størstedelen af vores udregninger har vi brugt funktioner fra Sympy modulet. Bl.a. egenskaben til at se som værdien/variablen og ikke som bogstavet x. Derudover henter vi også en integral funktion, da det er omfattende at lave funktionen selv. Sympy er et rigtig godt modul til matematiske beregninger, da det har godt og vel alle matematiske funktioner indbygget og er i stand til at opstille funktioner så det ser præsentabelt ud. Noget lign: 7
8 Det er altså godt at sætte tingene op med når vores program nu er et program der skal lære andre hvordan matematikken fungerer. Det giver et bedre overblik for dem der skal se på det. Math modulet Math er indbygget Python som standard og herfra henter vi kun kvadratrods funktionen sqrt(). future modulet Dette modul gør så vores udregninger altid er decimaler og at de ikke bliver nedrundet til et helt tal. Dokumentation Differentiation Vi startede ud med at lave delen af vores kode der kan differentiere. Her startede vi ud med at tilføje de input vi skal bruge, altså, og. h=input("h:") x0=input("x:") f=raw_input("f(x):") Så har vi delt formlen for numerisk differentiation op i 3 dele, så vi har plus og minus som 2 funktioner hvorefter vi indsætter resten af formlen. Grunden til at vi har delt det op er at vi ikke kunne få den til at udregne resultatet korrekt da vi havde det i en enkelt linje. Det bliver printet til sidst. def plush(): x=x0+h fevalplus=eval(f) return fevalplus def minush(): x=x0-h fevalminus=eval(f) return fevalminus fdif=(plush()-minush())/(2*h) print "numerisk:",fdif Til sidst har vi den analytiske metode, altså den eksakte differentiation som er en funktion vi henter fra Sympy modulet. Derudover har vi importeret funktionen der gør at programmet i denne sidste del ser som og ikke som bogstavet x som også er beskrevet i afsnittet omkring Sympy modulet. from sympy.abc import x, y d=diff (f, x) print "eksakt:",d.subs(x,x0).n() 8
9 Integration I denne del havde vi modsat differentiations delen, ikke nogle problemer under udviklingen. Læse lidt om Sympy og så skrive programmet. Til at starte med har vi igen input, interval og delinterval. Så implementerer vi formlerne for numerisk integration. f=raw_input("f(x)") istart=input("interval start:") islut=input("interval slut") n=input("antal delintervaller:") i=abs(islut-istart) Vi definerer som er længden af delintervallet og som er afstanden fra til. h=i/n m=(istart+(h/2)) Vi laver en liste hvor vi indsætter en -værdi for alle midtpunkterne. Den næste liste indeholder funktionen af for hvert midtpunkt. Herefter printer vi resultatet. liste=[] while m<islut: liste.append(m) m=m+h g=0 Mliste=[] while n>g: x=liste[g] g=g+1 M=eval(f)*h Mliste.append(M) print "numerisk:", sum(mliste) Igen har vi den analytiske metode som er løsningen til vores program som er hentet fra Sympy modulet. e = Integral(f, (x, istart, islut)) print "eksakt:", e.n() Rodbestemmelse Input igen,, og. f=raw_input("f(x)") x0=input("gæt") vi=input("maksimum antal iterationer") så laver vi en while løkke der gentages indtil implementeret.. I løkken er formlen for rodbestemmelse while vi>i: def F(): from sympy.abc import x, y d=diff (f, x) 9
10 D=d.subs(x,(xliste[i-1])) return D x=x0 i=i+1 x=x-(eval(f))/(f()) xliste.append(x) print i print x.n() Lineær regression Vi laver derefter vores funktion der kan udregne en tendenslinje i forhold til nogle punkter. For at gøre det let, laver vi vores X og Y, så vi kan angive flere punkter på én gang, vha.. Vi sikrer os også at den fortæller os hvis der ikke er lige mange punkter defineret. def linreg(x, Y): if len(x)!= len(y): raise ValueError, 'unequal length' N = len(x) Da det vil blive en gentagelse, så definere vi de variabler vi skal bruge. Ellers får vi en fejl. Så de er altså 0. Vi bruger for til at gentage nogle beregninger vi skal bruge lige om lidt, derefter står der in som vi bruger til at fortælle hvad den skal bruge for hver gang den gentager sig. Der trækker vi X og Y ind vha. map. Så kører vi nogle regnesekvenser vi skal bruge senere, hvilket giver os nogle variabler. Sx = Sy = Sxx = Syy = Sxy = 0.0 for x, y in map(none, X, Y): Sx = Sx + x Sy = Sy + y Sxx = Sxx + x*x Syy = Syy + y*y Sxy = Sxy + x*y Vi definere nu hvordan determinanten skal regnes. Den skal vi bruge til at regne a og b. Så bruger vi de samme linjer med for og in. Det bruger vi denne gang til at bestemme et punkt. det = Sxx * N - Sx * Sx a, b = (Sxy * N - Sy * Sx)/det, (Sxx * Sy - Sx * Sxy)/det meanerror = residual = 0.0 for x, y in map(none, X, Y): meanerror = meanerror + (y - Sy/N)**2 residual = residual + (y - a * x - b)**2 RR = 1 - residual/meanerror ss = residual / (N-2) Var_a, Var_b = ss * N / det, ss * Sxx / det (RR) for hver gang vi regner Vi bruger return for at udskrive vores resultat. Det kommer du i formatet (a, b, RR). Derudover afsluttes vores funktion. return a, b, RR Til sidst definerer vi punktmængden vi laver vores tendenslinje ud fra, hvorefter den printer hele vores funktion, linereg, hvor den regner med de punkter vi har defineret i linjerne før. 10
11 X=[1,2,2,3,3,4] Y=[2,1,3,2,4,3] print linreg(x,y) Under udviklingen af programmet har haft fordelene af ekstreme programming, da vi har været 3 i gruppen. Test Testspecifikation Programmet laver de forskellige tegninger, når den får input fra brugeren. Samt angiver de forskellige begreber tilhørende de forskellige matematiske ligninger. Korrekte outputs. Testpersoner vil bestå af klasse-/skolekammerater og familiemedlemmer. Testpersonerne vil blive bedt om at bedømme vores program på en skala far 1-10 hvor 10 er det bedste, samt en kommentar til forbedringsforslag. Testresultater Tester (person) Karakter Kommentar 1 (Klassekammerat) 3. år HTX 7 Savner et andet sprogbrug, men ellers var det godt. Havde en god overskuelighed. 2 (Familie) 1. år STX 10 Det er nemt at overskue, og der er ikke noget man kan misforstå eller blive forvirret af. Det er enkelt og meget let at bruge. 3 (Familie) 1. år STX 10 Det er dejligt simpelt og nemt at gå til. 4 (Familie) Uddannet revisor 3 Det er svært at bruge og forstår ikke hvordan og hvad det kan bruges til. Vi kan altså se at der stilles lidt højere krav i 3.g end i 1.g. Det må hænge sammen med den aktuelle viden inden for matematik. Men samtidig kan det også ses at de ældre generationer skal have lidt mere forklaring inden for brugen af programmet. Unge, som er inden for vores målgruppe, har altså lettere ved at bruge det. Konklusion Under udviklingen af dette program har vi fået en større forståelse af hvordan man sætter sig ind i nye moduler, som vi anser for en meget vigtig egenskab. Vi har formået at lave et program der kan regne alle de ting vi beskrev i kravspecifikationen. Derudover er det lykkes os at lave et fint design til vores program, som dog ikke er implementeret. 11
lineær regression er en metode man bruger for at finde den mindste afstand mellem bestemte punkter ved at bruge denne formel: a= n i=1 i=1
Linær regression lineær regression er en metode man bruger for at finde den mindste afstand mellem bestemte punkter ved at bruge denne formel: a= (Xi Yi) n * Xi 2 n * x 2 x * y Figur 1. Nu vil vi løse
Læs mereLæringsprogram. Numeriske metoder. Matematik A Programmering C Studieområdet. Roskilde Tekniske Gymnasium Klasse 3.4
Læringsprogram Numeriske metoder Matematik A Programmering C Studieområdet Roskilde Tekniske Gymnasium Klasse 3.4 Lau Lund Leadbetter Mikkel Karoli Johnsen Tobias Sønderskov Hansen Lineær regression ved
Læs mereNumerisk differentiation og integration med Python
Numerisk differentiation og integration med Python En uformel prototype til en tutorial, Karl Bjarnason, maj 2010 Vi vil gerne lave et program som numerisk integrerer og differentierer funktionen f(x)=x
Læs mereDokumentation af programmering i Python 2.75
Dokumentation af programmering i Python 2.75 Af: Alexander Bergendorff Jeg vil i dette dokument, dokumentere det arbejde jeg har lavet i løbet opstarts forløbet i Programmering C. Jeg vil forsøge, så vidt
Læs mereDifferentialregning. Ib Michelsen
Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af
Læs mereIntegralregning Infinitesimalregning
Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement
Læs mereMaple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.
Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt
Læs mereMichael Jokil 11-05-2012
HTX, RTG Det skrå kast Informationsteknologi B Michael Jokil 11-05-2012 Indholdsfortegnelse Indledning... 3 Teori... 3 Kravspecifikationer... 4 Design... 4 Funktionalitet... 4 Brugerflade... 4 Implementering...
Læs mereEksponentielle modeller
2013 Eksponentielle modeller Jacob Elmkjær og Dan Sørensen Matematik/IT Roskilde Tekniske Gymnasium 09-12-2013 Lærere: Jørn Christian Bendtsen og Karl Bjarnason Indhold Indledning... 2 Opgave analyse...
Læs mereOpgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning
Sh*maa03 1508 Matematik B->A, STX Anders Jørgensen, delprøve 1 - Uden hjælpemidler Følgende opgaver er regnet i hånden, hvorefter de er skrevet ind på PC. Opgave 1 - Lineær Funktioner Vi ved, at år 2001
Læs mereAndreas Lauge V. Hansen klasse 3.3t Roskilde HTX
IT -Eksamen Andreas Lauge V. Hansen klasse 3.3t Roskilde HTX [Vælg en dato] Indhold Indledning... 2 Teori... 3 Hvorfor dette design... 4 Produktet... 4 Test og afprøvning... 9 Konklusion... 10 Indledning
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2016 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold STX Matematik A Jesper
Læs mereHTX, RTG. Rumlige Figurer. Matematik og programmering
HTX, RTG Rumlige Figurer Matematik og programmering Vejledere: Jørn Christian Bendtsen og Karl G. Bjarnason Morten Bo Kofoed Nielsen & Michael Jokil 10-10-2011 In this assignment we have been working with
Læs mereVejledning til WordMat på Mac
Installation: WordMat på MAC Vejledning til WordMat på Mac Hent WordMat for MAC på www.eduap.com Installationen er først slut når du har gjort følgende 1. Åben Word 2. I menuen vælges: Word > Indstillinger
Læs mereVi har valgt at analysere vores gruppe ud fra belbins 9 grupperoller, vi har følgende roller
Forside Indledning Vi har fået tildelt et skema over nogle observationer af gærceller, ideen ligger i at gærceller på bestemt tidspunkt vokser eksponentielt. Der skal nu laves en model over som bevise
Læs merePeterSørensen.dk : Differentiation
PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3
Læs mereIntegralregning med TI-Interactive! Stamfunktioner Integraler Arealer Jan Leffers (2005)
Integralregning med TI-Interactive! Stamfunktioner Integraler Arealer Jan Leffers (005) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... Stamfunktion og integralregning...3 Numerisk integration...3 Areal under
Læs mereBedste rette linje ved mindste kvadraters metode
1/9 Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode - fra www.borgeleo.dk Figur 1: Tre datapunkter og den bedste rette linje bestemt af A, B og C Målepunkter og bedste rette linje I ovenstående koordinatsystem
Læs mereProjektopgave Rumlige figurer. Matematik & Programmering Lars Thomsen Klasse 3.4 HTX Roskilde Vejledere: Jørn & Karl 05/10-2009
Projektopgave Rumlige figurer Lars Thomsen HTX Roskilde Vejledere: Jørn & Karl 05/10-2009 Indholdsfortegnelse 0. Summary:... 4 1. Opgaveanalyse:... 5 1.1 Overordnet:... 5 1.2 Konkrete krav til opgaven:...
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold STX Matematik A Jesper
Læs mereProjektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik
Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.
Læs mereArealer som summer Numerisk integration
Arealer som summer Numerisk integration http://www.zweigmedia2.com/realworld/integral/numint.html Her kan ses formlerne, som er implementeret nedenfor med en effektiv kode. Antag, at funktionen er positiv,
Læs merePointen med Differentiation
Pointen med Differentiation Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereMATEMATIK A. Indhold. 92 videoer.
MATEMATIK A Indhold Differentialligninger... 2 Differentialregning... 3 Eksamen... 3 Hvorfor Matematik?... 3 Integralregning... 3 Regression... 4 Statistik... 5 Trigonometriske funktioner... 5 Vektorer
Læs mereEksponentielle modeller
Eksponentielle modeller Fag: Matematik A og Informationsteknologi B Vejledere: Jørn Christian Bendtsen og Karl G Bjarnason Side 1 af 20 Indholdsfortegnelse Introduktion 1.Indledning... 3 2. Formål... 3
Læs mereUndervisningsbeskrivelse for Matematik A 2. E 2011/2012
Undervisningsbeskrivelse for Matematik A 2. E 2011/2012 Termin Undervisningen afsluttes den 16. maj 2012 Skoleåret hvor undervisningen har foregået: 2011-2012 Institution Skive Teknisk Gymnasium Uddannelse
Læs mereBrugervejledning til Graph
Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,
Læs mereMere om differentiabilitet
Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget
Læs mereFor at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning
Graftegning på regneark. Ved hjælp af Excel regneark kan man nemt tegne grafer. Man åbner for regnearket ligger under Microsoft Office. Så indtaster man tallene fra tabellen i regnearkets celler i en vandret
Læs mereBEVISER TIL KAPITEL 3
BEVISER TIL KAPITEL 3 Alle beviserne i dette afsnit bruger følgende algoritme fra side 88 i bogen. Algoritme: Fremgangsmåde til udledning af forskellige regneregler for differentiation af forskellige funktionstyper
Læs mereKlasse 1.4 Michael Jokil 03-05-2010
HTX I ROSKILDE Afsluttende opgave Kommunikation og IT Klasse 1.4 Michael Jokil 03-05-2010 Indholdsfortegnelse Indledning... 3 Formål... 3 Planlægning... 4 Kommunikationsplan... 4 Kanylemodellen... 4 Teknisk
Læs mereVisualiseringsprogram
Visualiseringsprogram Programmering C - eksamensopgave Rami Kaddoura og Martin Schmidt Klasse: 3.4 Vejleder: Karl Bjarnason Roskilde Tekniske Gymnasium Udleveringsdato: 02-03-2012 Afleveringsdato: 11-05-12
Læs mereROSKILDE TEKNISKE GYMNASIUM. Læringsprogram. Lommeregner
ROSKILDE TEKNISKE GYMNASIUM Læringsprogram Lommeregner Programmering Malte Fibiger, Rasmus Ketelsen, Nicojal Jensen og Leon Bøgelund, Klasse 3.36 04-12-2012 Indholdsfortegnelse Indledende afsnit... 3 Problemformulering...
Læs mereForelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereIntroduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak
Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012.
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Kapitel 6 Differentialregning og modellering med f 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver
Læs mereComputerspil. Hangman. Stefan Harding, Thomas Bork, Bertram Olsen, Nicklas Thyssen og Ulrik Larsen Roskilde Tekniske Gymnasium.
10-02-2015 Computerspil Hangman Stefan Harding, Thomas Bork, Bertram Olsen, Nicklas Thyssen og Ulrik Larsen Roskilde Tekniske Gymnasium. Kom/it c Indhold Intro... 2 Indledende aktivitet... 2 Kommunikations
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Jan 2016 - Juni 2019 Institution Hotel- og Restaurantskolen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold EUX ernæringsassistent
Læs mereStatistik i GeoGebra
Statistik i GeoGebra Peter Harremoës 13. maj 2015 Jeg vil her beskrive hvordan man kan lave forskellige statistiske analyser ved hjælp af GeoGebra 4.2.60.0. De statistiske analyser svarer til pensum Matematik
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Juni 2017 HANSENBERG
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleår forår 2019, eksamen maj-juni 2019 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse STX Fag og niveau Matematik
Læs mereMatematik A og Informationsteknologi B
Matematik A og Informationsteknologi B Projektopgave 2 Eksponentielle modeller Benjamin Andreas Olander Christiansen Jens Werner Nielsen Klasse 2.4 6. december 2010 Vejledere: Jørn Christian Bendtsen og
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2017 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold STX Matematik B Jesper
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleåret 2018/19 Institution Viden Djurs - VID Gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold HTX Matematik
Læs mereNewton-Raphsons metode
Newton-Raphsons metode af John V. Petersen Indhold Indledning: Numerisk analyse og Newton-Raphsons metode... 2 Udlede Newtons iterations formel... 2 Sætning 1 Newtons metode... 4 Eksempel 1 konvergens...
Læs mereLæringsprogram. Christian Hjortshøj, Bjarke Sørensen og Asger Hansen Vejleder: Karl G Bjarnason Fag: Programmering Klasse 3.4
Læringsprogram Christian Hjortshøj, Bjarke Sørensen og Asger Hansen Vejleder: Karl G Bjarnason Fag: Programmering Klasse 3.4 R o s k i l d e T e k n i s k e G y m n a s i u m Indholdsfortegnelse FORMÅL...
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni 14/15 Hf
Læs mereEksaminationsgrundlag for selvstuderende
Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Jeg ønsker at aflægge prøve på nedenstående eksaminationsgrundlag. Jeg har foretaget ændringer i vejlederens fortrykte forslag: nej ja Dato: Underskrift HUSK at
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleår 2016/2017, eksamen maj-juni 2017 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold
Læs mereOpvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3
eks. Intro til differentialregning side 1 Opvarmningsopgaver 10. november 2012 12:58 Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3 Gang parentesen ud: Forkort brøken (x
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Vinter 2013/14 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen 7Ama1V13
Læs mereMatematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1
Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1 Opgave 1 Af trekanterne ABC og DEF ses ABC med b = 6 og c = 10. Der bestemmes for a. Tallene indsættes Så sidelængden er regnet til 8. For at bestemme
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2012 (denne beskrivelse dækker efterår 2011 og forår 2012) Institution Roskilde Handelsskole Uddannelse
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold December 2015 vinter VUC Vestegnen stx Mat A Gert Friis
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Som 2015 Institution VUC Vest Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Mat B Niels Johansson 14MACB11E14
Læs mereMatematik Terminsprøve 2h3g Ma/3
Matematik Terminsprøve 2h3g Ma/3 Onsdag d. 11/4-2018 Kl. 9.00 13.00 Opgavesættet er delt i to dele Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven med hjælpemidler består
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution VUC Fredericia Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik B Susanne Holmelund
Læs mereMatematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1
Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1 Opgave 1 - Ligninger og reduktion (a + b) (a b) + b (a + b) = a 2 ab + ab b 2 + ab + b 2 = a 2 + ab Opgave 2 - Eksponentiel funktion 23 + 2x = 15 2x 2 = 8 x =
Læs mereEksempler på problemløsning med differentialregning
Eksempler på problemløsning med differentialregning 004 Karsten Juul Opgave 1: Monotoniforhold = 1+, x 3 3 x Bestem monotoniforholdene for f Besvarelse af opgave 1 Først differentierer vi f : (3 x) (3
Læs mereMatematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver
Matematik A, STX EKSAMENSOPGAVER Vejledende eksamensopgaver 2015 Løsninger HF A-NIVEAU AF SAEID Af JAFARI Anders J., Mark Af K. & Saeid J. Anders J., Mark K. & Saeid J. Kun delprøver 2 Kun delprøve 2,
Læs mereRegneark Excel fortsat
Regneark Excel fortsat Indhold SÅDAN TEGNES GRAFER I REGNEARK EXCEL... 1 i Excel 97-2003... 1 I Excel 2007... 1 ØVELSE... 2 I Excel 97-2003:... 2 I Excel 2007... 3 OM E-OPGAVER 12A... 4 Sådan tegnes grafer
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: Juni 2016 Københavns
Læs mereGraph brugermanual til matematik C
Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 14/15 Institution Th. Langs HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hfe Mat A Viktor Kristensen
Læs mereModellering af elektroniske komponenter
Modellering af elektroniske komponenter Formålet er at give studerende indblik i hvordan matematik som fag kan bruges i forbindelse med at modellere fysiske fænomener. Herunder anvendelse af Grafregner(TI-89)
Læs mereTERMINSPRØVE APRIL u Ma MATEMATIK. onsdag den 11. april Kl
TERMINSPRØVE APRIL 2018 2u Ma MATEMATIK onsdag den 11. april 2018 Kl. 09.00 13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven med hjælpemidler
Læs mereBetydningen af ordet differentialkvotient...2. Sekant...2
PeterSørensen.dk Differentiation Indold Betydningen af ordet differentialkvotient... Sekant... Differentiable funktioner...3 f (x) er grafens ældning i punktet med første-koordinaten x....3 Ikke alle grafpunkter
Læs mereKomunikation/It C Helena, Katrine og Rikke
HTX Afsluttende projekt E-learning Komunikation/It C Helena, Katrine og Rikke 1.1 01-05-2013 Systemudvikling Indledende aktiviteter Kommunikationsplanlægning for projektet, Laswells fem spørgsmål. o Hvem
Læs mereVektorer og lineær regression
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/Juni 2018 Institution Kolding HF og VUC, Kolding Åpark 16, 6000 Kolding Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)
Læs mereStx matematik B december 2007. Delprøven med hjælpemidler
Stx matematik B december 2007 Delprøven med hjælpemidler En besvarelse af Ib Michelsen Ikast 2012 Delprøven med hjælpemidler Opgave 6 P=0,087 d +1,113 er en funktion, der beskriver sammenhængen mellem
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer
Læs mereTak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16
Tak for kaffe! Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak
Læs mereOversigt. 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt. 2 Korrelation. 3 Regressionsanalyse (kap 11) 4 Mindste kvadraters metode
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse Oversigt 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt 2 Korrelation 3 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse
Læs mereComputerundervisning
Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og Funktioner Lærervejledning 12-02-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Indhold Introduktion... 3
Læs mereMujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011
Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation
Læs mereVektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.
Læs mere2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk
Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber
Læs mere1 monotoni & funktionsanalyse
1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig
Læs mereJeg har i forbindelse med it og programmering designet og udviklet et it-produkt, som kan beregne rødder i en anden gradsligning.
Indhold Beregn rødder... 2 Beskrivelse af kærneproblemet... 2 Plan for brugerfladen for programmet... 3 Operationer på inddata... 4 Output - Beskrivelse af uddata... 4 Flowchart - programmets logiske opbygning/struktur...
Læs mereDifferential- regning
Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7
Læs mereMini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted
Mini SRP Afkøling Klasse 2.4 Navn: Jacob Pihlkjær Lærere: Jørn Christian Bendtsen og Karl G Bjarnason Roskilde Tekniske Gymnasium SO Matematik A og Informations teknologi B Dato 31/3/2014 Forord Under
Læs mereKompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard
Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...
Læs mereAutomatisering Af Hverdagen
Automatisering Af Hverdagen Programmering - Eksamensopgave 10-05-2011 Roskilde Tekniske Gymnasium (Kl. 3,3m) Mads Christiansen & Tobias Hjelholt Svendsen 2 Automatisering Af Hverdagen Indhold Introduktion:...
Læs mereMatematik B. Studentereksamen. Tirsdag den 27. maj 2014 kl stx141-MAT/B
Matematik B Studentereksamen 2stx141-MAT/B-27052014 Tirsdag den 27. maj 2014 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 15/16 Institution Horsens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik B Mette
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder
Matematisk modellering og numeriske metoder Morten Grud Rasmussen 14. september 016 1 Numerisk analyse 1.1 Grundlæggende numerik Groft sagt handler numerisk analyse om at bringe matematiske problemer på
Læs mereMatematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2. Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari
Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2 Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari Opgave 7 - Analytisk Plangeometri Delopgave a) Vi starter ud med at undersøge afstanden fra punktet P(5,4) til linjen
Læs mereAT-forløb Jordskælv i Chile 1.u
Kapitel 1 AT-forløb Jordskælv i Chile 1.u 1.1 Indgående fag I forløbet indgår fagene naturgeografi v. Mikkel Røjle Bruun (BR), samfundsfag v. Ann Britt Wolsing (AW) og matematik v. Flemming Pedersen (FP).
Læs mereFUNKTIONER. Eks. hvis man sætter 3 ind på x s plads bliver værdien 2*3 + 5 = 11. Sætter man 4 ind på x s plads vil værdien blive 2*4 + 5 = 13
En funktion beskriver, hvordan en afhængig variabel afhænger af en uafhængig variabel. Læringsmål Forstå koordinatsystemet Vide hvad 1. og 2. aksen er Vide at x er 1. akse og y er 2. akse Forståelsen for
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2010. Denne beskrivelse dækker efteråret 2011 og foråret 2012. Institution Roskilde Handelsskole
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Juni 2017 HANSENBERG
Læs mere