Planfejning. Skæring. Geometrisk skæring. Anvendelser
|
|
- Daniel Skov
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Plnfejning Skæring 1 2 Geometrisk skæring Anvenelser Afgørelse f om er fines skæringer lnt geometriske ojekter Bestemmelse f lle skæringsunkter Design f integreree kreslø: Løsningsmetoer: Rå krft Plnfejning (eng. lne swee) 3 Comutergrfik (fjernelse f skjulte linjer) 4
2 Skæring f vnrette og lorette linjestykker Rå krft lgoritme Givet: H = horisontle linjestykker V = vertikle linjestykker S = H! V n = ntllet f linjestykker, S Fin lle r f skærene linjestykker (uner ntgelse f, t er ikke er smmenflene linjestykker) for eh h in H for eh v in V if h intersets v reort(h, v) Algoritmen kører i O(n H " n V ) = O(n2 ) ti Men ntllet f skæringer kn være meget minre en O(n 2 ) Vi ønsker en utsensitiv lgoritme me køreti f(n, s), hvor s er ntllet f skæringer 5 6 Plnfejning Ænringer i orogen En loret feje-linje l fsøger områet fr venstre mo højre, strtene til venstre for lle intunkter Uner fsøgningen enyttes en orog, S, er ineholer lle e vnrette linjestykker, er skæres f l, sorteret i stigene rækkefølge me hensyn til eres y-koorint h 3 h 2 h 1 Et vnret linjestykke insættes i S, når l møer ets venstre eneunkt. Et vnret linjestykke fjernes fr S, når l møer ets højre eneunkt l S: () (h 3 )(h 1, h 3 ) (h 1, h 2, h 3 ) (h 2, h 3 ) (h 3 ) () 7 8
3 1-imensionl områesøgning enyttes til t estemme skæringer Hænelser og ktioner y 2 y 1 Når et loret linjestykke møes, foretges omåesøgning i S me et intervl, er er givet ve y-koorinterne for linjestykkets to eneunkter Hænelse Et venstre eneunkt for et vnret linjestykke h møes Et højre eneunkt for et vnret linjestykke h møes Et loret linjestykke v møes Aktion Insæt h i orogen S Fjern h fr orogen S Foretg områesøgning me intervlgrænser givet ve y-koorinterne for v s eneunkter 9 10 Dtstrukturer Tiskomleksitet Orogen skl inehole vnrette linjestykker skl muliggøre insættelse, fjernelse og områesøgning Løsning: et AVL-træ eller et rø-sort-træ (nøglerne er y-koorinterne) Sortering f hænelser O(n log n) Hænelser Venstre eneunkt for vnret linje Antl! n Ti for hver insættelse i S: O(log n) Hnlingslnen skl inehole x-koorinterne for hænelserne i en rækkefølge, e intræffer skl muliggøre et sekventiel gennemlø Højre eneunkt for vnret linje Loret linje Antl! n Ti for hver fjernelse fr S: O(log n) Antl! n Ti for områesøgning: O(log n + s h (v)) Løsning: et rry eller en liste, er er sorteret me hensyn til hænelsernes x-koorint Smlet tiskomleksitet: O(n log n + # v!v s h (v))) = O(n log n + s) 11 12
4 Konveks olygon Konvekst hylster En konveks olygon er en olygon uen skæringer, hvis inre vinkler lle er konvekse (.v.s. minre en " = 180 ) I en konveks olygon ligger ethvert linjestykke, er foriner to knuer, helt inen for olygonen forhining strt slut konveks ikke-konveks Konvekst hylster Det konvekse hylster for en mænge f unkter er en minste konvekse olygon, er ineholer unkterne Tænk å en elstik, er lægges strmt runt om unkterne Det konvekse hylster er et linjestykke To unkter Alle unkter ligger å linje Seiltilfæle Det konvekse hylster er et unkt Der er kun ét unkt Alle unkter er smmenflene 15 16
5 Anvenelser Plnlægning f evægelse Fin en otiml rute for en root, er ungår forhinringer Geometriske lgoritmer Bestemmelse f et konvekse hylster er en form for to-imensionl sortering Bestemmelse f et konvekse hylster Neenståene metoe estemmer et konvekse hylster for en mænge f unkter: Fse 1: Fin et lveste unkt (nkerunktet) Fse 2: Dn en ikke-skærene olygon ve t sortere unkterne imo uret runt om nkerunktet Fse 3: Så længe olygonen hr et ikke-konvekst hjørne, så fjern et strt forhinring slut Orientering Sortering efter vinkel Orienteringen f tre unkter i lnet er me uret, mo uret og å linje orienttion(,, ) me uret (CW, rej højre om) mo uret (CCW, rej venstre om) å line (COLL, ingen rejning) Orienteringen f tre unkter er krkteriseret ve fortegnet f eterminnten, hvis solutte væri er et oelte rel f treknten me hjørner, og x y 1!(,,) = x y 1 = x y " x y + x y " x y + x y " x y x y 1 CW!(,,) > 0 CCW!(,,) < 0 COLL!(,,) = 0 19 Bestemmelse f vinkler u fr koorinter er esværlig og fører til numerisk unøjgtighe Vi kn sortere unkterne efter eres vinkel me hensyn til nkerunktet ve hjæl f en omrtor-seret smmenligningsfunktion: < $ orienttion(,, ) = CCW = $ orienttion(,, ) = COLL > $ orienttion(,, ) = CW CCW COLL CW 20
6 Fjernelse f ikke-konvekse hjørner Grhm-fsøgning Afgørelse f, om hjørnet er konvekst, kn foretges ve rug f orienteringsfunktionen: L, og r være tre konsekutive hjørner for olygonen i rækkefølge mo uret konveks $ orienttion(,, r) = CCW ikke-konveks $ orienttion(,, r) = CW eller COLL Grhm-fsøgning er en systemtisk roeure til t fjerne ikke-konvekse hjørner fr en olygon Polygonen trverseres imo uret, og en sekvens H f hjørner veligeholes for eh vertex r of the olygon Let n e the lst n seon lst vertex of H while orienttion(,, r) = CW or COLL remove from H % % vertex reeing in H A r to the en of H r r r r r H H H Anlyse Bestemmelse f et konvekse hylster for en mænge f unkter tger O(n log n) ti: Bestemmelse f nkerunktet tger O(n) ti Nærmeste r f unkter Sortering f unkterne imo uret omkring nkerunktet tger O(n log n) ti Brug orienterings-omrtoren og en hvilken som helst sorteringslgoritme, er kører i O(n log n) ti (f.eks., he-sort eller merge-sort) Grhm-fsøgningen tger O(n) ti Ethvert unkt insættes neto en gng i sekvensen H Ethvert hjørne fjernes højest én gng fr sekvensen H 23 24
7 Nærmeste unkter Rå krft Beregn lle fstne og vælg en minste Givet en mænge, P, f n unkter i lnet (f.eks. yer i Dnmrk, omutere i et netværk, trnsistorer å en rintle) Fin to unkter, og, hvis inyres fstn, ist(, ), er miniml Algoritmer: rå krft O(n 2 ) lnfejning O(n log n) el-og-hersk O(n log n) (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) 1 2 Tiskomleksitet: O(n 2 ) ist( 1, 2 ) = (x 2! x 1 ) 2 + (y 2! y 1 ) Plnfejning Lgret informtion fejelinje Vi ehøver ikke t eregne lle fstne Plnfejning kn enyttes. Vi unytter følgene oservtion: Hvis et nærmeste r f unkter til venstre for fejelinjen hr en fstn å, kn et næste unkt, er møes f linjen ikke være nærmeste r me et unkt, er ligger mere en enheer til venstre for linjen Veligehol følgene informtion: nærmeste r (, ) f unkter, er er funet intil nu, smt eres fstn, ornet orog, S, f lle e unkter, er ligger i æltet me ree enheer til venstre for fejelinjen, iet eres y-koorint ruges som nøgle fejelinje 27 28
8 Otering Søgning i orogen Når fejelinjen møer et unkt, : (1) Fjern lle unkter, r, hvor x() - x(r) # (2) Fin et nærmeste unkt,, til ve søgning i S (3) Hvis ist(, ) <, så oter et ktuelt nærmeste r og (4) Insæt i S Hvor hurtigt kn vi søge i orogen? Bemærk: er kn være O(n) unkter i orogen! I steet for t søge i hele æltet, kn vi nøjes me t søge i en hlvirkel me entrum i og rius Søgning i orogen (fortst) Tiskomleksitet Hvorlees kn vi søge i en hlvirkel? Sortering f hænelser O(n log n) Et rektngel er næsten en hlvirkel Foretg en områesøgning i intervllet [y() -, y() + ] Hvert unkt insættes og fjernes Smlet ti for insættelse og fjernelse: fr S ræis en gng O(n log n) Brug rå krft til søgning lnt e unkter, er lev resulttet f områesøgningen Der søges i orogen, hver gng Hver foresørgsel tger O(log n + 6) ti et unkt insættes i S Smlet ti for foresørgsel: O(n log n) Kn er ikke være mnge unkter t søge i? 2 Afstnseregninger O(6n) Nej, områesøgningen kn lrig resultere i mere en 6 unkter (evis herfor seres å, t ethvert r f unkter i S hr en fstn å minst ) Smlet tiskomleksitet: O(n log n) 31 32
9 Del og hersk Del og hersk (2) P l P r Sorter unkterne efter eres x-koorint og oel unktmængen i to hlvele Det nærmeste r er i en f e to hlvele eller hr et unkt i hver f e to hlvele Fse 1: Sorter unkterne efter eres x-koorint Oel unktmængen i to hlvele: 1, 2,... n/2... n/2 + 1,..., n P l P r x 1 x 2 x n/2 x n/2+1 x n Del og hersk (3) Del og hersk (4) Fse 2: Bestem rekursivt e to nærmeste r og eres inyres fstne, l og r, i hver f e to hlvele Fin et nærmeste r og eres inyres fstn, m, i et entrle ælte f ree 2, hvor = min{ l, r } Returner min{ m, l, r } P l 2 P r For ethvert unkt i æltet unersøges fstnen til e unkter, er ligger i intervllet [y() -, y()] Der er højst 4 sånne unkter Benyt en liste f unkterne sorteret efter eres x-koorint og en liste f unkterne sorteret efter eres y-koorint Tiskomleksitet: Fse 1: Sortering: O(n log n) Fse 2: Rekursionsligning T(n) = 2T(n/2) + n. Vi får T(n) er O(n log n) Smlet ti: O(n log n) P l 2 P r 35 36
10 M. Esher: Conve n Convex 37
Geometrisk skæring. Afgørelse af om der findes skæringer blandt geometriske objekter Bestemmelse af alle skæringspunkter
Planfejning 1 Skæring 2 Geometrisk skæring Afgørelse af om der findes skæringer blandt geometriske objekter Bestemmelse af alle skæringspunkter Løsningsmetoder: Rå kraft Planfejning (eng. plane sweep)
Læs mereProjekt 7.3 Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter
Hv er mtemtik? Projekt 7.3 Firkntstrigonometri og Ptolemios sætning i ykliske firknter Trigonometrien til eregning f ukente vinkler, sier og reler for treknter er stort set utømt me ulening f sinusreltionerne,
Læs mereSkriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507)
Skriftlig Eksmen Algoritmer og Dtstrukturer (DM507) Institut for Mtemtik og Dtlogi Synsk Universitet, Oense Torsg en 26. juni 2008, kl. 9 3 Alle sævnlige hjælpemiler (lærebøger, notter, osv.) smt brug
Læs mereElementær Matematik. Ligninger og uligheder
Elementær Mtemtik Ligninger og uligheer Ole Witt-Hnsen 0 Inhol. Førstegrsligninger.... Nulreglen.... Uligheer og regning me uligheer.... Doeltuligheer.... Anengrsligningen... Ligninger og uligheer. Førstegrsligninger
Læs mereTrigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1
Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt
Læs mereGeometriske egenskaber & sammenhæng - Fase 3
Nvn: Klsse: Geometriske egensker smmenhæng - Fse 3 Vurdering fr 1 til 5 (hvor 5 er højst) Læringsmål Selv Lærer eviser og forslg til foredring 1. Jeg kender til og kn ruge Pythgors lærersætning. 2. Jeg
Læs mereTegning. Arbejdstegning og isometrisk tegning Perspektivtegning Ligedannede figurer Målestoksforhold Konstruktion
Tegning Arejs og isometrisk Perspektiv Ligennee figurer Målestoksforhol Konstruktion Hilsen fr Bornholm Østerlrs Runkirke Iso = ens Metri = mål : Erling Hgensen, www.merling.k Bivl og rejser Tegn en rejs
Læs mereMatematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c
Kompendium i fget Mtemtik Tømrerfdelingen 1. Hovedforlø. Trigonometri nvendes til eregning f snd længde og snd vinkel i profiler. Sinus Cosinus Tngens 2 2 + 2 2 os A os A 2 + 2-2 2 Svendorg Erhvervsskole
Læs mereUDLEJNINGSAFTALE MELLEM BOLIGFORENINGEN 3B & HERLEV KOMMUNE
UDLEJNINGSAFTALE MELLEM BOLIGFORENINGEN B & HERLEV KOMMUNE 017-019 B og Herlev Kommune hr ingået ftle om ulejning f B s oliger i Herlev Aftlen ygger på B s overornee prinip om t uleje leige oliger vi vores
Læs mereBrug af regneark til beregninger, statistik og grafisk afbildning. Excel 97
Brug f regnerk til eregninger, sttistik og grfisk filning Exel 97 pril 2003 * St Om vurering f tlmterile sie 1 I Definitioner BLOK En eller flere eller eller rækker eller kolonner MARKER BLOK Peg på øverste
Læs mereSøgning og Sortering. Søgning og Sortering. Søgning. Linæer søgning
Søgning og Sortering Søgning og Sortering Philip Bille Søgning. Givet en sorteret tabel A og et tal x, afgør om der findes indgang i, så A[i] = x. Sorteret tabel. En tabel A[0..n-1] er sorteret hvis A[0]
Læs mereElementær Matematik. Rumgeometri
Elementær Mtemtik Rumgeometri Ole Witt-Hnsen Køge Gmnsium 8 Inhol. Koorintsstem i rummet.... Vektorer i rummet.... Sklrproukt.... Prmeterfremstilling for en linie i rummet...5. Krsproukt f to vektorer...6.
Læs mereFormelsamling Matematik C Indhold
Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på esvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 9 Funktioner og modeller... Lineær funktion... Procentregning...
Læs mereMichel Mandix (2017) Derfor er der behov for en række værktøjer, som kan bruges også til de vilkårlige trekanter. a b c A B C
Mihel Mndix (07) Sinusreltionen Nott Side f 9 Sinusreltionen Indtil videre, er der kun eskrevet, hvordn mn eregner på retvinklede treknter. Men desværre er det lngtfr lle treknter, som er retvinklede.
Læs mereBinære søgetræer. Binære søgetræer. Nærmeste naboer. Nærmeste nabo
Philip Bille Nærmeste naboer. Vedligehold en dynamisk mængde S af elementer. Hvert element har en nøgle key[] og satellitdata data[]. operationer. PREDECESSOR(k): returner element med største nøgle k.
Læs mereTrigonometri. Matematik A niveau
Trigonometri Mtemtik A niveu Arhus Teh EUX Niels Junge Trigonometri Sinus Cosinus Tngens Her er definitionen for Cosinus Sinus og Tngens Mn kn sige t osinus er den projierede på x-ksen og sinus er den
Læs mereKortfattet vejledning Gallery 100
Kortfttet vejlening Gllery 100 75517500 04.01 OFF ON Beskrivelse f ispenserens komponenter Venstre ør Låg til ingreienseholer Ingreienseholer Sikkerheskontkt Sipleholer Uløstu Grumseholer Kneholer (= rist
Læs mereGeometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder:
Geometrinoter 2, jnur 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 2 Disse noter omhndler sætninger om treknter, trekntens ydre røringscirkler, to cirklers rdiklkse smt Simson- og Eulerlinjen i en treknt.
Læs mereVærdier og værdibaseret ledelse resultat af undersøgelse
Værier og væriseret leelse resultt f unersøgelse Af: Susnne Teglkmp, Direktør i Teglkmp & Co. I jnur og ferur måne 6 gennemførte Teglkmp & Co. en internetseret unersøgelse f Værier. Der inkom i lt 2 esvrelser.
Læs mereVådrumsvægge. Knauf Danogips letbygningsteknik, med flere forskellige pladeprodukter, muliggør sikre og gode løsninger til vådrum.
Inervægge / Funktionsvægge Vårumsvægge Knuf Dnogips letygningsteknik, me flere forskellige pleproukter, muliggør sikre og goe løsninger til vårum. Gulve og vægge skl uføres, så e kn mostå især e fugtmæssige,
Læs mereBogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a
Bogstvregning for gymnsiet og hf 010 Krsten Juul Til eleven Brug lynt og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt t slå op i under dit videre rejde med
Læs mereBinære søgetræer. Nærmeste naboer Binære søgetræer Indsættelse Predecessor og successor Sletning Trægennemløb. Philip Bille
Binære søgetræer Nærmeste naboer Binære søgetræer Indsættelse Predecessor og successor Sletning Trægennemløb Philip Bille Binære søgetræer Nærmeste naboer Binære søgetræer Indsættelse Predecessor og successor
Læs mereAlle rettigheder forbeholdes. Optryk, kopiering - også uddrag - er ikke tilladt uden forudgående indhentning af skriftlig tilladelse fra RHEINZINK
Prouktprogrm 2013 2013 RHEINZINK Dnmrk A/S Alle rettigheer foreholes. Optryk, kopiering - også urg - er ikke tillt uen forugåene inhentning f skriftlig tillelse fr RHEINZINK Dnmrk A/S Inholsfortegnelse
Læs mereSøgning og Sortering. Søgning Linæer søgning Binær søgning Sortering Indsættelsessortering Flettesortering. Philip Bille
Søgning og Sortering Søgning Linæer søgning Binær søgning Sortering Indsættelsessortering Flettesortering Philip Bille Søgning og Sortering Søgning Linæer søgning Binær søgning Sortering Indsættelsessortering
Læs mereDet dobbelttydige trekantstilfælde
Det dobbelttydige trekntstilfælde Heine Strømdhl, Københvns Kommunes Ungdomsskoler Formålet med denne rtikel er t formulere en meget simpel grfisk løsningsmetode til det dobbelttydige trekntstilfælde med
Læs mereSimple udtryk og ligninger
Simple udtryk og ligninger for gymnsiet og hf 0 Krsten Juul Indhold Rækkefølge f + og... Smle led f smme type... Gnge ind i prentes. del... Rækkefølge f og smt f + og... Gnge ind i prentes. del... Hæve
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
ksamen 06, side af sider anmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. ursusnavn: lgoritmer og datastrukturer ursus nr. 06. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed: timer
Læs mereBilag 1. Undertegnede ejer/ejere meddeler accept af, at HMN Naturgas I/S (ledningsejeren) har nedlagt en naturgasledning med tilbehør.
Bilag 1 Undertegnede ejer/ejere meddeler accept af, at HMN Naturgas I/S (ledningsejeren) har nedlagt en naturgasledning med tilbehør. Samtidig meddeles samtykke til, at følgende servitutbestemmelser kan
Læs mereSøgning og Sortering. Philip Bille
Søgning og Sortering Philip Bille Plan Søgning Linæer søgning Binær søgning Sortering Indsættelsesortering Flettesortering Søgning Søgning 1 4 7 12 16 18 25 28 31 33 36 42 45 47 50 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Læs mereIntegralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul
Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion
Læs mereGivet D [a, b] [c, d] og f : D R en funktion. 1
Oversigt S].,.,.3 Inelinger i to retninger S]. oule integrls over retngles Nøgleor og egreer oelt integrl Fuinis sætning Generelle områer Tpe I Tpe II egneregler Nem ulighe ( ij, ij ) Inelt rektngel, ],
Læs mereLinjer på skift. Figurer. Format 5. Nr. 15. a a Tegn AB, BC, AE, CD og CF, GH, GI. b Tegn de to parallelle linjestykker, der kan tegnes til GH.
Linjer på skift Nr. 15 Tegn B, BC, E, CD og CF, GH, GI. Tegn de to prllelle linjestykker, der kn tegnes til GH. c Hvd hedder de to linjestykker? d Tegn det vinkelrette linjestykke til GH, der endnu ikke
Læs mereMat. B (Sådan huskes fomlerne) Formler, som skal kunnes til prøven uden hjælpemidler
Mt. B (Sån huskes fomlerne) Formler, som skl kunnes til prøven uen hjælpemiler Inhol Her er tilføjet emærkninger til nogle f formlerne BRØKER... PARENTESER... EKSPONENTER... LOGARITMER... GEOMETRI... Arel
Læs mereProjekt 5.7 Hovedsætninger om differentiable funktioner et opgaveforløb
Hvd er mtemtik?, e-og Projekter: Kpitel 5 Projekt 57 Hovedsætninger om differentile funktioner Projekt 57 Hovedsætninger om differentile funktioner et opgveforlø Projektet er en udvidelse f fsnittet i
Læs mereMatematik - September 2001 Afleveret d. 27/4-2006
Matematik - September Afleveret. 7/ - 6 Opgave For at lave en paremeterfremstilling for en ret linje, så skal jeg bruge et punkt på linjen, og en retningsvektor. Punktet kener jeg a jeg får opgivet to
Læs mereMatematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge
Mtemtik B-A Trigonometri og Geometri Niels Junge Indholdsfortegnelse Indledning...3 Trigonometri...3 Sinusreltionen:...6 Cosinusreltionen...7 Dobbeltydighed...7 Smmendrg...8 Retvinklede treknter...8 Ikke
Læs mereRegneregler for brøker og potenser
Regneregler for røker og potenser Roert Josen 4. ugust 009 Indhold Brøker. Eksempler......................................... Potenser 7. Eksempler......................................... 8 I de to fsnit
Læs mereALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen,
INTRO Alger er lngt mere end ogstvregning. Alger kn være t omskrive ogstvtrk, men lger er f også t generlisere mønstre og smmenhænge, t eskrive smmenhænge mellem tlstørrelse f i forindelse med funktioner
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
side af 3 sider anmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 29. maj 203. ursusnavn: lgoritmer og datastrukturer ursus nr. 02326. jælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. et er ikke tilladt at medbringe
Læs mereUddannelsesordning for uddannelsen til CNC Tekniker
Uannelsesorning for uannelsen til CNC Tekniker 1. Ikrafttræelsesato: 1. august 2015 Ustet af et faglige uvalg for Metalinustriens Uannelser i henhol til bekentgørelse nr. 437 af 13/04/2015 om uannelsen
Læs mereOPVASKEMASKINE EIC 001 IT Brugs- og vedligeholdelsesanvisning
DK OPVASKEMASKINE EIC 001 IT Brugs- og veligeholelsesnvisning DK Opstilling og montering Mskinen Rengøring og særlig veligeholelse Fejlsøgning Informtion OPSTILLING OG MONTERING 1. Upkning Fjern en uvenige
Læs mereLektion 7s Funktioner - supplerende eksempler
Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Oversigt over forskellige tper f funktioner Omvendt proportionlitet og hperler.grdsfunktioner og prler Eksponentilfunktioner Potensfunktioner Lektion 7s Side
Læs mereCombi-dampapparat. Installationsvejledning 10013864-0AIDK-- Apparat Model Energitype Apparattype
Comi-mppprt Oversættelse f et originle okument 21-03-2014 Apprt Moel Energitype Apprttype FlexiComi Clssi 6.15, 6.21, 10.15, 10.21 Elektro Borpprt 20.15, 20.21 Ståene pprt 10013864-0AIDK-- -DK Prouent
Læs mereProjekt 1.1 Optimeringsproblemer i geometri eksperimenter og beviser
Hv er mtemtik? ISN 9788770668699 Projekt. Optimeringsprolemer i geometri eksperimenter og eviser Introuktion Projektet kn nvenes åe på og -niveu. et enkelte hol vil normlt ikke kunne nå t reje hele projektet
Læs mereInstitut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel
Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel. side Institut for Mtemtik, DTU: Gymnsieopgve Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel Littertur: H. Elrønd Jensen, Mtemtisk nlyse, Institut for Mtemtik,
Læs mereIntervalsøgning. Algoritmisk geometri. Motivation for intervaltræer. Intervalsøgning. Lad der være givet en database over ansatte i en virksomhed
Algoritmisk geometri Intervalsøgning 1 2 Motivation for intervaltræer Intervalsøgning Lad der være givet en database over ansatte i en virksomhed Ansat Alder Løn Ansættelsesdato post i databasen Vi kan
Læs mereElementær Matematik. Trigonometri
Elementær Mtemtik Trigonometri Ole Witt-Hnsen 11 Indhold 1. Vinkler...1. Sinus, osinus og tngens...3.1 Overgngsformler...4 3. Den retvinklede treknt...6 4. Den lmindelige treknt. Sinus og osinus reltionerne...8
Læs mereAlgoritmisk geometri
Algoritmisk geometri 1 Intervalsøgning 2 Motivation for intervaltræer Lad der være givet en database over ansatte i en virksomhed Ansat Alder Løn Ansættelsesdato post i databasen Antag, at vi ønsker at
Læs mereFigurer. Planere: glatte, udjævne. Linjer. EB og AI, GK og HJ, MO og NP. Linjer. Vinkler Plane figurer Flytninger. 2 Linjestykker. 1 Hvad husker I?
Figurer Linjer Vinkler Plne figurer Flytninger Plnere: gltte, udjævne 1 Hvd husker I? 2 2 Linjestykker Fortsæt sætningerne. En linje er... Et linjestykke er... Tegn linjestykkerne: I, C, CE, F og FI. b
Læs mereBinære søgetræer. Binære søgetræer. Nærmeste naboer. Nærmeste nabo
Philip Bille er. Vedligehold en dynamisk mængde S af elementer. Hvert element har en nøgle x.key og satellitdata x.data. operationer. PREDECESSOR(k): returner element x med største nøgle k. SUCCESSOR(k):
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
side af 2 sider anmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 23. maj 20. Kursusnavn: lgoritmer og datastrukturer Kursus nr. 02326. Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: lle skriftlige hjælpemidler.
Læs mere1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º).
Mtemtik på VU Eksempler til niveu F, E og D Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus ved først t tegne vinklen i et koordint-system som vist til venstre. Derefter
Læs mereOpgave 1 ( Toppunktsformlen )
Opgve 1 ( Toppunktsformlen ) Et nengrspolynomium er givet ve f x x 2 b x c. For t fine toppunktet vil vi først ifferentiere f x Derefter løser vi ligningen f ' x x b f ' x 0 x b 0 x b D f ' x x b er en
Læs mereAlgoritmer og Datastrukturer 2. Gerth Stølting Brodal
Algoritmer og Dtstrukturer Gerth Støltig Brodl Algoritmer og Dtstrukturer Algoritme Desig Tekikker ( uger) Del-og-komier Grf-lgoritmer (3 uger) Korteste veje Streg-lgoritmer ( uge) Møstergekedelse Dymisk
Læs mereADVARSEL angiver, at der er en potentielt farlig situation, som kan resultere i dødsfald eller alvorlige personskader.
Hurtig instlltionsvejlening Strt her DCP-7055 / DCP-7057 DCP-7060D / DCP-7065DN Læs venligst foleren Sikkerhe og juriisk informtion, før u opsætter mskinen. Læs erefter Hurtig instlltionsvejlening for
Læs mereFormelsamling i Matematik på C og B og A niveau Dette er en formelsamling der er under konstant udvikling Så hvis du har ønsker til denne så sig til
Niels Junges formelsmling Formelsmling i Mtemtik på C og B og A niveu Dette er en formelsmling der er under konstnt udvikling Så hvis du hr ønsker til denne så sig til Indhold Tble of Contents Specielle
Læs mereEksponentielle Sammenhænge
Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....
Læs mereFejlforplantning. Landmålingens fejlteori - Lektion 9 - Repetition - Fejlforplantning. Kovariansmatrix. Kovariansmatrix
Fejlforplntning Lndmålingens fejlteori Lektion 9 Repetition - Fejlforplntning Ksper K Berthelsen - kk@mthudk http://peoplemthudk/ kk/undervisning/lf11 Institut for Mtemtiske Fg Alorg Universitet Lndmåling
Læs mereIntegration ved substitution og delvis (partiel) integration
DEN TEKNISK-NATURVIDENSKABELIGE BASISUDDANNELSE MATEMATIK INTEGRATION EFTERÅRET Integrtion ved sustitution og delvis (prtiel) integrtion Differentil- og integrlregningens hovedsætning lyder: Hvis ƒ er
Læs mereAlgoritmer og Datastrukturer 2. Gerth Stølting Brodal
Algoritmer og Dtstrukturer Gerth Støltig Brodl Algoritmer og Dtstrukturer Algoritme Desig Tekikker ( uger) Del-og-komier Grf-lgoritmer (3 uge) Korteste veje Streg-lgoritmer ( uge) Møstergekedelse Dymisk
Læs mereMattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2-3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum
Mttip om Vinkler 2 Du skl lære om: Polygoner Kn ikke Kn næsten Kn Ligesidede treknter Grdtl og vinkelsum Ligeenede og retvinklede treknter At forlænge en linje i en treknt Tilhørende kopier: Vinkler 2-3
Læs mereSkriftlig Eksamen DM507 Algoritmer og Datastrukturer
Skriftlig Eksmn DM507 Algoritmr og Dtstrukturr Institut for Mtmtik og Dtlogi Synsk Univrsitt, Ons Onsg n 13. juni 2012, kl. 10:00 14:00 Bsvrlsn skl flvrs lktronisk. S vjlning usnt i kurst. All hjælpmilr
Læs mereDiagrammer for kortslutningsholdbarhed iht. DIN EN /IEC Verifikation af spændingssikkerhed
Typtstt ftr DN EN 439-1 hnhol til n systmtyptst lv følgn fprøvningr gnnmført m RiLin skinnsystmr smt rpræsnttiv RiLin påygningskomponntr: Strømforling Digrr for kortslutningsholrh iht. EC Digrr for kortslutningsholrh
Læs mereRetningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde
Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen 016. runde Besvrelser som flder uden for de løsninger som ligger til grund for pointskemerne, bedømmes ved nlogi så skridt med tilsvrende vægt i den
Læs mereMattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2 og 3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum
Mttip om Vinkler 2 Du skl lære om: Polygoner Kn ikke Kn næsten Kn Ligesidede treknter Grdtl og vinkelsum Ligeenede og retvinklede treknter At forlænge en linje i en treknt Tilhørende kopier: Vinkler 2
Læs mereACO Afvandingsløsninger
ACO Afvningsløsninger B o l i g g u l v f l ø Rustfrit stål AISI 304-316 Ti ACO EG150 Boliggulvflø www.o.k ACO STAINLESS EG 150 Boliggulvflø til eton og flisegulve Forkortelser til typeetegnelser: V =
Læs mereMatematik D. Almen voksenuddannelse. Skriftlig prøve. Torsdag den 18. maj 2017 kl AVU172-MAT/D. (4 timer)
Matematik D Almen voksenuannelse Skriftlig prøve (4 timer) AVU172-MAT/D Torsag en 18. maj 2017 kl. 9.00-13.00 Opgaver fra erhvervsuannelserne Matematik niveau D Skriftlig matematik Opgavesættet består
Læs mereTAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme.
TAL OG REGNEREGLER Inden for lgeren hr mn indført egreet legeme. Et legeme er en slgs konstruktion, hvor mn fstsætter to regneregler og nogle sætninger (ksiomer), der gælder for disse. Pointen med en sådn
Læs mereFormelsamling Matematik C Indhold
Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på besvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 0 Funktioner og modeller... 3 Lineær funktion... 3 Procentregning...
Læs mere3. Vilkårlige trekanter
3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke
Læs mereMATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)
Silkeorg -0- MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) FACITLISTE Udrejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed: timer Vægtning
Læs mereI kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber:
INTRO I kpitlet skl eleverne lære om plne og rumlige igurers egensker og om eres nvenelse som geometriske moeller. I en orinelse kommer e l.. til t eskætige sig me eregninger omkres, rel og rumng, me grunplnstegninger
Læs mereUDLEJNINGSAFTALE MELLEM BOLIGFORENINGEN 3B & BALLERUP KOMMUNE
UDLEJNINGSAFTALE MELLEM BOLIGFORENINGEN 3B & BALLERUP KOMMUNE 017-019 3B og Bllerup Kommune hr ingået ftle om ulejning f 3B s oliger i Bllerup Fleksiel ulejning i Bllerup Kommune Aftlen ineærer lnt net,
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Eksamen 02105, F14 side 1 af 14 Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 22. maj 2014. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer 1 Kursusnummer: 02105 Hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Det
Læs mereProdukter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock
Produkter af vektorer i dimensioner Peter Harremoës Niels Brock Septemer 00 Indledning Disse noter er skrevet som supplement og delvis erstatning for tilsvarende materiale i øgerne Mat B og Mat A. Vi vil
Læs mereHvad ved du om mobning?
TEST: Hvd ved du om moning? I testen her kn du fprøve, hvor meget du ved om moning på rejdspldsen. Testen estår f tre dele: Selve testen, hvor du skl sætte ét kryds for hvert f de ti spørgsmål. Et hurtigt
Læs merePotens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul
Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
ksamen 036, side af sider anmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 3. maj 0. Kursusnavn: lgoritmer og datastrukturer Kursus nr. 036. Varighed: timer Tilladte hjælpemidler: lle skriftlige hjælpemidler.
Læs mereFormelsamling Mat. C & B
Formelsmling Mt. C & B Indhold BRØER... PARENTESER...3 PROCENT...4 RENTE...5 INDES...6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter... Vilkårlig treknt... Ret- vinklet treknt...8
Læs mereSAMLEANVISNINGER. Multi Line 6 x10 315x193x203cm / 124 x76 x80. Danish - 68463. web site: www.jemfix.com e-mail: info@jemfix.com
SAMLEANVISNINGER Multi Line 6 x10 315x193x203cm / 124 x76 x80 Dnish - 68463 we site: www.jemfix.com e-mil: info@jemfix.com VIGTIGT Læs instruktionerne omhyggeligt, inden du egynder t smle dette drivhus.
Læs mereTrigonometri FORHÅNDSVIDEN
Trigonometri I dette kpitel skl du rejde med trigonometri. Ordet trigonometri stmmer fr græsk og etyder trekntsmåling. Den mtemtik, der ligger g trigonometrien, hr du llerede rejdet med. Det drejer sig
Læs mereMarius tanker. Af Hans Marius Kjærsgaard. - I et vektorfelt
Marius tanker Af Hans Marius Kjærsgaar - I et vektorfelt Inholfortegnelse Introuktion... Problemformulering... Introuktion til funktionsmænger... 3 Grafisk repræsentation og samlingspunkter... 3 Sti-optimering
Læs mereSetup til kalibrering af Clamp on-flowmålere
Setup til klirering f Clmp on-flowmålere Decemer 2018 Rpportforftter: Anders Niemnn, Teknologisk Institut Introduktion Ultrlyds-clmp-on flowmåling er en teknik, hvor mn ved hjælp f to trnsducere monteret
Læs mereSpil- og beslutningsteori
Spil- og eslutningsteori Peter Hrremoës Niels Brock 26. novemer 2 Beslutningsteori De økonomiske optimeringssitutioner, vi hr set på hidtil, hr været helt deterministiske. Det vil sige t vores gevinst
Læs mereAarhus Universitet - Laboratoriekompleks - inano Center
Arhus Universitet, Lortoriekompleks inno Center Skitseprojekt. 16. septemer 2010 Beskrivelse se fde udsnit nord Udsmykningen indeftter: 2 stk. udsmykkede glsprtier á 2 x 12,62 x 4,40 m. 3 stk. emlede srør
Læs mereMedfølgende blækpatroner. Produktsikkerhedsguide Cd-rom* Strømkabel Telefonledning
Hurtig instlltionsvejlening Strt her MFC-J6920DW Læs Prouktsikkerhesguien, før u konfigurerer in mskine. Læs erefter enne Hurtige instlltionsvejlening for korrekt opsætning og instlltion. ADVARSEL FORSIGTIG
Læs mereMatematikkens sprog INTRO
Mtemtikkens sprog Mtemtik hr sit eget sprog, der består f tl og symboler fx regnetegn, brøkstreger bogstver og prenteser På mnge måder er det ret prktisk - det giver fx korte måder t skrive formler på.
Læs mereAnalysens Fundamentalsætning
Anlysens Fundmentlsætning Frnk Nsser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs merePointen med Integration
Pointen med Integrtion Frnk Vill 3. oktober 2012 2008-2012. IT Teching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere
Læs mereTilslutningsvejledning
Sie 1 af 6 Tilslutningsvejlening Unerstøttee operativsystemer Ve hjælp af software-'en kan u installere printersoftwaren på følgene operativsystemer:.1 Winows Server 2012 R2 Winows 7 SP1 Winows Server
Læs merePointen med Integration
Pointen med Integrtion Frnk Nsser 20. pril 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en
Læs mereEt udvalg af funktionerne tegnet på grafregneren (eller her med Derive)
GDS, opgve 85 En strt på opgven (undervisnings- og tvleprotokol): En milie unktioner hr orskrit 4 ( ) + R, Et udvlg unktionerne tegnet på grregneren (eller her med Derive) Værdier tllet, or hvilke hr henholdsvis
Læs mereMåling. Omkreds Areal Rumfang Enheder Regnehistorier. 1 Mål og omskriv Mål trælisterne i centimeter, og omskriv til decimeter og centimeter.
Måling Omkreds Arel Rumfng Enheder Regnehistorier Milli =. 000 Centi = Dei = = 0,00 00 = 0,0 0 = 0, entimeter m kvdrtentimeter m 2 kuikentimeter m I det 8. århundrede lev måleenheden meter opfundet i Frnkrig.
Læs mereSPECIALFORMSTYKKER BESTILLING AF SPECIALFORMSTYKKER PLASTMO.DK
SPEILFORMSTYKKER ESTILLING F SPEILFORMSTYKKER PLSTMO.K PLSTMO INHOL I denne PF finder du mange af de specialformstykker, som du skal bruge for at kunne løse specielle tagrendeprojekter for dine kunder.
Læs mereInterferens og gitterformlen
Interferens og gitterformlen Vi skal stuere fænomenet interferens og senere bruge enne vien til at sige noget om hva er sker, når man sener monokromatisk lys, altså lys me én bestemt bølgelænge, igennem
Læs mereParallelle algoritmer
Parallelle algoritmer 1 Von Neumann s model John von Neumann 1903-57 Von Neumanns model: Instruktioner og data er lagret i samme lager, og én processor henter instruktioner fra lageret og udfører dem én
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
side af 2 sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 26. maj 2009. Kursusnavn Algoritmik og datastrukturer I Kursus nr. 0205. Tilladte hjælpemidler: Alle skriftlige hjælpemidler. Vægtning
Læs merePlantehoteller 1 Resultater og konklusioner
Plntehoteller 1 Resultter og konklusioner Hvid mrguerit 1. Umiddelrt efter kølelgring i op til 14 dge vr den ydre kvlitet ikke redueret 2. Mistede holdrhed llerede efter 7 dges kølelgring ved 4ºC og lv
Læs mereEffektforbrug ved drift Effektforbrug i hvilestilling. Paralleldrift Funktionsdata Kraft [N] 2000 N
eknisk dtld Motor for -vejs og -vejs sædeventiler med sikkerheds-funktion Krft 000 N Nominel spænding AC 0 V -punkt styring Nominel slglængde mm års levetid for SuperCps ekniske dt Elektriske dt Nominel
Læs mere