Givet D [a, b] [c, d] og f : D R en funktion. 1

Transkript

1 Oversigt S].,.,.3 Inelinger i to retninger S]. oule integrls over retngles Nøgleor og egreer oelt integrl Fuinis sætning Generelle områer Tpe I Tpe II egneregler Nem ulighe ( ij, ij ) Inelt rektngel, ], ] Clulus - Uge. - Clulus - Uge. - Integrlet i to vrile S]. oule integrls over ret... Fuini: Alle veje fører til om S]. Iterte integrls efinition Givet rektnglet, ], ]. oelt integrlet f en funktion f : er f(, )A Når grænseværien eksisterer. lim m m,n i j n f( ij, ij ) A Sætning (Fuinis sætning) L, ], ] og ntg f : er kontinuert. Så er oeltintegrlet lig e itereree integrler og f(, ) A f(, ) A f(, ) f(, ) Clulus - Uge. - 3 Clulus - Uge. - Generelle områer Generelle områer efinition Givet, ], ] og f : en funktion. { f(, ) hvis (, ) F (, ) hvis (, ), ], ]\, ], ] oeltintegrlet er f(, )A F (, )A Clulus - Uge. - Clulus - Uge. - Volumen Tpe I Bemærkning Givet et områe og en positiv f :. Legemet i 3 E {(,, z) (, ), z f(, )} g () hr volumen V givet ve oeltintegrlet V f(, )A g () Områe f Tpe I {(, ), g () g ()} Clulus - Uge. - 7 Clulus - Uge. - 8

2 Tpe I Tpe I Tpe I integrl 3 For f givet på {(, ), g () g ()} er integrlet et itereret integrl f(, )A g() g() f(, ) Eksempel på Tpe I mængen f(, ) + {(, ), + } oelt integrlet eregnes itereret f(, )A + ( + ) Clulus - Uge. - 9 Clulus - Uge. - Tpe I Tpe I Eksempel - figur + {(, ), + } Clulus - Uge. - Eksempel - fortst ( + )A + ] + + ( + ) (( + ) + ( + ) ( ) ( ) ) ( ) Clulus - Uge. - ] Tpe II Tpe II Tpe II integrl For f givet på {(, ), h () h ()} er integrlet et itereret integrl h () h () f(, )A h() h() f(, ) Områe f Tpe II {(, ), h () h ()} Clulus - Uge. - 3 Clulus - Uge. - Tpe II Tpe II Eksempel på Tpe II mængen f(, ) + Eksempel - figur {(, ), } oelt integrlet eregnes itereret f(, )A ( + ) {(, ), } Clulus - Uge. - Clulus - Uge. -

3 Tpe II Tpe I Eksempel - fortst ( + )A ] ( + ) ( 3 3/ + / 3 3 ) / + 7 7/ 3 ] 9 3 Eksempel på Tpe I mængen f(, ) + {(, ), } oelt integrlet eregnes itereret f(, )A ( + ) Clulus - Uge. - 7 Clulus - Uge. - 8 Tpe I Tpe I Eksempel - figur Eksempel - fortst ( + )A + 3 ] 3 ( + ) ( () + 3 ()3 ( ) 3 ( ) 3 ) ] {(, ), } 3 Clulus - Uge. - 9 Clulus - Uge. - Tpe II Tpe II Eksempel 3 på Tpe II mængen f(, ) Eksempel 3 - figur 3 3 {(, ), 3 + } oelt integrlet eregnes itereret f(, )A {(, ), 3 + } Clulus - Uge. - Clulus - Uge. - Tpe II Volumen f hjørne Eksempel 3 - fortst A ] + 3 ( ) ] Hjørne (Se også eksempel ) Givet treknten {(, ), } Et hjørne me kntlænger,, > er givet ve E {(,, z) (, ), z } Vis t volumenet V Clulus - Uge. - 3 Clulus - Uge. -

4 Hjørne Volumen f hjørne Hjørne - figur z Hjørne - fortst {(, ), } {(, ), } E {(,, z) (, ), z } er en Tpe I mænge. Volumenet f hjørnet er V ( ) A ( ) Clulus - Uge. - Clulus - Uge. - Tpe I Volumen f kile Hjørne - fortst V ( ) A ( ) ( )3 ] ] ( ) Kile (Se også opgve ) Givet hlvirklen {(, ), } En kile er givet ve Fin volumenet V. E {(,, z) (, ), z } Clulus - Uge. - 7 Clulus - Uge. - 8 Kile Volumen f kile Kile - figur z Kile - fortst {(, ), } er en Tpe I mænge. Volumenet f kilen er V A {(, ), } E {(,, z) (, ), z } Clulus - Uge. - 9 Clulus - Uge. - 3 Tpe I egneregler Kile - fortst V A ] ( ) ] egneregler for oeltintegrl (f(, ) + g(, ))A f(, )A + g(, )A 7 f(, )A f(, )A Hvis f(, ) g(, ), så er 8 f(, )A g(, )A Clulus - Uge. - 3 Clulus - Uge. - 3

5 Opelt områe S].3 oule integrls over generl regions egneregler for oeltintegrl Hvis områet er opelt i,, så er 9 f(, )A f(, )A + f(, )A Opelt områe Cirkelring opelt som to Tpe I områer Cirkelring opelt som to Tpe II områer Clulus - Uge Clulus - Uge. - 3 Arel Nttig ulighe efinition (Arel som oeltintegrl) Arelet f et områe er A() A Bemærk A() A A ( i, j ) Sætning (Ulighe om rel) Hvis m f(, ) M så er ma() f(, )A MA() Bemærk Følger f regneregler for integrl og relformlen ovenfor. Clulus - Uge. - 3 Clulus - Uge. - 3 Et slg på tsken Eksempel på irkelskiven sin() os() f(, ) e {(, ) + } Funktionen vureres e e sin() os() e oelt integrlet vureres e π e sin() os() A eπ Clulus - Uge. - 37