Elementær Matematik. Rumgeometri

Transkript

1 Elementær Mtemtik Rumgeometri Ole Witt-Hnsen Køge Gmnsium 8

2 Inhol. Koorintsstem i rummet.... Vektorer i rummet.... Sklrproukt.... Prmeterfremstilling for en linie i rummet...5. Krsproukt f to vektorer...6. Den geometriske fortolkning f krsprouktet Afstn fr punkt til en linie i plnen Ligning for en pln. Afstn fr et punkt til en pln Prmeterfremstilling for plnen Vinklen mellem to plner skæring mellem to plner Vinkel mellem vektor og pln Afstnen mellem to vinskæve linier Afstn fr linie til et punkt i rummet...5. Projektion f vektor på en pln...6. Kuglen...7. Rumfng og rumproukt...8. Tre ligninger me tre uekente...

3 Rumgeometri. Koorintsstem i rummet På smme måe som mn i plnen fstlægger et koorintsstem ve ortogonle kser så fstlægger mn et koorintsstem i rummet som ortogonle kser me fælles egnelsespunkt. I plnen vælger mn -ksen og -ksen sålees t -ksen er rejet 9 i forhol til -ksen. I rummet fstlægges -ksen og -ksen på smme måe men sålees t -ksen smmen me - ksen og -ksen nner en højreskrue. Højreskrue eter t ve en rejning me højre hån fr -ksen til -ksen vil -ksen ligge i tommelfingerens retning. I rummet hr et punkt P tre koorinter som svrer til projektionen f P på e tre kser - helt på smme måe som et er tilfælet me projektionen på to kser i plnen.. Vektorer i rummet Angåene nottion: I mtemtisk littertur kn mn ngive en vektor som et ogstv me en pil over eller ve et fremhævet ogstv. De to smoler og hr erfor smme etning. Vi vil herefter nvene egge nottioner når et ikke kn give nlening til misforståelser. For vektoren er foriner to punkter A og B skriver mn og lti AB. I et følgene vil vi gøre ustrkt nvenelse f neenståene konsttering som erfor er vigtigt t notere sig. Der er ingen prinipiel forskel på vektorer i plnen og i rummet så længe højst to vektorer er involveret. To egentlige ikke prllelle vektorer uspæner lti en pln som mn kn vælge som - -plnen. Vi hr tiligere vist t lle egensker ve vektorer i plnen er ufhængige f koorintsstemet. Derfor kn vi umielrt overtge lt hv er gæler for to vektorer i plnen til to vektorer i rummet.

4 Rumgeometri Koorinterne til et punkt P i rummet er projektionen f P på hver f e koorintkser helt på smme måe som et er tilfælet i plnen hvor er projektionen f et punkt P på hver f e to koorintkser. Se figuren ovenfor. På smme måe som mn i plnen infører sisvektorerne i og j infører mn i rummet sisvetorer i j og k. De er ortogonle enhesvektorer ensrettet me hver f e koorintkser og. Herefter kn vi estemme koorinterne til en vektor. En vektor nringes me egnelsespunkt i sålees t for Stevektoren til punktet P. OP. OP kles som hitil Projektionen f P på - plnen etegnes Q. Projektionen f P på -ksen etegnes T. Projektionen f Q på -ksen og -ksen etegnes henholsvis R og S. Nu er et inlsene t OR OQ i OS OR OS j og erme som et lti gæler i -plnen i j Af figuren fremgår enviere t QP OT k og t OP OQ QP. Der gæler sålees.. OP OQ OT OS OR OT i j k Fremstillingen f OP ve hjælp f e sisvektorer er entig. Koorinterne til vektoren er erfor. Ofte skriver mn koorinterne på "højknt". Dette vil vi og ikke lt gøre f tpogrfiske grune. OP til punktet hr smme ko- Vi ser t et ligesom i plnen gæler t et punkt P og stevektoren orinter. U fr opløsningen f en vektor i sisvektorer i j k og i j k og u fr regnereglerne for vektorer i plnen er et lige til t inse t vektorerne hr koorinterne. og

5 Rumgeometri. og I øvrigt gæler lle e regneregler vi kener for vektorer i plnen. Hvis er er givet to punkter A og B kn mn estemme koorinterne til en vektor som foriner A og B på følgene måe:.4 OB OA AB AB OB OA AB Altså enepunktets koorinter minus egnelsespunktets koorinter. Fulstænig nlogt til en formel som vi kener fr vektorer i plnen.. Sklrproukt Sklrprouktet er kent fr vektorer i plnen. Om sklrprouktet for vektorer i plnen ve vi.5 osv Hvor v er vinklen mellem e to vektorer. D e to vektorer uspæner en pln kn vi uen viere overtge og nvene enne efinition f sklrproukt i rummet. Enviere gæler for sklrprouktet for vektorer i plnen en kommuttive og en istriutive lov..6 I rummet kn en siste f e to reltioner reltivt nemt vises geometrisk iet en følger f t summen f projektionerne f og på er lig me projektionen f sumvektoren. I plnen efineree vi sklrprouktet givet ve ets koorintutrk. Hvis og så er:. I rummet vil vi i steet nvene en geometriske efinition.5 og erfr ulee et koorintutrk for sklrprouktet f to vektorer. D e sisvektorer i j og k er inres ortogonle enhesvektorer gæler ifølge.5: i i j j k k og i j j k i k. L e to vektorer være givet ve koorintutrkkene: og eller utrkt ve sisvektorerne: i j k og i j k

6 Rumgeometri 4 Ve uregning f sklrprouktet i j k i j k vil lningsproukterne mellem lle sisvektorerne live sisvektorerne er ortogonle mens e resterene sklrproukter vil live. Sklrprouktet liver sålees ikke overrskene..7 Reltionen følger f også f efinitionen på sklrproukt og kn overtges uænret fr vektorer i plnen. For kvrtet på længen f en vektor finer mn:.8 ltså selve længen f vektor er kvrtroen f enne størrelse..9 Afstnen mellem punkterne A og B er et smme som længen f vektoren AB Herf fås fstnsformlen hvor mn i formlen hr ttet om på rækkefølgen f 'erne og 'erne. Dist A B AB For osinus til vinklen v mellem to vektorer gæler ifølge efinitionen.5 som hitil. os v For projektionen f vektor på vektor er formlen ligelees uænret i rummet selv om sklrprouktet og længen f vektorerne uregnes på en nen måe..

7 Rumgeometri 5. Eksempel. Vi vil estemme koorinterne til en vektor som foriner punkterne A-64 og B-7. Ifølge.4 får mn AB AB Længen f enne vektor er Eksempel. Vi vil estemme vinklen mellem vektorerne -45 og -. Ifølge.5 osv finer mn 68 os v v Prmeterfremstilling for en linie i rummet I plnen lev liniens ligning fstlgt ve et punkt på linien og en normlvektor til linien. Dette kn ikke enttes for en linie i rummet fori en sån linie hr uenelig mnge ikke prllelle normlvektorer. I steet vil vi krkterisere linien ve et punkt P på linien og en retningsvektor for linien. En retningsvektor r r r r er en egentlig vektor som er prllel me linien. Vi utrkker i steet for t et punkt P ligger på linien l hvis og kun hvis er fines et tl t sålees t P P t r t r r r Herf følger liniens prmeterfremstilling. t etegnes prmeteren. Alle punkterne på linien fremkommer når t gennemløer e reelle tl. Speielt er PP for t. Koorinterne til liniens prmeterfremstilling er skrevet u neenfor

8 Rumgeometri 6. r r r t og skrevet u for hver koorint finer mn: ; ; r t r t r t.4 Eksempel Fin en prmeterfremstilling for linien me retningsvektor --5 og som går gennem punktet P-6. Vi kn irekte opskrive efter. 5 6 t.5 Eksempel Fin en prmeterfremstilling for linien er går gennem punkterne A-6 og B5-. En retningsvektor for linien er AB Herf fås prmeterfremstillingen t. Krsproukt f to vektorer For to vektorer og i rummet efinerer mn et såklt krsproukt eller vektorproukt - som en vektor er for egentlige ikke prllelle vektorer er vinkelret på såvel som sålees t og nævnt i enne rækkefølge nner en "højreskrue". Begreet højreskrue refererer til en måe mn i lminelighe vælger et -retvinklet koorintsstem. Ufører mn me højre hån en numerisk minste rejning v fr til så ligger i tommelfingerens retning. Længen f krsprouktet er efineret ve en geometriske formel.. sin v. Vil og ikke nvene enne efinition irekte men i steet forsøge t estemme et koorintutrk for krsprouktet. Senere viser vi t koorintefinitionen er i overensstemmelse me en geometriske efinition ovenfor. Vi stiller os erfor opgven:

9 Rumgeometri 7 For to egentlige ikke prllelle vektorer og vil vi estemme en vektor som står vinkelret på såvel og. Dette kn utrkkes ve t e to sklrproukter me skl være. og Skrevet op i koorinter får mn ligningerne: og Ve t fltte leet me over på en nen sie f lighestegnet får mn ligningerne. - - Dette kn vi etrgte som to ligninger me to uekente som kn løses på sævnlig vis me eterminntmetoen. Før vi gør ette vil vi og lige væle ve etingelsen t vektorerne og ikke må være prllelle. At to egentlige vektorer og er prllelle er ensetene me t er fines et tl t sålees t t. Skrevet u i koorinter: t. Dette kn umøntes i ligninger. t og t og t Opftter mn isse koorintsæt som koorinter til vektorer i plnen læser mn t i hvert f e tilfæle vektorerne er prvis prllelle. For egentlige vektorer hr vi tiligere vist t ette er ensetene me t eres eterminnt er nul. De ligninger kn erfor skrives:. Vi hr her skrevet koorinterne på "højknt" som mn i lminelighe gør for vektorer men eterminnten er ufornret en smme hvis mn skriver koorinterne vnret..4 Vi rekpitulerer: To egentlige vektorer og i rummet er prllelle hvis og kun hvis e eterminnter ovenfor lle er nul. Vi vil nu løse ligningssstemet. me eterminntmetoen. Vi miner om løsningsformlen som lev ulet uner vektorregningen. Ligningssstemet:

10 Rumgeometri 8 me eterminnten: D hr netop en løsning hvis D.4 og Anvenes enne løsningsformel på ligningssstemet. finer mn : Vi hr ntget t vektorerne og ikke er prllelle men erfor kn nævner eterminnten D got være. I ette tilfæle kunne vi så løse ligningssstemet. me hensn til og eller me hensn til og. Alle e tre nævner eterminnter kn ikke være nul hvis linierne ikke er prllelle så vi ntger t nævnereterminnten overfor er forskellig fr. Minustegnet på en søjle kn fjernes ve t mn tter om på e to søjler og mn kn fltte som er en konstnt fktor i en søjle uen for eterminntsmolet. Enelig omtter vi og i nævner eterminnten. Herf finer mn: eller me inlsene etegnelser for e tre eterminnter. For enhver væri f forskellig fr nul vil være en vektor er er vinkelret på såvel som. Vælger vi nu speielt så er givet ve utrkket:.5 Utrkket hr nogle ehgelige smmetriegensker og et er enne vektor som mn efinerer som krsprouktet f og. Vi viser neenfor t ette er i overensstemmelse me en geometriske efinition. Mn emærker t et netop er e eterminnter fr.4 som ingår i utrkket og erme t krsprouktet nulvektoren hvis og kun hvis vektorerne og er prllelle.

11 Rumgeometri 9.6 Eksempel Fin krsprouktet mellem vektorerne - 4 og - 5. Ifølge.5 får mn Den geometriske fortolkning f krsprouktet Vi vil vise t længen f krsprouktet er lig me relet f et prllellogrm som uspænes f vektorerne og ltså t:. sin v hvor v er vinklen mellem e to vektorer og v 8. Vi skl her nvene t længen og retningen f er ufhængig f vlget f koorintsstem. At retningen er et følger f en geometriske efinition og sætningen ovenfor verører kun længen f vektorer som er ufhængig f koorintsstem. Vi vil nu uregne i et koorintsstem hvor - plnen er smmenflene me en pln er uspænes f og. D står vinkelret på enne pln hr en kun en komposnt lngs - ksen vs. og koorinterne er. Ifølge formlen for krsprouktet ses et t -koorinten netop er lig me eterminnten for e to vektorer og i - plnen. Vi hr tiligere vist t et sin v lig me relet f prllelogrmmet som uspænes f og. Me et vlgte koorintsstem er længen f lig me -koorinten numerisk så i ette tilfæle er sætningen korrekt. D krsprouktet er ufhængigt f vlg f koorintsstem vil utrkket imilerti gæle i lle tilfæle. Herme hr vi gotgjort t efinitionen f krsprouktet u fr vektorernes koorinter er i overensstemmelse me en geometriske efinition. 4. Afstn fr punkt til en linie i plnen L en linie l i plnen være fstlgt ve et punkt P og en normlvektor til linien n. Vi kn utrkke følgene:

12 Rumgeometri Punktet P ligger på linien hvis og kun hvis vektorerne n og P P er ortogonle ltså hvis n P P hvor vi hr st - -. Det emærkes t ette også er opflt når P P iet P P. Afstnen istp l fr punktet P til linien l kn på smme måe fines ve t utrkke t er lig me længen f projektionen f vektoren P på n. For projektionen f en vektor på en vektor hr vi utrkket 4. me længen Herf fås: P 4. n P P ist l P n Det siste utrk svrer til et vi tiligere hr ulet me og uen rug f vektorer. 5. Ligning for en pln. Afstn fr et punkt til en pln Det viser sig t uleningen f formlen for fstnen fr et punkt i rummet til en pln kn overtges næsten orret fr en tilsvrene formel for fstnen fr et punkt i plnen til en linie. En pln er fulstænig fstlgt ve et punkt i plnen og en normlvektor til plnen. L en pln være fstlgt ve et punkt P i plnen og en normlvektor til plnen n. Vi kn utrkke følgene: Punktet P ligger i plnen hvis og kun hvis vektorerne n og P P er ortogonle ltså hvis P n P - - -

13 Rumgeometri 5. hvor vi hr st Det emærkes t 5. også er opflt når P P. Dette kles en ligning for plnen eller plnens ligning For fstnen fr et punkt P til en pln me ligningen emærker vi t er lig me længen f projektionen f vektoren P på normlvektoren n. Formlerne for projektion f vektor på vektor er e smme i rummet som i plnen og vi finer erfor: P ist α P n P P n og herme 5. ist α P Mn ser t formlen næsten er ientisk me en tilsvrene formel for fstn fr punkt til linie. 5.4 Eksempel Bestem ligningen for en pln som går gennem P og hr normlvektoren n --. Ifølge 5. finer mn ve irekte insættelse <> Eksempel Fin ligningen for en pln som går gennem punkterne A B64- og C--. For t estemme en normlvektor til plnen uregner vi krsprouktet f for eksempel AB 4-4 og AC --5 AB AC Ligningen for plnen kn herefter fines <> Eksempel Fin fstnen fr punktet Q-4 til plnen me ligningen Ifølge 5. finer mn 4 4 ist α Q

14 Rumgeometri 5.7 Eksempel. Skæring mellem linie og pln Vi vil fine skæringspunktet hvis et fines mellem plnen α: 4-5 og linien me prmeterfremstillingen: t -t 4t-. Vi gør et ve t insætte prmeterutrkkene i plnes ligning og løse ligningen me hensn til t. Hvis ligningen ikke hr nogen løsning er linien prllel me plnen. Hvis ligningen er opflt for lle t ligger linien i plnen og hvis er er netop en løsning skærer linien plnen i et punkt. t-4-t-4t-5 <> t som insættes i prmeterfremstillingen. 5. Prmeterfremstilling for plnen I steet for t krkterisere en pln i rummet ve et punkt og en normlvektor kn plnen fstlægges: ve et punkt P i plnen og to ikke prllelle egentlige vektorer p p p p og q q q q prllelle me plnen. D opløsningen f en vektor i plnen efter to givne retninger er entig kn ethvert punkt P i plnen estemmes ve: P 5.4 P s p t q p s p p q t q q Dette kles for en prmeterfremstilling for plnen. Alle plnens punkter fremkommer når e to prmetre s og t gennemløer e reelle tl. 5.5 Eksempel Bestem en prmeterfremstilling for en pln som er uspænt f vektorerne og -5 og som går gennem P-. Ifølge 5.4 s Bestem ernæst en ligning for enne pln. t men et er ofte lettere t isolere e to pr- Dette kn nturligvis gøres ve t estemme en normlvektor som metre s og t fr to f ligningerne og insætte i en treje. 5

15 Rumgeometri s - t - løses mht. 7s og 7t for -7t - Insættes i utrkket for s t t ungå røkregning 7s s 5 t > <> Vinklen mellem to plner skæring mellem to plner To plner er ikke er prllelle skærer hinnen i en linie. Ve vinklen mellem plnerne forstår mn vinklen mellem to hlvlinier er fst u fr smme punkt egge er vinkelrette på skæringslinien og som ligger i hver sin pln. Afsætter mn e to normlvektorer n og n u fr et smme punkt ser mn t mn genfiner enne vinkel som vinklen mellem normlvektorerne. Vinklen mellem e to plner kn erfor eregnes f: 6. osv n n n n 6. Eksempel Bestem vinklen mellem e to plner: og - 4. Ifølge 6. får mn: os v v 8 v Eksempel. Skæringslinie mellem to plner Vi illustrerer metoen ve et eksempel. L e to plner være givet ve ligningerne: Vi ønsker t estemme lle e koorintsæt som tilfresstiller egge ligninger. Dette gøres ve t vælge en f koorinterne som prmeter t. Vælger vi t og insættes ette ligningerne kn ligningssstemet løses me hensn til og sålees t lle koorinter er utrkt ve en prmeter som svrer til prmeterfremstillingen for skæringslinen linie mellem e to plner. Alle koorintsæt er ligger på linien opfler jo netop e to ligninger ovenfor. 5t 4 5t 7 Ligningssstemet hr eterminnten D 8 4 D D hr ligningssstemet netop en løsning. Hvis D er plnerne enten smmenflene hvis e to ligninger er ientiske eller prllelle hvis e to ligninger er i stri me hinnen vs. t e ikke er opflt smtiig for noget Ligningerne kn løses på sævnlig vis f.eks. me eterminntmetoen.

16 Rumgeometri 4 5t 5t t 7 8 5t t t t t 8 6t 6 8 t Vi hr tilføjet t hvorefter vi hr en prmeterfremstilling for skæringslinien. 7. Vinkel mellem vektor og pln Ve vinklen mellem en vektor og en pln forstår mn vinklen mellem vektoren og ens projektion på plnen. Hvis projektionen er nulvektoren er vinklen 9. Hvis vinklen mellem en vektor og plnen er v så er vinklen mellem og én f e to normlvektorer 9 v. Vinklen mellem en nen normlvektor og vil være 9 v. I egge tilfæle finer mn vinklen mellem vektor og pln u fr formlen for vinklen mellem to vektorer. 7. n os 9 ± v n Her skl mn nvene tegnet hvis en funne vinkel er større en 9 og tegn hvis en funne vinkel er minre en Eksempel. Vi vil estemme vinklen mellem plnen 5 7 og vektoren - 5. Ifølge os 9± v 9± v 5 v Afstnen mellem to vinskæve linier På figuren ses to vinskæve linier l og m vs. e er hverken prllelle eller skærer hinnen. L liniernes retningsvektorer være r og r. Ve fstnen mellem linierne forstår mn længen f et korteste liniestkke som foriner e to linier. Det er klrt t ette liniestkke må stå vinkelret på egge linier og erme være prllel me vektoren n r r

17 Rumgeometri 5 Lægger mn to plner egge me normlvektor n som ineholer henholsvis l og m er fstnen mellem l og m en smme som fstnen mellem e to plner. P Enviere ses et t enhver vektor P hvor P og P ligger i hver sin pln hr smme projektion på n nemlig fstnen mellem plnerne lig me fstnen mellem linierne istlm. U fr ette kn mn fine en formel for fstnen mellem linierne. L P og P være vilkårlige punkter på e to vinskæve linier l og m me retningsvektorer r og r. L enviere n r r være en vektor som er vinkelret på em egge. Afstnen mellem linierne kn eregnes f projektionsformlen. n P P 8. Dist l m n hvor n r r og hvor P og P er et vilkårligt punkt på hver f e to linier f.eks. et fste punkt P som ingår i prmeterfremstillingen. 8. Eksempel Bestem fstnen mellem linierne l og m me prmeterfremstillingerne: l: 4-4t t 4t og m: 5-4t 5t t De to retningsvektorer for linier ses t være: r -44 og r Vi estemmer en norml vektor n til egge linier som krsprouktet mellem e to vektorer n r r n Det ses umielrt P 4 og P 5 er et punkt på hver f e to linier så P P Herf finer mn ifølge Distlm Afstn fr linie til et punkt i rummet På figuren er vist et punkt P og en linie l. Linien l er estemt ve retningsvektoren r og et punkt P. P 's projektion på l etegnes Q. Vi ønsker t estemme fstnen P Q. Anringer mn vektoren r sålees t R P r P og tegner mn vektoren P så kn mn estemme relet f Δ P P R på to forskellige måer.

18 Rumgeometri 6 Mn emærker først t fstnen P Q fr P til l er højen i enne treknt som hr grunlinien r. Arelet er erfor: T ½ r Dernæst emærker vi t T er hlvelen f et prllelogrm som uspænes f vektorerne r og P P. Dette rel kn skrives som længen f krsprouktet. T ½ r P P Smmenligner mn e to formler finer mn: 9. Dist P l r P P r 9. Eksempel Vi vil estemme fstnen fr punktet P4- til linien m me prmeterfremstillingen: - t 7 t 9 t me retningsvektor r -. r 7 Det ses t P 79 er et punkt på linien så P P Vi uregner krsprouktet f r og r P 6 P r P P 6 Vi finer erfor ifølge ist l P P P. Projektion f vektor på en pln Vi ønsker t estemme projektionen α f en vektor på plnen α me normlvektor n. Afsætter vi vektorerne og n u fr et smme punkt i plnen kn skrives som vektorsummen f ens projektion på plnen α og ens projektion på n. α n α - n Projektionen på normlvektoren n er imilerti lot projektion f vektor på vektor og finer erfor utrkket for α. n α n n

19 Rumgeometri 7. Eksempel Vi vil fine projektionen f vektoren 64-5 på plnen Normlvektoren til plnen er n --. Vi estemmer først n og n Herf finer mn α Kuglen En kugle er et geometriske ste for e punkter som hr smme fstn til et givet punkt. Det fste punkt kles entrum for kuglen og fstnen kles for rius i kuglen. Hvis C er entrum f kuglen me rius r og P er et vilkårligt punkt på kuglen vil er gæle CP r. Ifølge fstnsformlen får mn : r. r Dette utrk kles for kuglens ligning.. Eksempel Bestem ligningen for en kugle som hr entrum i -- og som går gennem punktet P57. Rius estemmes ve hjælp f fstnsformlen: 5 7 r 4 og irklens ligning liver 4. Eksempel Vis t ligningen fremstiller en kugle og estem entrum og rius. Vi smler leene og omskriver til kvrtet på en toleet størrelse på smme måe som vi gjore et for irklens ligning <> <> Ligningen fremstiller ltså en kugle me entrum -4 7 og rius 9..4 Eksempel. Skæring mellem en kugle og en linie. Vi ønsker t estemme eventuelle skæringspunkter mellem kuglen me ligningen - -5 og linien me prmeterfremstillingen 99t --6t t. Skæringspunkterne kn fines ve t insætte prmeterutrkkene for og i irklens ligning og løse en fremkomne nengrsligning me hensn til t. 99t - --6t -5 t <> 79t -8-6t 6t som efter en el uregning giver: t 76t 968 <> t 6t 8 <> t -4 v t - Ve t insætte i liniens prmeterfremstilling får mn skæringspunkterne: -7-5 og --

20 Rumgeometri 8.5 Eksempel. Tngentpln til en kugle En kugle er givet ve ligningen: P 64 er et punkt er ligger på kuglen hvilket kn ses ve insætning Kuglen hr entrum i C477 så CP 4 er en normlvektor til plnen gennem P. Herf fås tngentplnens ligning: <> Rumfng og rumproukt Vi vil stille os en opgve t fine rumfnget f et prllelepipeum ltså en klos er er uspænt f vektorer hvor ikke to er inres prllelle. Hertil Et sånt prlellepipeum er vist på figuren til venstre. Rumfnget f et prlellepipeum kn uregnes som høje grunfle. Vi ve t ette gæler for en rektngulær ksse. På figuren til højre hr vi tegnet en ksse og et prlellepipeum me smme høje og grunfle. Vi kn se t e to ksser hr et smme rumfng. Hvis vi nemlig skærer et stkke som rger u på en højre sie vil et psse præis me et stkke er mngler på venstre. Kssen og prlellepipeet hr erfor et smme rumfng.

21 Rumgeometri 9 Vi ve t længen f krsprouktet er lig me relet f grunflen. Højen h er lig me osv hvor v er vinklen mellem og. Rumfnget V er lig me: v os men ette kn ifølge efinitionen f sklrproukt skrives som : kles for rumprouktet f vektorerne og. Fortegnet for rumprouktet fhænger f orienteringerne f e tre vektorer men i lle tilfæle er rumfnget V. Vi vil nu uregne rumprouktet i koorinter hvor vi sætter: og Umielrt virker et siste utrk ikke særlig overskueligt men er er skm en streng sstemtik i et. Først emærker mn t lle le ineholer et et og et i enne rækkefølge og hvert le ineholer ineks men i forskellig rækkefølge. Btter mn om på rækkefølgen f forskellige elementer kles et for en permuttion. Der fines 6 permuttioner f elementerne. Der er nemlig muligheer for t esætte. plsen muligheer for plsen i lt 6 og for hver f e 6 kun mulighe for. plsen. De 6 permuttioner er:. Enhver f permuttionerne kn opnås u fr ve t omtte noelementer. Den. permuttion er opnået ve omtning f noelementer. Den. ve to omtninger f noelementer. Hvis er skl et lige ntl omtninger til for t opnå en given permuttion u fr siges et t være en lige permuttion ellers en ulige permuttion. Vener vi tilge til uregningen f rumprouktet så ses et t e 6 le opskrevet præis svrer til e 6 permuttioner f inies sålees t e lige permuttioner hr positiv fortegn og e ulige permuttioner hr negtivt fortegn. Dette er noget vi lleree kener fr en eterminnt. Det viser sig t rumprouktet helt på smme måe kn skrives som en eterminnt.

22 Rumgeometri Hvert le fremkommer ve t gnge en fktor fr hver f e søjler og ikke fr smme række. Hvis rækkeineks er en lige permuttion f så skl leet fornstilles me plus ellers me minus. Eksempel Uregn rumfnget f et prllepipeum er uspænes f e vektorer: 5 4 og 46. Vi opskriver eterminnten: Figurerne neenfor er tegnet me et mtemtikprogrm som en ægte prllelprojektion. Tre ligninger me tre uekente I vektorregningen så vi hvorlees mn ve vektorregning kn fine en generel løsningsformel for ligninger me to uekente. Løsningen lev utrkt ve eterminnter. Der fines helt generelle løsningsformler for n ligninger me n uekente som kles Crmers formler. Her er løsningen utrkt ve n n eterminnter. Disse formler vil vi ikke forsøge t ulee men tilfælet n ltså ligninger me uekente kn ulees ve nvenelse f rumprouktet.

23 Rumgeometri Før vi gør et vil vi notere os nogle egensker ve rumprouktet.hvis to eller flere f vektorerne i rumprouktet er prllelle så er Dette følger f t krsprouktet er nul hvis er prllel me eller hvis er prllel me eller prllel me eller kn skrives som en linerkomintion f og ltså t s så vil være vinkelret på og rumprouktet vil være nul. Hvis et f e nævnte tilfæle er opflt siges og t være lineært fhængige hvilket er et smme som t e tre vektorer ligger i smme pln. U fr en geometriske fortolkning f rumprouktet som rumfnget f et prlleepipeum er uspænes f e vektorer er et klrt t rumprouktet må være nul når e tre vektorer ligger i smme pln. Opskriver vi rumprouktet som en eterminnt: et Så følger et f efinitionen på eterminnten t eterminnten er ufornret ortset fr et fortegnsskifte hvis vi omtter to søjler. Herf følger: Vi opskriver nu et ligningssstem eståene f ligninger me uekente: hvor Løsning f ligningssstemet kommer u på t estemme en opløsning f efter og Vi ve t ette lti kn le sig gøre hvis og ikke ligger i sme pln hvilket er et smme som t. Hvis og ligger i en smme pln hr ligningssstemet uenelig mnge løsninger. Vi vil løse ligningssstemet ovenfor uner ntgelsen t. Vi nvener nu næsten en smme metoe som vi løste to ligninger me to uekente ve vektorregning. Vi tger først krsprouktet f me.

24 Rumgeometri Dernæst tger vi sklrprouktet me. fori så vi finer: et et Vi ser t uregnes som en røk hvor tælleren er ligningssstemets eterminnt hvor en. søjle er erstttet me ligningens højre sie og nævneren er ligningssstemets eterminnt. På helt sme måe kn mn fine og uner nvenelse f e omtningsregler for eterminnter er er nført ovenfor. Herefter finer mn uner forusætning f t ligningssstemets eterminnt er forskellig fr nul. Eksempel Løs ligningssstemet: Vi uregner først ligningssstemets eterminnt

25 Rumgeometri Determinnten er forskellig fr nul så ligningssstemet hr netop én løsning. Vi uregner ernæst og finer: På helt tilsvrene måe finer mn: og Løsningen til ligningssstem er erfor: De viste formler kn uen viere et kræver og et evis generliseres til n ligninger me n uekente. De resulterene formler kles som nævnt for Crmers formler.