Algoritmer og Datastrukturer 2. Gerth Stølting Brodal

Transkript

1 Algoritmer og Dtstrukturer Gerth Støltig Brodl

2 Algoritmer og Dtstrukturer Algoritme Desig Tekikker ( uger) Del-og-komier Grf-lgoritmer (3 uge) Korteste veje Streg-lgoritmer ( uge) Møstergekedelse Dymisk rogrmmerig Suffix-træer Mksimle strømiger Suffix rrys Grådige lgoritmer

3 dads eksmeskrkterer jui ugust jui ugust jui ugust jui ugust jui ugust Godkedt ol UB Totl Bestået kursusevluerig: Hvor mge timer rugte du smlet (udervisig foreredelse) å dette kursus r. uge > <8 4% 4% 33% 4% 6%

4 Algoritmer og Dtstrukturer Gerth Støltig Brodl Del-og-komier [CLRS, kitel.3, , rolem 30..]

5 Del-og-Komier Algoritme desig tekik Virker for mge rolemer (me lgt fr lle) Odel et rolem P i midre rolemer P,..,P k, der k løses ufhægigt (små rolemer løses direkte) Løs delrolemere P,..,P k rekursivt Komier løsigere for P,..,P k til e løsig for P P P P P 4 P 5 P 3

6 Eksemel: Merge-Sort To midre delrolemer Løs rekursivt Komier A sorteret sorteret q q r

7 A k q r sorteret sorteret koi } R L } sorteret i sorteret j } flet

8 Merge-Sort : Alyse Rekursiostræet Oservtio Smlet rejde er lg er O() Arejde O( # lg) = O( )

9 Del-og-komier, dads eksemler: MergeSort Del o i to lige store dele Rekursiv sorterig Komier = fletig QuikSort Odel efter tilfældigt ivot (tilfældig odelig) Rekursiv sorterig Komier = ige (kokteer vestre og højre) QuikSelet Odel efter tilfældigt ivot (tilfældig odelig) Rekursiv selet Komier = ige

10 Alyse f Del-og-Komier = lyse f e rekursiv roedure Essetielt to forskellige måder:. Argumeter direkte om rekursiostræet (lyser dyde, #kuder å hvert iveu, rejde i kudere/iveuere/træet). Løs e mtemtisk rekursiosligig, f.eks. T() T() T(/) hvis ellers Bevises f.eks. vh. iduktio.

11 Løsig f rekursiosligiger Fold rekursiosligige ud og rgumeter om rekursiostræet Gæt e løsig og vis de ved iduktio efter voksede T() T() T(/) hvis ellers

12 Rekursiosligiger: Fldgruer Ulige odeliger glemmes ( ulige, så er de rekursive kld tyisk / og / ) Alyserer tyiske ku for = k [CLRS, kitel 4.6.] Brug ldrig O-udtryk i rekursiosformle rug kostter (T()=O()O(T(/3))) T() T(/3)

13 Mster Theorem (Simlifierig f [CLRS, Theorem 4.])

14 i i d i i i d T for for for for for for ) / ( ) / ( ) / ( ) ( 0 ) / ( 0 ) / ( Dyde i = 0.. (/d) - (/d) # delrolemer i (/d) Størrelse f delrolemer / i d Tid er delrolem (/ i ) Tid er lg i (/ i ) (/d) (ude f rekursioe) (lg i = 0.. (/d) - ) for / ) / ( ) (

15 Multiliktio f lge heltl [CLRS, rolem 30..] Krtsu 960 I og J hver heltl med its Nive imlemettio kræver O( ) it oertioer Ld I = I h / I l og J = J h / J l I J = I h J h ((I h -I l ) (J l -J h )I l J l I h J h ) / I l J l T() 3 T(/) for T() for = T() = O( 3 ) = O(.58 )

16 Multiliktio f lge heltl Del-og-komier Krtsu 960 O( 3 ) Shöhge-Strsse, 97 O( ) Fürer, 007 O( O(* ) )

17 Mtrix Multilitio ij = Σ k=..m ik kj m m m m m m

18 Mtrix Multilitio Nive imlemettio: tid O(m) m m m m m m

19 (Kvdrtisk) Mtrix Multiliktio [CLRS, kitel 4.] A,B,...,K,L er / x /-mtrier I,J,K,L k ereges med 8 rekursive multiliktioer og 4 mtrix dditioer å / x / -mtrier T() 8 T(/) for T() for = T() = O( 8 ) = O( 3 )

20 Strsse s Mtrix Multiliktio rekursive multiliktioer

21 Bedste resultt for mtix multiliktio O(.377 ): Virgii Vssilevsk Willims, Multilyig mtries fster th Coersmith-Wiogrd, STOC 0 Strsse s Mtrix Multiliktio Bruger 8 mtrix dditioer (tid O( )) og 7 rekursive mtrix multiliktioer T() 7 T(/) for T() for = T() = O( 7 ) = O(.8 )

22 Koveks Hylster T() T(/) for T() for = T() = O( )

23 Silhuet (fleverigsogve) T()? T(/?)? for T() for =