Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 5. Differentialregning

Transkript

1 Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kennet Hansen 5. Differentialregning Hvornår skærer graferne for funktionerne ln og inanden?

2 5. Differentialregning 5. Differentialregning 5. Funktioner Tretrinsraketten Grænseværdi og kontinuitet 5.5 Differentiabilitet Regneregler - en oversigt Beviser for regnereglerne Differentiation af log, ep & pot Newton, Leibniz og fysik Stamfunktioner Approimation Newton-Rapsons iterationsmetode Et urtigt bevis for toppunktsformlen Opgaver 60 Facitliste 65 Kapiteloversigt 68

3 5. Differentialregning Differentialregning andler i første omgang om at finde tangenter til vilkårlige kurver. Vi kender i øjeblikket kun en kurve, for vilken vi kan finde tangenter, nemlig cirklen, så lad os et øjeblik se, vordan cirkeltangenter opfører sig: C P Vi ar en cirkel med centrum C, og kigger på tangenten til cirklen gennem punktet P, som naturligvis ligger på cirkelperiferien. Denne tangent opfylder tre egenskaber: Tangenten er ortogonal med liniestykket PC, som er radius i cirklen. Tangenten skærer kun cirklen i ét punkt. 3 Forstørrer man cirklen og tangenten uendeligt meget op, så er cirklen og tangenten sammenfaldende. Egenskab 3 kræver vist en nærmere forklaring: Hvis man kigger på Jordkloden fra meget lang afstand, f.eks. fra et rumskib, så er Jordkloden elt klart en kugle. Kigger man ud fra et øjt sted - Aalborgtårnet eller Himmelbjerget - så ser Jorden umiddelbart flad ud; men man kan dog ane, ved at kigge ud imod orisonten, at Jorden faktisk krummer en smule. Står man midt på Nytorv, så ser Jorden ganske flad ud. Og er man en myre, så vil den vanvittige idé, at Jorden er rund, aldrig falde en ind. Kort sagt - Jorden er nok en kugle, men set på meget små afstande er den en plan. En matematiker ville sige, at Jorden globalt er en kugle, men lokalt en plan. Tilsvarende er en cirkel globalt set cirkelformet, men lokalt set en ret linie. Forstørrer vi cirklen op omkring punktet P, så vil cirklen nemlig ligne en ret linie. Denne rette linie er faktisk tangenten.

4 Lad os nu betragte en anden velkendt kurve, nemlig parablen med ligningen y. Vi vil gerne finde en tangent til parablen i punktet ( ;. Vi kan ikke bruge egenskab til at finde tangenten - parablen ar verken et centrum eller en radius. Egenskab virker eller ikke - på tegningen nedenunder skærer både den skrå linie (med ligningen y og den lodrette linie (med ligningen parablen i netop et punkt. Hvilken skal vi så vælge som tangenten? Men egenskab 3 er god at bruge! Forstørrer man nemlig parablen, så ser man, at omkring punktet ( ; er parablen lokalt en ret linie, som er sammenfaldende med den skrå linie med ligningen y. Og det er denne linie, vi vil betragte som tangenten til parablen i punktet ( ;. Helt generelt betragter vi grafen for en funktion f, dvs. vi betragter kurven med ligningen y f (. Hvad ar vi egentligt brug for at vide for at kunne beskrive tangenten til kurven i punktet ( f ( 0, 0? Ligningen for en linie er jo generelt givet ved y y0 + a( 0 vor a er liniens ældningskoefficient, og ( 0, y0 er et punkt, som linien går igennem. Men vi ved jo, at tangenten går gennem punktet ( 0, f ( 0, så det er kun ældningskoefficienten a, vi ikke kender. Nu vil tangentældningen a jo afænge af, vor på grafen vi befinder os, så denne tangentældning betegner vi med f ( 0 (læses: f mærke af nul. Vi indikerer således, at tangentældningen afænger af -koordinaten til tangentens røringspunkt ( 0, f ( 0. Altså 3

5 Definition (FS Hældningskoefficienten af tangenten til grafen for funktionen f ( i røringspunktet ( 0, f ( 0 betegnes med f ( 0. Denne nye funktion f ( betegnes som den differentierede funktion til f (, eller som differentialkvotienten til f (, eller som den afledede funktion. Vi ar faktisk også næsten bevist følgende sætning: Sætning (FS Tangenten til grafen for funktionen f ( i røringspunktet ( 0, f ( 0 ar ligningen y f ( + f ( ( Bevis: I den generelle ligning for en linie med ældningskoefficienten a gennem punktet ( 0, y0 : y y0 + a( 0 erstatter man a med f ( 0 og y 0 med f ( 0. Det eneste problem er blot at kunne beregne differentialkvotienten til en given funktion. Det er dette, resten af dette æfte andler om! Lad os varme op med en opgave: 4

6 Opgave. a Tegn på millimeter-papir en graf over funktionen f (. -værdierne skal gå fra 3 til 3. b Tegn efter bedste skøn tangenterne i punkterne på grafen med - koordinaterne 3,,, 0,,, 3. c Find ældningskoefficienterne til de 7 tangenter, og udfyld følgende skema: f ( 0 f ( 0 d Man skulle nu gerne opdage, at tangentældningerne (den nederste række ar en sammenæng med -værdierne (øverste række. Hvilken sammenæng? Vi skulle gerne i den foregående øvelse ave opdaget, at vis f (, så er f (. En lidt simplere måde at skrive dette på er følgende ( Opgave. Lav tilsvarende undersøgelser for funktionerne: f ( 3, 0,, 0,, f ( + 4, 0 4, 3, 0,, 4, 5 3 f ( e, 0,, 0,, 4 f ( 0, 0,, 0, 5 f ( ln, 0 5, 4, 3,,,, 3, 4, 5 6 f ( log, 0 5, 4, 3,,,, 3, 4, 5 7 f ( +, 0 0,,, 3, 4. I opgave. skete der et par sjove ting: I punkt opdagede man, at funktionen f ( + 4 ar en lodret tangent i punktet ( 4; 0. Idet en lodret linie ingen ældningskoefficient ar, kan man ikke differentiere + 4 i punktet med -koordinaten 4. 5

7 I punkt 7 opdagede man, at grafen for funktionen f ( + knækker i punktet ( ;. Uanset vor meget man forstørrer grafen, vil der er altid være et knæk, og det er umuligt at definere en tangent. Igen er det altså umuligt at differentiere funktionen er. Differentialregning kan anvendes til temmeligt mange ting. Bl.a. kan man ved jælp af differentialregning se, vornår en funktion er voksende eller aftagende (funktionens monotoniforold, og man kan let finde de steder, vor funktionen er størst eller mindst. Vi giver et eksempel: Eksempel Betragt funktionen f, vis graf er vist nedenunder: Vi er interesserede i at udfylde følgende skema - ikke med tal, for dem kan vi ikke aflæse på grafen, men med fortegn: f ( f ( Umiddelbart kan vi se, at f ( 3 < 0, idet punktet på grafen med - koordinaten 3 ligger under -aksen, og at f ( 0 og f ( > 0. På denne måde kan den første række i skemaet let udfyldes. f ( 3 > 0, fordi en tangent til grafen med røringspunktet (-3,f(-3 vil være opadrettet - grafen er jo voksende ér. 6

8 f ( 3 0, fordi tangenten er er vandret. Vi bemærker, at vi i punktet ( 3; f ( 3 ar et lokalt minimum for funktionen f - omkring 3 er alle funktionsværdierne større end f ( 3. Opgave.3 Udfyld resten af skemaet ovenfor. Opgave.4 Betragt grafen for funktionen g nedenfor: Der er markeret 5 punkter: a, b, c 0, d og e. Udfyld skemaet nedenunder med de korrekte fortegn: a b c d e g( g ( 7

9 Opgave.5 Nedenfor er angivet fortegnene for ( og ( for udvalgte - værdier. Skitsér et muligt forløb for grafen for : 0 ( ( Opgave.6 Man kan bevise, at vis f ( så er f ( ( må naturligvis ikke være 0. Find ligningerne for tangenterne til grafen for f med røringspunkterne a (, f ( b ( 9, 3 c ( 4, f ( 4 d ( 5, f ( 5 Opgave.7 Betragt funktionen g givet ved g( 3 og g ( 3. a Bestem ligningerne for de to tangenter til grafen for g, og som ar røringspunkterne (, g ( og (, g (. b Bestem et gradtal for vinklen mellem disse to tangenter. c Bestem røringspunktet for den vandrette tangent til grafen for g. 8

10 5. Funktioner Enver videnskab ar et eller flere begreber, som er altafgørende indenfor denne videnskab. F.eks. er det vigtigste begreb indenfor fysikken energi, og i kemi snakker man ikke om andet end atomer og kemiske bindinger. Den moderne biologi bygger på genetikken. Det allervigtigste begreb indenfor matematikken er funktionen Så vad er en funktion? Den naive måde at betragte en funktion på er at sige, at en funktion er en maskine: Man propper et tal (eller noget andet ind i funktionen, som så tænker lidt og spytter et tal ud. F.eks. vil funktionen spytte tallet 3 ud, når tallet 9 puttes ind. En mere præcis definition er Definition 3 En funktion er et udtryk af formen f : A B: a f ( vor A er en mængde, som kaldes definitionsmængden, Dm(f, B er en mængde, som kaldes sekundærmængden, Sm(f, a f ( kaldes forskriften. Udtrykket f ( skal være defineret for alle elementer A, og funktionsværdien f ( skal altid være element i sekundærmængden B. Actung: Sekundærmængden er ikke det samme som funktionens værdimængde! (Hvad værdimængden er, får vi først svar på i et senere æfte 9

11 Eksempel Her er nogle funktioner, som alle er forskellige (vorfor? f : a R R: f R [0; [ : : a f : a 3 [0; [ [0; [ : f 4 [0; [ R: : a Nedenstående er ikke funktioner (vorfor? g : R R: a g:]0; [ [,]: a Normalt er man lidt sløset med at angive definitions- og sekundærmængden for en funktion - man bruger nedenstående regel: Med mindre andet er angivet, så er funktionens definitionsmængde og sekundærmængde den størst mulige. I praksis lader man Dm(f være alle de -værdier, vori funktionen kan defineres, og man lader Sm(f være mængden af alle de reelle tal, R. Forskriften for en funktion kan være mange ting - et regneudtryk, et tabelopslag osv.; men det vigtigste er, at forskriften kun givet ét output for et givet input. En istorie En dag var Mette og Micael enne i Møllekøbing Super-Dupér for at købe mælk. Mette gik først ind og købte en liter letmælk. "Det bliver 4,5", sagde kassedamen. Så gik Micael ind og købte en liter letmælk. "Det bliver,75", sagde kassedamen. Det blev Micael sur over, og an spurgte: "Hvorfor det?". "Jo", svarede kassedamen, "er i Møllekøbing Super-Dupér er prisen ikke en funktion af varen". Havde kassedamen ret? Har man nogle funktioner, så kan man konstruere nye funktioner ud fra disse. 0

12 Definition 4 Lad f : A R og g : B R være funktioner. Sumfunktionen defineres da som f + g: A B R : a f ( + g( Forskriften for f + g er altså bare summen af forskrifterne for f og g, mens definitionsmængden for f + g er fællesmængden mellem definitionsmængderne for f og g. Det er nødvendigt at tage denne fællesmængde, fordi kun indenfor denne er man sikker på, at begge addenderne er definerede. Eksempel Betragt funktionerne f : R R: a g: [0; [ R: a : R R \{0}: a Sumfunktionerne er f + g: [0, [ R : a + f + : R \{0} R: a + g + : ]0, [ R : a + Man kan naturligvis også trække funktioner fra inanden, gange to funktioner eller endda dividere to funktioner. Dog skal man passe på, når man dividerer to funktioner - nævneren må ikke være 0!

13 Definition 5 Lad f : A R, g : B R og : C R \{0} være funktioner. Da defineres f g: A B R : a f ( g( og f g: A B R : a f ( g( og f : A C R: a f ( g( Bemærk, at man undgår, at funktionen kan antage værdien 0 ved at udelade 0'et fra sekundærmængden for. Hvis man alligevel vil dividere med en funktion, som kan antage værdien 0, så må man udelukke nulpunkterne fra definitionsmængden. Endelig kan man sammensætte funktioner: Betragt to funktioner f : A B og g : B C. Lidt naivt kan man opfatte f som en maskine, der tager et element fra mængden A og laver det om til et element i B, og g som en maskine, der laver et element i B om til et element i C. f g A B C Nu kunne man jo få den vanvittige idé at lave en ny funktion, som skal gøre følgende: Et element A laves om af funktionen f til et element f ( B. Men elementer i B er guf for g, og derfor kan g æde f ( og derefter opgylpe elementet g( f ( C. Men dette er jo forskriften for en funktion, som går fra A til C:

14 f g Denne funktion betegnes g of A B C g o f - og dette udtales 'g bolle f'. Definition 6 Lad f : A B og g : B C være to funktioner, således at Sm( f Dm( g. Den sammensatte funktion g o f defineres da ved g o f : A C: a g( f (. Funktionen f betegnes som den indre funktion, og g kaldes den ydre funktion. Bemærk den lidt underlige konvention, at den indre funktion står til øjre. (Strengt taget er det ikke nødvendigt, at Sm( f Dm( g, for at man kan definere g o f. Det er nok, vis Sm( f Dm( g Eksempel Betragt funktionerne f : R R: a og g: R R: a + Vi kan er danne ele to sammensatte funktioner: g o f : R R: a + og f o g: R R: a ( + Som det ses, er der stor forskel på de to funktioner. Det er altså ikke ligegyldigt, vilken rækkefølge, vi sammensætter funktioner i. Vi kan faktisk danne nogle flere sammensatte funktioner: f o f : R R: a ( 4 3

15 4 : : g g a o R R og endnu mere perverst: 0 : : + g g g g g g g g g g a o o o o o o o o o R R

16 Opgave. Hvilke af nedenstående er funktioner? f : R R: a g: R [ 0; ]: a : [ 0;] R: a i: R [ 0; [ : a j: R 0; : a [ [ 3 + Opgave. Find definitions- og sekundærmængderne for nedenstående funktionsforskrifter: f : a + g: a : a + j: a i: a Opgave.3 Givet nedenstående funktioner: f : 0; R: a log g: R R: a + ] [ : R: a e R i: [ 4; [ R : a 4 Opskriv forskrifterne med definitions- og sekundærmængde for de sammensatte funktioner g o f, o f, f o, g oi og g o f oi o. Kan f o g defineres? Opskriv i så fald forskriften. 5

17 5.3 Tretrinsraketten Tretrinsraketten er et middel til at beregne, dvs. finde et generelt udtryk for differentialkvotienten for en given funktion. Beregningen foregår i tre trin, eraf navnet. For at forstå, vad tretrinsraketten egentligt er, skal vi se på tangenter og sekanter: Ovenfor er vist grafen for funktionen f ( og to linier - tangenten t til grafen med røringspunktet ( 0, f ( 0, og sekanten, som er linien s gennem de to punkter ( 0, f ( 0 og ( 0 +, f ( 0 + på grafen. Tallet er er et lille tal - positivt eller negativt - som ligger tæt på 0. Bemærk, at ikke må være 0, da i så fald de to punkter, som bestemmer sekanten er sammenfaldende, og denne derfor er udefineret. Ideen er nu, at sekanten næsten er en tangent, og at jo nærmere er på 0, jo mere er sekanten faktisk en tangent. Vi kan derfor beregne sekantældningerne og undersøge, vorledes de opfører sig, når nærmer sig 0. Med lidt eld finder vi måske tangentældningen. Lad os som et eksempel undersøge funktionen f (. Vi ved fra foregående kapitel, at differentialkvotienten gerne skulle være f (. Vi starter med at beregne ældningen for sekanten gennem de to punkter (, f ( (, og ( +, f ( + ( +,( Hertil bruger vi formlen fra analytisk geometri, som siger, at ældningen for linien gennem punkterne (, y og (, y er 5

18 a y y Det er rimeligt nemt at beregne nævneren i denne brøk: ( Vi beregner tælleren. Denne tæller betegner man traditionelt f, så vi ar f f ( + f ( ( Sekantældningen er nu f og når går imod 0, så bliver tangentældningen f f ( 0 lim lim( og det var jo det, vi forventede! Det lidt underlige symbol lim 0 er en såkaldt grænseværdi, som vi skal øre mere om lidt senere. Foreløbigt betyder det bare, at vi sætter lig 0. Tretrinsraketten er ganske simpelt ovenstående metode anvendt på en vilken som elst funktion: 0 0 Tretrinsraketten Trin : Beregn f f ( + f ( Trin : Beregn f. f Trin 3: Beregn grænseværdien lim. 0 Resultatet er differentialkvotienten f 0 0. ( Man anvender ofte indenfor matematik og fysik betegnelsen C for en ændring af en størrelse C. Dette slår igennem i tretrinsraketten: Vi benytter symbolet f for en ændring af funktionsværdien f. I de gode gamle dage brugte man faktisk også symbolet for en ændring i størrelsen - i dag bruger vi dog symbolet, fordi det er lettere at skrive og gør tingene mere overskuelige. 0. 6

19 Både f og er jo differenser, så størrelsen f kaldes en differenskvotient. Tilsvarende kaldes den afledede funktion f ( også en differential- kvotient, og den skrives nogen gange som df. (Ikke så underligt, når man tænker d på, at det græske bogstav delta,, svarer til det latinske bogstav 'd'. Faktisk bruger man slutproduktet af tretrinsraketten til at give en formel definition af differentialkvotienten: Definition 7 Differentialkvotienten eller den afledede funktion til funktionen f er den nye funktion f + f f ( lim ( ( 0 Vi ar faktisk også - i vores eksempel - bevist følgende Sætning 8 (FS d( d ( ( d d Igen ses det, at differentialkvotienten kan skrives på flere måder (uønsket barn ar mange øgenavne... Flere differentialkvotienter er: 7

20 Sætning 9 (FS d ( ( d Bevis: Vi lader f betegne funktionen a. Trin : f f ( + f ( ( ( Trin : f f Trin 3: lim lim Sætning 0 (FS d ( ( d Bevis: Vi anvender betegnelsen g( : Trin : g + ( ( ( ( ( tricket var er at få isoleret, så man i næste trin kan komme til at dividere det væk. Trin : g

21 g Trin 3: lim lim Man kan godt differentiere en funktion flere gange. Her bruger man en lidt speciel notation: d f Den dobbelt afledede betegnes f ( d 3 d f Den tre gange afledede betegnes f ( 3 d ( d f Den fire gange afledede betegnes f 4 4 (. 4 d... ( d f Den femogfyrretyvende afledede betegnes f (. 45 d Endelig bruger man, når man vil beregne den afledede funktion i et bestemt punkt, følgende notation: f ( 0 df d 0 Således ar vi d d ( 3 3 og d ( d 3 3(. Opgaver 3. Definitionsmængderne og sekundærmængderne blev ikke specificeret for funktionerne i sætningerne 9 og 0. Gør dette. Er definitionsmængderne for de afledede funktioner altid lig definitionsmængderne for de oprindelige funktioner? 3. Differentiér funktionen ( 3 va. tretrinsraketten. 9

22 3.3 Vi ar nu differentieret funktionerne med forskrifterne,, og 3. Alle disse er faktisk potensfunktioner. Opskriv funktionerne og deres afledede efter inanden, og opskriv den som potensfunktioner. Er der et mønster? 0

23 5.4 Grænseværdi og kontinuitet Vi skal nu studere begreberne grænseværdi og kontinuitet. En grundig og præcis gennemgang af disse begreber kræver meget, meget mere matematisk maskineri, end vi vil køre i stilling, så gennemgangen bliver lidt løs og intuitiv, med vægten lagt på det beskrivende. Definition Funktionen f ar grænseværdien a for gående imod 0, vis funktionsværdien f ( ligger tæt på tallet a, når ligger tæt på 0. Vi skriver lim f ( a 0 Det lidt mystiske "lim" stammer fra latin - limes betyder nemlig grænse. Bemærk, at denne definition slet ikke siger noget om f ( 0 - faktisk beøver funktionen f slet ikke at være defineret i 0. Men til gengæld skal funktionen være defineret i en omegn omkring 0. I tretrinsraketten optræder en grænseværdi, vor 0. Her skal man betragt differenskvotienten f som en funktion af. Eksempel Til venstre er vist grafen for funktionen f ( Vi ser umiddelbart, at lim f ( 4

24 Her er grafen for funktionen g med forskriften, g (, Igen ses, at lim g( 4. lig med funktionsværdien: g(. Bemærk, at dette ikke er Endelig ar vi grafen for funktionen med forskriften + 4, (, < lim ( Det ses, at grænseværdien slet ikke eksisterer: Tallene mindre end siger, at grænseværdien skal være, mens tallene større end siger, at grænseværdien skal være 5. Til gengæld siger vi, at lim ( og lim ( man taler om grænseværdier fra venstre og fra øjre. Grænseværdier opfører sig pænt mt. addition osv. af funktioner. Der gælder følgende sætning, som vi ikke beviser:

25 Sætning Lad f og g være funktioner, således at grænseværdierne lim f ( og lim g( 0 0 eksisterer. Da eksisterer nedenstående grænseværdier, og de antager endvidere de angivne værdier: a lim ( f + g( lim f ( + lim g( b lim ( f g( lim f ( lim g( c lim ( f g( lim f ( lim g( d lim ( f / g( lim f ( / lim g( ( Ved d antages det, at lim g ( 0. 0 Kontinuitet er indenfor den øjere matematik et meget vigtigt begreb; men er får vi kun brug for definitionen og et par sætninger. Definition 3 Funktionen f kaldes kontinuert i tallet lim f ( f ( 0 0 Dm( f, vis Funktionen f kaldes kontinuert, vis f er kontinuert i alle punkter i sin definitionsmængde. 0 Hvis en funktion ikke er kontinuert i et punkt, så kaldes den diskontinuert i dette punkt. Grafisk betyder kontinuitet i et punkt, at funktionens graf ikke springer i punktet: 3

26 Eksempel Her er grafen for funktionen, a, < Funktionen er kontinuert i punktet, idet grafens to stykker passer fint sammen. Her er grafen for funktionen, a +, < Funktionen er diskontinuert i punktet, idet funktionens to stykker ikke passer sammen er. En tommelfingerregel, når man arbejder men kontinuerte funktioner er, at alle almindelige, skikkelige funktioner, vis forskrift ikke er gaffelfunktioner, og som er summer, produkter osv. af almindelige potenser, logaritmer, eksponentialfunktioner, normalt er kontinuerte. Derimod kan gaffelfunktioner godt være diskontinuerte i "gaffelpunkterne", vor forskriften skifter. Disse skal derfor undersøges ekstra godt. Sætning 4 Lad f : A R og g : B R være kontinuerte funktioner. Så er nedenstående funktioner ligeledes kontinuerte: f + g : A B R f g : A B R f g : A B R f / g : A B R (Det antages ved kvotientfunktionen, at g ingen nukpunkter ar! Også sammensætning af funktioner bevarer kontinuitet. Der gælder nemlig: 4

27 Sætning 5 Lad f : A B og g : B C være kontinuerte funktioner. Så er den sammensatte funktion g o f : A C også kontinuert. Opgaver 4. Betragt funktionerne f og g med forskrifterne, < 0 3 4, > f ( og g (, 0, a Bestem tallene lim f (, lim f (, lim g(, lim g( 0 forudsat, at de eksisterer. b Bestem f (, f ( 0, g(, g( 0 c Er f kontinuert i tallet? I tallet 0? Er g kontinuert i tallet? I tallet 0? 0 4. Grænseværdier kan nogen gange bestemmes eksperimentielt - ermed menes, at man kan få en idé om, vad lim f ( 0 er lig, ved at beregne funktionsværdier f ( for tal, som ligger tæt på 0. Her skal vi bestemme grænseværdien lim a Udfyld nedenstående skema: 0 e. 5

28 0, 0,0 0,00 0,000 0,0000 e b Hvad tror du, ovennævnte grænseværdi er lig med? c Er dette er bevis for, at e lim? Funktionen f er givet ved e, < 0 f ( +, 0 Er funktionen f kontinuert? 6

29 5.5 Differentiabilitet Endelig kommer vi til begrebet differentiabilitet: Definition 6 Funktionen f er differentiabel i punktet 0 Dm( f, vis der eksisterer en omegn A om 0, således at A Dm( f, og f grænseværdien lim ( 0 + f ( 0 eksisterer. 0 En omegn om et punkt er et lille, åbent interval omkring punktet. F.eks. er intervallet 0, 999 ;, 00 en omegn omkring punktet. Hvis en funktion ikke er differentiabel i et punkt 0, så er der normalt tre grunde til dette: a 0 er ikke et indre punkt i funktionens definitionsmængde, dvs. betingelse er ikke opfyldt i definition 6. Dette sker typisk i intervalendepunkter. b Funktionen er ikke kontinuert i punktet 0. c Funktionen er nok kontinuert i punktet 0, men grafen knækker, og grænseværdien i betingelse i definition 6 eksisterer ikke. Til punkt b ovenfor er der at bemærke, at Sætning 7 Lad funktionen f være differentiabel i punktet 0. Så er f også kontinuert i 0. Bevis: f er differentiabel i punktet 0, så grænseværdien f lim ( 0 + f ( 0 0 eksisterer. 7

30 Derfor gælder, at grænseværdien f lim( ( ( lim ( 0 + f f f ( lim f ( eksisterer, og er lig 0. Men dette betyder, at f ( 0 lim f ( 0 lim f ( 0 + lim f ( og funktionen er altså kontinuert i 0 Et eksempel på tilfælde c er følgende: Eksempel y f Funktionen f ( er ikke differentiabel i 0: Bruger vi tretrinsraketten, bliver vi nemlig nødt til at dele op i to tilfælde, alt efter om er positiv eller negativ:. trin: > 0: f 0+ 0 < 0: f trin: > 0: f < 0: f 3.trin: f Grænseværdien lim 0 funktion af, ser vi vorfor: eksisterer ikke; tegner vi f som 8

31 I dette eksempel er funktionen f ikke differentiabel, idet f f lim og lim 0 0+ er forskellige. I dette tilfælde taler man i øvrigt om differentialkvotienter fra venstre og fra øjre: Differentialkvotienten fra venstre er f f ( 0 lim ( 0 mens differentialkvotienten fra øjre er f f + ( 0 lim ( 0+ 9

32 30 Opgaver 5. Betragt nedenstående funktioner: >,, ( f > +,, 3 ( g >,, ( >,, 4 4 ( i a Hvilke af de fire funktioner er kontinuerte i punktet? b Hvilke af de fire funktioner er differentiable i punktet? c Bestem f g (, (, ( og i (, vis de ellers eksisterer.

33 5.6 Regneregler - en oversigt Der findes temmeligt mange regler for, vordan man kan differentiere en given funktion. Vi skal naturligvis bevise dem alle; men til en start kommer vi med en oversigt og viser, vorledes reglerne anvendes i praksis. Reglerne kan deles op i to slags: Generelle regler og differentiation af specifikke funktioner. De generelle regler er Sumreglen Differensreglen ( f + g ( f ( + g ( ( f g ( f ( g ( Konstantreglen Produktreglen ( kf ( k f ( ( f g ( f ( g( + f ( g ( Kvotientreglen f f ( g( f ( g ( ( g ( g( Kædereglen (eller differentiation af en sammensat funktion ( f og ( ( f og( g ( De specifikke funktioners differentialkvotienter er r d( r r d(ln d d d( a d lna a samt nogle regler for de trigonometriske funktioner. Disse regler venter vi dog med. Ud fra disse egentligt ganske få regler kan alverdens funktioner differentieres! En god taktik, når man skal differentiere et støøre funktionsudtryk, er at tage én ting ad gangen. Det gør udregningen mere overskuelig, og man undgår fejl. 3

34 Eksempel 3 3 ( ln ( + ( 3 ( 4 + (ln (( 4 + e ( ( 4 + e ( ( 4 + e ( ( + e ( ( 4 + e ( e e + + e e e e + 5 e + e + + ( + ( 3 + ( + ( ( 3 + ( 3 + ( + 3 ( ( 3 + ( den bitre erfaring viser, at det sjældent kan betale sig at gange nævneren ud i en differentieret kvotient. Ved brug af kædereglen skal man passe på med at identificere den indre og den ydre funktion: ( 3 ( (( + 4e 3( + 4e ( + 4e 3( 4e ( + + 4e - igen viser den bitre erfaring, at man ikke skal gange produktet ud. ( + 3 ( ( + 3 ( + 3 ( + 3 3

35 men dette kan også differentieres som en sammensat funktion: (( + 3 ( ( + 3 ( + 3 ( Opgaver 6. Differentiér nedenstående udtryk. (Skriv evt. om til en potensfunktion a 4 b 3 7 c d e f e g ln i 3 j 4 k 4 l ( 6. Differentiér nedenstående udtryk. a 3 b c 3 d e f + 3ln g i e j k e l 3ln Differentiér nedenstående udtryk. a ( ( + b ( 3 + c ( 3 + e d 3 (ln + 3( 4 e ( f ( 4 + 3( g 3 ( ( + 3 ( 3 ln ( + e 6.4 Differentiér nedenstående udtryk. 4 3 a + c d e e g ln i j + 3 b 4 + ln + 3 f e 6.5 Differentiér nedenstående udtryk. a ( + ( + ( 3 b ( 3( + + ( 3( + 4 c ( ( d

36 e + e f ( + ( 3( 6.6 Differentiér nedenstående udtryk. a + b ln( 3 6 c ( d + e 3 ( + ln f e + g ep( + e i + ln j ( + 3 k ln(ln l ln m ln( n e 6.7 Differentiér nedenstående udtryk: a ln( b c ( e e e 3 ( d e ( f e ln( 8 34

37 5.7 Beviser for regnereglerne Vi skal nu vise, vorledes man kan udlede regnereglerne for en sum, differens,, produkt, kvotient eller sammensætning af funktioner. Alle beviserne anvender tretrinsraketten. Sætning 8 (FS Lad f : A R og g : B R være differentiable funktioner. Så er f + g : A B R differentiabel, og ( f + g ( f ( + g ( Bevis: Trin : ( f + g ( f + g( + ( f + g( ( f ( + + g( + ( f ( + g( f ( + f ( + g( + g( f + g ( f + g f + g f g Trin : + Trin 3: Funktionerne f og g er differentiable, så vi ved, at f g lim f ( og lim g ( 0 0 Men så gælder ifølge sætning a, at lim ( f + g f g f g lim( + lim + lim f ( + g ( vilket viser, at f + g faktisk er differentiabel, samt at ( f + g ( f ( + g ( Sætning 9 (FS Lad f : A R og g : B R være differentiable funktioner. Så er f g : A B R differentiabel, og ( f g ( f ( g ( 35

38 Bevis: Se opgave 7. (Beviset minder meget om beviset for sætning 8. Sætning 0 (FS Lad f : A R være en differentiabel funktion, og lad k R. Så er funktionen kf : A R differentiabel, og ( kf ( k f ( Bevis: Trin : ( kf ( kf ( + ( kf ( k f ( + k f ( k ( f ( + f ( k f Trin : ( kf k f f k Trin 3: lim ( kf f f lim ( k k lim k f ( vilket dels beviser, at kf er differentiabel, dels at ( kf ( k f ( Sætning (FS Lad f : A R og g : B R være differentiable funktioner. Så er sumfunktionen f g : A B R differentiabel, og ( f g ( f ( g( + f ( g ( Bevis: Trin : 36

39 ( f g ( f g( + ( f g( f ( + g( + f ( g( f ( + g( + f ( + g( + f ( + g( f ( g( f ( + ( g( + g( + ( f ( + f ( g( f ( + g + f g( Her var fidusen af trække leddet f ( + g( fra og samtidigt lægge det til igen. Trin : ( f g f ( + g + f g( g f f ( + + g( Trin 3: Idet funktionen f er differentiabel, så er f derfor kontinuert. Dette betyder, at lim f ( + f ( 0 Vi får da, at lim ( f g f lim ( + g + f g ( 0 0 g f lim( f ( + + ( g 0 g f lim f ( + lim + lim lim g( f ( g ( + f ( g(. Dette viser dels, at produktfunktionen f g er differentiabel, dels at ( f g ( f ( g( + f ( g ( Sætning (FS Lad f A g : B R \ 0 være differentiable funktioner. Så er f / g : A B R differentiabel, og f f ( g( f ( g ( ( ( g ( g( : R og { } Bevis: Idet g er differentiabel, så er definitionsmængden B for g et åbent interval (eller en forening af flere åbne intervaller. Etvert punkt i B 37

40 kan derfor omgives af en omegn indeoldt i B. Dette betyder, at vi altid kan tage grænseværdierne nedenfor. Trin : f f f ( g ( g ( + ( g ( f ( + f ( g( + g( f ( + g( f ( g( + g( + g( f ( + g( f ( g( + f ( g( f ( g( + g( + g( ( f ( + f ( g( f ( ( g( + g( g( + g( f g( f ( g g( + g( Trin : ( f / g ( ( ( f g ( g g f ( g + Trin 3: Idet funktionen g er differentiabel, så er g kontinuert, og lim g( + g( 0 Tages grænseværdien 0, så fås lim ( f / g ( f ( g( f ( g ( 0 g( vilket beviser sætningen. Sætning 3 (FS Lad f : A B og g : B C være differentiable funktioner. Så er den sammensatte funktion g o f : A C ligeledes differentiabel, og der gælder, at ( g o f ( g ( f ( f ( Bevis: Lad 0 A være et fastoldt punkt i mængden A, og definér y f ( B. Definér endvidere jælpefunktionen k : B C ved

41 k ( y g ( y g( y y y 0 0 g ( y 0, y y, y y 0 Idet g er differentiabel, så er k kontinuert, og der gælder g( y g( y0 k ( y ( y y0 for alle værdier af y. 0 Vi skal nu ave sving i tretrinsraketten, men i stedet for at lade 0, så sætter vi 0 + og lader 0 Trin : ( g o f ( g o f ( ( g o f ( 0 k( f ( ( f ( f ( 0 ( g of ( g of f ( f ( 0 Trin : k ( f ( 0 0 f k( f ( Trin 3: Lader vi nu 0, så vil lim k ( f ( k ( f ( 0 k ( y 0 g ( y 0 g ( f ( 0 0 og f f lim lim f ( Kombineres dette, så ses, at lim ( g of g ( f ( 0 o f ( 0 0 Opgaver 7. Opskriv alle detaljerne i beviset for sætning 9. 39

42 5.8 Differentiation af log, ep & pot Hvorfor er matematikere så vilde med den naturlige logaritme og det underlige tal e ? Forklaringen kommer er: Hjælpesætning 4 d t (log a lim log a ( + d t 0 t Bemærk, at sætningen siger, at når man differentierer en logaritmefunktion, så får man differentialkvotienten konstant, idet grænseværdien (konstanten jo ikke afænger af variablen, men kun af grundtallet a. Bevis: Tretrinsraketten med f ( log a. Trin : f log a( + loga + log a( log a( + f log ( Trin : a + log a ( + / / Her forlængdede vi brøken med. Trin 3: At tage grænseværdien, når størrelsen går imod nul er det samme som at tage grænseværdien, når t går imod 0. Så det gør vi: f lim lim log a ( + / lim log a ( + t 0 0 / t 0 t Er vi egentligt blevet klogere? Tja, ikke ret meget; fra ep, pot & log- kapitlet ved vi, at alle logaritmefunktioner er proportionale: Kender vi én logaritmefunktion, f.eks. titalslogaritmen, så kan vi finde alle andre logaritmer ved brug af formlen: log log a ( loga (Det er jo også derfor, at lommeregneren kun ar en eller to logaritmeknapper, nemlig LOG og LN. 4

43 Hjælpesætningen viser, at når man differentierer en logaritmefunktion, så er differentialkvotienten proportional med. Nu kan man jo være smart og konsekvent bruge den logaritmefunktion, vis differentialkvotient er a ( + t, altså vor konstanten limlog. Det viser sig, t 0 t at denne logaritmefunktion netop er den naturlige logaritmefunktion. Man kan overbevise sig om dette ved at beregne grænseværdien for forskellige grundtal. Når man skal beregne grænseværdier på denne måde, så er det smart at beregne udtrykket log ( 7 a + 0 (altså vor t 0 7 og så satse på, at dette tal 7 0 ligger tæt på grænseværdien. Vi ar 7 log ( + 0, ( a log 3 ( + 0 0, 9039 ( a men 7 ln( + 0, ( a e 7 0 Vi ar altså følgende sætning: Sætning 5 d (ln d d (log a d lna Bevis: følger af jælpesætningen ovenfor, idet konstanten lim ln( + t. t 0 t Her kan vi f.eks. gennemføre udregningerne d d d (log a ( ln d d ln a (ln lna d lna lna Eksponentialfunktioner kan differentieres ved at bruge kædereglen: 4

44 Sætning 6 d d e e ( d d a a a ( ln, a > 0 Bevis: Vi ar, at ln( e Dette er faktisk en sammensat funktion, idet vi ligeså godt kunne skrive (lno ep(. Anvender vi kædereglen, så får vi ( e e eller ( e e. ln a ln a ( a ( e ( ln a e lna a Når man skal differentiere potensfunktioner, dvs. funktioner med forskriften a, så skal man passe lidt på - definitionsmængden afænger stærkt af eksponenten a. Vi erindrer fra den geniale ep, pot & log-bog, at R, a N0 Dm( a R \{ 0}, a Z \ N0 ]0; [, a R \ Z Sætning 7 d d a ( a a Bevis: Beviset går ud på at fastlægge et reelt tal, og så se på, for vilke eksponenter a potensfunktionen a er defineret. 43

45 Når > 0, så er der ingen begrænsninger på a. Ved at bruge kædereglen fås, at a a ln ln a a a ( ( e ( aln e a a. Når < 0, så er eksponenten a pisket til at være et elt tal. Vi kan da gøre følgende: a a a a a ( (( ( ( (( Bemærk, at når er negativ, så er positiv. Ved at bruge differentiationen ovenfor kan vi nu differentiere videre: a a a a a a ( (( ( ( a( ( ( a( a a a ( ( ( a a a a. Når 0, så må a være et ikke-negativt, elt tal. Hvis a 0, så er potensfunktionen a den konstante funktion, og differentialkvotienten bliver 0, også for 0, vilket passer fint med formlen. Hvis a > 0, så skal vi bruge tretrinsraketten til at finde d d a ( : 0 44

46 a a a a Trin : f ( a f a Trin : Trin 3: Hvis a, så bliver grænseværdien, vilket passer fint med den formel, vi skal bevise. Hvis a >, så bliver grænseværdien 0, vilket igen passer fint. Bemærk, at vis a > 0, og a ikke er et elt tal, så er udtrykket a nok defineret for 0; men potensfunktionen er ikke differentiabel er. Grunden er jo, at funktionen ikke er defineret i en omegn omkring 0. Opgaver 8. Bevis formlen 3 ( 3 3 ved at omskrive til en potensfunktion og differentiere. For vilke værdier af ar formlen gyldiged? 8. Man kan også vise, af ( e e ved direkte at bruge tretrinsraketten. Her får man da i trin 3 brug for at vide, at e lim (Se opgave 4. 0 Brug tretrinsraketten til at bevise, at ( e e. 45

47 5.9 Newton, Leibniz og fysik Differentialregningen (og dens onde stedbroder, integralregningen blev opfundet samtidigt omkring 685 af englænderen Isaac Newton (64-77 og tyskeren Gottfried Wilelm Leibniz ( Leibniz var mest interesseret i de rent matematiske aspekter af differentialregningen, så som tangenter; men Newton opfandt differentialregningen som et teknisk jælpemiddel indenfor fysikken. Newton arbejdede meget med den del af fysikken, som kaldes mekanikken, og som beskæftiger sig med legemers bevægelse. Som grundlag for mekanikken fandt Newton følgende love: Newtons. lov Et legeme, som ikke er påvirket af nogen resulterende kraft, vil enten være i vile eller bevæge sig med konstant astiged i samme retning. Newtons. lov Et legeme med massen m, som påvirkes af kraften F, vil accelereres med en acceleration a, som opfylder ligningen F m a Newtons 3. lov Et legeme, som påvirker et andet legeme med en kraft, vil af dette andet legeme blive påvirket af en kraft med samme størrelse, men med modsat retning. Og endelig avde Newton sin gravitationslov: Newtons gravitationslov Tyngdekraften mellem to legemer med masserne m og m, og som befinder sig i afstanden r fra inanden, påvirker inanden med en tyngdekraft af størrelsen F G m m r vor gravitationskonstanten G 6, Nm / kg Differentialregningen kommer ind, når man skal finde ud af, vad acceleration og astiged egentligt er for noget. 46

48 Forestil dig, at du ar en partikel, som bevæger sig en-dimensionalt, f.eks. på en ret linie. Partiklens position s kan beskrives som en funktion s( t - positionen s afænger jo af tiden t. Hvad er partiklens astiged, v( t? Hastiged, der er jo noget med tilbagelagt vejstrækning pr. tidsened, dvs. s v( t t. Dette er jo ikke særligt nøjagtigt, fordi tidseneden t er for stor. Så vi lader derfor t gå imod nul, og alt i alt får vi Sætning 8 En partikel, vis position er bestemt ved stedfunktionen s( t, ar astigeden ds v( t s ( t. dt Acceleration er jo astigedsændring pr. tidsened, så derfor får vi Sætning 9 En partikel, vis position er givet ved stedfunktionen s( t, ar accelerationen dv d s a( t v ( t s ( t dt dt Eksempel For en bold, som kastes lodret opad, kan man opskrive følgende udtryk for boldens øjde s over jordoverfladen: m m s( t 4, 9 t + 0 t + 3m s s Hastigeden er m v( t s ( t 9, 8 t + 0 s og accelerationen a( t v ( t 9, 8 m s. m s Heraf kan man se, at boldens acceleration altid er konstant lig 9, 8 edadrettet. Denne acceleration kaldes tyngdeaccelerationen og forkortes g. m s og 47

49 Det generelle udtryk for en partikel, som kastes opad med begyndelsesastigeden v 0 og startøjden s 0, er øvrigt givet ved g s ( t t + v 0 t + s 0. Opgaver 9. Indenfor fysik støder man på fænomenet radioaktivitet. Forsøger man at beskrive dette fænomen matematisk, så finder man ud af følgende sammenæng: N ( t N e kt 0 Her betegner t tiden, N ( t er antallet af kerner af et bestemt radioaktivt stof til tilden t, N 0 er antallet af kerner til tiden t 0, og k er den såkaldte enfaldskonstant, som kun afænger af, vilket stof vi betragter. a Gør rede for, at antallet af kerner aftager eksponentielt med tiden. b Gør rede for, at alveringstiden T / er givet ved ln T / k Fysikere taler også om aktiviteten A( t af stoffet. Størrelsen A( t defineres som antal radioaktive enfald pr. sekund til tiden t. c Gør rede for, at A( t N ( t (Vink: Minusset kommer, fordi kernerne forsvinder ved enfaldet. d Vis, at A( t A e kt 0 vor A0 kn 0, og vis også, at A( t k N( t 48

50 5.0 Stamfunktioner Differentialregningens anvendelse indenfor fysik (kinematik, som blev omtalt i sidste sektion, rejser et fundamentalt problem: Hvorledes bestemmer man en funktion, når man kun kender dens differentialkvotient? Dette problem kaldes stamfunktionsproblemet og er udgangspunktet for integralregningen. Selve integralregningen er en noget kompliceret affære, som naturligt ører jemme på øjt niveau, så vi skal er nøjes med at snuse til emnet. Definition 8 Lad f være en kontinuert funktion. En funktion F kaldes en stamfunktion til f, vis F ( f ( Eksempel Betragt funktionen f ( 3 Nogle stamfunktioner til f er F (, F ( + 6 og F ( 3 Som det ses, ar en funktion normalt flere stamfunktioner. Dette uddybes i nedenstående sætninger: Sætning 9 Lad funktionen f ave stamfunktionen F. Lad k være et vilkårligt reelt tal. Så vil sumfunktionen F + k også være en stamfunktion til f. Bevis: Idet F er en stamfunktion til f, så gælder der, at F ( f (. Vi skal vise, at funktionen med forskriften F( + k er en stamfunktion til f, og dette gøres ved at differentiere: ( F( + k F ( + ( k f ( + 0 f ( 49

51 Gælder det omvendte? Kan enver stamfunktion fås ved at tage en vilkårlkig stamfunktion og ertil lægge en konstant. Hvis definitionsmængden for funktionen f er et interval, så er svaret JA: Sætning 30 Lad f : I R være en kontinuert funktion, defineret på et interval I. Lad F og F være to stamfunktioner til F. SÅ findes en konstant k, således at F ( F ( + k, for alle I Bevis: Vi betragter differensfunktionen F F. Hvad er denne differentieret? ( F ( F ( F ( F ( f ( f ( 0 Idet vi er på et interval, og de eneste funktioner er, som differentieret giver 0, er konstante funktioner, så kan vi konkludere, at F ( F ( k vor k er en konstant. Bemærk, at denne sætning ikke gælder, vis definitionsmængden ikke er et interval. Eksempel Funktionen f: R \ 0 R: a { } ar bl.a. nedenstående to stamfunktioner F: R \ 0 R: a og { } + F : R \ { 0} R: a + 3, > 0 5, < 0 Men disse to funktioner afviger ikke fra inanden med en konstant! 50

52 Man plejer at skrive stamfunktioner som ubestemte integraler, f.eks. 3 3 d + k Det lange S-agtige symbol kaldes et integraltegn. Integralet er ubestemt, netop fordi vi ikke kan bestemme stamfunktionen - konstanten fra sætning 9 og 30 kommer nemlig i vejen. Enver differentialregningsregel giver anledning til en integrationsregel - vi nøjes med at angive de vigtigste: ( ( g( d f ( d + ( ( g( d f ( d kf ( d k f ( d f + g( d f g( d n n+ d n + d ln k + e d e + k + kn Med disse regler kan man beregne mange integraler: Eksempel ( d k k

53 Opgaver 0. Bevis nedenstående formler. (Vink: Differentiér! a ln d ln + k b d + k 3 0. Bestem nedenstående ubestemte integraler: a ( 3 + d b 8 3 d c ( 4 + d d ( e 8 d 4 e ( d f 3 d g ( + d ( 3 + d 0.3 Bestem den stamfunktion F til funktionen f ( 3 +, som opfylder, at F( 0. 5

54 5. Approimation Approimation betyder tilnærmelse, og differentialregning giver en udmærket metode til at beregne tilnærmede funktionsværdier. Ideen er ganske simpel - vi ved jo, at tangenten til grafen for en funktion ligger tæt på selve grafen. Vi kan derfor tilnærme grafen med tangenten. I praksis anvender man ikke denne geometriske sprogbrug. Tangentligningen omdøber man til det approimerende førstegradspolynomium: Definition 3 Lad f være en funktion, som er differentiabel i punktet 0. Det approimerende førstegradspolynomium i 0 er funktionen p( f ( ( + f ( Bemærk den store liged med tangentligningen y f ( 0 ( 0 + f ( 0 Faktisk er tangenten grafen for det approimerende førstegradspolynomium. Anvendelsen af det approimerende førstegradspolynomium ligger som sagt i, at vi let kan tilnærme funktionsværdier. Eksempel Lad os beregne tallet (, Vi observerer, at tallet,0000 ligger tæt på tallet, og at vi er interesseret i at finde en funktionsværdi for funktionen f (. Vi finder det approimerende førstegradspolynomium: 0 f ( 0 f ( f ( ( f ( så p( ( +. Ergo, (, 0000 f (, 0000 p (, 0000, 0000, Dette skal sammenlignes med den eksakte værdi, som er (, 0000,

55 Nu kan man spørge sig selv om, vad brug man ar for approimerende førstegradspolynomier - man kan jo bare tvære tallene ind på lommeregneren! Svaret er naturligvis, at lommeregneren benytter sig af approimerende førstegradspolynomier og den slags. I praksis benytter lommeregneren de såkaldte Taylor-rækker, som er approimerende polynomier af øjere grad. Her ar man brug for den afledede og de øjere afledede i punktet 0. Formlen er f ( f ( f ( n p( f ( + 0 ( ( ( 0!! n! vor vi ar lavet en n'te ordens Taylorudvikling omkring 0. Dette vil normalt være en ganske god tilnærmelse til funktionen f, og jo flere led vi tager med (dvs. jo større tallet n er, jo bedre er approimationen. ( n Eksempel Vi betragter funktionen f ( e med 0 0. Det er meget nemt at ( n differentiere denne funktion; vi ar nemlig f ( e, uanset værdien af n. Taylor-rækken til 5. orden bliver derfor p( 0 e + 0 e ( + 0 e ( + 0 e ( e ( e ( !! 3! 4! 5! Lad os beregne tallet e. Vi sætter i Taylor-rækken og får på lommeregneren e p( , Den rigtige værdi er e, Tagner man istedet den 0. ordens Taylor-række fås e, som passer med mange, mange decimaler. 54

56 5. Newton-Rapsons iterationsmetode Newton-Rapsons iterationsmetode er en rimeligt genial metode til at løse alle mulige slags ligninger. Den kan løse ligninger numerisk, dvs. den kan producere er løsning, som ikke er eksakt, men approimativ. Metoden bygger på differentialregning. Betragt en differentiabel funktion f (. Vi vil finde et nulpunkt for funktionen, dvs. et tal, således at f ( 0. Vi ar en anelse om, at dette nulpunkt ligger i næreden af tallet 0. For at finde en bedre tilnærmelse til nulpunktet end 0 approimerer vi funktionen med dens tangent i 0. Vi kan ikke umiddelbart finde nulpunktet for funktionen, men vi kan sagtens finde nulpunktet for tangenten. Tangentens ligning er nemlig y f ( 0 ( 0 + f ( 0 og forudsat f ( 0 0 (dvs. at tangenten ikke er vandret, så er nulpunktet f ( ( + f ( c c f f ( f ( ( f ( 0 0 f ( 0 f ( 0 0 f ( 0 f ( Dvs. at man kunne formode, at tangentens skæring med -aksen f ( 0 0 f ( 0 er en bedre approimation end 0 til nulpunktet. 0 55

57 Denne proces kunne vi jo gentage eller iterere, og få en endnu bedre tilnærmelse f ( f ( eller endnu, endnu bedre f ( 3 f ( eller endnu, endnu, endnu bedre f ( f ( 3 osv... Vi får altså en række tal: 0,,, 3, 4,..., som skulle blive en bedre og bedre tilnærmelse til nulpunktet. I praksis skynder man sig at opskrive forskriften for den såkaldte iterationsfunktion: f ( F( f ( og så beregne F (, F (, F (, Eksempel Vi vil løse ligningen ln Ser man på graferne for de to funktioner a ln og a, så kan man se, at graferne skærer inanden omkring punktet med - koordinaten,5. 56

58 Vi starter med at omskrive ligningen til den nye ligning ln ( 0 og vi ser, at vi skal finde et nulpunkt for funktionen f ( ln ( ln + Vi opskriver iterationsfunktionen f ( (ln + + f ( ln + ln + F( f ( / + + ( + ln + ( ln ln + (det er ikke altid, at det kan betale sig at omskrive iterationsfunktionen - men er kunne det! Som startværdien 0 vælger vi tallet fra grafen ovenfor, nemlig 0, 5. Ved at iterere får vi F 0 F 5,, ln, ( (,, , 5+ F ( F (, , F( F (, , (Det er en god idé at putte tallet n ind i lommeregnerens ukommelse, når man skal beregne det efterfølgende tal n+. Det viser sig, at vi allerede efter 3 iterationer får en stabil værdi på, Løsningen til ligningen er altså, med 7 decimaler. 57

59 Opgaver. Løs nedenstående ligninger med 5 decimaler. a ln b e 0. Newton-Rapson's metode virker ikke altid. Forsøg med denne metode i nedenstående tre tilfælde. a e 0 med b 5 0 med 0 c e 0 med 0 Havd gik galt? Tegn i alle tre tilfælde de relevante grafer og undersøg grafisk, vad der gik galt..3 En anden metode til at løse ligninger med numerisk, er den såkaldte bisektionsmetode. Denne er langsommere end Newton-Rapson, men kan til gengæld bruges i langt flere tilfælde. Metoden går ud på at finde en løsning til ligningen f ( 0, vor f er en kontinuert funktion. Man starter med et interval 0,, vor f ( 0 og f ( ar modsatte fortegn. Idet f er kontinuert, så må der findes et nulpunkt i dette interval. (Hvorfor?. Sæt ( 0 + / - er midtpunktet af det oprindelige interval. Hvis f ( ar samme fortegn som f ( 0, så må der findes et nulpunkt i intervallet,, og i det andet tilfælde må nulpunktet ligge i 0,. Vi ar nu et interval, som er alvt så stort som det første, og vori det stadigvæk findes et nulpunkt. (Bisektion betyder alvering... Fortsættes på denne måde, så fås en følge af stadigt mindre intervaller, vori der findes et nulpunkt. På et tidspunkt er intervallet så lille, at nulpunktet er bestemt med det ønskede antal decimaler. Tegn graferne for funktionerne i opgave. (vis du da ikke allerede ar gjort dette. Find derefter samtlige løsninger til de tre ligninger va. bisektionsmetoden. Du skal bestemme løsningerne med 3 decimaler. 58

60 5.3 Et urtigt bevis for toppunktsformlen Sætning 3 Parablen med ligningen y a + b + c, a 0 ar sit toppunkt i b b 4ac (, a 4a Bevis: Ligger man på parablen til øjre, så ser man, at vi ar en vandret tangent i parablens toppunkt. Lad os finde - koordinaten til dette punkt: Vi ar, at f ( a+ b og dette udtryk er lig nul for c a+ b 0 b a Dette er altså toppunktets -koordinat! Vi kan så finde y-koordinaten ved indsættelse: b b b b b f ( a( + b( + c + c a a a 4a a b 4ac b 4ac + 4a 4a 4 a 59

61 5.4 Opgaver 4. Nedenstående er taget fra Samvirke, august 980. Det er en del af en artikel af professor Ove Natan om moderne atomfysik: Universets alder - et kort sekund Senest ar kvarkfysikken sat spørgsmålstegn ved endnu en "ellig ko": Protonens absolutte stabilitet. Kvark-modellen forudsiger, at protonen er radioaktiv med en alveringstid på ca år (et ettal med 30 nuller efter. Halveringstiden er den tid, der skal engå, før alvdelen af et vist antal protoner en sønderdelt til andre partikler. Man kan naturligvis ikke direkte måle et tidsrum på 0 30 år - selv universets alder (ca. 0 milliarder år er kun et kort sekund i sammenligning. Men vis man ar mange protoner, kan man i løbet af et års tid gøre sig åb om at iagttage sønderdelingen af nogle få protoner. Forsøget er inden for rækkevidde, vis man iagttager ca protoner, svarende til protonantallet i et middelstort svømmebasin fyldt med vand. I disse måneder er den første forsøgsopstilling til måling af protonens sønderdeling ved at blive monteret i en forladt mineskakt dybt under Jordens overflade. Vi antager i det følgende, at kvarkmodellen older, således at protonen er radioaktiv med en alveringstid på 0 30 år. Angiv en forskrift for den funktion f, der beskriver, vor mange protoner der er tilbage til tiden t, målt i år, når der til tiden 0 er 0 30 protoner. Bestem det approimerende førstegradspolynomium til f i tallet 0. Bestem ved jælp eraf et skøn over, vor mange af de 0 30 protoner der sønderdeles i det første år, og sammenold med artiklens oplysning om dette. 4. I et koordinatsystem ar en parabel ligningen y 4. Der er givet et tal t, t 0. Bestem en ligning for parablens tangent i punktet Pt ( t, t 4. Bestem en ligning for den tangent til parablen, der er vinkelret på tangenten i P t. Bevis, at de to tangenter skærer inanden på linien med ligningen y. 4.3 Funktionen f er givet ved 60

62 f (, 0 Skitsér grafen for f og bestem en ligning for tangenten til grafen i punktet P ( 0, f ( 0. Om etvert punkt S ( a, b i planen gælder, at der gennem S går 0, eller tangenter til grafen for f. Bestem for vert af følgende tre punkter antallet af tangenter gennem punktet: S ( ; 3 S ( ; 3 S ( 0, For vilke talpar ( a, b går der enoldsvis 0, eller tangenter gennem S ( a, b? Beskriv beliggeneden af S i vert af de tre tilfælde. 4.4 Funktionen f er bestem ved forskriften f ( + ln Bestem definitionsmængden for f. Skitsér grafen for f. Grafen for f ar en tangent, der går gennem punktet O ( 0, 0. Bestem en ligning for denne tangent. Beregn et gradtal for den spidse vinkel mellem tangenten og y-aksen. Funktionen f ar netop ét nulpunkt 0. Bestem dette med 3 decimaler. 4.5 Funktionen f er bestemt ved f ( ( Tegn grafen for f, og bestem definitionsmængden for f. Grafen for f indeolder to punkter P og Q med andenkoordinat. Grafens tangenter gennem P og Q danner sammen med linien genneg P og Q en trekant. Bestem arealet af denne trekant. 4.6 Funktionen f er bestemt ved f ( + Bestem vinklerne mellem de to tangenter til grafen med røringspunkterne A (, og B ( 4, Dansk Standard 05. giver regler for afprøvning af forskellige bygningsdeles modstandsevne mod brand. Bygningsdelene opvarmes i en speciel ovn, og temperaturen i ovnen skal stige i overensstemmelse med følgende formel: T T0 50 ln( 8t + vor t er tiden i minutter T er ovntemperaturen i C til tiden t, og T 0 er ovntemperaturen i C ved prøvens begyndelse (t 0. 6