Selvreference i begrænsningsresultaterne

Transkript

1 Selvreference i begrænsningsresultaterne Thomas Bolander, IMM, DTU. tb@imm.dtu.dk To pointer: (1) Der skal kun meget lidt udover selvreference til for at få de klassiske logiske begrænsningsresultater. (2) Det er ikke helt ligetil at slippe af med selvreference (og dermed ikke helt ligetil at slippe af med begrænsningsresultaterne). Brorfelde 2004 p.1/12

2 Paradokser Det mest problematiske biprodukt af selvreference er de paradokser det leder til. Tilstedeværelsen af et paradoks er altid et symptom på at en del af vores grundlæggende forståelse af et emne har afgørende defekter (Barwise og Etchemendy [1984]). Eksempel [løgnerparadokset]. Betragt løgnersætningen: Denne sætning er ikke sand. Spørgsmål: Er løgnersætningen sand? Ja nej & nej ja. Vi skal i det følgende se på en formaliseret variant af dette paradoks. Brorfelde 2004 p.2/12

3 Formelle sprog Vi betragter et formelt sprog følgende symboler: Konstanter: 0, 1, 2, 3,... Variable: x, y, z, w, v, x 1, x 2, x 3,... Symbolerne +,, =, og., som indeholder mindst Formlerne i er tegnstrenge dannet på sædvanlig måde fra disse symboler, f.eks = x = 8 x = y + 2. Variable kan instantieres med konstanter: ϕ(x) ϕ(3) 5 + x = = 8 Brorfelde 2004 p.3/12

4 Definition. Et fortolket sprog er et par (, S), hvor S er en delmængde af formlerne i. En formel ϕ i kaldes sand hvis ϕ S. Den kaldes falsk hvis ϕ S. Definition. Et fortolket sprog (, S) siges at have stærk negation hvis der for enhver formel ϕ i gælder ϕ S ϕ S. I et fortolket sprog med stærk negation er enhver formel enten sand eller falsk. I det følgende lader vi ( sprog., S) betegne et vilkårligt fortolket Brorfelde 2004 p.4/12

5 Selvreference i fortolkede sprog For at opnå selvreference i sproget skal formler kunne tale om andre formler og ikke kun om tal. Lad være en injektiv afbildning fra mængden af formler i ind i mængden af naturlige tal. Denne afbildning knytter et entydigt naturligt tal ϕ til enhver formel ϕ. Dette tal kaldes Gödel koden af ϕ. Hvis tallet ϕ indgår i en formel ψ, kan vi fortolke ψ som udtrykkende en egenskab ved ϕ. Mere præcist kan vi for enhver formel ψ(x) opfatte ψ ϕ som udtrykkende at ϕ har egenskaben udtryk af ψ(x). Brorfelde 2004 p.5/12

6 Definition.(, S) siges at tillade selvreference hvis der for alle formler P (x) eksisterer en term d sådan at P (d) er sand P P (d) er sand d har egensk. P. udtrykket d har egensk. P har egensk. P Sætning. Hvis (, S) indeholder formel aritmetik så tillader det selvreference (diagonaliseringslemmaet). Brorfelde 2004 p.6/12

7 Sandhed i formaliserede sprog Definition. En formel T (x) kaldes et sandhedsprædikat i (, S) hvis der for alle formler ϕ i gælder T ϕ er sand ϕ er sand. Sætning (Tarskis Sætning). Hvis et fortolket sprog har stærk negation og tillader selvreference, så kan det ikke indeholde et sandhedsprædikat. Brorfelde 2004 p.7/12

8 Bevis for Tarski s sætning. Antag at det fortolkede sprog (, S) indeholder et sandhedsprædikat T (x). Da (, S) tillader selvreference, eksisterer en term d sådan at T (d) er sand T T (d) er sand. (1) Sætningen T (d) svarer til løgnersætningen denne sætning er ikke sand. Da T (x) er et sandhedsprædikat gælder samtidig T T (d) er sand T (d) er sand. (2) (1) og (2) giver tilsammen T T (d) er sand T T (d) er sand, men dette er i modstrid med at det fortolkede sprog har stærk negation. Brorfelde 2004 p.8/12

9 Fra Tarski til Gödel I Gödel s ufuldstændighedsteorem betragtes formelle systemer. Disse kan modelleres i samme ramme: Et formelt system er et fortolket sprog (, S), hvor S er de bevisbare formler. Definition. Det formelle system kaldes fuldstændigt hvis der for enhver formel ϕ gælder at enten ϕ eller ϕ kan bevises. Det kaldes konsistent hvis der ikke findes en formel ϕ så både ϕ og ϕ kan bevises. Bemærk: Hvis systemet både er konsistent og fuldstændigt, da har det stærk negation. Brorfelde 2004 p.9/12

10 Definition. Et formelt system (, S) siges at kunne repræsentere bevisbarhed hvis der eksisterer en formel B(x) så der for alle formler i gælder ϕ S B ϕ er bevisbar ϕ S B ϕ er bevisbar Sammenlign med sandhedsprædikater. Hvis systemet har stærk negation bliver ovenstående egenskab netop til sandhedsprædikategenskaben. Derfor: Sætning (Gödels Sætning). Antag et formelt system kan repræsentere bevisbarhed. Hvis systemet er konsistent da er det ufuldstændigt. Formel aritmetik kan repræsentere bevisbarhed (Gödel), så det er enten inkonsistent eller ufuldstændigt. Brorfelde 2004 p.10/12

11 Altså: Tarski s sætning kræver kun selvreference og stærk negation. Gödel s kræver kun selvreference og repræsenterbarhed af bevisbarhed. Kan vi sløjfe stærk negation? Modargumenter: ad hoc løsning, svag udtrykskraft (giver ikke klassisk toværdi-logik). Kan vi sløjfe repræsenterbarhed af bevisbarhed? Hvis vi gør det, får vi blot en anden form for ufuldstændighed: ufuldstændighed i repræsentationen af bevisbarhed. Så er der kun selvreference tilbage... Kan vi sløjfe den? Brorfelde 2004 p.11/12

12 Selvreference eller ej? Er det muligt at skelne mellem selvreferende og ikke-selvrefererende sætninger i formelle systemer? Jeg mener nej. Eksempel. Betragt konsistenspåstanden Con(ZF Inf) for teorien ZF Inf. Set fra ZF Inf er dette en selvrefererende uafgørbarhed (den taler om en overordnet egenskab ved det system den selv tilhører). Samtidig har vi ZF Inf Inf Con(ZF Inf). Altså, set fra ZF Inf er Con(ZF Inf) og Inf ækvivalente. Men vi vil ikke umiddelbart opfatte Inf som en selvrefererende påstand i ZF Inf. På den anden side er der stadig løgnerparadokset... Brorfelde 2004 p.12/12