Henrik Bulskov Styltsvig

Transkript

1 Matematisk logik Henrik Bulskov Styltsvig Datalogiafdelingen, hus 42.1 Roskilde Universitetscenter Universitetsvej 1 Postboks Roskilde Telefon: Fax:

2 Disposition Logisk gyldighed Propositionel logik Første-ordens prædikat logik Aksiomatiske systemer Henrik Bulskov Styltsvig 2

3 Logisk gyldighed I Præmis Hvis det fryser, så er der is på vandet Det fryser Konklusion Altså: Der er is på vandet ( ) Henrik Bulskov Styltsvig 3

4 Logisk gyldighed II Hvis A, så B A B A B A B Henrik Bulskov Styltsvig 4

5 Propositionel logik (udsagnslogik) Alfabetet for det logiske sprog L En mængde P af propositionssymboler (atomiske). p 1 p n. P = {p 1 p n } Logiske konnektorer,,,, Parenteser (, ) Henrik Bulskov Styltsvig 5

6 Velformede formler Mængden af velformede formler defineres på følgende vis: Hvis er et propositionssymbol, så er en velformet formel Hvis er en velformet formel, så er ( ) og en velformet formel Hvis og er velformede formler, så er følgende velformede formler: = phi, = psi Henrik Bulskov Styltsvig 6

7 Semantik Semantikken for eksempelsproget er givet ved følgende hedstabel: ( ) Henrik Bulskov Styltsvig 7

8 Konsistens som eksempel Betragt følgende udsagn: Hussalget falder hvis renten stiger. Ejendomsmæglerne er ikke tilfredse hvis hussalget falder. Renten stiger. Ejendomsmæglerne er glade. Lad H betegne Hussalget falder R betegne Renten stiger E betegne Ejendomsmæglerne er glade Formelt: R H, H E, R, E Er følgende konsistent? Henrik Bulskov Styltsvig 8

9 Konsistens En mængde af udsagn er konsistent, hvis udsagnene kan være e samtidigt. H R E R H H E R H H E R E Henrik Bulskov Styltsvig 9

10 Mulige fortolkninger Har vi et sprog med n atomer er der 2 n mulige fortolkninger (I 1 I m ) Eksempelvis for sproget med atomerne P, Q, R (2 3 ) Fortolkning P Q R I 1 P:= Q:= R:= I 2 P:= Q:= R:= I 3 P:= Q:= R:= I 4 P:= Q:= R:= I 5 P:= Q:= R:= I 6 P:= Q:= R:= I 7 P:= Q:= R:= I 8 P:= Q:= R:= Henrik Bulskov Styltsvig 10

11 Model En model for en mængde formler er en fortolkning der gør alle formler i e Eksempel: = { P, P Q} indeholder to formler, med fire fortolkninger, men kun en model Fortolkning I 1 I 2 I 3 I 4 P P:= P:= P:= P:= Q Q:= Q:= Q:= Q:= Henrik Bulskov Styltsvig 11

12 Tautologi En tautologi er en formel der er i enhver fortolkning P P P P P P Q Henrik Bulskov Styltsvig 12

13 Ækvivalens To formler, siges at være ækvivalente hvis de har samme hedsværdi i enhver fortolkning. Det noteres Eksempel: P Q P Q Betragt følgende ækvivalenser: ( ) ( ) ( ) (( ) ( )) Henrik Bulskov Styltsvig 13

14 Ræsonnering med hedsværdier - Først lidt definitioner En mængde af formler siges at være opfyldelig, hvis har en model, hvilket betyder at ikke indeholder en modstrid En formel er en logisk konsekvens af en mængde af formler, hvis den er opfyldt i enhver model for, hvilket betyder at godtgør. Logisk konsekvens noteres. Henrik Bulskov Styltsvig 14

15 Ræsonnering med hedsværdier Lad propositionssymbolet: Is betegne ingen skyer Ds betegne delvist skyet Os betegne overskyet Samt følgende formler: = {Is Ds Os, (Is Ds)} betegne at det enten er skyfrit, delvist skyet eller overskyet, samt at det ikke gælder at det er skyfrit eller delvist skyet Henrik Bulskov Styltsvig 15

16 Ræsonnering med hedsværdier = {Os Is}, = {Is Ds Os, (Is Ds)} Vis at Is Ds Os Is Ds Os (Is Ds) fals k fals k fals k fals k fals k fals k san d fals k Os Is Henrik Bulskov Styltsvig 16

17 Kort om prædikat logik Prædikatsymboler, hver med aritet, der er 0 elsker(x,y), ersulten(z) Funktionssymbolder, hver med aritet, der er 0 (2 + 2), +(2,2) En mængde af variable Kvantorer ( og ) x(elsker(x,y)) x( elsker(x,y)) Konnektorer,,,, Parenteser og komma Henrik Bulskov Styltsvig 17

18 Bundne og ubundne variable x(p(x)) ( x( y q(x,y))) x(elsker(x,y)) Henrik Bulskov Styltsvig 18

19 Aksiomatiske systemer Formalisering af ræsonnering alene baseret på regler, uden hensyn til hedsværdier Et aksiomatisk system S = L, D, A består af følgende: Et logisk sprog L En mængde af slutningsregler D En mængde af aksiomer A Henrik Bulskov Styltsvig 19

20 Slutningsregel En slutningsregel er en regel, der kan anvendes til at producere en ny formel ud fra givne formler. Den nye formel kaldes slutningen og de givne formler kaldes præmisserne Eksempel: Modus Ponens. Fra og slut Formelskema (præmis) (konklusion) Henrik Bulskov Styltsvig 20

21 Aksiomer Et logisk aksiom er en gyldig formel, som vi vælger at betragte som et formelskema, det vil sige vi ophæver de variable til metavariable. Ved en instans af et logisk aksiom, forstås en formel i sproget, som fremkommer ved at erstatte metavariablene med formler Eksempel: A = Henrik Bulskov Styltsvig 21

22 Udledning af nye formler ved bevis Lad S = L, D, A være et aksiomatisk system. Et bevis for en formel er en sekvens af formler 1,, n i L, hvor = n og for alle i: i er en instans af et logisk aksiom i A, eller i kan udledes fra formler udvalgt blandt 1,, n ved anvendelse af en slutningsregel i D Findes et bevis, siges at være et teorem i S, hvilket noteres S - Henrik Bulskov Styltsvig 22

23 Udvidelse med teorier En udvidelse i forhold til kun at kunne jonglere med gyldige formler. Lad S = L, D, A være et aksiomatisk system. En teori T baseret på S er en udvidelse af S med en mængde formler kaldet ægte aksiomer. Vi noterer dette som T = L, D, A,. Beviser udvides til at tillade ægte aksiomer i beviset. Såfremt der findes et bevis for en formel, siges at være et teorem i T, noteret T - Henrik Bulskov Styltsvig 23

24 Et eksempel S = L, D, A : L: et logiksprog med konnektorerne og D: én slutningsregel: modus ponens A: et logisk aksiom A 1 : ( ) Vi danner en teori baseret på S ved at udvide med de ægte aksiomer : {Is, ( Is Ds) Os} Vi kan nu bevise at Os ikke gælder! Henrik Bulskov Styltsvig 24

25 Bevis for at det ikke er overskyet ( Os) Vi sætter = Os og får 1 = Is; givet i 2 = Is ( Is Ds); instans af A 1 3 = ( Is Ds); af 1 og 2 ved modus ponens 4 = ( Is Ds) Os; givet i 5 = Os; af 3 og 4 ved modus ponens Vi har således vist at i teorien T = S + gælder Os, idet = 5 = Os Henrik Bulskov Styltsvig 25

26 Inkonsistens Hvis det for en teori T gælder for en formel, at både og kan udledes, det vil sige at både - og - holder, så siges T at være inkonsistent. I modsat fald er T konsistent Det bringer os videre til ræsonnering ved modbevis Henrik Bulskov Styltsvig 26

27 Ræsonnering ved modbevis For at undersøge om en formel kan udledes af en mængde formler, antages det modsatte ved at konstruere en ny mængde af formler = + { } hvorefter der søges en inkonsistens i Henrik Bulskov Styltsvig 27

28 Eksempel på ræsonnering ved modbevis Vi ønsker at vise at P følger af: = { P Q, P Q, Q} Vi skal således tilføje P ( P) og vise at vi får en modstrid = { P Q, P Q, Q, P} Ved modus ponens fås: = { P Q, P Q, Q, P, Q} Det vil sige at P følger af Henrik Bulskov Styltsvig 28

29 Resolution Et resolutionssystem er et aksiomatisk system der består af: et sprog med en simpel syntaks: klausul form, en slutningsregel: resolution, den tomme mængde af aksiomer Resolutionssystemer er indrettet efter modbevis-princippet Henrik Bulskov Styltsvig 29

30 Klausulform En klausul er en disjunktion af literaler En formel er på konjunktiv normalform, hvis den er en konjunktion af nul eller flere klausuler. En mængde af formler er på konjunktiv normalform, hvis hver formel er på konjunktiv normalform Eksempel: (P Q) ( R S) T {P Q, R S, T} Således er en konjunktion af formler ækvivalent med mængden af konjunkterne Henrik Bulskov Styltsvig 30

31 Ækvivalenser Vi skal altså blot konvertere en mængde af formler over i en ækvivalent mængde på konjunktiv normalform, og dermed videre til klausulform. Følgende ækvivalenser kan anvendes: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ksi Henrik Bulskov Styltsvig 31

32 Et eksempel på en omskrivning Har vi formlen: P (Q R) Kan den omskrives på følgende vis: (P (Q R)) ((Q R) P) ( ) ( P (Q R)) ( (Q R) P) ( ) ( P (Q R)) ( ( Q R) P) ( ) (( P Q) ( P R)) (( Q R) P) ( ) ( ) ( ) (( P{ P Q) Q ( P, R)) R, Q (( Q R R) P} P) Henrik Bulskov Styltsvig 32

33 Resolutionssystemer Et resolutionssystem er et aksiomatisk system K, {R}, Ø bestående af: et sprog K af alle klausuler bygget over en mængde af atomer een slutningsregel R kaldet resolution den tomme mængde af aksiomer Henrik Bulskov Styltsvig 33

34 Slutningsreglen resolution (forenklet) Betragt den forenklende udgave af resolutionsreglen: To muligheder for 2 2 : 1 1 1, 3 2 : 1 1, 3 3 Henrik Bulskov Styltsvig 34

35 Eksempel på resolution At Q er et teorem i en teori med de ægte aksiomer: = { P, P Q} Kan godtgøres ved modbevis som følger: = { P, P Q, Q} = { P, P Q, Q, Q} = { P, P Q, Q, Q, } Henrik Bulskov Styltsvig 35