Kapitel 18: Virksomheders teknologi

Transkript

1 December 9, 2008

2 Vi ønsker at beskrive de teknologiske begrænsninger som en virksomhed har. Vi har set på forbrugerteorien: Valg Præferencer/Nyttefunktioner: Valgkriterium Budgetmængden: Valgmuligheder Nu ser vi på produktionsfunktioner - virksomhedernes valgmuligheder En del begreber analoge til begreber i forbrugerteorien, men også nogle vigtige forskelle.

3 Input Input er de faktorer der indgår i produktionen: Arbejdskraft (=labor). Jord (=land). Råstoffer. Kapital (=capital). Fysisk kapital: Maskiner, bygninger,... Finansiel kapital: Penge. Måles typisk i flows, f.eks: antal arbejdstimer per måned. antal m 2 kontorareal per dag....

4 Output Output er det eller de goder der bliver produceret. Vi fokuserer på produktion med kun en type output. Hvis input måles i flow enheder, så måles output også i flows, f.eks.: Antal biler per måned. Antal konsultationer per dag....

5 Teknologiske begrænsninger Produktionsmulighedsområdet: Mængden af alle teknologisk mulige input-output kombinationer. Produktionsfunktionen: y = f (x). Angiver randen af produktionsmulighedsområdet. Produktionsfunktioner minder om nyttefunktioner, men her IKKE tilladt at tage vilkårlige voksende transformationer (hvorfor?) Eksempel: 1 input og 1 vare, med produktionsfunktion f (x) = x: produktionsmulighedsområde {(x, y) R 2 x 0, y x}

6 Isokvanter Givet en teknologi betrates Alle kombinationer af input der producerer et givet output. Eksempel: 1 output, 2 input opg prod. fkt. f : I y = {(x 1, x 2 ) R 2 f (x 1, x 2 ) = y} Hvis output en-dimensional, da samme som en niveaukurve for produktionsfunktion. Analoge koncepter: isokvanter for produktionsfunktion. indifferenskurver for forbruger.

7 Eksempler på produktionsfunktioner Leontief produktionsfunktion: y = min{x 1, x 2 }. Eller mere generelt: y = min{ax 1, bx 2 } for a, b > 0 Produktion af én enhed output kræver en bestemt kombination af input. Ingen substitutionsmuligheder mellem input-faktorer. F.eks.: chauffør og lastbil.

8 Eksempler, fortsat... Når input er perfekte substitutter: f.eks: To chauffører; x 1 arbejdstimer chauffør 1; x 2 arbejdstimer chauffør 2. Produktionsfunktion: Eller mere generelt: y = x 1 + x 2. y = ax 1 + bx 2.

9 Eksempler, fortsat... Cobb-Douglas produktionsfunktion: Produktionsfunktion givet ved: for A > 0, a, b > 0 y = Ax a 1 x b 2 NB: Modsat ved nyttefunktioner har koefficient A og absolutte størrelser af a og b betydning!

10 Monotone ( free disposal ): Hvis input øges, falder output ikke. Man kan altid smide ubenyttet input væk uden omkostninger: Hvis (y, x) ligger i produktionsmulighedsområdet, da ligger (y, x ) også i produktionsmulighedsområdet for alle x x. (nb: x og y kan evt være vektorer her). Konvekse: Hvis (x 1, x 2 ) og (x 1, x 2 ) ligger på samme isokvant og giver output y, da kan man producere mindst y med ethvert vægtet gennemsnit af (x 1, x 2 ) og (x 1, x 2 ). Er konveksitet en rimelig antagelse? Lad y være dybden af et hul på en time, x 1 antal gravere og x 2 antal skovle Antag at (3, 3) kan grave samme dybde som (5, 1), da vil (4, 2) grave mindst samme dybde

11 Marginalprodukt Analogt til marginalnytte. For givet fastholdt x 2 kan vi betragte f (x 1, x 2 ) som funktion af x 1 alene. Marginalproduktet: Stigning i output ved at øge x 1 med 1 enhed for fastholdt niveau af x 2 : MP 1 (x 1 ) = f (x 1, x 2 ) x 1 Loven om aftagende marginalprodukt: Efter et vist produktionsniveau er marginalproduktet faldende. Mere præcist: For et vist produktionsniveau x 1 har vi for alle x 1 > x 1. MP 1 (x 1 ) = 2 f (x 1, x 2 ) x 1 x1 2 < 0, analogt til accelerationskurven for biler

12 Teknisk substitutionsrate Teknisk substitutionsrate = Technical rate of substitution = TRS. TRS = hældningen på isokvanten Analogt til MRS. f (x 1,x 2 ) x TRS(x 1, x 2 ) = 1. f (x 1,x 2 ) x 2 TRS(x 1, x 2 ) fortolkes som den mængde vi skal bruge mere af gode 2, når vi nedsætter mængden af input 1 med én enhed for at holde samme produktionsniveau. Aftagende TRS: Hvis langs enhver isokvant at TRS er aftagende i x 1. Aftagende TRS isokvanter er konvekse. NB: Aftagende TRS ikke det samme som aftagende marginalprodukt!

13 Kort sigt vs. Lang sigt Kort sigt: Mindst én inputfaktor kan ikke ændres. bygninger, uopsigelige leveringskontrakter, fyringsvarsler, tjenestemænd Lang sigt: Alle inputfaktorer variable.

14 Skalaafkast Eksempel. Produktion af småkager: Fordobling af alle input giver fordobling af output. Altså. hvis man producerer f (x 1, x 2 ) småkager ved x 1 liter vand og x 2 kilo mel, da - et eksempel på: Konstant skalaafkast: f (2x 1, 2x 2 ) = 2f (x 1, x 2 ). Skalering af alle input med faktor t > 0 giver skalering af output med samme faktor t: f (tx 1, tx 2 ) = tf (x 1, x 2 ), for alle t > 0. Voksende skalaafkast: f (tx 1, tx 2 ) > tf (x 1, x 2 ), for alle t > 1. Aftagende skalaafkast: f (tx 1, tx 2 ) < tf (x 1, x 2 ), for alle t > 1. Ofte et blandingstilfælde. F.eks.: Voksende skalaafkast ved små input/output niveauer. Aftagende skalaafkast ved store input/output niveauer.