. Lineær kinematik Kinematik anaye og dermed kinematik udgør en tor og vigtig de af biomekanikken. I en tørre biomekanik anaye vi kinematikken normat være det ted man tarter, da begrebet omhander ammenhængen meem poition, hatighed og acceeration atå bevægee. Kinematikken er åede naturigt udgangpunktet for denne bog. Samtidigt fungerer dette kapite om introduktion ti notation og matematike begreber der anvende i enere kapiter. Kinematik betegne ofte om værende bekrivende da en kinematik anaye udeukkende bekriver hvike bevægeer/forfytninger et givet egeme opever og åede ikke benytte ti at underøge åragerne ti die bevægeer, dv. de bagvediggende kræfter. I dette kapite vi vi præentere de kinematike begreber ditance, hatighed, acceeration og de tihørende funktioner og anvendeemuigheder, amt de matematike begreber differentia- og integraregning. De idte indgår om et redkab ti bekrivee af kinematike tørreer i en tørre ammenhæng. Vi vi igeede bekrive jævne bevægeer, det krå kat og baae anvendeer af vektorregningen. Der tage udgangpunkt i en række ekemper, der primært kommer fra idrætten verden.. Kinematike tørreer De centrae kinematike tørreer er ditance, hatighed, acceeration og fart. Ditance måe i meter ( m) og angiver den ditance et egeme har bevæget eer forfyttet ig. Hatighed måe i meter pr. ekund ( m/ ) og angiver egemet hatighed på et givet tidpunkt. Acceeration måe i meter pr. ekund i anden ( m/ ) og angiver egemet hatighedændring ti en given tid, dv. forke meem hatighed før og efter i forhod ti tiden gået. Størreerne præciere yderigere nedenfor. Bemærk, at det giver mening at poitioner, hatigheder og acceerationer antager poitive, åve om negative værdier. Fortegnet på tørreen angiver bot at man har bevæget ig i en anden retning, eer man har tabt hatighed i den givne retning. Hvi et egeme f. ek. en fodgænger bevæger ig fra punkt a ti b med en hatighed, v, ige han at have farten v atå den poitive værdi af hatigheden. Såede angiver farten i modætning ti hatigheden kun en (poitiv) tørree, men ikke en retning. Gå ekempevi ført i en retning med m/ er hatigheden og farten på m/. Vende der havvej og øbe tibage ti udgangpunktet med 7m/ er hatigheden her 7m/ men farten er 7m/. 3
. Lineær bevægee.3 Kinematike funktioner Lineær kinematik ogå kadet tranatorik kinematik bekæftiger ig med den de af kinematikken, der forhoder ig ti bevægeer eer forfytninger i ineære retninger kadet retinjet bevægee. Fortåeen af dette begreb ka dog tiade, at man godt kan bevæge ig i andet end ige baner vi betragter bot bevægeen om værende retinjet. Vi vender enere tibage ti die overvejeer... Lineær bevægee i en retning Vi indeder med at betragte bevægee i en retning. Hermed fortå en bevægee, der foregår i en ret inje meem to punkter. Et godt ekempe på en en-rettet bevægee er et meter øb i atetik, hvor en øber bevæger ig i en retning fra tart ti må (figur.), hvorimod en fodbodpier i en kamp vi bevæge ig i fere retninger undervej (figur.9). Bevæger man ig ikke retinjet, ige bevægee at være kurveineær og foregår åede i fere retninger ti forkeige tider. Dette vender vi tibage ti enere i kapitet. Ved hjæp af funktionbegrebet kan vi definere funktioner, der bekriver de kinematike tørreer (e faktabok). t ( ) betegner et egeme poition ti tiden t. t ( ) kade tedfunktionen og angiver atå hvor egemet er ti tiden t. I ekempe. er ( 54, ) 5 m, da øberen Maurice Greene har bevæget ig 5 meter på 5,4 ekunder. vt ( ) betegner et egeme hatighed ti tiden t. vt ( ) kade hatighedfunktionen og angiver åede hviken hatighed egemet beidder ti tiden t. I ekempe. er dette iutreret ved v( 885, ),5 m/, hvor Maurice Greene har hatigheden,5 m/ 8,85 ekunder fra tart. at ( ) er funktionbekriveen af et egeme acceeration og kade acceerationfunktionen. Den angiver et egeme acceeration ti en given tid t. I ekempe.4. er acceerationen udregnet for Maurice Greene. Her er a( 95, ),44 m/, hviket betyder, at øberen beidder en negativ acceeration han miter atå fart. A Figur.. Bevægee i en retning meem to punkter. B Bemærk, at det atid er tiden t, der indgår i funktionen om forkarende variabe. Overvejeerne bag die approkimationer kan anvende i differentiaregningen, da denne håndterer uendeig må tørreer og dermed ændringer i poitioner over kort tid. Hvi de tidintervaer der måe over gøre mindre, vi vi mere præcit kunne angive hatigheden ti en betemt tid, da intervaet jo ikke er å tort ængere. Dermed kan vi ud fra tinærmeen angive et (godt) bud på en ree hatighed. Se deuden afnit.5:»anaytik betemmee af kinematike værdier«. 4. Lineær kinematik
.4 Approkimation af kinematike værdier Har man ikke en pecifik funktion, om bekriver de kinematike tørreer kan man finde gennemnitværdier ud fra de informationer man har. Herti benytte den tærke ammenhæng, der er meem differentiaregningen og ændringer i tørreer eer integraregningen og ummer. I det føgende antage, at ae udregninger tager udgangpunkt i at hatigheder, acceerationer og ditancer er ved tarten af anayen om ekempevi ved et -m-øb i atetik..4. Fra ditance ti hatighed I tabe.. er angivet måinger af Maurice Greene verdenrekordøb på meteren ti VM i Athen, 999. Tiden for ditancen var 9,79. Der foreigger måinger, tiden og hatigheden ved hver meter der er øbet. Deuden vie en grafik fremtiing af øbet, figur.. Vha. forme. kan vi udregne Greene acceeration i ae intervaerne undervej i øbet ekem- Betragte Ben Johnon ditancetider i ekempe., kan man e, at han ti tiden 4,67. paerede 4 meter og 5 meter ved 5,53 ekunder. Det betyder, at han brugte 5,53-4,67.,86. ti at øbe 5-4 m m. Herfra kan finde hatigheden i perioden. Kende ditancen t ( ) ti to tider, t og t, hvor t < t, kan gennemnithatigheden ti tiden t i intervaet t ; t udregne om: t ( ) t ( ) t ( ) vt ( ) t t t (forme.) udtae»deta«og angiver en ændring i en tørree. Vi vi i enere ammenhænge ogå bruge et amindeigt» d «om angivee af denne ændring. I ekempe. er udregningerne iutreret, hvorti det ka bemærke, at vi principiet ka angive tiden om et interva, da det er en gennemnithatighed der regne på. Man kan atå ikke ige, at Johnon havde hatigheden,64 m/ ti tiden 3,8, men bot at det var han gennemnithatighed i intervaet..4. Fra hatighed ti acceeration Acceeration varer ti hatighedændring over tid. Dette kan udnytte direkte, da vi åede kan bruge forme. med hatighedangiveer i tedet for poitionændringer. Betragte Greene hatigheder i ekempe., e det, at han ti tiden,75 havde hatigheden,47 m/ og ved tiden 3,67 øb med,4 m/. Det betyder, at han brugte 3,67-,75,9 ti at ændre in hatighed,4,47 m/,67 m/ Kende hatigheden vt ( ) ti to tider, t og t, hvor t < t, kan gennemnitacceerationen ti tiden t i intervaet t ; t udregne om: vt ( ) vt ( ) vt ( ) at ( ) t t t (forme.) Det er igen centrat, at der angive intervaer, da det er gennemnitacceerationen der udregne. Ekempe. Maurice Greene og meteren Faktabok: Funktioner En funktion er en matematik tørree, der ti hvert input tiordner netop et output. Traditionet krive en funktion om f( x), hvor x er input den forkarende variabe og hvor f( x) y er output (den bekrivende variabe). Et ekempe er en ineær funktion, f( x) x+ 4. Den forkarende variabe er her x og eve udtrykket kade funktionforkriften. Værdien den bekrivende variabe kan udregne og angiver herefter en y -værdi eer en funktionværdi. Væge x 3 i ekempet kan funktionforkriften give o output, f( x). Man kriver f ( 3) 3+ 4. Funktionværdien i 3 er atå, eer y. Atå x 3 y. 5
Faktabok: Omregning meem m/ og km/t At efter hviken ammenhæng man arbejder med kan det have forkeig interee at bekæftige med hatigheder i kiometer pr. time eer meter pr. ekund. Man kan regne frem og tibage meem die tørreer, da km meter og time 66 36. Derfor er km/tm/ 36 / 36 m / /3,6m /. Såede ka man dividere en hatighed i km/t med 3,6 for at få hatigheden i m/. Kører en bi km/t varer dette ti /3,6 m/ 7,8m/. Fra m/ ti km/t er proceen omvendt, og man ganger derfor med 3,6. Løbe der åede med m/ varer dette ti 3,6 km /t36km /t. tid () Ditance (m) Hatighed (m/),,,7 8,7,75,47 3,67 3,4 4,55 4,5 5,4 5,67 6,7 6,8 7, 7,68 7,98 8,57 8,85 9,5 9,79,3 Tabe.. Maurice Greene meter i Athen 999 tid () hatighedinterva Gennemnit- (m/) acceeration (m/ ) [,;,7] [,; 8,7] 5,9 [,7;,75] [8,7;,47],69 [,75; 3,67] [,47;,4],73 [3,67; 4,55] [,4;,5],4 [4,55; 5,4] [,5;,67], [5,4; 6,7] [,67;,8],5 [6,7; 7,] [,8;,68] -,4 [7,; 7,98] [,68;,57] -,3 [7,98; 8,85] [,57;,5] -,7 [8,85;9,79] [,5;,3] -, Tabe.. Acceerationer for Maurice Greene pevi for et tifædigt måetidpunkt i intervaet fra ti 3 meter, t 75367, ;, er gennemnitacceerationen: 8 6 4 hatighed (m/) v( 367, ) v( 75, ) at ( ) 367,, 75, 4, 47 m/, 9, 67 m/, 9, 73 m/ 4 6 8 Tid () Figur.. Maurice Greene meter hatighed i forhod ti tid. I tabe. e udregningerne for ae tidpunkterne. Bemærk, at Greene har en negativ acceeration idt i øbet, det vi ige han taber fart. Ekempe. Ben Johnon og meteren I tabe.3 er angivet Ben Johnon paagetider for hver meter der er øbet ved VM-finaen i 987. Reutaterne er deuden iutreret grafik i figur.3. Vha forme. kan vi udregne Ben Johnon gennemnithatigheder overat i øbet. I intervaet fra 4 m. ti 5 m., hvor t 467553, ;, har vi ekempevi: 6. Lineær kinematik
Faktabok: Infiniteimaregning Infiniteimaregning betyder baat»regning med må tørreer«og der er en kar ammenhæng meem begreberne bevægee, hatighed, acceeration og må tørreer. Infiniteimaregningen betår af integra- og differentiaregning og omhander åede integraer (tamfunktioner) og differentiakvotienter (den afedede). For tuderende med A-niveau i matematik fra gymnaiet er det vekendt, at differentiation og integration er omvendte operationer man kan finde f( x) fra f differentiakvotient ved at integrere. Atå er f ( x) dx f( x). Dette kan udnytte i kinematikken, bandt andet ved at gennemkue, at hatighed varer ti poitionændring. Sammenhængene iutrere i ekempe.4. tid () Ditance (m),,84,86 3,8 3 4,67 4 5,53 5 6,38 6 7,3 7 8, 8 8,96 9 9,83 Tabe.3. Ben Johnon hatigheder på meter i Rom, 987. ditance (m) 8 6 4 ( 553, ) ( 467, ) vt ( ) 553, 467, 4 3m 86, m 86,, 63m/ 4 6 8 Tid () Figur.3. Ben Johnon ditance i forhod ti tiden. Tidinterva () Gennemnithatighed (m/) [,;,84] 5,43 [,84;,86] 9,8 [,86; 3,8],64 [3,8; 4,67],49 [4,67; 5,53],63 [5,53; 6,38],76 [6,38; 7,3],76 [7,3; 8,],49 [8,; 8,96],63 [8,96; 9,83],49 Tabe.4. Ben Johnon gennemnithatigheder. Udregningerne er foretaget for ae intervaerne og e i tabe.4..4.3 Fra hatighed ti ditance Ønker vi at betemme hatigheder ud fra acceerationer eer ditancer ud fra hatigheder kan vi benytte umbegrebet. Dette bunder i ammenhænge med integraregningen om igger uden for denne bog område at bekrive nærmere. Vi ka her bot bekrive fremgangmåden. Have værdier for hatigheder undervej op ti tiden t, kan vi finde ditancen ti tiden t, ved at udregne areaet under hatighedkurven fra ti t. Hatighedkurven fremkommer ved grafik at afbide de kendte værdier og forbinde die. En måde at udregne areaet på er at opdee hee areaet i må firkanter, hver med ideængde angivet af de tidintervaer man får opyt og de reterende højder angivet af funktionværdierne dv. de 7
v () v (t) v (t) v (t3) a() a(t) a(t) a(t3) t t t3 t t t3 Figur.4. Angivee af ummer. Trapezummen for intervaet t [ t ; t ] er kraveret ti ventre, opgivne værdier, der varer ti de forkeige t- værdier. En god tinærmee ti det præcie area få nu ved en åkadt trapezum, der regne ved at ægge de fremkomne firkanter eer trekanter area ammen. For at finde hvert area ganger man grundinjen ængde med gennemnittet af de to ider ængder (funktionværdierne) i enderne af intervaet (figur.4). I kapite vi vi anvende en ignende metode, hvor der bot bruge midtummer, dv. tage udgangpunkt i den midterte værdi i intervaet. Ved tre opdeinger i trapezummer er det ud om i figur.4 og hatigheden ti tiden t 3 er tinærmeevi: vt ( ) + t ( ) ( t ) 3 vt ( ) + v( t ) + ( t t ) vt ( ) + vt ( ) 3 + ( t t ) 3 Matematik kan dette angive vha. um-tegnet og hatighedfunktionen på føgende måde: t3 t ( ) vt ( ) t 3 o (forme.3) hvor t i um angiver ændringer i tid. Denne notation vi bive anvendt i enere kapiter. Sumbegrebet kan anvende ti tivarende udregning af hatighed når man kender acceerationen e figur.4. Ekempe..3 Car Lewi og meteren ummer Nedenfor bekrive de førte 3 ekunder af Car Lewie meter fra VM i 987 i Rom, hvor han øb i tiden 9,93. Han tabte her ti Ben Johnon. Data er igeede iutreret grafik og forbundet med kurver i figur.5. Lewie tibageagte ditance kan beregne vha. (trapez) ummer: 36, + ( 3, ) ( 5, ) m/ 6, + 36, + (, 5, ) m/ 78, + 6, + (, 5, ) m/ 9, + 78, + (, 5, ) m/ 98, + 9, + ( 5,, ) m/ 38, + 98, + ( 3, 5, ) m/,98 m Tid (m) Hatighed (m/),,,5 3,6, 6,,5 7,8, 9,,5 9,8 3,,38 Tabe.5. Car Lewie meter i Rom, 987. 8. Lineær kinematik
Hatighed (m/) 9 7 5 3,5,,5,,5 3, tid () Figur.5. Car Lewie hatigheder i meterøbet i Rom 987. Tid () Ditance (m),,5,9, 3,33,5 6,8,,,5 5,93 3,,98 Tabe.6. Car Lewi tibageagte ditance i de førte 3. Car Lewi var atå nået ca. meter på de førte 3 ekunder. Udregne dette for ae de opgivne værdier få taene i tabe.6.4.4 Fra acceeration ti hatighed Omregning fra acceeration ti hatighed har normat kun interee, når man har viden om indgående kræfter og maer (e kapite ). Eer vi det meget jædent være denne vej man går i anayen, da man ofte har kendkab ti hatighed/ditance og herfra regner acceerationen. Fremgangmåden er dog het anaog ti den fra hatighed ti ditance. Vi benytter umbegrebet og hermed trapezummen. Denne udregne ved at opdee det area der fremkommer meem injerne fra acceerationmåingerne og x-aken (e figur.4) Ved fire opdeinger er hatigheden ti tiden : at ( ) + vt ( ) ( t ) 4 at ( ) + a( t ) + ( t t ) at ( ) + at ( ) 3 + ( t t ) 3 at ( ) + at ( ) 4 3 + ( t t ) 4 3 Generet kan dette vha umtegnet og en acceerationfunktion angive om t4 vt ( ) at ( ) t 4 Bemærk, at man andynigvi vi opeve negative bidrag her, da acceerationen ofte varierer meget e ekempe.. t 4 9
.5 Anaytik betemmee af kinematike værdier Har man pecifikke hatighed-, ditance- eer/og acceerationfunktioner kan infiniteimaregningen anvende direkte ti at regne frem og tibage meem de tre forkeige funktioner. Der gæder føgende: ( t) v( t) v ( t) a( t) og derfor vtdt ( ) t ( ) a( tdt ) vt ( ).5. Fra ditance ti hatighed og fra hatighed ti acceeration For at finde acceerationen for en bevægee når vi kender bevægeen hatighedfunktion, ka vi åede differentiere hatighedfunktionen og indætte værdien for t. Fremgangmåden er vit i ekempe.4. For at komme fra tedfunktion ti hatighedfunktion ka vi på het amme vi differentiere tedfunktionen (e appendix II for en mere uddybende bekrivee af differentiabegrebet)..5. Fra acceeration ti hatighed og fra hatighed ti ditance Ønker man at betemme hatighedfunktionen fra acceerationfunktionen eer tedfunktionen fra hatighedfunktionen benytte integraregningen. Det kan vie, at integraet af en funktion fra et punkt ti et andet præcit angiver værdien af areaet under funktionen. Sammenhængen meem umudregningerne og integraregninger fremtår herfra, da areaberegning ved hjæp af (trapez)ummer er en (god) approkimation ti areaet (e afnit.4.3 og.4.4), hvor integraregningen angiver værdien præcit. Gøre intervaerne i areaerne grundinjer uendeig må får vi en ydert præci approkimation og det er netop dette der udnytte i integraregningen. Betragte integraet ti en givet funktion kan vi få den præcie værdi af hatigheden ti en given tid, t, ud fra acceerationfunktionen, eer den præcie værdi af ditancen ti en given tid, t, ud fra hatighedfunktionen. Vi har fremført, at der overordnet gæder at ( ) dt vt ( ) og vtdt ( ) t ( ). Det kan udnytte ti at betemme tedfunktionen anaytik fra hatighedfunktionen e ekempe.4 Ekempe.4 Anvendee af infiniteimaregningen Vha. et matematik redkab kadet regreion kan man ud fra de opyte ta finde en tipa ekakt funktion, der bekriver Maurice Greene hatighed i it øb: vt ( ), 73 t 4 +, 896 t 3, 89 t + 7, 4958 t+, 55 m/ Funktionen er ikke het præci, men kan bruge ti at iutrere fremgangmåden. Integrere vt ( ) kan vi få tedfunktionen, t ( ): t ( ) vtdt ( ) 4 3, 73 t +, 896 t, 88 t + 74958, t + 55, dt 5 73 4 3, t, 896 t 88, t + 5 4 3 74958, t + + 55, tm Fra dette kan vi ti hver en tid udregne hvor angt Greene er kommet. Indætte grænerne t og t 5 få 5 ( 5) v( t) dt 5 3,73 t4 +, 896 t, 88 t + 74958, t + 55, dt 5 4 3, 73 t, 896 t 88, t + 5 4 3 74958, t + + 55, t 43,9 m 5. Lineær kinematik
Det e, at Greene har øbet 43,9 meter på 5 ekunder. Man kan kontroere præciionen af funktionen ved at indætte noge af de aerede opgivne værdier. Differentiere vt ( ) får vi acceerationfunktionen at ( ) v ( t) : at ( ) v ( t) 4 3 (, 73 +, 896 t 88, t + 749, 58t +, 55) 3 4 (, 73) t + 3 (, 896 ) t (, 88) t + 74958, 9, t 3 + 5688, t 3636, t+ 74958, m/ Acceerationen ti tiden t kan regne ved indættee. Ved t 9,5. få at øberen ti idt i øbet havde en acceeration på, 44m/. Dette underbygger påtanden om tab af hatighed ti idt i øbet. Den overordnede ammenhæng meem t ( ), vt ( ) og at ( ) er iutreret i figur.6..6 Bevægee med kontante faktorer Fra de nævnte anaytike ammenhænge kan man udede en forbindee, der kan bruge når man betragter jævne bevægeer, dv. bevægeer med kontant acceeration eer kontant hatighed (acceeration). Gode ekemper på dette er en øber, der øber med kontant hatighed i et øb (ekempe.5), eer en gentand der ippe ti frit fad mod jorden (ekempe.6). I det idte tifæde vi gentanden have kontant acceeration, da den kun påvirke af tyngdekraften, benævnt med g ( g 98, m/ ). Bemærk åede, at der ikke er krav ti i hviken retning den jævne bevægee foregår. Det enete krav er, at den er jævn (e figur.7). I det føgende benytter vi de kinematike funktioner t ( ), vt ( ) og at ( ). Antager vi, at den ditance et egeme ekempevi en fodgænger har fyttet ig ti tiden t er t ( ) og at fodgængeren/egemet bevæger ig med en kontant hatighed fra t, her kadet vt ( ), kan den ditance peronen har agt bag ig ti tiden t, t ( ), beregne om: t ( ) t ( ) + vt ( ) ( t t) (forme.4) Når funktionforkrifterne er kendte: Differentiation Differentiation (t) v(t) a(t) Integration Integration Når funktionforkrifterne ikke er kendte: Forhodet meem ændring i ditance og tid Forhodet meem ændring i hatighed og tid (t) v(t) a(t) Udregning af area under hatighedkurven Udregning af area under acceerationkurven Figur.6. Sammenhængen meem de kinematike tørreer.
De to ed på højreiden indikerer ) hvor angt fodgængeren var kommet ti tiden t (initiaditancen) og ) hvor angt han nåede i intervaet t, t. Det idte ed kade den reative ditance i forhod ti initiaditancen. Hvi vi betragter ituationen fra t, dv. vi tarter med at måe tiden for bevægeen når egemet er kommet ti t ( ) vi udtrykket reducere ti t ( ) t ( ) + vt ( ) ( t), da t t t. Overvejeerne kan underbygge af integraregningen, hvorfra vi aerede ved at t ( ) vtdt ( ). I den givne ituation er hatigheden kontant og egemet har aerede bevæget ig t ( ) og dermed da vi ka ægge den aerede tibageagte ditance ti det der ker i intervaet fra ti t : t t ( ) t ( )+ vtdt ( ) t ( )+ vt ( ) t t t (forme.5) Et ekempe på udregninger er givet i ekempe.6. Her er det igeede iutreret hvordan man fra andre kendte opyninger kan regne frem og tibage meem reutater. Ofte er den met intereante anvendee af oventående dog når man har en ituation med kontant acceeration af et egeme om fader mod jorden. Dette hænger ammen med, at netop tyngdekraften jo påvirker ae egemer ti en kontant acceeration nedad mod jorden. Vi udbygger nedenfor udregningerne og betragter anvendeen i den ammenhæng. t ( ) Ekempe.5 Løb med kontant hatighed eer acceeration Vi betragter data fra ekempe.. og antager måke ureaitik at Maurice Greene hoder hatigheden efter at have paeret 6 meter. Vi underøger nu om Maurice Greene under die forudætninger kunne havde ået Tim Montgomery verdenrekord fra på 9,78. Tiden er t 6,7ek, initiahatigheden er, 8 m/ og ditancen er 6, meter. Atå ( 67, ) 6, m ( t ), v( 67, ) 8, m/ v( t ). Udregningen af Greene ditance ved 9,78 er åede ud fra forme.4: ( 978, ) 6, m+ 8, m/ ( 978, 67, ek) 536, m Under forudætning af, at Maurice Greene kunne have hodt in hatighed ved 6 meter paagen vie han atå have øbet mere end meter på de 9,78 og åede tadig have verdenrekorden. Betragter vi igen en fodgænger og antager at egemet fodgængeren har en initiahatigheden på vt ( ) ti en given tid t og en kontant acceeration at ( ) fra t ti t, kan hatigheden ti tiden t, vt ( ), beregne om: vt ( ) vt ( ) + at ( ) ( t t) (forme.6) Højreiden indikerer initiahatighed og ændring her hatighed i intervaet t, t. Den idte de kade den reative hatighed i forhod ti initiahatigheden. V(t) V(t) V(t) Figur.7. Ekemper på jævne bevægeer.. Lineær kinematik
Hvi vi betragter ituationen fra t, dv. vi tarter med at måe tiden for bevægeen når egemet har hatigheden vt ( ) vi udtrykket reducere ti vt ( ) vt ( ) + at ( )( t), da t t t. Anaoge overvejeer fra før og ammenhængen vt ( ) atdt ( ) giver o: V(t) vt ( ) vt ( ) + atdt ( ) t t vt ( ) + at ( ) ( t t) (forme.7) Figur.8. Det frie fad. Bemærk, at der intet er ti hinder for, at hatigheden ved t er avere end ved t atå at egemet har tabt hatighed. Så er at ( ) ( t t) bot negativ, hviket indikerer en negativ acceeration og dermed et tab i hatighed ti idt i perioden. Forme.5 og.7 kan ætte ammen. Ved man at et egeme acceererer kontant og det har bevæget ig ditancen t ( ) ti tiden t og har hatigheden vt ( ) ti amme tid, har vi: t ( ) t ( )+ v( t) t t + ½ at ( ) t t Med t få t t og derfor: (forme.8) (forme.9) Dette anvende peciet i overvejeer, hvor vi betragter vertikae bevægeer. Her påvirke egemer, om tidigere nævnt, ti den kontante tyngdeacceeration (e ekempe.6) Ekempe.6 Det frie fad ( ) ( ) t ( ) t ( )+ v( t) ( t) + ½ at ( ) ( t) Det frie fad er en genere bekrivee af en bevægee, hvor en gentand ippe i en vi højde i et frit fad mod jorden overfade (e figur.8). I dette ekempe betragte en tennibod, der hode af en peron,5 meter over jorden og ippe. Efter boden er uppet påvirke den kun af tyngdekraften, om acceererer den kontant med 98, m/ hee vejen mod guvet. Vi er i det føgende bort fra uftmodtand og vi nu gerne kunne beregne hvor ang tid det tager boden at nå jorden. Boden vi udeukkende bevæge ig i horionta retning y -retningen å vi har en bevægee i en retning mod jorden. Væger vi tartpunktet om der hvor boden er uppet fra, har vi t ( ). Hatigheden fra tart er vt ( ) og tiden t. t ( ) h, 5m. Der er kontant acceeration og vi får: t ( ) t ( ) + vt ( ) + ½ at ( ) 5, + t + ½ 98, m/ t,55 t I den nætidte igning e en. gradigning der øe og giver t 55,. Boden rammer atå guvet efter,55 ekunder. Vi kan ogå udregne boden hatighed, når den rammer guvet: vt ( ) vt ( ) + vt ( ) t v( 55, ) + 98, m/, 55 v( 55, ) 539, m/ 3
.7Lineær bevægee i to retninger kurveineær bevægee I ae de tidigere bekrevne tifæde har vi udeukkende betragtet en bevægee i én retning. Det er dog ofte af tor interee at kunne dee en bevægee op i to retninger. Overordnet foregår en ådan bevægee på en pan fade og kade for en kurveineær bevægee, da den foregår i kurver. Et tidigere givet ekempe er fodbodpier bevægee på en bane. Panen er åede fodbodbanen og herpå bevæger pieren ig i forkeige retninger, men man væger traditionet at opøe ae enkete bevægeer efter to retninger og ikke fere. De to vagte retninger er bekrevet af et traditionet retvinket koordinatytem. I ekempet med fodbodpieren kan man ægge et koordinatytem i en af bane hjørner og herfra betragte retningerne på tvær og på ang. Spieren bevægeer kan nu opøe efter de givne retninger vha. vektorregningen (figur.9). Faktabok: Vektorregning En vektor er en genere betegnee for pie, der vha. in ængde og retning kan angive en bevægee karakteritika. Er vektoren (pien) enheder ang og amtidig danner en vinke med vandret på 3 grader, kan dette iutrere et egeme bevægee om værende enheder i retning 3 grader på den givne tid. 4 3 (3,4) Figur A. Vektorer. Figur B. Koordinatytem og vektor. 3 På amme måde kan det iutrere omfanget af den kraft der virker på en knoge ved fekion af et ed og hviken retning kraften virker i. En vektor betegne a eer vha. tore bogtaver AB hvor A og B i det idte tifæde angiver vektoren begyndee- og endepunkt. Vektorer kan pacere i et koordinatytem og tidee koordinater. Dette krive om a 3, hvor 3 er -koordinaten og 4 -koordinaten ti vektoren. Tegne denne vektor kan man e at den x y 4 entydigt angiver en retning og en ængde. En vigtig egenkab ved en vektor, er at den giver muighed for at»opøe efter koordinater«. I det givne ekempe kan vektoren opøe i 3 i x -retningen og 4 i y -retningen. Dette ætter o ogå i tand ti at finde ængden af vektoren, vha egenkaber for en retvinket trekant pythagora ætning. Længden for en a vektor angive a og regne for en vektor med koordinaterne a x om y a x + y, da vi her netop har opøt vektoren efter koordinater (e appendix III). I ekempet får vi: a 3 a + 3 4 5 4 Man kan igeede addere vektorer. Have a 3 og b 3 4 a+ b 3. + 3 3+ 3 + 6 4 4 ( ) 3 få ved at addere koordinatvit: Man kan på ignende vi overføre andre regnereger fra amindeige ta ti vektorregningen. Man kan ogå grafik ægge vektor ammen hviket kade vektoraddition. Når man arbejder med kræfter kade denne addition for kræfter paraeogram (e kapite ). 4. Lineær kinematik
.8 Det krå kat Figur.9. Bevægee på en fodbodbane. I de kommende ekemper betragter vi et odret pan, hvori boden eer egemet bevæger ig. Koordinatytemet retninger er åede vertika og horionta retning og det er primært die bevægeer vi ka bekæftige o med. Bemærk i øvrigt, at die opøninger i retninger er entydige og at den ammenhoder tørree med en retning. Dette gør, at vi med hed kan udnytte vektorregningen ti at bekrive bevægeerne. Begrebet det krå kat binde ti mange bevægeer det hander overordnet om en forfytning af et egeme, om bevæger ig i parabeform om ved et kat med en gentand. Efter egemet er uppet eer har foradt jorden tiger det i en kurveignende bevægee ti en makimumhøjde, hvorefter egemet igen bevæger ig mod jorden på en gidende facon (e figur.). De kaike ekemper er om aerede nævnt et kat med en gentand/bod (fra porten verden: pydkat eer kat med en amerikank fodbod) og et hop med tiøb (ængdepring eer højdepring). Det krå kat har noge generee karakteritika, der igeede er iutreret på figur.. Initiahatigheden, om egemet ende af ted med (den reuterende hatighed), betegne vt ( ), vinken meem jordoverfaden og egemet retning efter afæt/kat kade kate/afætvinken og betegne θ, (græk bogtav kadt»theta«), men aftanden meem kate og nedagpunkt kade den horiontae ditance og benævne. Aftanden meem jorden og det højete punkt på kateparaben (egemet makimae højde) kade den vertikae ditance, h. Vi er i de føgende udedninger bort fra uftmodtand og regner åede tyngdekraften, om den enete ydre kraft, der påvirker et egeme i uften. Det bemærke aerede nu, at den højde, hvorfra egemet tarter bevægeen i uften ikke behøver at være i den amme højde om andingen t V(t ) h θ t t Figur.. En kateparabe. 5
foregår i. Vi behander begge tifæde i det føgende, men giver aerede nu føgende overvejeer: Ved et ængdepring vi man oftet betragte pringeren tyngdepunkt om det bevægende egeme og underøge dette undervej i pringet. Tyngdepunktet er okaieret et tykke over jorden ved afæt (e kapite 5 om maemidtpunkt/tyngdepunkt), men det ved andingen normat er tættere på jorden. Ved udpring fra vippe vi udpringeren tage tiøb og ætte af 5- meter over andinghøjden. Ved kugetød vi tøderen ippe kugen fra trakt arm over hovedet, men den horiontae ditance, om kugen bevæger ig måe fra katecirken ti der hvor kugen rammer jorden..8. Det krå kat med tart og utpunkt i amme højde I det føgende antage tart og utpunkt i amme højde. Vha. trigonometrike overvejeer kan man opøe den reuterende hatighed vt ( ) i en vertika komponent og en horionta komponent. Dette giver: v ( t ) v ( t ) co θ x og v ( t ) v ( t ) in θ y hvor indiceringen på hatighedfunktionen angiver retningen horionta ( x ) eer vertika ( y). Vi antager, at ( t ) ( t ) x y, dv., at tartpunktet for katet eer pringet igge i koordinatytemet begyndeepunkt (,). Da vi har antaget, at uftmodtanden er nu, er a ( t ) og vi har en jævn bevægee i x x -retningen. Vi kan ud fra overvejeerne bag forme.4 angive en forkrift for bevægeen ditancen i denne retning: ( t ) v ( t ) co θ t x (forme.) På amme måde har vi en jævn bevægee i y -retningen, hvor kun tyngdekraften påvirker egemet. Tyngdekraften virker med kontant acceeration g i modat retning nedad. Derfor indgår kontanten med negativt fortegn: ( t ) v ( t ) in θ t ½ g t y (forme.) Og åede har vi ved at differentiere hatighedfunktionerne: v ( t ) v ( t ) co x θ v ( t ) v ( t ) in θ g t y (forme.) (forme.3) Betragter vi die igninger kan vi udede fere ting. Lad o antage, at egemet når it højete punkt ti tiden t t og rammer jorden ved t t, atå ( t ) x Vi ved, at på det højete punkt af bevægeen er den vertikae hatighed, dermed v ( t ) v ( t ) in θ g t y, da bevægeen går fra at være opad ti nedadrettet. Ved at ioere t får vi: vt ( ) (in θ) t g (forme.4) Betragter vi ( t ) v ( t ) in θ t ½ g t h y indætte fra forme.4 har vi: t h vt ( ) (in θ) g og (forme.5) Det kan deuden vie, at når tart og uthøjde er den amme er bevægeen ymmetrik omkring bevægeen højete punkt. Ergo er t t og fra forme.4 har vi derfor: vt ( ) inθ t g (forme.6) Vi kan dermed ogå finde den horiontae ditance, : ( t ) v ( t ) co θ t x. Indætte udregningen for har vi: t vt ( ) in( θ ) g (forme.7) Vi er, at vinken θ og initiahatigheden begge er forkarende variaber i denne funktion. I ekempe.7 underøge denne ammenhæng. 6. Lineær kinematik
Ekempe.7 Afætvinken og denne påvirkning af ditancen i det krå kat Fathode initiahatigheden for et kat om vt ( ) 5m/, kan vi ændre katevinken og e hvad dette har af betydning for den vertikae og horiontae ditance. I begge tifæde anvende forme.5 og.6. Reutatet af die udregninger kan e i tabe.7. Ekempevi for θ 3 : ( 5 m/) in( 3) h 98, m/ 86, m ( 5 m/) in( 3 ) L 9, 84 m 98, m/ Det e, at den ængte horiontae ditance nå ved θ 45. Dette er en genere egenkab ved det krå kat, når tart- og utpunkt er i amme højde. Vinke ( ) Vertika ditance, h (m) Horionta ditance, (m),, 5,77,46 3,86 9,84 45 5,73,9 6 8,59 9,84 75,69,46 9,46, Tabe.7. Vertika og horiontaditance om funktion af afæt/kate vinke. Udregnet vha.6 og.7. I praktike tifæde vi det ofte være af interee at finde afæt/kate vinken eer initiahatigheden ud fra en opmåt makima vertika og horionta ditance. Herti kan vi bruge føgende ammenhæng: θ arctan 4 h hvor arctan( θ) tanθ og (forme.8) er den omvendte funktion ti vt ( ) gh inθ (forme.9) I ekempe.8 præentere anvendeen af die former i forbindee med et gofag. Ekempe.8 Et gofag (det krå kat) Antag, at en gofpier år ti en bod og den ander 5 meter ængere fremme efter aget. Vi måer, at boden var i uften i 4 ekunder og vi gerne udregne boden udgangvinke og initiahatighed. Figur. vier ituationen. Vi ved at t 4/. og t ( ) 5 m. Anvender vi ammenhængene fra jævne bevægeer i en retning har vi: ( t ) ( t ) + v ( t ) ( t t ). Da t x x x og den totae ditance er 5 meter når vi frem ti: 5 + v ( t ) 4 v ( t ), 5m/ x x. Man bemærker, at dette er hatigheden i x - retningen, og vi eder efter den reuterende hatighed atå ikke i en pecifik retning. Vi manger åede tadig noget. Vi udnytter nu, at ( t ) ( t ) + v ( t ) t ½ g t y y y, da boden rammer jorden ved t t 4. Dette giver (da ( t ) y ): v ( t ) 4 ½ 98, m/ (4) y v ( t ) 9, 64m/ y Nu har vi hatighederne i x og y retningerne og kan regne den reuterende hatighed vha. ammenhængen i en retvinket trekant (e appendix I): vt ( ) v ( t) + v ( t) x y (, 5 m/) + ( 9, 64 m/) 3, 8m/ Boden havde atå en initiahatighed på ca 3, 3 m/. Vi kan nu ogå finde den vertikae ditance: 7
t V(t ) h θ t t h V(t ) θ Figur.. Et gofag. Figur.. Det krå kat med udganghøjde forkeig fra andinghøjde. ( t ) h x ( t ) + v ( t ) t ½ g t y y + 9,64 m/ ½ 98, m/ 9, 6 m Boden var derfor ca. 9,6 m over jorden på it højete ted. Udregningen af udgangvinke få vha. forme.8: ( h t ) arctan 4 x arctan 4 3, 8 6, 77 5 Boden bev derfor ået af ted i en vinke på 6,77 med vandret..8. Det krå kat med tart og utpunkt i forkeig højde I det føgende antage, at tartpunktet ikke igger i amme højde om utpunktet. Overordnet betyder det, at ( t ) h y. Situationen kan igen øe vha. overvejeer om jævne bevægeer. Her har vi jo netop taget højde for, at egemet kan have en initiaditance eer hatighed. Vi minder om, at vt ( ) er den reuterende initiahatighed. Vi antager om tidigere, at ( t ) x, hviket bot betyder, at den horiontae ditance er. Legemet rammer atå jorden meter fra tartpunktet. Vi kan bekrive ituationen ved at betragte den horiontae ditance: t t x ) + v t ) co θ t + v( t ) coθ t t vt ( ) coθ (forme.) For at dette kan bruge må vi forhode o ti, at ( t ) h y. Udnytte at ( t ) y har vi: ( t ) ( t y y ) + v( t ) inθ t ½ g t h + v( t ) inθ t ½ g t (forme.) Fra forme. og. er der fere muigheder, at efter hvad der er kendt. Kender man tre af de fire indgående variabe, initiahatigheden ( vt ( ) ), katevinken ( θ ), tiden i uften ( t ) eer højden h, kan den reterende variabe betemme direkte fra den fremkomne igning eventuet ka man øe en. gradigning. Kender man i tedet ammen med enkete af de andre variabe kan man ubtituere det tidigere fundne udtryk ind for : h v t (forme.) Vi minder om, at g 98, m/ og kende 3 af de fire indgående variabe her kan den idte finde. Ekempe.9 betragter et kugetød og beregner forkeige ukendte tørreer. t + ( ) inθ ½ g vt ( ) co θ vt ( ) coθ h + in θ ½ g co θ vt ( ) co θ h + tanθ ½ g vt ( ) coθ t Her kan vi ioere : 8. Lineær kinematik
Ekempe.9 Kugetød Antag, at en kugetøder tøder kugen meter. I dette ekempe har vi deuden kunne måe katevinken ti 4 og at kugen biver uppet, meter over jorden, e figur.3. Vi ønker nu at beregne hatigheden af kugen da den forod kateren hånd og kugen tid i uften (»vævetiden«). Vi ved nu, at ( t ) m, θ 4 x og h, m. Indæt i forme.. t m vt ( ) co θ vt ( ) co 4 6, m vt ( ) Dette indætte i forme.: + 4 6, m, m tan ½ 9,8m/ vt ( ) 8,88 m 3346,83 m vt ( ) Reducerer man på udtrykket og øer. gradigningen får man vt ( ) 3, 3m/. Kugen bev atå endt af ted med 3,m/ 3. For at finde vævetiden t indætter vi vt ( ) 3, 85 m/ i forme. og får: 6, m t,96 vt ( ) coθ 3,3 m/ Kugen vævede atå i,96 ekunder. Det, der normat er af tørt interee, er den horiontae ditance. I ituationen med forke meem tart og uthøjde, kendt initiahatighed og vinke har vi (forme.3): ( t ) x vt ( ) inθ co θ+ vt ( ) co θ vt ( ) inθ g ( ) + gh vt ( ) vt ( ) ( ) in( θ ) + in( ) (co ) θ + h vt θ g g g (forme.3) Her kræve kendkab ti katevinken, θ, tarthøjden, h, og den reuterende initiahatighed vt ( ) for at ditancen kan regne. I ekempe. vie anvendeen af formen. Y 4 3, meter (e ekempe) t θ v(t ) t h t X 4 6 8 4 6 8 meter Figur.3. Et kugetød. 9
h h v(t ) Vinke, θ ( ) Horionta ditance, (m) 3 55 7,53 3 47,5 8,89 3 45 9, 3 4,5 9,9 3 4 9,6 3 38 9,5 4 45,88 4 4,9 4 38,76 4 4,9,96 Tabe.8. Horiontaditance om funktion af afæt/katevinke og katehatighed. Ekempe. Den horiontae ditance i et kat med forkeig ut og tarthøjde Vi kan etimere den horiontae ditance i et tød med en kuge, ved at fathode noge af de andre variabe i forme.3. Antage at kugen kate i højden, meter og variere udganghatigheden meem 3 m/ og 4 m/ og variere θ i intervaet fra 4 ti 55 få reutaterne i tabe.8 Det kan ane ud fra tabeen, at 45 ikke mere er den optimae vinke for tødet. Det kyde, at h ikke mere er. Man kan optimere denne igning med vt ( ) 3m/ og her finde at θ ka være 4,9. Dette giver en ængde på 9, meter. I ekempe. finde udregninger for et ængdepring. Ekempe. Længdepring Som den idte de af gennemgangen af det krå kat betragter vi en ængdepringer og vi ud fra noge givne opyninger forøge at udregne hvor angt han pringer. Vi vi i det føgende antage, at det er pringeren tyngdepunkt der er af interee. Såede betragte dette ved afæt og ved nedag. Vi antager, at tyngdepunktet rent fyik er, meter over jorden ved andingen, hviket i praki givet varer ti, at pringeren ander på bagdeen. Deuden antager vi, at det bagerte nedagpunkt netop er tyngdepunktet, og det derfor er her vi ka måe den horiontae ditance ti. Man ka dog bemærke, at tyngdepunktet er idt foran afætpanken ved afæt (e figur.4), å antageerne er ikke het korrekte i forhod ti at regne ditancen. Føgende er yderigere opyt: Springeren ætter af med en horionta hatighed på 8m/ og afætvinken er. Deuden har han tyngdepunkt beregnet ti at være, meter ( h, m) over jorden ved afæt. For at kunne benytte forme. ka vi ført have beregnet h og vt ( ). Da afæthøjden er, meter og andinghøjden, meter kan vi væge at ætte h,,m m. Afæt Landing Figur.4. En biomekanik bekrivee af et ængdepring. 3. Lineær kinematik
Da v ( t ) m/ og θ x kan vi finde den reuterende hatighed ved afættet, vt ( ) 8/co 8, 57m/. Vi indætter nu i forme.3: Såede pringe der 6,89 meter. ( ) vt ( ) inθ co θ+ vt ( ) co θ vt ( ) inθ + gh m g ( ) + 857, in co + 857, co 857, in 9, 8, m 98, 68, 9m 3