Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes ved de skriftlige prøver i matematik, hvor eleverne ikke er koblet på nettet. Grafer mv. kan direkte indsættes i et Worddokument, hvilket er en fordel, idet illustrationerne kan kobles direkte med forklarende tekst og beregninger. Som navnet indikerer, er der tale om et program, der kan anvendes til funktionsundersøgelse, idet man kan tegne grafer, bestemme ekstremaer, nulpunkter, tangentligninger, integraler etc. Det rummer således ikke direkte faciliteter til finansiel regning samt statistik; men med lidt snilde kan det dog anvendes fx til tegning af trappediagram/sumkurve m.v. Hvis man omskriver de finansielle formler til funktioner, kan programmet ligeledes anvendes til bestemmelse af fx renten, antal terminer og lign. Efterfølgende indeholder en introduktion til nogle af de elementer, der er relevant på C-niveau. Juli 2009 Manual Matematik C Side 1
Indhold Forord... 1 Downloade programmet... 3 Graf for funktion... 4 Justering af akser... 7 Indtegning af gitterlinjer... 8 Tabelværdier... 10 Angivelse af punkter på en funktion... 14 Skæringspunkt mellem to funktioner... 17 Skæring med x-aksen... 21 Bestemmelse af løsningen til en andengradsligning... 23 Bestemmelse af toppunkt (ekstrema)... 25 Bestemmelse af forskrift for en lineær funktion gennem to givne punkter... 27 Enkeltlogaritmisk papir... 30 Bestemmelse af forskrift for eksponentiel funktion ud fra to givne punkter... 32 Bestemmelse af forskrift for en potensfunktion gennem to givne punkter... 34 Pæneste funktion gennem en række givne punkter... 37 Graf for funktion med begrænset definitionsmængde... 39 Stykkevis lineær funktion... 40 Ligningsløsning... 43 Tekst og forklaring til grafer... 46 Tekst med formler, brøker og lignende... 48 Trappediagram... 51 Sumkurve... 55 Bestemmelse af parametre i kapital eller annuitetsformel... 56 Manual Matematik C Side 2
Downloade programmet Søg på nettet efter GRAPH og vælg herefter menupunkt med download programmet Herefter vælges SetupGraph hvorefter installationen går af sig selv Manual Matematik C Side 3
Graf for funktion I programmet vælges enten funktion i menubjælken øverst eller ikonen med en graf, hvorefter dette billede fremkommer: Man kan herefter indtaste en forskrift for funktionen, idet man skal være opmærksom på, at fx ½ skrives som 0.5 (altså punktum og ikke komma) Samtidig vælger man farve og tykkelse på grafen Her er vist grafen for funktionen f(x) = ½x +2 Manual Matematik C Side 4
Her ses grafen for f(x) = x 2-4x Bemærk dette skrives som: f(x) = x^2-4x Hvis grafen skal indsættes i et andet dokument, vælges nu: rediger kopier som billede. Manual Matematik C Side 5
Manual Matematik C Side 6
Justering af akser Grafprogrammet er, når man åbner det, indstillet til at vise et koordinatsystem, der går fra -10 til + 10 på begge akser. Dette kan let ændres, ved man aktiverer menupunktet akser, og herefter indstiller man først x-aksen og dernæst y-aksen. her kan man ligeledes vælge om indstillingen skal være normal eller fx med en logaritmisk skala (aktuel ved eksponentielle og/eller potensfunktioner) Manual Matematik C Side 7
Indtegning af gitterlinjer Nogle gange kan det være formålstjenligt at vise gitterlinjerne fx hvis man vil forklare, hvordan man manuelt tegner en graf. Man kan selv vælge hvor tæt linjerne skal tegnes, hvilket bestemmes af funktionsforskriften og aksernes inddeling. Hvis man fx ønsker at tegne grafen for funktionen f(x) = 2x 4 så vil man få følgende Hvis gitterlinjerne vises, vil man få et billede, hvor man lettere kan forklare, hvordan grafen tegnes manuelt Manual Matematik C Side 8
Manual Matematik C Side 9
Tabelværdier Hvis man ønsker at få oplyst nogle koordinatsæt til en given funktion, vælges menupunktet tabel, hvor man samtidig vælger hvilket interval der skal være tale om, og hvor store spring, der skal være tale om. man kan aktivere tabellen enten via menupunktet funktion eller ved at vælge tabelikonet Her vælges en tabel der springer med værdien 1 og går fra x = -2 til x = 6 Manual Matematik C Side 10
Man aktiverer Beregn hvorefter tabellen fremkommer Det fremgår, at tabellen består af fire kolonner, hvor det på C-niveau kun er de to første, der har interesse. Hvis man ønsker dokumentation for værdien af disse punkter, kan man nu markere de to første kolonner og kopiere disse Herefter kan man indsætte værdierne i en tekstboks, hvilket gøres ved at vælge menupunktet A Manual Matematik C Side 11
Her indsætter man som i Word - det markerede ved at højreklikke på musen og vælge indsæt Når man vælger OK, vil tabellen fremkomme sammen med grafen Manual Matematik C Side 12
Manual Matematik C Side 13
Angivelse af punkter på en funktion Hvis man ønsker at vise punkterne på en funktion kan man fx kopiere tabelværdierne (x,y) Disse punkter indsættes herefter via menupunktet funktion, hvor man vælger punktserie Manual Matematik C Side 14
Man skal her være opmærksom på, hvordan man ønsker punkterne skal vises. Hvis man fx tilkendegiver (som i eksemplet ovenfor), at punkterne skal forbindes med en linje, så får man vist en linje mellem punkterne, som ikke er ønsket Manual Matematik C Side 15
Dette undgås ved at sætte linjetykkelsen til 0 Man kan samtidig afkrydse, at punkterne skal vises i koordinatsystemet (man vælger selv hvor i forhold til punktet) Manual Matematik C Side 16
Skæringspunkt mellem to funktioner Hvis man skal bestemme skæringspunktet mellem to linjer f(x) = -4x + 2 og g(x) = 2x 4 (eller fx skal løse ligningen: -4x + 2 = 2x 4) kan resultatet findes vha. programmet. De to funktioner tastes ind I dette tilfælde kan skæringspunktet aflæses; men programmet kan også angive løsningen Man aktiverer Beregn og herefter evaluer Manual Matematik C Side 17
Herefter stiller man cursoren på en af de to funktioner (i venstre side) hvorefter der fremkommer en ny menu nederst til venstre Manual Matematik C Side 18
Her vælger man så via rullemenuen skæring Herefter kan man stille sig i koordinatsystemet, hvorefter skæringspunktet vises og værdien fremgår af menuen til venstre Manual Matematik C Side 19
Hvis der var flere skæringspunkter mellem funktionerne (fx hvis den ene funktion var en parabel) stiller man sig bare nærmest det punkt, man ønsker at aflæse og gentager herefter proceduren Manual Matematik C Side 20
Skæring med x-aksen Hvis man skal bestemme skæringspunkt eller punkter med x-aksen gøres det stort set på samme måde, som når man bestemmer skæringspunktet mellem to grafer Man indtaster den givne funktion og aktiverer beregn og vælger evaluer Herefter vælger man x-akse i rullemenuen I menuen til venstre fremgår skæringen med x-aksen Manual Matematik C Side 21
Manual Matematik C Side 22
Bestemmelse af løsningen til en andengradsligning Hvis man vil finde løsningen til en andengradsligning forgår det på præcis samme måde, som når man bestemmer skæring med x-aksen. Her ses på ligningen: x 2-5x+4=0 Funktionens forskrift noteres hvorefter man vælger beregn og evaluer Man hopper fra det ene punkt til det andet ved at flytte cursoren Manual Matematik C Side 23
Manual Matematik C Side 24
Bestemmelse af toppunkt (ekstrema) Hvis toppunktet for en parabel skal bestemmes, indtastes funktionen hvorefter man vælger beregn og evaluer. Her er det ekstrema, der vælges i rullemenuen Herefter stiller man sig i koordinatsystemet, hvorefter toppunktet kan aflæses Manual Matematik C Side 25
Manual Matematik C Side 26
Bestemmelse af forskrift for en lineær funktion gennem to givne punkter Hvis man skal bestemme forskriften for en lineær funktion ud fra to givne punkter kan dette gøres ret let i programmet. Hvis man fx får oplyst punkterne A(3,4) og B(-2,-4), starter man med at vælge funktion og herefter punktserie. De to givne punkter indtastet herefter i tabellen Bemærk punkterne er valgt så de markeres med et rødt kryds og linjen gennem punkterne tegnes her med grønt. Hvis det ikke er givet, der skal tegnes en ret linje/lineær funktion, så vælges en tykkelse på 0, så punkterne ikke forbindes Manual Matematik C Side 27
Hvis det er en lineær funktion gennem de to punkter, der skal bestemmes, stiller man sig på serien (venstre side) og vælger enten funktion tendenslinje eller menuen øverst der viser punkter omkring linjen (tendenslinje) Man afkrydser Lineær og aktiverer ok Forskriften for linjen fremgår nu af tekstboksen Manual Matematik C Side 28
Manual Matematik C Side 29
Enkeltlogaritmisk papir Hvis man ønsker at tegne en eksponentialfunktion i et enkeltlogaritmisk papir (ret linje), kan det gøres ved man ændrer y-aksen. Man sætter her kryds i logaritmisk skala, hvorefter grafprogrammet automatisk tilpasser enhederne Manual Matematik C Side 30
Man ønsker ofte at se skalaerne, hvilket betyder, man skal markere vis gitter Dermed ses tydeligt, der er tale om en skala på y-aksen, der ikke er almindelig Manual Matematik C Side 31
Bestemmelse af forskrift for eksponentiel funktion ud fra to givne punkter Dette gøres på stort set samme måde som bestemmelsen af en lineær funktion gennem to punkter! Husk y-værdierne ikke må være negative! Nå man ønsker tendenslinjen, igennem punkterne (-2,1) og (4,3) plottes disse først ind Herefter aktiveres tendenslinje, hvor det er eksponentiel funktion, der afkrydses Manual Matematik C Side 32
Herefter vises grafen igennem de to punkter og forskriften angives i tekstboksen Manual Matematik C Side 33
Bestemmelse af forskrift for en potensfunktion gennem to givne punkter Her plotter man de to punkter ind under punktserie, hvorefter tendenslinje aktiveres, og man vælger potens funktion. her er punkterne (1,2 og (7,9) Husk: her må ingen af værdierne være negative! Når tendenslinjen aktiveres, er det poetens der skal afkrydses Manual Matematik C Side 34
Herefter vil forskriften fremgå af tekstboksen, når man aktiverer OK Manual Matematik C Side 35
Ofte vil man ønske grafen vist på et dobbeltlogaritmisk papir. det betyder såvel x- som y-aksen skal inddeles efter en logaritmisk skala (se enten under enkeltlogaritmisk papir eller eksponentialfunktion gennem to punkter) Man få da følgende: Manual Matematik C Side 36
Pæneste funktion gennem en række givne punkter Hvis man har givet en række punkter i koordinatsystemet, kan man ved hjælp af programmet fastlægge hvilken funktion der er bedst dvs. hvilken funktion de givne punkter vil ligge tættest omkring. Dette gøres på samme måde, som når man bestemmer forskriften gennem to punkter, her bliver værdien af r 2 dog forskellig, idet 1 indikerer, modellen er perfekt. Jo tættere på 1 jo bedre model. Hvis vi fx har punkterne (1,2), (2,4), (3,7 og (4,11) starter vi med at taste disse ind under punktserie Manual Matematik C Side 37
Hvis vi blot ønsker at bestemme, om det er en lineær funktion, eksponentiel funktion eller potens funktion, der bedst kan angive dette forløb, stiller man sig blot på punktserien og får grafprogrammet til at fastlægge den bedste tendenslinje. Det kan principielt gøres i samme koordinatsystem Man aflæser herefter, de givne værdier for r 2 og vælger den model, hvor værdien er tættest på 1. I ovenstående tilfælde er det den eksponentielle funktion (r 2 = 0,99). De to andre funktioner har en værdi på 0,98 Man kan vælge at tage hver funktion for sig og evt. lade punkterne ligge i hhv. et almindeligt koordinatsystem, enkeltlogaritmisk eller dobbeltlogaritmisk. Manual Matematik C Side 38
Graf for funktion med begrænset definitionsmængde Hvis man skal tegne en funktion indenfor et begrænset område (definitionsmængden er afgrænset) kan man angive endepunkterne, når funktionen indtegnes. samtidig kan man angive om et punkt er med eller ej ved at fastlægge om endepunktet skal afsluttes med en åben (punktet ikke med) eller en lukket (punktet med) bolle. Vi ser på funktionen f(x) = 2x 4 for -2 < x < 5 Vi taster forskriften ind under funktion og angiver herefter at -2 er med og 5 ikke er med Grafen ser således ud Manual Matematik C Side 39
Stykkevis lineær funktion Hvis en funktion består af flere funktioner fx en såkaldt stykkevis lineær funktion tegner man blot de enkelte dele hver for sig og husker at tage hensyn til intervallerne. Det grafiske billede vil derefter vise grafen. Ex. 2x 4 for -2 < x < 5 f(x) = 3 for 5 < x < 7-3x + 16 for x > 7 Først tegnes første del (se under funktion med begrænset definitionsmængde). Herefter ses på funktion nr. 2 Manual Matematik C Side 40
Sidste del tages nu Manual Matematik C Side 41
Herefter har man funktionens graf Manual Matematik C Side 42
Ligningsløsning Grafprogrammet kan som sådan ikke løse ligninger; men principielt kan man jo altid opfatte en ligning som to funktioner, der skal være lig med hinanden. Man kan derfor bestemme løsningen ved at taste venstre side ind som en funktion og højre side som en anden funktion. Dernæst kan man v.h.a. grafprogrammet bestemme, hvor de to grafer skærer hinanden. x koordinaten er løsningen til ligningen. Man bestemmer således løsningen til ligningen: 2 1,09 x = 8 således: Manual Matematik C Side 43
Hvis de to funktioner ikke skærer hinanden inden for grafvinduet, skal akserne eller koordinatsystemet ændres. Dette kan man enten gøre ved at ændre akserne manuelt eller man kan zoome ud. Manual Matematik C Side 44
Det gøres ved at aktivere luppen med et minus i, hvorved man fx får følgende billede Nu kan Beregn aktiveres, herefter evaluer. I rullemenuen vælges skæring Løsningen kan nu aflæses til 16,086 Vær opmærksom på, du ved en prøve/aflevering bør dokumentere, at dette resultat er korrekt. det gøres ved at indsætte den fundne værdi på x ets plads og dermed vise, at venstre og højre side i udtrykket er ens. Manual Matematik C Side 45
Tekst og forklaring til grafer Det kan være hensigtsmæssigt at skrive tekst (forklaring og/eller beregninger) ved grafen. Dette gøres ved at aktivere tekstboksen med A. Teksten kan flyttes rundt, justeres i størrelse og farve mm Manual Matematik C Side 46
Manual Matematik C Side 47
Tekst med formler, brøker og lignende I programmet kan man aktivere formeleditor (kendt fra Windows 2003) og dermed indsætte tekst med formler m.m. Dette gøres i tekstboksen således: Først vælges indsæt objekt (nr. 2 ikon i menu bjælken fra venstre) Nu vælges Microsoft Equation Manual Matematik C Side 48
Her kan man nu aktivere de ikoner, der er brug for, så som brøker, kvadratrødder og lign. Manual Matematik C Side 49
Dette indføres herefter i en tekstboks i koordinatsystemet Manual Matematik C Side 50
Trappediagram Graph er velegnet til indtegning af trappediagrammer og sumkurver, idet man kan justere koordinatsystemets akser, så de passer med datasættet, samt plotte punkter ind, der forbindes med linjer. Man tegner ved at indtaste de punkter, der skal forbindes i koordinatsystemet. Hvis det er et trappediagram, der skal tegnes, skal hver x-koordinat skrives to gange i tabellen, hvorimod x- koordinaterne kun skal skrives en gang, når det er en sumkurve, der skal vises. Vi antager, der er lavet en beregning af den summerede frekvens fx for skostørrelserne på en HH-årgang. Følgende data er fremkommet: Skostørrelse x Summeret frekvens i procent F 37 10 38 32 39 54 40 62 41 78 42 86 43 94 44 98 45 100 Akserne indstilles (x-aksen) så akserne skærer hinanden for fx x = 36 Manual Matematik C Side 51
I Graph vælges nu indsæt tabel, hvor følgende indtastes Herefter fremkommer trappediagrammet, hvor man eventuelt kan notere kvartilsæt og lignende. Ved at indsætte tre funktioner f(x) = 25, f(x) = 50 og f(x) = 75 kan man desuden illustrere, hvordan kvartilsættet aflæses. Man kan eventuelt vælge at markere aflæsningen og kun lade den gå i det interval, der er aktuelt. Manual Matematik C Side 52
På samme måde kan man begrænse den lodrette markering af aflæsningen ved at indsætte en relation og sætte grænser for y. Det gøres således: Manual Matematik C Side 53
Det endelige trappediagram, ser således ud: 100 90 80 70 60 50 40 y (39,54) (40,54) Skostørrelser (40,62) (41,62) (41,78) (42,78) (42,86) (43,86) (45,100) (46,100) (44,98) (45,98) (43,94) (44,94) 1. kvartil: 38 2. kvartil - median: 39 3. kvartil: 41 30 20 (38,32) (39,32) 10 (37,10) (38,10) (37,0) 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 x Har man først udarbejdet et, er det let at ændre heri, idet et klip på billedet aktiverer programmet, hvorefter man hurtigt kan ændre i tabelværdierne etc. Manual Matematik C Side 54
Sumkurve På samme måde udarbejdes en sumkurve. Først indtastes de respektive værdier i en tabel: Her efter justeres akser eventuel (se hvordan under trappediagram), man markerer evt. kvartilsæt (se hvordan under trappediagram). Det endelige billede bliver da således: 00 y mobiltelefonforbrug! (400,100) (450, 90 80 (350,87) 70 60 1. kvartil: ca. 160 2. kvartil - median: 225 3. kvartil: ca. 305 (250,60.9) (300,73.9) 50 40 30 (200,39.1) 20 10 (0,0) (100,21.7) (150,21.7) (50,4.7) 50 100 150 200 250 300 350 400 x Manual Matematik C Side 55
Bestemmelse af parametre i kapital eller annuitetsformel Graphprogrammet er IKKE et finansprogram; men man kan få programmet til at beregne fx antal terminer, renteprocenten og lignende. Dette gøres ved at indsætte formlen som funktion. Ex. 1. Bestemmelse af begyndelseskapital K 0 K n = 5000 renten = 5 % (0,005) Antal terminer = 12 K n = K 0 *(1+r) n I grafprogrammet tastes først funktionen f(x)= 5000 Dernæst tastes funktionen f(x) = x*(1.05)^12 Løsningen fremkommer ved bestemmelse af skæringen Manual Matematik C Side 56
På samme måde kan fx antal terminer i opsparingsformlen bestemmes Ex 2 A n = y* (1+rr)nn 1 1 A n = 4000 y = 500 r = 5 % (0.05) Vi indtaster venstre side som f 1 og højre side som f 2, idet vi lader n være x. Dernæst bestemmes skæringspunktet mellem de to linjer Manual Matematik C Side 57
Herefter bestemmes skæringen mellem linjerne (Beregn/evaluer/skæring) x aflæses til 6,896. Vi har dermed, at antallet af terminer er ca. 6,9 De øvrige parametre kan bestemmes på tilsvarende vis Manual Matematik C Side 58