Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement til kapitel III side 101 til 122 i Vejen til matematik B2. Endvidere er der supplerende materiale omkring omdrejningslegemer fra A2. Sct. Knud Gymnasium Henrik S. Hansen
Indhold Infinitesimalregning... 1 Integralregning... 1 Integrering og det ubestemte integral... 2 Sætning: Stamfunktioner... 2 Sætning: Bestemmelse af stamfunktion... 2 Arealer og bestemte integraler... 4 Sætning: Arealfunktion... 5 Sætning: Det bestemte integral... 6 Sætning: Integralet som grænseværdi for summer... 7 Sætning: Regneregler for det bestemte integral... 8 Areal mellem grafer... 9 Rumfang... 9 Sætning: Rumfanget af et omdrejningslegeme... 10 Integration ved substitution... 12 Sætning: Integration ved substitution... 12
Infinitesimalregning Infinitesimalregning er en gren inden for matematikken, grundlagt af Isaac Newton og Gottfried Leibniz med skabelsen af differentialregning. Der var en lang kontrovers om, hvorvidt det var Newton eller Leibniz, der skabte infinitesimalregningen. Den almindelige konsensus er, at begge opdagede den uafhængigt af hinanden, men at Newton kom først, og Leibniz publicerede først. Infinitesimalregning beskæftiger sig med "uendeligt små" ændringer af kontinuerte funktioner, dvs. matematiske funktioner, der beskriver noget, der ændrer sig "glat". Et eksempel er bevægelse; man kan ikke bevæge sig fra et sted til et andet uden at have været alle steder imellem. For at forstå begrebet "uendeligt lille" (differentielt) kan man som analogi betragte fotografering: Vi tænker på et fotografi som et billede taget på et bestemt tidspunkt, men i virkeligheden er billedet eksponeret i et kort tidsrum. Jo kortere man kan gøre eksponeringstiden, jo mindre ser man rystelser etc. Hvis eksponeringstiden kunne gøres uendelig kort, ville billedet blive perfekt. Infinitesimalregningen kan groft sagt opdeles i to intimt relaterede discipliner: Differentialregning og integralregning. Vi vil i det efterfølgende kigge nærmere på integralregningen. Integralregning I noterne om differentialregning så vi hvordan at væksten til en bestemt -værdi på en graf kunne bestemmes ud fra differentialkvotienten. Vi blev i stand til at differentiere og dermed finde en funktion, som kunne bestemme differentialkvotienten (væksthastigheden hældningen på tangenten i punktet) ud fra en given x-værdi. Når vi differentierede en funktion fik vi også kaldet den afledede funktion. Eks. hvis vi har så kunne vi gætte på at. Det antog vi som sandt da vi netop fik når vi differentierede. Faktisk har vi lige lavet integrationsprøven Integralregning handler om arealer og kan opfattes som det modsatte af at differentiere. Nå vi integrerer får vi en ny funktion og denne kaldes en stamfunktion. Definition (video) En funktion kaldes en stamfunktion til, hvis. En stamfunktion til funktionen betegnes også som kaldes også for det ubestemte integral af, og kaldes integranden. 1
Integrering og det ubestemte integral Ud fra definitionen kan vi opstille følgende sætning: Sætning: Stamfunktioner Hvis er en stamfunktion til så må alle funktioner af typen, hvor c er en konstant, være stamfunktioner til Bevis: (video) Da er en stamfunktion til, må der gælde at. Vi kigger da på Hermed bevist. Hvis det handler om at arbejde modsat af at differentiere, så må følgende sætning gælde: Sætning: Bestemmelse af stamfunktion Hvis så vil en vilkårlig stamfunktion kunne bestemmes ved, hvor c er en vilkårlig konstant, og Bevis (video) Vi benytter definitionen af stamfunktion Da dette nu er vores er sætningen bevist. I praksis kalder vi det integrationsprøven, når vi prøver at differentiere den tiltænkte og se om det giver Vi kunne også kalde det at gætte en stamfunktion. Eksempelvis: Vi ved at så må da Når vi bestemmer stamfunktionen, så bestemmer vi det ubestemte integral. Lav opgave 121 side 119, øvelse 1.18 (a,c,e) side 107, opgave 122 side 119 og opgave 123 side 119 2
Vi kan se, at når vi bestemmer det ubestemte integral, så får vi et konstantled. Hvis vi skal angive en værdi for dette led, så skal vi blot kende et punkt som integralet/stamfunktionen løber igennem. Eksempel Bestem stamfunktionen til som går gennem punktet (2,15) Vores vilkårlige stamfunktion må være Vi bestemmer c ved at løse Altså bliver stamfunktionen Lav opgave 127 side 119 og opgave 128 side 120 3
Arealer og bestemte integraler Differentiering kunne benyttes til at bestemme væksthastigheder. Integrering benyttes til at bestemme arealet mellem funktionsgrafen og x-aksen. (video) Lad os kigge på en genstand, der falder i det frie rum. Vi kan indtegne grafen som følgende. angiver faldhastigheden efter x sekunder. Eks. falder vores genstand efter 4 sekunder med m/s Men hvor langt er den faldet efter de 4 sekunder? Da grafen for giver os hastigheden til en bestemt tid, så må kunne give os information om, hvor langt den er nået til en bestemt tid. Hvis vi bestemmer stamfunktionen til f(x) og antager at den er falder med 0 m/s idet den slippes. (gennem punktet (0,0) ) så får vi følgende. Vi kan se at meter Hvis vi kigger på den første graf igen, så må vi kunne bestemme den tilbagelagte afstand ved at kigge arealet under grafen. Grunden til dette er tid*hastighed=distance. Vi inddeler intervallet i lige store dele med længden og gør hele tiden denne afstand mindre. Dette resulterer i (som graferne viser) n-pinde. Hver pind har arealet højde gange bredde. Der vil gælde at. Når vi så lader så vil I vores eksempel vil arealet under graf væren som vist på figuren. meter F(x) = 4.91*x^2 120 100 80 (4, 78.56) 60 40 20 1 2 3 4 5 sekunder y 50 f(x) = 9.82x y 50 f(x) = 9.82x 40 40 30 30 20 20 10 10 1 2 3 4 5 6 x 1 2 3 4 5 6 x meter/sekund f(x) = 9.82*x 50 40 integral = 78.56 30 Lad os se nærmere på det. 20 10 1 2 3 4 5 6 sekunder 4
Sætning: Arealfunktion Arealfunktionen for en kontinuert funktion er differentiabel og der gælder Arealfunktionen er altså en stamfunktion til. Bevis: (video) Vi opfinder en såkaldt arealfunktion, idet vi lader y f(x) betegne arealet under grafen fra a til b. Funktionen er blot en bagvedliggende funktion til, men med den funktion at den til en given x-værdi angiver arealet undergrafen. Der gælder at er kontinuert og differentiabel. A(6) Arealfunktionen opfylder, at når vi beregner giver størrelsen af arealet af undergrafen fra a og til 6. Endelig er hele arealet undergrafen fra a til b. a 2 3 4 5 6 b x Vi ser stadig på en vores positive og voksende funktion y f(x) f(x) Vi kigger på som er. Vi kigger på det som tre arealer, og opstiller en undersum og en oversum og da får vi a b x og den er kontinuert og differentiabel. da Endvidere vil når Da hele tiden er klemt inde vil i grænseområdet. Dermed må være en stamfunktion til Hermed bevist 5
Som det fremgår af figuren, så er arealet under grafen lig med funktionens værdi i tallet b, dvs at Arealet af under vores graf kan altså nu bestemmes hvis vi kender stamfunktionen. Hvis vi bestemmer en stamfunktion som tidligere nævnt, så kan vi ikke vide, om det netop er, vi har fundet, eller en anden stamfunktion. Men vi ved dog at de kun adskiller sig ved en konstant. Altså at Sætning: Det bestemte integral Lad være en stamfunktion til. Tallet kaldes det bestemte integral af og man skriver Bevis: (video) Vi har tidligere vist at arealfunktionens værdi i tallet b er givet ved Da er en stamfunktion så kan den kun adskille sig fra ved en konstant., da fås Altså bliver Hermed bevist Det gode er her, at vi kan bruge en vilkårlig stamfunktion, da c går ud med hinanden. Eksempelvis: Bestem det bestemte integral for og x-aksen) på intervallet [-2;1]. (arealet mellem graf 6
( ) 10 8 6 4 2 integral = 3. Altså fandt vi det bestemte integral til 3. Grafisk ser løsningen ud som på grafen til højre. -3-2 -1 1 2 3-2 -4-6 -8-10 Lav øvelse 2.10 side 115, øvelse 2.11 side 115, opgave 129 side 120, opgave 131 side 120 og opgave 139 side 121 Det bestemte integral er altså vores areal. Areal under x-aksen er negativt og areal over x-aksen er positivt. Vores eksempel ovenover viser altså at største delen af arealet ligger over x-aksen. Det skal her kort nævnes, at vi også kan kigge på arealet mellem graf og x-asken som en sum af middelværdier. Hvis vi i stedet for over- og undersummer skabe en middelsum af n lige store delintervaller, som det ses på nedenstående tegning, så vil vi når vi lader antallet af delintervaller stige nærme os arealet under grafen. Sætning: Integralet som grænseværdi for summer For en funktion, der er kontinuert i intervallet gælder, at en middelsum på intervallet har en grænseværdi for som er lig med integralet fra a til b (altså arealet under grafen) for Bevis: (video) Vi tegner en tænkt kontinuert, ikke negativ og glat kurve, og inddeler denne i n lige store delintervaller med bredden. Vi vælger nu i hvert interval en tilfældig x-værdi, og hertil bestemmes funktionsværdien. Nu kan vi tegne et rektangel med bredden og højden, og når vi samler alle arealerne fås følgende sum: 7
Vi kan se at hvis vi sætter antallet af delintervaller op, så nærmer summen sig det aktuelle areal. for Hermed bevist. Da vi tidligere mødte det bestemte integral for første gang var det som værdien af en arealfunktion. Integralet var lig med et areal. Så længe vi kigger på en positiv og kontinuert funktion så er det lige meget hvad vi vælger. Areal, det bestemte integral og middelsum er samme tal. Sætning: Regneregler for det bestemte integral 1. Sum og differensregel 2. Konstantregel 3. Indskudsregel Bevis (video) 1. Jf. sætningen om det bestemte integral må der gælde at ( ) Tilsvarende for minus. Hermed bevist 2. Jf. sætningen om det bestemte integral må der gælde at ( ) 8
Hermed bevist. 3. Jf. sætningen om det bestemte integral må der gælde at Hermed bevist. Areal mellem grafer På grafen til højre ser vi to positive og kontinuerte grafer. Der er markeret en punktmængde M hvor der gælder for alle x i intervallet at y f(x) Det er umiddelbart klart, at arealet af M må være lig med arealet under g minus arealet under f. M g(x) x Prøv at kontrollere dette, når det oplyses at og a b Lav øvelse 3.4 side 208 A2, opgave 279 side 234 A2 og opgave 280 A2 Rumfang Integraler blev benyttet til at bestemme arealer i planen mellem grafer og linjer, men hvis vi drejer dette areal rundt om eksempelvis x-aksen får vi et omdrejningslegeme, som vi kan bestemme rumfanget af. (video) 9
Tidligere så vi at arealet i planen var givet som uendelige mange tynde pinde med arealet gælde at, som resulterede i. Det vi skal se nu er uendelig mange cylindere med arealet eller hos os (hvor vi tænker os at cylinderen ligger ned). Vi må altså få rumfanget til. Når vi lader får vi Sætning: Rumfanget af et omdrejningslegeme Det omdrejningslegeme der fremkommer, når punktmængden { } altså arealet mellem graf og x-aksen, drejes 360 omkring x-aksen, har rumfanget Bevis: (video) Vi vælger at inddele omdrejningslegemet i mindre skiver med bredden. Således får vi skiver. Jo mindre jo flere skiver. Finder vi rumfanget af alle disse skiver tilsammen, så har vi rumfanget af omdrejningslegemet. Som under arealet i planen kigger vi først på et voksende interval. Vi får et undervolumen og et overvolumen i forhold til det korrekte volumen. Da vi har valgt fås følgende 10
Vi lader nu og får dermed Vi integrerer på begge sider og får Hermed er sætningen vist. Beviset føres tilsvarende for konstant eller aftagende Eksempelvis. Grafen for afgrænser en punktmængde M. og linjen 6 5 y f(x) Hvor stort bliver rumfanget af den figur som fremkommer når 4 3 punktmængden roteres 360 rundt om x-aksen? 2 1 M g(x) Den nedre og øvre grænse kan bestemmes til eller x 1 2 3 4 5 6 Det er umiddelbart klart, at vi finder punktmængden M ved ( ) (overvej hvorfor) Men vi skal bestemme rumfanget af omdrejningslegemet omkring x- aksen. Så vi må trække rumfanget af den figur, som fremkommer ved roterer punktmængden under f(x), fra rumfanget af den cylinder som fremkommer ved at rotere g(x). y 6 5 4 3 2 1-1 -2-3 -4-5 -6 f(x) g(x) M x 1 2 3 4 5 6 M Lav øvelse 5.5 side 225 A2, øvelse 5.7 side 225 A2 og opgave 288 side 235 A2 11
Integration ved substitution Ved hjælp af følgende regneregel, kan man beregne mange integraler. Desværre er det ikke altid at reglen virker. Metoden er baseret på følgende sætning Sætning: Integration ved substitution For differentiable funktioner f og g gælder, at hvis er kontinuert, så er ( ) ( ) hvor er en stamfunktion til Et lommebevis: Ovenstående kan via Leibniz. Først sætter vi. Nu kan vi skrive det som ( ) Bevis: (video) Da der skal gælde at, kan vi differentiere højre siden, og får vi integranden fra venstreside, så har vi bevist sætningen. Ifølge sætningerne om differentiering af en sum og af en sammensat funktion fås ( ( ) ) ( ( )) ( ) ( ) Hermed bevist. I praksis benyttet vi sjældent sætningen direkte, men udnytter Leibniz skrivemåde. Eksempelvis. Beregn det ubestemte integral Først sætter vi her efter bestemmes Nu kan vi indsætte (substituere) dette ind i integralet Vi har altså fundet Hvis I skal lave den samme beregning i TI, så vil I få forskellige output afhængig af om TI er 12
indstillet til grader eller radianer. Husk på at når funktionen er bygget op på sinus eller cosinus, og når vi indsætter et reelt tal (ikke et antal grader), så skal den stå i radianer. I grader bliver output sin 2 x - 5 x -28.6479 cos 2. x - 2.5 I radianer fås følgende output sin 2 x - 5 x -.5 cos 2. x - 5. Lav øvelse 1.20 side 202 A2, 13