Potensfunktioner Potensfunktioner... Opgaver... 8 Side
Potensfunktioner Funktioner der kan skrives på formen y a = b kaldes potensfunktioner. Her er nogle eksempler på potensfunktioner: y = y = y = - y = a = og b = a = og b = a = og b = a = og b = Bemærk: Hvis b = bliver b usynlig. Man skriver f sjældent Tallet a (potens-tallet) kaldes for eksponenten. y = men kun y =. Eksempel på opgave Lav for 0 tabeller og grafer for potensfunktionerne f() = og g() =. Tabellen kan se således ud: g() g() 0 5 6 7 8 9 0 = 0,5 8,5 8,5 50 = 0 8 8 50 7 98 8 6 00 Graferne ser ud som vist til højre. Da nogle af y-værdierne er ret store, er hele tabellen ikke vist på graferne. Man kan se på både tabellen og graferne: - at begge grafer starter i (0,0) - at begge grafer vokser hurtigere og hurtigere - at vokser hurtigst og hele tiden ligger over. Når a (eksponenten) er større end en (a > ), gælder der: Funktionen vokser hurtigere og hurtigere. Jo større b (tallet man ganger med) er, jo mere vokser funktionen. 50 0 0 0 0 0 g() = 0 5 6 7 f() = Side
Eksempel på opgave Lav for 0 tabeller og grafer for potensfunktionerne Tabellen kan se således ud: f() = og g() =. 0 5 6 7 8 9 0 f() = 0 9 6 5 6 9 6 8 00 g() = 0 8 7 6 5 6 5 79.000 Husk at man kan finder potenser ved at trykke ^ på regnemaskinen. Eller evt. y. Graferne ser ud som vist til højre. Da nogle af y-værdierne er meget store, er hele tabellen ikke vist på graferne. Man kan se på både tabellen og graferne: - at begge grafer starter i (0,0) - at begge grafer vokser hurtigere og hurtigere - at vokser hurtigere end. Når a (eksponenten) er større end en (a > ), gælder der: Funktionen vokser hurtigere og hurtigere. Jo større a er, jo hurtigere vokser funktionen. 70 60 50 0 0 g() = Hvis man forstørrer den nederste venstre del af graferne op, ser de således ud: 0 0 f() = 0 f() = g() = 0 Man kan se, at g() = er mindre end f() = i intervallet mellem 0 og. Tænk selv over hvorfor. Du kan evt. lave en tabel med mange små -værdier mellem 0 og. 0 0 5 6 7 Side
Eksempel på opgave Rumfanget af en kugle kan beregnes med formlen V = π r. V er rumfanget og r er radius. Vis at rumfanget er en potensfunktion af radius. Lav en tabel og en graf for funktionen. Hvad skal radius være, hvis kuglens rumfang skal være liter (.000 cm )? Formlen Altså: V =,8879 r svarende til V = π r svarer til en potensfunktion, hvor b π,8879... y =,8879 = og a =. Tabellen kan se således ud. Tallene er afrundede. r (cm) 0 5 6 7 8 V (cm ) 0,9,5, 68, 5,6 90,8 7 5 Grafen ser ud som vist til højre. Man kan finde den radius, der giver et rumfang på.000 cm på flere måder. - Man kan aflæse på grafen, hvis man laver en pæn graf på mm-papir. - Hvis man tegner grafen vha. et computer-program, har programmet måske en aflæse-funktion. - Man kan prøve sig frem (simulering). Man kan se ud fra tabellen, at den rigtige radius må være mellem 6 cm og 7 cm og sikkert nærmest på 6 cm. - Man kan få det helt præcise svar ved at løse ligningen.000 =,8879 r Man får:,8879 r r = r =.000,8879.000,8879 =.000 = 8,7.. = 6, cm 000 500 000 500 0 V =,8879 r 0 5 6 7 8 Side
Hvad betyder eksponenten? Det lille tal kaldes eksponenten. Men hvad betyder de forskellige slags eksponenter? Eksponent Eksponenten er et helt tal og større end nul: betyder Bemærk:, betyder, betyder betyder. Men man skriver næsten aldrig Eksponenten er en brøk eller et decimal-tal: osv. 0,... Du skal huske, at = betyder, = betyder osv.,7 Men det er meget svært at forklare, hvad potenser, der ikke er hele tal (f ), generelt betyder. Du kan roligt trykke på ^ (eller evt. y ) uden at tænke over betydningen.. Eksponenten er negativ: - betyder =, - betyder, - betyder, -,5 betyder,5 osv. Eksempel på opgave Lav for 0 tabeller og grafer for potensfunktionerne Tabellen kan se således ud. De fleste tal er afrundede. g() f() = og,5 g() =. 0 5 6 7 8 9 0 f() = 0,,7,,5,65,8,6,5 = 0,9,97,8,7,70 5,69 6,7 7,79 8,89 Graferne ser således ud.,5 Grafen for g() = buer kun ganske svagt opad. Grafen ligner næsten en ret linje, men den vokser faktisk mere og mere. Grafen for f() = buer den anden vej. Funktionsværdien vokser mindre og mindre. Men den kan vokse i det uendelige. Husk på at =, og når er et stort tal, bliver også stor. 0 8 6 g() =,5 f() = 0 6 8 0 Side 5
Eksempel på opgave Lav tabel og graf for potensfunktionerne - f() =. - Husk at betyder eller blot. - På regnemaskinen finder man f 5 ved at trykke 5 ^ (-) =. 0 kan ikke bruges som -værdi, men vi tager nogle små decimaltal med i tabellen. Tabellen kan se således. De fleste tal er afrundede. f() 0,75,5 5 7 0 - = 8,556 0,889 0, 0,08 0,0 0,0 Grafen ser ud som vist til højre. Når vokser bliver f() mindre, men f() kan aldrig blive 0. Alle grafer for potensfunktioner med negativ eksponent vil ligne grafen til højre. Jo mere negativ eksponenten er, jo hurtigere falder funktionsværdien. Tænk på at omvendt proportionale funktioner også er potensfunktioner. y = kan jo f skrives som y =. Grafen til højre ligner også graferne for omvendt proportionale funktioner, men grafen er ikke symmetrisk på samme måde som en rigtig hyperbel. 5 0 0 6 8 0 Eksemplerne i dette afsnit viser, at potensfunktioner og deres grafer er meget forskellige. Der findes regler for, hvorledes grafernes form afhænger af eksponenten a, men de er indviklede. Du kan evt. læse mere andre steder. I eksemplerne med positiv eksponent blev der brugt både nul og positive tal som -værdier. I eksemplet på denne side kunne man ikke bruge nul som -værdi, fordi eksponenten er negativ. Men hvis eksponenten er et helt positivt tal (f y = 0, eller y = 7 ), kan man sagtens sætte negative tal ind som -værdier. Side 6
Eksempel på opgave Lav tabel og graf for funktionen f() =. Vi tager både negative og positive -værdier med. Vi får: - - - - 0 f() = 6 9 0 9 6 Grafen ser ud som vist til højre. Den er symmetrisk og kaldes en parabel. (0,0) er toppunkt, og y-aksen er symmetriakse. Herunder er tegnet graferne for disse to funktioner: g() =,5 h() = + Funktionere er ikke rigtige potensfunktioner pga. forskrifternes form, men begge grafer er symmetriske buer ligesom grafen for y = Alle funktioner, der kan skrives på formen y = a + b + c, hvor a 0, har den slags symmetriske grafer. 5 0 - - - - 0-5 - - - -5 g() = h() =,5 + 0 0 - - - - 0 Funktioner på formen y = a + b + c, hvor a 0, kaldes andengrads-funktioner eller andengrads-polynomier. Graferne kaldes parabler. Hvis a > 0 vender parablen benene opad. Hvis a < 0 vender parablen benene nedad. Hvis (og kun hvis) b = 0 og c = 0, er funktionen også en potensfunktion. F y = Men man bruger bogstaverne a og b forskelligt. Potensfunktionen med eksponenten skrives normalt y = b Andengrads-funktionen skrives y = a 9 8 7 6 5 y = Side 7
Opgaver : Tegn i samme koordinatsystem graferne for disse funktioner: Start med at udfylde en tabel som denne: f() = og g() =. 0 5 6 7 8 9 0 f() g() Hvis du tegner graferne på papir, kan du buge et helt A-ark og vælge disse enheder: På -aksen er cm =. På y-aksen er cm = 0. : Tegn i samme koordinatsystem graferne for disse funktioner: f() = og g() = og h() =. Start med at udfylde en tabel som denne: 0 5 6 7 8 9 0 f() g() h() Hvis du tegner graferne på papir, kan du buge et helt A-ark og vælge disse enheder: På -aksen er cm =. På y-aksen er cm = 0. Noget af graferne for g og h vil dog ikke kunne være på papiret. OBS: De tre grafer skærer hinanden i samme punkt. Prøv at forklare hvorfor. : Potensfunktioner er funktioner, som kan skrives formen y Hvad er a og b i disse potensfunktioner? a: y = 7 b: 6 y = c: y a = b. - = 5 d: y = a : Potensfunktioner er funktioner, som kan skrives formen y = b. Skriv selv potensfunktioner med disse værdier af a og b: a: a = b = b: a = 0 b = c: a = - b = d: a = b = Side 8
5: Fliser Forestil dig at du lægger fliser. Fliserne er kvadratiske, og det område, som fliserne dækker, er også kvadratisk. a: Hvor mange fliser skal du bruge i alt, hvis du lægger fliser på hver led? b: Hvor mange fliser er der på hver led, hvis der i alt er lagt 00 fliser? c: Udfyld en tabel som denne: Antal fliser på hver led () 0 5 o.s.v. Antal fliser i alt (y) Det er lidt fjollet at regne med 0 fliser, men tallet er med for systemets skyld d: Tegn i et koordinatsystem en graf ud fra tallene i tabellen. Grafen skal være en blød bue. Bestem selv hvorledes du vil inddele dine akser. e: Hvilken af disse funktioner passer til tabellen og grafen: y = y = y = 6: Fliser (fortsat) Fliserne er 50 cm på hvert led. Du skal stadig forestille dig, at du lægger fliserne på et kvadratisk område. a: Hvad er arealet ( i m ) af en flise? b: Hvor mange fliser skal der til en m? f: Hvad er arealet af hele området, hvis der er lagt fliser på hver led? g: Tegn og udfyld en tabel som denne: 50 cm 50 cm Antal fliser på hver led () 0 o.s.v. 0 Antal m med fliser (y) h: Tegn i et koordinatsystem en graf ud fra tallene i tabellen. Bestem selv hvorledes du vil inddele dine akser. i: Hvilken af disse funktioner passer til tabellen og grafen: y = y = y = + Side 9
7: Rumfanget af terning. Rumfanget kan beregnes med formlen V = s, hvor V er rumfanget og s er terningens kant-længde. Hvis s måles i cm, får man V i cm (eller ml). a: Udfyld en tabel som den viste: s (cm) 0 5 o.s.v. 0 V (cm ) b: Tegn en graf ud fra tabellen. c: Rumfanget er en potensfunktion af kant-længden. Prøv at forklare hvorfor! d: Hvad skal kantlængden være for at terningens rumfang bliver: - liter =.000 ml =.000 cm? - dl = 00 ml = 00 cm? - cl = 0 ml = 0 cm? 8: Bremselængde Kik på teksten og tabellen til højre. a: Hvilken af disse funktioner kan beskrive sammenhængen mellem hastighed () og bremselængde (y): 0 y = 0, y = 0,00 y = b: Når du har fundet den rigtige funktion, skal du tegne en graf i et koordinatsystem. Start med at lave og udfylde en tabel som denne: 0 5 50 o.s.v. 50 y Bremselængde Bremselængden for en bil vokser, når hastigheden vokser. De helt præcise tal afhænger også af bilen, vejen og vejret, men her er nogle typiske tal: Hastighed Bremselængde i km/time i meter 5,5 50 0 00 0 Hvis du tegner i hånden, skal du lave et koordinatsystem, hvor cm på -aksen svarer til 0 km/time, og cm på y-aksen svarer til 0 m. c: Aflæs på din graf (cirka-tal): - bremselængden når hastigheden er 90 km/time. - hastigheden når bremselængden er 50 m. d: Kan du kontrol-beregne svarerne fra c? Bremselængderne i tabellen er for kørsel i tør-vejr. Hvis det regner, kan bremselængderne godt være dobbelt så lange. e: Tegn i samme koordinatsystem som før en graf for bremselængden i regn-vejr. Side 0
9: Side-længde på kvadrat Side-længden (s) afhænger af arealet (A). Tegningerne viser et par eksempler. A = cm s = cm A = 9 cm s = cm a: Udfyld en tabel som denne: A (cm ) 0 5 6 7 8 9 0 s (cm) b: Tegn en graf ud fra tabellen. c: Opstil en funktion for s. Altså en funktion hvor arealet er, og side-længden er y. d: Det er ikke sikkert, at din funktion ligner en potensfunktion, men det er den! Prøv at forklare hvorfor. Kik tilbage på opgave 7. Den med kant-længden og rumfanget for en terning e: Opstil en funktion, hvor rumfanget er, og kantlængden er y. Prøv at forklare hvorfor det er en potensfunktion. 0: Tegn i samme koordinatsystem graferne for disse funktioner: Start med at udfylde en tabel som denne: y = og y = og,5 y =. 0 5 6 7 8 9 0 y = y =,5 y = Hvis du tegner graferne på papir, kan du vælge disse enheder: På -aksen er cm =. På y-aksen er cm =. Noget af graferne for den sidste funktion vil måske ikke kunne være i dit koordinatsystem. OBS: Funktionerne og graferne opfører sig lidt mystisk for små -værdier. Hvis du har godt tid eller bruger regneark, kan du også udfylde denne tabel: 0 0, 0, 0,6 0,8,,,6,8 y = y =,5 y = Tegn også grafer ud fra tallene i den sidste tabel. Side
: Hestefoder Man kan med god tilnærmelse beregne hestes behov for foder med denne funktion: 0,75 f() = 0,0 er hestens vægt i kg, og f() er antal foderenheder pr. dag. a: Lav og udfyld en tabel som denne: Foderenheder Der er ikke lige meget næring i alle slags dyrefoder. Derfor bruger man foderenheder. En foderenhed svarer f til ca. kg korn eller ca. kg hø eller ca. kg halm. 00 00 00 500 600 f() b: Lav en graf ud fra tallene i tabellen. c: Hvor meget vejer en hest, som har brug for foderenheder pr. dag? d: En hest på 75 kg får 00 g korn om dagen. Resten af foderet er en blanding af hø og halm. Lav et forslag til hvor meget hø og hvor meget halm hesten skal have. e: En hest vejer 50 kg. Hestens ejer køber 0 kg korn, 50 kg hø og 00 kg halm. Hvor lang tid er der foder til? For hunde gælder der en tilsvarende funktion. Den ser sådan ud: 0,75 h() = 5 er hundens vægt i kg, og h() er energi-behovet pr. dag målt i kilojoule (kj). f: Lav også en tabel og en graf for denne funktion. g: Der er sikkert nogle kursister på jeres hold, som har hund. Undersøg om funktionen passer på jeres hunde. I kan finde antal kj vha. varedeklarationerne på den hundemad, som I bruger. : Buket-priser En dame sælger blomster-buketter. Hun tager normalt 60 kr. for en buket, og hun sælger normalt ca. 00 buketter pr. dag. Hun har prøvet at sætte prisen ned til 50 kr. Så solgte hun ca. 0 buketter pr. dag. Hun har også prøvet at sætte prisen op til 75 kr. Så solgte hun ca. 90 buketter pr. dag. Hendes mand, som er matematik-lærer (og derfor meget, meget klog), siger, - at det tyder på, at prisen og antal buketter følger denne funktion y = 775. er prisen, og y er antal solgte buketter pr. dag. Undersøg om hendes meget, meget kloge mand kan have ret. Lav evt. en graf for funktionen. Side
: Dykning Den tid, som en dykker højst må være under vand, afhænger af vand-dybden. Man kan bruge denne funktion til at beregne tiden: -, y =.000 er vand-dybden i meter, og y er tiden i minutter. a: I hvor lang tid må en dykker opholde sig i en vanddybde på 5 m? b: Lav og udfyld en tabel som denne: 0 0 0 0 50 y c: Lav en graf ud fra tallene i tabellen. d: Hvilken vand-dybde svarer til en tid på 5 min? Hvis dykkere er for lang tid under vand, risikerer de at få dykkersyge. Der er også regler for, hvor lang tid dykkere skal bruge på at svømme ned og op. Den tid skal lægges til, hvis man vil finde den samlede neddykningstid. : Vindmøller En vindmølle laver meget mere elektricitet, når det blæser kraftigt. For en bestemt type vindmølle gælder der denne funktion:, y = 0,6 er vind-hastigheden i meter pr. sekund (m/s), y er elektricitets-mængden målt i kilowatt (kw). y kaldes også effekten. a: Lav og udfyld en tabel som denne: 0 6 osv. 0 y b: Lav en graf ud fra tallene i tabellen. Du kan evt. nøjes med at medtage noget af grafen, da der sjældent blæser mere end -5 m/s. NB: Undersøg evt. selv hvad vindhastigheden typisk er i Danmark. c: Hvad er vindhastigheden, hvis effekten er.000 kw? d: Forstil dig, at al elektriciteten fra vindmølleparken går til lavenergi-pærer. Hvor mange lavenergipærer er der elektricitet til, hvis vindhastigheden er 8 m/s Vindmøllen i denne opgave står i en vindmøllepark med i alt 0 vindmøller. Effekt kan måles i kw eller i W. kw =.000 W. En lavenergi-pære bruger typisk 9 W. Side
5: Vinglas Tegning til højre viser et kegleformet vinglas. Rumfanget af en kegle kan findes med denne formel: V = π r h a: Vis at glasset kan rumme ca. 50 ml, når det er fyldt. Husk at cm = ml (milliliter). Når glasset er delvist fyldt, kan indholdet beregnes med denne funktion: y = 0,07 hvor er vinstanden i cm og y er rumfanget i ml. b: Hvor meget vin er der i glasset, når = 6 cm? c: Udfyld en tabel som den viste: h = 9 cm r = cm Højde i cm () 0 5 6 7 8 9 Vin i ml (y) d: Tegn ud fra tallene i tabellen en graf i et koordinatsystem. Hvis du tegner i hånden kan du vælge disse enheder. cm = cm på -aksen og cm = 0 ml på y-aksen. e: Undersøg vha. grafen: - hvor højt står vinen, når glasset rummer 00 ml? - hvor højt står vinen, når glasset rummer 50 ml? - hvor højt står vinen, når glasset er halvt fyldt? f: Overvej hvorledes du kunne have beregnet svarene fra e. g: Vurder om disse påstande er rigtige: - når man fordobler, bliver y 8-doblet. - når man -dobler, bliver y 7-doblet? og hvis ja hvorfor? Side