Indholdsfortegnelse Symbolfortegnelse 1 Abstrakt 2 Indledning 2 Problemformulering 3 Baggrund 3 Definitionen af en rokering 3 Rokeringsformlen og rokeringsloven 4 Bevis for definitionsmængde 5 Tallinje 5 Rokeringsformlen som funktion 7 Bevis for rokeringsloven 9 Bevis for rokeringsformlen 11 Kvadrater 14 Omformninger af rokeringsformlen 15 Kvadratisk Rokeringsformel 20 Andengradsligningens løsning(er) 26 Aritmetik og geometri 31 Præsentation af computerprogram 33 Rokeringsformlen i praksis 35 Konklusion 36 Refleksion 36 Bilag 1: Udvidet Tabel 38 Bilag 2: Programkode 39 Kontakt: Mikael Lindmark Moesgaard mikaellm@hotmail.com Symbolfortegnelse a = længden af et rektangel b = bredden af et rektangel a 1 = længden af et rektangel efter en rokering b 1 = bredden af et rektangel efter en rokering A = arealet af et rektangel A 1 = arealet af et rektangel efter en rokering h = rokeringens værdi D = optimal sidelængde O = omkredsen af et rektangel O 1 = omkredsen af et rektangel efter en rokering d = diskriminanten (ift. andengradsligninger) Side 1 af 45
Abstrakt Dette er et teoretisk matematisk projekt, der primært tager udgangspunkt i geometri og matematik. I løbet af dette opstilles, beskrives, defineres og bevises rokeringsformlen ; en generel formel jeg selv har udarbejdet ud fra en grundide, jeg fik, som beskæftiger sig med rektangler og multiplikation. Arbejdsmetoder inkluderer mønstergenkendelse i talrækker, kreativ tænkning, formelopsætning, algebra, teoretiske forsøg, andengradsligningsløsning, skitser og funktionsanalyse. Formidlingsmetoder inkluderer geometriske illustrationer, tabeller, love, eksempler, matematiske definitioner og grafer, samt et computerprogram jeg har skrevet i Microsoft Small Basic. Ydermere er der en matematikfilosofisk undertone i projektet, som kritisk tager stilling til den nuværende tilgang til matematisk forskning. Dette projekt understreger bl.a. også vigtigheden af innovation og nysgerrighed i naturvidenskab. Projektet er altså et originalt bidrag til teoretisk matematik, der ikke alene giver et nyt syn på overstående emner og bredere forståelse for matematiske sammenhænge, men også diskuterer og demonstrer en alternativ tilgang til matematisk forskning. Det skal understreges, at alle formidlingsmetoder, arbejdsmetoder, formler og teorier (undtagen almene matematiske grundelementer såsom kvadratets natur, algebraiske regneregler, andengradsligningsløsning mm.) alene er opfundet og udviklet af mig; projektet bygger ikke på tidligere undersøgelser og er, mig bekendt, ikke nedskrevet i litteraturen. Skitser samt forsiden er lavet i GeoGebra og Adobe Photoshop Indledning I folkeskolen lærer vi at reducere algebraiske udsagn, løse ligninger, opstille egne ud fra en problemstilling, tænke logisk, og vi danner et solidt geometrisk grundlag. I gymnasiet udvides ens matematiske arsenal med brugbare redskaber såsom vektorregning og kalkulus. Endvidere bevises tidligere indlærte formler, og man opnår forståelse for matematik. Ydermere lærer man, hvordan man skriver og opsætter omfattende projekter. På intet tidspunkt i grundskolen såvel som gymnasiet lærer man at opfinde noget nyt. Kreativiteten er forsvundet. Naturligvis er det imponerende, hvis en 10-årig kender 100 decimaler på pi, kan løse differentialligninger eller planlægge en månerejse. Dog er intet af førnævnte nytænkning; groft sagt efterligner man bare, hvad grundlæggerne af matematik har gjort før. Integrerer man en kompleks funktion, følger man Newtons metoder. Definerer man pi, citerer man Arkimedes. Er man en ørn til talteori, studerer man Euler. Intet af dette er ens eget værk; intet af dette er originale bidrag til matematisk forskning. Inde for teoretisk matematik er det umådeligt besværligt at tænke uden for boksen. Dog er det ikke umuligt. Jeg vil bl.a. prøve at vise, at der stadig er uendeligt mange ukendte emner inde for matematik, som man selvstændigt kan udforske og opfinde, såfremt man besidder eventyrlyst og kreativitet. Enhver spirende ide kan udføres og blive enestående. Gennem mit projekt sender jeg et budskab, der opfordrer alle matematikinteresserede til at kaste sig ud i det ukendte og fremsætte egne produkter og resultater frem for at udelukkende indlære tidligere påviste metoder ved at studere Side 2 af 45
andres værker. Projektet er en rejse fra uskyldig ide til raffineret produkt, hvilket danner grundlag for dette forhenværende ukendte felt inde for teoretisk matematik: Rektangelrokeringer. Problemformulering At opstille og bevise vha. geometri og algebra en formel, der kan beregne arealet af et givent rektangel efter en vilkårlig rokering, såfremt denne er inden for definitionsmængden og derefter drage paralleller til almen multiplikation Baggrund Som så meget andet startede dette med en undren. Alle ideer starter med et spørgsmål. I modsætning til klassiske spørgsmål, såsom hvor stammer livet fra?, eller hvorfor bevæger planeterne sig, som de gør?, var dette en uskyldig, og på sin vis provokerende undren, som udsprang fra en drøm, jeg havde haft, hvilket gjorde den ufattelig interessant i et videnskabsfilosofisk perspektiv: Hvorfor er? Som matematikinteresseret og folkeskoleelev møder jeg dagligt brøker, både de enkle og mere komplicerede, så hvordan kan noget så åbenlyst simpelt være så ufatteligt svært at forstå? Årsagen var, at kvotienten er ens i begge eksempler, men summen af divisor og dividend er anderledes, så hvordan kan det være at de er lig med hinanden selvom flere tal deltager i den første brøk. Det skal nævnes, at jeg som person er filosofisk anlagt, hvilket betyder, at jeg sagtens kan bruge flere timer på at reflektere over de simpleste spørgsmål i livet såsom overstående ligning. Derfor besluttede jeg mig for at prøve at finde et mønster, men brøker såsom 1, der er uendelige lange, når man omskriver dem til decimaltal, gjorde mit datasæt upræcist. Derfor gik jeg i stedet over til multiplikation, der i og for sig er det omvendte af division. Endnu engang prøvede jeg mig frem og opdagede til min store glæde et interessant mønster, som dannede grobund for min videre forskning inden for denne fusion af uudforsket geometri og aritmetik med algebra som et centralt redskab. Definitionen af en rokering Jeg beder læseren studere symbolfortegnelsen før denne fortsætter. En rokering er en absolut ændring i længden af én af rektanglets sider, og derved en tilsvarende ændring med modsat fortegn i den anden, sådan at omkredsen er konstant og derfor opfylder rokeringsloven (se Rokeringsformlen og rokeringsloven ). Per definition er en rokering altid relativ til, men i realiteten er det ligegyldigt hvilken af de to sider man kalder og, såfremt man er konsekvent. Regler for en rokering Når man rokerer, flytter man en del h af et rektangels side til den anden (se nedestående eksempel). Da en rokering per definition er relativ til, vil en positiv rokering medføre, at stiger i Side 3 af 45
længde, og derfor falder tilsvarende. På samme måde vil en negativ rokering medføre, at falder i længde og stiger, da en negativ addering i realiteten er en subtrahering. Ud fra overstående definition kan man opstille to simple formler for beregning af a 1 og b 1 : 1 h 1 h I eksemplet herunder er en rokering på 2 forekommet. Det grønne rektangel repræsenterer det rektangel, der dannes efter en rokering, hvorimod det røde er det originale. En rokering lægges altså i forlængelse af og forkorter derfor sådan at rokeringsloven er opfyldt (se næste afsnit). Ud fra dette kan man opstille disse tre algebraiske grundregler for en rokering: h > 0 1 > 1 < h < 0 1 < 1 > h 0 1 1 I enhver gyldig rokering vil kun én af disse regler være gældende, alt afhængig af værdien af h. Flere eksempler på rokeringer I dette tilfælde er h 2 derfor er a 1 5 2 3 b 1 4 2 6 og sætningen h < 0 a 1 < a b 1 > b er gældende I dette tilfælde er h 2 derfor er a 1 5 2 7 b 1 4 2 2 og sætningen h > 0 a 1 > a b 1 < b er gældende Side 4 af 45
Rokeringsformlen og rokeringsloven Nu når begrebet rokering er blevet fastslået, kan hovedformlen, som projektet drejer sig om, formuleres: Areal i et rektangel efter en vilkårlig rokering: 1 h h h 1 h h > 0 h > 0 > 0 > 0 Ydermere er der en vigtig lov, som altid gælder i en gyldig og korrekt udført rokering. Rokeringsloven lyder sådan: Omkredsen af et givent rektangel forbliver uændret efter en vilkårlig rokering Både rokeringsformlen samt definitionsmængden for denne og rokeringsloven bevises senere. Bevis for definitionsmængde De vigtigste parametre for definitionsmængden (se Rokeringsformlen og rokeringsloven ) for h er, at summen af og h skal være større end 0, og differensen mellem og h skal også være større end nul. Såfremt dette gælder, vil enhver rokering være gyldig. I et rektangel gælder dette: > 0 > 0 Hvis eller 0, vil figuren enten være en linje eller fysisk umulig. Af den grund vil den ikke have et areal, og derved ikke længere være et rektangel, hvilket gør rokeringen ugyldig. 0. Det gælder også efter en roke- Som nævnt tidligere kan et rektangels sidelængde aldrig være ring, altså: 1 > 0 1 > 0 Eftersom 1 h og 1 h kan dette indsættes hvilket giver definitionsmængden h > 0 h > 0 Såfremt dette ikke gælder, bliver rektanglet efter en rokering en linje. Tallinje Under Baggrund skrev jeg, at jeg opdagede en tallinje med et besynderligt mønster. Dette er en tabel over multiplikationsstykket 8 8 (markeret i fed), som rokeres: 1 Dm: definitionsmængde Side 5 af 45
h (rokering) -4-3 -2-1 0 1 2 3 4 Multiplikationsstykke 4 12 5 11 6 10 7 9 8 8 9 7 10 6 11 5 12 4 Resultat 48 55 60 63 64 63 60 55 48 i forhold til udgangspunkt -16-9 -4-1 0-1 -4-9 -16 Hvis man er skrap til mønstergenkendelse vil man tydeligt se, at hvis udgangspunktet er et kvadrat, som 8 8 er, falder arealet med kvadratet af rokeringen. Beviset for dette samt yderligere forklaringer findes under emnet Kvadrat og Bevis for rokeringsformlen. Hvis udgangspunktet derimod er et rektangel, for eksempel 4 0, er det ikke ligeså simpelt. h (rokering) -4-3 -2-1 0 1 2 3 4 Multiplikationsstykke N/A 2 1 13 2 12 3 11 4 10 5 9 6 8 7 7 8 6 Resultat N/A 13 24 33 40 45 48 49 48 i forhold til udgangspunkt N/A -27-16 -7 0 +5 +8 +9 +8 Det nye datasæt kan virke meget uoverskueligt, men faktisk er der et mønster, når man kigger godt nok. Hvis man flytter udgangspunktet til der hvor rokeringen er tilstrækkelig stor til at rektanglet er blevet et kvadrat, (efter 3 rokeringer i dette tilfælde) passer overstående mønster. h (rokering) -4-3 -2-1 0 1 2 3 4 Multiplikationsstykke N/A 1 13 2 12 3 11 4 10 5 9 6 8 7 7 8 6 Resultat N/A 13 24 33 40 45 48 49 48 i forhold til udgangspunkt N/A -36-25 -16-9 -4-1 0-1 Hvis en løsning forekommer uopnåelig, ændr da perspektiv Som sagt tidligere falder arealet med kvadratet af rokeringen, hvis udgangspunktet er kvadratisk. Derfor er den svære problemstilling, at finde en måde, hvorpå man kompenserer for, at udgangspunktet ikke er kvadratisk. Ledende h h i rokeringsformlen kompenserer for dette. Hvis udgangspunktet er kvadratisk er, derfor h h h h 0 Siden kompensatorledende kompenserer for at udgangspunktet ikke er kvadratisk går de ud med hinanden, i tilfælde af at den oprindelige polygon rent faktisk er et kvadrat. Dette bevises og forklares yderligere under Bevis for rokeringsformlen. En udvidet tabel er vedlagt som bilag, se Bilag 1: Udvidet Tabel. 2 N/A: ugyldigt, da det ligger uden for definitionsmængden (se Bevis for definitionsmængde ) Side 6 af 45
Rokeringsformlen som funktion Jeg har opstillet en funktionsforskrift for areal efter rokeringen 1 som funktion af rokeringer h i et rektangel hvor 4 og 3 ved at indsætte værdierne i rokeringsformlen hvor h og 1 og derefter reducere udtrykket: 4 3 3 4 9 52 Grafen for denne forskrift sådan her ud: y = areal efter rokeringen (A 1 ) x = antal rokeringer (h) Almindeligvis anvender man grafer til at illustrere en funktionsforskrift på en overskuelig måde. I forhold til rokeringer er dette naturligvis også gældende, men til forskel for konventionelle grafer kan man udlede en masse anden information udover det sædvanlige. Følgene udsagn vil altid være gældende i ethvert vilkårligt tilfælde: Y-koordinatet i skæringspunktet med y-aksen (punkt D) er lig med arealet af det oprindelige rektangel. Hvis man ikke foretager nogen rokering, er det klart, at arealet forbliver uændret. Den numeriske værdi af x-koordinatet i skæringspunktet med x-aksen med lavest x-værdi (punkt B) er lig med a-værdien i rokeringsformlen, altså længden af det oprindelige rektangel. Dette giver god mening; hvis rokeringen ikke giver et areal, må man have lavet en tilstrækkelig stor rokering til, at den ene sidelængde bliver ikke eksisterende, altså rektanglet Side 7 af 45
bliver til en linje. Derfor: h h 0 h > 0 > 0 h < 0 Årsagen til at det er x-koordinatet med laveste værdi, er fordi h altid er relativ til, og derfor resulterer en negativ rokering i at 1 0. Teoretisk set skærer grafen aldrig x-aksen på grund af definitionsmængden, så dette punkt (punkt B) er altså bare en tilnærmelse. I realiteten gør det ingen forskel, da man altid vil kunne rykke kommaet en plads til venstre sådan at upræcisheden til sidst er umålelig. Skæringspunktet med x-aksen med højest x-værdi (punkt C) er lig med -værdien i rokeringsformlen, altså bredden af det oprindelige rektangel. Dette følger samme princip for som overstående: h h 0 h > 0 > 0 h > 0 Y-værdien (punkt F) af toppunktet (punkt A) i parablen er det største potentielle areal rektanglet kan få blot ved at ændre sidelængdeforholdende (at rokere) sådan at rokeringsloven er opfyldt. Det er altså nu blevet et kvadrat, da kvadratet er den retvinklede tetragon med størst areal i forhold til omkreds. X-værdien (punkt E) er derfor den krævede rokering for at rektanglet bliver et kvadrat. Afstanden mellem én af parablens rødder (punkt B eller punkt C) og x-værdien på toppunktet (punkt E) er sidelængden af det kvadrat, der dannes, da det simpelthen bare er forskellen mellem den oprindelige sidelængde (rødderne) og den krævede rokering for at opnå kvadratet (toppunktets x-værdi) Hvis man følger skæringspunktet med y-aksen (punkt D) vandret indtil man rammer parablen igen (punkt G), vil længden af den nye linje være lig med forskellen mellem det oprindelige rektangels sidelængder. Siden skæringen med y-aksen altid har x-værdien 0, er længden simpelthen bare x-koordinatet i punkt G (punkt H er en illustrering af dette). Arealet må være ens, men der er stadig sket et hvis antal rokeringen. Grunden til dette er, at den nydannede figur er kongruent med den originale. I stedet for at have målene 4x13 er det nye rektangel 13x4. Derfor er forskellen mellem sidelængderne lig med det antal rokeringer, det kræver for at bliver til, og omvendt. Kvadratroden af forskellen mellem toppunktets y-værdi (punkt F) og skæringen med y- aksen (punkt D) er lig med toppunktets x-værdi. Følgende algebraiske variabler er ikke i forhold til rokeringsformlens symbolforklaring, men i stedet de almene værdier i en andengradsligning. Fra almindligt arbejde med parabler kender vi disse formler og algebraiske værdier: Toppunktets x-værdi: a b c Side 8 af 45
Toppunktets y-værdi: Skæringen med y-aksen: Hvis overstående formulerede påstand er korrekt, burde man kunne opstille en algebraisk ligning for dette. Kan ligningen omformes og reduceres, sådan at der utvetydigt står det samme på begge sider af lighedstegnet, er påstanden dermed bevist. Ligningen kan opstilles sådan her: b 4ac 4a c b 2a I forhold til rokeringsformlen er hældningskoefficienten til h (x i grafisk forstand) altid, da ledet i rokeringsformlen lyder på h. Derfor kan indsættes på s plads: b 4c 4 c b 2 Derefter ophæver man parentesen og sætter minustegnet foran brøken op i tæller: b 4c 4 c b 2 Brøken ophæves så vidt som muligt: b 4 c c b 2 Efter endnu en reduktion ophæves kvadratroden: b 2 b 2 Tidligere formulerede påstand er hermed bevist algebraisk. Bevis for rokeringsloven Hovedprincippet bag en rokering er, at omkredsen forbliver uændret, som rokeringsloven også konstaterer. Derfor vil jeg algebraisk og geometrisk bevise, at en vilkårlig rokering aldrig vil ændre på omkredsen. Algebraisk bevis for rokeringsloven Omkredsen af et rektangel beregnes ved hjælp af den almindelige formel, som vi alle har stiftet bekendtskab med i grundskolen: Side 9 af 45
2 Efter en rokering har rektanglet ændret sidelængdeforhold, men det vil stadig opfylde kravene for et rektangel: Firesidet polygon hvor modstående sider er lige lange (og derved parallelle) og samtlige vinkler er rette (90 ) Derfor kan omkredsen beregnes ved hjælp af samme formel hvor 1 og 1 er indsatte på og s plads, da det er målene for de nye sidelænder: Da vi definerede en rokeringer fandt vi frem til at: Indsættes dette i stedet for a 1 og b 1 får vi Dette kan reduceres til 2 1 1 1 h 1 h 2 h h 2 hvilket er identisk til omkredsen af rektanglet før rokeringen. Derfor er omkredsen det samme før og efter en vilkårlig rokering, da h h altid vil gå ud med hinanden. I de tidligere viste eksempler vil man se, at omkredsen forbliver uændret. Derved er rokeringsloven bevist algebraisk. Geometrisk bevis for rokeringsloven Overstående skitse er en geometrisk måde at bevise, at omkredsen altid er konstant. I dette scenarie er h 2. Jeg har udfoldet rektanglet, sådan at siderne repræsenteres af parallelle linjestykker: Side 10 af 45
Man kan tydeligt se, at der i realiteten er sket en flytning, hvor en del (svarende til h s værdi) af linjestykket flyttes (det stiplede grønne linjestykke), sådan at det ligger i forlængelse af linjestykket (det grønne linjestykke). Derved er der ingen ændring af den totale længde, men rettere en omfordeling af denne, derved navnet rokering. I en flytning ændrer man placeringen på en linje, men længden af denne forbliver konstant Bevis for rokeringsformlen Både rokeringsloven og definitionsmængden er på nuværende tidspunkt blevet bevist, og begrebet rokering er fastslået. Nu skal selve rokeringsformlen bevises. Der er to geometriske skitser, der beviser samme formel, hvor den ene gælder, hvis rokeringen er positiv, og den anden gælder, hvis rokeringen er negativ. Geometrisk bevis for en positiv rokering Figur 1 Den simpleste måde at bevise det på er, at det nye areal svarer til produktet af de nye sidelænger: 1 h h h h h En anden måde at anskue det på er, at det oprindelige rektangels areal stiger med arealet af det rektangel der stikker ud over det oprindelige (det røde længst til højre), men falder med arealet af det rektangel der før var en del af det oprindelige (det hvide), men nu er blevet bortrokeret. Denne perspektivering forklarer også hvorfor rokeringsformlen ser ud som den gør: 1 h h h h h h Det blå led,, er det oprindelige rektangels areal. Side 11 af 45
Det røde led, h på figur 1. h, er stigningen i areal, repræsenteret af det røde rektangel længst til højre Det grønne led, h, svarer til faldet i areal, repræsenteret af det hvide rektangel på figur 1. Som vist, kan dette reduceres til den almene rokeringsformel, h h h, ved at ophæve parantesen. Går man tilbage til sektionen med tallinjen, forklarer denne geometriske bevisførelse og illustrationsmetode udseendet på formlen og beviser ydermere, at den fungerer konsekvent. Hermed er formlen bevist, såfremt rokeringen er positiv. Geometrisk bevis for negativ rokering Figur 2 Beviset for en negativ rokering er noget mere kompliceret, da man ender i en definitionssag. Ved at multiplicere rektanglets nye sidelængder får man dette resultat: 1 h h h h h Resultatet burde stemme overens med formlen for en positiv rokering, men: Medmindre man kan få: er beviset ugyldigt. h h h h h h 1 h h h = h h h Side 12 af 45
Hovedpunktet med rokeringsformlen er, at den er universal; hvad enten rokeringen er positiv eller negativ, kan man anvende den samme formel. Er rokeringen negativ, indsætter man et negativt tal på h s plads. Er den positiv, indsætter man et positivt tal på h s plads. Gennem eksempler er det vist, at h h h er universal. Derfor skal man blot på en logisk måde få 1 h h h h h h for at formlen er bevist. Dette gør man ved at undersøge definitionen på en rokering: Tager man udgangspunkt i den udlede formel af figur 2 ser man, at desto større h er, desto mindre bliver sidelængden af 1. Altså, sætter man h til 5, bliver længden af 1 5 hvilket gør 1 < På nuværende tidspunkt betyder formlen at h 1 0 Dette er umuligt ifølge definitionen på en rokering, fordi en positiv rokering altid vil øge længden af 1, jf. h > 0 1 > Derfor ændrer man fortegn på h i formlen. Årsagen til dette er, at en ændring af fortegn medfører at formlen opfylder definitionen, sådan at en positiv h-værdi resulterer i, at 1 stiger. Ydermere betyder dette, at en negativ h-værd får 1til at falde, jf. h < 0 1 < 1 > På den måde opfylder formlen definitionen og bliver universal, sådan at samme formel kan bruges for samtlige h-værdier, hvilket er yderst praktisk: Omvendte fortegn for h: 1 h h h = h h h På grund af potensen er: h h Derfor: 1 h h h h h h Hvilket resulterer i, at: 1 h h h h h h hvor venstre side af lighedstegnet er den udledte formel for en positiv rokering af figur 1, og højre side er den udledte formel for en negativ rokering af figur 2 med omvendte fortegn for h. Side 13 af 45
Hermed er formlerne for både en negativ og en positiv rokering ens og begge lever op til definitionen på en rokering. Det geometriske bevis må derfor være gyldigt. Andre bevisførelsesmetoder, som gælder i bevisførelsen for en positiv rokering, er også gyldige i en negativ rokering, såfremt man ændrer fortegn på h. Kvadrater Kvadratet er det rektangulære polygon med størst areal i forhold til omkredsen. Derfor burde enhver rokering, hvor den originale figur er kvadratisk, resultere i et arealfald. I et kvadrat er, derfor ser rokeringsformlen sådan ud, når indsættes på s plads: 1 h h h 1 h h h 1 h repræsenterer arealet af kvadratet h repræsenterer faldet i areal som funktion af rokeringer. Dette er grafen for arealet af det nye rektangel som funktion af rokeringer for et kvadrat med sidelængden 10. Forskriften er udledt af at indsætte 10 på s plads i formlen. 00 h Her ser man tydeligt, at ligegyldig om rokeringen er negativ eller positiv, falder arealet. Toppunktet er lig med udgangspunktet. I en rokering er omkredsen konstant. Ved at ændre sidelængdeforholdet i den firesidet figur med størst areal i forhold omkreds kan man kun ende med en figur med mindre areal i forhold til omkredsen. Side 14 af 45
Geometrisk bevis for rokeringsformlen hvor udgangspunktet er et kvadrat Her følger man samme metode, som man gjorde hvis det var et rektangel. Produktet af de nye sidelænger: 1 h h h h h h I tilfælde af en negativ rokering ændrer man fortegn på h, se Bevis for rokeringsformlen. Hvis man lægger det nye rektangel oven i det originale kvadrat, ser man, at der dannes et kvadrat med sidelængden h (markeret med grøn, stiplet linje). Arealet af dette kvadrat (h ) svarer altid til forskellen mellem arealerne af det originale kvadrat og det nye rektangel. Omformninger af rokeringsformlen Rokeringsformlen kan omformes, sådan at man kan beregne andre ubekendte værdier: A 1 ab ah bh h a A 1 hb b h h b A 1 ha h a h h b a ± a b 2ab 4A 1 2 Side 15 af 45
Eksempel 1 Et rektangel med -værdien 6 cm har undergået en rokering på 3 cm og har nu et areal på 24 cm 2 Hvad er den anden sidelængde af det originale rektangel? 24 3 6 3 6 3 5 Eksempel 2 Et rektangel med -værdien 5 cm har undergået en rokering på -4 cm og har nu et areal på 5 cm 2 Hvad er den anden sidelængde af det originale rektangel? 5 4 5 4 5 4 Side 16 af 45
Med hensyn til isolation og udregning af ubekendt h-værdi er det noget mere kompliceret, hvilket forklares senere. Isolation af Rokeringsformlen som udgangspunkt: Multiplicerer med (ændrer fortegn): 1 h h h 1 h h h Flytter 1, og h om på modsatte side af lighedstegnet: h 1 h h Sætter a uden for parentes: h 1 h h Dividerer med h : h h 1 h h h Reduceret: 1 h h h Isolation af Rokeringsformlen som udgangspunkt: 1 h h h Multiplicerer med (ændrer fortegn): 1 h h h Flytter 1, og h om på modsatte side af lighedstegnet: h 1 h h Sætter uden for parentes: h 1 h h Side 17 af 45
Dividerer med h : h h 1 h h h Reduceret: 1 h h h Problemet med isolation af h Ved isolation af h bliver sagen noget mere kompliceret: h står i anden potens, hvilket gør det til en andengradsligning. Derved har denne formel ofte flere korrekte løsninger. Eksempel Et rektangel med sidelængderne 7 og 4 har efter en ukendt rokering et areal på 24 cm 2. Hvor stor har rokeringen været? h 4 7 ± 7 4 2 7 4 4 24 2 4 Det kan virke underligt at der er to svar, men begge er korrekte: Man kan tydeligt se, at de to forskellige løsninger egentlige bare er kongruente rektangler, som er frembragte ved enten at forlænge, hvilket giver resultatet h eller forlænge, hvilket giver resultatet h 4 Side 18 af 45
Isolation af som andengradsligning Rokeringsformlen som udgangspunkt: 1 h h h Ligningen sættes lig med 0, ved at man flytter 1 over på modsatte side af lighedstegnet: Multiplicerer med (ændrer fortegn): 0 h h h 1 h sættes uden for parentesen: 0 h h h 1 0 h h 1 Ledende omflyttes sådan at det ligner en konventionel andengradsligning: 0 h h 1 Nu ligner det en almindelig andengradsligning., og svarer til, og i almene andengradsligninger for at undgå, at man blander det samme med de algebraiske variabler i rokeringsformlen. Altså, er hældningskoefficienten til h, er koefficienten til h og er konstantledet. Kigger man på overstående algebraiske andengradsligning, ser man, at man kan designere værdier som man derefter kan indsætte i løsningsformlen: Løsningsformel for en andengradsligning hvor w, n og z er indsat i stedet for a, b og c: h n ± n 4wz 2w 1 Andengradsligning hvor w, n og z er indsat i stedet for a, b og c: 0 wx nx z Værdier for w, n og z indsat i løsningsformlen: h ± 4 1 2 Anden kvadratsætning ophæver parentesen: h ± 2 4 1 2 Side 19 af 45
Reduktion: h ± 2 4 1 4 2 Parentesen ophæves: h ± 2 4 1 4 2 Reduktion: h ± 2 4 1 2 Hermed er h isoleret og formlen er bevist som en andengradsligning hvilket betyder, at den kan have to løsninger. Denne andengradsligning har oftest, men ikke altid, to løsninger. På grund af for mange ubekendte kan man ikke udregne diskriminanten algebraisk, men man kan alligevel ved hjælp af geometri, konkrete eksempler, grafer og logik bevise overstående udsagn. Uddybende forklaring findes under Andengradsligningens løsning(er) Kvadratisk Rokeringsformel Desto flere måder hvorpå man kan bevise samme formel, desto større sandsynlighed er der for, at formlen er gyldig. Ved at omforme rokeringsformlen kan man bevise den på en alternativ, lidt kunstnerisk, måde. Jeg kalder denne version Den Kvadratiske Rokeringsformel, da den udnytter kvadrater, der opstår på grund af potenserne, til at bevise formlen rent geometrisk. Selvom formlen hedder Den Kvadratiske Rokeringsformel virker den også på rektangler. Af illustrative årsager, som vises senere, er formlen ikke reduceret yderligere. Den ureducerede version ser sådan her ud: A 1 ab D a a h D Der er et nyt begreb, som jeg kalder optimal sidelængde. Værdien af er defineret som: 2 svarer til den længde, som et rektangel vil have, hvis det blev rokeret sådan at det blev et kvadrat. Altså, har man et rektangel på 4x6 cm, vil være 5 cm, og det betyder, at dette specifikke rektangels optimale sidelængde i forhold til areal er 5 cm. Omkredsen af et kvadrat med en sidelængde på 5 cm er ens med omkredsen af et rektangel på 4x6 cm. bør ikke forveksles med. Side 20 af 45
Omskrivning af rokeringsloven Nu vil jeg vise, at: Ophævelse af parenteser h h h h 1 Reduktion: 2 h 2 2 h 2 h h h h 1 Værdien for D indsættes: 2 h 2 h h h h h 1 2h 2 2 h h h h h 1 Reduktion: h 2 h h h h h 1 Parentesen ophæves: h h 2 h h h h h 1 Reduktion: h h h h h h 1 Hermed er det vist, at den anden version af rokeringsloven er lig med den almene rokeringsformel. Det betyder, at hvis den kvadratiske rokeringsformel bevises gyldig, må den almene rokeringsformel også være gyldig og omvendt. Bevisførelse for den kvadratiske rokeringsformel Denne form for bevisførelse er en anelse abstrakt og derved også forholdsvis kunstnerisk. Dynamikken i illustrationer, som er lavet ud fra den kvadratiske rokeringsformel, er enestående. Den kvadratiske rokeringsformel består af følgende led: 1 h er arealet af det originale rektangel er kvadratet af forskellen mellem den optimale sidelængde og den faktiske sidelængde af før en rokering h er kvadratet af forskellen mellem sidelængden af efter en rokering og den optimale sidelængde, da 1 h. I nedestående eksempel foretager man en rokering på 5, hvor det originale rektangel har dimensionerne 3x9: Side 21 af 45
En interessant observation er, at i ethvert rektangel, vil forskellen mellem den optimale sidelængde og samt forskellen mellem den optimale sidelængde og altid være ens, og, derved danne et kvadrat (markeret med blå). Det samme gælder efter rokeringen er udført! (markeret med grøn) Formålet er, at man lægger det optimale kvadrat (lilla) oven i det originale rektangel (rød). Derefter foretager man rokeringen, og derved dannes et nyt rektangel (grå). Siden står i anden potens, kan man tegne et kvadrat for at illustrere udsagnet geometrisk. er forskellen mellem den optimale sidelængde og den faktiske -værdi. På tegningen er kvadratet, der opstår, markeret med blå farve. h står også i anden potens, og derfor følger man samme fremgangsmåde. I begyndelsen lærte vi, at 1 h, så udsagnet h betyder forskellen mellem den optimale sidelængde og den nye sidelængde. På tegningen er kvadratet, der opstår, markeret med grøn farve. På grund af potensen er og h h, jf. anden kvadratsætning Derfor gør den ingen reel forskel, hvis er større end, som vises i et senere eksempel; samme formel er gældende. Side 22 af 45
Kigger man på formlen, ser man, at ledet er positivt medens ledet h er negativt. Resultatet, 1, svarer altså til summen af det originale rektangel,, og det blå kvadrat,, subtraheret med arealet af det grønne kvadrat, h. Arealændringen i forhold til det originale rektangel svarer altså til forskellen mellem det blå kvadrat og det grønne kvadrat. Det vil sige, at hvis det grønne kvadrat er større end det blå, må rektanglet efter rokeringen være mindre, end det var før rokeringen. A D a a h D Eksempler på illustrationer af den kvadratiske rokeringsformel I dette eksempel har et rektangel på 7x3 gennemgået en rokering på 2 så det bliver 9x1. Den optimale sidelængde er 5. Farveangivelsen er den samme som før. Her ser man, at det grønne kvadrat er langt større end det blå, derfor er arealændringen negativ, og af samme grund er arealet af rektanglet efter rokeringen mindre, end det var før, hvilket også tydeligt fremgår af tegningen. Årsagen til det grønne kvadrats besynderlige placering er for at undgå overlapninger. Her har et rektangel på 8x4 gennemgået en rokering på 5, altså en negativ rokering, så det bliver 3x9. Den optimale sidelængde er 6. Farveangivelsen er den samme som før. Her ser man, at det grønne rektangel endnu engang er større end det blå, derfor er arealændring også negativ, og af samme grund er arealet af rektanglet efter rokeringen mindre, end det var før, hvilket også fremgår af skitsen. Grønt kvadrat: Blåt kvadrat: negativt positivt Side 23 af 45
Rektangel Kvadrat Rektangel fænomenet Der opstår et interessant fænomen, når en rokering er tilstrækkelig stor til at et rektangel bliver til et kvadrat, og derefter atter bliver et rektangel. Kigger man på grafen for funktionen for areal som funktion af rokeringen i et rektangel på 4x13 opdager man noget besynderligt (dette er kort forklaret under Rokeringsformel som funktion ) Arealet stiger indtil det når toppunktet, hvorefter atter det falder. Årsagen er, at rektanglet bliver til et kvadrat efter et vist antal rokeringer, og derefter bliver et rektangel igen, deraf navnet på fænomenet. Efter 3 rokeringer er dimensionerne 7x10. Nu er det tættere på at være et kvadrat end det var før, og derfor er arealet større. Efter 4,5 rokeringer er dimensionerne på rektanglet 8,5x8,5. Nu har rektanglet, som nu er et kvadrat, det største mulige areal det kan have, uden at den totale omkreds ændres og derved stadig opfylder rokeringsloven. Efter 7 rokeringer er dimensionerne 11x6. Nu er det atter blevet et rektangel, og derfor er arealet mindre, end det var ved 4,5 rokeringer; det vil aldrig blive et kvadrat igen som funktion af rokeringer, og derfor falder arealet kontinuert. Fordele ved den kvadratiske rokeringsformel Den kvadratiske rokeringsformel illustrerer rektangel kvadrat rektangel fænomenet. Formlens bevisførelse bør altså kun bruges til at fremme forståelse; i praksis anbefales den almene, reducerede rokeringsformel, da den er mindre kompleks og opnår samme resultat. Side 24 af 45
Nedestående eksempler viser dette: Dette er en illustration over en rokering på 4,5 cm hvor udgangspunktet er et rektangel på 4x13 cm. Her kan man se, at rektanglet efter rokeringen er et kvadrat, og derfor er forskellen mellem det optimale kvadrat og den faktiske værdi på 0. Af den grund er der intet grønt kvadrat; kun det blå er til stede, hvilket viser, at arealet er steget med 20,25 cm 2. 1 h 1 3 4 4 3 2 4 4 4 5 4 3 2 1 52 4 5 0 1 72 25 2 Dette er en god måde at illustrere rektangel kvadrat rektangel fænomenet på, fordi et grønt (negativt) rektangel ikke opstår, såfremt der blot sker en stigning, som der gør, når rokeringen ikke overskrider grafens toppunkt. På denne skitse er udgangspunktet et kvadrat med sidelængden 10 cm. Sammenligner man det med grafen, svarer kvadratet til toppunktet. Det betyder, at arealet kun vil falde; lige meget om rokeringen er positiv eller negativ. Derfor er der blot et grønt kvadrat og ikke et blåt; årsagen er, at der ikke er nogen forskel mellem den optimale sidelængde og den faktiske, jf. formlens andet led. Kvadratet undergår en rokering på 4 cm: 0 0 A 1 0 0 0 4 0 0 2 2 A 1 00 0 4 A 1 84 Side 25 af 45
Hermed er formålet bag den kvadratiske rokeringsformel vist og rektangel kvadrat rektangel fænomenet forklaret. Andengradsligningens løsning(er) Under Omformninger af rokeringsformlen hævder jeg, at h oftest, men ikke altid, har to værdier, der begge er løsninger til ligningen: h ± 2 4 1 2 Som vist i tidligere eksempler, har ligningen ofte to løsninger. I sjældne tilfælde har den dog kun en. Såfremt diskriminanten er lig med 0, har andengradsligningen kun én løsning: 2 4 1 I dette tilfælde har et rektangel med dimensionerne 15x1 undergået en ukendt rokering, sådan at dens nye areal er 64 cm 2. Her er der kun én løsning, idet: 5 2 5 4 64 0 y 5 4x x y areal efter rokering A 1 x rokeringens værdi h For at forklare dette undersøger man grafen for arealet efter en rokering som funktion af rokeringens værdi for dette specifikke rektangel. Side 26 af 45
Ud fra grafen ser man, at y-værdien 64 kun har én x-værdi i modsætning til alle andre y-værdier, som har to x-værdier. Årsagen til dette er, at 64 er grafens toppunkt. Ydermere kan dette udregnes som en almindelig andengradsligning 64 5 4 x h 0 49 4 y A 1 4 ± 4 4 49 2 4 ± 96 96 2 I tilfæde af at arealet efter rokeringen svarer til kvadratet af den optimale sidelængde for det specifikke rektangel, har ligningen kun én løsning, og derved er diskriminanten lig med 0. Dette kan udtrykkes sådan her: 4 2 7 1 2 4 1 = 0 Den optimale sidelængde indebærer, at man umuligt kan opnå et større areal uden at bryde rokeringsloven; man har rokeret tilstrækkeligt til at rektanglet er blevet et kvadrat, og derved opnår man størst areal i forhold til omkredsen. Hvis arealet efter rokeringen for rektanglet var på 63 cm 2, ville ligningen have to løsninger, da flere x-værdier hæfter sig til samme y-værdi, hvilket medfører, at > 0. Hvis arealet efter rokeringen for rektanglet var på 65 cm 2, ville ligningen være uløselig, da punktet ikke ligger på grafen. Ydermere kan man tænke logisk: Hvis det mest optimale resultat er et kvadrat med arealet 64 cm 2, vil det være fysisk umuligt at opnå en figur på 65 cm 2 uden at bryde rokeringsloven eller definitionen på et rektangel. Endvidere ville man udregne at være < 0. Geometrsik bevis for rokering, hvor kun en løsning er gyldig Jeg vil illustrere følgende udsagn gennem geometri: 0 2 4 1 i et rektangel med dimensionerne 15x1 som undergår en rokering på 7 og derved opnår et areal på 64 cm 2. Side 27 af 45
Man kan opdele udsagnet i flere led: Dette er en skitse over et rektangel på 15x1 som har undergået en rokering på 7. Rektanglet (som nu er blevet et kvadrat) efter rokeringen er markeret med grå farve og highligtet med fed sort streg. Rektanglet før rokeringen er markeret med grøn farve. er et kvadrat med sidelængden a er et kvadrat med sidelængden b 0 2 4 1 2 er to rektangler, der er kongruente med det originale 4 1 kan tegnes som fire polygoner, som er kongruente med kvadratet, der opstår efter en rokering. I dette tilfælde svarer det også til det optimale kvadrat. Side 28 af 45
Omarrangerer man polygonerne og opdeler dem i en positiv (til højre) og negativ (til venstre) figur (se overstående skitse), opdager man, at de netop er lige store, og derved annulerer hinanden. Årsagen til at den ene figur er negativ, og den anden er postiv, er på grund af fortegnene i udsagnet, der imidlertid bevises. Gennem udregning bekræftes dette: 5 2 5 8 4 0 eller 2 4 1 0 Lægger man figurer oven i hinanden, ser man, at de er fuldstændig ens i areal og derved går ud med hinanden: Det betyder, at såfremt man skal udregne en ukendt rokering i et rektangel, hvor det nye areal svarer til kvadratet af den optimale sidelængde, har ligningen kun ét resultat. I alle andre tilfælde, såfremt ligningen ikke er uløselig, har ligningen to korrekte resultater, jf. 1 2 4 1 = 0 samt grafens toppunkt. Man kan også vise hvorvidt ligningen har én eller to løsninger rent grafisk. I alle nedestående eksempel er udgangspunktet et rektangel med dimensionerne 8x6. For udledning af funktionsforskrift, se Rokeringsformlen som funktion. Side 29 af 45
y 48 2x x y areal efter rokering A 1 x rokeringens værdi h Man ønsker at aflæse hvor stor en rokering det kræver, at opnå et areal på 35. Her ser man at to punkter (punkt A og punkt B) begge har en y-værdi på 35, medens x-værdierne er forskellige. Aflæse man dette, finder man, at både -4,75 og 2,75 er korrekte resultater. Overstående eksempel viser, at der er to resultater for et areal på 20, nemlig -6,4 og 4,4. Side 30 af 45
For et areal på 49 er der lige pludselig kun et resultat: h. Årsagen til dette er, at det er toppunktet, og derfor er der kun et punkt på hele grafen, der har denne værdi, i modsætning til alle andre y-værdier der har to punkter. Hermed er antallet af korrekte løsninger til andengradsligningen illustreret grafisk. Aritmetik og geometri Inspirationen til dette projekt startede, som nævnt tidligere, med at jeg opdagede et besynderlig aritmetisk mønster (se Tallinje ). Ud fra dette drog jeg paralleller til geometri, hvorefter jeg udarbejdede beviset mm. Multiplikation kan vises geometrisk. Formlen for arealet af et rektangel: Opbygningen af et multiplikationsstykke: eller Her er der en tydelig sammenhæng. For eksempel kan regnestykket 4 3 2 udregnes ved at konstruere et rektangel med disse dimensioner; arealet af dette er lig med produktet af multiplikationsstykket: Omkredsen af et rektangel udregnes med formlen I et multiplikationsstykke er summen af multiplikand og multiplikator 2 Her er forskellen, at i formlen for omkredsen af et rektangel er der en faktor på to. Ligheden er dog, at rokeringsloven alligevel gælder; en faktor ændrer ikke på sideforholdet. Derfor kan man foretage rokeringer efter samme formler, definitionsmængder og regler i et alment multiplikationsstykke. Med hensyn til aritmetik kan en rokering defineres som en absolut ændring i multiplikand samt en lige stor ændring med modsat fortegn i multiplikator sådan at summen af de to forbliver konstant medens produktet ændres. Rokeringsformlen beskriver altså sammenhængen mellem summen af multiplikand og multiplikator og produktet. Side 31 af 45
Definitionsmængde for en aritmetisk rokering Definitionsmængden for en aritmetisk rokering adskiller sig fra en geometrisk rokering, da den ikke er begrænset af kravet om positive sidelængder. Multiplikationsstykket 3 2 6 er gyldigt, selvom og ikke ville kunne fungere som sidelængdedimensioner i et rektangel. Derfor er enhver, og h værdi gyldig; man indsætter blot værdierne med fortegn i rokeringsformlen. Algebraisk opstilling af en aritmetisk rokering h h 1 h h h Her ser man, at rokeringsformlen er ens for en aritmetisk eller geometrisk rokering, dog adskiller definitionsmængderne sig. a multiplikand Eksempel på positiv rokering i et multiplikationsstykke b multiplikator h rokering Udgangspunkt: 9 99 A 1 produkt efter rokering Rokeringsværdi: h 4 A produktændring A 1 ab ah bh h Produkt efter rokering: A bh ah h Produktændring: Rokeringsloven er opfyldt, da 9 4 9 4 4 75 9 4 4 4 24 9 4 9 4 20 Eksempel på negativ rokering i et multiplikationsstykke Udgangspunkt: 3 69 23 8 754 5389 Rokeringsværdi: h 9 44 Produkt efter rokering: Produktændring: 3 69 23 8 3 69 9 44 23 8 9 44 9 44 529 8 25 Rokeringsloven er opfyldt, da 23 8 9 44 3 69 9 44 9 44 224 7264 3 69 23 8 3 69 9 44 23 8 9 44 55 5 Side 32 af 45
Opsamling Dette betyder, at begrebet rokering ikke blot er et geometrisk fænomen, men også noget der kan bruges inde for aritmetik. Altså, ethvert multiplikationsstykke kan rokeres. I nogle sammenhænge forudsiger jeg, at dette kan blive yderst relevant (se Perspektivering og Rokeringsformlen i praksis ). Præsentation af computerprogram Som nævnt i det indledende abstrakt har jeg skrevet et.exe computerprogram i Microsoft Small Basic, som jeg har uploadet til en hjemmeside. Linket er: http://smallbasic.com/program/?rrf507 Programmet kan udregne ubekendte værdier i rokeringsformlen ud fra gyldige inputs. Fordelen ved at bruge programmet er, at det (efter man har lært at bruge det) er lynhurtigt at beregne diverse ukendte variabler, fordi man slipper for at indsætte for mange værdier i lange formler. Programmet kræver, at Silverlight er installeret i ens browser. Interfacet er meget simpelt: Tekstvinduet er det som man interagerer med. En lodret streg bør blinke ud for Number Pressed:, hvis dette ikke er tilfældet, venstreklikker man blot lige til højre for Number Pressed: i tekstvinduet. Programmet guider en gennem udregningen. I starten beder programmet beder én om at indtaste et tal fra 1-5 alt afhængig af hvad man ønsker at beregne. Side 33 af 45
Er 1ubekendt, taster man 1. Er ubekendt, taster man 2. Er ubekendt, taster man 3. Er h ubekendt, taster man 4. Ønsker man at genstarte eller lukke programmet, taster man 5. Efter enhver indtastning skal man trykke på enter-tasten. Derefter beder programmet om inputs. I denne fase indtaster man værdierne for de variabler, programmet beder om. Efter alle kendte værdier er indtastet, giver programmet resultatet og derved værdien få den ubekendte. Programmet bruger de matematiske formler, jeg har opstillet, til at beregne svarene. Det tjekker selv hvorvidt et input er inde for definitionsmængden og giver besked, hvis der er en uoverensstemmelse. I tilfælde af beregning af h, giver programmet enten et eller to resultater, alt efter værdierne (se Ligningens løsning(er) ). Hvis inputtene er ugyldige, får man besked om dette. Efter en beregning indtaster man 1 for at genstarte programmet og 2 for at lukke det. Eksempel Jeg vil beregne værdien af h. Jeg ved at 1 8 7. Derfor indtaster jeg 4 og trykker enter, fordi h er den ubekendte. Programmet beder om 1 s værdi. Jeg indtaster 81 og trykker enter. Programmet beder om s værdi. Jeg indtaster 7 og trykker enter. Programmet beder om s værdi. Jeg indtaster 11 og trykker enter. Jeg får at vide at h 2. Derefter indtaster jeg 1 og trykker enter for at genstarte programmet Indtil videre har jeg ikke fundet nogen fejl ved programmet. I sjældne tilfælde crasher det; hvis det sker, genindlæser man hjemmesiden. Husk: Programmet tjekker definitionsmængden for de givne inputs og giver besked, hvis de er ugyldige. Decimaltal samt negative tal (anvend kun negative tal som h-værdi, da det ellers er uden for definitionsmængden) fungerer som inputs. Dog skal man sætte et punktum frem for et komma, når man skriver et decimaltal. Programmet er tilgængeligt for alle. Ønsker man at kopiere programkoden er dette tilladt. Side 34 af 45
Ønsker man at se programkoden, scroller man nedad på hjemmesiden. Under tekstvinduet er der 250 linjer kode. Ydermere er de vedlagt som bilag, se Bilag 2: Programkode. Rokeringsformlen i praksis Rokeringsformlen er ikke revolutionerende ift. anvendt matematik på nuværende tidspunkt. Hovedpunktet er, at vise rejsen fra ide til gennemført produkt. Dog kan man bruge rokeringsformlen som et matematisk redskab i nogle tilfælde. Her er to vidt forskellige eksempler. Jespers Have Jesper har en rektangulær have med dimensionerne 24,5x6,75 m, arealet er altså på 165,375 m 2. Haven har hegn hele vejen rundt. Jesper ønsker at optimere havens areal sådan at den bliver 220 m 2. Jesper vil ikke købe nyt stakit, men i stedet genbruge det han har i forvejen, uden at noget hegn går til spilde. Haven skal stadig være rektangulær. Hvad bliver havens nye dimensioner? h 24 5 6 75 ± 24 5 6 75 2 24 5 6 75 4 220 2 4 3 8 Løsning 1: 1 24 5 4 20 5 6 75 4 0 75 De nye dimensioner bliver altså 20,5x10,75 meter. Jesper får sit ønskede areal uden at han behøver købe nyt stakit, eller at noget går til spilde. Løsning 2: 1 24 5 3 8 0 75 6 75 3 8 20 5 De nye dimensioner bliver altså 10,75x20,5 meter. Jesper får sit ønskede areal uden at han behøver købe nyt stakit, eller at noget går til spilde. Filforflytning Et firma har to måder at klassificere filer på, sådan at de opdeles i to kategorier: Kategori og kategori. I førstnævnte er der 321 forskellige filer, i sidstnævnte er der 427. Disse filer kombineres, en fil fra hver kategori, sådan at der i alt er 32 427 37067 forskellige kombinationer af filer. Efter en reform af firmaets klassifikationssystem er et ukendt antal af filer forflyttet fra en ukendt kategori til den anden. Nu er der 139876 kombinationer. Hvor mange filer er blevet forflyttet? h 32 427 ± 32 427 2 32 427 4 39876 2 53 Side 35 af 45
En positiv rokering medfører, at man flytter en del fra til. Der er kun ét svar, da 1. Derfor ved man, at 53 filer er forflyttet fra kategori til kategori. Hermed er der nu 374 filer i hver kategori. Begge overstående opgaver kan naturligvis løses ved at man opstiller en andengradsligning, som derefter løses vha. konventionel matematik. Derfor vil begrebet rokeringer fra et objektivt standpunkt, som nævnt tidligere, på ingen måde revolutionere anvendt matematik. I praksis er rokeringsformlen blot en genvej i få specifikke tilfælde, sådan at man ved brug af denne slipper for en del reduktion. Mange matematiske formler, såsom kvadratsætninger og andengradsligningsløsningsformlen, er i bund og grund blot en genvej. Dette projekts egentlige værdi findes under og Refleksion. Konklusion I løbet af projektet er formlen 1 h h h og dens funktioner beskrevet, defineret og bevist vha. geometri og algebra. Forskellige indfaldsvinkler til samme problem med ens resultat samt eksempler bekræftede den oprindelige hypotese og løste problemformuleringen. Projektet er blevet formidlet vha. skitser, illustrationer, matematiske udsagn og grafer. Hermed er der blevet dannet grundlag for et nyt felt inde for geometri og aritmetik. Refleksion Feltet rektangelrokeringer er på ingen måde færdigudviklet. Dette er kun begyndelsen. Enhver der læser dette og har ideer til, hvordan man kan videreudarbejde mine grundteorier er yderst velkommen til at gøre det. Jeg har blot lagt fundamentet. Som nævnt under Rokeringsformlen i praksis ligger værdien af dette projekt ikke i anvendt matematik. Begrebet rokeringer bygger bro mellem flere forskellige matematiske emner og fænomener, og man bør anse det som et redskab til at opnå en udvidet forståelse af matematiske sammenhænge. Man bør lægge mere vægt på projektets fremgangsmåde, ideudarbejdelse og formidlingsmetoder frem for det egentlige resultat, da dette udstråler naturvidenskabelig grundforskning og anvendelse af den naturvidenskabelige metode. Nu om dage går forskning desværre oftest ud på, at man skal finde praktiske løsninger på almene hverdagsproblemer: Energisparring, effektivisering af diverse processor, økonomi osv. Selvom anvendt matematik er essentielt for at vores dagligdag hænger sammen, skal vi huske på, at alt dette er baseret på, og derved afhængig af, teoretisk matematik. Vi må aldrig forkaste den naturvidenskabelige arbejdsmetode og glemme vigtigheden af grundforskning. Denne grundlæggende forskningsfilosofi har indirekte været grobund for alt moderne videnskab. Dette projekt er i overført betydning en skabelon for den naturvidenskabelige metode og formidling af denne, som jeg Side 36 af 45
ihærdigt forsøger at genindføre i undervisning og forskning. Først skabte grækerne arbejdsmetoden, derefter udførte de selve arbejdet. Ideudarbejdelse er også et essentielt aspekt af naturvidenskab, som dette projekt fremviser. Vigtigheden i at forske i tilsyneladende tilfældige mønstre understreges, og jeg opfordrer interesserede til at lade deres kreativitet og nysgerrighed få vinger. Min store ambition er, at projektet vil indvie læsere til denne alternative tilgang til matematik, og inspirere dem til at tænke i nye baner, frem for blot at repetere almene færdigheder. Kun ved at kaste sig ud i det ukendte opnår man fremskridt. Side 37 af 45
Bilag 1: Udvidet tabel Rokeringens værdi Multiplikationsstykket Resultat Produktændring 0 20 20 400 0 0 1 2 9 399 2 22 8 396 4 2 3 23 7 391 9 3 4 24 6 384 6 4 5 25 5 375 25 5 6 26 4 364 36 6 7 27 3 351 49 7 8 28 2 336 64 8 9 29 319 8 9 10 30 0 300 00 0 11 3 9 279 2 12 32 8 256 44 2 13 33 7 231 69 3 14 34 6 204 96 4 15 35 5 175 225 5 16 36 4 144 256 6 17 37 3 111 289 7 18 38 2 76 324 8 19 39 39 36 9 Udgangspunktet er multiplikationsstykket 20 20 400 Her ser man tydeligt, at altid er et kvadrattal svarerende til rokeringen opløftet i anden potens, såfremt udgangspunktets multiplikand og multiplikator er lige store. Side 38 af 45