Opgave 1 Givet to ensvinklede trekanter som vist på figuren. De anførte mål er oplyst. Da trekanterne er ensvinklede, har de proportionale sider; forstørrelsesfaktoren k findes som forholdet mellem c 1 og c (da de ligger over for lige store vinkler.) k = 11,7/6,5 Længden af b 1 = A 1 C 1 fås ved at forstørre den tilsvarende side b med forstørrelsesfaktoren k: b 1 = 6,0*(11,7/6,5) = 10,80 = 10,8 b 1 = 10,8 Side 1
Opgave 2 I opgaven oplyses antallet af anmeldte voldsforbrydelser for årene 1998 og 2006 samt at udviklingen med god tilnærmelse kan beskrives ved en lineær model. Beregning af parametre År 1998 2006 x (er antal år efter 1998) 0 8 y (er antal anmeldte voldsforbrydelser) 13422 19577 Da modellen er lineær, beregnes a med: a= y 2 y 1 x 2 x 1 Tallene fra tabellen indsættes: a= 19577 13422 =769,38=770 8 0 a afrundes til et multiplum af 10 for at moa = 770 dellen ikke skal fremstå med en overdreven nøjagtighed. Da b = f(0), fås direkte: b = 13422 = 13400 b = 13400 Parametrenes betydning b er tilsvarende afrundet til et multiplum af 100. Modellens værdi for b betyder, at der i 1998 ifølge modellen anmeldtes 13400 voldsforbrydelser. Modellens værdi for a betyder, at der ifølge modellen hvert år anmeldtes ca. 770 flere voldsforbrydelser. Modellens prognose Idet funktionsforskriften i modellen er: f(x) = 770*x + 13400, løses ligningen: 770x+ 13400 = 25000 770x = 25000-13400 x = (25000-13400)/770 x = 15,05 x beregnes med de ikke afrundede tal Dvs. ifølge modellen går der godt 15 år før antallet når op på 25000 og derfor: Der går 16 år før antallet af anmeldte voldsforbrydelser når over 25000 pr. år Side 2
Opgave 3 Figuren viser grafen for en eksponentielt aftagende funktion. For to værdier (y 1 = 10 og y 2 = 5) findes ved aflæsning på grafen de to tilsvarende x-værdier: x 1 = 1,5 og x 2 = 4,4. Halveringskonstanten beregnes som: T 0,5 = x 2 - x 1 hvori de aflæste tal indsættes: T 0,5 = 4,4 1,5 = 2,9 T 0,5 = 2,9 Side 3
Opgave 4 Ishavskatedralens facade er vist med modeltegningen: Da højden BH i trekant ABC er modstående katete til vinkel A i den retvinklede trekant ABH, kan vi benytte formlen: mk = hyp * sin(v) til at beregne længden; de oplyste tal indsættes: BH = 38*sin (67 ) = 34,98 = 35,0 Katedralens højde er 35,0 m Da vinkelsummen i enhver trekant er 180, fås: B = 180 2 67 = 46 o o o Med arealsætningen T= ½*ac*sin(B) (gældende i enhver trekant) fås: T = 0,5*38*38*sin(46 ) = 519,36 = 519,4 Facaden har arealet 519,4 kvadratmeter Side 4
Opgave 5 I perioden 1988-99 stiger medlemstallet af DCU med god tilnærmelse med 12,4 % om året; begyndelsesmedlemstallet var 5389. Da stigningen i procent er konstant vælges en eksponentiel model. Vækstfaktoren a = 1+12,4%; begyndelsesværdien b = 5389. Modellen er: f(x) = 5389*1,124 x x = antal år efter 1988 f(x) = antal medlemmer af DCU x år efter 1988 År 1999 2006 Tabellen er udfyldt ved at x 11 18 anvende f(x) f(x) 19496 44188 Modellens værdi i 1999 er baseret på kendte tal og derfor stemmer virkelighed og model overens. Derimod passer modellens tal fra 2006: ca 44.000 slet ikke med virkelighedens ca. 19.000. Det er nemt at se, at basisperioden fra 88 til 99 (med kraftig vækst) har fået en ny udvikling i den efterfølgende periode (med et svagt fald.) Side 5
Opgave 6 Baseret på tabellen: Kvindelige diabetikere 2005 Alder 0 20 20 40 40 60 60 80 80 100 Antal 1381 8996 25799 46587 18499 tegnes histogrammet (med GeoGebra og kommandoen: BarChart[0, 100, {1381, 8996, 25799, 46587, 18499}] ) På sumkurven aflæses funktionsværdien for x = 46; F(46) = 18 % Det vil sige at 18 % af de kvindelige diabetikere er højst 46 år; derfor er 100 % - 18 % eller 82 % over 46 år. 82 % af de kvindelige diabetikere er over 46 år Side 6
Opgave 7 Følgende formel opgives for sammenhæng mellem mål for heste: vægt= gjordmål2 kropslængde 11880 hvor vægt måles i kg og øvrige mål i cm. Vægten af en hest med gjordmål 180 cm og længdemål 160 cm findes ved indsætning vægt= 1802 160 11880 vægt = 436,36 = 436 Dvs hesten vejer 436 kg Tilsvarende findes gjordmålet ved indsætning og løsning af ligningen: 350= gjordmål 2 150 11880 350 11880 150 =gjordmål 2 gjordmål =± 350 11880 150 gjordmål = 166,49 (idet den negative løsning fravælges) Dvs. hesten i det andet eksempel har gjordmålet 166 cm Opgave 8 Sammenhængen mellem diamantens diameter målt i mm (=x) og diamantens vægt målt i karat (y) er: y = 0,0033*x 3,06. For en diamant med diameter 27,6 mm fås: Diamantens vægt = 0,0033*27,6 3,06 = Diamantens vægt = 84,7 karat 84,66 = 84,7 Da sammenhængen er en potensfunktion fås procenten ved formlen: y-tilvækst-i-procent = ((1+x-tilvækst-i-procent) a -1)*100 % y-tilvækst-i-procent = ((1+20) 3,06-1)*100 % = 74,70% Dvs. den store diamant vejer 75 % mere end den lille. Side 7