To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske tekst på bagsiden, hvis du følger den danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 4. august 8, 9: : Eksamenssættet består af 9 nummererede sider med 4 afkrydsningsopgaver. For hvert spørgsmål er der angivet et antal point. Hele opgavesættet svarer til point i alt. Der må gøres brug af bøger, noter mv. Der må ikke benyttes elektroniske hjælpemidler. Dine svar skal afkrydses i dette opgavesæt. Karaktergivningen baserer sig udelukkende på disse afkrydsninger. I opgaverne,, og 4 evalueres der efter følgende princip: Hver forkert afkrydsning ophæver (modregnes i) én rigtig afkrydsning. Husk at angive dit fulde navn og studienummer herunder. NAVN: STUDIENUMMMER: Facit Side af 9
Opgave (8 point). Er ligningssystemet x x +x = x 7x +7x = 5 x x +x = 4 konsistent?. Hvor mange løsninger har ligningssystemet? ingen uendelig mange. Er ligningssystemet x x +x = x 7x +7x = 5 x x +x = konsistent? Ja 4. Hvor mange løsninger har ligningssystemet? ingen uendelig mange Side af 9
Problem (6 points) 4 Her er givet en totalmatrix [A b] = 4 8. Når man bringer 7 [A b] på reduceret echelonform fås matricen [H c] =.. Hvilket af de følgende ligningssystemer svarer til ligningen Ax = b? x x 4 +4x 5 = +6x 4x 4 +8x 5 +x 6 = +4x x 4 +7x 5 +x 6 = x +x +x x 4 +4x 5 = x +x +x 4x 4 +8x 5 +x 6 = x +x +x x 4 +7x 5 +x 6 = x +x +x x 4 +4x 5 = x +x +x 4x 4 +8x 5 = x +x +x x 4 +7x 5 =. Hvad er rangen af koefficientmatricen A? 4 5. Hvad er rangen af den udvidede koefficientmatrix [A b]? 4 5 6 4. Hvad er nulliteten af matricen A? 4 5 5. Er det sandt at vektorerne, og udgør en basis for Null A? 6. Udgør vektorerne, og en basis for Null A? Ja Side af 9
Opgave (6 point) En lineær transformation T : R n R m har standard matrix A =. Hvilken værdi har tallet n? 4 5 [ ] 4.. Hvilken værdi har tallet m? 4 5. Hvad er rangen af A? 4 5 4. Hvad er dimensionen af nulrummet af A? 4 5. Er T på (surjektiv)? Ja 6. Er T en-til-en (injektiv)? Opgave 4 (6 point). Angiv værdien af determinanten for matricen A =. 5 6 - -7. Angiv værdien af determinanten for matricen B = 5. 6 7-7 -6. Hvilket af følgende tal er lig med determinanten af inversen B? 7 6 7 intet af dem Side 4 af 9
Opgave 5 ( point) Opgaven vedrører matricen A =.. Hvilket af de følgende polynomier er A s karakteristiske polynomium? λ + λ λ + λ + 5λ 7λ + λ 5λ + 7λ intet af dem. Hvilke af de følgende vektorer er egenvektorer til matricen A?. Er matricen A diagonaliserbar? Ja 4. Hvilket af de følgende tal er lig med det(a)? 4-4 - 5. Er matricen A regulær/invertibel? Ja Opgave 6 (6 point) Tre vektorer er givet ved at u =, v =, w = 4. Hvad er dimensionen af underrummet U = span{u, v, w}?, 4. Er {u, v, w} en ortonormal mængde? Ja. Hvad er dimensionen af U? 4 - - - -4 Side 5 af 9
Opgave 7 ( point) I rummet R er der givet en plan W ved ligningen x x + 5x =.. Marker den matrix, som er lig med den ortogonale projektionsmatrix P W : 9 5 9 5 6 9 5 6 5 5 5 5 5. Marker ortogonalprojektionen P W v af vektoren v = 5 på planen W: 5 9 5 5 5 5 Opgave 8 (8 point) En drejning/rotation T : R R i planen om Origo mod uret med en drejningsvinkel θ = π har standardmatricen A.. Hvilken af de følgende matricer er lig med A? [ ] [ ] [ ] [ ]. Er matricen A regulær/invertibel? Ja [ ]. Vektorerne v = og v = [ ] udgør en ordnet basis B for R. Hvilken af de følgende matricer svarer til matricen [T] B, som beskriver rotationen T med hensyn til den ordnede basis B? [ ] [ ] [ ] [ ] 4. Er matricen A diagonaliserbar? Side 6 af 9
Opgave 9 (8 point) Der er givet en matrix M og en vektor v ved M =, v =. 4. Vektoren v er en egenvektor for M. Hvad er den tilhørende egenværdi? 4. Tallet λ = er en egenværdi for M. Hvad er dimensionen af det tilhørende egenrum? 4. Angiv determinanten af M: 4 4. Er M diagonaliserbar? Opgave (6 point) Her ses på 5 5-matricer A, B som opfylder at det A = og det(ab) = 8.. Hvilken værdi har det(a)? -4 64-8 64. Hvilken værdi har det B? -4 64-8 64. Hvilken værdi har det(b A T )? 6 8 Side 7 af 9
Opgave (6 point, med modregning) 5 For matricerne A = 5 og B = 5 udregnes deres produkter 5 C = AB og D = BA. Markér de sande blandt de følgende påstande om matricernes indgange c ij i C, henholdsvis d ij i D: c = d c = d c = d c = d c = d c = d Opgave (6 point, med modregning) Her ses på matricen B = begge i R. 5 og vektorerne b = Markér de korrekte påstande i listen nedenfor: b er indeholdt i søjlerummet Col B. c er indeholdt i søjlerummet Col B. b er indeholdt i nulrummet Null B. c er indeholdt i nulrummet Null B. Søjlerummet Col B er lig med R. Nulrummet Null B er lig med R. og c = 7, Opgave (8 point, med modregning) Opgaven tager udgangspunkt i de rumlige vektorer v =, v =, v =, v 4 =, v 5 =, v 6 =, v 7 = R.. Hvilke af de følgende vektormængder er lineært uafhængige? v, v 4 v, v, v v, v 4, v 5, v 6 v, v 4, v 7 v4, v 5, v 6 v, v 4, v 5. Hvilke af de følgende vektormængder udspænder R? v, v 4 v, v, v v, v 4, v 5, v 6 v, v 4, v 7 v4, v 5, v 6 v, v 4, v 5 Side 8 af 9
Opgave 4 (6 point, med modregning) Følgende kommandoer indtastes i MATLABs Command Window:» a = [; ; ; 4];» b = [; ; 6; ];» c = [; ; 4; ];» d = [; ; ; 4];» e = [4; 4; ; 4];» f = [; ; ; ];» C = [a b c d e f];» rref(c); ans = -5 - Markér de korrekte blandt de følgende påstande: c er en rækkevektor. C er en 6 4 matrix. C er en 4 6 matrix. Man beregner C s nullitet (dimension af Null C) ved at indtaste» 6 - rank (C); Man beregner C s nullitet (dimension af Null C) ved at indtaste» 5 - rank (C); Dimensionen af C s søjlerum er lig med 4. Side 9 af 9