PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3 Differentiation ved hjælp af CAS-værktøj...4 RegneRobot...4 TI-interactive...4 TI-89 og Voyage 2...4 Tangent...4 Ligningen for tangenten...4 Beregning af differentialkvotienter...5 Tretrinsreglen...5 Eksempel 1 f(x) ax +b...5 Eksempel 2 f(x) x²...5 Plusreglen ( f(x)+g(x) ) f (x) + g (x), bevis...6 Differentiation af udtryk...6 Formlen (x n )' n x n-1, n...6 Maksimum og minimum...7 Monotoni...7 Lokalt maksimum...8 Lokal minimum...8 Monotoni-interval for en funktion...8 Voksende...8 Aftagende...8 At redegøre for monotoniforhold...8 Fortegnsvariation...9 Optimering...9 Funktioner... 1 Tallet e... 1 Den naturlige eksponentialfunktion... 11 Den naturlige logaritme... 11 Eksponentielle funktioner... 11 Differentialkvotient af eksponentielle funktioner... 12 Se også link:... 12 Differentialkvotient af Ln og stamfunktion til 1 / x, dx... 12 Væksthastighed... 12 PeterSoerensen.dk : Matematik B interaktivt for hf side 1 / 12

Ikke alle grafpunkter har en hældning Til højre ses to grafer, der ikke overalt har en hældning. Den blå graf her ingen hældning i punkterne (3, 2) og (7, 2.) Den røde graf har ingen hældning i Grafpunktet (2,4). De to tilsvarende funktioner er ikke differentiable i hele deres definitionsmængder. Betydningen af ordet differentialkvotient Her ser vi grafen for en funktion f, hvor grafen har en hældning overalt.. Vi er interesseret i grafens hældning i punktet (x o, y o ) og beragter et punkt (x, y) tæt på ( x o, y o ). Linjestykket fra punktet ( x o, y o ) til ( x, y ) er næsten sammenfaldende med grafen. Sekant Et linjestykke, der forbinder 2 punkter på en graf kaldes en sekant. Jo tættere x er på x, jo bede vil sekanten flugte grafen, Sekanten har hældningen: a (Se lektion 11 i Grønt hæfte) Lidt løst sagt defineres f (x ) eller grafens hældning i x således: Hvis nærmer sig en bestemt værdi, når x nærmer sig x, så er f (x ) lig denne værdi. Denne værdi kaldes i øvrigt grænseværdien for udtrykket når x går mod x o og betegnes f (x o ). Hvad det helt eksakt vil sige at ikke uddybe her. nærmer sig en bestemt værdi, når x nærmer sig x, vil vi Det skrives således: går mod f (x o ) når x går mod x o. Det kan også skrives sålees: f (x o ) når x x o. eller således: Ordet lim er i slægt med det engelske ord limit, der betyder grænse. Ordet grænseværdi benyttes ikke blot ved bestemmelse af grafers hældninger. Generelt kan man tale om, at et udtryk, hvor dets værdi afhænger af en variabel, kan have en grænseværdi, når denne variabel nærmer sig et bestemt tal. PeterSoerensen.dk : Matematik B interaktivt for hf side 2 / 12

f (x o ) kaldes også differentialkvotienten af f i x o eller blot differentialkvotienten i x o. Ordet differentialkvotient har noget at gøre med, at er en kvotient af differenser. Kvotient betyder resultatet af en division, og differens betyder resultatet af et minus-stykke. kaldes ofte differens-kvotienten. I gamle dage kaldte man differenserne for differentialer, hvis differenserne var ekstremt små, og derved opstod navnet differential-kvotient. Vi benytter ofte forkortelsen f for f(x) f(x ) og x eller h for (x x ) Med disse forkortelser kan vi skrive: f f er differentiabel i x o hvis x eller f er differentiabel i x o hvis f h har en grænseværdi for x x o har en grænseværdi for h Differentiable funktioner Hvis en funktion f er differentiabel for alle x, siger vi at funktionen er differentiabel, og den funktion, der til hvert x o knytter f (x o ) betegnes f. f kaldes differentialkvotienten af f eller den afledede af f. Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning Hvis man kender regneforskriften for en funktion f, er det ofte muligt at finde regneforskriften for den afledede funktion f. Her benyttes CAS-værktøj og forskellige regler. Vi vil senere bevise nogle af disse regler, men først vil vi nøjes med at se nogle af reglerne. Regneregler: ( k )' Eksempel: f(x)7 Grafen er vandret og f '(x) ( k x )' k Eksempel: f(x)3x Grafen har overalt hældningen 3 og f '(x)3 (x n ) n x n-1, n Eksempler: (x 3 ) 3 x 3-1 3 x 2 og (x 2 ) 2 x 2-1 2x (k f(x))' k (f(x))' k f (x) Eksempel: (2x 3 ) 2 3 x 2 2 6x 2 (k x n ) k n x n-1, n 1 Eksempel: (2x 3 ) 2 3 x 2 6x 2 (f(x)+g(x)) f (x) + g (x). Eksempel: (x³ + x²)' 3x 2 + 2x Plusreglen (f(x)-g(x)) f (x) - g (x). Eksempel: (x³ - x²)' 3x 2-2x Minusreglen Når man anvender de 2 sidste regler kaldes det ledvis differentiation. Når der i et udtryk er 2 eller flere led, vil man typisk anvende ledvis differentiation. Der er flere regler i formelsamlingen. PeterSoerensen.dk : Matematik B interaktivt for hf side 3 / 12

Differentiation ved hjælp af CAS-værktøj RegneRobot Her differentieres ved at vælge "Guide & CAS" og derefter "Differential- og integralregning". Se eventuelt Vejledning til RegneRobot TI-interactive Her klikkes i d/dx og d(, hvorefter man skriver: 3x^2,x) og taster Enter. Se eventuelt link: TI-Interactive og det sidste af videoen cas TI-89 og Voyage 2 Her kan man finde differentialkvotienten til en funktion, fx f(x) 3x², ved at taste F3 og vælge d( Derefter skrives 3x^2,x), så der kommer til at stå: d(3x^2,x) (x til sidst betyder, at den uafhængige variable er x). F6 Enter Enter F3 1 3 x ^ 2, x ) Enter Der er mere om cas-væktøj i lektion19, 23 og 25 Tangent En linje, der går gennem et grafpunkt og har samme hældning som grafen i punktet, kaldes tangent til grafen. Ligningen for tangenten gennem grafpunkt (x o, y o ) er: (y y o ) f (x o ) (x x o ) Hvis x x o, kan ligningen også skrives: Til højre er tegnet funktionen f(x) -2x² + 8x 1 og en tangent. Man kan se af tegningen, at hældningen er -4. Hældningen kan også beregnes: f (x) -4x + 8 f (3) -4 3 + 8-12 + 8-4 Af tegningen ses, at tangentens røringspunkt er (3, 5) Tangentens ligning bliver: (y 5) 4(x 3) PeterSoerensen.dk : Matematik B interaktivt for hf side 4 / 12

Beregning af differentialkvotienter Hvis man kender en funktion og ønsker at finde dens afledede er det ofte bekvemt at benytte den såkaldte tretrinsregel. Tretrinsreglen 1. Opskriv eller Husk h x (x-x o ) og x x +h 2. Omskriv f. Måske kan der forkortes med x eller h 3. Bestem grænseværdien. Eksempel 1 f(x) ax +b f x y y h (ax b) (ax h b) a Da a gælder også a for x x o Altså: f (x o ) a. Da det gælder for ethvert x o kan vi skrive f (x) a eller (ax+b) a Eksempel 2 f(x) x² Vi bemærker at x x o + h, og vi får: f x y y h 2 2 - x (x h) h 2 2 x h 2hx x h h 2x 2x 2 2 h 2hx h for x x o h 2x Altså: f (x o ) 2x o eller f (x) 2x eller (x²) 2x PeterSoerensen.dk : Matematik B interaktivt for hf side 5 / 12

Plusreglen ( f(x)+g(x) ) f (x) + g (x), bevis ( f g) x (f(x) g(x) ) - ( (f(x x x ) g(x ) ) f(x) - f(x ) g(x) x x - g(x ) f ( x ) f ( x x x ) + g ( x ) g ( x x x ) f '(x ) + g '(x ) for x x Hvilket beviser ( f(x)+g(x) ) f '(x) + g'(x) Differentiation af udtryk skives ved at tilføje en apostrof og ofte en parentes, fx (x² + 2x) 2x + 2. Nogen gange sættes apostroffen anderledes, fx Log x, som betyder (Log x). Formlen (x n )' n x n-1, n vil vi ikke bevise, men uddybe. (x ) (1) (x + 1). Det sidste fremgår af eksempel 1, hvor a og b1. Altså (x ) (x 1 ) (x) (1x + ) 1. Det sidste fremgår af eksempel 1, hvor a1 og b. Altså (x 1 ) 1 x (x²) (x x) 1 x + x 1 2x (i overensstemmelse med den tidligere beregning.) (x 3 ) (x² x) 2x x + x² 1 3x² (x 4 ) 4x 3,5 ) x ',5x,5 2 1 x (Se eventuelt lektion 3 i matematik interaktivt for hf) PeterSoerensen.dk : Matematik B interaktivt for hf side 6 / 12

Maksimum og minimum Hvis en funktion har en sammenhængende graf på et lukket interval, har den både et maksimum og et minimum. Dette vil vi ikke bevise, men anskueliggøre med nogle tegninger: Bemærk: Maksimum og minimum er y-værdier. De tilsvarende x-værdier kaldes henholdsvis maksimumpunkt og minimumspunkt. Monotoni Hvis en funktion f er differentiabel i et interval gælder: f er voksende i intervallet hvis f (x) er positiv eller punktvis nul. f er aftagende i intervallet f er konstant i intervallet hvis f (x) er negativ eller punktvis nul. hvis f (x) overalt i intervallet. I intervallet I 1 er f (x) og kun punktvis lig nul. (2 steder) f er voksende i intervallet I 1 PeterSoerensen.dk : Matematik B interaktivt for hf side 7 / 12

I intervallet I 2 er f (x) og kun punktvis lig nul. (2 steder) f er aftagende i intervallet I 2. I intervallet I 3 er f (x) og kun punktvis lig nul. (1 sted) f er voksende i intervallet I 3 Bemærk: I 1 og I 2 har 1 punkt fælles. Det gælder også I 2 og I 3. Lokalt maksimum er en funktionsværdi, hvor grafpunktet ligger på en bølgetop eller på et vandret stykke af grafen. Det lokale maksimum er større end eller lig y-værdien for de nærmeste punkter på grafen. Lokal minimum er en funktionsværdi, hvor grafpunktet ligger i en bølgedal eller på et vandret stykke af grafen. Det lokale minimum er mindre end eller lig y-værdien for de nærmeste punkter på grafen. Begge dele kaldes: Lokalt ekstremum. I flertal: Lokale ekstrema. Ved ekstremum er differentialkvotienten nul; men differentialkvotienten kan også være nul andre steder. Monotoni-interval for en funktion er et interval hvor funktionen er monoton, dvs voksende, aftagende eller eventuelt konstant. Om den afbillede funktion gælder: Voksende i ] - ; -3 ] og [ 1; [ Aftagende i [ -3; 1 ] Lokalt maksimum i -3 med y-værdi 34 Lokalt minimum i 1 med y-værdi 2 Bemærk: Begge tal -3 og 1 er med i både et voksende og i et aftagende interval. Bemærk også: Grafen er sammenhængende. Derfor kan man ikke gå langs med grafen fra et punkt under x-aksen til et punkt over x-aksen uden at passere x-aksen. Et graf-punkt på x-aksen har y-værdien nul. En funktion med en sammenhængende graf, kaldes kontinuert. At redegøre for monotoniforhold vil sige at oplyse monotoniintervaller og anføre hvor voksende, hvor aftagende og hvor konstant. PeterSoerensen.dk : Matematik B interaktivt for hf side 8 / 12

Man kan illustrere en fortegnsvariation over differentialkvotienten og se både monotoniforhold og ekstrema. Eks. f(x) x 3 + 3x 2-9x + 7 f (x) 3x 2 + 6x - 9 For at finde ud af fortegnet for f vil vi finde nulpunkter for f : Dvs vi skal løse ligningen: 3x 2 + 6x 9 d 36 4 3 (-9) 144 Rødder: dvs. -3 og 1 Grafen for f er glad og derfor negativ mellem rødderne. Fortegnsvariation f er voksende i ] - ; -3 ] og [ 1 ; [ f er aftagende i [-3 ; 1 ] Der hvor f skifter fra voksende til aftagende har f lokalt maksimum, altså ved x-værdien -3. Selve maksimumsværdien er f(-3) 34 Tilsvarende bliver minimum 2 der antages for x 1 Ofte har man brug for at finde størsteværdi eller mindsteværdi for en funktion. Optimering Det at finde maksimum for en funktion kaldes optimering. Eks. Vi betragter igen firmaet, som sælger en vare og gerne vil optimere sin fortjeneste. x er reklameinvesteringen i mio kr. Den samlede fortjeneste ved salg af varen afhænger af reklameinvesteringen. f(x) er den samlede fortjeneste i mio kr ved salg af varen. PeterSoerensen.dk : Matematik B interaktivt for hf side 9 / 12

For den pågældende vare gælder: f(x) -2x² + 8x - 1, Dm(f) [ ; 5]. Dvs der kan højst investeres 5 mio i reklamer Det handler om af få maksimum fortjeneste. f (x) -4x + 8 f (x) -4x + 8 x 2 f () 8 (positivt) f (3) -4 (negativt) På grundlag heraf fås Fortegnsvariation: Resultat: Der er maksimum fortjeneste ved en reklameinvesering på 2 mio. Maksimumfortjenesten er f(2) mio 7 mio kr. Vi kan også finde minimumfortjenesten ved at vurdere f() og f(5) f() -1 mio f(5) -11 mio Altså minimumsfortjenesten er -11 mio, hvilket er et tab på 11 mio. Bemærk, vi har stiltiende udnyttet at f er kontinuert. Derfor kunne vi konkludere, at når f () er positiv, så er f (x) positv overalt til venstre for 2. Tilsvarende kunne vi konkludere, at når f (3) er negativ, så er f (x) negativ overalt til højre for 2. Funktioner Fra Matematik C interaktivt for hf (grønt og blåt hæfte) kan du læse om: Sammenhæng mellem variable og funktion Proportionalitet Lineær funktion Eksponerntiel Funktion Logaitmefunktion (1-talslogaritmen) Potensfunktion Tallet e Vi skal møde et helt specielt tal, som spiller en ganske stor rolle i matematikken. Tallet kaldes e og er lig ca. 2,718. Tallet kan ikke skrives som en endelig decimalbrøk. Det er et irrationalt tal, altså et ikke rationalt tal, hvilket vil sige, det ikke kan skrives som en brøk med helt tal for oven og helt tal for neden. PeterSoerensen.dk : Matematik B interaktivt for hf side 1 / 12

Den naturlige eksponentialfunktion Tallet er især interessant når det optræder i den eksponentialfunktion, som har regneforskriften: f(x) e x Denne funktion kaldes den naturlige eksponentialfunktion og er karakteristisk ved at have sig selv som differentialkvotient. Dvs f (x) e x eller (e x ) e x e kan benyttes i RegneRobot og i TI-interactve. I TI-interactive skrives dog #e Den naturlige logaritme Den naturlige logaritmefunktion betegnes Ln, og er bestemt ved: Den naturlige logaritme til et positivt tal er den eksponent, man skal sætte på e for at få tallet. Eksempler: Ln(e 3 ) 3 Ln(e 7 ) 7 Ln(e x ) x Ln(e a ) a DVS. e Ln(x) x. Logaritmeregler Ln(a b) Ln(1) fordi e 1 Ln(e) 1 fordi e 1 e Ln(a) + Ln(b) Ln( ) Ln(a) - Ln(b) Ln(a x ) x Ln(a) Disse regler er magen til reglerne for 1-talslogaritmen. Nogen gange betegnes den naturlige logaritme med lille l således: ln Fx: ln(1) Eksponentielle funktioner Vi vil nu omskrive b a x, så e indgår. Her får vi brug for en regel om eksponenter: (a p ) q a p q, fx (5 3 ) 2 5 5 5 5 5 5 5 3 2 Vi har tidligere set at x e ln(x), idet ln(x) er den eksponent, man skal putte på e for at få x. Ved at skrive a i stedet for x fås: og og b a x b e ln(a) x a e ln(a) a x (e ln(a) ) x e ln(a) x Derfor kan en eksponentiel funktion skrives på følgende form: f(x) b e ln(a) x PeterSoerensen.dk : Matematik B interaktivt for hf side 11 / 12

Differentialkvotient af eksponentielle funktioner Der gælder: (b a x ) ln(a) b a x (Det vil vi ikke bevise) Specielt gælder: (a x ) ln(a) a x Vi lægger mærke til, at differentialkvotienten af en eksponentiel funktion er proportional med funktionsværdien. Endvidere gælder: (b e nx ) b n e nx og (b a nx ) ln(a) n b a nx Det vil vi heller ikke bevise. Eksempler: (2 3 x ) ln(3) 2 3 x og (3 x ) ln(3) 3 x På en lommeregner Texas TI 89 og Voyage 2 kan (2 3 x ) findes ved at taste: F3 1 2 * 3 ^ x, x ) Enter I TI-interactive klikkes i d/dx og d(, hvorefter man skriver: 2*3^x,x) og taster Enter. Se også link: Regler for differentiation Bemærk især: (e nx ) ne nx Differentialkvotient af Ln og stamfunktion til 1 / x, dx Der gælder: (ln(x) ), x >. (Det vil vi ikke bevise.) Tilsvarende: dx ln(x) +k, x >. k er en abitrær konstant, dvs et vilkårligt tal. For x< : dx ln(-x) +k, x <. (De 2 sidste formler vil vi heller ikke bevise.) De 2 sidste formler kan under ét skrives dx ln( x ) +k, x (x forskellig fra nul), idet x betyder x hvis x< og ellers x. Fx: -7 7 og 7 7. (Bemærk, vi bruger også den lodrette streg i geometri. Afstanden mellem fx punkterne A og B betegnes: AB ) Se videoen: CAS eller Vejledning til RegneRobot. Se også fomelsamlingen Naturlig logaritme & eksponentialfunktion Væksthastighed Væksthastighed betyder det samme som differentialkvotient. Pakistans befolkning var i 2 på 147 mio. og er siden vokset med en væksthastighed på 1,71% pr. år. Dvs: Væksthastigheden,171 befolkningens størrelse. Væksthastigheden er således proportional med befolkningens størrelse og proportionalitetsfaktoren er,171. Det kan skrives: f (x),171 f(x), hvor x er antal år efter år 2 og f(x) er befolkningstallet, mens f (x) er væksthastigheden. PeterSoerensen.dk : Matematik B interaktivt for hf side 12 / 12