Dagens program Afsnit 1.7-1.8 Fødselsdagseksemplet, fra sidst Eksperimenterikkealleerligesandsynlige Diskrete sandsynlighedsfordelinger -Definition af sandsynligheder - Regneregler Hvad er sandsynligheder? - Gentagelse af eksperimenter, simulationer - Subjektive sandsynligheder 1
Fødselsdagseksemplet Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006 En gruppe med 23 personer. Hvad er sandsynligheden for, at mindst 2 personer har fødselsdag på samme dag? Udfaldsrummet Ω : Alle rækkefølger af fødselsdage for 23 personer Antal udfald i Ω : 365 23 Alle udfald er lige sandsynlige A : Mindst 2 personer har fødselsdag samme dag A C : Alle de 23 personer har forskellige fødselsdage Antal udfald i A C : (365) 23 P (A) =1 P A C =1 (365) 23 365 23 =0.503 2
Figur 1: Sandsynligheden for at mindst 2 personer har samme fødselsdag som en funktion af antallet af personer i gruppen 3
Hvorfor ikke regne med ordnede mængder? En gruppe med 2 personer. Hvad er sandsynligheden for, at de har fødselsdag samme ugedag? Udfaldsrummet Ω : Alle rækkefølger af uge-fødselsdage for 2 personer Antal udfald i Ω :7 2 =49 Alle udfald er lige sandsynlige A : De 2 personer har fødselsdag samme ugedag A C : De 2 personer har fødselsdag på forskellige ugedage Antal udfald i A C :(7) 2 =7 6=42 P (A) =1 P A C =1 42 49 =1/7 =0.143 4
I stedet: Udfaldsrummet Ω : Alle kombinationer af uge-fødselsdage for 2 personer Antal mulige udfald: 7+6+5+4+3+2+1=28 Men disse udfald er ikke lige sandsynlige! 5
Diskrete sandsynlighedsfordelinger Eksperiment med usikkerhed beskrives ved en sandsynlighedsmodel bestående af: Udfaldsrum Ω : Mængden af alle udfald (her diskret) Hændelser: Alle delmængder af udfaldsrummet Sandsynligheder af hændelser Alle udfald er lige sandsynlige, Afsnit 1.3 Det generelle tilfælde, Afsnit 1.7 6
Eksempel 1, Eksperimenter med 2 udfald Spil: Du deltager i et spil, hvor sandsynligheden for at vinde er p med 0 p 1. Ω = { vinder, taber } P ( vinder )=p og P ( taber )=1 p Tilfældig udvælgelse: I gruppe består af 100 personer, hvoraf 32 er rygere. Hvad er sandsynligheden for at en tilfældig udvalgt person er ryger? Ω = { ryger, ikke-ryger } P ( ryger )=0.32 og P ( ikke-ryger )=0.68 7
Diskret sandsynlighedsmodel: Udfaldsrum Ω (diskret) Ethvert udfald ω i udfaldsrummet har en sandsynlighed P (ω) sådan at P (ω) 0 og P ω Ω P (ω) =1 Sandsynligheden af en hændelse E Ω er defineret som P (E) = X ω E P (ω) Egenskaber: For alle hændelser E og F i udfaldsrummet, (i) P (E) 0 (ii) P (Ω) =1 (iii) P (E F )=P (E)+P (F ) hvis E F =Ø 8
Flere egenskaber: (iv) P (E 1... E n )= P n P (E i=1 i) hvis E i E j =Øfori 6= j (v) P (E C )=1 P (E C ) (vi) P (Ø) =0 (vii) Hvis E F så er P (E) P (F ) (viii) P (E) 1 (ix) P (E F )=P (E)+P (F ) P (E F ) Loven om den totale sandsynlighed: For enhver klassedeling E 1,..., E k af udfaldsrummet Ω gælder: P (F )=P (F E 1 )+... + P (F E k ) 9
Eksempel 2, Familiemønstre: Familier med 3 børn Hvad er børnenes køn? Udfaldsrum (Køn på 1. barn, Køn på 2. barn, Køn på 3. barn): Ω = {PPP,PPD,PDP,DPP,DDP,DPD,PDD,DDD} To forskellige sandsynlighedsfordelinger Udfald PPP PPD PDP DPP DDP DPD PDD DDD SShed 1 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125 SShed 2 0.117649 0.122451 0.122451 0.122451 0.127449 0.127449 0.127449 0.132651 E 0 = {DDD} E 1 = {DDP, DPD, PDD} E 2 = {PPD,PDP,DPP} E 3 = {PPP} 10
Sandsynlighed for hændelserne i de to sandsynlighedsfordelinger: Hændelse E 0 E 1 E 2 E 3 SShed 1 0.125 0.375 0.375 0.125 Sshed 2 0.132651 0.382347 0.367353 0.117649 I sandsynlighedsfordeling 2: Hvad er sandsynligheden for, at de 2 ældste er piger: P (2 ældstepiger)=p (PPP)+P (PPD)=0.2401 Hvad er sandsynligheden for, at den ældste er en pige: P (ældste er en pige) =P (PPP)+P (PPD)+P (PDP)+P (PDD)=0.49 Hvad er sandsynligheden for, at den yngste er en pige: P (yngste er en pige) =P (PPP)+P (PDP)+P (DPP)+P (DDP) =0.49 11
P(ældste er en pige yngste er en pige) = P (PPP)+P (PPD)+P (PDP)+P (PDD)+P (DPP)+P (DDP) =0.7399 P(ældste er en pige yngste er en pige) =P (PPP)+P (PDP)=0.2401 P (ældste er en pige)+p (yngste er en pige) P(ældste er en pige yngste er en pige) = 0.49 + 0.49 0.2401 = 0.7399 12
Familien vælger at få børn indtil der er født et barn af hvert køn, dog højst 3 børn Udfaldsrummet: Sekvenserne af børnenes køn Ω = {PD,DP,PPP,PPD,DDP,DDD} Udfald PD DP PPP PPD DDP DDD Sshed 0.2499 0.2499 0.117649 0.122451 0.127449 0.132651 A 0 = {DDD} A 1 = {PD,DP,DDP} A 2 = {PPD} A 3 = {PPP} Sandsynligheder for hændelserne: Hændelse A 0 A 1 A 2 A 3 Sshed 0.132651 0.62724900 0.122451 0.117649 13
Simulationseksperimenter Deltager i et spil. Sandsynligheden for at vinde er 2/3. Jeg spiller dette spil 1000 gange (gentagelser af eksperimentet) Hvor mange gange vil du gætte på, at jeg vinder? Den efterfølgende tabel viser udfaldet af det enkelte spil samt antallet og andelen af gange jeg har vundet til og med spil nummer i. 14
Spil nr. Udfald Antal vundne spil Andel vundne spil 1 taber 0 0 2 vinder 1 1/2 3 vinder 2 2/3 4 vinder 3 3/4 5 vinder 4 4/5 6 vinder 5 5/6 7 vinder 6 6/7 8 taber 6 6/8 9 taber 6 6/9 10. vinder. 7. 7/10. 100. vinder. 71. 71/100. 1000 taber 698 698/1000 15
Figur 2: Frekvensen af vundne spil som en funktion af antal spillede spil 16
Figur 3: Frekvensen af vundne spil som en funktion af antal spillede spil 17
Figur 4: Frekvensen af vundne spil som en funktion af antal spillede spil 18
Eksperiment A: Spille spillet 100 gange Andelen af gange spillet vindes: Udfaldsrum: Ω = {0, 1/100, 2/100,..., 99/100, 1} Gentager Eksperiment A 10000 gange: Gentagelse nr. Andel vundne spil 1 0.71 2 0.70 3 0.63 4 0.69 5 0.63 6 0.62 7 0.59 8 0.66 9 0.66 10 0.64.. 19
Eksperiment B: Spille spillet 1000 gange Andelen af gange spillet vindes: Udfaldsrum: Ω = {0, 1/1000, 2/1000,..., 999/1000, 1} Gentager Eksperiment B 10000 gange: Gentagelse nr. Andel vundne spil 1 0.698 2 0.667 3 0.664 4 0.667 5 0.671 6 0.668 7 0.663 8 0.668 9 0.654 10 0.662.. 20
Figur 5: Histogram for fordelingen af frekvensen af gevinster når spillet spilles 100 gange baseret på 10000 gentagelser 21
Figur 6: Histogram for fordelingen af frekvensen af gevinster når spillet spilles 1000 gange baseret på 10000 gentagelser 22
Subjektive sandsynligheder Hvorfor siger vi, at der er 50% sandsynlighed for at få "plat"i et møntkast? Frekvensfortolkoningen: En sandsynlighed er en relativ hyppighed (frekvens) i en lang serie af ens forsøg Hvad med eksperimenter, der ikke kan udføre og gentages? Subjektive sandsynligheder: - Hvad er sandsynligheden for, at det bliver solskin i morgen? - Hvad er sandsynligheden for, at du bliver mindst 80 år? - Hvad er sandsynligheden for, at du kan finde et job som færdig uddannet kandidat? 23
Eksempel 1.8c fra bogen: Jeg stiller en person følgende spørgsmål: Hvad er sandsynligheden for, at det bliver solskin i morgen? Hændelse A : Solskin i morgen Personen kan ikke besvare spørgsmålet: Jeg giver nu personen valget mellem følgende 2 spil: 1. 50 kr hvis hændelsen A indtræffer 2. Møntkast: 50 kr hvis "plat" Vælger 1. Dvs. P (A) > 0.5 Dette gentages og på denne måde kan man estimere P (A) for denne person. 24
Opsummering Diskrete sandsynlighedsfordelinger Eksempel: Familiemønstre - Udregning af sandsynligheder - Sammenligning af forskellige sandsynlighedsfordelinger Sandsynligheden af en hændelse som frekevensen af denne hændelse i mange gentagelser af forsøget Introduktion til simulationseksperimenter Subjektive sandsynligheder 25
Næste gang Mandag gennemgåes: Afsnit 2.1-2.3 - Stokastiske variable - Simultane fordelinger - Betingede sandsynligheder 26