Funktioner Omvendt proportionalitet og hperbler... 5 Eksponentialfunktioner... 8 Eksponentialfunktioner og lineære funktioner... 31 Potensfunktioner... 33 Funktioner Side 4
Omvendt proportionalitet og hperbler I de to første opgaver skal du både arbejde med omvendt proportionalitet og ligefrem proportionalitet 1: Buspriser (1) Olfert går på VUC fem dage om ugen. Han tager bussen ( zoner) hver dag. a: Hvad er udgiften pr. dag, hvis han: - køber kontantbillet? - køber klippekort? b: Find også (cirka-tal) for Olferts udgift pr. dag ved køb af månedskort. c: Udfld for to zoner en tabel som denne: Buspriser 3 zoner zoner 1 zone Kontantbillet 10 15 0 Klippekort m. 10 klip 80 10 160 Månedskort 00 300 400 Antal busture på en måned 10 0 30 40 50 60 Pris i alt ved kontantbillet Pris i alt ved klippekort Pris i alt ved månedskort d: Lav grafer ud fra tallene i tabellen. e: Opstil funktioner for graferne. f: Hvilke funktioner og grafer viser ligefrem proportionalitet? : Buspriser () a: Udfld for to zoner en tabel som denne: Antal busture på en måned 10 0 30 40 50 60 Pris pr. tur ved kontantbillet Pris pr. tur ved klippekort Pris pr. tur ved månedskort b: Lav grafer ud fra tallene i tabellen. c: Opstil funktioner for graferne. d: Hvilken funktion og graf viser omvendt proportionalitet? e: Lav også tabel og grafer der viser sammenhængen mellem: - antal busture på en måned og prisen pr. tur ved en zone ved køb af månedskort. - antal busture på en måned og prisen pr. tur ved tre zoner ved køb af månedskort. Funktioner Side 5
3: Olferts høns a: Hvor bred bliver indhegningen, hvis den skal være 6 m lang? b: Hvor bred bliver indhegningen, hvis den skal være 8 m lang? c: Lav og udfld en tabel som denne: Olfert skal lave en indhegning på 4 m til sine høns. Indhegningen skal være firkantet (rektangel eller kvadrat). Den ene side i meter () 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 Den anden side i meter () d: Tegn en graf ud fra tallene i tabellen. e: Hvilken af disse funktioner passer til tabellen og grafen: = 4 4 = f: Hvad bliver sidelængden, hvis indhegningen er kvadratisk? Marker det sted på grafen, som svarer til en kvadratisk indhegning. g: Er og omvendt proportionale? h: Lav evt. også tabel og en graf, der passer til en indhegning på 15 m. = 4 -akse: 1 cm = 1 m -akse: 1 cm = 1 m 4: Antons køretur a: Anton overvejer at ckle. Hvor lang tid tager turen, hvis han kører 0 km/time? b: Hvor lang tid tager turen, hvis han kører i bil med en gennemsnitsfart på 80 km/time? c: Lav og udfld en tabel som denne: Anton bor i Udb. Han skal besøge sin mor i Smalballe. Turen er på 10 km. Km/time 0 30 40 50 60 o.s.v. 140 150 Antal timer Antal min. d: Lav en graf ud fra tallene i tabellen. Antal km/time skal være -værdi. Du bestemmer selv, om du vil bruge antal timer eller antal min. som -værdi. e: Begge disse funktioner kan passe til grafen. Forklar hvorledes: 10 = 10 60 = f: Lav evt. også tabel og en graf, der passer til en gå- eller ckle-tur på 15 km. -akse: 1 cm = 10 km/t -akse: 1 cm = 0 min. eller 3 cm = 1 time Funktioner Side 6
5: Tegn grafen for denne funktion: 4 =. Start med at udflde en tabel som denne: -8-4 - -1-0,5 0,5 1 4 8 Bemærk: Grafen består af to dele, som ikke hænger sammen. 6: Tegn graferne for disse funktioner: 1 = = 8 = Du må gerne bruge det samme koordinatsstem som du brugte i opgave 5. Alle graferne fra opgave 5, 6 og 7 har smmetriakser. Kan du finde akserne? 7: Tegn graferne for (nogle af) disse funktioner: 1 4 = = = = 8 8: To taa-firmaer tager de viste priser. a: Hvad koster det at køre 4 km med Henr? b: Hvad bliver prisen pr. km, når man kører 4 km med Henr? c: Lav og udfld en tabel, som denne: Antal km 3 o.s.v. 10 Pris pr. km hos Henr 5,50 Pris pr. km hos Tom 13,50 Henrs Hrevogne 8 kr. pr. km 35 kr. i startgebr Toms Taa 1 kr. pr. km 15 kr. i startgebr d: Lav grafer i et koordinatsstem ud fra tallene i tabellen. e: Hvilken af disse funktioner passer til Henr? er antal km og er prisen pr. km. 8 35 = + 35 = + 8 = + 8 35 f: Opstil selv en funktion for Toms Taa. g: Er og omvendt proportionale (undersøg begge funktioner)? h: Hvor skærer graferne hinanden? og hvad betder skæringspunktet? i: Forestil dig, at du kører en meget, meget, meget lang tur. - hvor lav kan prisen pr. km blive hos Henrs Hrevogne? - hvor lav kan prisen pr. km blive hos Toms Taa? -akse: 1 cm = 1 km -akse: 1 cm = kr. Funktioner Side 7
Eksponentialfunktioner 9: Lønstigning I tabellen herunder er vist Kurts timeløn i år og de næste to år. a: Vis hvorledes tallene er beregnet. Kurt arbejder på Udb Marmeladefabrik. Han tjener 10 kr. i timen. Han bliver lovet en lønstigning på 5% hvert år de kommende år. b: Lav hele tabellen og udfld den. (Det er helt urealistisk at regne med en fast lønstigning i 15 år, men find tallene alligevel). Antal år () 0 1 3 15 Timeløn i kr. () 10,00 16,00 13,30... c: Lav ud fra tallene en graf i et koordinatsstem. d: Hvilken af disse funktioner beskriver Kurts løn? = 6 + 10 = 10 1,50 = 10 1,05 -akse: 1 cm = 1 år -akse: 1 cm = 10 kr. Nu skal du regne på Olferts løn. e: Udvid tabellen med en række for Olfert. Tilføj også en graf for Olfert. f: Opstil en funktion for Olferts løn? g: Hvor mange år skal der gå, før Kurt og Olfert tjener det samme? Olfert arbejder på Udb Margarinefabrik. Han tjener 150 kr. i timen. Han bliver lovet en lønstigning på % hvert år de kommende år. h: Hvor mange procent stiger Kurts løn i alt de første fem år? Og hvor mange procent stiger Kurts løn de næste fem år (fra år 5 til år 10)? 10: Lønstigning (fortsat) Forestil dig, at Kurt og Olferts lønninger fortsat stiger med de samme procenttal hvert år. a: Tegn og udfld en tabel som vist herunder: Antal år 0 10 0 30 40 50 Kurts timeløn 10,00 Olferts timeløn 150,00 b: Lav ud fra tallene i tabellen grafer i et koordinatsstem. c: Hvor længe varer det, inden Kurt når en timeløn på 300 kr. i timen? d: Og hvor længe varer det, inden Olfert når en timeløn på 300 kr. i timen? e: Hvor mange år går der, før Kurt tjener 1.000 kr. i timen? -akse: 1 cm = 5 år -akse: 1 cm = 100 kr. Funktioner Side 8
11: Fadøl Kurt og Olfert drikker fadøl på Den Gldne Giraf. For at spare penge drikker de øllet langsomt. Kurt køber en stor fadøl. Hver time drikker han halvdelen (50%) af det øl, som er tilbage i glasset. Olfert køber en lille fadøl. Hver time drikker han en fjerdedel (5%) af det øl, som er tilbage i glasset. a: Hvor meget øl har Kurt tilbage efter en time? b: Hvor meget øl har Olfert tilbage efter to timer? c: Lav og udfld en tabel som denne: Den Gldne Giraf Stor Fadøl 500 ml... 35 kr. Lille Fadøl 00 ml... 18 kr. - en Fad gør glad - Antal timer 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 Øl (ml) i Kurts glas 500 15 Øl (ml) i Olferts glas 00 84 d: Lav grafer i et koordinatsstem ud fra tallene i tabellen. e: Hvilken af disse funktioner kan beskrive Kurts øl? = 500 50 = 500 0,50 f: Opstil selv en funktion for Olferts øl 500 = g: Hvornår er der lige meget øl i Kurts og Olferts glas? -akse: 1 cm = 1 time -akse: 1 cm = 0 ml 1: Biler a: Hvor meget er en n Renaudi drere end en n Skoota? Giv både et svar i kr. og et svar i procent. Begge biler taber 0% i værdi om året. b: Lav og udfld en tabel som denne: Udb Auto Fabriksne modeller Skoota... 150.000 Renaudi... 5.000 Alder i år 0 1 10 Værdi Skoota Værdi Renaudi c: Lav grafer i et koordinatsstem. d: Opstil funktioner for begge biler. e: Hvor mange procent er en 10 år gammel Renaudi mere værd end en 10 år gammel Skoota? a: Hvor mange procent er hver af bilerne i alt faldet? -akse: 1 cm = 1 år -akse: 1 cm = 10.000 kr. Funktioner Side 9
13: Hvad passer sammen? a: b: c: d: e: = 5 1,0 A: En startværdi på 5 og et fald på % (f om året). = 5 0,98 B: En startværdi på 5 og en stigning på 0,% (f om året). = 5 1, C: En startværdi på 5 og en stigning på % (f om året). = 5 0,8 D: En startværdi på 5 og en stigning på 0 % (f om året). = 5 1,00 E: En startværdi på 5 og et fald på 0% (f om året). 14: Tegn grafer for (nogle af) funktionerne i opgaven ovenover. 15: Tegn - for 0 og i samme koordinatsstem - graferne for disse funktioner: f() = 4 1, g() = 8 1,1 Find også skæringspunktet (cirka-tal) mellem f og g. h() = 4 1,1 16: Tegn - for 0 og i samme koordinatsstem - graferne for disse funktioner: f() = 0 0,8 g() = 10 0,9 Find også grafernes skæringspunkt (cirka-tal). 17: Flere i arbejde a: Kontroller at der er blevet 15% flere ansatte på Udb Margarinefabrik på et år. b: Kontroller også at der er blevet 0% flere ansatte på Udb Marmeladefabrik på et år. Hvis stigningerne fortsætter med det samme antal procent, kan antallet af ansatte på Udb Margarinefabrik beregnes med denne funktion: = 47 1,15 er antal år, og er antal ansatte. c: Lav selv en tilsvarende funktion for antal ansatte på Udb Marmeladefabrik Flere i arbejde i Udb På Udb Margarinefabrik er der nu ansat 54 medarbejdere. Sidste år var der kun 47 ansatte, så der er sket en stigning på 15% på et år. På Udb Marmeladefabrik er der nu ansat 48 medarbejdere. Sidste år var der kun 40 ansatte, så der er sket en stigning på 0% på et år. På begge fabrikker forventer man, at stigningerne vil fortsætte med samme takt de kommende år. d: Lav tabel og grafer der viser antal medarbejdere på begge fabrikker 10 år frem i tiden. Gå ud fra at tallene fortsat vokser med 15% og med 0%. e: Hvornår vil der være flest medarbejdere på Udb Marmeladefabrik Funktioner Side 30
Eksponentialfunktioner og lineære funktioner 18: Indbggertallet i Gedebjerg Tallene i teksten til højre er fra år 010. a: Hvor mange indbggere vil der være i år 01, hvis model 1 passer? b: Hvor mange indbggere vil der være i år 011, hvis model passer? c: Hvor mange indbggere vil der være i år 01, hvis model passer? d: Lav og udfld en tabel som den viste: Indbggertallet vokser voldsomt i landsben Gedebjerg. Der bor lige nu 800 mennesker i ben, og man har to modeller til beregning af befolkningen de kommende år. Model 1: Indbggertallet vokser med 50 personer om året. Model : Indbggertallet vokser med 5% om året. År (efter 010) 0 1 10 Indbggertal efter model 1 800 Indbggertal efter model 800 e: Lav grafer ud fra tallene i tabellen. f: Hvilken af disse funktioner passer til model 1 ( er antal år, og er indbggertallet)? = 50 + 800 = 800 1,50 g: Hvilken af disse funktioner passer til model? = 50 + 800 = 800 1,50 = 800 1,05 = 800 1,05 h: Beregn også vha. begge modeller indbggertallene for årene 05, 035 og 050. i: Hvornår vil graferne skære hinanden, hvis man forlænger dem? 19: Trafikale problemer En prognose siger, at antallet af biler på ringvejen vil vokse med 8% om året. En anden prognose regner med en stigning på 500 biler om året. a: Lav ud fra prognoserne tabeller og grafer der viser trafikken de kommende 10 år? b: Undersøg for begge modeller hvornår trafikken vil være fordoblet. c: Hvor skærer graferne hinanden? Trafikale problemer Trafikken på Udb Ringvej stiger støt. Der er ofte kødannelse, og der kører ca. 5.000 biler i døgnet. Vejvæsnet oplser, at der først kan blive tale om at udvide vejen, når trafikken er fordoblet. d: Opstil funktioner for begge modeller ( er antal år, og er antal biler i døgnet) Funktioner Side 31
0: Afskrivning af pakke-maskine a: Find maskinens værdi om et år, hvis den nedskrives med 0% om året. b: Find maskinens værdi om et år, hvis den nedskrives med 50.000 kr. om året? c: Find maskinens værdi om tre år, hvis den nedskrives med 0% om året. d: Find maskinens værdi om tre år, hvis den nedskrives med 50.000 kr. om året? e: Tegn og udfld en tabel som den viste: Udb Margarinefabrik har Købt en n pakke-maskine til 500.000 kr. Investeringer i den størrelse skal afskrives over en årrække, og direktør Regner Skab oplser, at man kan vælge imellem at: - nedskrive værdien med 0% om året - nedskrive værdien med 50.000 kr. om året Maskinens alder i år 0 1 10 Maskinens værdi ved afskrivning: med 0% om året 500.000 med 50.000 kr. om året 500.000 f: Lav grafer for begge afskrivningsmodeller. g: Hvor skærer graferne hinanden? h: Hvornår er værdien halveret ved hver af afskrivningsmetoderne? i: Hvilken af disse funktioner passer til afskrivning med 0% om året? = 500.000 100.000 = 500.000 0,80 = 100.000 + 500. 000 j: Hvilke af disse funktioner passer til afskrivning med 50.000 kr. om året? = 500.000 50.000 Forestil dig at man vælger afskrivning med 0% om året. = 500.000 0,90 = 50.000 + 500. 000 k: Hvor mange år går der, før maskinens værdi er nede på 100.000 kr.? l: Hvor mange år går der, før maskinens værdi er nede på 0 kr.? -akse: 1 cm = 1 år -akse: 1 cm = 0.000 kr. 1: Tegn - for 0 og i samme koordinatsstem - graferne for disse funktioner: f() = 1,5 + 5 g() = 5 1, Aflæs også grafernes skæringspunkt (cirka-tal). : Tegn - for 0 og i samme koordinatsstem - graferne for disse funktioner: f() = 0,8 + 1 g() = 1 0,85 Aflæs også grafernes skæringspunkt (cirka-tal). Funktioner Side 3
Potensfunktioner 3: Lav i samme koordinatsstem graferne for disse funktioner: Start med at lave og udflde en tabel som denne: f() = og g() =. 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 f() g() Hvis du tegner graferne på papir, kan du buge et helt A4-ark og vælge disse enheder: På -aksen er 1 cm = 1. På -aksen er 1 cm = 10. 4: Lav i samme koordinatsstem graferne for disse funktioner: 3 4 f() = 4 og g() = og h() = 0,5. Start med at lave og udflde en tabel som denne: 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 f() g() h() Hvis du tegner graferne på papir, kan du buge et helt A4-ark og vælge disse enheder: På -aksen er 1 cm = 1. På -aksen er 1 cm = 0. Noget af graferne for g og h vil dog ikke kunne være på papiret. OBS: De tre grafer skærer hinanden i samme punkt. Prøv at forklare hvorfor. 5: Potensfunktioner er funktioner, som kan skrives formen Hvad er a og b i disse potensfunktioner? a: = 117 b: 6 = c: a = b. - = 5 d: = 1 3 6: Potensfunktioner er funktioner, som kan skrives formen Skriv selv potensfunktioner med disse værdier af a og b: a: a = 0,5 b = 3 b: a = 10 b = 3 1 c: a = -1 b = 1 a = b. d: a = 1 b = Funktioner Side 33
7: Fliser Forestil dig at du lægger fliser. Fliserne er kvadratiske, og det område, som fliserne dækker, er også kvadratisk. a: Hvor mange fliser skal du bruge i alt, hvis du lægger 4 fliser på hver led? b: Hvor mange fliser er der på hver led, hvis der i alt er lagt 100 fliser? c: Lav og udfld en tabel som denne: Antal fliser på hver led () 0 1 3 4 5 o.s.v. Antal fliser i alt () Det er lidt fjollet at regne med 0 fliser, men tallet er med for sstemets skld d: Lav i et koordinatsstem en graf ud fra tallene i tabellen. Grafen skal være en blød bue. Bestem selv hvorledes du vil inddele dine akser. e: Hvilken af disse funktioner passer til tabellen og grafen: = = = 8: Fliser (fortsat) Fliserne er 50 cm på hvert led. Du skal stadig forestille dig, at du lægger fliserne på et kvadratisk område. a: Hvad er arealet (i m ) af en flise? b: Hvor mange fliser skal der til en m? c: Hvad er arealet af hele området, hvis der er lagt 3 fliser på hver led? d: Lav og udfld en tabel som denne: 50 cm 50 cm Antal fliser på hver led () 0 1 3 4 o.s.v. 10 Antal m med fliser () e: Lav i et koordinatsstem en graf ud fra tallene i tabellen. Bestem selv hvorledes du vil inddele dine akser. f: Hvilken af disse funktioner passer til tabellen og grafen: = 4 = 0,5 = + 4 Funktioner Side 34
9: Rumfanget af en terning Rumfanget kan beregnes med formlen V = s 3, hvor V er rumfanget og s er terningens kant-længde. Hvis s måles i cm, får man V i cm 3 (eller ml). a: Lav og udfld en tabel som den viste: s (cm) 0 1 3 4 5 osv. 10 V (cm 3 ) b: Lav en graf ud fra tabellen. c: Rumfanget er en potensfunktion af kant-længden. Prøv at forklare hvorfor! d: Hvad skal kantlængden være for at terningens rumfang bliver: - 1 liter = 1.000 ml = 1.000 cm 3? - 1 dl = 100 ml = 100 cm 3? - 1 cl = 10 ml = 10 cm 3? 30: Bremselængde Kik på teksten og tabellen til højre. a: Hvilken af disse funktioner kan beskrive sammenhængen mellem hastighed () og bremselængde (): = 0,1 = 0,004 10 = Når du har fundet den rigtige funktion, skal du lave en graf i et koordinatsstem. Start med at lave og udflde en tabel som denne: 0 5 50 o.s.v. 150 Bremselængde Bremselængden for en bil vokser, når hastigheden vokser. De helt præcise tal afhænger også af bilen, vejen og vejret, men her er nogle tpiske tal: Hastighed Bremselængde i km/time i meter 5,5 50 10 100 40 -akse: 1 cm = 10 km/t -akse: 1 cm = 10 m b: Aflæs på din graf (cirka-tal): - bremselængden når hastigheden er 90 km/time. - hastigheden når bremselængden er 50 m. c: Kan du kontrol-beregne svarerne fra b? Bremselængderne i tabellen er for kørsel i tør-vejr. Hvis det regner, kan bremselængderne godt være dobbelt så lange. d: Lav i samme koordinatsstem som før en graf for bremselængden i regn-vejr. Funktioner Side 35
31: Side-længden på et kvadrat Side-længden (s) afhænger af arealet (A). Tegningerne viser et par eksempler. A = 4 cm s = cm A = 9 cm s = 3 cm a: Lav og udfld en tabel som denne: A (cm ) 0 1 3 4 5 6 7 8 9 osv. s (cm) 3 b: Lav en graf ud fra tabellen. c: Opstil en funktion for s. Altså en funktion hvor arealet er, og side-længden er. d: Det er ikke sikkert, at din funktion ligner en potensfunktion, men det er den! Prøv at forklare hvorfor. Kik tilbage på opgave 9. Den med kant-længden og rumfanget for en terning e: Lav og udfld en tabel som denne: V (cm 3 ) 0 4 6 8 10 1 14 16 18 osv. s (cm) f: Lav en graf ud fra tabellen. g: Opstil en funktion, hvor rumfanget er, og kantlængden er. Prøv at forklare hvorfor det er en potensfunktion. 3: Dkning Den tid, som en dkker højst må være under vand, afhænger af vand-dbden. Man kan bruge denne funktion til at beregne tiden: = 3.000 -,1 er vand-dbden i meter, og er tiden i minutter. a: I hvor lang tid må en dkker opholde sig i en vanddbde på 15 m? b: Lav og udfld en tabel som denne: 10 0 30 40 50 c: Lav en graf ud fra tallene i tabellen. d: Hvilken vand-dbde svarer til en tid på 5 min? Hvis dkkere er for lang tid under vand, risikerer de at få dkkersge. Der er også regler for, hvor lang tid dkkere skal bruge på at svømme ned og op. Den tid skal lægges til, hvis man vil finde den samlede neddkningstid. Funktioner Side 36
33: Hestefoder og hundefoder Man kan med god tilnærmelse beregne hestes behov for foder med denne funktion: f() = 0,04 0,75 er hestens vægt i kg, og f() er antal foderenheder pr. dag. a: Lav og udfld en tabel som denne: Foderenheder Der er ikke lige meget næring i alle slags drefoder. Derfor bruger man foderenheder. En foderenhed svarer f til ca. 1 kg korn eller ca. kg hø eller ca. 4 kg halm. 00 300 400 500 600 f() b: Lav en graf ud fra tallene i tabellen. c: Hvor meget vejer en hest, som har brug for 4 foderenheder pr. dag? d: En hest på 375 kg får 400 g korn om dagen. Resten af foderet er en blanding af hø og halm. Lav et forslag til hvor meget hø og hvor meget halm hesten skal have. e: En hest vejer 450 kg. Hestens ejer køber 0 kg korn, 150 kg hø og 00 kg halm. Hvor lang tid er der foder til? For hunde gælder der en tilsvarende funktion. Den ser sådan ud: h() = 53 0,75 er hundens vægt i kg, og h() er energi-behovet pr. dag målt i kilojoule (kj). f: Lav også en tabel og en graf for denne funktion. g: Der er sikkert nogle kursister på jeres hold, som har hund. Undersøg om funktionen passer på jeres hunde. I kan finde antal kj vha. varedeklarationerne på den hundemad, som I bruger. Funktioner Side 37