Labøvelse 2, fysik 2 Uge 47, Kalle, Max og Henriette Tallene angivet i rapporten som kronologiske punkter refererer til de i opgaven stillede spørgsmål. 1. Vi har to forskellige størrelser: a: en skive (tynd cylinder) med radius på 8.9 cm og et lille hul med radius 0.6 cm. b: cylinder på 5.2 cm med lille hul på 0.6 cm. I tabellen på side 299 i fysikbogen, University Physics kan man finde formlen for inertimoment for en cylinder med hul i : I=½M(R 1 ²+R 2 ²) Ud fra denne formel kan man konkludere, at hvis cylinderne havde samme masse M og samme radius R for hele cylinderen, vil det største inertimoment forekomme med cylinderen med størst hul i, da den vil give den største samlede værdi for R 2. Desto større inertimomentet er, des større bliver den kinetiske energi, K, det kræver at få c ylinderen til at rotere. Det ses af formlen: K=½Iω² Der er altså en proportionalitet mellem størrelsen af inertimomentet og den tilhørende kinetiske e nergi, det kræver for loddet at få cylinderen til at rotere. Da loddet hver gang slippes fra samme højde til gulvet, vil det have samme potentielle energi. Derfor vil den kunne rotere cylinderen med det laveste inertimoment hurtigst rundt. Det skyldes at den kinetiske energi for loddet er afhængig af vinkelhastigheden, som er det eneste, der ændrer sig, da inertimomentet er konstant. Det giver dette forhold mellem den kinetiske energi og inertimomentet: 2K/I=ω² Derfor er den totale mekaniske energi bevaret hver gang. Vi forventer derfor, at den største vinkelhastighed vil være at finde hos den med størst vinkelaccelerationen, foresaget af den med mindst inertimoment. Dette må nødvendigvis være den med mindst trisseradius (dvs. R 2 ), størst masse og mindst R 1, dvs. i dette tilfælde ikke skiven, men cylinderen. 4. Ud fra loven om energibevarelsen er den potentielle og kinetiske energi før faldet lig med den samlede energi bagefter: K1+U1=K2+U2 Før faldet er der kun den potentielle energi fra loddet mgh og ingen kinetisk energi. Efter faldet er den kinetiske energi givet ved: K2=½mv²+½Iω² så hele systemet ser således ud: 0+mgh=½mv²+½Iω²+0 v=ω*r mgh=½mr 2 ω 2+ ½(½MR 2 )ω 2 ω= 2mgh / ½MR² mr²
Vinkelaccelerationen ser derfor således ud: ω 2 2mgh = mr 2 1 2 MR2 d dt 2 = d dt 2mgh mr 2 1 2 MR2 2 d dt = 2mgv mr 2 1 2 MR2 da ω differentieret med hensyn til t er α, og højden differentieret mht. T er v, som også kan skrives som v=r, kan de substitueres ind i ligningen og den ser da således ud: 2mgr = mr² 1 2 MR2 Store 'R' er radius for cylinderen eller skiven og lille 'r' er radius for trissen. Dette er gældende både for vinkelacceleration og vinkelhastighed. 5. Som tidligere beskrevet, vil et mindre inertimoment gøre, at loddet falder med større hastighed. Vi ser på formlen for vinkelaccelerationen og kan diskutere grænsetilfældene. Hvis loddets masse, M går mod 0, vil accelerationen gøre det samme. Hvis skivens masse, m går mod nul, vil accelerationen gå mod g. Det stemmer derfor overens med vores forventninger fra 1 om at større M, sammen med mindst mulige R 1 og R 2, giver den størst mulige vinkelhastighed. 6. Den absolutte måleusikkerhed for massen er ω ±1g og for de to radii er den ±0.5mm. Disse informationer vil blive brugt til udregninger i 7. 7. Den teoretiske usikkerhed på målingerne, forventer vi, vil komme til at lægge lavere end de faktiske usikkerheder. Den teoretiske del tager nemlig ikke højde for usikkerheder i form af menneskelige påvirkninger og andre fejlkilder, men blot systematiske fejl, altså deciderede usikkerheder i de brugte måleinstrumenter. Den teoretiske usikkerhed vil således komme til at se således ud: Vi har den absolutte usikkerhed som mål for hvor præcise måleinstrumenterne er. Form Masse Radius Højde Cylinder 2.138 kg 5.8 cm Skive 2.113 kg 8.9 cm Store trisse 3.5 cm Lille trisse 1.5 cm Lod + snor 1.943 kg Højde 83.4 cm Den absolutte usikkerhed for masssen er ± 1 g. For længden er den ± 0,001 m. Den relative usikkerhed kommer ved at tage den absolutte usikkerhed over måleresultatet og gange med 100 % :
m 100 procent m For massen af lod + snor bliver den relative usikkerhed da: m m = 0.001 1.943 Usikkerheden for skivens radius: R R = 0.001 0.089 kg 100 procent =± 0.051 procent kg m 100 procent=± 1.12 procent m Resten af usikkerhederne på vores måleresultater ser ud som følger: Skive masse = ±0.047 % Cylinder masse = ±0.047 % Cylinder radius = ±1.92 % Store trisse, r = ±2.86 % Lille trisse, r = ± 6.67% Højde, h = ± 4.53 % Den totale usikkerhed opnået ved udregninger af henholdvis vinkelacceleration og vinkelhastighed, ser derfor således ud, for fx. lille trisse og skiven: m = m h 2 h m m r 2 r M M R =± 1.62 procent 2 R = m m r 2 r m m r 2 r M M R =± 5.68 procent 2 R 8. For at sammenholde data skal der laves noget databehandling af de målte data. De tre egenskaber vi har målt, er θ, altså den afstand skiven har tilbagelagt, ω, altså vinkelhastigheden begge som funktion af t og t, tiden. Rent faktisk er det ikke θ, vi har målt, men blot n, antallet af huller der har passeret censoren. Men da vi ved, at der er seks huller på denne skive, kan vi nemt regne afstanden ud ved hjælp af proportionalitetsfaktoren, n=2 6. Vi har ved hjælp af GnuPlot plottet vinkelhastighed mod tid af fire af vore sæt af målinger, hvor vi har fittet en lineær afbildning til grafen, som skal repræsentere vinkelaccelerationen. De er som følger:
Cylinder og skive på lille trisse: α = 20.1809 rad s -2 ± 0.3741% Udregnet ved hjælp af GnuPlot. Her ses vinkelhastigheden som funktion af tiden, altså et billede af vinkelaccelerationen. Den røde linie er vores resultater fra eksperimenterne, og den grønne linie er GnuPlots tilnærmelse af en lineær funktion til vores resultater Da vinkelaccelerationen er konstant, må den også være lineær. Tallene ovenfor beskriver accelerationen, og den procentvise afvigelse af den lineære funktion fra vores resultater. Altså i α ser vi, at accelerationen er 20,2 rad s - ² med afvigelsen på 0.37% : Vinkelhastigheden da loddet slippet trissen ved denne måling, ω: 55.09 rad s -1 Udregnet ved hjælp af formlen, har vi her en vinkelhastighed på 27.69 rad s -1 Denne måling er imidlertidig ubrugelig, da de ikke har en fælles radius. Og vi kan derfor ikke bruge denne måling til at sammenligne den teoretiske værdi og den målte. Den er derfor ikke med i sammenligningen.
Cylinder på lille trisse α = 163.663 rad s -2 ± 0.4041% Her er vinkelaccelerationen på 163.7 rad/s² med en procentvis afvigelse på 0,4 % : Vinkelhastigheden når loddet slippet trissen, ω: 158.98 rad s -1
Skive på stor trisse: α = 41.828 ± 0.6733% Vinkelaccelerationen er 41,8 rad/s² med 0,67 % afvigelse : Vinkelhastigheden når loddet slippet trissen, ω: 55.93 rad s -1
Cylinder på stor trisse α = 217.109 rad s -2 ± 0.7207% Vinkelaccelerationen er 217.1 rad/s² med 0,72 % afvigelse: Vinkelhastigheden når loddet slippet trissen, ω: 127.72 rad s -1 De udregnede værdier for vinkelacceleration og vinkelhastighed er som følger: ω ± % α ± % Skive og cylinder, lille trisse : - ± 0.65 % - ± 0.94 % Cylinder, lille trisse : 88.7 rad s -1 ± 0.65 % 143 rad s -2 ± 0.93 % Skive, store trisse : 60.0 rad s -1 ± 1.48 % 32.4 rad s -2 ± 0.88 % Cylinder, store trisse : 72.9 rad s -1 ± 1.33 % 23.0 rad s -2 ± 0.71 % Ingen af vores værdier er inden for den udregnede usikkerhed. Og faktisk er de meget ved siden den teoretiske værdi. Vi har dog en idé om, at det kan skyldes fejl i vores brug af GnuPlot (da vi ikke er bekendte programmet, kan det meget vel tænkes, at vi har lavet en fejl). For eksempel har vi plottet 1 t n t n 1 mod t. I stedet skulle vi have plottet s t hastigheden, da den faktiske tilbagelagte afstand, som tidligere beskrevet er, n=2 6. som
9. Efter snoren har sluppet trissen, fortsætter skiven med at dreje rundt, indtil friktionskraften har stoppet den. Denne kraft er konstant og den negative accelerationen er det derfor også. Friktionskraften er den eneste kraft, der påvirker den og derfor stopper den. Havde den ikke været der, havde skiven fortsat med at dreje rundt med den samme hastighed, som da snoren i loddet slap trissen. Vi kan af gode grunde ikke sammenligne dette med, hvad vi fandt i 8., da dette ikke er brugbart. Dog ved vi fra vores resultater, at også denne negative acceleration, er lineær. Max, Kalle og Henriette Hold 3, fysik 2 25. november 2008