Sidste gang: Beviste hovedsætningerne & et nyttigt korollar 1. En finansiel model er arbitragefri hvis og kun den har et (ækvivalent) martingalmål, dvs. der findes et sandsynlighedsmål Q så S i t = E Q t ( S i t+1 + δt+1 i ) 1 + ρ t (altså i, t, ω). 2. En arbitragefri model er komplet præcis hvis Q er entydig. I en komplet model har alle nye aktiver en entydig pris, nemlig prisen på den (ikke nødvendigvis entydige) replikerende selvfinansierende handelsstrategi (eller porteføjle). 3. Det er nok at tjekke alle 1-periode delmodeller. Typeset by FoilTEX 1 Investerings- og finansieringsteori 10. marts 2004 Typeset by FoilTEX
Kaldes ofte risiko-neutral prisfastsættelse. Både godt og skidt. Rimeligt fordi vi kan regne som om investorer/agenter er risikoneutrale. Kan misforstås da vi bestemt ikke antager, at de er det. Kun fravær af arbitrage. Økonomisk intuition; sammenhæng mellem P, Q og nyttefunktioner: Genlæs afsnit 4.3. Hvis agenter er risikoaverse, så er Q P. Vi kan komme meget langt uden (eksplicitte) referencer til nyttefunktioner. Men konceptet og økonomisk teori generelt er ikke afgået ved døden. I inkomplette modeller, eller hvis dynamisk porteføljejustering ikke er mulig, er de vigtige. Hvis man har komplicerede problemstillinger, kan det være helt rimeligt at antage risikoneutralitet. Men forklædt som vi arbejder under Q kan det også risikere at skjule vigtige aspekter. Typeset by FoilTEX 3 Pointer Lineær sammenhæng mellem priser og betalinger. Som i kapitel 3 og 4. Dividender, stokastisk rente og stiafhængighed: No problem! Nye aktiver prisfastsættes relativt til de gamle, hvis (stokastiske) dynamisk, vi tager for givet. Dynamisk justering af porteføjler gør, at meget kan udspændes af få aktiver. Replikation med modsat fortegn kaldes hedging eller afdækning. (Hedging bruges mere ofte mere bredt når man laver porteføjler, der har en eller anden grad af negativ korrelation med [noget], men måske ikke fuldstændigt modsatte betalinger.) Typeset by FoilTEX 2
En typisk opgave Et 3-periode gitter (med tidspunkter, aktiekurser og sandsynligheder) gives, og det oplyses, at der desuden findes der et risikofrit aktiv (bankbogen) med en rente på 5% per periode. Er modellen arbitragefri? Er den komplet? Modellen er arbitragefri, hvis der der findes et (ækvivalent) martingalmål Q. Hvis den er arbitragefri, så er den komplet, hvis og kun hvis Q er entydig. Vi kan tjekke dette ved at tjekke alle 1-periode delmodellerne. Typeset by FoilTEX 5 Denne gang: Eksempler, general to specific En typisk opgave... og nogle julelege En måde at bygge binomialmodeller på. Hvor er alle de henne alle de der optioner, han snakker om? Kapitel 6: Optionsprisfastættelse. Typeset by FoilTEX 4
Og det er ler for her er alle delmodellerne af formen us t S t ds t hvor u og d har samme værdier (hhv. 1.2 og 0.9) på alle knuder. Da den risikofrie rente også er den samme i alle perioder og tilstande, så fortæller afsnit 4.1 os at den eneste mulige betingede Q-springsandsynlighed er q = R d u d = 0.5. Da q ]0; 1[ så giver dette er veldefineret og entydigt martingalmål. Typeset by FoilTEX 7 0.3 144 0.2 120 0.7 0.75 0.47 100 0.8 108 0.5 (=S(0)) 0.25 0.53 90 0.9 0.5 81 0.1 0 1 2 3 172.8 129.6 97.2 72.9 Typeset by FoilTEX 6
Standardspørgmål Betragt er simpelt aktiv. Find dets arbitragefri pris & (starten på) den replikerende selvfinansierende handelsstrategi. S2000 var det den til lejligheden konstruerede logstocktion, der har flg. pay-off på tidspunkt 3: ( K ln ( )) + S(3) = K { K ln(s(3)/k) hvis S(3) K 0 hvis S(3) < K, hvor K = 115 er en deterministisk strikekurs. Typeset by FoilTEX 9 Julelege, I Hvis man lige vil grave lidt dybere kan man betragte: Ikke-identiske u er og d er (og evt. R). 3(+) mulige steder at springe hen inkomplethed. Dividender. Løsning: Husk at ( ) S t = E Q St+1 + div t+1 t, (1) 1 + ρ t og så opskriv de ligninger & uligheder, q erne skal opfylde. Typeset by FoilTEX 8
afsnit 5.1 (eller 4.1) ved vi at der skal købes a 0 = logstocktion Aktie = 16.8522 3.1168 120 90 = 0.4578, enheder af aktien på tid 0. Det koster 45.78. Vi skal hive 9.509 frem fra lommen, og investere 9.51 45.78 = 36.27 i det risikofrie aktiv, altså låne i banken. I tvivl: Skriv ligningerne op. Typeset by FoilTEX 11 46.8283 28.8444 16.8522 13.7449 9.5086 6.5452, 3.1168 0 0 0 så prisen er altså 9.509. Det kan man også udregne direkte: R 3 E Q (pay-off) = ( 1 1 (1.05) 3 8 46.8283 + 3 8 13.7449 + 3 8 0 + 1 ) 8 0 = 9.509 Fornuftigt til at dobbelttjekke for regnefejl. Tallene i gitteret skal bruges, når den replikerende handelsstrategi skal findes. Fra Typeset by FoilTEX 10
Ofte set: Stiafhængige/eksotiske optioner. Vores teori kan sagtens klare det. Man skal tegne et træ. Eksempel: En udløb-3 strike-110 call-option med knock-out-barriere 140, der betaler (S(3) 110) + 1 { max t 3 (S(t))<140} Teoretisk let i et træ, men antallet af beregninger vokser eksponentielt. Subtilitet her: Prisen på tid t givet optionen ikke er blevet slået ud endnu kan findes i et gitter. Typeset by FoilTEX 13 Julelege, II S2000: Transaktionsomkostninger. Hvis der er 1 kr. i aktiehandelstransaktionsomkostninger, så kan logstocktionen (super)replikeres dynamisk for 3 R t = 3.82 t=0 Så dynamisk replikation koster 3.82 + 9.51 = 13.33. En strike-115 call koster 10.97 + tid-0 transaktionsomkostninger, dvs. 11.97. En strike-115 call dominerer logstocktionens pay-off da ln y y 1. Superreplikation kan opnås for 11.97. Transaktionsomkostninger: Ikke noget vi ellers ser på. Bachelorprojektemne.. Typeset by FoilTEX 12
hvor µ = α + σ 2 /2, og at Var P t ( ) St+ t S t = σ 2 t + o( t), S t Vi kan estimere µ/α og σ. Og vi kan prisfastsætte optioner (eller andet) på aktien. Vi har E Q t ( ) St+ t S t = r t + o( t), S t men Var Q t ikke ændres. Derfor: Græseværdien for n i) eksisterer, ii) afhænger ikke af α (som derfor ofte udlades). Der findes en række andre måder at specificere bi(eller tri-)nomial modeller på. Bedre konvergens (til samme model) eller konvergens til mere generel model. Typeset by FoilTEX 15 Parametrisering af binomialmodeller Kendingen fra US4, US5 : Der er n perioder per år, t = 1/n. Vi antager, at aktiekursen går multiplikativ op og ned iht. u = exp(α t + tσ) d = exp(α t tσ), hvor α & σ er kendte konstanter. Aktien udbetaler ikke dividende over den betragtede horisont. Vi har E P t ( ) St+ t S t S t = µ t + o( t), Typeset by FoilTEX 14
Optionerne: De handles i ren form & stor stil på børserne rundtomkring. (Dog ikke lige så meget CSE.) EXCEL-SLIDE fra Yahoo. Kaldes plain vanilla. Der er andre afledte aktiver end optioner, fx forwards og futures og swaps. Også meget likvide. Og så er der alle de eksotiske (der kun handles over-the-counter). Optionsstruktur er indbygget (embedded) mange steder Realkreditmarkedet, dvs. huslån, (bl. a. ) i form af konverteringsrettigheden. Pensionsopsparing, (bl. a. ) i form af rentegarantier. Desuden optionsaflønning, optionalitet ved investering (reale optioner),... Typeset by FoilTEX 17 Hvor er alle de der optioner, han snakker om... og hvorfor siger han ikke noget om, hvad aktier skal koste? Det sidste først: Kurs 20 og ikke kurs 2000? Det arbejde er gjort. Men et kursus i virksomhedsvurdering/aktieanalyse kan anbefales. (NPV af fremtidige dividendeudbetalinger.) Aktiekurser er stokastiske. Vi kan lave i første omgang tilfredsstillende statistiske modeller med simple midler. Forudsigeligheden af afkast er ret lav, næsten uanset hvor meget ekstra information. man inddrager. (Markedsefficiens.) Det kryber alligevel noget ind ad bagvejen: Kapitel 9 og kapitel 11. Typeset by FoilTEX 16