Trigonometriske funktioner Dette kapitel handler om de såkaldte trigonometriske funktioner, hvilket vil sige funktionsudtryk med sin, cos og tan Ikke kernestof på B Funktionerne vil kun forekomme i forbindelse med CAS-værktøj I har nok i jeres tidligere skoleforløb set på vinkelsummen i en trekant, forskellige former for trekanter (retvinklet, spids- og stumpvinklet, ligebenet) samt ligedannede trekanter. De fleste af jer kender også den pythagoræiske læresætning, der gælder for retvinklede trekanter, og som siger, at summen af kateternes kvadrat er lig med hypotenusens kvadrat. Sætningen skrives ofte således: a 2 + b 2 = c 2 Hvis man vil bestemme vinklerne i en given trekant, hvor man kender siderne, kan man naturligvis måle disse med en vinkelmåler; men da sådanne målinger er meget upræcise indføres nogle funktioner, der kan bruges til beregning af sider og vinkler i en trekant. Det er funktionerne sin og cos. Disse funktioner har I måske også mødt tidligere? Trekantsberegninger er relevante, hvis man er tømrer og skal konstruere et møbel, lægge et gulv eller lave spær til et loft. Arkitekter, der konstruerer bygninger m.v., har ligeledes stor glæde af at have kendskab til sådanne beregninger. På havet har man også brug for at kunne orientere sig med vinkler og kunne bedømme afstande, men det foregår med nogle redskaber, der af sig selv fastlægger sejlrutens kurs. Den teknik, der ligger bag værktøjet, er også trekantsberegninger (og måske også inddragelse af strøm og vindhastighed). Der findes således rigtig mange erhverv, der på en eller anden vis inddrager viden om trekanter dvs. trigonometri. På hhx har vi ikke det store behov for at arbejde med trekantsberegninger, da hhx-profilen ikke angår praktisk og teoretisk arbejde hermed; men på trods af dette, har vi brug for at kende de trigonometriske funktioner, idet disse også kan anvendes til at sige noget om forskellige svingninger ligesom der forventes et vist kendskab hertil indenfor nogle af de uddannelser, som I kan vælge efterfølgende - såsom fx læreruddannelsen. I forhold til hhx er det primært periodiske svingninger, der kan være relevante at se på, idet vi fx kan analysere, hvordan salget af bestemte varegrupper ændrer sig indenfor årets gang. Salget af fx kærnemælk og is er markant størst i sommerperioden, ligesom salget af fx ris og appelsiner er størst om vinteren. I det hele taget er der en række fænomener og udviklinger, der har tendens til med visse mellemrum at gentage sig selv. Man siger, Serie 1 f(x)=4.5sin((1/12)pi*x-pi/2)+17 at udviklingen eller fænomenet udviser en harmonisk svingning. Et eksempel kan fx være dagenes gennemsnittemperaturer gennem et døgn eller gennem et helt år. temperatur Temperaturprognose 5 dage juli 2010 tid http://www.dr.dk/nyheder/vejret hentet 25 juli 2010 Det fremgår af grafen, der er tegnet ud fra temperaturoversigten, ikke rammer de afsatte punkter MatematikB2011 Side 1
100 % præcist; men tendens er dog tydelig. MatematikB 2011 Supplerende stof Ø1 Hvilke enheder skal der være på akserne, der illustrer vejrudsigten ultimo juli 2010? Hvordan er punkterne fremkommet? Et andet eksempel på et svingningsforløb kan fx være en oversigt over oliepriserne gennem en periode. http://www.unox.dk/privat/bolig/oliepriser/prisgraf Lokaliseret d. 25. juli 2010 På hhx er det hensigtsmæssigt at have kendskab til sådanne svingninger, da vi fx i regnskab, afsætning og international økonomi ofte støder på talmateriale, der varierer på lignende vis. Det gælder typisk i forbindelse med månedlige (eller daglige) tidsrækker, dvs. opgørelser over fx arbejdsløshed, salget af biler og lignende. Der er en tendens til, at arbejdsløsheden er relativ stor i vintermånederne pga. problemer med vejret i byggebranchen, og arbejdsløsheden er ligeledes relativ stor i sommermånederne på grund af sommerferielukning i virksomhederne. Dermed opstår der en svingende tendens, der også har afsmittende betydning på fx skatteindtægter mv. Det er som bekendt umuligt at spå om fremtiden; men mange forsøger sig dog ved at foretage analyser af forskellige forhold i samfundet. På samme måde ønsker politikere også nogle troværdige forklaringer på, hvorfor statsbudgetterne måske alligevel ikke holdt eller hvorfor befolkningen skifter holdning mht. hvilket parti, de ville stemme på, hvis der kommer valg. En vigtig om ikke den vigtigste matematiske kompetence, vi arbejder med, er modelleringskompetencen. Med de trigonometriske funktioner får vi altså et nyt og meget brugbart værktøj til matematisk modellering. En harmonisk svingning er en sammensat funktion, der bygger på de trigonometriske funktioner sin(x) og/eller cos(x). Bemærk at dette læses som sinus til x og cosinus til x. Man skal have en grundlæggende viden om disse funktioner, for at kunne arbejde med svingninger. Graferne for svingningerne fremkommer ved simple sammensætninger med grafen for y = sin(x) og y = cos(x) I næste afsnit vil vi se på, hvordan man definerer de trigonometriske funktioner sin, cos og tan. MatematikB2011 Side 2
TIP Pas på. Lommeregnere kan indstilles, så der måles i forhold til vinkler (degrees) og i forhold til længder (radian). Lommeregneren skal ALTID stå på RAD, når vi ser på harmoniske svingninger, og på DEG når der ses på vinkler og sidelængder i polygoner Dette billede viser en matematiker, der er ansat på Foulum; i fuld gang med at analysere nogle data omkring køers drægtighed. De indsamlede data udviser en periodisk tendens, hvilket betyder de trigonometriske funktioner på en eller anden vis indgår i den matematiske forskrift, der kan beskrive forløbet. MatematikB2011 Side 3
DEFINITION AF FUNKTIONERNE SIN(X)/SIN(V) OG COS(X)/COS(V) I dette afsnit vil vi definere de trigonometriske funktioner samt se på graferne for disse funktioner Vi betragter i et koordinatsystem en cirkel, der har centrum i (0, 0) og radius 1. Cirklen kaldes for koordinatsystemets enhedscirkel. Endvidere betragter vi et punkt, P, på cirkelbuen, der findes ved at måle længden af buen fra punktet (1,0) og op til punktet P i positiv omløbsretning. Denne længde kaldes x. Vi siger, radiantallet er x. Vi definerer cos og sin ud fra dette punkt. Til ethvert radiantal, med værdien x, findes et punkt P, som har førstekoordinaten cos(x) (cosinus til x) og andenkoordinaten sin(x (sinus til x). Koordinaterne varierer selvfølgelig med radiantallet x. P Cirkelbuens punkter kan også fastlægges på anden vis. Som før, tegnes en enhedscirkel; men nu betragter vi en vinkel v mellem 0 og 360 i positiv omløbsretning. Vinklen v indlægges i koordinatsystemet, således at vinklens toppunkt er sammenfaldende med koordinatsystemets begyndelsespunkt (0, 0), og således at vinklens højre ben er sammenfaldende med x-aksen. Vinklens venstre ben skærer da enhedscirklen i et punkt, som betegnes Rv. Punktet Rv kaldes retningspunktet for vinklen v, og punktets førstekoordinat defineres som cosinus til vinklen v og punktets andenkoordinat defineres som sinus til vinklen v. Ofte forkortes disse størrelser, så retningspunktets koordinater skrives: Rv = (cos v, sin v) Cosinus og sinus kan altså defineres på to måder: Når man ser på buelængden, arbejdes med radiantal, og punkterne på cirkelbuen benævnes (cosx, sinx). Når punkterne på cirkelbuen fastlægges ud fra en vinkel, benævnes punkterne (cosv, sinv), og der arbejdes med grader Cirkelbuens koordinater: Radiantal længde: (cosx, sinx) (Buelængde) Grader vinkler: (cosv, sinv) (Vinkel) MatematikB2011 Side 4
Der er principielt ikke den store forskel på, om vi regner med grader eller radianer. Valget afhænger af, hvad det er, vi skal beregne og arbejde med. Når vi ser på trekantsberegninger, er det vinkler, vi regner på og dermed grader. Når vi ser på svingninger, er det derimod radianer, vi arbejder med, da x-aksen angiver længder, som ofte i praksis er tiden (dag, uge, år) For skellen svarer til at se på økonomiske forhold og anvende euro i stedet for kroner. Med kendskab til kursen kan man hurtigt omregne fra kroner til euro og modsat. På samme måde, er det meget enkelt at ændre beregninger fra grader til radianer og modsat idet der er en enentydig sammenhæng mellem de to målinger.. Vi kan regne ud, at enhedscirklens omkreds er 2. En almen kendt formel for omkredsen af en cirkel er givet som diameteren ganget med pi, eller som to pi r (2 pi*radius 2pir). Da radius i en enhedscirkel netop er 1, bliver omkredsen 2. Omregning fra radian til vinkel og fra vinkel til radian En cirkel er kendetegnet ved, at vinklen hele vejen rundt er på 360. Dette kan vi sammenholde med cirklens omkreds, idet vi da har at 360 = 2. Dermed får vi, at og dermed har en kvart cirkelbue længden hvilet svarer til 90 Ved at betragte enhedscirklen ser man, at førstekoordinaten cos kan ændre sig fra at være 1 (når x = 0 eller v = 0 ) til 0 (når x = eller v = 90 ) til 1 (når x = eller v = 180 ) hvorefter cos vokser over 0 (når x = 1½ eller v = 270 ) til 1 (når x = 2 eller v = 360 ). Ser vi på andenkoordinaten sin til punktet P, vil den fra at være 0 (når x = 0 eller v = 0 ) vokse til 1 når x = Cirkels omkreds: diameter gange π Radius i en enhedscirkel er 1 Diameteren = 2 Enhedscirkels omkreds: 2 π eller v = 90 ). Herefter aftager sin(x) over 0 (når x = eller v = 180 ) til 1 (når x = 1½ ), og derefter vokser sin(x) igen til 0 (når x = 2 eller v = 360 ). Cosinus og sinus til ovenstående pæne radiantal og vinkler indsætter vi i skemaet herunder. v 0 90 180 270 360 cos v 1 0-1 0 1 v 0 90 180 270 360 sin v 0 1 0-1 0 MatematikB2011 Side 5
Ud fra disse tabeller er det nu muligt at få et overblik over, hvordan graferne for cos og sin forløber. Det fremgår, at begge funktioner gentager sig selv efter et vist forløb. Funktionerne siges at være periodiske med perioden 2 eller 360 Ø1 Bestem sin og cos til følgende radiantal og tegn herefter graferne for de to funktioner. Vink: Inddel x-aksens enheder i forhold til 4. dele af Radiantal: -, -, 0,,,,,1½,, 2,, 2½, Ø2 Bestem sin og cos til følgende vinkler og tegn herefter graferne for de to funktioner. Vink: Inddel x-aksens enheder i forhold til 30 Vinkler: -60, -30, 0, 30, 60, 90, 120, 150, 180, 240, 270,, 330, 360, 390 MatematikB2011 Side 6
TRIGONOMETRISKE REALTIONER OG TREKANTSBEREGNIGNER I dette afsnit indføres nogle formler til trekantsberegninger samt endnu en funktion, tan, da denne kan benyttes i forbindelse med trekantsberegninger ved retvinklede trekanter Som nævnt er trekantsberegninger ikke noget, vi beskæftiger os (særlig meget) med på hhx; men helt springe emnet over, vil vi dog ikke. I dette afsnit vil vi derfor blot vise de formler, der er aktuelle, når man beregner sider og vinkler i såvel retvinklede som vilkårlige trekanter samt give et par eksempler på nogle beregninger. Vi har defineret de trigonometriske funktioner cos og sin ud fra en enhedscirkel. Der findes endnu en funktion, der defineres ud fra enhedscirklen. Denne kaldes tan (tangens) og er netop defineret ud fra en tangent. Hvis man i punktet (1, 0) tegner en line vinkelret på x-aksen (og dermed parallel med y-aksen) vil en linje gennem origo (0, 0) og et punkt på cirkelbuen ramme denne linje. Røringspunktet defineres som (1, tanx) eller (1, tanv) Illustrationen viser, hvordan man definerer tan. MatematikB2011 Side 7
Tan defineres ofte også som forholdet mellem sin og cos, hvilket betyder tan(x) =. Dette ses let ud fra enhedscirklen, idet der kan tegnes en ligedannet trekant, hvorved man kan udlede sammenhængen. Vi betragter de to ligedannede trekanter sin tan cos 1 Det fremgår at forholdet kan skrives som MatematikB2011 Side 8
Hvis punktet på cirkelbuen ligger i 2. kvadrant tegnes der blot en linje fra punktet og gennem origo. Denne linje vil da ramme tangenten i 4. kvadrant, og 2. koordinaten (der er negativ) angiver da værdien af tan. Ø1 Bestem tan til følgende vinkler og tegn en skitse heraf -60, -30, 0, 30, 60, 90, 120, 150, 180, 240, 270, 330, 360, 390 Hvorfor er tan ikke defineret for vinklerne 90 og 270 og for og 1½? Hvilke andre vinkler og radiantal er tan heller ikke defineret for? Grafen for tan skulle gerne se således ud: MatematikB2011 Side 9
Som nævnt kan de trigonometriske funktioner anvendes til bestemmelse af sider og vinkler i retvinklede og vilkårlige trekanter. Formlerne, der anvendes, ser således ud: MatematikB2011 Side 10
Når man skal bestemme sider og vinkler i en trekant skal man altid starte med at undersøge, om der er tale om en retvinklet eller en vilkårlig trekant og herefter se på de formler, der angår den aktuelle trekant. Herefter noteres, hvilke størrelser der er kendte hvorefter man går formlerne igennem og vælger en af de formler, hvori de kendte størrelser indgår, og hvor der kun er en størrelse, der er ukendt. Ved at isolere den ukendte værdi i formlerne kan denne beregnes. Udover dette skal man være klar over, at de modsatte (omvendte) funktioner til de trigonometriske funktioner hedder hhv. sin -1, cos -1 og tan -1. Disse skal benyttes, hvis en vinkel skal beregnes. ex. sina = 0,3 => A = sin -1 (0.3) = 17,46 cosb = 0,8 => B = cos -1 (0.8) = 36,87 tan(a) = 1,1 => A = tan -1 (1.1) = 47,73 Ex 1 Vi konstaterer først, at der er tale om en retvinklet trekant og dermed formlerne for retvinklede trekanter, der kan anvendes. Vi ser herefter, at det er B og b, der er kendte størrelser. Umiddelbart er det således formlerne med B, der skal i spil; hvis vi da ikke vælger at beregne A straks. Vi ved, at summen af vinkel A og B skal give 90. Vi får da: A = 90 30,4 = 59,6 Vi kan nu anvende en hvilken som helst af formlerne hvori siden b indgår og isolere den værdi, vi ikke kender. Vi kan fx vælge. Vi får da: Hermed har vi beregnet de ukendte størrelser, idet a = 5,29, c = 6,13 og A = 59,6 MatematikB2011 Side 11
ex. 2 ex. 3 I en trekant ABC er a = 4, b = 5 og c = 6. Vi skal bestemme vinklerne i trekanten. Da der ikke står noget yderligere om trekanten, ved vi, den er vilkårlig. så det er formlerne for vilkårlige trekanter, vi skal anvende. Da det er de tre sider, vi kender, er det cosinusrelationerne, der er aktuelle. Vi vælger c 2 = a 2 + b 2 2abcosC MatematikB2011 Side 12
ex. 4 Givet en trekant ABC, hvor a = 8, b = 12 og C = 50. Vi skal bestemme trekantens areal. Da trekanten ikke er retvinklet er det en af arealformlerne for vilkårlige trekanter, der skal anvendes. Vi vælger følgende: T = ½ a b sinc og får da: MatematikB2011 Side 13
HARMONISKE SVINGNINGER PARAMETRENES BETYDNING I dette afsnit vil vi sætte nogle yderligere parametre på de trigonometriske funktioner og se på hvilken betydning disse får for graferne I sidste afsnit så vi på graferne for sin(x) og cos(x), og vi konstaterede, at der var tale om nogle svingninger, der gentog sig selv med en periode på 2. Det fremgik også, at graferne for de to funktioner er meget ens; men hvor cos(x) starter på y-aksen i punktet (0,1), så starter sin(x i punktet (0,0). Det fremgik ligeledes, at begge grafer svingede mellem værdierne -1 og 1, dvs. værdimængderne for begge funktioner er [-1; 1] Vi har tidligere set på nogle grund -funktioner, som vi efterfølgende har pillet ved. Fx har vi set på funktionen f(x) = x 2, for derefter at tilføje en parameter a, så forskriften blev f(x) = ax 2, ligesom vi har tilføjet en parameter c, så forskriften blev f(x) = x 2 + c. I forbindelse med disse funktioner (som jo er parabler) har vi konkluderet, hvilket betydning værdien af de forskellige parametre har for grafen. På tilsvarende vis kan vi tilføje forskellige parametre til vore funktioner sin(x) og cos(x) og dermed får vi de såkaldte harmoniske svingninger Harmonisk svingning: En funktion, som fremstilles ved forskriften f(x) = a sin(bx + c) + d eller f(x) = a cos(bx + c) + d, hvor a, b, c og d er talværdier (hvor b skal være positiv) MatematikB2011 Side 14
Det fremgår, at der kan indgå fire parametre i forskriften for en harmonisk svingning og hver af disse har forskellig betydning for grafens udseende. Parametrene a, b og d er det meget let at få forståelse af, idet betydningen fremgår, når man med et grafprogram har tegnet nogle få eksempler på grafer. De følgende opgaver lægger op til, at I selv kan konkludere, hvilken betydning disse tal isoleret set har for grafen. Øvelserne bør udføres med enten et it-program eller en grafregner! Første øvelse angår parameteren a i forskriften for en harmonisk svingning Ø1 Tegn i samme koordinatsystem (gerne i et it-program) graferne for følgende funktioner, og redegør med dine egne ord for, hvilken betydning tallet a har for grafen for en harmonisk svingning. f(x) = sin(x), g(x) = 2sin(x), h(x) = 4 sin(x), i(x) = -3 sin(x), j(x) = -5sin(x) Hvilken betydning har det, om a er positiv eller negativ? Herefter ser vi på parameteren d Ø2 Tegn i samme koordinatsystem graferne for følgende funktioner, og redegør med dine egne ord for, hvilken betydning tallet d har for grafen for en harmonisk svingning. f(x) = sin(x), g(x) = sin(x) + 2, h(x) = sin(x) + 5, i(x) = sin(x) -2 Hvilken betydning har det om d er positiv eller negativ I øvelse 1 og 2 så vi på sin(x). Der er INGEN forskel på om det er cos(x) eller sin(x) vi betragter, når vi vil redegøre for parametrenes betydning. Hvis dine redegørelser kun passer til graferne for sin(x), så prøv at skrive forklaringerne om, så de kan anvendes til begge funktionstyper. Vi ser nu på parameteren b s betydning for graferne for de harmoniske svingninger. Ø3 Tegn i samme koordinatsystem graferne for følgende funktioner, og redegør med dine egne ord for, hvilken betydning tallet b har for grafen for en harmonisk svingning. Undersøg samtidig om din forklaring også passer til svingninger med cos(x) f(x) = sin(x), g(x) = sin(2x), h(x) = sin(½x), i(x) = sin(4x) Nu skulle vi gerne have lidt styr på betydningen af a, b og d for grafen for en harmonisk svingning. Der vil komme flere opgaver hvor disse parametre kobles sammen; men inden da ser vi på parameteren c, som nok er lidt vanskeligere lige at gennemskue. Vi lægger derfor ud med et par eksempler. MatematikB2011 Side 15
E1 Vi ser på den harmoniske svingning givet ved forskriften f(x) = sin(x + ), idet vi (som altid) også viser grafen for sin(x). Ved hjælp af enten et grafprogram eller en tabel (hvor værdierne findes ved at taste ind på en lommeregner) får vi følgende graf: Det fremgår umiddelbart, at grafen stadig har en periode på 2. Den svinger også om x-aksen ligesom den svinger mellem -1 og 1. Parameteren c ser ud til at have betydning for, hvordan grafen starter på y-aksen. Ved den almindelige sinuskurve begynder den i punktet (0,0) og er på vej op. Denne starter derimod på y-aksen i sit maksimum! Vi ser lige på et andet eksempel E2 Vi ser på forskriften f(x) = sin(x + ). Vi får nu følgende graf: Denne starter ligesom den almindelige sinuskurve i punktet (0,0); men i stedet for at være voksende efterfølgende er funktionen aftagende! Hvis vi sammenholder de to eksempler, kan vi da nå frem til en konklusion vedrørende c s betydning for grafens forløb? Ja, naturligvis! Der kan gives flere forklaringer; men vi foreslår følgende! MatematikB2011 Side 16
Parameteren c angiver, hvor funktionen starter i forhold til y-aksen, idet man først konstaterer, hvilken værdi c har og derefter betragter grafen for funktionen, idet vi ser på c-værdien på x-aksen for den almindelige sinuskurve. Grafen viser, hvordan svingningen starter. Hvis c-værdien er, fremgår at den almindelige graf for sin(x) er i sit maksimum, hvilket betyder, at en harmonisk svingning (med positiv a-værdi) vil starte i sit maksimum på y-aksen. Hvis c-værdien er, fremgår af grafen for sin(x), at grafen er på svingningsaksen og på vej ned. Det betyder, at en harmonisk svingning stadig med positiv a-værdi med c-værdien - vil starte på svingningsaksen og være på vej ned. Vi har nu set på alle parametrene a, b, c og d for en harmonisk svingning og kan konkludere: Vi kan alt i alt konkludere: Parametrenes betydning for en harmonisk svingning f(x) = a sin(bx+c)+d og f(x) = a cos(bx+c)+d a: amplitude Tallet a angiver størrelsen af udsvinget på kurven a værdierne kan være såvel positive som negative. Hvis a f.eks. er 3, betyder det, at svingningen svinger 3 op fra svingningsaksen og 3 ned. Hele udsvinget vil altså være på 6. Hvis a er negativ, betyder det, kurven går modsat normalt. (den spejles i x-aksen.). cos(x) starter normalt i (0,1) og aftager herefter. Hvis a er 1, vil kurven starte i (0,-1) og herefter være voksende. a har betydning for værdimængden. Værdimængden beregnes således: Vm(f) = [d+a; d-a] ex. Beregn Vm(f) når f(x) =2½sin(2x)-3. Vm(f) = [-3+2½;-3-2½] =[-½;-5½]=[-5½;-½] b: frekvens Tallet b viser frekvensen/hastigheden. b angiver antal perioder indenfor 2. sin(x) kører netop 1 omgang indenfor 2. (1 periode). Hvis b bliver større, kører grafen hurtigere, hvilket betyder en svingning ikke fylder så meget. Hvis b er 2 (altså dobbelt fart) kører grafen to omgange indenfor 2 πog perioden bliverπ. b har betydning for perioden, idet perioden p= π b ex. 1. f(x) = 3sin(½x) 2, dvs. b=½. p= π ½ = 4π ex. 2. Perioden = 6. 6 π b 6b =2 π b = π 6 = π MatematikB2011 Side 17
c: start på y-akse c-værdien fortæller om grafen starter forskudt i forhold til y-aksen. Normalt starter sin(x i (0,0); men hvis der er tilføjet en c-værdi forskydes startstedet. Man ser på den normale kurve og aflæser, hvilken funktionsværdi sin(x) har, når x antager værdien c. Det afgør hvor den harmoniske svingning starter på y-aksen og hvordan den fortsætter. Der skal dog tages forbehold for en negativ a-værdi, idet den harmoniske svingning spejles, når a er negativ. ex. f(x) = sin(x+ π ) Vi ved: sin( π ) = 1. Det betyder kurven starter i (0,1), altså funktionens maksimum. Hvis a er positiv, starter kurven i sit maksimum. Hvis a er negativ, bliver starten i minimum. d: svingningsakse d- værdien fortæller om grafens forskydning i forhold til y-aksen, idet d er svingningsaksen. Sin(x) svinger omkring x-aksen, y = 0, men hvis der er tale om en d-værdi, bliver y = d svingningsakse. d kan bestemmes som y max min a. ex. f(x) = sin(x)+2 Vi ser, at når d antager værdien 2, så svinger grafen om linjen y = 2. Hermed har vi styr på, hvilken betydning de enkelte parametre har for grafen for en harmonisk svingning. Nu skal parametrene kobles sammen. Vi lægger ud med nogle øvelser, hvor parametrene først kobles sammen parvist og derefter med tre parametre. MatematikB2011 Side 18
Ø4 Bestem værdien af parametrene a og b og d for følgende sinussvingninger. Det oplyses at alle parametrene er positive. Noter også værdimængden for funktionerne 5 y 5 y 4 3 2 1 x -2π -3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2 2π -1-2 -3-4 f(x) g(x) 4 3 2 1 x -2π -3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2 2π -1-2 -3-4 -5-5 y y 5 4 3 2 1 x -2π -3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2 2π h(x) -1-2 -3-4 -5 5 4 3 2 1 x -2π -3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2 2π i(x) -1-2 -3-4 -5 Ø5 Tegn graferne for følgende harmoniske svingninger og bestem periodernes samt værdimængderne. f(x) = 3sin(2x ) g(x) = 4sin(x)+3 h(x) = -2sin(½x) i(x) = -3sin(8x) 1 j(x) = -sin( x) 5 k(x) = 2sin(4x)-1 l(x) = 2½sin(3x)+2 m(x) = -2sin( x) +4 n(x) = ½sin(4x)-5 Ø6 CAS Funktionen f(x) er givet ved forskriften f(x) = sin(x) + x 2, for x [- ; ] Bestem differentialkvotienten for funktionen og tangentligningen i punktet (, f( )) Ø7 Bestem linjens ligning gennem endepunkterne for funktionen f(x) = sin(x) + x 2, for x [- ; ] Vink: Se øvelse 6 MatematikB2011 Side 19
GRAFEN FOR EN HARMONISK SVINGNING Dette afsnit indeholder eksempler og øvelser i at tegne harmoniske svingninger p: periode a: amplitude d: svingningsakse Ø1 Ud fra graferne for de harmoniske svingninger, bestem da parametrene a, b og d, idet det oplyses, at parameteren b er positiv, og der er tale om cosinussvingninger y y f(x) 5 4 3 2 g(x) 5 4 3 2 1-2π -3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2 2π -1-2 x 1 x -2π -3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2 2π -1-2 -3-3 -4-4 -5-5 5 y 5 y 4 4 3 3 h(x) 2 1 x -2π -3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2 2π -1-2 -3-4 -5 2 1 x -2π -3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2 2π i(x) -1-2 -3-4 -5 MatematikB2011 Side 20
Hvis man skal tegne en harmonisk svingning med alle fire parametre er det hensigtsmæssigt at anvende en form for systematik. Følgende opskrift kan fx anvendes: Metode til tegning af harmonisk svingning med flere parametre: 1. Tegn en hjælpetegning af den grundkurve, der er tale om. (Altså en skitse af enten sin(x) eller cos(x). Markér på skitsen, hvor c-værdien ligger på x-aksen, så du ved, hvordan grafen starter på y-aksen. Notér på skitsen: Grafen starter i maksimum/minimum, på svingningsaksen og på vej ned. Dette fremgår af funktionsværdien (sin(c) eller cos(c). 2. I et nyt koordinatsystem tegnes svingningsaksen y = d ind som en stiplet linje. 3. Herefter ses på a-værdien, og til venstre i koordinatsystemet noteres, hvor langt op/ned svingningen går (a aftegnes såvel op som ned) 4. Nu ses på perioden, der angives i koordinatsystemet. 5. Med ovennævnte i baghovedet placeres startstedet nu på y-aksen, og kurven tegnes let! Vær opmærksom på, hvis der spørges efter værdimængde, periode eller lignende, så disse svar fremgår af besvarelsen. MatematikB2011 Side 21
Ex 1 Tegn den harmoniske svingning givet ved forskriften f(x) = 2sin(½x+ ) 3 1. Det fremgår, at der er tale om en sinuskurve, og at parameteren c =. Ved at betragte sin(x) kan ses, at grafen skal starte i sit maksimum. 2., 3 og 4.Svingningsaksen d = -3 tegnes ind Amplituden a = 2 afsættes maksimum og minimum beregnes. Startsted, der er i maksimum, markeres. Perioden beregnes. p=. b = ½ så vi får: p= ½ = 4. Dette markeres 5. Grafen kan nu tegnes MatematikB2011 Side 22
Ex 2 Tegn den harmoniske svingning givet ved forskriften f(x) = -3sin(2x- ) +1 1. Det fremgår, at der er tale om en sinuskurve, og at parameteren c = -. Ved at betragte sin(x) kan ses, at grafen skulle starte i sit minimum; hvis ikke a var negativ. Da a er negativ skal grafen spejles, så minimum bliver maksimum. 2., 3 og 4. Svingningsaksen d = 1 afsættes. Amplituden a = -3 afsættes maksimum og minimum beregnes. Startsted (minimum markeres Perioden beregnes. p=. b = 2 så vi får: p= =. Dette markeres 5. Grafen kan nu tegnes MatematikB2011 Side 23
Ø2 Tegn graferne for nedenstående funktioner og fastlæg periode samt værdimængde for hver af funktionerne. a. f(x) = 4sin(2x - 2 ) 1 b. g (x) = 3sin(4x + ) 2 c. h(x) = -2sin(4x + ) + 3 2 d. i(x) = 5sin(2x - ) +3 3 e. j(x) = -sin(½x + ) - ½ Ø3 CAS Det fremgår at en harmonisk svingning er en funktion, der er kontinuert dvs. differentiabel. Bestem med brug af CAS-værktøj differentialkvotienterne for funktionerne i øvelse 2. MatematikB2011 Side 24
Funktionsanalyse af trigonometriske funktioner samt differentiation heraf I dette afsnit vil vi se ganske lidt på funktionsanalyse af trigonometriske funktioner. En fuldstændig analyse af trigonometriske funktionsudtryk indeholder de samme elementer, som vi tidligere har anvendt i forbindelse med funktionsundersøgelser af polynomier, potensfunktioner, irrationelle funktioner mv. Analysen af de trigonometriske funktionsudtryk er dog lidt specielle, da de jo som regel er periodiske funktioner, hvilket betyder, at når har man bestemt funktionens grafiske billede for en enkelt periode, så kan hele funktionens graf tegnes indenfor definitionsmængden. Hvis funktionen ikke er begrænset, vil det være umuligt at skrive alle ekstremaerne op ligesom monotoniintervallerne ville udgøre en uendelig mængde. Det betyder, at man ofte lader funktionerne ligge indenfor et givet interval, fx [-2 ] eller [0 ]. Hvis funktionen anvendes til matematisk modellering over fx aktiekurser i en given periode vil definitionsmængden naturligvis være denne periode og ikke være med enheder med En analyse af en trigonometrisk funktion f indeholder de velkendte punkter: (1) Definitionsmængden, Dm(f), og evt. perioden for f (2) Nulpunkter for f (eller skæringspunkter med x-aksen) (3) Fortegnsvariation for f (4) Monotoniforhold for f (5) Ekstrema for f (6) Vendetangpunkter for f (7) Værdimængden for f, Vm(f) En sådan funktionsundersøgelse kan umiddelbart virke lidt omsomt, når der er tale om en harmonisk svingning, idet vi reelt kan foretage en meget stor del af analysen alene ud fra vort kendskab til parametrenes betydning for grafen. Beregning af nulpunkter for en harmonisk svingning har vi dog slet ikke været inde på, ligesom vi heller ikke har set på Differentialkvotienten til sin(x) og cos(x). Der er dog intet til hinder for, at man kan analysere funktioner med sinus og cosinus på traditionel vis hvis man ellers kender teknikken hertil. Fra vore tidligere funktionsundersøgelser ved vi, at bestemmelse af nulpunkter indebærer, at man skal løse ligningen f(x) = 0, ligesom bestemmelse af monotoniforhold bygger på bestemmelse af punkter med vandrette tangenter altså løsning af ligningen f (x) = 0. I kapitel 1 var vi inde på begrebet omvendt funktion, f -1 (x), hvor vi påpegede at omvendte funktioner bl.a. anvendes til ligning løsning. For at løse en ligning med sin(x) og cos(x), har vi derfor behov for at kende, de omvendte funktioner hertil. Det er meget let, da de omvendte funktioner hedder hhv. sin -1 (x) og cos -1 (x). Så vidt så godt! I forbindelse med løsningen af andengradsligninger, blev understreget, at funktionen x 2 ikke er invertibel, idet der til en y-værdi kan være to x-værdier. En parabel kan have to nulpunkter, da den kan skære x-aksen to steder. De harmoniske svingninger er jo endnu vanskeligere, da disse jo er periodiske, hvilket betyder, at er der først beregnet et nulpunkt så er der principielt uendelig mange nulpunkter. Det er derfor en stor hjælp, hvis funktionen har en begrænset definitionsmængde. MatematikB2011 Side 25
Der hersker ingen tvivl om, at de trigonometriske funktioner er kontinuerte (sammenhængende), så dermed ved vi også, de er differentiable. Omvendte funktioner til de trigonometriske funktioner: f(x) = sin(x) f -1 (x) = sin -1 (x) f(x) = cos(x) f -1 (x) = cos -1 (x) Differentialkvotient for trigonometriske funktioner: (sin(x)) = cos(x) (cos(x)) = -sin(x) Der gælder følgende: Det er meget let at vise, at disse differentialkvotienter er korrekte, idet det umiddelbart følger ud fra det grafiske billede af funktionerne. Når man arbejder med funktionsanalyse af de trigonometriske funktioner giver det forholdsvis meget regnearbejde det kan derfor anbefales at anvende CASværktøj til analyse af disse. Under alle omstændigheder er det altid en god idé at tegne grafen for funktionen med et computerprogram for at sikre sig, at de beregninger, der foretages, er korrekte.. TIP: Tegn altid først grafen for den funktion, der skal analyseres, vha. et computerprogram og skriv evt. analyseresultaterne op ud fra det, grafen viser. Hvis beregningerne efterfølgende resulterer i de samme resultater er analysen (nok) korrekt. Ex CAS Vi vil lave en grafisk funktionsanalyse af funktionen f(x) = 2sin(x)+1, x [0 ] Vi tegner først grafen for funktionen og aflæser herefter de relevante resultater. MatematikB2011 Side 26
y 3.5 Max: (,3) f(x) = 2sin(x)+1 3 2.5 2 1.5 VT pkt ((,1) lok max: (2,0) 1 lok min: (0,2) 0.5 -π/4 π/4 π/2 3π/4 π 5π/4 3π/2 7π/4 2π 9π/4 5π/2-0.5 Np: 3.67 Np: 5.76 x -1-1.5 Min: (,-1) (1) Definitionsmængden, Dm(f), og evt. perioden for f. Dm(f = [0 ] Perioden p = 2 (2) Nulpunkter for f (eller skæringspunkter med x-aksen) Np = {3.67, 5.76} (3) Fortegnsvariation for f + + 0-3.67-5.76 2 (4) Monotoniforhold for f x f (x) + 0-0 + f(x) f(x) er voksende i intervallet [0; ] f(x) er aftagende i intervallet [ ] f(x) er voksende i intervallet [ ] (5) Ekstrema for f Der er to globale ekstremaer og to lokale ekstremaer. Det er: lok min: (0, 2) og lok max: (, 0) MatematikB2011 Side 27
globalt maksimum: (, 3) globalt minimum: ( (6) Vendetangentpunkter for f Der er et punkt med vendetangent i ( (7) Værdimængden for f, Vm(f) Vm(f) = [-1;3] x^2+y^2=1 f(x)=-.52 Serie 1 Serie 2 Vi mangler nu at argumentere herfor! Ad 1 Dm(f): Denne er givet i opgaven Ad 2 Nulpunkter: f(x) = 2sin(x)+1 = 0 2sin(x) = -1 sin(x) = -½ x = sin -1 (½) x = 3,67 V x = 5,76 Det kræver nogle overvejelser, at nå frem til dette resultat, da vor beregning viser at sin -1 (-½ )= - 0,52. Da denne løsning ikke ligger indenfor definitionsmængden, skal der findes nogle alternative løsninger. Vi tegner en enhedscirkel, og ud fra denne kan vi ræsonnere os frem til de to løsninger, der er anvendelige i intervallet fra [0; 2 ] 1 y -x -1-0.52 1 x -1 Vi kan se, alternative værdier må være +0.52 og 2 0,52 Ad 3: Fortegnsvariation: Vi bestemmer fortegn ved at beregne funktionsværdi uden for og mellem nulpunkterne: f(0) = 2sin(0)+1 =2 1 + 1 = 3 (positiv) f(1½ ) = 2sin(1½ )+1 = 2-1 + 1 = -2 + 1 = -1 (negativ) f(2 = 2sin(2 )+1 =2 1 + 1 = 3 (positiv) Dermed er fortegnsvariationen dokumenteret Ad 4. Monotoniforhold MatematikB2011 Side 28
For at bestemme monotoniforhold skal vi først beregne f (x). Herefter beregnes, hvor der er vandret tangent (f (x) = 0) og der udnersøges hvorvidt funktionen vokser eller aftager omkring disse værdier. Dette gøres ved at beregne tangenthældningerne i punkter på grafen. Vi får følgende: f(x)) = 2sin(x) + 1 f (x) = 2cos(x) Vi benytter os af følgende regneregner: f(x = kf(x): f (x = kf (x) Vi har konstanten 2 f(x) = sin(x): f (x) = cos(x) f(x) = k: f (x) = 0 Vi har konstanten 1 Vi løser ligningen f (x) = 0 2cos(x) = 0 cos(x) = 0 x = cos -1 (0) Her behøver vi ikke tegne enhedscirkel for at fastlægge løsningen, idet vi ved, nulpunkterne for cos(x) har vi i ½ og 1½ Vi fastlægger fortegn for f (x) omkring ekstremaerne og får: f (0) = 2cos(0) = 2 1 = 2 (positiv) f ( = 2cos( ) 2-1 = -2 (negiv) Vi kan derfor konkludere, monotoniforholdene er givet som: Ad 5. Ekstrema I beregningen af monotoniforhold konstaterede vi, der var to punkter med vandret tangent i det givne interval for funktionen. Disse punkter var (, f( ) = (, 3) og ( = (, 0) Da funktionen har en begrænset definitionsmængde, er begyndelses og endepunkt samtidig også ekstrema. Det fremgår det er to lokale ekstremaer i (0, 2) og (, 0). De ter således belæg for at konkludere, at der er to globale ekstremaer og to lokale ekstremaer. Det er: lok min: (0, 2) og lok max: (, 0), globalt maksimum: (, 3) og globalt minimum: ( Ad. 6. Punkt med vendetangent Vi beregner f (x) og beregner nulpunkter herfor! f(x) =2sin(x) + 1 f (x) = 2cos(x) f (x) = -2sin(x) Vi løser ligningen: -2sin(x) = 0 sin(x) = 0 x = sin -1 (0) x = 0 eller x = eller x = 2 Da to af værdierne er funktionens endepunkter, må disse fravælges, da funktionen formelt set ikke er differentiabel her. Vi kan derfor konkludere, at funktionen vendetangent i punktet (, f( )) = ( Af grafen fremgår, at det passer med, at grafen netop skifter krumning fra konkav til konveks i dette punkt. MatematikB2011 Side 29
Ad. 7. Værdimængde Vi har tidligere beregnet ekstremaer for funktionen, hvoraf det fremgik, at funktionen har såvel et globalt maksimum som minimum i hhv. (, 3) og (. Dermed kan vi konkludere, at værdimængden for f, Vm(f) = [-1; 3] MatematikB2011 Side 30
Ø1 CAS Foretag en funktionsanalyse med CAS-værktøj af funktionen f(x) = 3sin(2x) -2, x [0 ] Ø2 Differentier følgende funktioner ved hjælp af reglen for differentiation af en sammensat funktion. Vink: (f(g(x) = f (g(x) g (x) Differentier den ydre funktion, og lad den virke på den indre. Gang herefter med den indre funktion differentieret. Ø4 CAS Gennemfør en fuldstændig funktionsanalyse af funktionen med forskriften f(x) =3 cos(½x) 1, x [0 ] MatematikB2011 Side 31
BEVISER I dette afsnit ses på differentialkvotienten for sin(x) og cos(x) Vi ved ud fra definitionen af begrebet f (x, at differentialkvotienten for en given funktion f, er det samme som hældningskoefficienten for tangenten i punktet (x, f(x)). Dette benytter vi, idet vi indtegner grafen for sin(x) i et koordinatsystem og efterfølgende tegner vi tangenter i nogle af punkterne på grafen. Hældningen for disse tangenter aflæser vi og vi noterer herefter de aflæste værdier i en tabel med (x, f (x)). Disse punkter plottes ind i et koordinatsystem og forbindes. Vi kan da bestemme ved aflæsning hvilken funktion, der fremkommer. Det ses umiddelbart, at differentialkvotienten til sin(x) giver cos(x) På helt tilsvarende vis kan argumenteres for at differentialkvotienten for cos(x) giver sin(x) Ø1 Argumenter på samme måde som ovenfor for, at det er korrekt differentialkvotienten til cos(x) = -sin(x) MatematikB2011 Side 32