Ib Michelsen. Matematik C. mimimi.dk

Ib Michelsen Matematik C mimimi.dk

Matematik C Copyright Ib Michelsen, Ikast ISBN... mimimi.dk 23-08-10

Indhold Indhold...3 Forord...7 Geometri Arven fra Grækenland...11 Begreber og sprog...12 Hvad betyder det?...13 Konstruktioner...18 GeoGebra...20 Ligedannede figurer...22 Ensvinklede trekanter...22 Trekanter med proportionale sider...22 Ligedannede trekanter...23 Ligedannede trekanter...23 Definition og sætning...23 Afleveringsopgave I...24 Geometriske steder...27 Euklid...31 Euklids første sætninger...31 Kongruens...32 Astronomi...34 Trigonometri...41 Formler...42 Standardtrekanter...43 Trigonometri...44 Standardtrekanter...47 Definition: sin(a)...48 Definition: cos(a)...48 Sætning: mk = hyp*sin(v)...48 Sætning: hk = hyp*cos(v)...49 Definition: tan(v)...51 Pythagoras sætning...52 Pythagoras og andre sætninger...57 Pythagoras sætning...58 Omvendt Pythagoras...60 Pythagoras i standardtrekanter...61 Afstandsformlen...61 Definition af sinus og cosinus...63 Sinusrelationerne...63 Trekantens areal...66 Cosinusrelationerne...67 Om geometri...69 Funktioner 3

Indhold 4

Forord Matematik C er skrevet til de gymnasiale ungdomsuddannelser. Til dig, der læser dette som elev, vil jeg sige: Jeg tror, du har en lærer, der vil hjælpe dig med introduktion til stoffet, med spørgsmål og svar på dine spørgsmål, men han kan kun hjælpe dig i gang. For at tilegne sig stoffet kræver det en ganske betydelig indsats af dig. Du skal læse og lære og det er ikke nok bare at læse stoffet igennem en enkelt gang. At læse lektier betyder, at man prøver at forstå, hvad man læser og at man husker, hvad man har læst. Og at man kan anvende det! Dertil hjælper det, at man undervejs har blyanten i hånden, at man besvarer opgaver undervejs, og at man noterer sig, hvad man skal have spurgt om, fordi det i første omgang syntes uklart. Ligeledes hjælper det, at man gengiver det læste for en læsekammerat eller en læsegruppe og at man tydeligt markerer, at man gerne vil høres i lektien. Læg mærke til, at bogen indeholder forskellige kategorier som: definitioner, sætninger og beviser eksempler på anvendelse af disse opgaver anvisninger til dig historiske noter hyperlinks og kildehenvisninger oversigter med formler og som indholdsfortegnelse stikordsregister litteraturliste Med typografi og baggrundsfarver har jeg forsøgt at tydeliggøre, hvad der er hvad. Jeg har prøvet at hjælpe dig ved at skrive så klart, som det har været mig muligt. Har du forslag til forbedringer, fundet en fejl eller vil du pege på uheldige eller mindre klare afsnit vil sådanne henvendelser blive modtaget med tak. Ib Michelsen 7

Detalje fra Matematiker Johannes Meyerskort over Aabenraa Amt og Lundtofte Herred (1648) tilhørende Ib Michelsen

Geometri

Arven fra Grækenland Der er i dag - ca. 2500 år efter den græske kulturs blomstringstid - en stor lighed mellem grækernes opfattelse af matematik dengang og en moderne opfattelse. Ud fra en række nærmere beskrevne begreber og nogle grundantagelser ("aksiomer") udledes ("bevises") en række sætninger (dvs. "generelle påstande") om en eller anden sammenhæng. Arbejdet hermed er "matematik". Tidligere kulturer som den babyloniske og den ægyptiske har også anvendt matematik, og man har kendt mange af de regler, der genfindes i den græske. Disse kulturer har haft et ret praktisk syn på matematikken: "Hvis det virker, kan vi bruge det." Typisk er det, at fx arealet af en cirkel er blevet beregnet på mange forskellige måder. Fx. beregnedes på et tidspunkt som 256/92*r2, ikke rigtigt, men næsten idet 256/92 = 3,1605; det tit anvendte 3+1/7 = 3,1429 og π = 3,1416... 1 Det emne, vi vil undersøge først er "geometri"; ordet er græsk og betyder jordmåling. Matematikken har her en praktisk betydning, når den kan levere velbegrundede regler for, hvorledes noget af praktisk betydning kan udregnes. Og sådan er megen matematik opstået for at kunne beskrive og løse et praktisk problem. Både af hensyn til skatteforhold og af hensyn til naboer, er det vigtigt at vide, hvor stor ens jordlod er og 1 For en oversigt se: http://mathforum.org/isaac/problems/pi2.ht ml hvor grænserne går. Men megen matematik er også opstået, fordi matematikere har fundet spændende og udfordrende strukturer, som har dannet grundlag for en teoriopbygning uden noget praktisk formål. Nogle matematikere har oveni købet fundet, at denne "unyttige" matematik var den "rigtige" matematik. Forunderligt nok har det somme tider vist sig - måske lang tid efter at teoriopbygningen blev startet - at den unyttige teori har fået praktisk anvendelse: et ofte fremhævet eksempel er studiet af primtal, som er kommet til at danne grundlag for kryptologi. I forbindelse med Internettet er kryptologi, som handler om hemmeligholdelse af information, blevet særdeles vigtigt. I tiden, før grækerne ændrede forholdet, har man som nævnt levet med regler, der ikke er blevet bevist: nogle rigtige, andre kun omtrent rigtige. Dengang har man ved studiet af mange eksempler set generelle træk, og derfor accepteret den observerede regelmæssighed som en almengyldig regel. I Euklids arbejder ser vi et væsentligt højere ambitionsniveau: han vil med argumenter sikre sig, at reglen altid gælder uden undtagelser. Som et eksempel: Pythagoras sætning har været kendt lang tid før Pythagoras. Han har fået æren for den. Og hos Euklid ser vi den bevist. Og derefter er den blevet bevist mange millioner gange siden: både af matematikere, der har kunnet bevise sætnin- 11

Arven fra Grækenland gen på nye måder, men nok så mange gange ved gentagelser for at senere generationer også skulle overbevises om sætningens rigtighed og forstå argumentationen. Det er en umulig opgave selv at finde alle mønstrene: Derfor har det været almindeligt, at læreren viser sætningen og argumenterne for den, dvs. beviser den. Er man meget kvik, har man nu lynhurtigt fået et instrument til at løse opgaver. Men man har ikke fået en forståelse af matematikerens slidsomme arbejde med at finde mønstre - og måske undtagelser fra mønstrene. Denne bog er tilrettelagt sådan, at noget af arbejdet med at lære matematik sætter dig i den arbejdende matematikers stol. Du er dog lidt heldigere stillet og behøver ikke at arbejde i årevis. Selvom læreren ikke fortæller dig hvordan, vil hans og bogens spørgsmål hjælpe dig på vejen mod en dybere indsigt. Euklid, der lever ca. år 300 fvt., er inspireret af den lidt tidligere filosof Platon (429-348 fvt.) Denne sondrede mellem de fysiske fænomener (floder, heste ol) og ideen om fænomenet. Platon opfattede "ideen om hesten", det som kendetegner alle heste, som den "rigtige hest". Når Euklid skal forklare (definere), hvad punkter, linjer og trekanter er, taler han ikke om de fysiske fænomener, men ideerne om dem. Det ses tydeligt i hans berømte værk: Elementerne, hvor han i begyndelsen beskriver de begreber, han vil anvende i matematikken. Som nogle eksempler fra Bog 1 viser: Et punkt er det, som ikke kan deles Det er set med moderne øjne ikke en specielt god definition; modsat ved alle hans læsere omtrent, hvad et punkt er. Og nu bliver det sat helt på plads: Et punkt kan ikke deles! En linje er en længde uden bredde Igen er det klart, at Euklid arbejder med et begreb. Når du tegner en ret linje, har den en bredde lige meget, hvor spids din blyant er. Din tegning kan støtte dig i at holde styr på tankerne, men må ikke forlede dig til at tro, at det du ser (på tegningen), er det der gælder. De sandheder, du kan finde frem til, er alene dem du logisk kan argumentere for med udgangspunkt i dine antagelser. På den baggrund er det klart, at du aldrig kan tegne en rigtig cirkel, en rigtig trekant osv. Alligevel tillader vi os gang på gang at gøre det vel vidende, at figurerne ikke er fuldkomne. Men når du så anvender de fundne resultater fra matematikken i den ufuldkomne virkelige verden, skal du selvfølgelig være opmærksom på, at modellens resultater ikke kan overføres uden videre. Begreber og sprog Matematik har sit eget tit meget præcise sprog. Næsten hvert ords betydning forklares meget nøje. Disse forklaringer kaldes definitioner. Der er et lille problem, som du også kan se på Euklids definitioner ovenfor: Vi skal jo have nogle "første forklaringer", hvor vi ikke kan henvise til noget, vi har defineret i forvejen. Og så bliver forklaringen lidt famlende, lidt indforstået: "Du ved nok, hvad jeg tænker på!" 12

Begreber og sprog Et andet problem er, at vi bruger matematiske begreber på forskellig vis, uden at vi altid gør os helt klart, hvad der menes: Påstanden: "Sandkassen er et rektangel" er ikke en påstand om at sandkassen er en firkant med 4 rette vinkler, men at rektanglet er en i situationen praktisk model, hvis vi fx vil beregne areal (og rumfang) til vurdering af sandforbrug. Heller ikke når jeg påstår, at jeg har tegnet ΔABC, er det sandt. Når jeg forbinder punkterne A og B med et linjestykke, er blyantsstregen jo "en længde med bredde"; lige meget hvor spids blyanten er, er stregen jo en eller anden lille brøkdel af en mm. Det leder os frem til, at den rigtige trekant (og alle andre begreber) kun findes som ideer i vores hoved og at trekantens egenskaber må erfares ved argumentation ud fra vor viden om trekanten! Ikke ved at vi ser på en tegning. I det følgende afsnit er der anført en lang række (kursiverede) ords betydning. Du kender sikkert en del i forvejen. Nu skal du kende 1 dem alle. Og det betyder: At du med lukket bog nårsomhelst kan fortælle noget om alle begreberne. Du skal både kunne svare på: "Hvad er ensvinklede trekanter?" og hvilken type trekant har en vinkel på 110º? Og du skal kunne tegne højderne i en trekant samtidig med at du for-klarer, hvorfor de tegnes, som du gør. Hvad betyder det? Et plan kaldes hos Euklid: En plan flade. I hans definition 7 forklares: "En plan flade er en flade, som ligger lige mellem de rette linjer i den." Meningen er nok lidt uklar, men i dagligdagen har vi ikke besvær med at forestille os idealiserede gulve, vægge, tavler osv. som plane flader. De kan både være begrænsede eller ubegrænsede; det sidste er tit forudsat. En trekant er en figur, der er begrænset af 3 rette linjestykker. Linjestykkerne er trekantens sider. De tre punkter (linjestykkerne ligger imellem) kaldes trekantens hjørner eller vinkelspidser. Hjørnerne navngives med store bogstaver, den modstående side (der forbinder de to andre punkter) navngives med det tilsvarende lille bogstav. Til hjørnet A svarer altså siden a. Da a har endepunkterne B og C kaldes linjestykket også BC. 1 Det er en del af "at læse lektier" eller "at studere." Det er ikke noget værd at have læst uden at have forstået, og selv det er ikke noget værd, hvis det ikke huskes når bogen er lukket. Men at forstå gør det nemmere at huske, og gentagelser gør det endnu nemmere. Tro ikke de falske profeter, der påstår, at "man bare kan slå det op!" For det første slår man ikke noget op, hvis man ikke aner, at det skulle man for at forstå sætningen helt. Og for det andet kan ens hjerne slet ikke jonglere med flere begreber, hvis de ikke er ind-arbejdede. Og endelig bliver nemme skole-opgaver meget mere besværlige at udføre, hvis de ikke er ordentligt indarbejdede. Så: få gode vaner fra start: Læs lektien rigtigt! 13

Arven fra Grækenland Mål ABC 's sider (med en almindelig lineal), og skriv målene i tabellen herunder med 1 decimals nøjagtighed: Sidelængde a b c Type ABC På tegningen herover ses ABC. Sæt de manglede betegnelser på tegningen (både for hjørner og sider.) Opgave Her og i det følgende vil du se disse blå rammer med rød tekst. Det er opgaver eller øvelser: altså noget du skal gøre. Det kan være, at din lærer eksplicit har sagt, at opgaven er en lektie, men det er jo ikke nødvendigt, da du som en fornuftig studerende har forstået, at løsning af opgaver hjælper på din forståelse og hjælper dig til at huske stoffet. Siderne har en længde, der kan måles. Hvis det er siden a, vi vil angive længden på, kan vi for eksempel skrive a = 3, hvis a har længden 3. Oftest vil vi ikke angive, om det er cm eller km, men angiver længden som et ubenævnt tal. Du bemærker altså, a har to betydninger: det er både navnet på siden og er samtidig et tal, nemlig tallet der angiver længden. Vi kan også benytte skrivemåden BC for længden, hhv. BC som navn for a. Kongruente trekanter er trekanter, der kan dække hinanden. En vinkel er en figur, der begrænses af to halvlinjer med fælles endepunkt (vinkelspidsen); de to halvlinjer (eller linjestykker) kaldes vinklens ben; forestil dig, at du sidder i vinklens spids og placerer dine ben over vinklens ben. Så er vinklens venstre ben under dit venstreben og tilsvarende for højre vinkelben, når du ser ud over vinklen. Vinkler har også et navn og en størrelse, og som for siderne bruges ofte samme betegnelse for vinklen og vinklens størrelse. I ABC kan der benyttes flere navne for den samme vinkel: A understreger, at det er en vinkel med vinkelspidsen A, BAC præciserer, at A er en vinkelspids (da det er det midterste bogstav) og at B og C er punkter, der ligger på hver sit vinkelben. I forbindelse med trigonometriske beregninger som sin(a) undlades vinkeltegnet oftest. Endelig kan vi vælge særskilte symboler for punkt og vinkelstørrelse, for eksempel: A og α (alfa, det græske alfabets første bogstav). Der var intet i vejen for at benytte andre danske bogstaver, som for eksempel v, men benyttes det græske bogstav, kan man se, at vinkelstørrelsen 14

Hvad betyder det? α hører sammen med A. Der findes adskillige måder at måle vinkler på: I begyndelsen vil vi her arbejde med grader, men på et senere tidspunkt introduceres et andet mål: radianer, hvor vinkelmål angives i længden af buen i enhedscirklen. Du er sikkert bekendt med, at en hel cirkel svarer til 360. Grader angiver altså vinklens størrelse i trehundredetresindstyvendedele af en hel cirkel.vinkler inddeles i grupper efter størrelse: lige (præcis 180 ), stumpe (mellem 90 og 180 ), rette (præcis 90 ) og spidse vinkler (mellem 0 og 90 ). På denne side er der tegnet 4 vinkler. Skriv vinklernes type i tabellen under tegningerne. Enhver trekant har nogle linjer (linjestykker) med særlige navne: højder, som er linjestykker fra en vinkelspids til den modstående side, der står vinkelret på denne. Højden fra B til b betegnes h eller h b, for at præcisere hvilken af de tre højder, der er tale om Hvad hedder den tegnede højde mere præcist? Skriv det på tegningen. vinkelhalveringslinjer som er halvlinjer fra en vinkelspids, der deler vinklen i 2 lige store vinkler. Betegnelsen er v eller v A (hvis vinkelspidsen er A) Hvilken præcis betegnelse kan bruges for v (på tegningen)? Skriv det! Hvis A = 61,.hvor stor er så β? Skriv det. Vinkel A B C D Type 15

Arven fra Grækenland medianer er linjestykker fra en vinkelspids til midtpunktet af den modstående side. De betegnes m eller m c (hvis medianen går fra C til et punkt på c) store, spidsvinklede, hvis trekantens største vinkel er spids, retvinklede, hvis trekantens største vinkel er ret, og stumpvinklede, hvis trekantens største vinkel er stump. Tegn alle 5 trekantstyper på en transparent midtnormaler til siderne er linjer, der står vinkelret på en side i sidens midtpunkt. Afhængig af øvrige anvendte betegnelser, kan du benytte betegnelser som m eller n for linjen. 2 Der findes særlige trekantstyper Ligesidede, hvis alle 3 sider er lige store, ligebenede, hvis 2 af de 3 sider er lige 2 Hvad vil du kalde den tegnede linje m mere præcist? Der er ikke mange 100% faste regler for navngivning, men derimod mange sædvaner, som det er fornuftigt at følge, fordi både læseren, men også skribenten bliver mindre forvirret, hvis navnene følger det vante skema. Firkanter er figurer begrænset af fire rette linjestykker. Hvis figuren har 4 rette vinkler kaldes den et rektangel; er også alle siderne er lige store, kaldes den et kvadrat. Hvis firkantens har et par modstående sider parallelle, er den et trapez; er begge par modstående sider parallelle, kaldes den et parallelogram; er alle siderne lige store, kaldes den en rombe. Udfyld skemaet om firkanter med x'er. Dvs. for hvert ord i forspalten sættes x under de betegnelser, der også kan anvendes. Tip: Tag et helt tilfældigt rektangel og undersøg: er figuren et rektangel? er den et kvadrat? et trapez? osv. Hver gang du kan svare "ja, et rektangel er også altid et trapez, fordi rektanglet har et par modstående sider parallelle" sættes et 'x'. 16

Hvad betyder det? Hvilke firkanter kan have flere navne? Rektangel Kvadrat Trapez Parallelogram Rombe Rektangel Kvadrat Trapez Parallelogram Rombe Parallelle linjer er rette linjer, der ikke skærer hinanden. En cirkel er en plan figur begrænset af en linje: cirkelperiferien; alle punkterne på cirkelperiferien har den samme afstand til ét punkt: cirklens centrum. Afstanden kaldes radius og ethvert linjestykke mellem centrum og et punkt på cirkelperiferien kaldes en radius. Prøv at lave en lang liste på et løst ark med forklaringer over alle de ord, der benyttes ved omtale af cirkler: diameter, korde, tangent, centervinkel, periferivinkel, omkreds, areal,... og beskriv for hver af dem præcist, hvad de betyder. Hvilke formler kender du i forbindelse med cirkler? Renskriv dem her: 17

Arven fra Grækenland Konstruktioner med passer og lineal For de græske matematikere var det ikke nok at vide, hvordan man skulle udføre en bestemt konstruktion. Mindst lige så vigtigt var det at kunne påvise, at den var rigtig. Man skulle bevise, at figuren ikke bare så rigtig ud, men var præcist som opgaven foreskrev. Det hedder "konstruktioner med passer og lineal", fordi det var de eneste redskaber, der måtte benyttes. Når man opbygger en teori, er det vigtigt at starte på et enkelt, klart grundlag: så få, enkle redskaber som muligt. Du kan så spekulere over, hvorfor man netop har valgt disse? Og hvilken passer og lineal, der kan bruges i marken? En interessant tilføjelse er, at en dansker: Georg Mohr (1640-1697) påviste, at linealen ikke var nødvendig, men at man kunne nøjes med en passer, i værket: Euclides Danicus, Amsterdam 1672. Berømmelsen udeblev imidlertid i samtiden, og først ved et tilfælde dukker bogen op i 1928. et kendt punkt og indstille den, så det andet ben er i et andet kendt punkt, og derefter tegne en cirkel Nye - derefter kendte - punkter opstår ved skæring mellem 2 rette linjer eller 2 cirkelbuer eller en ret linje og en cirkelbue Tegn på et kladdepapir to punkter. Hvor mange nye (kendte) punkter kan du finde med 1 handling (tegning af linje eller cirkel)? 2 handlinger? 3? Skriv svarene her: 1 2 3 At dele et linjestykke Konstruktionsopgaven går ud på at dele et kendt linjestykke i to lige store dele. Vi beskriver her punktvis, hvorledes opgaven løses: Præcisering af reglerne Opgaven drejer sig om punkter: Enten vi vil finde et bestemt punkt, en linje (hvor vi skal benytte 2 punkter), en cirkel (stadig 2 punkter) eller en trekant eller noget fjerde. Vi er nødt til at starte med 2 punkter: et udgangspunkt og et mere for at skabe en afstand (måleenhed). Det er så tilladt med linealen at tegne en ret linje gennem 2 kendte punkter Det er tilladt at placere passerens ene ben i 1. Opgaven I. Vi kender et linjestykke givet ved endepunkterne A og B og skal konstruere et nyt punkt M 18

Konstruktioner på linjestykket, således at AB deles i to lige lange linjestykker. Nedenunder følger konstruktionsbeskrivelsen. Tegn samtidig med gennemlæsningen figuren på et kladdepapir. Når du er færdig, rentegnes den i rammen nedenfor. 2. Konstruktionsbeskrivelsen I. Tegning af en ligesidet trekant på AB II. Med A som centrum og AB som radius tegnes en cirkel(bue). Med B som centrum og AB som radius tegnes en cirkel(bue). Cirklerne skærer hinanden i punkterne C og C'. Tegning af vinkelhalveringslinjen i C III. Løsningen M 3. Konstruktionen Halvlinjen v fra C gennem C' tegnes Halvlinjen v skærer linjestykket AB i punktet M I. Tegnes af dig i rammen. 4. Begrundelsen Skriv en begrundelse for, at konstruktionen er rigtig (ved at besvare spørgsmålene herunder). Mest elegant vil det være at henvise til de relevante sætninger, men da dette er en introduktionsopgave, benyttes lidt mere uformelle begrundelser: Hvorfor er ABC en ligesidet trekant? Hvor meget ligner ACC' og ΒCC' hinanden? Hvorfor er v en vinkelhalveringslinje? Hvor meget ligner AMC og AMC hinanden? Hvorfor deler M AB (på midten)? 19

Arven fra Grækenland GeoGebra Konstruktioner Følg linket herunder og løs opgaverne om ensliggende vinkler ved parallelle linjer: parallelle-1.html Bemærkninger og konklusioner noteres herunder: I stedet for kun at bruge passer og lineal i den virkelige verden flytter vi nu ind i den virtuelle for at lave konstruktioner med IT. GeoGebra er et program du kan bruge til at løse et væld af matematikopgaver med som fx geometriske konstruktioner. Det kan også hjælpe dig med at lave pæne tegninger til dine afleveringsopgaver. Og det giver dig mange muligheder for at forstå matematikken gennem eksperimenter med programmet. Det er et program, du kan hente gratis på Internettet: http://www.- geogebra.org, (vælg: Download / Webstart). Her kan du også kan finde hjælp og vejledning. Klasseøvelser Nederst er der en inputlinje. Skriv fx A=(2,3); så vil du tegne et punkt i koordinatsystemet med de angivne koordinater. For at kunne benytte fx særlige tegn, funktioner, græske bogstaver og kommandoer på en nem måde kan de vælges med inputlinjens dropdown menuer. Gennemprøv alle valgmulighederne i billedmenuerne; hvis det ikke er indlysende, hvad der foregår, skriver du det på en liste med en forklaring; kan du ikke finde ud af det, kommer det også på listen med et '?'. Find ud af hvordan mindst 5 kommandoer virker (Inputlinjen >> længst til højre)) 20

Konstruktioner Din tegning på tegneblokken kan udskrives direkte. Du får det med, der kan ses. x-aksen og y-aksen bruges til at tælle cm (hvad angår udskrifter.) Hvis din tegning ikke passer til papirstørrelsen foreslås et passende målestoksforhold. Bedste tegning fås ved: Tilpas vindue Benyt Zoom Placer tegning øverst til venstre Tast: ctrl+p Tilføj titel ret målestoksforhold ctrl+shift+p giver en kopi af, du kan "sætte ind" fx i et tekstdokument som en afleveringsopgave. Prøv det! ctrl+shift+w laver en webside. Prøv det! Bemærk, at du skal gemme din side i en mappe. Lav en ny med et beskrivende navn og gem derefter fx trekant.html i mappen. At koble Euklids konstruktioner med Descartes' koordinatsystem er lidt ahistorisk, da koordinatsystemet opfindes ca. 2000 år efter Euklid (se http://en.wikipedia.org/wiki/cartes ian_coordinate_system#history) Vælg i menuen Vis at fjerne: akser algebravinduet regneark inputlinje At dele et linjestykke Lav med GeoGebra samme konstruktion som i "At dele et linjestykke", side 18. Bemærk, at linjen vinkelret på AB gennem M er en midtnormal. Du må KUN 1) tegne cirkler ved at pege på to punkter (centrum og et punkt på periferien) og 2) rette linjer eller linjestykker ved at pege på to punkter samt 3) markere skæringspunkter. Gem konstruktionen som filen midtnormal.ggb Peg (med pil) på A eller B og flyt med punktet. Bemærk ændringerne i resten af figuren. At nedfælde den vinkelrette Efter samme regler som før tegnes nu en ret linje gennem et givet punkt P og en given ret linje l. Gem som ned.ggb At oprejse den vinkelrette Efter samme regler som før tegnes nu en ret linje gennem et givet punkt P og en given ret linje l., hvor P ligger på l. Gem som op.ggb Konstruer vinkelhalveringslinjen Givet 2 halvlinjer fra samme punkt tegnes vinkelhalveringslinjen; filen gemmes som vinkel.ggb 21

Arven fra Grækenland Ligedannede figurer Først vil vi se nærmere på par af trekanter; dertil indføres følgende definitioner: Ensvinklede trekanter 3 To trekanter er ensvinklede, hvis der for hver vinkel i den ene trekant findes en tilsvarende lige så stor vinkel i den anden. Følg link og læs opgavetekst. ligedannet-1.html Er der et mønster i dine observationer? Skriv dine resultater i tabellen og konklusionen lige herunder: Trekanter med proportionale sider To trekanter har proportionale sider, hvis der for hver side i den ene trekant findes en tilsvarende side i den anden, der blot er forstørret (eller formindsket) med den samme skalafaktor. Følg link og læs opgavetekst. ligedannet-2.html Er der et mønster i dine observationer? Skriv din konklusion herunder: Tegn på et A4-ark en ret stor tilfældigt valgt firkant. Mål siderne skriv målene på figuren a / d b / e c / h Trekant ABC Trekant DEH forhold mellem sider Tegn en ny firkant, hvor alle siderne er halvt så store. Mål alle 8 vinkler og skriv dem på figuren Sammenlign dit resultat med sidemandens Kan I formulere en regel? 3 Se http://mimimi.dk/2010/geometri/ensvinkled etrekanter/1.html 22

Ligedannede figurer Ligedannede trekanter To trekanter er ligedannede, hvis de både er ensvinklede og er trekanter med proportionale sider Tilsvarende kan ligedannede polygoner (dvs. mangekanter) defineres. For trekanterne og kun for trekanterne gælder den næste sætning: Ligedannede trekanter To trekanter er ligedannede, hvis de enten er ensvinklede eller er trekanter med proportionale sider 1. Sætningen påstar, at ved jeg, at trekanterne er ensvinklede, har de også proportionale sider. 2. Og: Hvis jeg i stedet ved, at de har proportionale sider, ved jeg ogsa, at trekanterne er ensvinklede. Bemærk, at sætningen i virkeligheden er 2 sætninger. Der er to forskellige påstande. Definition og sætning Definitioner Som i eksemplet herover er der noget (her: Ligedannede trekanter), der defineres. Definitionen er forklaringen med gul baggrundsfarve. Fermats store sætning eller Trekantens areal. Navnet fungerer blot som en etikette: Nå, det er den sætning, du tænker på. Selve sætningen er her markeret med en lavendelblå baggrundsfarve. Sætningen (eller rettere: dobbeltsætningen) her er en typisk generel påstand af typen: Hvis påstand P 1 gælder så vil påstanden P 2 også altid gælde. Beviser Når matematikere fremsætter påstande, vil de gerne sikre sig, at påstanden altid er rigtig. Og selv om man har undersøgt vnkelsummen i tusinder af trekanter, er der jo stadig uendelig mange tilbage: vil de også have den samme vinkelsum? Det er altså ikke nok at undersøge enkelte eksempler for at kontrollere, at en sætning er rigtig. Vi må komme med argumenter, der vil være rigtige i enhver situation. De mange opmålinger kan bringe os på sporet af et mønster, men det er de tvingende argumenter, der udgør beviset, således at alle indser sætningens rigtighed.hvor der anføres beviser, er der brugt en lyseblå baggrundsfarve. Bevis for 180 ο -reglen! Find de ens vinkler på figuren og marker dem som ens. Sætninger En sætning er en påstand. Sætningen kan have et navn som Pythagoras sætning eller 23

Arven fra Grækenland Afleveringsopgave I Modelbesvarelse (Ensvinklede trekanter) Opgaven ABC og A 1 B 1 C 1 er ensvinklede, hvor Α = Α 1, Β = Β 1 og C = C 1. a = 3 og a 1 = 5,2; desuden kendes c 1 = 5,8. Beregn c. Besvarelsen k = 5,2 / 3 4 Da siderne c og c 1 er modstående sider til den samme vinkel, gælder der også: k = c 1 / c eller c = c 1 / k De kendte tal indsættes i formlen: c = 4,8 / (5,2 / 3) = 2,76 5 c = 2,8 6 Antag, at du også kender b = 1,8 fra opgaven lige ovenover. Vis den fulde besvarelse ved beregning af b 1. *k 3 5,2 4,8 Skitse (Tegning) 1 Da de to trekanter er ensvinklede, ved vi at der findes en fælles forstørrelsesfaktor. 2 Da siderne a og a 1 er modstående sider 3 til den samme vinkel kan forstørrelsesfaktoren k findes ved: k = a 1 / a De kendte tal indsættes i formlen: 1 2 3 Geometriopgaver indledes altid med en tegning påført de oplyste størrelser Begrundelse medtages i besvarelsen Der forklares, hvorledes vi vælger tal til beregning af k 4 5 6 Omskrivning til decimalbrøk unødvendig Bemærk parentesen om brøken og svaret både før og efter afrunding. Der vælges at aflevere facit med samme nøjagtighed som de oplyste størrelser. Hvis de oplyste tal var heltal, men svaret ikke er et heltal, kunne det afleveres med én decimal. Bemærk også, at k er en forstørrelsesfaktor; benyttes den til at finde en side i den lille trekant (blå), divideres som her. Svaret fremhæves som her med farve og / eller understregning. 24

Ligedannede figurer Flere opgaver En sommerdag har Jens en skygge på 2,60 m; han måler selv 1,85 m i højden. En mast i nærheden har en skygge 7,50 m. Hvor høj er masten? Hvile forudsætninger har du benyttet ved beregningen? Præciser dem. Hvor bred er åen? Vibeke og Yrsa kan se et træ på brinken på den anden side af åen og har med pejlestokke og målebånd lavet nedenstående skitse - som ikke er målfast. Deres mål er: AB = 40 m, CD = 50 m, AC = 15 m, BD = 45 m. Beregn bredden. Bredden er m Hvad er stiltiende forudsat? 25

Geometriske steder Definition af geometrisk sted Geometrisk sted er mængden af punkter, der opfylder en bestemt betingelse. Den omtalte betingelse kan så være givet på forskellige måder. Afhængig af hvilke betingelser der fordres opfyldt, kan det geometriske sted være punktformer som linje cirkel ellipse parabel hyperbel... I det følgende skal du selv finde geometriske steder med GeoGebra: Find de geometriske steder givet følgende betingelser (én ad gangen!) P er et punkt i den søgte punktængde. A = (3;2) og B = (6;-3). For P gælder, at PA = PB Indtegn punkterne A og B samt P Tegn linjestykkerne PA og PB; vis længderne på tegningen Flyt P indtil PA = PB Koordinaterne (a,b) for P aflæses I inputlinjen indtastes P_1=(a,b) P flyttes til et nyt punkt, hvor betingelsen er opfyldt og proceduren gentages så der efterhånden vises en række punkter P_i, i = 1,2,3,..., hvor den ønskede betingelse er opfyldt. Du tegner en simpel geometrisk figur gennem alle punkterne Du vælger et nyt punkt på den tegnede figur og kontrollerer, at PA = PB Find en konstruktionsmetode for figuren og vis, at figuren faktisk opfylder betingelsen Overvej, hvorledes du kan definere en variabel a, som benyttes til at konstruere P. Når a varieres med skyder kan "spor" tegne det geometriske sted. Gem figuren som en hjemmeside. 27

Geometriske steder Find andre geometriske steder givet følgende betingelser som Afstanden til punktet C fra P er konstant; fx afstand = 5. Summen af afstandene fra P til to givne punkter A og B er konstant Sigtevinklen fra punkterne P til to givne punkter A og B er konstant (se figuren i med Skivekortet i indledningen.) Find selv på andre... Om: "at sejle på bredden" Når vikingerne sejlede til Island, Grønland eller Vinland, kunne de sejle langs breddegraderne ved hjælp af Nordstjernen og en kvadrant. Nordstjernen befinder sig højt over jorden på linjen gennem polerne og dermed kan Nordretningen altid findes, men nok så vigtigt: dens højde afslører, på hvilken breddegrad du befinder dig. Lav en liste over geometriske steder, du har fundet! Her: Er du på Nordpolen (N) er højden 90, dvs. vinklen mellem vandret og sigtelinjen til stjernen. Er du på Ækavator er højden 0. Hvis du er i Skive, er højden 56,56 og omvendt: Er højden 56,56 er du måske i Skive, men ihvertfald et eller andet sted på den nordlige 56,56 -breddegrad. Overbevis dig om det på tegningen. Højden findes (hvis det ellers er skyfrit) nemt og ret nøjagtigt med kvadranten: en kvartcirkel forsynet med gradinddeling og 28

Geometriske steder hvor den ene kant kan bruges som sigtelineal mod stjernen og højden kan aflæses på den runde kant... med en lodsnor. Dette instrument kan ikke bruges til at bestemme solhøjden om dagen man ikke må / kan se mod solen. Problemet med at bestemme solhøjden blev imidlertid løst med et andet instrument: Daviskvadranten: Her ser den observerende bort fra solen og bruger skalaens skygge til at finde vinklen. 29

Euklid Euklid Et overblik Som nævnt begynder Euklid med definere punkter, rette linjer, figurer med videre. 23 definitioner i alt. En definition er en forklaring på, hvad der menes med et bestemt (nyt) ord. Du har læst om et punkt og en linje bl.a. Euklid går endvidere ud fra nogle "indlysende sandheder" (aksiomer.) Han forudsætter de 5 følgende postulater som (sit) grundlag for geometrien: At man kan tegne et linjestykke mellem 2 punkter At man kan forlænge et linjestykke ud i et til en ret linje At man kan tegne en cirkel med ethvert centrum og enhver radius At alle rette vinkler er lige store At når én ret linje skærer 2 rette linjer, mødes de to rette linjer på den side, hvor summen af de indvendige vinkler er mindre end summen af to rette vinkler. Postulaternes indhold er visualiseret: følg links. Derudover baserer Euklid sin argumentation på de følgende 5 almindelige begreber: Størrelser, der er lige så stor som en anden størrelse, er lige store. Hvis der lægges lige meget til lige store størrelser, fås lige store størrelser. Hvis der trækkes lige meget fra lige store størrelser, fås lige store størrelser. Størrelser, der kan dække hinanden, er lige store. Det hele er større end en del. På dette grundlag bygges geometrien. Enhver sætning, der anvendes, skal først bevises ved hjælp af disse aksiomer eller andre allerede beviste sætninger. Euklids første sætninger... Over en periode på flere tusinde år, er det næsten umuligt at overlevere bøger, på trods af at bøger før Gutenberg har været kostbarheder, der måtte værnes om. Så hvad vi i dag ved om Euklid er baseret på afskrifter af afskrifter med den usikkerhed det giver, kommentarer og henvisninger i andre værker og sammenligning og sammendrag af mange forskellige kilder. I Danmark blev der i slutningen af 1800- tallet lavet et stort og fortjenstfuldt arbejde af den klassiske filolog J. L. Heiberg, som udarbejdede en græsk udgave af Euklids bøger baseret på en lang række kilder 31

Arven fra Grækenland sammen med H. Menge. Hans elev, Thyra Eibe, oversatte dette værk til dansk omkring århundredeskiftet (1900). Denne oversættelse fik uvurderlig betydning i Danmark til den dag i dag - og kunne i højere grad også have fået det internationalt om dansk havde været et internationalt sprog. Bogen findes i nyere oplag, men er ikke tilgængelig på Internettet. Det er derimod D. E. Joyce hjemmeside på adressen: http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elem ents/elements.html hvor en kommenteret tekst kan findes med illustrerende java-apletter. Kongruens På trods af at Euklid ikke selv benytter ordet, vil vi alligevel anvende det om "ens trekanter". Kongruens (Definition) To trekanter siges at være kongruente, hvis de har siderne parvis ens, vinklerne parvis ens og samme arealer. Kongruens (Sætninger) I. (SVS) To trekanter er kongruente, hvis de har to sider parvis ens samt den mellemliggende vinkel. (Euklid, I.4) II. (SSS) To trekanter er kongruente, hvis de har alle sider parvis ens. (Euklid, I.8) III. (VSV)To trekanter er kongruente, hvis de har to vinkler parvis ens samt den mellemliggende side. (VVS) To trekanter er kongruente, hvis de har to vinkler parvis ens samt en af de modstående sider. (Euklid, I.26) Sætningerne bevises ikke; den interesserede studerende henvises fx til D. E. Joyce' hjemmeside (se ovenfor.) Nogle af Euklids øvrige sætninger og konstruktioner fra bog I handler om: at kunne konstruere en ligesidet trekant at kunne flytte linjestykker at trække et linjestykke fra et andet at en ligebenet trekant har lige store grundvinkler og at hvis grundvinklerne er ens, er trekanten ligebenet at kunne konstruere en vinkelhalveringslinje at kunne dele et linjestykke at kunne oprejse den vinkelrette (dvs. konstruere en linje vinkelret på en anden i et givet punkt) at kunne nedfælde den vinkelrette (dvs. konstruere et linje gennem et givet punkt, der står vinkelret på en given linje)... 32

Euklid Ekstra konstruktionsopgaver Konstruer med passer og lineal følgende: en vinkelhalveringslinje en midtnormal givet et punkt og en linje konstrueres en linje vinkelret på den givne gennem punktet en indskreven cirkel (i en trekant) en omskreven cirkel (om en trekant) Argumenter for rigtigheden af konstruktionerne Renskriv bedste konstruktion med forklaringer herunder og overfor. 33

Arven fra Grækenland Astronomi MONTANUS. Ach gunstige Herre! jeg skal følge hans Raad, og beflitte mig paa at blive et andet Menniske herefter. LIEUTENANT. Got, saa gir jeg eder da løs igien, naar I har giort de Løfter baade til eders egne og eders Svigerforældre, og bedet dem om Forladelse. Ovenstående er et lidt forsinket bidrag fra diskussionen om jordens facon.(holbergs Erasmus Montanus 1 ) Jordens omkreds (Eratosthenes) Eratosthenes (240 FVT.) opnåde berømmelse for sin vurdering af jordens omkreds. Hans argumenter var: MONTANUS. Jeg beder eder da ydmygst med grædende Taare alle om Forladelse, og lover at føre et gandske andet Levnet herefter, fordømmer mit forrige Væsen, fra hvilket jeg er bragt ikke mere ved den Tilstand, jeg er geraadet udi, end ved denne brave Mands grundige Tale og Lærdom, hvilken jeg derfor næst mine Forældre, skal altid have meest Estime for. JERONIMUS. Saa holder I da ikke meere for, min kiære Svigersøn! at Jorden er rund? thi den post ligger mig meest om Hiertet. MONTANUS. Min hierte Svigerfar! jeg vil ikke disputere videre derom; men jeg vil allene sige dette, at alle lærde Folk er nu omstunder af de Tanker, at Jorden er rund. JERONIMUS. A - - - Hr. Lieutenant! lad ham blive Soldat igien, til Jorden bliver flak. MONTANUS. Min kiære Svigerfar, Jorden er saa flak, som en Pandekage, er han nu fornøyet. JERONIMUS. Ja, nu er vi gode Venner igien; nu skal I faae min Dotter. Kommer nu allesammen ind hos mig, og drikker paa en Forligelse; Hr. Lieutenant giør os den Ære at komme ind. På en bestemt dag stod solen lodret over Syene; samtidig kunne Erastostenes i Alexandria måle vinklen mellem lodret og en linje til solen som 1/50 af en hel cirkel. Alexandria ligger stik nord for Syene 2, 1 2 Holbergs Comedier, 3. Oplag, Forlagsbureauet i Kjøbenhavn, 1884 (Slutscenen) Af grækerne kaldet Syrene og i dagens Ægypten: Aswan. 34

Astronomi altså på samme meridian. Afstanden mellem Alexandria og Syene blev opmålt til 5000 stadier Denne afstand (buelængden) er ligefrem proportional med centervinklen (som er den samme som den målte, da lysstrålerne forudsættes at være parallelle) Derfor beregnes jordens omkreds (over polerne) til 50x5000 stadier = 250.000 stadier eller godt 40.000 km 3 Kugle eller pandekage? Eratostenes går ud fra, at jorden er rund. Før ham har der ikke været almindelig enighed herom. Dog kan det ikke have været en fjern tanke, fordi det - i modsætning til den flade model - kan forklare: hvorfor ser sømanden, der er på vej mod land, først bjergets top? hvorfor er jordens skyggebillede ved måneformørkelse altid cirkulært - en skiveformet jord ville oftere lave et 3 Hvordan ville du praksis måle β? Argumentationen er rigtig, men forudsætningerne halter en lille smule: Solen har ikke stået præcist lodret over Syene og Alexandria ligger ikke præcist N for Syene, men den største fejlkilde har været den unøjagtige bedømmelse af afstanden mellem de to byer. Yderligere mangler vi præcis viden om forholdet km/stadier. Desuden er solen jo ikke et punkt, og den har en endelig afstand til jorden. elliptisk skyggebillede? 4 Afstand til sol og måne I Principskitse af solsystemet. Afstandeog størrelsesforhold passer ikke. Det er også diskutabelt, hvor "øjet" skal placeres på jorden, men nøjagtigheden taget i betragtning er det mindre væsentligt. Set fra jorden er det ikke umiddelbart indlysende, at de to "største" himmellegemer: solen og månen, ikke er lige store. De fylder jo lige meget på himlen: nemlig ca. ½. At de er meget tæt på at være lige store, kan du nemt overbevise dig om ved at se på billeder af solformørkelser som dette. Men det betyder jo ikke, at de er lige store - blot at skivernes radier har det samme forhold som afstandene til betragteren (eller som afstandene til jordens centrum; i den sammenhæng er jordens radius ikke stor) Bemærk de to ligedannede trekanter på principskitsen. 4 http://en.wikipedia.org/wiki/flat_earth 35

Arven fra Grækenland Forklar, Hvis solen hvad - mere tegningen realistisk ovenover - havde en forestiller. større afstand til jord og måne, hvad Hvor ville der der så ske solformørkelse? med: arealet af Viser området skitsen med også, total hvor solformørkelse? der er delvis solformørkelse? og med arealet af området med delvis solformørkelse? Hvis solen - mere realistisk - havde en Find de to ligedannede trekanter Fortsættes... Forklar, hvorfor de er ligedannede Hvad er skalafaktoren på skitsen ( k > 1)? I virkligheden er den ca. 400 Vælg nogle passende, beskrivende navne på længderne af siderne i trekanterne og skriv k som 2 ens, men forskelligt skrevne brøker med disse navne Afstand til sol og måne II (Aristarchos) Aristarchos (310-230 fvt.) er (måske) den første med et heliocentrisk verdensbillede: i stedet for at have jorden som verdens centrum sætter han solen i centrum. Skitsen ovenover belyser, hvorledes han fandt forholdet mellem afstandene fra jorden til hhv. solen og månen. Antag, at vi har halvmåne; det betyder, at månen set fra jorden belyses fra siden og at SMJ = 90. MJS kan måles på jorden (og blev målt til ca. 87 ). Dermed kan der tegnes trekanter, der er ligedannede med himmelrummets trekant og derfra kan forholdet findes - om end med stor usikkerhed. Senere vil du indse, at forholdet også kan beregnes (med trigonometriske funktioner); dette ændrer dog ikke meget på usikkerheden, der ligger i at bestemme β nøjagtigt. Ved at følge link til http://mimimi.dk/c/halvmaane.html, kan du se en model, der demonstrerer, hvad små ændringer af vinklen gør mht. forholdet. Lav en tabel med to rækker og 10 kolonner ved at benytte linket: øverst skrives en række vinkler, nedenunder de tilsvarende størrelsesforhold Udskriv 2 (ret forskellige) af trekanterne På grund af fejlbedømmelsen af vinklen beregnes forholdet til 19:1 hvor det skulle være 389:1. Lav en tabel med to rækker og 10 kolonner ved at benytte linket: øverst skrives en række vinkler, nedenunder de tilsvarende størrelsesforhold Udskriv 2 (ret forskellige) af trekanterne Afstanden til månen III 36

Astronomi Figuren herover viser solen og jorden og månen i helskyggen på jordens natside. Når månen er på jordens bagside kan den ofte ses alligevel, fordi månens bane hælder så meget i forhold til linjen Sol-Jord, at at solstrålerne kan komme forbi jorden. Månen svæver oftest uden om skyggen. Men engang imellem kommer den alligevel ind i skyggen og vi kan så se en måneformørkelse. anden side af solens og jordens fællestangent - der jo ligger i helskyggens yderflade. Prøv at eksperimentere på: http://pcp4.mimimi.dk/c/maaneformoerkelse2.htm l Prøv at lave en tredimensional model af sol, jord, skygge og månebane Prøv - i den 2- eller 3-dimensionale model at forklare, hvor der vil være mere eller mindre intens halvskygge: dvs. punkter, der belyses af nogle solstråler, men ikke af alle Aristarchos noterer sig, at tiden fra måneformørkelsen begynder til månen er helt inde i skyggen svarer til tiden den er helt inde i skyggen: derfor kan månen som tegningen viser ligge på halvdelen af den del af månebanen, der ligger i helskyggen. Begrund påstanden. Følg link til http://mimimi.dk/c/maaneformoerkel se3.html. Benyt musen (pegende midt i månen) til at føre den rundt om jorden. Tag nogle forskellige udskrifter og forklar, hvad der ses på figuren. Linjen gennem jordens og solens centrer tangerer derfor månen, når den lige er kommet helt ind i helskyggen - eller lige er på vej ud. Samtidig tangeres månen på den Tegn en model af trekanten FQR i GeoGebra, idet du antager: 1. at jordens radius er 6370 km 2. at afstanden til månen (fra jorden) er 384400 km Hvor stor bliver vinkel Q? Noter det her: Q = 37

Astronomi Afstanden til månen IV Hipparchus beregnede den samme afstand noget senere med en helt anden metode: Ved solformørkelsen 129 fvt. var den fuldstændig set fra Hellespont, men kun 4/5 (ca. samtidig?) i Alexandria. Bemærk sigtelinjen fra Alexandria: noget af solen dækkes ikke af månen. Da man kan se 1/5 af solen, må sigtelinjerne danne vinklen α, der måler 1/5 af den sædvanlige vinkel til solen: 0,5, hvorfor α = 0,1. Med en "kendt" afstand mellem de to byer, er der nu givet en ligebenet trekant (idet måneafstanden er den samme) og en kendt vinkel, hvorefter afstanden kan beregnes. 39

Trigonometri Vinkel v sin(v) Vinkel v sin(v) Vinkel v sin(v) 0,00 0,00 30,00 0,50 60,00 0,87 1,00 0,02 31,00 0,52 61,00 0,87 2,00 0,03 32,00 0,53 62,00 0,88 3,00 0,05 33,00 0,54 63,00 0,89 4,00 0,07 34,00 0,56 64,00 0,90 5,00 0,09 35,00 0,57 65,00 0,91 6,00 0,10 36,00 0,59 66,00 0,91 7,00 0,12 37,00 0,60 67,00 0,92 8,00 0,14 38,00 0,62 68,00 0,93 9,00 0,16 39,00 0,63 69,00 0,93 10,00 0,17 40,00 0,64 70,00 0,94 11,00 0,19 41,00 0,66 71,00 0,95 12,00 0,21 42,00 0,67 72,00 0,95 13,00 0,23 43,00 0,68 73,00 0,96 14,00 0,24 44,00 0,69 74,00 0,96 15,00 0,26 45,00 0,71 75,00 0,97 16,00 0,28 46,00 0,72 76,00 0,97 17,00 0,29 47,00 0,73 77,00 0,97 18,00 0,31 48,00 0,74 78,00 0,98 19,00 0,33 49,00 0,75 79,00 0,98 20,00 0,34 50,00 0,77 80,00 0,98 21,00 0,36 51,00 0,78 81,00 0,99 22,00 0,37 52,00 0,79 82,00 0,99 23,00 0,39 53,00 0,80 83,00 0,99 24,00 0,41 54,00 0,81 84,00 0,99 25,00 0,42 55,00 0,82 85,00 1,00 26,00 0,44 56,00 0,83 86,00 1,00 27,00 0,45 57,00 0,84 87,00 1,00 28,00 0,47 58,00 0,85 88,00 1,00 29,00 0,48 59,00 0,86 89,00 1,00 30,00 0,50 60,00 0,87 90,00 1,00

Trigonometri Formler Den retvinklede trekant hvor v er størrelsen af den aktuelle spidse vinkel, hyp er hyposenusen Hosliggende katete (hk) hk=hyp cos v Modstående katete (mk) mk =hk tan v Alle trekanter Ensvinklede trekanter er ligedannede 1 Trekanter med proportionale sidelængder er ligedannede Sætning om vinkelsummen i en trekant: I den retvinklede trekant har siderne navne: den længste (der ligger overfor den rette vinkel, kaldes hypotenusen, de to andre kaldes kateter. Når vi vælger en af de spidse vinkler, fx vinkel A som her, kaldes siden overfor (a) den modstående katete og siden der støder op til A (b) kaldes "den hosliggende katete." Pythagoras' sætning: c 2 =a 2 b 2 Modstående katete (mk) mk =hyp sin v A + B + C + = 180 1. arealsætning: 2. arealsætning: T =½ h g T =½ ab sin C 3. Herons formel: T = s s a s b s c hvor s er trekantens halve omkreds Sinusrelationerne: a sin A = b sin B = c sin C Cosinusrelationerne: c 2 =a 2 b 2 2 bc cos A 1 Ligedannede betyder både, at tilsvarende vinkler har samme størrelse, og at tilsvarende sider er forstørret eller formindsket med samme faktor (k). 42

Standardtrekanter Standardtrekanter Du er trekantsfabrikant og har specialiseret dig i at lave retvinklede trekanter i alle mulige størrelser. For nemmere at kunne beregne materialeforbruget, når du får en ordre, laver du 8 standardtrekanter: dvs. retvinklede trekanter, hvor hypotenusen har længden 1. Længdeenheden kan man selv vælge: det kunne både være én cm eller én km eller en enhed på 7 cm. Du skal vælge enheden "fod"; 1 fod = 30 cm. De 8 trekanter skal have en spids vinkel på hhv. 10, 20,... og 80. Dine standardtrekanter laves af metal eller træ eller pap eller papir. Marker den spidse vinkel og skriv dens størrelse på trekanten. På alle trekanter måler du alle sidelængderne i cm Skriv målene på trekanterne Omregn målene til fod; disse mål skrives også på trekanterne Du får nu en ordre på en retvinklet trekant med en spids vinkel på 20 og en hypotenuse på 8' (otte fod.) Beregn længden af kateterne! Lav tilsvarende beregninger for for de følgende kombinationer af længder og vinkler og udfyld tabellen. Forklar, hvordan mk og hk beregnes i 1. eksempel Vinkel nuse 20 8 80 5 30 12,5 50 0,6 10 47 70 21 65 10 MK HK Forklar, hvordan mk og hk beregnes i sidste eksempel uden at lave en ny standardtrekant. 43