Indhold 0.1 Indledning.................................... 1 0.2 Løsning af 2. ordens linære differentialligninger................ 2 0.2.1 Sætning 0.2............................... 2 0.2.2 Bevis af sætning 0.2.......................... 2 0.3 Sætning 0.5: Wronskideterminanten..................... 3 0.3.1 Bevis af sætning 0.5.......................... 3 0.4 Sætning 0.6: en tredje løsning......................... 4 0.4.1 Bevis af sætning 0.6.......................... 4 0.4.1.1 Udledning af C 1 ved lige store koefficienters metode.... 5 0.4.1.2 Udledning af C 2 ved lige store koefficienters metode.... 6 0.4.1.3 Konklusion på bevis af sætning 0.6............. 6 0.5 Bestemmelse af den fuldstændige løsning for y = a y........... 7 0.5.1 Tilfælde 1: a > 0............................ 7 0.5.2 Tilfælde 2: a < 0............................ 8 0.6 Den fuldstændige løsning som sinusfunktion................. 10 0.6.1 Omskrivning af den fuldstændige løsning............... 10 0.7 Udæmpede svingninger............................. 12 0.7.1 Eksempel på et svingende system (udæmpet)............ 12 0.7.2 Udæmpede harmoniske svingninger.................. 13 0.7.2.1 Svingningstiden for en udæmpet harmonisk svingning... 14 0.8 Det matematiske pendul............................ 15 0.8.1 Eksperimentel undersøgelse af det matematiske pendul....... 17 0.8.1.1 Eksperimentel eftervisning af formlen for svingningstiden. 17 0.8.1.2 Eksperimentel bestemmelse af tyngdeaccelerationen.... 18 0.9 Det fysiske pendul............................... 21 0.9.1 Svingningstiden for det fysiske pendul................ 22 0.9.1.1 Drejningsmomentet...................... 22 0.9.1.2 Intertimomentet....................... 22 0.9.1.3 Udledning af Inertimomentet for en homogen stang med centralt omdrejningspunkt................. 23 i
0.9.2 Eksperimentel undersøgelse af det fysiske pendul........... 24 0.9.2.1 Eksperimentel eftervisning af formlen for svingningstiden. 25 0.10 Konklusion................................... 27 0.11 Litteraturliste.................................. 28 0.12 Bilag 1 - Forsøgsopstilling (Matematisk pendul)............... 29 0.13 Bilag 2 - Forsøgsopstilling (Fysisk pendul).................. 30 ii
0.1 Indledning I dagligdagen støder vi ofte på fænomenet kaldt svingende bevægelser, som kan være udførte af alt fra en gyngende gynge til et løst kabel svingende i blæsevejr. Men hvordan kan man beskrive disse svingninger? Dette spørgsmål vil blive besvaret ved et ideelt samarbejde mellem de naturvidenskabelige fag fysik og matematik. Faget fysik anvendes til at forklare de fysiske aspekter af fænomenet, hvor matematikken anvendes til at beskrive fænomenet ved opstilling matematiske ligninger i form at 2. ordens lineære differentialligninger. De to naturvidenskabelige fag vil supplere hinanden i løbet af dette studierretningsprojekt, for at give den bedst mulige forståelse af svingende bevægelser. Emnet der vil blive behandlet i dette projekt er altså Svingninger og differentialligninger, hvorunder der vil blive redegjort for den grundliggende matematiske teori og for hvordan denne teori kan anvendes i forbindelse med beskrivelse af harmonisk svingende systemer. Yderligere vil der blive udført eksperimentelle undersøgelser af det matematiskeog fysiske pendul, der er eksempler på systemer der udfører harmoniske svingninger. Formålet med dette projekt er derfor at behandle svingende bevægelser ved et tværfagligt sammenspil mellem fysikkens- og matematikkens teori. Følgende opgave er struktureret på den måde at der vil blive indledt med en redegørelse af den matematiske teori, hvorefter fænomenet svingninger vil blive introduceret og forklaret fysisk. Herunder vil der blive lagt vægt på harmonisk udæmpede svingninger, eftersom det er disse typer svingninger den matematiske teori er begrænset til at kunne beskrive. Fysikkens mest signifikante præg på opgaven vil komme til udtryk til sidst i opgaven, i form af de eksperimentelle undersøgelser af hhv. det matematiske- og fysiske pendul, med det fælles formål at eftervise den grundlæggende teori naturvidenskabeligt. 1
0.2 Løsning af 2. ordens linære differentialligninger 1 I følgende afsnit vil der blive gjort rede for løsningen af 2. ordens lineære differentialligninger af typen: y = a y (0.1), hvor a er en konstant tilhørende de reelle tal (a R). Bemærk at ovenstående differentialligning kan skrives på andre måder idet y og y kan skrives på følgende måder: y = f (x) = d2 y dx 2 og y = f(x) Følgende løsningstyper er væsentlige at have overblik over: Den partikulære løsning, er en enkelt løsning til differentialligningen, der kan være fundet mere eller mindre tilfældigt. Den fuldstændige løsning, er løsningen til differentialligningen, der afdækker samtlige partikulære løsninger. 0.2.1 Sætning 0.2 Af en løsning til en 2. ordens differentialligning forstås en kontinuert differentiabel funktion der kan differentieres mindst to gange. Hvis to løsninger til differentialligningen i et interval I, er givet ved g og z, så er en løsning f til ligning 0.1 i samme interval givet ved: f = c 1 g + c 2 z, (0.2) hvor c 1 og c 2 er konstanter tilhørende de reelle tal (c 1, c 2 R). 0.2.2 Bevis af sætning 0.2 Af reglerne for differentation fås der ved differentation af sætning 0.2, for alle x I følgende: f (x) = c 1 g (x) + c 2 z (x) (0.3) Differentieres denne endnu en gang fås: f (x) = c 1 g (x) + c 2 z (x) (0.4) 1 Dette afsnit er baseret på teorien i kilde 7, side 11-17. 2
Af ligning 0.1 må der gælde at g (x) = a g(x) og z (x) = a z(x). Indsættes disse udtryk i ligning 0.4 fås: f (x) = c 1 a g(x) c 2 a z(x) = a (c 1 g(x) + c 2 z(x)) = a f(x) (Den sidste omskrivning sker idet, man genkender udtrykket for f(x) i sætning 0.2). Beviset af sætning 0.2 er hermed gennemført. 0.3 Sætning 0.5: Wronskideterminanten 2 For at kunne bestemme den fuldstændige løsning for den lineære differentialligning af 2. orden 0.1, er det nødvendigt at have kendskab til Wronskideterminanten, som for to løsninger g(x) og z(x) til 0.1 i et interval I, er givet ved funktionen: W (g, z) = g(x) g (x) z(x) z (x) = g(x) z (x) g (x) z(x); x I (0.5) Wronskideterminanten for to løsninger til ligningen 0.1 er en konstant. 0.3.1 Bevis af sætning 0.5 At Wronskideterminanten er konstant bevises ved at differentiere funktionen således: W (g, z) = (g(x) z (x) g (x) z(x)) ( ) ( ) = g(x) z (x) g (x) z(x) ( ) = g (x) z (x) + g(x) z (x) g (x) z (x) + g (x) z (x) = g (x) z (x) + g(x) z (x) g (x) z (x) g (x) z (x) = g(x) z (x) g (x) z (x) Hvor g (x) = a g(x) og z (x) = a z(x), indsættes og der fås: W (g, z) = g(x) a z(x) a g(x) z (x) = 0 Da den afledte funktion af Wronskideterminanten for de to løsninger er lig 0, må der 2 Dette afsnit er baseret på teorien i kilde 7, side 11-17. 3
altså gælde at Wronskideterminanten er en konstant, da der gælder at: f (x) = k = 0, hvor k er en konstant. 0.4 Sætning 0.6: en tredje løsning 3 Hvis to funktioner g(x) og z(x) er partikulære løsninger til ligningen 0.1, så er en yderligere partikulær løsning f(x) i intervallet I givet ved: f(x) = c 1 g(x) + c 2 z(x); W (g, z) 0, x I og c 1, c 2 R (0.6) Ligning 0.6 angiver enhver tredje løsning givet ved konstanterne c 1 og c 2, ud fra to kendte partikulære løsninger. Der må gælde at Wronskideterminanten W (g, z) er forskellig fra 0, idet at der ved W (g, z) = 0 er tale om to identiske løsninger, hvilket ikke vil medføre en tredje løsning. 0.4.1 Bevis af sætning 0.6 For at bevise at en tredje løsning er givet ved ligning 0.6, er vi interesserede i at finde de to konstanter c 1 og c 2 tilhørende de to kendte partikulære løsninger f(x) og g(x). Dette gøres ved at opskrive to ligninger, hvor konstanterne indgår. Den ene ligning kan passende være ligning 0.6: f(x) = c 1 g(x) + c 2 z(x) (0.7) En yderligere ligning fås ved differentation: f (x) = c 1 g (x) + c 2 z (x) (0.8) Vi har nu to ligninger med to ubekendte c 1 og c 2, som vi ønsker at udlede. Dette gøres ved hjælp af ligestore koefficienters metode. 3 Dette afsnit er baseret på teorien i kilde 7, side 11-17. 4
0.4.1.1 Udledning af C 1 ved lige store koefficienters metode Først ganges hhv. ligning 0.7 igennem med z (x) og ligning 0.8 igennem med z(x): f(x) z (x) = c 1 g(x) z (x) + c 2 z(x) z (x) f (x) z(x) = c 1 g (x) z(x) + c 2 z (x) z(x) Herefter udregnes differencen mellem ligningerne: f(x) z (x) f (x) z(x) = c 1 g(x) z (x) + c 2 z(x) z (x) ( ) c 1 g (x) z(x) + c 2 z (x) z(x) = c 1 g(x) z (x) + c 2 z(x) z (x) c 1 g (x) z(x) c 2 z (x) z(x) ( ) = c 1 g(x) z (x) g (x) z(x) ( ) f(x) z (x) f (x) z(x) = c 1 g(x) z (x) g (x) z(x) f(x) f (x) f(x) f (x) c 1 = g(x) g (x) ( ) z(x) z (x) = c g(x) z(x) 1 g (x) z (x) z(x) z (x) = z(x) z (x) W (f, z) W (g, z) Hvor vi før har bevist at Worskideterminanten for to løsninger er konstant, hvilket stemmer overens med tilfældet ovenfor, da forholdet mellem de to konstante Worskideterminanter giver konstanten c 1. 5
0.4.1.2 Udledning af C 2 ved lige store koefficienters metode Da vi nu er interesserede i den ubekendte konstant c 2, forlænges først hhv. ligning 0.8 med g(x), og ligning 0.7 med g (x): f (x) g(x) = c 1 g (x) g(x) + c 2 z (x) g(x) f(x) g (x) = c 1 g(x) g (x) + c 2 z(x) g (x) Differencen udregnes nu således: f (x) g(x) f(x) g (x) = c 1 g (x) g(x) + c 2 z (x) g(x) ( ) c 1 g(x) g (x) + c 2 z(x) g (x) = c 1 g (x) g(x) + c 2 z (x) g(x) c 1 g(x) g (x) c 2 z(x) g (x) ( ) = c 2 z (x) g(x) z(x) g (x) ( ) g(x) f (x) g (x) f(x) = c 2 g(x) z (x) g (x) z(x) g(x) g (x) g(x) g (x) c 2 = g(x) g (x) ( ) f(x) f (x) = c g(x) z(x) 2 g (x) z (x) f(x) f (x) = z(x) z (x) W (g, f) W (g, z) 0.4.1.3 Konklusion på bevis af sætning 0.6 Konstanterne c 1 og c 2 er altså givet ved: (c 1, c 2 ) = f(x) f (x) g(x) g (x) z(x) z (x) z(x) z (x), g(x) g (x) g(x) g (x) f(x) f (x) z(x) z (x) = ( W (f, z) W (g, z) ) W (g, f), W (g, z) ; c1, c 2 R, hvor det ses at konstanterne c 1 og c 2 er givet ved forholdet mellem Worskideterminanter, der som bevist er konstante, eftersom de indgående funktioner f(x), g(x) og z(x), alle er partikulære løsninger til ligning 0.1. Da Worskideterminanterne er konstante kan der yderligere drages at konstanterne c 1 og c 2 ikke afhænger af x. Herved er det bevist at man med kenskab til to partikulære løsninger g(x) og z(x) i intervallet I, ud fra ligning 0.6, kan få en tredje løsning f(x) til ligningen y = a y i intervallet I. 6
0.5 Bestemmelse af den fuldstændige løsning for y = a y 4 Ligningen y = a y kan optræde i to tilfælde afhængigt af om den reelle konstant a er positiv (a > 0) eller negativ (a < 0). 0.5.1 Tilfælde 1: a > 0 I dette tilfælde vælges to funktioner g(x) og z(x) givet ved: g(x) = e kx ; x Rog z(x) = e kx ; x R, hvor der indføres at: k = a; k > 0. De to funktioner differentieres to gange, for at undersøge om g(x) og z(x) er løsninger til ligningen y = a y: g(x) = e kx g (x) = (kx) e kx = k e kx g (x) = (kx) k e kx = k 2 e kx z(x) = e kx z (x) = ( kx) e kx = k e kx z (x) = ( kx) ( k) e kx = k 2 e kx Ovenfor er anvendt følgende regneregel for differentiering af den naturlige logaritme som en sammensat funktion: ( e kx) = (kx) e kx = k e kx. Idet der er indført at k = a k 2 = a, fås for x R: g (x) = k 2 e kx = a g(x) z (x) = k 2 e kx = a z(x) 4 Dette afsnit er baseret på teorien i kilde 7, side 11-17. 7
, dvs. at funktionerne g(x) og z(x) er løsninger til ligningen y = a y. Wronskideterminanten for de tø løsninger anvendes for at kunne fastlægge ligningens fuldstændige løsning. Af Wronskideterminanten fås: Indledning W (g, z) = g(x) z (x) g (x) z(x) W (g, z) = e kx ( k e kx) k e kx e kx = k e kx e kx k e kx e kx = k e kx kx k e kx kx = k e 0 k e 0 = 2k Wronskideterminanten er altså givet ved: 2k 0, hvilket vil sige at de to funktioner er to forskellige partikulære løsninger. Da funktionerne to forskellige løsninger, har ligningen y = a y = k 2 y den fuldstændige løsning: y = c 1 g(x) + c 2 z(x) = c 1 e kx + c 2 e kx ; x, c 1, c 2 R 0.5.2 Tilfælde 2: a < 0 I dette vælges to funktioner g(x) og z(x), givet ved: g(x) = cos(kx); x R og z(x) = sin(kx); x R, hvor der indføres at k = a; k > 0. For at undersøge om de givne funktioner er løsninger til differentialligningen y = a y, differentieres funktionerne to gange: g(x) = cos(kx) g (x) = (cos(kx)) = (kx) cos (kx) = k sin(kx) g (x) = ( k sin(kx)) = k (kx) sin (kx) = k 2 cos(kx) 8
z(x) = sin(kx) z (x) = (kx) sin (kx) = k cos(kx) z (x) = k (kx) cos (kx) = k 2 sin(kx) Ovenfor er anvendt følgende regneregler for differentiering af sammensatte sinus- og cosinus-funktioner: (f g) (x) = f (g(x)) = g (x) f (g(x)) og sin (x) = cos(x)og cos (x) = sin(x). Da der er indført at k = a k 2 = a, fås følgende: g (x) = k 2 cos(kx) = a g(x) z (x) = k 2 sin(kx) = a z(x) Dermed kan det ses at funktionerne g(x) og z(x) er partikulære løsninger til ligningen y = a y = k 2 y. Wronskideterminanten anvendes: W (g, z) = g(x) z (x) g (x) z(x) W (g, z) = cos(kx) k cos(kx) ( k sin(kx) sin(kx)) = k cos 2 (kx) + k sin 2 (kx) = k ( cos 2 (kx) + sin 2 (kx) ) = k Ovenfor er anvendt at cos 2 (x) + sin 2 (x) = 1, der kommer fra anvendelse af Pythagoras læresætning for siderne i en retvinklet trekant, med radius = 1 i enhedscirklen som hypotenuse. 9
Da Wronskideterminanten er lig k og derved er forskellig fra 0, kan det udledes at funktionerne g(x) og z(x) er to forskellige partikulære løsninger til ligningen y = a y = k 2 y. Derfor er den fuldstændige løsning i tilfældet a < 0 givet ved: y = c 1 g(x) + c 2 z(x) = c 1 cos(kx) + c 2 sin(kx); x, c 1, c 2 R 0.6 Den fuldstændige løsning som sinusfunktion 5 Vi husker fra afsnit 0.5 at den fuldstændige løsning til differentiallingen af typen y = a y er givet ved: y = c 1 g(x) + c 2 z(x) = c 1 cos(kx) + c 2 sin(kx); x, c 1, c 2 R Til at beskrive harmoniske svingninger i fysik anvendes den fuldstændige løsning på en anden form, defineret som en sinusfunktion: y = x(t) = A sin(ωt + ϕ), som blot er en omskrivning af den fuldstændige løsning vi kender. 0.6.1 Omskrivning af den fuldstændige løsning For at få omskrevet den fuldstændige løsning indfører vi tallet A (amplituden), der er givet ved: A = c 2 1 + c 2 2 Idet amplituden kan betragtes som vandret i tilfælde, hvor der er tale om små vinkler, kan den defineres som en ret linie med en bestemt retning. Benytter vi os af vektorregningen og teoretisk indfører et svingende system (f.eks. et matematisk pendul), kan vi opfatte koordinaterne c 1 og c 2, som værende koordinater til en vektor C med samme længde som amplituden A. Denne vektor er givet ved: C = c 1 c 2, hvor det gælder at: A = C. Den fuldstændige løsning forlænges nu med tallet A: y = c 1 cos(kx) + c 2 sin(kx) = A 5 Dette afsnit er baseret på teorien i kilde 7, side 11-17. ( c1 A cos(kx) + c 2 A sin(kx) ), for A > 0 10
Da tallet A svarer til længden af C, er det derfor klart at c 1 A og c 2 A er koordinater til enhedsvektoren e C til C, idet at koordinaterne kan omskrives til: c 1 A = c 1 C og c 2 A = c 2 C, hvoraf vi får enhedsvektoren givet ved: e C = c 1 C c 2 C Koordinaterne til enhedsvektoren er imidlertid også givet som: Hvor der ved indsættelse fås: e C = sin(ϕ) cos(ϕ), hvor ϕ R ( c1 y = A A cos(kx) + c ) 2 A sin(kx) y = A (sin(ϕ) cos(kx) + cos(ϕ) sin(kx)) Ovenstående ligning genkender vi i additionsformlen: sin(u + v) = cos(u) sin(v) + cos(v) sin(u) Hvoraf vi ved omskrivning får: Som i fysik skrives: y = A sin(kx + ϕ) y = A sin(ωt + ϕ), hvor ωt + ϕ kaldes fasen og ϕ kaldes begyndelsesfasen. 11
0.7 Udæmpede svingninger 6 Den fuldstændige løsning til en differentialligning af typen y = a y = k 2 y, kan anvendes til at beskrive svingende systemer, der udfører udæmpede svingninger, hvilket der vil blive udledt ved brug af et eksempel på et svingende system. 0.7.1 Eksempel på et svingende system (udæmpet) Som et teoretisk eksempel på et svingende system forestiller vi os en fjeder fastgjort til en væg, som er belastet med et legeme med massen m. Dette legeme forestilles at være hvilende på et bord, hvor der ikke forekommer friktion/gnidningsmodstand imellem legemet og bordet. Den position legemet har ved stillestand kaldes ligevægtspositionen eller ekvilibriumspositionen. En påvirkning af systemet ved en sammenpresning eller en udstrækning af fjederen vil medføre at fjederen vil udføre en af påvirkningen modsatrettet kraft. Figur 0.1: På figuren ovenfor er systemet indlagt på en vandret x-akse, med ekvilibriumspositionen x 0 og den resulterende kraft F res indtegnet. Af Figur 0.1 fremgår det tydeligt at den resulterende kraft, er modsatrettet ekvilibriumspositionen, hvilket også vil lade sig gælde når fjederen er sammenpresset. Den resulterende kraft vil påvirke legemet i retning af ekvilibriumspositionen, som resulterer i at legemet udfører svingninger omkring positionen. Disse svingninger siges at være udæmpede idet der ikke er nogen friktion. Af Newtons 3. lov (aktion er lig reaktion), ved vi at 6 Dette afsnit er baseret på kilde 3 s. 33-36, kilde 4 s. 21-24 samt kilde 5 s. 276-279. 12
tyngdekraften på legemet bliver ophævet af bordet (der udgør x-aksen). Den resulterende kraft på legemet er derfor fjederkraften, der ifl. Hookes lov er proportional med afstanden x fra ekvilibriumspositionen: F fjeder = F res = kx, hvor k er fjederkonstanten og x legemets elongation (afstand) fra ekvilibriumspositionen. Den resulterende kraft på legemet er ifl. Newtons 2. lov givet ved: F res = m a, hvor m er legemets masse og a er dets acceleration. Idet både Hookes lov og Newtons 2. lov udgør den resulterende kraft på legemet, sættes de lig hinanden hvorfor legemets bevægelsesligning opstår: F res = F fjeder m a = kx m d2 x dt 2 d2 x dt 2 = kx = x (t) = k m x Den fremkomne bevægelsesligning ses at være en 2. ordens differentialligning af typen y = a y = ω 2 y, hvor ω er vinkelhastigheden 7 givet ved: ω = k 0. Derved er m det muligt at beskrive et svingende system ved hjælp af 2. ordens differentialligninger af typen nævnt ovenfor, forudsat at der ikke er nogen gnidningsmodstand/dæmpning. 0.7.2 Udæmpede harmoniske svingninger Definitionen af en harmoniske svingning er givet ved En svingning siges at være harmonisk, hvis stedfunktionen er en sinusfunktion. På Figur 0.2 nedenfor ses et udsnit af en sinuskurve indtegnet i et koordinatsystem, med elongationen x som funktion af tiden t. Eftersom en sinusfunktion har værdier i intervallet [ 1, 1], vil elongationen kunne antage værdier i intervallet [ A, A], hvor A er den maksimale elongation kaldt amplituden. Yderligere ved vi at sinus svinger med 7 Defineres i afsnit 0.7.2.1 13
en periode T på 2π, som kaldes svingningstiden (tiden der tager systemet at udføre én svingning). Denne svingningstid T kan bestemmes ved en matematisk model. Figur 0.2: Figuren ovenfor viser et interval af en sinuskurve, svarende til en periode. (Tegnet i programmet Graph) 0.7.2.1 Svingningstiden for en udæmpet harmonisk svingning I forbindelse med at finde svingninstiden for en harmonisk svingning er det nødvendigt at kende til størrelsen ω kaldt vinkelhastigheden. Vinkelhastigheden er defineret, som den vinkel elongationen drejer pr. tidsenhed, da der ved en svingning forstås en samtidig ændring af elongationen fra ekvilibriumspunktet og den tilhørende vinkel. Den har derfor enheden s 1 = Hertz. Idet en harmonisk svingnings fart er konstant, vil vinkelhastigheden ω også være konstant. Sammenhængen mellem vinkel, vinkelhastighed og tid er v = ω t. Da vi ved at svingningstiden T er den tid det tager for vinklen (målt i radianer) at vokse med 2π, er det derfor klart at der må gælde: 2π = ωt ω = 2π T I afsnit 0.7.1 fandt vi frem til at vinkelhastigheden også er givet ved: ω = k m 14
Af de to udtryk for vinkelhastigheden, fås formlen for svingningstiden T, for en harmonisk svingning: 2π = k T = 2π T m k m 1 = 2π k m = 2π m k Hermed er formlen for svingningstiden T for en harmonisk svingning udledt. 0.8 Det matematiske pendul 8 Det matematiske pendul består af et lod med massen m ophængt i en snor med længden l. Bringes loddet afstanden x væk fra ekvilibrium vil pendulet udføre harmoniske svingninger. Nedenfor er indsat to illustrationer, hvor Figur 0.3 illustrerer det matematiske pendul som beskrevet. Yderligere er der er indtegnet en x-akse i loddets (den røde markering i illustrationen) bevægelsesretning. Det er klart at tyngdekraften virker på loddet med kraften F t = mg, hvor g er tyngdeaccelerationen/gravitationskonstanten. Denne kraft er opløst i to komposanter F 1 og F res, hvor F 1 bliver ophævet af snoren. Forstørrer vi billedet op i området, hvor vi har indtegnet kræfterne forekommer billedet i Figur 0.4. Af billedet kan vi se at komposanterne udgør et paralellogram bestående af to ensdannede retvinklede trekanter. Vi kan nu opskrive den resulterende kraft: sin(v) = F res F t F res = mg sin(v) = mg v, da man kan regne med at sin(v) = v for små vinkler. At vinklen v er meget lille medfører at komposanten der udgør den resulterende kraft på loddet kan anses for at være vandret og der gælder derfor: v = x l F res = mg x l = mg x l, hvor den resulterende kraft anses for at være negativ idet den er modsatrettet ekvilibrium. 8 Dette afsnit er baseret på kilde 1 s. 95-96 og kilde 4 s. 25-26 + s. 62-63. 15
Figur 0.3: Figuren ovenfor illustrerer et matematisk pendul i et svingningsøjeblik, med de påvirkende krafter. Loddet er markeret med rødt. Figur 0.4: Figuren ovenfor illustrerer et nærbillede af kraftkomposanterne og det parallellogram de udspænder. Svingningstiden T for det matematiske pendul er givet ved: T = 2π l g, hvor l er længden af pendulet og g er tyngdeaccelerationen ( g = 9, 82 m2 s 2 ). Det fremgår af formlen at svingningstiden af det matematiske pendul kun afhænger af længden af pendulet l, da både π og g er konstanter. Amplituden og loddets masse synes altså ikke at have nogen indvirkning på svingningstiden. 16
Formlen for svingningstiden kan eftervises ved et eksperimentelt forsøg, hvilket leder os videre til en eksperimentel undersøgelse af det matematiske pendul. 0.8.1 Eksperimentel undersøgelse af det matematiske pendul 9 Formålet med dette eksperiment er som bekendt at eftervise formlen for svingningstiden for det matematiske pendul 10, hvoraf vi dragede at svingningstiden ikke afhænger af den svingende masse eller amplituden men, at den kun afhænger af pendulets længde. Derudover vil jeg som led i min undersøgelse, bestemme en eksperimentel værdi for tyngdeaccelerationen. 0.8.1.1 Eksperimentel eftervisning af formlen for svingningstiden Idet vi forholder os skeptiske over for formlen for svingningstiden, antager vi at der indgår følgende tre variable: Amplituden A, massen af loddet m og pendullængden l. Hvis formlen er gyldig vil pendullængden l være den eneste reelle variabel, med indflydelse på resultaterne for svingingstiden. I forsøget har jeg ved brug af et matematisk pendul, bestående af en ophængt snor og et fladt linseformet lod, foretaget forskellige målinger af svingningstiden med et stopur. Det linseformede lod er hensigtsmæssigt idet at man kan regne med at al massen har samme afstand til omhængningspunktet. Forsøget er udført ved at loddet blev hevet ud fra ligevægtsstillingen og slippes, hvorefter jeg startede tidsregningen, da elongationen var maksimal (lig amplituden). Jeg har foretaget fem delforsøg á tre tidsmålinger, målt over 50 svingninger. Dette er gjort for at måleusikkerheden for tidstagningen minimeres, og der derved fås et mere nøjagtigt resultat for svingninstiden. I delforsøg 1 har jeg foretaget målinger med en relativt lille pendullængde på 0, 63 m. med en middelstor amplitude. I delforsøg 2 og 3 er der foretaget målinger med formålet at undersøge om amplituden har indflydelse på svingningstiden, idet amplituden varieres og de to andre variable m og l holdes konstante. I delforsøg 4 og 5 er formålet at eftervise om massen har indflydelse på svingningstiden, hvilket gøres ved at holde variablerne A og l konstante, og variere massen. I forbindelse med undersøgelse pendullængdens indflydelse på svingningstiden sammenholdes delforsøg 1 og 5, hvor m og med stor tilnærmelse A er konstante. Resultaterne af delforsøgene er indført i Tabel 0.2. 9 Dette afsnit er baseret på kilde 2 s. 52-56. 10 For forsøgsopstilling se bilag 1. 17
Delforsøg Pendullængde Masse Amplitude Middelværdi T m Teoretisk værdi T t Relativ afvigelse 1 0,63 m m Middel 1,66 s 1,59 s 0,036 % 2 1,03 m m Lille 2,09 s 2,03 s 0,026 % 3 1,03 m m Stor 2,12 s 2,03 s 0,040 % 4 1,40 m 3m Middel 2,48 s 2,37 s 0,044 % 5 1,40 m m Middel 2,47 s 2,37 s 0,041 % Tabel 0.2: Tabellen ovenfor viser resultaterne af det udførte forsøg, med det matematiske pendul. Af resultaterne indført Tabel 0.2 kan vi se følgende: At svingningstiden ikke afhænger af amplituden, eftersom resultaterne for svingningstiden i delforsøg 2 og 3 tilnærmelsesvis er ens. Der er en afvigelse på under 2 %, som sandsynligvis skyldes at formlen for svingningstiden er mere nøjagtig jo mindre amplituden og dermed vinklen er. At svingningstiden ikke afhænger af den svingende masse, da svingningstiden i delforsøg 4 og 5 er sammenfaldende, selvom der i delforsøg 4 var anvendt en masse der er tre gange så stor som i delforsøg 5. At svingningstiden afhænger af pendulets længde, idet svingningstiden i delforsøg 1 er betydeligt mindre end i delforsøg 5. Hermed kan man drage at formlen for svingningstiden for det matematiske pendul stemmer overens med det praktiske eksperiment. Jeg har derfor eftervist at formlen er korrekt. 0.8.1.2 Eksperimentel bestemmelse af tyngdeaccelerationen I hvert delforsøg, er svingningstiden fundet for hver af de tre målinger á 50 svingninger. Herefter er middelværdien T m af de tre fundne svingningstider beregnet, hvilket er den værdi der anses for at være respræsentativ for delforsøget. Den teoretiske svingningstid T t er udregnet ved brug af formlen for svingningstiden for det matematiske pendul: l T = 2π g (0.9), hvor g er tyngdeaccelerationeng = 9, 82 m2 s 2. I Tabel 0.2 er den relative afvigelse fra den teoretiske værdi for svingningstiden indført, hvoraf det ses at de eksperimentelle værdier for svingningstiden nærmest er sammenfaldende med de teoretiske, da der ikke er en eneste afvigelse på over en halv procent. 18
Da vi ønsker at fremstille vores resultater grafisk laver vi følgende omskrivning af formel 0.9: T = 2π l g = 2π l g = 2π g l T 2 = ( 2π g ) 2 l, hvor både π og g er konstanter så der kan skrives: T 2 = k l (0.10), hvor k = 4π2 g. Det ses at formel 0.10 har en grafisk fremstilling som en ret linie på formen y = ax + b, og da b = 0 kan vi sige at grafen går gennem punktet O(0, 0), hvilket også giver mening idet der ved længden l = 0 ikke vil være tale om nogen svingningstid. Indføres sammenhørende værdier af kvadratet på svingningstiden og pendullængden, i et koordinatsystem, vil der tegne sig en ret linie med hældningen k. Dette betyder at vi kan bruge måleresultaterne for forsøget til at bestemme tyngdeaccelerationen g: k = 4π2 g som liniens hældning. g = 4π2, idet k kan aflæses k På Figur 0.5 nedenfor er den grønne graf en lineær regression af de sammenhørende værdier af T 2 og l fra mit forsøg med det matematiske pendul, hvor den røde graf er af de teoretisk beregnede værdier. Figur 0.5: Figuren ovenfor viser et koordinatsystem over to grafer. Den grønne graf illustrerer en lineær regression af målte værdier og den røde af teoretiske. (Tegnet i programmet Graph) 19
Indførelsen af de teoretiske værdier er kun med formålet som reference. Af den lineære regression på de eksperimentelt fremkomne punkter får vi funktionen: f(l) = 4, 31 x, hvor hældningskonstanten k aflæses til k = 4, 31. Da vi kender hældningskonstanten k kan vi nu udregne tyngdeaccelerationen: g = 4π2 k g = 4π2 4,31 = 9, 16 Vi får altså en tyngdeaccelerationen g eks = 9, 16 m2 s 2, hvilket giver en negativ afvigelse på 6, 7%: Afv rel = 9,16 m s 2 m2 2 9,82 s 2 9,82 m2 s 2 100% = 6, 7% Vi kan altså konstantere at der er muligt at bestemme en eksperimentel værdi for tyngdeaccelerationen ved hjælp af det matematiske pendul. I dette tilfælde fik jeg en relativ afvigelse på 6, 7%, selvom de målte værdier for svingningstiden var næsten sammenfaldende med de teoretiske. Dette skyldes at svingningstiden i den lineære funktion opræder i en andenpotens, hvilket betyder at differencen/afvigelsen fra den teoretiske værdi, bliver en faktor to større og derfor mere markant. Derfor vurderer jeg at forsøget har været yderst vellykket idet det er lykkedes at få en afvigelse på under 10%. 20
0.9 Det fysiske pendul 11 Ethvert legeme der er drejeligt om en akse, der ikke går gennem legemets massemidpunkt, kaldes et fysisk pendul. Hvis pendulet føres væk fra ekvilibriumspositionen vil det ligesom det matematiske pendul, for små udsvingsvinkler udføre harmoniske svingninger, idet tyngdekraften vil være den resulterende kraft på pendulets massemidtpunkt. På Figur 0.6 nedenfor, er der en illustration af et fysisk pendul bestående af en homogen stang, med et lod på hver side af omdrejningspunktet. Afstanden fra omdrejningspunktet O til lodderne lod 1 og lod 2 er hhv. a og b, hvor b i nedenstående tilfælde regnes negativ, da lod 2 er på modsatte side af omdrejningsaksen ift. lod 1. Idet at massen af lod 1 betegnes m 1, er den resulterende kraft (tyngdekraften) på loddet: F res = m 1 g, og tilsvarende er den resulterende kraft på lod 2 : F res = m 2 g, hvor g er tyngdeaccelerationen. Figur 0.6: Figuren ovenfor illustrerer et fysisk pendul belastet af to lodder på hver side af omdrejningsaksen. 11 Dette afsnit er baseret på kilde 1 s. 68-69, kilde 2 s. 49-52, kilde 4 s. 60-62 + s. 47-48 og kilde 6 s. 115-118. 21
0.9.1 Svingningstiden for det fysiske pendul Svingningstiden for et fysisk pendul, som vist på Figur 0.6, er givet ved: T = 2π I M, hvor I er pendulets inertimoment og M er drejningsmomentet. Bemærk at svingningstiden afhænger af inertimomentet og drejningsmomentet, hvilket vil blive eftervist eksperimentelt senere i opgaven. 0.9.1.1 Drejningsmomentet Det samlede drejningsmoment M for lod 1 og lod 2 er givet ved: M = m 1 g a + m 2 g b Som i tilfælde af at lodderne har den samme masse m, kan omskrives til: M = mg(a + b) 0.9.1.2 Intertimomentet Et inertimoment er defineret som summen alle enkelte massedeles masser m og kvadratet på deres afstande r til omdrejningspunktet: I = m r 2. Pendulets inertimoment betragtes som pendulets samlede moment i forhold til omdrejningspunktet, hvilket betyder at det illustrerede fysiske penduls inertimoment er givet ved summen af stangens inertimoment og loddernes inertimomenter. Da vi regner med at masserne af lodderne er koncentreret i loddernes midpunkt og at massen derved er samme længde fra omdrejningsaksen, er loddernes inertimomenter givet ved: I lod1 = m 1 a 2 og I lod2 = m 2 b 2, hvor m 1 og m 2 er masserne af hhv. lod 1 og lod 2. Derved er loddernes samlede inertimoment givet ved: I lod1 + I lod2 = m 1 a 2 + m 2 b 2 22
Bemærk at følgende omskrivning kan ske, hvis lodderne har samme masse m: I lod1 + I lod2 = m (a 2 + b 2 ) Stangens inertimoment kan udledes vha. integralregning. 0.9.1.3 Udledning af Inertimomentet for en homogen stang med centralt omdrejningspunkt 12 På Figur 0.7 nedenfor er illustreret en homogen stang, med omdrejningspunktet O, placeret centralt på stangen, som drejer om en akse der går vinkelret igennem O. På stangen er der indtegnet et udsnit af stangen x, der ligger afstanden x fra O. Figur 0.7: Figuren ovenfor illustrerer en homogen stang. Udledningen af stangens intertimoment tager udgangspunkt den generelle formel for inertimomentet: I = m r 2 (0.11) Da vi ønsker at finde inertimomentet for udsnittet af stangen x i forhold O, er det hensigtsmæssigt at angive stangens masse pr. længdeenhed, som er forholdet mellem stangens masse m og længde l: m. Da vi har opstilt et udtryk for stangens masse pr. længdeenhed, l er massen af x givet ved: m x = m x l Indføres det fundne udtryk i 0.11, med x som udtryk for afstanden til O, fås: I = m l x x 2 12 Dette underafsnit er baseret på kilde 1 s. 68-69, kilde 4 s. 47-48 og kilde 6 s. 115-116. 23
Gør vi udsnittet x uendeligt lille kan vi beskrive stangen, som er summen af alle udsnit, ved integralet: I = 2 1 2 l 0 ( m l x 2 )dx, hvor vi integrerer i intervallet [0; 1 l] og ganger med to, for at få hele stangen. 2 Ved løsning af integralet fås: I = 2 1 2 l 0 ( m l x 2 )dx = 2m l 1 2 l 0 (x 2 )dx = 2m l [ x 3 3 ] 1 2 l = 2m ( 1 2 l)3 = 2m l3 0 l 3 l = ml2 24 12 0.9.2 Eksperimentel undersøgelse af det fysiske pendul 13 Formålet med denne eksperimentelle undersøgelse af det fysiske pendul er at give en bredere forståelse for, hvilke parametre der har indflydelse på svingningstiden T. Af formlen for svingningstiden kan vi se at svingningstiden afhænger af inertimomentet I pendul og drejningsmomentet M, hvilket jeg vil eftervise ved hjælp af nogle få forsøg med et fysisk pendul, af typen vist i Figur 0.6 afsnit 0.9. Som vist er formlen for svingningstiden for det fysiske pendul altså givet ved: T = 2π I = 2π ml 2 12 +m (a2 +b 2 ) M mg(a+b) Det fysiske pendul jeg har anvendt i min undersøgelse består af en homogen stang med tilhørende forskydelige lodder 14. Den homogene stang har en en knivformet stang vinkelret gennem stængernes fælles massemidtpunkt. 15 Den tværgående stang hviler på et stativ bestående af to ben med v-formede lejer, som vist på Figur 0.8 nedenfor. Grunden til at stangen er knivformet og at den hviler på et v-formet leje, er for at minimere friktionen, hvilket gør at vi kan sige at svingningerne med tilnærmelse er udæmpede harmoniske svingninger. 13 Dette underafsnit er baseret på kilde 2 s. 49-52. 14 For forsøgsopstilling se bilag 2. 15 Den tværgående stang inhomogen, og derfor går den ikke reelt igennem midten af den homogene stang, idet der er kompenseret for den tværgående stangs inhomogene facon mht. massefordelingen. 24
Figur 0.8: Figuren ovenfor illustrerer kontakten mellem det svingende legeme i det fysiske pendul og stativet (set fra siden). 0.9.2.1 Eksperimentel eftervisning af formlen for svingningstiden Som førnævnt er formålet med eksperimentet altså at påvise, at formlen for svingningstiden er gældende. Til dette er udført fem delforsøg, hvor der i hvert delforsøg er foretaget tre målinger á 20 svingninger, hvorefter middelværdien af den fundne svingningstid i de tre målinger, er beregnet. Til alle delforsøg er anvendt det samme pendul hvilket vil sige, at intertimomentet for stangen er konstant (I stang = 4, 49 10 3 ), og de anvendte lodder har samme masse (m = 0, 226 kg). I delforsøg 1 og 2 har jeg kun anvendt ét lod, hvor jeg har varieret afstanden a til stangens omdrejningspunkt O. I delforsøg 3 og 4 er der anvendt to lodder med samme masse, som er placeret på hver sin side af O; det ene lod med afstanden a og det andet med afstanden b. Summen af a og b er holdt konstant, hvilket betyder at drejningsmomentet M er konstant, hvorimod inertimomentet for lodderne, og dermed hele pendulet, varieres. I delforsøg 4 og 5 er også anvendt to lodder med samme masse, hvor I holdes konstant og M varieres, ved at lodderne er placeret på hver sin side i delforsøg 4 og på samme side i delforsøg 5. Måden hvorpå I holdes konstant er ved at den numeriske værdi af afstandende a og b er ens for begge delforsøg. Resultaterne af delforsøgene er indført i Tabel 0.3. 25
Delforsøg Drejningsmoment M Afstand a Afstand b I lod I pendul (I lod + I stang ) 1, 35 10 3 Middelværdi T m Teoretisk værdi T t Relativ afvigelse 1 0,444 0,20 m 0,00 m 9, 04 1,08 s 1,10 s 2,0% 10 2 2 0,333 0,15 m 0,00 m 5, 09 9, 57 1,04 s 1,07 s 2,2 % 10 3 10 3 3 0,111 0,23 m -0,18 1, 93 2, 38 2,82 s 2,91 s 3,1 % m 10 2 10 2 4 0,111 0,20 m -0,15 1, 41 1, 86 2,53 s 2,57 s 1,7 % m 10 2 10 2 5 0,777 0,20 m 0,15 m 1, 41 1, 86 0,960 s 0,973 s 1,3 % 10 2 10 2 Tabel 0.3: Tabellen ovenfor viser resultaterne af det udførte forsøg med det fysiske pendul, samt udregnede værdier af inertimomenter. Det bemærkes af Tabel 0.3, at de målte værdier for svingningstiderne er i overensstemmelse med de teoretiske, idet de relative afvigelser er under 4 %. Af delforsøg 1 og 2, kan der drages at der ved ændring af loddets afstand a, og dermed en variation af både M og I, er en forskel på svingningstiden. Hermed ved vi at svingningstiden afhænger af mindst én af de to variable. Af delforsøg 3 og 4, hvor M blev holdt konstant, fremgår det at der ved en variation af I, sker en betydelig ændring af svingningstiden, hvilket betyder at svingningstiden altså afhænger af inertimomentet. Endelig bekræfter delforsøg 4 og 5, at svingningstiden afhænger af omdrejningsmomentet, idet at der ved en variering af M altså var en forskel på svingningstiden. Oven på det eksperimentelle arbejde med det fysiske pendul, kan jeg konstantere at formlen for svingningstiden stemmer overens med de målte resultater, og jeg har derved eftervist formlen. 26
0.10 Konklusion Af arbejdet med dette studieretningsprojekt kan jeg konkludere, at fagkombinationen af matematik og fysik har været yderst effektiv i behandlingen af harmonisk svingende systemer. Som opsamling af det eksperimentelle arbejde med mht. det matematiske- og fysiske pendul, kan jeg konkludere, at det ved hjælp af den naturvidenskabelige metode er lykkedes at eftervise formlerne for svingningstiderne, og herunder dét de forudsætter mht. afhængige variable. Eksperimenterne anses for at være valide, idet de relative afvigelser af de eksperimentelle resultater fra de teoretisk beregnede er usignifikante. Jeg kan dermed konkludere, at man ved opstilning af 2. ordens lineære differentialligninger af typen y = a y, kan beskrive udæmpede harmoniske svingninger for små udslagsvinkler. 27
0.11 Litteraturliste Bøger Kilde 1: Frode Andersen, Ole Bostrup, Erik Halkjær, K. G. Hansen: Fysik for gymnasiet 2 (Gyldendal, 2.udg., 1972). Kilde 2: Frode Andersen, Ole Bostrup, Erik Halkjær, K. G. Hansen: Fysiske øvelser og opgaver 3, s. 48-57 (Gyldendal, Nordisk Forlag A/S udg. 1970). Kilde 3: J. M. Knudsen mfl: Elements of Newtonian Mechanics (Springer 2002). Kilde 4: M. Møller Jørgensen, Fr. Nielsen & K. W. Norbøll: Mekanik 2 for gymnasiet (P. Haase & Søns forlag, 5. udgave, 1980). Kilde 5: K. E. Nielsen og E. Fogh: Vejen til fysik A2, s. 276-286 (Forlaget HAX udg. 2007). Kilde 6: Eve Staffansson mfl: Fysik i grundtræk 2A (Munksgaard 1973). Andet materiale (Vedlagt som bilag i CD) Kilde 7: Steen M. Jørgensen, Differentialligninger s. 1-17 (ikke publiceret - se vedlagte CD). 28
0.12 Bilag 1 - Forsøgsopstilling (Matematisk pendul) Det matematiske pendul jeg anvendte til min eksperimentelle undersøgelse bestod som sagt af to linseformede lodder med samme masse og facon. Det anvendte lod blev andbrag på en snor ophængt i to metalkroge i loftet, for at forhindre forstyrrende udsving af loddet til siderne. Forsøgsopstilling set fra fronten, er illustreret på Figur 0.9 nedenfor. Figur 0.9: På figuren ovenfor ses forsøgsopstillingen af det matematiske pendul, hvor loddet er markeret med rødt, og pendullængden l er indtegnet. 29
RKS Yanis E. Bouras 21. december 2010 0.13 Bilag 2 - Forsøgsopstilling (Fysisk pendul) Til forsøget med det fysiske pendul er anvendt pendulet vist i Figur 0.10 og 0.11 nedenfor. Figur 0.10: Figuren ovenfor illustrerer det anvendte fysiske pendul i svingning set fra siden. Figur 0.11: Figuren ovenfor illustrerer det samme anvendete fysiske pendul set fra fronten. Bemærkning: Denne opgave består af omtrent 34.000 tegn. Dvs. ca. 15, 5 normalsider. 30