KBENHAVNS UNIVERSI'I'E'I' Naturvideskabelig embedseksame sommere 1975. MA'I'EMATIK 1 2 Skriftlig p~ve. Alle hjrelpemidlcr ka medbl~iges. Opgve r. 1 1 Lad b E [,1 [. Vis, st for =,1,2, grelder (b x+1 ~1 bk j 1 -x dx = -log( 1- - k~1 -k-. 1 2 G(Z!r re de fo:r, at de t ucge tlige iteg:rsl ] xlog( 1-x) dx eksisterer for alle =,1,2, og har Vffirdie 1 x log(1-x)dx Opgave r. 2 Lad f: [ 1,+oo[ ~ m va:)re e kotiuert fuktio. Atag, at der fi des e fuktio g: [ 1, +oo[ --) m so m er uiform t kotiuert pa [1,+""[ og for hvilke if(x) - g(x) I -~ 1 for X --) +oo. Vis, at f uiformt kotiuert. er pa [1,+oo[ 2 Vis, at fuktioe f(x) = x exp(!..) - X pa [ 1 '-l-oo [ er uiformt kotiue:rt (opgavesmttet fortsrettes)
KBENHAVNS UNIVBRS I'l'E'r Naturvideskabelig embedsekssme,: sommere 1975 Mat 12 Rettelse til opgave 3. a) Kor rekt f'ormulerig af' opgr~ves to f'qlrste liier: Lad f': m --) m vmre de peri odi ske f'uktio med periode 2u der i ]-rr,u] er givet ved P rrec1ser1g.. ai.p opgbvc 3, 3. Deri omtalte f'uktio F er e fuk tio f'ra m id i m. KBENHAVNS UNIVERSITET Naturvideskabelig embedseksame, sommepe 1975 Mat 12. Rettelse tjl opgave 3. a) Korrekt f'ormulc:pig af' opgaves to frste liier: Lad f': ID -) m vrere. rle periodi ske f'uktio med periode 2u der i ]~ff,rr] er givet ved P...p 7. 3. ~rec1ser1g AL opgave ~' De omtal te f'uktio F er e ftml<:tio f'ra m id i m.
Ky:\BENHA VNS UNIVERS ITE'I' Naturvideskabelig embedseksame, sommere 1975 Matematik 12. Opgave r. 3 Lad f: IR ~ IR vrere de periodiske fuktio med periode 2u der i [-u,u] er givet ved f( x) = { x, -ff ( X ( ff o, X = ff. 1 2 Vis, at f(x) f'v ~ ( _ 1 )+1 2 si x. =1 G\i'lr re de for Fourie rrrel(kes puktvise kovergesforhold. Uders\i'lg om Fourierrmkke er uiformt koverget pa m. 3 Pid F~urierrrokke for de ful(tio F, der er periodisk med periode 2u, og som i [-u,u] er givet ved F(x) = x 2 Besvar sp\i'jrgsmi'll 2 for Fouri'errmkke for F. Opgave r. 4 Lad f: IR ~> m vmre e C 1 -fukti o og be tragt f\i'llgede differetihlligigssystem pa 1P G\i'lr rede for, at eksistes- og etydighedssmtige ka avedes pa ovest!tecle system. (opgave fortscettes)
KBENHAVNS UNIVERSI~E~ Naturvideskabe1ig embedseksame, sommer>e 1975. Matematik 12. 2 Vis, at for r E. m+ med f(r 2 ) = og t E m,, vi1 (~ (t), 1 ~ 2 (t)) = (r cos(t-i ), r-si(t-t )) fo~ t E m vrere de e t.ydigt best.emte maksimale l~dsig for hvi1.ke 3 Lad < r 1 < r 2 de abe mregde og atag, at Betragt Vi s, a t e 1 si g ( ~ 1 ( t ), ~ 2 ( t ) ) : J -~ m 2 t i 1 systeme t defieret pll et itervl J c m for1ber hel t i D, safremt der> fides et t E J for hvilket 4 (~1(to)'~2(to)) E: D.. Atag, at f hrr edeligt mage ulpukter pa m ethvert re m+ med f(r 2 ) =.og ethvert t E. ffi vi1 + For 1sige (~ 1 (t), ~ 2 (t)) = (r cos(t-t ), r si(t-t )) for t E: m vrere e pet>iodisk ly1sig ti1 systemet, d.v.s e 1\Dsig defieret p!l hele' m for hvilke der fides et T E: JR+ sa (~ 1 (t+t), ~ 2 (t+t)):::: (~ 1 (t), ~ 2 t E: m. Vis, at disse lsiger samme med l~dsige (t)) for alle (~ 1 (t), ~ (t)) 2 = (o,o) for t E m udgr samtlige periodiske 1siger til systemet. (Viic Ma ka f. eks. for e v ilkarlig 1sig d' 2 (~ 1,~ 2 ) betragte dt(~ 1 + ~2).) ') (opgavesrettet fortsrettes}
KB ENHA Vl'TS UNIVKRS I 1'E'I' Naturvideskabelig embedseksame, sommere 1975 Matematik 12. l+ Opgve r. 5 Lad (X,dist) vmr e et met.pi~)k rum. 1 Lad ( a ) vmre e fudmctalflge i X. a) Sret 6' = sup f d is t ( a, a ) I p!, q.2. l o g vi s, 8 t p q c) 6' -} for ---) eo. Gr rede for, t m k fide e d elfv'\lge hvilke dist(a,a ) < 2-(k+ 1 ) for k = k rlt+1 Atag, at (a ) er e sl\da delfqhge. Lad k Kk = fx E--= X I dist(x,a ).S, 2-J< l og vis, at k ( a ) for k 1 ' ;.~ ' ~ Vis, at ep koverget. (a ) vmre e fudamet.lfqhge i X og ( a ) ~ e delflge. Vis, at hvis a ) er koverget, c1 a er k Ca) koverget. 3 Atag u, at (X,dist) opfylder flgede betigelse: For e vi lk~1rlig flge af elemeter ( a ) VCBPe i X og af afsluttede kugler K = (x E X I dist(x,a ) < 2-l for hvilke gmlder, at K 1 yj. =1 Vis, at i s8 fald er (X,dist) et fuldstmdigt metrisk rum. (ved)