Notater til Analyse 1

Transkript

1 Alyse 1 Jørge Vesterstrøm Forår 2004 Notter til Alyse 1 Idhold Forord 1 1. Om dobbeltsummer 1 2. Eksistes f e ikke målelig mægde 2 3. Bevis for e del f Prop Riem-itegrlet og trppefuktioer 4 5. Kommetrer til udddrget f Kp Bevis for e del f Prop Bevis for prop. 11.7, jf. opg Sæt. 6.6 (p = ). Lemm (p = 1) 8 9. Bevis for Prop. 12.9, jf. opg Forord De foreliggede i otter skl bruges smme med læreboge H.L. Royde: Rel Alysis (HLR) i kurset Alyse 1. De fleste f ottere ideholder beviser som i HLR er overldt til læsere. Reste udfylder huller mellem HLR og Mt11-pesum. 1. Om dobbeltsummer I det det følgede betrgtes rækker =1 b med semipositive led (b 0). D fsitsfølge er voksede, er rækkesumme lig med supremum f følge f fsit: =1 b = sup Dette vil brugt ude yderligere forklrig seere. Bemærk t hvis række er diverget i klssisk forstd, siger vi u t de er koverget med sum. Sætig Ld 0 m R { } være e dobbeltfølge. Så gælder m = m = sup m A m=1 =1 =1 m=1 i=1 b i (m,) A hvor supremum tges over lle edelige delmægder f N N 1

2 2 Bevis. Vi hr m = sup m m=1 =1 m i=1 =1 i = sup m m =1 i=1 i = sup sup m j=1 m i=1 ij = sup m, hvor vi i det lighedsteg dderede edelig mge uedelige rækker. D {1,..., m} {1,..., } er edelig, får vi m sup m A m=1 =1 (m,) A De modstte ulighed idses således: Ehver edelig delmægde A N N er ideholdt i et dobbeltfsit {1,..., m} {1,..., }. Med m, vlgt på dee måde hr vi m m ij (m,) A j=1 i=1 m=1 =1 m og d dette gælder for lle edelige A, følger de øskede modstte ulighed. De itererede sum med modstte rækkefølge behdles på helt smme måde. Det er fgørede t vi hr sup m sup s m = sup m, s m = sup sup s m m hvor s m = m, i,j=1 beteger dobbeltfsittee. Nottio Lighede f de tre størrelser i sætige udtrykker t summtiosordee er ligegyldig. Derfor skrives ofte blot m, m. Dee ufhægighed f rækkefølge uderstreges f følgede Sætig Ld ( m ) være som ovefor. Hvis φ : N N N er e bijektio (ltså e ummererig f N N), gælder m = m, p=1 φ(p) Bevis. Ige vil vi smmelige edelige ideksmægder f forskellig type. For det første: for A N N edelig fides p så φ({1,..., p)} A (m k fx vælge p = mx φ 1 (A). Herf følger ulighede ovefor. For det det: for p N, vælges A = φ({1,..., p}). Herf følger ulighede. 2. Eksistes f e ikke målelig mægde Her følger e geemregig f eksemplet i HLR 3.4 ude brug f [0, 1) med dditio modulo 1 og ude eksplicit hevisig til begrebere ækvivlesreltio og klsseiddelig. Vi strter med t betrgte lle mægder f forme K x = x + Q (x R). Det er klrt t de overdækker R. Om to mægder K x og K y gælder m, i,j=1 ij

3 t de ete er disjukte eller es. For hvis z K x K y, fides r og s i Q så z = r + x = s + y, hvorf y x Q. Altså hr vi K y = y + Q = (y x) + x + Q = (y x) + K x = K x. Ld os tge vi hr skrevet smtligt forekommede mægder K x op på prmeterform: {C α α Γ}. Det betyder t hver K x er f forme C α, og t C α C β = for α β. Fr hver C α vælges et p α (her bruges det såkldte udvlgsksiom). Vi k klrt vælge hvert p α [ 1, 1]. Mægde f smtlige p α (et repræsettsystem) beteges med P. Reste f ottet drejer sig om t vise: P er ikke målelig. Mægde Q [ 2, 2] er tællelig, og vi vælger e ummererig Q [ 2, 2] = {r 1, r 2,..., r,... }. Nu sættes E = r + P. Om disse mægder gælder. (1) E i E j = for i j (2) i E i [ 1, 1] (3) E i [ 3, 3] for lle i Ld os vise de tre påstde. (1): Hvis E i E j, fides α og β så p α + r i = p β + r j. Altså er p α p β Q. Me så skærer mægdere C α og C β hide, og derfor er α = β, dermed også r i = r j og derfor i = j. Dette viser (1). Nu (2): Ld z [ 1, 1]. Så gælder z C α = p α + Q for et pssede α. Dermed er z p α Q, og d z p α z + p α 2, er z p α Q [ 2, 2] og derfor f forme r i. Herf fås z = p α + r i E i, hvilket viser (2). Påstde (3) følger f t r i + p α = 3. Til sidst vises t mægde P ikke er målelig. Vi fører beviset idirekte. Atg t P er målelig. Så er lle mægdere E i også målelige og m(e i ) = m(p ) for lle i (opg. 3.9 i HLR side 64). D fås f (1) og (3) 6 m(e i ) = m(p ) hvilket medfører m(p ) = 0, og f (2) 2 m(e i ) = m(p ) hvilket giver m(p ) > 0, ltså e modstrid. 3. Bevis for e del f Prop Af hesy til seere vedelse f Propositio 3.15 i HLR beviser jeg her de del som skl bruges seere på fgørede måde: Prop. 15 (delvis).ld E R være e målelig mægde. D gælder ii. For ethvert ε > 0 fides e åbe mægde O E så m(o E) < ε vi. Hvis yderligere m(e) <, fides til ethvert ε > 0 e edelig foreig U f åbe itervller så m(u E) < ε Bevis. (ii) i tilfældet m(e) < : Af defiitioe på m(e) (= m (E)) følger t der fides e følge (I ) åbe itervller så j=1 m(i j) < 3

4 4 m(e) + ε og I j E. Sættes O = I j, får vi O E og m(o E) = m(o) m(e) m(i j ) m(e) < ε hvormed dette deltilfælde er bevist. Bevis for (vi): Med betegelsere i oveståede bevis sættes U = j=1 I j. D U O, får vi j=1 m(u E) = m(u E) + m(e U ) m(o E) + m(e U ) ε + m(e U ) Det det led i de sidste størrelse kovergerer mod ul for. For følge (E U ) er klrt ftgede, og vi hr =1 E U = fordi ethvert x E O vil opfylde x U for stor ok og dermed x / E U. D m(e U 1 ) <, giver Propositio 14 de øskede koverges mod 0 (= m( )). Alt i lt får vi t m(u E) < ε + ε = 2ε for stor ok. Dermed er (vi) vist. Bevis for (ii) i det geerelle tilfælde. Idee er t fskære til begræsede mægder og side lime smme: Sæt E = E [, ]. D er E målelig med edeligt mål og E = =1 E. For hvert k vi pg. de første del f beviset fide O åbe så O E og m(o E ) < ε2. Edvidere hr vi O E (O E ) =1 =1 (godtgør det selv!). Sættes O = =1 O, hr vi O =1 E = E og m(o E) m(o E ) < ε2 = ε =1 =1 =1 D O er åbe, er (ii) vist i det geerelle tilfælde. 4. Riem-itegrlet og trppefuktioer Her følger et pr forklrede bemærkiger til Kp. 4.1 i HLR For det første. Oversummere i HLR er ikke de smme som i Lidstrøm. Det hr ige betydig, me jeg vælger dem fr Lidstrøm. Det drejer sig om t vise de to ligiger sidst i fsittet (på s. 76). Her ser jeg ku på de der vedrører det øvre itegrl. De deles op i to uligheder. I det følgede beteger f e begræset fuktio defieret på [, b]. 1. For ehver trppefuktio s f gælder R s(x)dx R f(x)dx hvor det bruges t ehver det trppefuktio er Riem-itegrbel, og t det øvre Riem-itegrl er mootot.

5 5 Det det oveståede gælder for lle såde s, følger if { R s(x)dx s trppefuktio, s f } R f(x)dx 2. For t vise de de ulighed betrgter vi e vilkårlig iddelig Π = { = x 0 < x 1 < < x = b}. Overtllee i deleitervllere er M i = sup{f(x) x i 1 x x i }. Edelig sættes M = sup f. Svrede til dee iddelig defieres trppefuktioe s ved { Mi hvis x f(x) = i 1 < x < x i M hvis x {x 0,..., x } Der gælder u s f pr. kostruktio og (ret klrt) s(x)dx = i M i(x i x i 1 ) = Ø(Π). (Et formelt bevis k fås fr Lidstrøm ved t kombiere (idskudsregle) og (Alyses fudmetlsætig)). Vi hr ltså Ø(Π) = s(x)dx if { R s(x)dx s trppefuktio, s f } og d dette gælder for lle Π, følger if{ø(π) Π e iddelig } if { R ltså de øskede modstte ulighed. s(x)dx s trppefuktio, s f } 5. Kommetrer til udddrget f Kp. 5 D vi ku læser e del f Kp. 5 i HLR, viser jeg her hesigte med udvlget. De grudlæggede problemer er ævt i strte f kpitlet: Hvorår gælder d dx x F (x)dx = F (b) f() (A) f(t)dt = f(x) (B) Sidst i ottet kommer et pr bemærkiger om kovekse fuktioer (5.5). 5.1 ideholder de tekisk vskelige resultter. Vi overspriger dem. I 5.2 læser vi lemm 4 og Sæt. 5. Herved krkteriseres fuktioer f begræset vritio. Corr. 6 overspriges. I 5.3 læses lemm 7 og lemm 8. Lemm 7 giver e ødvedig betigelse for t e fuktio er et ubestemt itegrl (hr relevs for spm (B)). At de er lgt fr tilstrækkelig, fremgår seere. Lemm 8 er et etydighedsudsg: Hvis et ubestemt itegrl hr to fremstilliger

6 6 svrede til to itegrder, er disse itegrder es.o. Ige k dette siges t hve med spm. (B) t gøre. Etydighede hæger dybest set smme med det overspruge resultt t itegrde er bestemt.o. som differetilkvotiete f det ubestemte itegrl I 5.4 læser vi lemm 11, de ee hlvdel f Sæt. 14 og e lvprisudgve f Corr. 15 (kommer seere). Lemm 11 giver e smmehæg mellem bsolut kotiuerte fuktioer og fuktioer f begræset vritio. De ee hlvdel f Sæt. 14: (F et ubestemt itegrl F er bsolut kotiuert ) vises først og giver e bedre ødvedig betigelse for t e fuktio er et ubestemt itegrl. De de hlvdel (der giver de tilstrækkelige betigelse) overspriges). Her kommer de lovede svge udgve f Corr. 15 (der giver et delvist svr på spm. (A)): Sætig Ld F være e differetibel fuktio på [, b] (esidet i edepuktere). Atg t F er begræset. D gælder F (x)dx = F (b) F () Bevis. Først udvides F lieært til højre for x = b så F (b) eksisterer tosidet. Vi betrgter følge f differeskvotieter G (x) = (F (x + 1/) F (x)) og hr F (x) = lim G (x) som viser t F er målelig (uset om de er begræset eller ej). Pg. middelværdisætige hr vi G (x) = F (θ) sup F (x). Følge G er ltså begræset på [, b], så vi k bruge prop 2.6 (begr. kovergessætig) eller Sæt (Lebesgues sæt. om domieret koverges) til t slutte lim G (x)dx = F (x)dx Vi mgler således t berege græseværdie. Vi får G (x)dx = (F (x + 1/) F (x))dx = +1/ +1/ +1/ F (x)dx 1 F (x)dx 1 1/ b 1/ F (b) F () F (x)dx = +1/ F (x)dx for, hvor vi ku brugte regeregler for itegrtio f kotiuerte fuktioer, emlig i rækkefølge lieritet, substitutio, idskudsregle og til sidst lyses fudmetlsætig for kotiuerte itegrder. Hermed er de øskede ligig vist.

7 Kovekse fuktioer (5.5). Lemm 16 giver de grudlæggede uligheder for hældigskoefficieter for korder. Lemm 17. Beviset i boge er ikke helt korrekt, for ϕ er jo ikke defieret i og b. Me idskydes pukter c 1 og d 1 med < c 1 < c og d < d 1 < b, virker beviset for kotiuitet år og b erstttes med c 1 og d 1. Hvd går lemmets det udsg, er det ok for os t betrgte det differetible tilfælde: ϕ koveks ϕ voksede. Beviset følger f ulighedere for kordehældiger: ϕ(z) ϕ(x) ϕ(y) ϕ(x) ϕ(y) ϕ(z) for x < z < y z x y x y z Græseoverggee z x+ og z y giver strks ϕ (x) ϕ(y) ϕ(x) y x ϕ (y) for x < y Lemm 18. Også her øjes vi med det differetible tilfælde: ϕ voksede ϕ koveks. Bevis: Ld x < y og 0 < λ < 1. Med z = (1 λ)x + λy bruges middelværdisætige to gge ϕ(z) ϕ(x) z x ϕ(y) ϕ(z) y z = ϕ (ξ) = ϕ (η) D således ξ < η og dermed ϕ (ξ) ϕ (η), hr vi e ulighed mellem kordehældiger. Reges (og/eller teges) tilbge med z = (1 λ)x+λy idst, fås Jeses ulighed: ϕ((1 λ)x + λy) (1 λ)ϕ(x) + λϕ(y). Derfor er ϕ koveks. 6. Bevis for e del f Prop Af hesy til seere vedelse f Propositio 3.22 i HLR beviser jeg her de del som skl bruges seere på fgørede måde: Prop. 15 (delvis). Ld f være e målelig fuktio på et itervl [, b]. Atg f <.o. Ld ε > 0. D fides e trppefuktio g så m{x f(x) g(x) ε} < ε Hvis m f M, k g vælges så m g M. Bevis. Vi ser først på tilfældet m g M. Af beviset for Prop. 4.3 følger t der fides e simpel fuktio φ så f φ < ε: Vælg e iddelig {m = 0 < 1 < < y = M} så fi t i i 1 < ε for lle i. Sæt A 0 = {x f(x) = A 0 } og A i = {x i 1 < f(x) i } for i = 1,...,. Herved opås t φ = i χ Ai er målelig, ligger mellem m og M og f φ < ε overlt på [, b]. Hver mægde A i pproksimeres u med e trppemægde U i vh. Prop 3.15: m(u i A i ) < ε. Hvis x / U i A i, er χ Ui (x) = χ Ai (x). Følgelig, hvis x / U := i U i A i ), gælder 7

8 8 φ(x) = i χ Ui (x). Vi sætter g = i χ Ui der er e trppefuktio. For t opå m g M ædrer vi g på trppemægde {x g(x) / [m, M]} ( U) til e fst værdi i [m, M]. D der stdig gælder g = ϕ ude for U, fås lt i lt for x / U, f(x) g(x) f(x) φ(x) + φ(x) g(x) < ε + 0 = ε og d m(u) i m(u i A i ) < ε, hr vi vist tilfældet hvor f er begræset. I det geerelle tilfælde fskæres. Sæt E = {x f(x) > }. Så er m( E ) = m{x f(x) = } = 0. D m(e 1 ) < og E 1 E 2, gælder lim m(e ) = 0 og dermed m(e ) < ε for stor ok. Fuktioe 2 f = mx(, mi(f, )) er begræset, og vi hr f = f ude for E. I følge de første del f beviset fides e trppefuktio g og e målelig mægde U så m(u) < ε og g f 2 < ε ude for U. Hvis derfor x / U E, gælder f(x) g(x) f(x) f (x) + f (x) g(x) < 0 + ε = ε som smme med m(u E ) m(u) + m(e ) < ε + ε = ε viser det 2 2 øskede. 7. Bevis for prop. 11.7, jf. opg Defier E,k og ϕ som i viket. 1. ϕ er simpel : Thi de mulige værdier for fuktioe er { k k = 2 0, 1, 2, 3,..., 2 2 }. Målelighede fremgår klrt f defiitioe. 2. Følge er voksede: Atg ϕ (x) = k og ϕ 2 m (x) = l hvor < m. 2 m Hvis f(x) 22 +1, er ϕ 2 (x) = 0, og så er der itet t vise. Ellers hr vi (1) ϕ (x) = k 2 f(x) < k = ϕ (x) ltså k er mksiml hel med k f(x). D f(x) < < 22m +1, m gælder det tilsvrede for l. D m > k vi forlæge k = k2m = 2 2 m ϕ (x) f(x). Der må gælde l k2 m, for l er det største hele tl p som opfylder p f(x). Herf følger ϕ 2 m m (x) = l k = ϕ 2 m 2 (x) 3. lim ϕ (x) = f(x): Ulighedere (1) ovefor viser t 0 f(x) ϕ (x) < 1 år blot er så stor t 2 > f(x). Herf følger de øskede 2 koverges. 8. Sæt. 6.6 (p = ). Lemm (p = 1) Riesz-Fishers sætig i tilfældet p = siger t L er fuldstædig. Her et et bevis. Først kostteres t for f L (µ) gælder f f.o. For efter defiitioe gælder f f + 1.o., og d {x f(x) > f } = {x f(x) > f + 1 }, følger påstde.

9 Ld u f være e Cuchyfølge i L. Vi skl vise t følge er koverget i L (µ). Vi ser på ulmægdere E = {x f (x) > f } F m, = {x f (x) f m (x) > f f m } På ulmægde E m, F m,, modificerer vi lle fuktioere til 0. Herved er fuktioere uædret i klsseforstd, me lle de forekommede essetielle overtl er u rigtige overtl. Ld ε > 0. Så fides N så f f m ε for m, N. Herf følger f (x) f m (x) ε for m, N og lle x. (1) Derfor er følge (f (x)) e reel Cuchyfølge for lle x og dermed koverget. Ld f(x) betege græseværdie. Dermed er f e målelig fuktio. De er essetielt begræset fordi følge ( f ) er begræset (hvorfor?) og vi hr f sup f. Lder vi m i (1) ovefor (for fst ), får vi f (x) f(x) ε for N og lle x hvilket viser t f f ε for N. Altså hr vi f = lim f i L (µ). 9 Lemm siger i tilfældet p = 1 : Ld (X, B, µ) være et edeligt målrum og g e itegrbel fuktio således t for e kostt M gælder ϕgdµ M ϕ 1 for lle simple fuktioer ϕ. Så gælder g L og g M. Bevis. Ld ε > 0, og defier A + = {x g(x) > M + ε} og A = {x g(x) < M ε}. Sæt ϕ = χ A+ χ A. Herved opår vi gϕ M +ε på A + A og i øvrigt 0. Herved får vi (M + ε)µ(a + A ) gϕdµ ϕ 1 M = Mµ(A + A ) hvor til sidst udyttede det give og udregede ϕ 1. Af ulighede følger µ(a + A ) = 0, ltså g M + ε.o. D dette gælder for lle ε > 0, hr vi vist det påståede. 9. Bevis for Prop. 12.9, jf. opg Beviset deles turligt i to dele. 1. Først skl A beskrives. Ehver edelig disjukt foreig A = C i med C i C må ødvedigvis være i A, mo. idet D beteger mægde f såde disjukte edelige foreiger, hr vi D A. Når vi hr vist t D er e mægdelgebr, hr vi A = D.

10 10 Fællesmægde f to mægder i D er i D: C i D j = C i D j i j i,j D ( C i ) = Ci og hver C i pr. tgelse er i D, følger det f det foregåede t dee mægde også er i D. også er i D. Hermed hr vi t D er e mægdelgebr og derfor A = D. 2. Deræst: Kostruktio f målet. For A = C i sætter vi µ(a) = µ(ci ), me problemet er om dette er veldefieret, mo. om vi får smme resultt for A = D j. Me d vi hr A = i,j C i D j, får vi µ(ci ) = µ(c i D j ) = µ(c i D j ) = µ(d j ) i j j i j hvilket skulle vises. Bemærk t regigere ovefor også er gyldige hvis de to fremstilliger er tællelige foreiger (me stdig i A). Det betyder t hvis A er fremstillet som e tællelig disjukt foreig f mægder fr C, er summe disses mål også µ(a). Vi mgler så t vise t µ er tællelig dditiv. For e disjukt foreig A = A i f mægder fr A k vi skrive A = A i = i j C ij = ij C ij. Vi får u µ(a) = µ(c ij ) = µ(c ij ) = µ(a i ) ij i j i hvor det sidste lighedsteg kommer f defiitioe f µ(a i ), og det første følger f bemærkige ovefor om tællelige foreiger. Hermed er er vist t µ er tællelig dditiv på på A.