Den hurtige Fouriertransformation. Jean Baptiste Joseph Fourier ( )

Transkript

1 De hurtige Fouriertrasformatio Jea Baptiste Joseph Fourier (768-83)

2 Polyomier Polyomium: p ( x) = 5 + 2x + 8x + 3x 4x Geerelt: p(x) = eller! " i= a i x i p(x) = a + a x + a 2 x 2 +!+ a! x! 2

3 Evaluerig Horer s regel: Givet koefficieter (a, a, a 2,, a - ), der defierer polyomiet =! " p( x) i= i a i x For givet x ka vi evaluere p(x) i O() tid ved hjælp af ligige p( x) = a + x( a + x( a + 2! + x( a +! 2 xa! )!)) Evaluate(A, x): [hvor A=(a, a, a 2,, a - )] if = the retur a else A (a, a 2,, a - ) [atag, at dette ka gøres i O() tid] retur a + x * Evaluate(A, x) 3

4 Multiplikatio af polyomier Givet koefficieter (a, a, a 2,, a - ) og (b, b, b 2,, b - ), som defierer to polyomier, p(x) og q (x). Bestem polyomiet p(x)q(x), defieret ved hvor p(x)q(x) = c i = i! j= a j b 2!2 " i= i" j c i x i E lige ud ad ladeveje evaluerig tager O( 2 ) tid De magiske FFT ka gøre det i O( log ) tid 4

5 Iterpolatio Lad der være givet pukter i plaet med forskellige x-koordiater. Da fides der præcis ét (-) te-grad polyomium, der går igeem alle disse pukter y = p(x) y j x j x 5

6 Iterpolatio og multiplikatio Alterativ metode til beregig af p(x)q(x): Bereg p(x) for 2 værdier, x, x,, x 2- Bereg q(x) for de samme 2 værdier Fid det (2-) te-grad polyomium, r(x), der går igeem puktere {(x, p(x )q(x )), (x, p(x )q(x )),, (x 2-, p(x 2- )q(x 2- ))} Bereg værdie af r(x) E lige ud af ladeveje evaluerig tager uheldigvis stadig O( 2 ) tid, da vi for hvert af de 2 pukter skal avede Horer s regel (som tager O() tid) De magiske FFT ka gøre det i O( log ) tid ved at vælge 2 pukter, der er lette at evaluere 6

7 Primitive ehedsrødder Et tal ω er e primitiv te ehedsrod, >, hvis ω = Tallee, ω, ω 2,, ω - er idbyrdes forskellige 7

8 Eksempel (Z * ) x x^2 x^3 x^4 x^5 x^6 x^7 x^8 x^9 x^ , 6, 7, 8 er de ehedsrødder i Z * 2 2 =4, 6 2 =3, 7 2 =5, 8 2 =9 er 5 te ehedsrødder i Z * 2 - =6, 3 - =4, 4 - =3, 5 - =9, 6 - =2, 7 - =8, 8 - =7, 9 - =5 8

9 ω 5 ω 6 = -i Eksempel 2 Det komplekse tal e 2πi/ er e primitiv te ehedsrod, hvor i =! e 2πi/ = cos(2π/) + i si(2π/) ω 3 ω 2 = i ω = 8 ω 4 = - ω = ω 7 9

10 Egeskaber Iversegeskabe: Hvis ω er e primitiv te ehedsrod, så er ω - = ω - Bevis: ωω - = ω = =! " = j kj # Aulerigsegeskabe: For -<k< og k er () ) ( ) ( =!! =!! =!! =!! = "! = k k k k k k k j kj # # # # # # # Bevis:

11 Flere egeskaber Reduktiosegeskabe: Hvis ω er e primitiv 2 te ehedsrod, så er ω 2 e primitiv te ehedsrod Bevis: Hvis,ω,ω 2,,ω 2- er idbyrdes forskellige, så er, ω 2, (ω 2 ) 2,, (ω 2 ) - også idbyrdes forskellige Reflektiosegeskabe: Hvis er lige, er ω /2 = - Bevis: Ved brug af aulerigsegeskabe for k = /2 fås = " # j= / 2) j / 2 / 2 / 2! =! +! +! +! +! +! +! = ( / 2)( +! ( / 2 ) Følgesætig: For lige gælder ω k+/2 = -ω k

12 De diskrete Fourier-trasformatio Givet koefficietere (a, a, a 2,, a - ) for et (-) te grad polyomium p(x) De diskrete Fourier-trasformatio (DFT) evaluerer p for værdiere, ω, ω 2,, ω - Vi bereger (y, y, y 2,, y - ), hvor y j = p(ω j ), d.v.s. =! " y j a i # i= På matrix-form: y = Fa, hvor F[i,j] = ω ij ij De iverse diskrete Fourier-trasformatio bestemmer koefficietere for et (-) te grad polyomium givet dets værdier for, ω, ω 2,, ω - På matrix form: a = F - y, hvor F - [i,j] = ω -ij / 2

13 Korrekthed af de iverse DFT DFT og de iverse DFT er faktisk iverse operatioer Bevis: Lad A=F - F. Vi øsker at vise, at A = I, hvor Hvis i = j, har vi! " " ki kj A [ i, j] = # # k= " " " ki ki A[ i, i] =!# # =!# k= Hvis i og j er forskellige, har vi k= = = A[i, j] = "! ( j"i)k # = (ved brug af aulerigsegeskabe) k= 3

14 Foldig [a,a,a 2,...,a - ] [b,b,b 2,...,b - ] DFT og de iverse DFT ka bruges til at multiplicere to polyomier Derfor ka vi bestemme koefficietere for produktpolyomiet hurtigt, hvis vi ka bestemme DFT og des iverse hurtigt Pad with 's Pad with 's [a,a,a 2,...,a -,,,...,] [b,b,b 2,...,b -,,,...,] DFT DFT [y,y,y 2,...,y 2- ] [z,z,z 2,...,z 2- ] Compoet Multiply [y z,y z,...,y 2- z 2- ] iverse DFT [c,c,c 2,...,c 2- ] (Covolutio) 4

15 De hurtige Fourier-trasformatio De hurtige Fourier-trasformatio (FFT) er e effektiv algoritme til beregig af DFT FFT er baseret på paradigmet del-og hersk: Hvis er lige, opdeles polyomiet i polyomiere Vi har da, at 5

16 FFT-algoritme Køretide er O( log ) 6

17 Multiplikatio af store heltal Givet to N-bit heltal I og J. Bereg IJ Atag, at vi ka multiplicere ord af lægde O(log N) bit i kostat tid Fid et primtal p = c +, der ka repræseteres i et ord Sæt m = (log p) /2, således at I og J ka betragtes som vektorer af lægde beståede af m-bit ord Bestem e primitiv ehedsrod: Fid e geerator x i Z * p. Så er ω = x c e primitiv te ehedsrod i Z * p Foretag FFT og ivers FFT for at berege foldige C af I med J Bereg =! " mi K c i 2 i= K er værdie af IJ Beregigere tager O( log ) tid, eller O(N), hvis vælges, så er O(N / log N) 7

18 Eksperimetelle resultater Log-log skala viser at sædvalig multiplikatio kører i kvadratisk tid, mes FFT-versioer kører i æste lieær tid. 8