M Å L T E O R I S A N D S Y N L I G H E D S T E O R I 1. 1 F O R E L Æ S N I N G S N O T E R S V E N D E R I K G R A V E R S E N O G

Transkript

1 F O R E L Æ S N I N G S N O T E R T I L M Å L T E O R I O G S A N D S Y N L I G H E D S T E O R I 1. 1 S V E N D E R I K G R A V E R S E N A U G U S T I N S T I T U T F O R M A T E M A T I S K E F A G D E T N A T U R V I D E N S K A B E L I G E F A K U L T E T A A R H U S U N I V E R S I T E T

2

3 Idhold Symbolliste ii 1 Idledig 1 2 Målrum 3 3 Borel σ-algebraer 13 4 Mål, idetifikatio og etydighed 20 5 Mål på metriske rum 25 6 Målelige fuktioer 28 7 Itegralet, kostruktio og egeskaber 39 8 Itegratio mht. billedmål og absolut kotiuerte mål 50 9 Itegraluligheder Produktmål, eksistes og egeskaber Sadsylighedsfelter og stokastiske fuktioer Betigede sadsyligheder Uafhægighed Kovergesformer L p -rum Rado-Nikodym s Sætig Kostruktio af mål Lebesgue-Stieltjes mål på R Lebesgue målet på R Trasformatio af tætheder Separatio af edelige Borel mål Karakteristiske fuktioer 130 Appediks A Naiv mægdelære 136 Appediks B Metriske rum 139 Appediks C Kovekse fuktioer 143 Appediks D Itegratio af komplekse fuktioer 146 Appediks E To vigtige resulater fra klassisk målteori 148 Appediks F Resultater fra reel aalyse 154 i

4 S y m b o l l i s t e Symbolliste R R N Z Q C Afslutter alle beviser Afslutter alle øvelser Afslutter alle eksempler De reelle tal De udvidede reelle tal, dvs. { } R { } De aturlige tal De hele tal De ratioale tal De komplekse tal mi, dvs. x y = mi(x, y) for x, y R max, dvs. x y = max(x, y) for x, y R Bemærkig. På R avedes de gægse udvidelser af operatioere +, og mi og max, dvs. kovetioere a = a = a og a ( ) = ( ) a = a for alle a R, a + = + a = a + ( ) = + a = for alle a R \ { } for alle a R \ { } a = a = og a ( ) = ( ) a = for alle a > 0 a = a = og a ( ) = ( ) a = for alle a < 0 0 = 0 = 0 ( ) = ( ) 0 = 0. Bemærk at + ( ) og ( ) + er udefierede. ii

5 Kapitel 1 Idledig De modere sadsylighedsteori, hvis aksiomatiske basis blev formuleret af russere A. N. Kolmogorov i 1933 i boge Grudbegriffe der Wahrscheilichkeitsrechug, er bygget op omkrig et tripel ofte beteget (Ω, F, P). Her er Ω e ikke-tom mægde tit omtalt som det basale udfaldsrum, da det i mage sammehæge er relevat at tæke på de ekelte pukter i Ω som mulige udfald (elemetarudfald) af det komplekse (tilfældige) system, ma øsker at beskrive. Det eksplicitte valg af Ω varierer derfor meget. Drejer det sig f.eks. om at beskrive kast med é terig, er det oplagt at lade Ω være mægde {1,..., 6}, hvorimod det i forbidelse med modellerig af kursudviklig af f.eks. obligatioer er aturligt at lade Ω være e delmægde af mægde af ikke-egative fuktioer defieret på et iterval [0, T]. T repræseterer her de tidshorisot, ma øsker at beytte. F, der beteges modelles hædelsessystem, består af de samliger af elemetarudfald, der er af iteresse. Dvs. et elemet A i F, e såkaldt hædelse, er e delmægde af Ω. F er derfor e delmægde af mægde af alle delmægder af Ω, dvs. mægde {A A Ω }. Dee kaldes også potesmægde over Ω og beteges ofte 2 Ω. Notatioe beror på, at {A A Ω } via relatioe f {ω Ω f(ω) = 1} ka idetificeres med mægde af fuktioer fra Ω id i topuktsmægde {0, 1}. I overesstemmelse med, at F består af de samliger af udfald, vi er iteresserede i, forlages flg. tre betigelser opfyldte 1) Ω F 2) A F A c F 3) A F hvis A 1,... A, F. =1 Dette udtrykkes kort ved at sige, at F er e σ-algebra af delmægder i Ω. Triplets sidste del er det såkaldte sadsylighedsmål P, dvs. e fuktio fra F [0, 1]. Dets værdi P(A) på e hædelse A F beteges sadsylighede for A eller syoymt sadsylighede for at A idtræffer. Udover at alle sadsyligheder skal ligge mellem 0 1

6 K a p i t e l 1 I d l e d i g og 1, kræves yderligere 1) P(Ω) = 1 2) P( A ) = P(A ) hvis A 1,... A, F er parvis disjukte. =1 =1 1) udtrykker, at de sikre hædelse idtræffer med sadsylighed 1, og betigelse i 2) omtales som de tællige additivitet. Dee medfører, som vi skal se, det ituitivt lettere forståelige begreb edelig additivitet, dvs. P(A B) = P(A) + P(B) for disjukte hædelser A, B F. Eksempler viser, at edelig additivitet ikke medfører tællelig additivitet, me 2) ka dog erstattes med et krav om edelig additivitet samt voksede kotiuitet, dvs. P(A ) P(A) hvis A 1 A 2 og A = Potesmægde over Ω er klart e σ-algebra i Ω, og ma ka med god ret udre sig over, hvorfor ma ikke altid lader 2 Ω udgøre hædelsessystemet, dvs. atager at ehver delmægde er e hædelse. Me for store Ω, f.eks. Ω = R, fides der så komplicerede delmægder af Ω, at additivitetsregle udelukker mage iteressate mål. Vi er derfor tvuget til at arbejde med midre σ-algebraer. For at kue udvikle de øskede sadsylighedsteori må vi først geemgå lidt abstrakt mål - og itegralteori. Dette klassiske eme er også af afgørede betydig for al fuktioal aalyse, hvorfor første kvarter uder avet Målteori er fælles med kurset Reel Aalyse. Mål - og itegralteories hovedformål er at formalisere og udvikle e metode til at størrelsesagive mægder og fuktioer ved hjælp af reelle tal. Mægdere bliver målt ved brug af såkaldte mål og fuktioere af det tilkyttede itegral. I e vigtig specialsituatio skal vi udvikle e e itegralteori, som udvider det velkedte Riema itegral og afhjælper mage af dette itegrals magler, hvad agår eksistes og kotiuitet. Teorie udvikles i et geerelt målrum (E, E, µ), hvor (E, E) er et såkaldt måleligt rum, dvs. e ikke-tom mægde udstyret med e σ-algebra, og µ er et mål på E, dvs. µ : E R + opfyldede µ( ) = 0 og µ( A ) = µ(a ) for parvis disjukte A 1,..., A, E. =1 =1 Stofmægde for første kvarter er ideholdt i oteres første 9-10 kapitler. Et vigtigt eme er her de såkaldte målelige fuktioer, et begreb der i e sadsylighedsteoretisk sammehæg svarer til stokastiske variable. I adet kvarter fokuseres specifikt på et geerelt sadsylighedsfelt (Ω, F, P). Det vigtige begreb uafhægighed defieres, og middelværdi idføres som et itegral over Ω. Deræst diskuteres forskellige former for koverges af målelige fuktioer, specielt stokastiske variable, og efteråret afsluttes med e behadlig af spørgsmålet om eksistes af specifikke målrum, dvs. kostruktio af mål med forudgive værdier på særligt pæe mægder. Et fudametalt eksempel er her kostruktioe af lægdemålet på de reelle akse ud fra dets værdier på edelige itervaller. =1 A. 2

7 Kapitel 2 Målrum De matematiske ramme for målteorie er et såkaldt måleligt rum (E, E), beståede af e ikke-tom mægde E, ofte omtalt som grudmægde, og e delmægde E af 2 E, mægde af alle delmægder af E, som opfylder flg. tre krav (1) E E (2) A E A c E (3) (A i ) i 1 E A i E. Elemetere i mægdesystemet E kaldes ofte de målelige mægder, idet vi øsker at kue agive, dvs. måle, deres størrelse ved hjælp af et tal. A c beteger komplemetet til A i E, dvs. A c := E\A = {e E e / A}, og da A = (A c ) c ka (2) ækvivalet formuleres som : A E A c E. Et mægdesystem i E, eller syoymt e mægde af delmægder af E, som opfylder (1), dvs. ideholder E opfattet som delmægde (2), dvs. er stabil uder komplemetærmægde daelse (C-stabil) (3), dvs. er stabil uder tællelig foreigsmægde daelse ( c-stabil), kaldes e σ-algebra af delmægder i E eller kort e σ-algebra i E. Dvs. et måleligt rum består altså af e ikke-tom mægde samt e σ-algebra af delmægder. Da E c = viser (1) og (2), at ehver σ-algebra ideholder de tomme mægde, og da { Ai hvis 1 i < A i = B i hvor B i = A hvis i, sikrer (3) ligeledes stabilitet uder edelig foreigsmægdedaelse ( f-stabil), dvs. (4) : A 1,..., A E A i E. Et mægdesystem A i E, der opfylder puktere (1), (2) og (4), kaldes e algebra i E. Ehver σ-algebra er derfor specielt e algebra, hvorimod eksempler (se Øvelse 2.1) viser, 3

8 K a p i t e l 2 M å l r u m at der fides algebraer, der ikke er σ-algebraer. Simpel iduktio viser, at (4) ækvivalet ka formuleres som A, B E A B E. Da daelse af fællesmægde og differesmægde ka udtrykkes ved hjælp af operatioere foreigs - og komplemetærmægdedaelse via formlere A B = (A c B c ) c og A\B = A B c = (A c B) c har vi flg. resultat vedrørede algebraer og σ-algebraer. Lemma 2.1 Ehver algebra A er stabil uder edelig fællesmægde - samt mægdedifferesdaelse, dvs. A, B A A B A og A\B A. Ehver σ-algebra er tillige stabil uder tællelig fællesmægdedaelse. Bevis. Resultatet, der udtrykker at ehver algebra er f-stabil og \ -stabil, følger umiddelbart af formlere A B = (A c B c ) c og A\B = (A c B) c. For er A, B A så er også A c, B c A og dermed A c B c og A c B samt deres komplemet. Tilsvarede viser de geerelle mægdeidetitet ( c A i = Ai) c, at σ-algebraer er c -stabile. For er A i ere elemeter i e σ-algebra E, gælder dette også A c i ere og dermed de tællelige foreigsmægde A c i samt des komplemet. Øvelse 2.1 Sæt E = R. Defier B := {A R A eller A c er tællelig } og A := {A R A eller A c er edelig }. Vis at B er e σ-algebra, og at A er e algebra, me ikke e σ-algebra. Hvis grudmægde E ideholder mere ed to elemeter, fides der midst to forskellige σ-algebraer i E emlig mægdesystemere {, E} og 2 E. Disse udgør hhv. de midste og de største σ-algebra i E, da {, E} E 2 E. for ehver ade σ-algebra E i E. De er dog sjældet iteressate, thi de første er geerelt for lille og de ade for stor, i hvert fald hvis E er overtællelig, dvs. ikke tællelig. Me vi skal u omtale e metode til at kostruere iteressate σ-algebraer. Fremgagsmåde bygger på, at hvis E 1 og E 2 er σ-algebraer i E, så gælder dette også systemet da E 1 E 2 := {B 2 E B E 1 og B E 2 }, 4

9 K a p i t e l 2 M å l r u m (1) E E 1 E 2 da E E 1 og E E 2. (2) A E 1 E 2 A og dermed A c ideholdt i E i for i = 1, 2 A c E 1 E 2. (3) (A ) 1 E 1 E 2 A E i da (A ) 1 E i for i = 1, 2, dvs. A E 1 E 2. =1 =1 Argumetet geeraliserer uædret til e vilkårlig familie af σ-algebraer, og flg. otatio er derfor meigsfuld. Notatio 2.2 For ethvert mægdesystem G i E beteger σ(g) de midste (mht. iklusio) σ-algebra i E, der ideholder G. Dvs. σ(g) = F hvor F geemløber alle σ-algebraer i E, som ideholder G, dvs. G F. ( Da 2 E er e σ-algebra i E, som ideholder G, fides der altid midst et sådat F.) Miimalitetsegeskabe sikrer, at σ(g) = G, hvis G allerede er e σ-algebra, dvs. specielt σ(σ(g)) = σ(g) og ligeledes σ(g 1 ) σ(g 2 ) hvis G 1 G 2. σ(g) beæves aturligt ok som de af G frembragte σ-algebra, og G omtales som frembrigersystemet. Mægdesystemere G c := {G c G G}, G σ := { G i G i G i 1}, G δ := { G i G i G i 1} er alle ideholdt i σ(g), da e ehver σ-algebra er C -, c- og c-stabil. Dvs. σ(g c ), σ(g σ ) og σ(g δ ) er alle ideholdt i σ(g). Me de er alle tre lig σ(g), for da G i = G i og G i = G i for alle valg af G 1,..., G i G, ideholder G σ ehver edelig foreigsmægde og tilsvarede G δ ehver edelig fællesmægde af mægder fra G. Specielt er G ideholdt i både G σ og G δ, og dermed σ(g) σ(g σ ) og σ(g) σ(g δ ), og da ligeledes σ(g) σ(g c ) gælder altså for ethvert mægdesystem G at σ(g) = σ(g c ) = σ(g σ ) = σ(g δ ). (2.1) 5

10 K a p i t e l 2 M å l r u m Eksempel 2.3 Sæt E = R og betragt itervalsystemere Lighedere G 1 = {(a, b) < a < b < } og G 2 = { [ a, b ] < a b < }. [ a, b ] = (a 1/, b + 1/) og (a, b) = =1 [ a + d/, b d/ ] d = (b a)/2 viser samme med (2.1), at σ(g 1 ) = σ(g 2 ). Dee σ-algebra, der også er lig σ-algebrae frembragt af alle itervaller, vil seere blive beteget B(R) og omtalt som Borel σ-algebrae på R. Bortset fra helt specielle tilfælde er det ormalt umuligt at liste elemetere i σ(g). Vi ved blot, at de fides. Me ved at udytte at de er defieret som e miimal σ-algebra, ka vi alligevel vise udsag om selv et vilkårligt elemet i σ(g). Fremgagsmåde bygger på flg. simple ide. Vigtig regel 2.4 For at vise, at alle elemeter i e σ-algebra af type σ(g) har e give egeskab p, er det ok at vise, at ethvert G G har egeskabe p, samt at =1 E p := {A E A har egeskabe p} udgør e σ-algebra i E. For i givet fald har vi altså, at G E p og dermed σ(g) E p, da E p er e σ-algebra, og σ(g) er de miimale, der ideholder G. Eksempel 2.5 Partitios σ-algebraer 1) σ({a}) = σ({a, A c }) = {A, A c,, E}. 2) Hvis {A 1,..., A } udgør e edelig partitio af E, dvs. er parvis disjukte, A i A j = for i = j, og E = A 1 A, er σ({a 1,..., A }) = {B E B = i I A i, I {1,..., }}. # σ({a 1,..., A }) er derfor 2 k, hvor k er atallet af ikke-tomme A i er, dvs. atallet af elemeter i σ({a 1,..., A }) er 2, hvis alle A i ere er ikke tomme. Bevis. 1), der er et specialtilfælde af 2), er oplagt. Sæt G = {A 1,..., A }. Højreside er ideholdt G σ og dermed i σ(g). Der vil derfor gælde =, hvis højreside udgør e σ-algebra. Me dette følger af formlere (partitiosegeskabe bruges ku i de to første) ( ) E = c ( ) A i, A i = A i og A i = A i. i {1,...,} i I i I c =1 i I i =1 I Resultatet geeraliserer med samme argumet til følgede tællelige situatio. 3) Hvis (A i ) i 1 udgør e tællelig partitio af E, dvs. A i ere er parvis disjukte, og deres foreigsmægde er lig E, er σ((a i ) i 1 ) = {B E B = i I A i, I N }. 6

11 K a p i t e l 2 M å l r u m Da 2 N er overtællelig, er σ((a i ) i 1 ) derfor overtællelig, hvis A i = for mere ed edeligt mage i. Hvis mægdere i 2) og 3) ikke er disjukte, er situatioe midre geemskuelig. Betragt et vilkårligt edeligt sæt {A 1,..., A }. Til ehver af de 2 forskellige delmægder I af {1,..., } tilordes mægde B I bestemt ved B I := A i A c i i I i I c hvor i A i og i A c i pr. defiitio sættes lig E. Det ses (overvej), at det herved defierede sæt {B 1,..., B 2 } udgør e edelig partitio af E, samt at σ({a 1,..., A }) = σ({b 1,..., B 2 }). Her er iklusioe oplagt ud fra defiitioe af B I ere, og de ade skyldes at A i = B I i = 1,...,. I: i I Atallet af elemeter i σ({a 1,..., A }) er derfor 2 m, hvor m er atallet af ikke-tomme B i er, specielt er m = 2, hvis alle B i ere er ikke-tomme. Overvejelsere udvider uædret til e følge (A ) 1. Blot skal I her geemløbe alle delmægder af N. Alt i alt har vi hermed vist, at e give σ-algebra E er ete edelig med #E = 2 < for et 1, eller også er de overtællelig. Notatio 2.6 E σ-algebra E siges at være tælleligt frembragt, hvis E = σ((a ) 1 ) for e følge (A ) 1 2 E. Tælleligt frembragte σ-algebraer er i e vis forstad simple. F.eks. er ehver tælleligt frembragt σ-algebra E på forme E = σ(a), hvor A er e algebra betåede af højst tællelig mage elemeter. Hvis E = σ((a ) 1 ) er et muligt valg (eftervis dette) A = =1 σ({a 1,..., A }). Elemetere i E kaldes, som allerede ævt, de målelige mægder, da vi ofte øsker at størrelsesagive dem ved hjælp af ikke-egative reelle tal. Tæk f.eks. på arealet af plae figurer, rumfag af rumlige legemer eller sadsyligheder af hædelser. Det matematiske værktøj til e såda målig er et såkaldt mål eller mere præcist et σ-additivt (syoymt tælleligt additivt) mål. Defiitio 2.7 Lad (E, E) betege et måleligt rum. E fuktio µ : E R + kaldes et mål på E, hvis µ( ) = 0 og µ er σ-additiv dvs. µ( A i ) = µ(a i ) for parvis disjukte A 1,..., A, E. ( Da leddee alle er ikke-egative, er summe altid vel defieret, idet de er lig supremum af afsitssummere.) I givet fald udgør (E, E, µ) tilsamme et målrum. 7

12 K a p i t e l 2 M å l r u m Beteges med m(e) mægde af mål på σ-algebrae E ses, at m(e) er stabil uder multiplikatio med positiv skalar samt edelig og tællelig sumdaelse, dvs. µ 1, µ 2 m(e) µ 1 + µ 2 m(e) og (µ i ) i 1 m(e) µ i m(e). (De sidste implikatio ses lettest ved at udytte, at de idgåede summer, alle er lig supremum af afsitssummere.) m(e) er yderligere stabil uder restriktio, dvs. for ethvert µ m(e) og B E er µ B m(e), hvor µ B (A) := µ(a B) for alle A E. Målee, dvs. elemetere i m(e), iddeles efter størrelse iht. flg. otatio. a) µ er et edeligt mål ( sadsylighedsmål ), hvis µ(e) < (µ(e) = 1). b) µ er et σ-edeligt mål, hvis (A ) E : 1 A = E og µ(a ) < for alle. c) µ er et sum-edeligt mål, hvis µ = i µ i, hvor µ i ere er edelige mål på E. Edelige mål er klart σ-edelige, og ethvert σ-edeligt mål er sum-edeligt. For hvis µ er σ-edeligt og (A ) e tilhørede overdækig beståede af mægder med edeligt mål, så er µ = µ Bi i 1 e beskrivelse af µ som e sum af edelige mål. (B ) er her disjugerige af (A ), dvs. eller sagt aderledes B ere er disjukte og A = B 1 B for alle 1; 1 B 1 := A 1 og B := A \ B i 2. Spørgsmålet om eksistes af mål med forud give specifikke egeskaber udsættes til et seere kapitel. Me vi vil dog straks idføre de såkaldte puktmål. I modsætig til de fleste mere iteressate mål ka disse defieres på hele 2 E. Notatio 2.8 For alle e E beteger δ e afbildige fra 2 E id i R + givet ved δ e (A) := 1 A (e) = { 1 hvis e A 0 hvis e A c for alle A 2 E. δ e kaldes puktmålet (Dirac målet) i puktet e. Et mål af forme i a i δ ei hvor a i > 0 og e i E for i 1, kaldes et diskret mål. Er summe edelig, bruger ma ofte betegelse simpelt mål. 8

13 K a p i t e l 2 M å l r u m Et ært beslægtet mål er det såkaldte tællemål på E, dvs. afbildige # E : A #(A) := atallet af elemeter i A for A 2 E. Ige er der tale om et mål på hele 2 E, og # E er et edeligt hhv. et σ-edeligt mål, hvis og ku hvis E er e edelig hhv. e højst tællelig mægde. Det er vigtigt straks at afdække de geerelle egeskaber ved mål, der ligger gemt i o- veståede defiitio. Resultatere samles i flg. lemma. Lemma 2.9 Lad (E, E) betege et måleligt rum. Ethvert elemet µ i m(e) har da flg. egeskaber. 1) µ er ENDELIG ADDITIV, dvs. µ( A i ) = µ(a i) for ethvert sæt af parvis disjukte A 1,..., A i E. 2) µ er VOKSENDE, dvs. µ(a) µ(b) for ethvert par A B af mægder i E. Mere præcist er µ(b \ A) = µ(b) µ(a) hvis A B og µ(a) <. 3) µ er OPAD KONTINUERT, dvs. µ(a ) µ( 1 A ) for ehver følge (A ) 1 i E, så at A A +1 for alle. 4) µ er NEDAD KONTINUERT på µ-edelige mægder, dvs. µ(a ) µ( 1 A ) for ehver følge (A ) 1 i E, så at A A +1 for alle og if µ(a ) <. 5) µ er ENDELIG - og TÆLLELIG SUBADDITIV, dvs. µ( i A i ) i µ(a i ) for ehver edelig eller tællelig samlig af elemeter (A i ) i E. Bevis. Bevis. 1) fås af de tællelige additivitet avedt på følge A 1,..., A,,,..., og 2) af lighede B = A (B \ A) og dermed ifølge 1) µ(b) = µ(a) + µ(b \ A). 3) Defier B 1 := A 1 og B i := A i \ A i 1 for i 2, dvs. B i ere er parvis disjukte, og B i = A i og B i = A for alle. Ifølge de edelige og tællelige additivitet gælder derfor, at µ( A i ) = µ( B i ) = µ(b i ) = lim µ(b i ) = lim µ(a ). 4) Atag ude tab af geeralitet, at µ(a 1 ) <. Defier B := A 1 \ A 1. B ere er da voksede, og B A 1 \ 1 A. Ifølge 3) og de edelige additivitet gælder derfor, at µ(a 1 ) µ(a ) = µ(b ) µ(a 1 \ A ) = µ(a 1 ) µ( A ), 1 1 og dermed µ(a ) µ( 1 A ). 5) Ifølge 3) er det ok at vise edelig subadditivitet, dvs. pr. iduktio ok at vise at µ(a 1 A 2 ) µ(a 1 ) + µ(a 2 ). Me dette følger af 1) og 2) samt lighede A 1 A 2 = A 1 (A 2 \ A 1 ). 9

14 K a p i t e l 2 M å l r u m Det første Borel-Catelli Lemma Lad (A ) 1 E og µ m(e) være givet. Da gælder µ(a ) < µ(lim sup A ) = 0 hvor lim sup A := =1 Bemærk at lim sup A = { =1 =1 k= 1 A = } = {e e A for uedelig mage }. Bevis. Bevis. Sæt B := k A k for alle 1. Da er (B ) 1 E og B +1 B for 1, og da µ(b 1 ) µ(a ) < =1 ifølge subadditivitete, fås af de viste udgave af edad kotiuitet, at A k. µ(lim sup A ) = µ( B ) = lim µ(b ) lim µ(a k ) = 0. =1 k= Øvelse 2.2 Vis at µ(lim if A ) lim if µ(a ) samt at µ(lim sup A ) lim sup µ(a ) hvis µ( A ) <. Som allerede ævt udyttes et mål µ til at agive størrelse af mægder, såda at forstå at jo større µ(a) er, des større er A. Det er derfor aturligt, at mægder med mål 0 ases for små. Dette giver aledig til e speciel otatio. Notatio 2.10 Lad (E, E, µ) betege et målrum. E delmægde N E siges at være e µ-ulmægde, hvis der fides et B E, så at N B og µ(b) = 0, og mægde af alle µ-ulmægder beteges N µ, dvs. N µ := {N E N er e µ-ulmægde}. Bemærk at ulmægder ikke ødvedigvis er målelige, dvs. elemeter i E. Det ses u- middelbart, at ehver delmægde af e µ-ulmægde ige er e µ-ulmægde, samt at N µ, N µ E = {N E µ(n) = 0} og N µ er c-stabil, Det sidste beror på at ethvert mål er tællelig subadditiv, jævfør Lemma 2.9 pukt 5. Med dette begreb på plads siges e egeskab p(e) vedrørede pukter e i E at holde µ-æste overalt (kort µ-.o.) eller syoymt for µ-æste alle (µ-.a.) e, hvis {e E p(e) ikke sad} N µ. F.eks. hvis f og g er fuktioer defieret på E, betyder f = g µ-.o. derfor, at {e E f(e) = g(e)} 10

15 K a p i t e l 2 M å l r u m er e µ-ulmægde. Tilsvarede betyder f g µ-.o. for reelle fuktioer f og g, at {e E f(e) > g(e)} er e µ-ulmægde, og for fuktioer ( f ) 1 og f defieret på E med reelle værdier betyder f f µ-.o. at {e E f (e) f(e)} N µ. Notatio à la f f µ-.o. for reelle fuktioer betyder altså, at f f µ-.o. samt at f f +1 µ-.o. for alle. Da N µ er c-stabil, ka dette sidste ækvivalet udtrykkes som (bemærk placerige af ) f f +1 for alle µ-.o. Det overlades trygt til læsere at tolke adre ligede udtryk. Vi afslutter dette kapitel med at idføre et vigtigt eksempel på e miimal σ-algebra emlig de såkaldte produkt σ-algebra E F på produktrummet E F, daet ud fra to give målelige rum (E, E) og (F, F). Udtrykt i de idførte otatio er E F := σ({a B A E, B F}), dvs. produkt σ-algebrae er de midste σ-algebra i E F, der ideholder alle produktmægder, hvis sider er målelige. Skøt således frembragt af produktmægder, er det værd at uderstrege, at E F ideholder meget adet ed produktmægder. Til seere brug bemærkes at frembrigersættet, dvs. mægde af kasser med målelige sider, er stabil uder edelig geemsit (syoym for fællesmægde), idet (A 1 B 1 ) (A 2 B 2 ) = (A 1 A 2 ) (B 1 B 2 ). Procedure udvider umiddelbart til situatioer med edeligt eller edog tællelig mage faktorer. For at spare plads bruges ofte otatio som ( E i, E i), og er faktorere es skrives f.eks. ormalt E 2 i stedet for E E. Der gælder flg. associative regel for daelse af produkt σ-algebraer. Lemma 2.11 Lad (E, E) være et måleligt rum. Da er E = E 1 E for ethvert 3. Bevis. Da E 1 E er e σ-algebra på E = E 1 E, er det for at vise iklusioe ok at vise, at ehver frembriger for E ligger i E 1 E. Me dette er umiddelbart da B i = 1 B i B E 1 E for B 1,..., B E. For at vise lighedsteget betragtes mægdesystemet E 1 := {B E 1 B A E for alle A E}. 11

16 K a p i t e l 2 M å l r u m Formlere E 1 A = E E A, B c A = (B A) c og ( ) B i A = (B i A) i= i= viser, at E 1 er e σ-algebra i E 1, og da de ideholder ehver frembriger for E 1, gælder derfor E 1 E 1. Dvs. frembrigersættet for E 1 E er ideholdt i E 1, hvoraf de maglede iklusio umiddelbart følger. Som edu e avedelse af de vigtige regel 2.4 vises, at alle produktmålelige mægder har målelige sektioer. Vi formulerer ku resultatet for produktrum med to faktorer, me det gælder helt geerelt. Lemma 2.12 Lad (E, E) og (F, F) være målelig rum og lad pukter e E og u F være givet. Da gælder for alle U E F at sektioere er målelige, dvs. U(e) := {u F (e, u) U} F og U(u) := {e E (e, u) U} E. Bevis. Vi viser ku de første. Formlere (E F)(e) = F, B c (e) = B(e) c og ( ) B (e) = B (e) =1 =1 viser, at er e σ-algebra i F, og da {B E F B(e) F } { B hvis e A (A B)(e) = hvis e / A for ehver produktmægde følger resultatet oplagt af de vigtige regel på side 6. Øvelse 2.3 Lad E være et mægdesystem i E. Vis at E er e σ-algebra, hvis og ku hvis E er e algebra og -stabil, dvs. A = =1 A E hvis A E og A A Vis tilsvarede at E er e σ-algebra, hvis og ku hvis E er e algebra og -stabil, dvs. A = =1 A E hvis A E og A +1 A 1. Vis edvidere at E er e σ-algebra, hvis og ku hvis E er e algebra og stabil uder tællelig disjukt foreigsmægdedaelse. 12

17 Kapitel 3 Borel σ-algebraer I dette afsit idføres de vigtige målelige rum af type (S, B(S)), hvor (S, d) er et metrisk rum, og B(S) er de tilhørede Borel σ-algebra. Me for at vi på uværede tidspukt ikke skal overbebyrdes med for mage ye begreber, deles afsittet op i to, idet første del udelukkede omhadler tilfældet S = R eller mere geerelt R 2. De geerelle situatio, der behadles i ade del, forudsætter aturligvis kedskab til begrebet metrisk rum (se App. B). Som bekedt defierer d R : (x, y) x y x, y R og d R : (x, y) (x i y i ) 2 x, y R et afstadsbegreb i R hhv. R, som er ikke-egativ, symmetrisk, opfylder trekatsulighede samt er puktadskillede. Dvs. for alle x, y, z R hhv. x, y, z R gælder 1) d R (x, y) = d R (y, x) hhv. d R (x, y) = d R (y, x) 2) d R (x, y) d R (x, z) + d R (z, y) hhv. d R (x, y) d R (x, z) + d R (z, y) 3) d R (x, y) = 0, x = y hhv. d R (x, y) = 0, x = y. d R (, ) og d R (, ) omtales som de euklidiske metrikker på hhv. R og R. Læsere opfordres til at geformulere begrebere puktkoverges og kotiuitet ved brug af d R (, ) og d R (, ). Ved hjælp af de tilhørede åbe kugler b R (x, r) := {y R d R (x, y) < r} x R, r > 0 og b R (x, r) := {y R d R (x, y) < r} x R, r > 0 defieres de såkaldte åbe og lukkede delmægder. Defiitio 3.1 E delmægde U R (R ) siges at være åbe, hvis U = eller x U r > 0 : b R (x, r) U hhv. x U r > 0 : b R (x, r) U. E delmægde F R (R ) siges at være lukket, hvis F c er åbe. 13

18 K a p i t e l 3 B o r e l σ - a l g e b r a e r Trekatsulighede viser, at de åbe kugler vitterligt er åbe, og beteges med U mægdesystemet beståede af alle åbe mægder i R hhv. R, så er U f-stabil og a-stabil, dvs. stabil uder arbitrær foreigsmægde. Udtrykt i formelsprog gælder altså U 1, U 2 U U 1 U 2 U og (U i ) i I U i I U i U. Overgag til komplemetet viser derfor, at mægde af lukkede mægder er f- og a-stabil. Sammehæge mellem de åbe og lukkede mægder betyder, at og tilsvarede σ ({ åbe delmægder af R }) = σ ({ lukkede delmægder af R }) σ ({ åbe delmægder af R }) = σ ({ lukkede delmægder af R }). Disse σ-algebraer kaldet Borel σ-algebrae i hhv. R og R, beteges ormalt B(R) og B(R ), og (R, B(R)) og (R, B(R )) er dermed (meget vigtige) eksempler på målelige rum. Det æste resultat giver e alterativ beskrivelse af de to Borel σ-algebraer. Propositio 3.2 og for 2 B(R) = σ ({b R (x, r) x R, r > 0}) = σ ({ (a, b) < a < b < }) = σ ( { B(R ) = σ ({b R (x, r) x R, r > 0}) ) (a i, b i ) < a i < b i < i = 1,..., } = B(R). Da itervallere af forme (a, b) for < a < b < etop er de åbe kugler i de euklidiske metrik på R, idet b R (x, r) = ] x r, x + r [ og dermed ] a, b [ = b R ((a + b)/2, (b a)/2), er det adet lighedsteg i beskrivelse af B(R) oplagt. Edvidere fås af defiitioe, da de åbe kugler er åbe, at σ ({b R (x, r) x R, r > 0}) B(R) og tilsvarede σ ({b R (x, r) x R, r > 0}) B(R ). Begrudelse for, at der gælder lighedsteg, er, at R og R begge er såkaldte separable metriske rum, dvs. de ideholder e tællelig tæt delmægde eller mere formelt og tilsvarede T R tællelig : T b R (x, r) = for alle x R og r > 0 T R tællelig : T b R (x, r) = for alle x R og r > 0. F.eks. er Q tæt i R og Q tæt i R. Vi formulerer lighedsteget som et selvstædigt lemma. 14

19 K a p i t e l 3 B o r e l σ - a l g e b r a e r Lemma 3.3 Ehver ikke-tom åbe delmægde af R (R ) er e tællelig foreigsmægde af åbe kugler. Dvs. σ ({ åbe delmægder af R }) = σ ({ åbe kugler i R }) σ ({ åbe delmægder af R }) = σ ({ åbe kugler i R }) Bevis. Vi fokuserer på R -tilfældet. Lad U R betege e ikke-tom åbe mægde, og lad (x i ) i 1 være tæt i R. For givet x U fides der, da U er åbe, et j 1, så at b R (x, j 1 ) U. Vælg x i b R (x, (2j) 1 ) og betragt kugle b R (x i, (2j) 1 ). Egeskaber ved d R specielt trekatsulighede sikrer at x b R (x i, (2j) 1 ) b R (x, (j) 1 ) b R (x, j 1 ) U, og dermed ved foreigsmægdedaelse, da x U var vilkårligt valgt, U = i,j I U b R (x i, (2j) 1 ), hvor I U := {(i, j) b R (x i, (2j) 1 U}. Ehver åbe mægde ligger derfor i σ-algebrae frembragt af de åbe kugler, hvoraf reste umiddelbart følger. Bemærkig 3.4 Da der for ethvert 2 og ethvert x = (x 1,..., x ) R og r > 0 gælder b R (x, r/) (x i r/, x i + r/) b R (x, r), viser beviset ligeledes, at ehver åbe mægde er e tællelig foreigsmægde af produktmægder på forme og dermed lighede B(R ) = σ (a i, b i ) hvor < a i < b i < for i = 1,..., ( { (a i, b i ) < a i < b i < i = 1,..., } Propositio 3.2 er derfor fuldt bevist påær det sidste lighedsteg, me her er iklusioe klar, da kasser er produktmægder med målelige sider, og de ade formuleres som edu et selvstædigt lemma. ). Lemma 3.5 B(R) B(R ) for 2. Bevis. Da B(R) = B(R) 1 B(R) ifølge Lemma 2.11 er det ok at vise, at B(R 1 ) B(R) B(R) for 2. Me da 15

20 K a p i t e l 3 B o r e l σ - a l g e b r a e r U 1 U er åbe i R, hvis U 1 er åbe i R 1, og U er åbe i R, følger dette ved e dobbelt avedelse af de vigtige regel på side 6. For først vises at for fast U åbe i R er ved brug af idetitetere A U B(R) for alle A B(R) 1, A c U = (A U) c og ( ) A i U = (A i U), og deræst tilsvarede at for fast A B(R) 1 er A B B(R) for alle B B(R). De to Borel σ-algebraer ka karakteriseres på mage adre måder. Til seere brug fremhæves specielt flg. resultat. Bemærk at de to frembrigersystemer begge er stabile uder edelig geemsit. Lemma 3.6 B(R) er frembragt af mægdesystemet {(, b ] b R}, og B(R ) er frembragt af { (, b i ] b i R i = 1,..., }. Bevis. Vi viser ku det edimesioale tilfælde. Det geerelle går aalogt. Lad B betege σ({(, b ] b R}). Da (, b ] er e lukket mægde, er B σ({lukkede mægder}) = B(R). Det gælder derfor om at vise, at B er stor ok, f.eks. at de ideholder ethvert åbet iterval (a, b). Me dette fås for alle a < b af lighede (a, b) = (, b) \ (, a) = (, b 1/ ] (, a ] c. =1 Korollar 3.7 B(R ) er tælleligt frembragt for ethvert 1. Bevis. For ethvert sæt b i R i = 1,..., fides der følger af ratioale tal (q i k ) k 1, så at q i k b i for i = 1,...,. Dvs. (, b i ] = k=1 (, q i k ], hvoraf påstade følger, da Q og dermed Q er tællelige. Øvelse 3.1 Defier for alle i = (i 1,..., i ) Z og k 0 e såkaldt akseparallel dyadisk kasse D k i := j=1 ((i j 1) 2 k, i j 2 k ]. Vis at {D k i i Z, k 0} { } frembriger B(R ) samt er stabil uder geemsit. Vik: Vis og udyt at ehver åbe mægde ka skrives som e tællelig foreigsmægde af akseparallelle dyadiske kasser. 16

21 K a p i t e l 3 B o r e l σ - a l g e b r a e r Lad u (S, d) betege et geerelt metrisk rum (se App. B) og lad U betege mægde af åbe delmægder af S. Dvs. e delmægde U S er elemet i U, hvis U er tom eller x U r > 0 : b(x, r) := {y S d(x, y) < r} U. b(x, r) beteges de åbe kugle med cetrum x og radius r. (Overvej at b(x, r) er åbe.) Borel σ-algebrae B(S) defieres herudfra som de midste σ-algebra, der ideholder alle åbe mægder, dvs. B(S) := σ(u). Da mægdesystemet U c = {G c G S åbe} pr. defiitio etop er mægde af lukkede delmægder af S, ka B(S) ækvivalet beskrives som de midste σ-algebra, der ideholder alle lukkede delmægder af S. Hvis ikke adet eksplicit siges, er det altid Borel σ-algebrae, ma beytter i et metrisk rum, og ligesom mægde af åbe mægder ædres de ikke ved skift til e ækvivalet metrik. Hvis (S, d) er separabel, dvs. der fides e tællelig delmægde (x i ) i 1 S, så at x S r > 0 i 1 : x i b(x, r) (ma udtrykker dette ved at sige, at (x i ) i 1 er tæt i S), ka B(S) også beskrives, som σ-algebrae frembragt af alle åbe kugler i (S, d). Dee σ-algebra er aturligvis altid ideholdt i Borel σ-algebrae, me som det fremgår af det æste resultat, er de idetiske i det separable tilfælde. Lemma 3.8 Lad (S, d) betege et metrisk rum og lad (x i ) i 1 være tæt i S. Da er ehver ikke-tom åbe mægde U S e tællelig foreigsmægde af åbe kugler, idet U = (i,j) I U b(x i, j 1 ) hvor I U = {(i, j) N N b(x i, j 1 ) U}. Dvs. B(S) = σ({b(x, r) x S, r > 0}). Bevis. Det er klart ok at vise det første udsag. Lad derfor U åbe og ikke-tom være givet. Da iklusioe er klar, lader vi x U være givet. Der fides derfor et j 1, så at b(x, j 1 ) U. Vælg x i b(x, (2j) 1 ) og betragt kugle b(x i, (2j) 1 ). De basale egeskaber ved e metrik, specielt trekatsulighede, sikrer u at x b(x i, (2j) 1 ) b(x, j 1 ) U, dvs. (i, 2j) I U og dermed de postulerede lighed. Bemærk at argumetet mere præcist viser, at B(S) = σ({b(x i, j 1 ) i, j 1}), dvs. B(S) er tællelig frembragt, hvis (S, d) er separabel. Hvis (S, d) er et metrisk rum, er det aturligt at udstyre produktrummet S, dvs. {(x 1,..., x ) x i S i = 1,..., }, 17

22 K a p i t e l 3 B o r e l σ - a l g e b r a e r med e såkaldt produktmetrik, hvor e metrik d på S kaldes e produktmetrik, hvis d- koverges af e puktfølge i S er ækvivalet med d-koverges af de tilhørede koordiatfølger, dvs. hvis lim k x k = x i (S, d) lim k x k,i = x i i = 1,..., i (S, d). hvor x k = (x k,1,..., x k, ) og x = (x 1,..., x ). Produktmetrikker har altså de samme kovergete følger og er derfor ækvivalete. Ud fra defiitioe ses umiddelbart, at de projektiosafbildiger p 1,..., p defieret ved p k (x) = x k x S, k = 1,..., er kotiuerte fra S id i S, år S udstyres med e produktmetrik. Vigtige produktmetrikker er d (x, y) := max 1 i d(x i, y i ), d 1 (x, y) := for x = (x i ) 1 i, y = (y i ) 1 i S (Tæk over dette). d(x i, y i ) og d 2 (x, y) := d(x i, y i ) 2 Bemærk at d R er produktmetrikke d 2 på R daet ud fra det metriske rum (R, d R ). Udyttes at og dermed b d (x, r) = b d (x i, r) x S, r > 0 (x k1,..., x k ) b d (x, r) x ki b d (x i, r) i = 1,...,, for alle x S og r > 0, ses, at hvis (S, d) er separabel med tællelig tæt mægde T = (x i ) i 1, så er de tællelige mægde T = {(x k1,..., x k ) k i 1 i = 1,..., } tæt i (S, d ) og dermed i ehver produktmetrik. Dvs. separabilitet overføres fra (S, d) til S, år dee udstyres med e produktmetrik. S ka altså opfattes både som et produktrum og et metrisk rum. B(S) og B(S ) er derfor begge aturlige σ-algebraer på S. Udskiftes i beviset for Lemma 3.5 det metriske rum (R, d R ) med et geerelt metrisk rum (S, d), ses, at det samme argumet viser iklusioe B(S) B(S ) 2. Dvs. B(S ) er geerelt større ed B(S), me ikke overraskede set ud fra R -tilfældet er de idetiske, hvis S er separabel. dvs. Propositio 3.9 For ethvert separabelt metrisk rum (S, d) er B(S) = B(S ) for 2. Bevis. Iklusioe er allerede vist, og da Borel σ-algebrae er uafhægig af, hvilke produktmetrik der avedes, tækes S udstyret med metrikke d. Som allerede ævt, er kuglere i dee metrik produktmægder, idet b(x, r) = b(x i, r) for r > 0, x = (x 1,..., x ) S. 18

23 K a p i t e l 3 B o r e l σ - a l g e b r a e r Specielt er de elemeter i B(S). Da S, som tidligere ævt, er separabel i d -metrikke, viser Lemma 3.8, at B(S ) er frembragt af mægde af åbe kugler, hvilket derfor alt i alt betyder, at B(S ) = σ({ d -kugler }) B(S). Øvelse 3.2 Lad (S, d) betege et metrisk rum. Vis at ehver lukket mægde F er et tælleligt geemsit af åbe mægder, dvs. e såkaldt G δ -mægde. Vik: Vis og udyt at F = b(x, 1/). =1 G hvor G := x F Overgag til komplemetet viser derfor, at ehver åbe mægde er e tællelig foreigsmægde af lukkede mægder, eller syoymt e F σ -mægde. Som afslutig skal det bare æves, at hvis A er e ikke-tom delmægde af et metrisk rum (S, d), så er (A, d) ige et metrisk rum, og de tilhørede Borel σ-algebra B(A) opfylder B(A) = {A B B B(S)}. Lighede idses ved at vise, at højreside er e σ-algebra i A, samt at e delmægde U A er åbe i (A, d), hvis og ku hvis U = A Ũ hvor Ũ er åbe i (S, d). Bemærk at (A, d) er separabel, hvis (S, d) er separabel. For hvis (x ) 1 er tæt i (S, d), så er, idet y beteger et fast pukt i A, (y,k ),k 1 tæt i (A, d), hvor for give, k 1 puktet y,k er valgt i hht. y,k A b(x, 1/k) hvis dee mægde er ikke-tom og y,k = y ellers. 19

24 Kapitel 4 Mål, idetifikatio og etydighed Hvis ma skal beskrive et mål eller ækvivalet vise idetitet af to mål, skal ma i pricippet agive værdiere på ehver mægde i de relevate σ-algebra. Set i lyset af at ma sjældet har total kedskab til ethvert elemet i e σ-algebra, syes dette at være e umulig opgave. Vi skal derfor i dette afsit vise, at der fides e ade brugbar og effektiv metode. Resultatet tager sit udgagspukt i, at σ(g) ka beskrives på e alterativ simplere måde, hvis frembrigersystemet G er stabil uder edelig geemsit (syoym for fællesmægde), dvs. hvis A, B G A B G. For at lette forståelse idføres edu lidt otatio. Notatio 4.1 Et mægdesystem D 2 E, hvor E er e ikke-tom mægde, kaldes et d- system, hvis a) E D b) A, B D og B A A\B D c) (A ) 1 D og A A +1 for 1 =1 A D. Da B c = E\B sikrer a) og b), at d-systemer er C-stabile og ideholder. Pukt c) udtrykkes, som allerede ævt, ved at sige, at D er -stabil, og da D er C -stabil, er de ligeledes -stabil, for =1 A = ( =1 A c ) c og A c hvis A. Dvs. d-systemer er både -stabile. I lighed med tidligere defieres for ethvert G 2 E D(G) := D hvor D geemløber alle d-systemer i E ideholdeder G, dvs. G D. Argumeter af samme type, som brugt i forbidelse med σ(g), viser, at D(G) er det midste d-system, som ideholder G. Med dee otatio på plads gælder u 20

25 K a p i t e l 4 M å l, i d e t i f i k a t i o o g e t y d i g h e d Dyki s Lemma Hvis G 2 E er stabil uder edelig geemsit, dvs. f-stabil, er σ(g) = D(G). Bevis. Da ehver σ-algebra er et d-system, er iklusioe klar, og de ade følger pr. defiitio af σ(g), hvis vi viser, at D(G) er e σ-algebra, dvs. opfylder (1), (2) og (3) på side 3. Her er (1) og (2) allerede klaret. Hvad agår (3) viser de geerelle idetitet ( ) B = B k, =1 =1 at c-stabilitet og f-stabilitet er det samme for -stabile mægdesystemer, og da D(G) er -stabil, magler vi derfor ku at vise, at D(G) er stabil uder edelig foreigsmægdedaelse. Me da D(G) er stabil uder komplemetærmægdedaelse, er dette, da A B = (A c B c ) c, ækvivalet med at vise stabilitet uder edelig fællesmægde daelse, dvs. implikatioe k=1 A, B D(G) A B D(G). Lad hertil G G være givet. Betragt flg. delmægde af D(G) D(G) := {B D(G) B G D(G)}. Udyttes at D(G) er et d-system, ses umiddelbart at D(G) ligeledes er et d-system, og da de pr. atagelse ideholder G, er de lig D(G). Dvs. G B D(G) for alle G G og B D(G). Vælg deræst et A D(G) og defier tilsvarede D(A) := {B D(G) A B D(G)}. Ifølge det etop viste er G D(A) D(G), og da D(A) tilsvarede ses at være et d- system, er D(A) = D(G). Da dette gælder for ethvert A i D(G), har vi hermed vist de øskede stabilitet uder edelig fællesmægde daelse. Bemærkig 4.2 Da σ(g { }) = σ(g) og ligeledes D(G { }) = D(G) er det ok at G { } er stabil uder edelig geemsit. Ved hjælp af Dyki s Lemma ka vi u vise flg. vigtige etydighedsudsag agåede mål på et måleligt rum (E, E). Propositio 4.3 To edelige mål µ og ν på E med samme totale masse, dvs. µ(e) = ν(e), er idetiske, hvis de er es på et mægdesystem G, hvor G { } er stabil uder edelig geemsit og frembriger E, dvs. A, B G A B G { } og σ(g) = E. Korollar 4.4 To mål µ og ν på E er idetiske, hvis de stemmer overes på et mægdesystem G, hvor G { } er stabil uder edelig geemsit, frembriger E og ideholder e følge (G ) 1, så at µ(g ) < for alle 1 og G E, dvs. G G +1 og E = G. Bevis. Atagelse om at µ(e) = ν(e) < viser samme med puktere 2) og 3) i Lemma 2.9, at D := {B E µ(b) = ν(b)} er et d-system, og da G D pr. atagelse fås af Dyki s Lemma, at 21

26 K a p i t e l 4 M å l, i d e t i f i k a t i o o g e t y d i g h e d E = σ(g) = D(G) D og dermed µ = ν. Vedrørede korollaret sikrer atagelsere, at restriktiosmålee µ G og ν G for ethvert har edelig masse og opfylder µ G (E) = µ(e G ) = µ(g ) = ν(g ) = ν(e G ) = ν G (E) og µ G (G) = µ(g G ) = ν(g G ) = ν G (G) for alle G G. Ifølge Propositio 4.3 er µ G og ν G derfor es for alle, hvoraf idetitete µ = ν følger ved græseovergag. For da mål er opad kotiuerte, kovergerer µ G (A) = µ(a G ) µ(a) og tilsvarede ν G (A) ν(a) for alle A E. Kombieres Propositio 4.3 og Lemma 3.6 ses, at et ethvert edeligt Borel mål µ på R hhv. R er etydigt bestemt ved fuktioere x µ((, x ] ) hhv. x µ( (, x i ] ). Med baggrud i Propositio 4.3 samt korollar har flg. defiitioer god meig. Defiitio 4.5 Lebesgue mål For ethvert 1 beteges med λ det etydigt bestemte σ-edelige mål på (R, B(R )), som opfylder ( ) λ (a i, b i ) = (b i a i ) for alle a i < b i i = 1,...,. λ kaldes Lebesgue målet på R, me i dimesioere 1, 2 og 3 bruges ofte betegelsere lægde -, areal - eller rumfagsmålet. Etydighede er som ævt klar, hvorimod eksistese for uværede er uafklaret. Me lad os allerede her bemærke, at Lebesgue målee er traslatiosivariate, dvs. λ (A) = λ (A + x) for alle x R og A B(R ). Lad hertil x R være givet. Da A + x = {y + x y A} for ethvert A B(R ) er (A + x) (B + x) = hvis A B = og ( ) (A i + x) = A i + x. Dvs. A λ (A + x) er et mål på (R, B(R )), og det er lig λ, da ( ) λ (a i, b i ) + x for alle a i < b i i = 1,...,. ( ) = λ (a i + x i, b i + x i ) = 22 (b i a i )

27 K a p i t e l 4 M å l, i d e t i f i k a t i o o g e t y d i g h e d Defiitio 4.6 Produktmål Lad (E, E, µ) og (F, F, ν) betege σ-edelige målrum. µ ν, omtalt som produktmålet med margialer µ og ν, beteger da det etydigt bestemte σ- edelige mål på produktrummet (E F, E F), som opfylder µ ν(a B) = µ(a) ν(b) A E, B F. Tilsvarede beteger µ 1 µ for give σ-edelige målrum (E i, E i, µ i ) 1 i det etydigt bestemte σ-edelige mål på produktrummet (E 1 E, E 1 E ), som opfylder µ 1 µ (A 1 A ) = µ i (A i ) for alle A i E i i = 1,...,. Ige er etydighede klar ifølge korollaret til Propositio 4.3, hvorimod eksistese er uafklaret. Vi skal dog seere vise, at både produkt- og Lebesgue målee eksisterer. Øvelse 4.1 Vis at λ +1 = λ λ 1 = λ 1 λ 1 (= λ (+1) 1 ) for alle. Øvelse 4.2 Lad G betege et mægdesystem i E. Defier Mo(G) := M hvor M geemløber alle -stabile mægdesystemer ideholdede G. Vis at Mo(G) er stabil og kokluder herudfra, at Mo(G) er det midste mægdesystem, der ideholder G og er stabil. Vis edvidere at Mo(A) = σ(a), hvis A er e algebra. Vik: Vis at Mo(A) er e algebra, dvs. C-stabil og f-stabil. Kopier bevistekikke avedt i Dyki s Lemma. Øvelse 4.3 Lad (S, d) betege et metrisk rum. Vis at B(S) = Mo(G), hvor G ete er mægde af alle åbe mægder eller mægde af alle lukkede mægder. Vik: Udyt Øvelse 3.2 samt fremgagsmåde i Øvelse 4.2. Øvelse 4.4 Lad (E, E, µ) være et edeligt målrum og A E e algebra, så at E = σ(a). Vis at ǫ > 0 B E B ǫ A : µ(b B ǫ ) < ǫ. Vik: Betragt A := {B E ǫ > 0 B ǫ A : µ(b B ǫ ) < ǫ}. Overvej at A er C -stabil samt -stabil og ideholder A. Aved deræst Øvelse 4.2. Vis edvidere at σ(e N µ ) = {B E B E : B B N µ }, og at µ udvider til et mål µ på σ(e N µ ) via fastsættelse σ(e N µ ), hvor B E 1 er valgt så at B B N µ. µ(b) := µ(b ) for B Øvelse 4.5 Lad µ betege et traslatiosivariat Borel mål på R, dvs. for alle x R og A B(R ) er µ(a) = µ(a + x). Vis med otatioe fra Øvelse 3.1, at µ(d k i ) = 2 k µ(d 0 1 ) = λ (D k 1 ) µ(d0 1 ), 23

28 K a p i t e l 4 M å l, i d e t i f i k a t i o o g e t y d i g h e d hvor 1 = (1,..., 1). Slut heraf at µ = µ(d 0 1 ) λ hvis µ(d 0 1 ) <. Dvs. λ er op til e kostat det eeste traslatiosivariate mål på R, som er edelig på ehver kasse. Bemærk at tællemålet # R er traslatiosivariat. 24

29 Kapitel 5 Mål på metriske rum Lad (S, d) være et metrisk rum og B(S) de tilhørede Borel mægder. Da B(S) pr. defiitio er frembragt af mægde af åbe hhv. mægde af lukkede delmægder af S, er ethvert edeligt Borel mål ifølge Propositio 4.3 etydigt bestemt ved sie værdier på de åbe hhv. de lukkede mægder, da begge disse mægdesystemer er lukkede uder edelig geemsit. Det æste resultat præciserer dette. Propositio 5.1 Lad µ betege et edeligt mål på (S, B(S)). Da er hvor µ(a) = µ(a) = µ(a) for ethvert A B(S), µ(a) := sup{µ(f) F A, F lukket} og µ(a) := if{µ(u) A U, U åbe}; eller ækvivalet, for alle A B(S) fides der åbe mægder (U ) 1 og lukkede mægder (F ) 1, så at F σ := F A, U δ := =1 U A og µ(u δ \ F σ ) = 0. =1 Resultatet bekrives ofte ved at sige, at µ er idre regulær mht. de lukkede mægder og ydre regulær mht. de åbe mægder. I tilfældet S = R ses ved restriktio, at resultatet gælder uædret for ethvert mål, som er edelig på ethvert edeligt iterval, dvs. specielt for Lebesgue målet. Bevis. Øvelse 4.2 viser, at det er ok at vise, at B := {A B(S) µ(a) = µ(a) = µ(a)} er -stabil samt ideholder alle lukkede mægder. Det sidste er åbebart, da ehver lukket mægde ifølge Øvelse 3.2 er et aftagede tælleligt geemsit af åbe mægder. Da e Borel mægde A ligger i B, hvis og ku hvis der for alle ǫ > 0 fides e åbe mægde U ǫ og e lukket mægde F ǫ så at F ǫ A U ǫ og (µ(u ǫ ) µ(a)) (µ(a) µ(f ǫ )) < ǫ, 25

30 K a p i t e l 5 M å l p å m e t r i s k e r u m er B stabil uder komplemetærmægdedaelse. For hvis A B og F ǫ lukket og U ǫ åbe for et givet ǫ > 0 er valgt, så at F ǫ A U ǫ og (µ(u ǫ ) µ(a)) (µ(a) µ(f ǫ )) < ǫ, så er U c ǫ lukket og F c ǫ åbe og U c ǫ A c F c ǫ samt, da µ(b c ) = µ(s) µ(b) for alle B B(S), (µ(f c ǫ) µ(a c )) (µ(a c ) µ(u c ǫ) = (µ(u ǫ ) µ(a)) (µ(a) µ(f ǫ )) < ǫ. Stabilitete uder komplemetærmægdedaelse betyder, at det er ok vise -stabilitet. Lad derfor (A ) 1 B så at A A +1 for 1 være givet og sæt A = =1 A. Da µ(a ) µ(a) ka vi for givet ǫ > 0 bestemme et 0 og et F 0 A 0 lukket, så at µ(a) ǫ/2 µ(a 0 ) og µ(a 0 ) ǫ/2 µ(f 0 ). Me dette betyder, at µ(a) ǫ µ(f 0 ) og dermed µ(a) = µ(a). Ligeledes ka vi bestemme åbe mægder U, så at A U og µ(u \ A ) = µ(u ) µ(a ) ǫ 2 1. ( ) U := U = U k er da åbe og ideholder A, og da =1 =1 k=1 µ(u) = sup sup µ( k=1 U k ) sup µ( k=1 U k \ k=1 A k ) + sup µ(u k \ A k ) + sup µ(a ) = ǫ + µ(a), k=1 har vi også µ(a) = µ(a). Dvs. alt i alt det øskede resultat. µ( k=1 A k ) I R er kompakthed som bekedt det samme som at være lukket og begræset. Ehver lukket mægde i R er derfor e voksede foreigsmægde af kompakte mægder Oveståede resultat ka derfor i tilfældet S = R skærpes til, at ethvert edeligt Borel mål µ på R er idre regulær mht. de kompakte mægder. Dette resultat geeraliserer til alle polske rum, hvor et metrisk rum (S, d) siges at være et polsk rum, hvis der fides e ækvivalet separabel fuldstædig metrik. Der gælder emlig flg. geerelle korollar til oveståede resultat. Korollar 5.2 Lad (S, d) være et polsk rum. Da er ethvert edeligt Borel mål µ på S idre regulær mht. de kompakte mægder, dvs. for alle A B(S) er µ(a) = sup{µ(k) K A, K kompakt}. Bevis. Da kompakthed, separabilitet og Borel σ-algebra bevares ved overgag mellem ækvivalete metrikker, ka og vil vi atage, at d er fuldstædig. Set i lyset af de ovefor viste regularitet mht. lukkede mægder er det ok at vise, at µ(f) = sup{µ(k) K F kompakt} 26

31 K a p i t e l 5 M å l p å m e t r i s k e r u m for ehver lukket delmægde F S. Me hertil er det ok at betragte tilfældet F = S, dvs. vise µ(s) = sup{µ(k) K S kompakt}, thi for ehver kompakt mægde K og ehver lukket mægde F er K F kompakt og F \ (K F) S \ K. Lad ǫ > 0 være givet og lad (x i ) i 1 betege e følge af pukter, som er tæt i S. Tæthede betyder, at S = b(x i, 1/) for ethvert, og da µ er opad kotiuert og edeligt, fides der for ethvert 1 et k 1, så at (( ) k c ) µ b(x i, 1/) ǫ 2. Betragt u mægde K ǫ := k =1 b(x i, 1/). K ǫ er pr. defiitio lukket, og da de tydeligvis er d-total begræset, er de derfor kompakt, da d er fuldstædig (se Appediks B); og da µ(s) µ(k ǫ ) = µ(k c ǫ) (( ) k c ) µ b(x i, 1/) ǫ =1 er påstade vist. Borel σ-algebrae i et separabelt metrisk rum er, som tidligere vist, frembragt af mægde af kugler. Det er derfor aturligt at spørge om, hvorvidt et mål er etydigt bestemt ved sie værdier på kugler. Spørgsmålet er geerelt vaskeligt at besvare, da mægde af kugler ikke er stabil uder edelig geemsit. Me i afsittet Separatio af edelige Borel mål vises, at ethvert edeligt Borel mål i R er etydigt bestemt ved sie værdier på euklidiske kugler. 27

32 Kapitel 6 Målelige fuktioer Som ævt blev mål itroduceret som et værktøj til at måle størrelse af målelige mægder, me som vi skal se i æste afsit, iducerer de via det tilhørede itegral også et størrelsesmål på e stor klasse af reelle fuktioer, de såkladte målelige fuktioer. Skøt vi i forbidelse med itegralteorie hovedsageligt er iteresseret i reelle fuktioer, vil vi med heblik på seere brug idføre målelighedsbegrebet i e mere geerel sammehæg. I det følgede beteger (E, E) og (F, F) målelige rum. Som det er aturligt i mage matematiske sammehæge, betragtes afbildiger mellem E og F, som harmoerer med de give målelige struktur. Disse såkaldte målelige afbildiger defieres som følger. Defiitio 6.1 E fuktio f : E F siges at være målelig, mere præcist (E, F)-målelig, hvis f 1 (F) := { f 1 (B) B F} E, dvs. hvis f 1 (B) := {e E f(e) B} E for alle B F. E fuktio er altså målelig, hvis og ku hvis urbilledet af ehver målelig mægde i F er e målelig mægde i E. Vi vil i dette afsit udlede forskellige egeskaber ved målelige fuktioer samt i vigtige specialtilfælde udersøge, hvorda målelighed eftervises. Som bekedt bevares de gægse mægdeoperatioer uder daelse af iversbillede, specielt er f 1 ( i A i ) = i f 1 (A i ) og f 1 (A c ) = f 1 (A) c. Dette viser (overvej), at for ehver fuktio f : E F er og dermed { f 1 (B) B F} e σ-algebra i E og {B F f 1 (B) E} e σ-algebra i F M1 For ethvert mægdesystem G i F er f 1 (σ(g)) = σ( f 1 (G)). For da vestreside, som lige ævt, er e σ-algebra i E, som omfatter f 1 (G), da G er ideholdt i σ(g), er iklusioe klar. De ade følger af, at {B σ(g) f 1 (B) σ( f 1 (G))} = {B F f 1 (B) σ( f 1 (G))} σ(g) er e σ-algebra i F, som ideholder G og dermed σ(g). Heraf fås flg. vigtige regel. 28

33 K a p i t e l 6 M å l e l i g e f u k t i o e r M2 Hvis F = σ(g) for et mægdesystem G i F, så gælder for f : E F, at f er (E, F)-målelig f 1 (G) E for alle G G. Hvis (F 1, F 1 ) er edu et måleligt rum og f : E F og g : F F 1 er give fuktioer, viser reglere for daelse af urbillede, at (g f) 1 (B) = f 1 (g 1 (B)) for alle B F 1. Heraf fås edu e vigtig egeskab ved målelige fuktioer. M3 Målelighed bevares ved sammesætig, dvs. g f er (E, F 1 )-målelig, hvis f er (E, F)- målelig, og g er (F, F 1 )-målelig. Ide vi går videre med teorie om målelige fuktioer, vil jeg gaske kort omtale e simpel me meget vigtig kostruktio, som viser, at ma ved hjælp af målelige afbildiger ka overføre et mål fra et måleligt rum til et adet. Lad hertil f : E F betege e målelig afbildig. Da urbilledet af e parvist disjukt foreigsmægde er de parvise disjukte foreigsmægde af de ekelte urbilleder, defierer fastsættelse µ f (B) := µ( f 1 (B)) B F for ethvert µ m(e) et mål på (F, F). For er (A ) 1 e følge af parvis disjukte elemeter i F, så er ( f 1 (A )) 1 parvis disjukte mægder i E og f 1 ( og derfor ( µ f ( A ) = µ( f 1 A )) = µ( f 1 (A )) = =1 =1 =1 =1 A ) = =1 µ( f 1 (A )) = =1 f 1 (A ), µ f (A ). =1 µ f eller syoymt µ f 1 kaldes billedmålet af µ ved afbildige f. Dvs. ehver målelig afbildig f iducerer e afbildig m(e) µ µ f 1 m(f). Edelige mål afbildes herved oplagt i edelige mål, da de totale masse bevares, og derfor tilsvarede sum-edelige i sum-edelige. Derimod bevares σ-edelighed ikke ødvedigvis uder billedmåldaelse. Øvelse 6.1 Lad for r > 0 og y R ϕ r,y betege de kotiuerte afbildig i R givet ved ϕ r,y (x) = r x + y for x R. Vis at λ ϕ 1 r y = r λ. Vik: Udreg værdie på kasser. Tilfældet (F, F) = (R, B(R)) er særligt vigtigt og i forbidelse hermed idføres e speciel otatio, idet mægde af målelige reelle fuktioer defieret på (E, E) beteges M(E), dvs. M(E) := { f : E R f er (E, B(R))-målelig}. 29