a b cos. n=1 er positiv på N. Vi kan nu benytte sammenligningskriteriet (sætning ) og sammenligne 2a sin ( )

Størrelse: px

Starte visningen fra side:

Download "a b cos. n=1 er positiv på N. Vi kan nu benytte sammenligningskriteriet (sætning ) og sammenligne 2a sin ( )"

Magdalene Holmberg
4 år siden
Visninger:

1 Opgve Vi skl bestemme de tlpr (, for hvilke række b cos = er koverget. Først beytter vi divergeskriteriet (sætig 2..4) til t kræve t leddee må gå mod ul for gåede mod uedelig. Dette giver os t = b cos() = = b. Vi vil derfor ku se på tilfældet hvor = b, vi k derfor trække kostte udefor række og beytte e trigoometrisk idetitet til t skrive om på række cos = 2 si 2. 2 I række betrgter vi værdier f si 2 i itervllet ], ]. På dette itervl gælder = si()for ], ] si for N 2 si 2 si hvor jeg hr brugt t er stregth mootom på N, smt t både og si ( 2 2) er positiv på N. Vi k u beytte smmeligigskriteriet (sætig 2.2.6) og smmelige 2 si 2 2 med 2. Vi hr lige vist t si2 2 for lle N. Vi ved fr sætig t =/2 kovergerer og fr sætig 2..7 t e kostt gge e koverget række giver e koverget række. Smmeligigskriteriet giver os u t række 2 si 2 2 = = er koverget for lle. For = b er dee række lig b cos. 2

2 D vi llerede hr fr divergeskriteriet t række er diverget for b k vi u kokludere t række er koverget for lle tlpr (, hvorom der gælder t = b. Vi skl vise t række = (!) p er koverget for ethvert p >. Vi beytter forholdsteste for positive rækker (sætig 2.2.2) og betrgter forholdet [( + )]! p p p! = =. (!) p ( + )! + Vi ser u t græseværdie for f dette forhold eksisterer for p >. Vi betrgter dee: p = = <. + D <, giver forholdsteste for positive rækker t række er koverget. Vi hr u vist t række (!) p er koverget for ethvert p >. = Vi skl vise t der for p > gælder t række =2 ( ) (l ) p er koverget, me ikke bsolut koverget. Vi viser først t er ftgede for 2 og går mod ul for år p >, og (l ) p t række er ltererede. d d (l ) = p p (l ), p+ ltså er er ftgede 2 og p >. D (l ) p for ses det klrt t (l ) p for. Sidst ses det t række er ltererede d hvert led er et produkt (l ) p ( ) og som er positiv for 2. (l ) p Test for ltererede rækker (sætig 2.3.) giver os så t række er koverget. For t teste bsolut koverges betrgter vi ( ) (l ) p = (l ), p =2 3 =2

3 dee vil vi u smmelige med =2 (sætig 2.2.8). / og bruge græsesmmeligigskriteriet Vi observerer først t begge rækker er positive og t =2 / er diverget. Sætig 2..9 giver os t vi k øjes med t bekymre os om koverges fr = 2. D p > giver sætig t ikke er bsolut koverget. (l ) p = (l ) p. (l ) p =2 for. Vi hr derfor t række ( ) (l ) p Opgve 2 Vi skl vise t hvis = er e koverget række med positive led, d er række = ( ) p koverget for ethvert p. Divergeskriteriet (sætig 2..4) giver os t hvis = er koverget går for, d er positiv, må der gælde t der eksisterer et N N således t for ethvert N gælder t <. Sætig 2..9 giver os så t hvis =N ( ) p er koverget er = ( ) p koverget. For N og p gælder t ( ) p. D = er koverget er også =N koverget. D ( ) p for N og p, giver smmeligigskriteriet (sætig 2.2.6) os u t =N ( ) p er koverget for p, og derfor er også = ( ) p koverget for ethvert p. Vi skl give et eksempel på e række = b med positive led, for hvilke = b og = (b ) 2 er divergete, mes = (b ) 3 er koverget. Vi ved fr sætig t række =/p er koverget hvis og ku hvis p >. Vi vælger derfor b = / /2. Dette giver t (b ) 2 = / og t (b ) 3 = / 3/2. Sætig giver os d t = b og = (b ) 2 er divergete, mes = (b ) 3 er koverget. Vi skl give et eksempel på e koverget række = c, for hvilke = (c ) 2 er diverget og = (c ) 3 er bsolut koverget. Vi ved fr sætig 2.3. t ehver ltererede række er koverget hvis des led går mod for, og de er ftgede. Vi bruger dette smme med resulttet fr delspørgsmål i dee opgve til t vælge c = ( ) / /2. Vi hr så t = c er koverget idet de er ltererede, ftgede og c for, og per sætig t = (c ) 2 er diverget idet (c ) 2 = /, smt per sætig t = (c ) 3 er koverget idet (c ) 3 = / 3/2. 4

4 Opgve 3 Vi skl vise t for < < π 2 er det uegetlige itegrl si d koverget. Vi vil gere beytte græsesmmeligigskriteriet for uegetlige itergrler (sætig 9.5.3), me k ikke umiddelbrt d det gælder år de ee græser er uedelig. Me d itegrtio fr et pukt hvor itegrde ikke er defieret (defiitio 9.5.6) er opbygget helt logt til itegrtio til uedelig (defiitio 9.5.) k m ude problemer omskrive beviset for sætig til t gælde i vores tilfælde. Vi bemærker t på itervllet er si positiv, vi vælger t smmelige med fuktioe /. si = si, i græse er dette et /-udtryk så vi beytter L hôpitls regel, og betrgter 2 2 cos = cos Vi ser ltså t græseværdie for eksisterer og er si = cos = <. D sætig giver os t d /2 kovergerer. Sætig giver os så t Vi sætter u kovergerer, k vi kokludere t også d si kovergerer. d /2 = / si d, for N og skl vise t for. I delopgve viste vi t si d er koverget for lle < < π2. Der gælder derfor t / si d er koverget, for lle N. Så giver defiitio t vi k skrive / si d = si d + / si d, 5

5 lder vi her ædrer vi ikke på itegrlets værdi, og derfor må græse eksistere. Vi tger u græseværdie [ / ] si d = si d + / si d / si d = si d = / / si d = =, vi hr u vist t for. Vi skl vise t række = er diverget. Vi betrgter række = b hvor b = / si d + si d + d, for N. / si d si d Sætig giver os t dette itegrl er koverget. Vi udfører derfor itegrlet og får b = / d = [2 ] / = 2, for N. Sætig giver os u t række = b er diverget. Vi ved t på itervllet [, ] er si si / d / b, si d hvor vi hr brugt t fuktioere er positive på itervllet. Vi k u bruge smmeligigskriteriet (sætig 2.2.6) d både = og = b er positive rækker. Idet b for lle og = b divergerer, divergerer = også. 6

Relaterede dokumenter

Opgave 1. a) f : [a, b] R er en begrænset funktion for hvilken. A ε = {x [a + ε, b] f(x) 0}

Opgave 1. a) f : [a, b] R er en begrænset funktion for hvilken. A ε = {x [a + ε, b] f(x) 0} Opgve ) f : [, b] R er e begræset fuktio for hvilke er edelig for ethvert < ε < b. Vi skl vise t f er itegrbel og t A ε = { [ + ε, b] } d =. Vi bemærker først t f er itegrbel på [, b] hvis og ku hvis de