Analytisk modellering af 2D Halbach permanente magneter

Analytsk modellerng af 2D Halbach permanente magneter Kaspar K. Nelsen kak@dtu.dk, psjq@dtu.dk DTU Energ Konverterng og -Lagrng Danmarks Teknske Unverstet Frederksborgvej 399 4000, Rosklde, Danmark 17. marts 2015 1 Introdukton Permanente magneter spller en stadg større rolle det moderne energ-landskab. Udvklngen af stærke permanente magnet-materaler har været ganske markant over de seneste 30 år. Materalet FeNdB jern-neodynum-bor) har den hdtl bedste ydeevne forhold tl størrelsen på det magnetfelt, som det kan skabe. Det er dette materale man bruger f.eks. vndmøller, el-bler og andre anvendelser hvor en højt ydende konverterng mellem mekansk arbejde og strøm er påkrævet med et relatvt llle volumen tl rådghed. I denne opgave skal v udvkle teoren for såkaldt Halbach magneter [1] to dmensoner og baserede på FeNdB permanent magnetsk materale. Først ndleder v dog med en opgave, der handler om at beregne magnetfeltet nærheden af en uendelg lang lge leder hvor der løber en konstant strøm, I. Teoren for elektromagnetsme er uhyre velbeskrevet og de fre Maxwell lgnnger udgør den centrale selv-konsstente teor. Udlednngen, eller rettere tlblvelsen af dem, er kke emnet her; det lærer du måske om senere dt stude på DTU. Men v kan bruge den af Maxwell lgnngerne, som beskrver sammenhængen mellem en strømtæthed, J, og den magnetske fluxtæthed, B: RotB) = µ 0 J + µ 0 ϵ 0 E t. 1) Dette er den fjerde Maxwell lgnng sn endelge form. Udover den magnetske fluxtæthed og strømtætheden, så ndgår det elektrske felt, E, også. Endelg er der to naturkonstanter og dsse hedder henholdvs vacuum permeablteten µ 0 = 4π 10 7 N/A 2 ) og vacuum permttvteten ϵ 0 = 8.85 10 12 C 2 /Nm 2 )). 1 1 Dette hører kke tl opgaverne, men prøv evt. at udregne 1 µ0 ϵ 0. Hvlken anden naturkonstant gver det? 1

y r θ x z Fgur 1: Defnton af koordnatsystemet med kartesske koordnater x, y, z) og cylndrsker koordnater r, θ, z). Det er her vgtgt at skelne mellem skalarer, som står kursv f.eks. tden t) og vektorfelter, som står med normal og fed skrft som f.eks. strømtætheden J). Da v antager, at strømmen den uendelge leder er konstant, så må tdslge varatoner forsvnde. Dermed kan v helt skkert sge, at E t = 0. 2 V kan nu bruge en af udgaverne af analysens fundamentalsætnng, nemlg Stokes sætnng. Denne sger generelt, at overfladentegralet over rotatonen af et vektorfelt er lg med lnentegralet af vektorfeltet langs fladens kant. Matematsk kan det formuleres på følgende måde for et gvet vektorfelt V: RotV)) n F dµ = V e F dµ. 2) F r Se sætnng 27.3 enoterne. Da lederen er lge kan v defnere vores koordnatsystem så en af akserne er langs med lederen vælg f.eks. z-aksen). Opgave 1 Hvad er strømtætheden, J, ndenfor en crkel med radus s og centrum på den uendelge leder? Hnt: Enheden for strømtæthed er A/m 2. Da lederen er uendelg lang kan v sge noget om fluxtæthedens vektorkomponenter. Sammenhængen mellem B og J lgn. 1 dkterer, at B og J må være 2 Selvom strømmen varerede som f.eks. en vekselstrøm, altså med 50 Hz, så vlle dette led stadg være meget tæt på nul; der er tale om en relatvstsk effekt som får stor) betydnng, når der er tale om meget hurtge svngnnger. F 2

ortogonale når der kke er en tdslg ændrng det elektrske felt, E t = 0).3 Da strømtætheden kun har én komponent, nemlg z-retnngen, altså J = 0, 0, J z ), så kan B altså kun have komponenter hhv. r og θ retnngerne cylndrske koordnater). Se Fgur 1 for en defnton af koordnaterne. V kan også udlede, at r komponenten af B må være nul. Men først skal v udlede rotatonen cylndrske koordnater. Man kan vse, at rotatonen af et vektorfelt, V = V 1, V 2, V 3 ) et retvnklet tre-dmensonelt koordnatsystem er gvet ved følgende udtryk: h 1 1 î h 2 ĵ h 3ˆk RotV) = det h 1 h 2 h u 1 u 2 u 3. 3) 3 h 1 V 1 h 2 V 2 h 3 V 3 Her angver î, ĵ og ˆk de ortonormale enhedsvektorer det gvne koordnatsystem. Koordnaterne systemet er angvet ved u 1, u 2 og u 3. Skalarerne h er gvet ved: h 1 = r u 1 4) h 2 = r u 2 5) h 3 = r u 3, 6) hvor r = x, y, z) er vektoren tl punktet x, y, z. Sammenhængen mellem kartesske og cylndrske koordnater kan aflæses udfra Fgur 1. Den er gvet ved: Opgave 2 x = r cos θ 7) y = r sn θ 8) z = z. 9) Fnd h 1, h 2 og h 3 ved brug af ovenstående udtryk. Hnt: u 1 = r, u 2 = θ og u 3 = z. Opgave 3 Brug udtrykkene for h 1, h 2 og h 3 samt lgnng 3 tl at fnde rotatonen af et vektorfelt tre dmensoner) cylndrske koordnater. Hnt: Enhedsvektorerne er î = ˆr, ĵ = ˆθ og ˆk = ẑ. Da v nu har rotatonen af et generelt vektorfelt cylndrske koordnater, kan v bruge dette tl at slutte noget om vektorfeltet ˆB fra den uendelge leder. 3 Det gælder øvrgt generelt, at E og B er ortogonale det udtaler en af de andre Maxwell lgnnger sg om; den kaldes nduktonslgnngen: RotE) = B ). Så B og J er generelt t ortogonale. 3

Der må gælde, at B r z = 0 sden lederen er uendelg lang og, at der dermed kke kan være varaton af B langs lederen. Tlbage er der B r θ. Denne må også være nul p.g.a. symmetr feltet må nødvendgvs være det samme uanset om man drejer lederen om dens akse! Dette betyder altså, at B r er en konstant. Da v må forvente, at B forsvnder når r kan v dermed konkludere, at B r = 0. Tlbage er der altså kun B θ som kke er lg med nul. V kan nu udnytte Stokes sætnng tl at fnde B θ. Opgave 4 Brug Stokes sætnng lgn. 2) hvor V = 0, B θ, 0) sammen med den fjerde Maxwell lgnng 1) tl at fnde B θ r) omkrng en uendelg lang leder med konstant strøm, I. Hnt: Begynd med at betragte en kurve f.eks. en crkel med radus s centreret på lederen) der omkranser lederen. Opgave 5 Plot vektorfeltet B omkrng en uendelg leder for fastholdt z). 2 En Halbach magnet En Halbach magnet er grundlæggende en rng af magnetsk materale med et hul mdten og luft uden om se tegnng på Fg. 2). Den lokale magnetserng Halbach en varerer med de polære koordnater r og θ med følgende udtryk: B rem = Brem,r B rem,θ ) = B rem cospθ) snpθ) ). 10) Her betegner den to-dmensonelle vektor B rem den såkaldte remanens, dvs. magnetens egen magnetske fluxtæthed eller permanente magnetserng, om man vl. B rem betegner størrelsen længden) på denne vektor. Endelg er p en heltallg parameter hvor p 0) som kan være enten postv eller negatv. Denne parameter er helt central for en Halbach magnet. Opgave 6 I første opgave skal vektor-feltet angvet lgn. 10 vsualseres. Brug Maples feldplot og sørg for, at den radelle komponent det polære koordnatsystem går fra f.eks. 1 tl 2, altså så der er et hul mdten. Hvlken betydnng har parameteren p? 2.1 Magnetfeltet udenfor det magnetske materale Under antagelse af, at Halbach en er en uendelg lang cylnder, kan v fortsætte med at arbejde med den to dmensoner. Det er nu nteressant at undersøge 4

a) b) Fgur 2: a) En smpel Hallbach magnet det grå område er magnetsk, resten er luft). Bemærk, at parameteren p afgører, om magnetfeltet fra Halbach en er nde tomrummet mdten eller udenfor. b) Bllede af en rgtg Halbach magnet rent faktsk to som er koaksale). Den ydre magnet er desgnet, så magnetfeltet peger nd mod den ndre magnet, mens denne er desgnet så dens felt peger udaf. Dette mulggør avancerede magnetfelt-profler tomrummet mellem de to magneter. hvordan magnetfeltet udenfor selve det magnetske materale, altså hvor der er en magnetsk remanens B rem, opfører sg. V er dermed nteresserede vektorfeltet B, som normalt kaldes den magnetske fluxtæthed eller ndukton. I ndlednngen blev den fjerde Maxwell lgnng ntroduceret lgn. 1). Strømtætheden, J, kaldes ofte den totale strømtæthed. Det skyldes, at den egentlg er en kombnaton af den fre strømtæthed J f ) og den bundne strømtæthed J b ). Den fre strøm er det v normalt kalder elektrsk strøm det er den, der svarer tl I fra den ndledende opgave. I resten af denne projekt-opgave antager v, at der kke er relatvstske effekter E t = 0) samt, at der kke løber nogen fr strøm. V kan dermed reducere lgn. 1 tl følgende: RotB) = µ 0 J b. 11) Men hvad betyder bundne strømme? Jo, den bundne strøm er et udtryk for såkaldt spn og generelt mpulsmoment de ladede partkler det materale, som man har med at gøre. V kan derfor allerede slutte, at J b = 0 luft eller vakuum). Men magnetske materaler er der rent faktsk en bunden strøm, som kke er nul, og denne stammer prmært fra elektroner og deres spn. Den bundne strøm er tæt forbundet tl begrebet magnetserng, altså hvor magnetsk et materale er. Når man regner på elektromagnetske problemer er det ofte en stor fordel at bruge det såkaldte magnetske vektorpotentale, A. Dette defneres på følgende 5

måde: B = RotA). 12) Man kan ydermere vse, at når der kke er fre strømme, så er RotB) = RotB rem ) 13) Da dvergensen af B altd er nul den 2. af Maxwells lgnnger), kan v altd vælge A således, at DvA) = 0. For at vse dette, skal v først bevse følgende: hvor f er en skalar funkton defneret på R. Opgave 7 Rot f) = 0, 14) Vs, at Rot f) = 0 hvor f R. Hnt: Udnyt at hvor, j = 1, 2, 3. Opgave 8 2 f x x j = 2 f x j x I denne opgave skal v vse, at v altd kan vælge A så dvergensen er 0 eftersom DvB) pr fundamentale naturlove altd er 0). Defnér A = A 0 + f, hvor DvA) 0 0 og f er en skalar funkton defneret på R. Hvad er rotatonen af A da? Efter svaret på Opg. 8 kan v altså slutte, at v kan vælge A eller A 0 frt forhold tl lgn. 12. I det efterfølgende udnytter v denne valgfrhed og vælger A således, at DvA) = 0. Opgave 9 For at komme vdere med lgn. 12 skal v udføre ldt mere vektorregnng. Fnd rotatonen af B fra lgn. 12 13. V har nu en såkaldt 2. ordens partel dfferentalgnng 2 A = RotB rem ) 15) hvor de uafhængge parametre er de polære koordnater, r og θ og v ønsker at fnde komponenterne af vektorfeltet A. I det følgende skal v bruge rotatonen polære koordnater. Denne er gvet ved: RotC) = ˆr [ 1 C z r θ C θ z ] + ˆθ [ Cr z C z r ] + ẑ 1 [ rcθ ) C ] r, 16) r r θ hvor C er et vektorfelt og de tre komponenter hhv. r, θ og z retnngerne er angvet med subscrpt). Enhedsvektorerne er angvet med enˆ. 6

Opgave 10 Brug lgn. 10 og 15 tl at vse, at den eneste af A s komponenter, der kke er nul generelt, er A z. V har nu endelg lgnngen 2 A z r, θ) = RotB rem ). 17) Løsnngen tl lgn. 17 er noget udover pensum man skal bruge Fourer transformatoner bl.a. - dem der har lyst, må meget gerne kgge på det!!). Resultatet er, at den generelle løsnng tl lgn. 17 er gvet ved: A z r, θ) = n=1 Cn r n + D n r n) r snnθ) + B rem snpθ), p 1. 18) Det er vgtgt at understrege, at C n og D n er konstanter for hver værd af n. Da summen lgn. 18 er uendelg kan det vrke uoverskuelgt at få noget fornuftgt ud. Men, ved at defnere et konkret problem med de rette randbetngelser, er det rent faktsk mulgt at reducere udtrykket. Inden v går vdere med løsnngen tl lgn. 18, skal v kgge på hvad en uendelg sum er. Symbolet er sum-tegnet. Det betyder, at det som står ndenfor sum-tegnet vrkelgheden er en sum. Der er så tlknyttet en eller flere) ndeks-varable. I lgn. 18 er dette ndeks kaldet n. Nedenunder sum-tegnet skrver man hvorfra ndekset starter her n = 1) og hvor det slutter her n =, altså uendelg). Det kan godt være ldt underlgt at tale om uendelge summer, for hvordan kan man regne sådan en ud? Den generelle Taylor-række er faktsk en uendelg sum. Den skrves på følgende måde: fa) = n= n=0 f n) a) x a) n, 19) n! hvor notatonen f n) betyder den nte afledte, altså f n) = dn f dx. Som eksempel n betragter v exponentalfunktonen, e x, Taylor-udvklet omkrng punktet a = 0. Da dex dx = ex får v altså Taylor-udvklen af eksponentalfunktonen: e x = n= n=0 e 0 n! xn = 1 + x + x2 2 + x3 n= 6 +... = n=0 I Maple er der en funkton, sum, som netop kan udføre summer. Opgave 11 Brug Maple tl at udregne summen lgn. 20 hvor n = 0... 10. Sæt nu x = 5 og beregn den absolutte forskel på e x og summen gvet lgn. 20. Hvad skal n mndst være for at forskellen fejlen ) blver mndre end 10 10? Hnt: Brug funktonen evalf. x n n! 20) 7

III II I Rc R Ro Re Fgur 3: Tegnng af beregnngsdomænet. Halbach magneten er placeret det grå område mellem r = R og r = R o. Svaret på opgaven sger os, at nok er summen uendelg, men man kan sagtens nøjes med relatvt få led for at få en værd, som kommer ganske tæt på det eksakte resultat. Ldt løst sagt, så kan man sge, at summen konvergerer. Dette vl ganske enkelt sge, at resultatet af summen går mod en fast værd som ndeks tællevarablen n) øges. Der fndes naturlgvs også uendelge summer, som kke er konvergente. Dsse sges at dvergere, altså de ender kke på en fast værd når n. 2.2 Løsnng af den partelle dfferentalgnng V følger tegnngen på Fg. 3 og defnerer altså en regon, som lgger på ntervallet R r R o hvor der er permanent magnetsk materale, som følger udtrykket lgn. 10. For R c r R og R o r R e er der luft eller rettere, vakuum) og der er derfor ngen remanens, dvs. at den relatve permeabltet, µ r, er lg med en. I domænerne hvor 0 r R c samt R e r antages, at µ r =. Det hjælper nu at defnere magnetfeltet H på følgende måde hvor v reelt antager, at materalet er lneært og homogent): B = µ 0 µ r H + B rem. 21) I elektromagnetsme kan man udlede helt generelle randbetngelser for B rem og H. I ndeværende stuaton kan dsse skrves som følgende: Br I = Br II r = R 22) Br II = Br III r = R o 23) Hθ I = 0 r = R c 24) 8

Hθ I = Hθ II r = R 25) Hθ II = Hθ III r = R o 26) Hθ III = 0 r = R e 27) Dsse randbetngelser skal v nu anvende tl at vse, at konstanterne C n og D n forsvnder for n p. Romertallene I, II ogiii refererer tl de tre domæner. Opgave 12 Fnd vektorkomponenterne af B og H, dvs. B r, B θ, H r samt H θ. H r kan dog udelades; den skal kke bruges det følgende. Hnt 1: V kender z-komponenten af vektorfeltet A og sammen med først lgn. 12 og dernæst lgnngerne 18 og 21 kan man fnde komponenterne. Hnt 2: Fnd først komponenterne A z r og A z θ. V har nu fre udtryk, et for hver af de kke-forsvndende komponenter af B og H. I hver af dem ndgår en sum fra n = 1 tl n =. Dsse kan omskrves så ledene hvor n = p føres udenfor summen. For r-komponenten af B resulterer dette følgende: B r = n cosnθ) C n r n 1 + D n r n 1) Opgave 13 n p + p cospθ) C p r p 1 + D p r p 1) + pb rem cospθ). 28) Opskrv de resterende vektorfelts-komponenter samme stl som lgn. 28. Betragter v randbetngelsen lgn. 22 og lgn. 28 får v følgende udtryk: = Br I r = R ) = Br II r = R ) n cosnθ) CnR I n 1 n p n p + DnR I n 1 ) + p cospθ) C pr I p 1 ) + DpR I p 1 n cosnθ) Cn II R n 1 + Dn II R n 1 ) ) + p cospθ) C p II R p 1 + Dp II R p 1 + pb rem cospθ). 29) Bemærk, at der kun er en remanens domæne II, altså nde det magnetske materale. Leddene, som står de to summer, skal gå ud med hnanden led for led, hvlket fører tl CnR I n 1 Cn I = Cn II + DnR I n 1 = C II + R 2n n R n 1 + D II n R n 1 D II n D I n). 30) 9

På tlsvarende vs kan man bruge randbetngelsen for B r mellem domæne II og III dette fører tl: Cn III = Cn II + Ro 2n D II n Dn III ). 31) Opgave 14 Brug vektorfelts-komponenterne fra Opgave 13 sammen med randbetngelserne for H θ tl at opstlle to andre udtryk for Cn I og Cn III. Hnt: Bemærk, at µ r 1 domæne II og, at µ r = 1 domæne I og III. Opgave 15 Brug randbetngelserne for H θ ved hhv. r = R c og r = R e tl at opstlle yderlgere to udtryk hvor Cn I Dn I ndgår det ene mens ndgår det andet). C III n Opgave 16 D III n Brug nu Maple tl at løse de seks lgnnger med seks ubekendte. Det er nu blevet vst, at alle konstanterne C n og D n forsvnder når n p. I det følgende skal v fnde C p og D p for alle tre domæner). V kan nu vælge at stryge subscrptet p, hvlket gør lvet ldt enklere. For randbetngelsen for B r ved r = R får v følgende: p cospθ) C I R p 1 C I R p 1 Opgave 17 + D I R p 1 ) + D I R p 1 = p cospθ) C II R p 1 D II R p 1 C II R p 1 + D II R p 1 + B ) rem = B rem Fnd de resterende fem lgnnger ved brug af randbetngelser for hhv. B r og H θ på randene r = R c, r = R, r = R o, samt r = R e. V har nu seks lgnnger med seks ubekendte C I, C II, C III, D I, D II, D III ). Dette kan skrves på matrxform som R p 1 R p 1... C I B rem p 1 µ r R p 1 R p 1... C II Brem......... C III p 1 B rem......... D I = p 1......... D II B 33) rem p 1 0......... D III 0 32) 10

Opgave 18 Fnd de seks konstanter. Her er det en stor fordel at bruge Maple. Brug f.eks. matrx-nverson eller løs lgnngerne drekte ved hjælp af solve. Løsnngen fra Maple kan være rmelg uoverskuelg. Det er derfor vgtgt at tjekke den. Man kan postulerer v) opskrve de seks konstanter på følgende måde: Opgave 19 a R2p e Re 2p D II = + R 2p o C I = R 1 p o R 1 p µ r a 1 µ r a+1 R 2p o µ rb 1 µ r b+1 R 2p D II ) R 2p + R 2p c 1 µ rb 1 µ r b + 1 B rem 34) 35) D I = C I Rc 2p 36) C II = D II µ ra 1 µ r a + 1 R 2p o B rem R1 p o 37) C III D II = Ro 2p + Re 2p 1 µ ) ra 1 38) µ r a + 1 D III = C III Re 2p 39) Ro 2p, b R2p Rc 2p R 2p + R 2p c Vs, at løsnngen fundet ved hjælp af Maple er dentsk med lgn. 34-39. 2.3 En enkelt Halbach cylnder luft 40) For at regne på en enkelt Halbach cylnder luft / vakuum) skal v modfcere randbetngelserne magnethullet r = R c ) og udenom magneten når r ). I de ovenstående udregnnger udnyttede v randbetngelser, hvor permeablteten var uendelg og måtte bruge en ndre og en ydre skal med hhv. radus R c og R e ). Hvs v lader den centrale uendelgt permeable cylnders radus gå mod nul og den ydres ndre radus mod uendelg, så får v effektvt en Halbach luft/vakuum. Opgave 20 For p > 1 vs, at lm R e = 1 41) og lm b = 1. 42) R c 0 11

Opgave 21 For p < 0 fnd lm Re a samt lm Rc 0 b. Nu hvor v har a og b for en enkelt Halbach magnet luft, så kan v rent faktsk beregne magnetfeltet. Hvs v begrænser os tl permanente magneter med en beskeden relatv permeabltet, µ r 1, så kan v smplfcere de seks konstanter fra lgnngerne 34 39 yderlgere. Denne antagelse er god forhold tl de bedste permanente magneter, nemlg dem som er baseret på jern Fe), neodynum Nd) og bor B). For sådanne magneter er µ r = 1.05. Opgave 22 Fnd konstanten D II grænsen hvor µ r 1 og a = 1 samt b = 1 altså for p > 1). Det ses nu let, at D I = D III = C III = 0. Men de to resterende konstanter er kke generelt nul. Opgave 23 Fnd konstanterne C I og C II hvor µ r 1 og p > 1. I stuatonen hvor p < 0 blver konstanterne ldt anderledes end for p > 1. Men fremgangsmetoden for at fnde dem er den samme. Opgave 24 Fnd C I, C II, C III, D I, D II samt D III for p < 0 og dermed a = 1 og b = 1. Med de seks konstanter fundet for hhv. p < 0 og p > 1 grænsen hvor µ r 1 kan v nu opskrve magnetfeltskomponenterne for de to stuatoner. For p > 1 får v: Br I = B remp 1 Bθ I = B remp 1 Br II = B remp r 1 B II θ = B rem R R o R R 0 ) p 1 ) r R o R ) p 1 ) r ) p 1 ) R 0 ) p 1 cospθ) 43) R ) p 1 snpθ) 44) cospθ) 45) ) ) p 1 r 1 p snpθ) 46) 12

R o,1 R,2 R o,2 R,1 Fgur 4: Tegnng af to koncentrske Halbach magneter hvor deres ndre og ydre rader er angvet). For at opnå et magnetfelt tomrummet mellem de to magneter, skal den ndre magnet have p 0 og den ydre p 1. For p < 0 blver felt-komponenterne: Br III = B ) ) p+1 Ro ) p+1 remp R 1 cospθ) 47) R o r Bθ III = B ) ) p+1 Ro ) p+1 remp R 1 snpθ) 48) R o r Br II = B ) ) p+1 remp R 1 cospθ) 49) r Bθ II = B ) ) p+1 rem R 1 p snpθ) 50) r Opgave 25 Vs grafsk hvordan normen B = B 2 r + B 2 θ ser ud. Antag, at B rem = 1.4 T. Prøv med forskellge værder for R og R o. Husk, at p < 0 eller p > 1 og, at p er et heltal. Hnt: Prøv contour funktonen Maple cylndrske koordnater 2.4 Magnetske kræfter mellem to Halbachs Med udtryk for B r samt B θ kan v nu gå vdere med en meget brugt stuaton, nemlg den hvor man har to koncentrske Halbach magneter, altså to permanent magnetske cylndre, hvor den ene lgger nde den anden og de har samme z- akse. Se Fgur 4; den ndre Halbach har ndre radus R,1 og ydre radus R o,1, 13

mens den ydre magnet har ndre radus R,2 og ydre radus R o,2. Der gælder naturlgvs følgende: R,1 < R o,1 < R,2 < R o,2. Idet v har udledt magnetfeltkomponenterne grænsen hvor µ r 1 kan v uden vdere lægge løsnngerne fra to koncentrske magneter sammen havde µ r 1, så vlle de to magneters respektve magnetfelter nfluere på hnanden. Det vlle dermed være nødvendgt at gå tlbage tl udgangspunktet og løsnngen vlle være noget mere komplceret. For stærke permanente magneter, af typen FeNdB som tdlgere omtalt, så er µ r = 1.05, hvlket er ganske tæt på en. Det betyder to tng: 1) vores antagelse om µ r = 1 er ret god og 2) den ndbyrdes påvrknng af to stærke permanente magneter er kke særlgt stor. Dette er dog kun en fornuftg antagelse ndtl et vst punkt; hvs man placerer en permanent magnet et stort nok magnetfelt, så kan man godt ødelægge den! 4 I grænsen hvor µ r 1 kan v altså trygt lægge løsnngen fra to ndvduelle men dog koncentrske) Halbachs sammen. 5 V har altså det resulterende magnetfelt luftrummet mellem de to koncentrske magneter: B r = B III r,1 + B I r,2, B θ = B III θ,1 + B I θ,2. 51) Kraften fra et magnetfelt kan fndes ved følgende ntegraler: F x = r 2π 1 B 2 µ 0 0 2 x By) 2 ) ) cosθ) + B x B y snθ) dθ 52) F y = r 2π 1 B 2 µ 0 2 y Bx) 2 ) ) snθ) + B x B y cosθ) dθ 53) 0 Dsse to komponenter af den magnetske kraft er gvet x og y koordnater en gvet afstand r fra den centrale akse og mellem de to Halbach magneter, altså R o,1 < r < R,2 ). B x og B y betyder x og y komponenterne af B Opgave 26 Fnd vektorfeltskomponenterne B x og B y som funkton af B r og B θ og udtryk F x og F y som funktoner af B r og B θ. Hnt: Enhedsvektorernes sammenhæng er ˆx = cosθ)ˆr snθ)ˆθ og ŷ = snθ)ˆr+cosθ)ˆθ V kan nu beregne kraften mellem de to koncentrske Halbach magneter gvet ved lgnngerne 52-53). Opgave 27 Hvlken en af de to komponenter af kraften, F x og F y, er nul? Husk, at p 1 < 0 og p 2 > 1. 4 At ødelægge den betyder blot at man ændrer den permanente magnets magnetserngsretnng. Dette kan gøres tlbage gen ved bl.a. at varme magneten op. 5 Bemærk, at det er en helt fundamental antagelse ndenfor elektromagnetsme, at magnetfelter kan lægges sammen. Man sger mere præcst, at magnetfelter superpostonerer. Det samme gælder øvrgt også for elektrske felter og tyndgefelter. 14

V kan nu overveje hvordan kræfterne mellem de to Halbach magneter vl opføre sg hvs magneterne er roterede forhold tl hnanden. Dette kan v undersøge ved at ndføre en fase-forskydnng af den ene magnet. V kan altså trække en vnkel fra den ene magnets orenterng. V kalder denne vnkel for θ 0 og ndfører den for den ndre magnet. Opgave 28 Indfør vnklen θ 0 vektorfelts-komponenterne for den ndre magnet, dvs. lgnng 47-50. Hvs man sætter θ 0 = π/2, hvlken af de to kræfter blver da nul? Opgave 29 Det er nu mulgt at beregne de to kraftkomponenter som funkton af θ 0. Vælg selv værder for p 1, p 2, R,1,, R o,1, R,2 samt R o,2. Brug B rem = 1.4 T. Husk også at vsualsere den eller de magnetkonfguratoner, som I vælger. Plot gerne B f.eks. som konturer eller hvad I måtte synes). Dette er en ret åben opgave kun fantasen sætter grænserne! Kan to Halbachs kraft-kompensere hnanden? altså, kan F x + F y = 0) og gvet fald, er sådanne punkter θ 0 stable eller ustable lgevægtspunkter? Det er også mulgt at beregne kraftmomentet mellem de to koncentrske magneter. Dette er gvet ved for dette specelle 2-dmensonelle tlfælde): Som altså er pr meter z-retnngen. Opgave 30 N = 1 2π r 2 B r B θ dθ. 54) µ 0 0 Beregn kraftmomentet mellem to Halbachs. Hvordan ser det ud som funkton af θ 0? Hnt: Kraftmomentet er kun forskellg fra nul når p 1 = p 2. Referencer Ltteratur [1] K. Halbach, Desgn of permanent multpole magnets wth orented rare earth cobalt materal, Nucl. Instrum Methods 169. 15