{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}

Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet. Til gengæld kan vi prøve at sige noget om, hvor sandsynlige forskellige mulige resultater er. Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en og en mønt: mønten kan vise tal- eller symbolsiden, en, 2, 3, 4, 5 eller 6 øjne, vi noterer efter et kast, hvad mønten viser og hvad en viser. Udfald Et udfald er resultatet af et stokastisk eksperiment. Et muligt udfald ved eksperimentet er f.eks. u = ( talside, 3øjne) eller kort u = ( t,3) arbejder i notationen med ordnede par, så første del af parret fortæller os, hvad mønten viste, og anden del af parret fortæller os, hvad en viste..vi Udfaldsrum Udfaldsrummet er mængden af alle mulige udfald. Her i vores eksempel altså med den korte skrivemåde: U = t, s,2,3,4,5,6 = t,, t,2, t,3, t,4, t,5, t,6, s,, s,2, s,3, s,4, s,5, s,6 { } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}. Introduktion: sandsynlighedsregning mat7 (JL) 2. 4. 2004 s.

I tabelform kunne vi beskrive udfaldsrummet: mønt u ( t,) ( s,) 2 ( t,2) ( s,2) 3 ( t,3) ( s,3) 4 ( t,4) ( s,4) 5 ( t,5) ( s,5) 6 ( t,6) ( s,6) t s Hændelse En hændelse er en delmængde af udfaldsrummet, altså en mængde H, hvor H U. I vores eksempel kan vi f.eks. se på den hændelse, at en viser 2 øjne. Da H = t, 2, s,2. gælder {( ) ( )} Sandsynlighedsfunktion Sandsynlighedsfunktionen P er en funktion der opfylder følgende krav: Dm ( P) = U Vm P 0;, altså u U : 0 P( u) ( ) [ ] P( u) = u U Sandsynlighedsfunktionen fortæller os altså, hvor sandsynligt hvert enkelt udfald i udfaldsrummet er. I vores eksempel er det vel rimeligt at gå ud fra, at der er samme sandsynlighed for hver af de to møntsider og samme sandsynlighed for hver af de seks esider. Samtidigt er det vel rimeligt at antage, at de to objekter ikke udøver indflydelse på hinanden, at talsiden altså f.eks. ikke fører til, at 3 øjne er mere sandsynligt end hvis mønten viste symbolsiden. Introduktion: sandsynlighedsregning mat7 (JL) 2. 4. 2004 s. 2

Så kunne vi opstille følgende sandsynlighedstabel til beskrivelse af P : mønt t s P ( u) 2 3 4 5 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 P t, =. 2 Der gælder her altså f.eks., at ( 3) Sandsynlighedsfelt år vi har beskrevet udfaldsrummet og sandsynlighedsfunktionen er vores beskrivelse af det stokastiske eksperiment egentlig færdig. De to ting betragtet under et kalder vi et sandsynlighedsfelt. Et sandsynlighedsfelt er altså ( U, P ), hvor udfaldsrummet U og sandsynlighedsfunktionen P er nærmere beskrevet. Endeligt sandsynlighedsfelt Et sandsynlighedsfelt kaldes endeligt, hvis antallet af elementer i udfaldsrummet er endeligt (altså ikke uendeligt). I vores eksempel er antallet af elementer i U 2, så i vores tilfælde er der tale om et endeligt sandsynlighedsfelt. Hvis vi i stedet så på det stokastiske eksperiment, tilfældigt at vælge et reelt tal i intervallet ; 3 2, så ville der ikke være tale om et endeligt sandsynlighedsfelt, da der er uendelig mange reelle tal i intervallet. Introduktion: sandsynlighedsregning mat7 (JL) 2. 4. 2004 s. 3

Symmetrisk sandsynlighedsfelt Et sandsynlighedsfelt kaldes symmetrisk, hvis alle udfald er lige sandsynlige, altså u, u U P u = P u. hvis der gælder ( ) ( ) 2 : 2 Det er tilfældet i vores eksempel, her havde alle udfald jo sandsynligheden 2, men det er altså langt fra altid tilfældet. Hvis vi ser på et endeligt og symmetrisk sandsynlighedsfelt og med antal elementer i U, så må der gælde: u U P( u) tilfældet i vores eksempel. : = U U betegner. Det var også netop Sandsynligheden for en hændelse Der gælder: ( H ) = P( u) P. u H Specielt er P ( Ø) = 0 og P ( U ) = F.eks. kan vi igen se på den hændelse, at en viser 2 øjne. Da gælder 2 H = {( t, 2),( s,2) } og P ( H ) = + = =. 2 2 2 6 Hvis vi ser på et endeligt og symmetrisk sandsynlighedsfelt og med antal elementer i U og med siger ofte ( H ) antal elementer i H, så gælder der ( ) H U betegner H P H =. Vi antal gunstige P =. Men det gælder altså kun i endelige symmetriske antal mulige sandsynlighedsfelter. I vores eksempel altså ( H ) 2 P = =. 2 6 U Stokastisk variabel En stokastisk variabel er en funktion X (altså på trods af ordet ikke en variabel), der opfylder følgende betingelser: Dm ( X ) = U Vm( X ) R Den stokastiske variabel lægges altså så at sige ovenpå det stokastiske forsøg og oversætter udfaldene til reelle tal efter en nærmere fastlagt forskrift. Introduktion: sandsynlighedsregning mat7 (JL) 2. 4. 2004 s. 4

Vi kan i vores eksempel f.eks. lave et spil mellem en spiller og en bank ud af det stokastiske forsøg og opstille følgende regler for, hvad spilleren skal gøre i afhængighed af udfaldet: t mønt s regel betal betal 2 betal betal 3 betal 2 betal 2 4 betal 2 betal 2 5 modtag 5 modtag 5 6 modtag 5 modtag 5 Eller mere kortfattet formuleret: mønt t s X ( u) - - 2 - - 3-2 -2 4-2 -2 5 +5 +5 6 +5 +5 Her gælder altså Vm ( X ) = {, 2,5} og f.eks. (( t, 3) ) = 2 X. Før man som spiller eller bank kaster sig ud i sådan et spil, kunne det jo være rart at vide, hvad man sådan i gennemsnittet kan forvente at få ud af spillet. Faktisk er det spørgsmål af denne type, der har været en væsentlig kilde til, at sandsynlighedsregning overhovedet er blevet udviklet.vi taler her om den stokastiske variables gennemsnit (på tysk hedder det faktisk Erwartungswert). Symbolet for det E X. Hvordan vi beregner det, skal vi se på senere. er ( ) Men allerede nu kan vi se en væsentlig fordel ved vores definition af en stokastisk variabel. Udfald ser ikke nødvendigvis ud på en måde, så man kan beregne et gennemsnit (eller noget som helst), men det gør stokastiske variable, de leverer jo reelle tal. Introduktion: sandsynlighedsregning mat7 (JL) 2. 4. 2004 s. 5

Sandsynlighed for at en stokastisk variabel antager en bestemt værdi For x R definerer udsagnet X = x faktisk en særlig hændelse, nemlig: H x = u U X u = x. { ( ) } Følgelig gælder der P( X = x) = P( H ) = P u U X ( u) x ({ = x }) = P( u) = P( u) u H x u { u U X ( u ) = x } hvor der her altså bare er tale om forskellige måder at skrive det samme. I vores eksempel med spillet med mønten og en gælder f.eks. 4 4 P ( X = ) = + + + = = eller mere direkte P ( X = ) = =, hvor vi i 2 2 2 2 2 3 2 3 antal gunstige den sidste regnemåde har brugt regnereglen P ( H ) =, da vi befinder os antal mulige i et endeligt og symmetrisk sandsynlighedsfelt. Og der gælder her f.eks. ( X = 3 ) = P( Ø) = 0 P. På samme måde kan vi se på udsagn (og dermed hændelser) af typen X < x, X x, X > x, X x, x < X < x2 (hvor x, x, x 2 R) osv. osv. I et spil som det ovenfor beskrevne kan det f.eks. være interessant at se på X < 0 (svarende til at spilleren kommer af med penge) og X > 0 (svarende til at banken kommer af med penge)., Reference: GDS, s. 235-239, s. 26-265. Introduktion: sandsynlighedsregning mat7 (JL) 2. 4. 2004 s. 6